Écrivez l’équation du plan qui passe. Équation d'un plan passant par un point donné perpendiculaire à une ligne donnée

Dans ce document, nous verrons comment trouver l'équation d'un plan si nous connaissons les coordonnées de trois points différents qui ne se trouvent pas sur la même droite. Pour ce faire, nous devons nous rappeler ce qu’est un système de coordonnées rectangulaires dans un espace tridimensionnel. Pour commencer, nous présenterons le principe de base équation donnée et vous montrer exactement comment l'utiliser pour résoudre des problèmes spécifiques.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tout d’abord, nous devons nous rappeler un axiome, qui ressemble à ceci :

Définition 1

Si trois points ne coïncident pas les uns avec les autres et ne se trouvent pas sur la même ligne droite, alors dans l'espace tridimensionnel, un seul plan les traverse.

Autrement dit, si l’on a trois points différents dont les coordonnées ne coïncident pas et qui ne peuvent être reliés par une ligne droite, alors on peut déterminer le plan qui les traverse.

Disons que nous avons un système de coordonnées rectangulaires. Notons-le O x y z. Il contient trois points M de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), qui ne peuvent être connectés ligne droite. Sur la base de ces conditions, nous pouvons écrire l’équation du plan dont nous avons besoin. Il existe deux approches pour résoudre ce problème.

1. La première approche utilise l’équation générale du plan. Sous forme de lettre, il s'écrit A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Avec son aide, vous pouvez spécifier dans un système de coordonnées rectangulaires un certain plan alpha qui passe par le premier point donné M 1 (X 1 , oui 1 , z 1) . Il s'avère que le vecteur normal du plan α aura les coordonnées A, B, C.

Définition de N

Connaissant les coordonnées du vecteur normal et les coordonnées du point par lequel passe le plan, on peut écrire l'équation générale de ce plan.

C'est de cela que nous procéderons à l'avenir.

Ainsi, selon les conditions du problème, on dispose des coordonnées du point recherché (même trois) par lequel passe l'avion. Pour trouver l’équation, vous devez calculer les coordonnées de son vecteur normal. Notons-le n → .

Rappelons la règle : tout vecteur non nul d'un plan donné est perpendiculaire au vecteur normal de ce même plan. On a alors que n → sera perpendiculaire aux vecteurs composés des points d'origine M 1 M 2 → et M 1 M 3 → . Alors nous pouvons désigner n → comme un produit vectoriel de la forme M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Puisque M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) et M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (des preuves de ces égalités sont données dans l'article consacré au calcul des coordonnées d'un vecteur à partir des coordonnées de points), alors il s'avère que :

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = je → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Si nous calculons le déterminant, nous obtiendrons les coordonnées du vecteur normal n → dont nous avons besoin. Nous pouvons maintenant écrire l’équation dont nous avons besoin pour un plan passant par trois points donnés.

2. La deuxième approche pour trouver l'équation passant par M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), est basé sur un concept tel que la coplanarité des vecteurs.

Si nous avons un ensemble de points M (x, y, z), alors dans un système de coordonnées rectangulaires, ils définissent un plan pour des points donnés M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) uniquement dans le cas où les vecteurs M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) et M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) seront coplanaires .

Dans le schéma, cela ressemblera à ceci :

Cela signifiera que travail mixte les vecteurs M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → seront égaux à zéro : M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0, puisque c'est la condition principale de la coplanarité : M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) et M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Écrivons l'équation résultante sous forme de coordonnées :

Après avoir calculé le déterminant, nous pouvons obtenir l'équation plane dont nous avons besoin pour trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (X 3 , oui 3 , z 3) .

A partir de l'équation résultante, vous pouvez passer à l'équation du plan en segments ou à l'équation normale du plan, si les conditions du problème l'exigent.

Dans le paragraphe suivant, nous donnerons des exemples de la manière dont les approches que nous avons indiquées sont mises en œuvre dans la pratique.

Exemples de problèmes pour composer une équation d'un plan passant par 3 points

Auparavant, nous avons identifié deux approches pouvant être utilisées pour trouver l’équation souhaitée. Voyons comment ils sont utilisés pour résoudre des problèmes et quand choisir chacun d'entre eux.

Exemple 1

Il y a trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne, de coordonnées M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Écrivez une équation pour le plan qui les traverse.

Solution

Nous utilisons alternativement les deux méthodes.

1. Trouvez les coordonnées des deux vecteurs dont nous avons besoin M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Calculons maintenant leur produit vectoriel. Nous ne décrirons pas les calculs du déterminant :

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = je → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 je → + 30 j → + 2 k →

Nous avons un vecteur normal du plan qui passe par les trois points requis : n → = (- 5, 30, 2) . Ensuite, nous devons prendre l'un des points, par exemple M 1 (- 3, 2, - 1), et écrire l'équation du plan de vecteur n → = (- 5, 30, 2). On obtient que : - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

C’est l’équation dont nous avons besoin pour un plan qui passe par trois points.

2. Adoptons une approche différente. Écrivons l'équation d'un plan à trois points M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) dans le formulaire suivant :

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Ici, vous pouvez remplacer les données de l'énoncé du problème. Puisque x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, en conséquence nous obtenons :

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Nous avons obtenu l’équation dont nous avions besoin.

Répondre:- 5 x + 30 ans + 2 z - 73 .

Mais que se passe-t-il si les points donnés se trouvent toujours sur la même ligne et que nous devons créer une équation plane pour eux ? Ici, il faut dire d'emblée que cette condition ne sera pas tout à fait correcte. Un nombre infini d’avions peuvent passer par de tels points, il est donc impossible de calculer une seule réponse. Considérons un tel problème pour prouver l'inexactitude d'une telle formulation de la question.

Exemple 2

Nous avons un système de coordonnées rectangulaires dans un espace tridimensionnel, dans lequel trois points sont placés avec les coordonnées M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1) . Il faut créer une équation du plan qui le traverse.

Solution

Utilisons la première méthode et commençons par calculer les coordonnées de deux vecteurs M 1 M 2 → et M 1 M 3 →. Calculons leurs coordonnées : M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Le produit vectoriel sera égal à :

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = je → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 je ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Puisque M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, alors nos vecteurs seront colinéaires (relisez l'article à leur sujet si vous avez oublié la définition de ce concept). Ainsi, les points initiaux M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) sont sur la même ligne, et notre problème a une infinité de réponse aux options.

Si nous utilisons la deuxième méthode, nous obtiendrons :

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

De l'égalité résultante, il résulte également que les points donnés M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) sont sur la même ligne.

Si vous voulez trouver au moins une réponse à ce problème à partir de nombre infini ses options, vous devez effectuer les étapes suivantes :

1. Notez l'équation de la droite M 1 M 2, M 1 M 3 ou M 2 M 3 (si nécessaire, regardez le matériel sur cette action).

2. Prenez un point M 4 (x 4, y 4, z 4), qui ne se trouve pas sur la droite M 1 M 2.

3. Écrivez l'équation d'un plan qui passe par trois points différents M 1, M 2 et M 4 qui ne se trouvent pas sur la même droite.

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Cet article donne une idée sur la façon de construire une équation pour un plan passant par un point donné dans un espace tridimensionnel perpendiculaire à une ligne donnée. Analysons l'algorithme donné en utilisant l'exemple de résolution de problèmes typiques.

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Trouver l'équation d'un plan passant par un point donné de l'espace perpendiculaire à une ligne donnée

Soit un espace tridimensionnel et un système de coordonnées rectangulaires O x y z. Le point M 1 (x 1, y 1, z 1), la ligne a et le plan α passant par le point M 1 perpendiculaire à la ligne a sont également donnés. Il faut écrire l’équation du plan α.

Avant de commencer à résoudre ce problème, rappelons-nous le théorème de géométrie du programme de la 10e à la 11e année, qui dit :

Définition 1

Par un point donné dans l’espace tridimensionnel passe un seul plan perpendiculaire à une ligne droite donnée.

Voyons maintenant comment trouver l'équation de cet unique plan passant par le point de départ et perpendiculaire à la droite donnée.

Il est possible d'écrire l'équation générale d'un plan si les coordonnées d'un point appartenant à ce plan sont connues, ainsi que les coordonnées du vecteur normal du plan.

Les conditions du problème nous donnent les coordonnées x 1, y 1, z 1 du point M 1 par lequel passe le plan α. Si nous déterminons les coordonnées du vecteur normal du plan α, nous pourrons alors écrire l'équation requise.

Le vecteur normal du plan α, puisqu'il est non nul et se situe sur la droite a, perpendiculaire au plan α, sera n'importe quel vecteur directeur de la droite a. Ainsi, le problème de trouver les coordonnées du vecteur normal du plan α se transforme en problème de détermination des coordonnées du vecteur directeur de la droite a.

Les coordonnées du vecteur directeur de la droite a peuvent être déterminées différentes méthodes: dépend de la possibilité de spécifier la droite a dans les conditions initiales. Par exemple, si la droite a dans l'énoncé du problème est donnée par des équations canoniques de la forme

x - x 1 une x = y - y 1 une y = z - z 1 une z

ou des équations paramétriques de la forme :

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

alors le vecteur directeur de la ligne droite aura les coordonnées a x, a y et a z. Dans le cas où la droite a est représentée par deux points M 2 (x 2, y 2, z 2) et M 3 (x 3, y 3, z 3), alors les coordonnées du vecteur directeur seront déterminées comme ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Définition 2

Algorithme pour trouver l'équation d'un plan passant par un point donné perpendiculaire à une droite donnée :

On détermine les coordonnées du vecteur directeur de la droite a : une → = (une x, une y, une z) ;

On définit les coordonnées du vecteur normal du plan α comme les coordonnées du vecteur directeur de la droite a :

n → = (A , B , C) , où A = a x , B = a y , C = a z;

On écrit l'équation du plan passant par le point M 1 (x 1, y 1, z 1) et ayant un vecteur normal n → = (A, B, C) sous la forme A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Ce sera l'équation requise d'un plan qui passe par un point donné de l'espace et est perpendiculaire à une ligne donnée.

L’équation générale résultante du plan est : A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 permet d'obtenir l'équation du plan en segments ou l'équation normale du plan.

Résolvons plusieurs exemples en utilisant l'algorithme obtenu ci-dessus.

Exemple 1

Un point M 1 (3, - 4, 5) est donné, par lequel passe le plan, et ce plan est perpendiculaire à la ligne de coordonnées O z.

Solution

le vecteur directeur de la ligne de coordonnées O z sera le vecteur de coordonnées k ⇀ = (0, 0, 1). Par conséquent, le vecteur normal du plan a pour coordonnées (0, 0, 1). Écrivons l'équation d'un plan passant par un point donné M 1 (3, - 4, 5), dont le vecteur normal a pour coordonnées (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Répondre: z – 5 = 0 .

Considérons une autre façon de résoudre ce problème :

Exemple 2

Un plan perpendiculaire à la droite O z sera donné par une équation plane générale incomplète de la forme C z + D = 0, C ≠ 0. Déterminons les valeurs de C et D : celles auxquelles l'avion passe par un point donné. Remplaçons les coordonnées de ce point dans l'équation C z + D = 0, nous obtenons : C · 5 + D = 0. Ceux. nombres, C et D sont liés par la relation - D C = 5. En prenant C = 1, on obtient D = - 5.

Remplaçons ces valeurs dans l'équation C z + D = 0 et obtenons l'équation requise d'un plan perpendiculaire à la droite O z et passant par le point M 1 (3, - 4, 5).

Cela ressemblera à : z – 5 = 0.

Répondre: z – 5 = 0 .

Exemple 3

Écrire une équation pour un plan passant par l'origine et perpendiculaire à la droite x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Solution

Sur la base des conditions du problème, on peut affirmer que le vecteur directeur d'une ligne droite donnée peut être considéré comme le vecteur normal n → d'un plan donné. Ainsi : n → = (- 3 , - 7 , 2) . Écrivons l'équation d'un plan passant par le point O (0, 0, 0) et ayant un vecteur normal n → = (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Nous avons obtenu l'équation recherchée d'un plan passant par l'origine des coordonnées perpendiculaires à une ligne donnée.

Répondre:- 3 x - 7 oui + 2 z = 0

Exemple 4

Un système de coordonnées rectangulaires O x y z est donné dans un espace tridimensionnel, dans lequel se trouvent deux points A (2, - 1, - 2) et B (3, - 2, 4). Le plan α passe par le point A perpendiculaire à la droite A B. Il est nécessaire de créer une équation du plan α en segments.

Solution

Le plan α est perpendiculaire à la droite A B, alors le vecteur A B → sera le vecteur normal du plan α. Les coordonnées de ce vecteur sont définies comme la différence entre les coordonnées correspondantes des points B (3, - 2, 4) et A (2, - 1, - 2) :

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

L’équation générale du plan s’écrira comme suit :

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Composons maintenant l'équation requise du plan en segments :

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Répondre:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Il convient également de noter qu'il existe des problèmes dont l'exigence est d'écrire une équation d'un plan passant par un point donné et perpendiculaire à deux plans donnés. En général, la solution à ce problème consiste à construire une équation pour un plan passant par un point donné perpendiculaire à une ligne donnée, car deux plans sécants définissent une ligne droite.

Exemple 5

Un système de coordonnées rectangulaires O x y z est donné, il contient un point M 1 (2, 0, - 5). Les équations de deux plans 3 x + 2 y + 1 = 0 et x + 2 z – 1 = 0, qui se coupent le long de la droite a, sont également données. Il est nécessaire de créer une équation pour un plan passant par le point M 1 perpendiculaire à la droite a.

Solution

Déterminons les coordonnées du vecteur directeur de la droite a. Il est perpendiculaire à la fois au vecteur normal n 1 → (3, 2, 0) du plan n → (1, 0, 2) et au vecteur normal 3 x + 2 y + 1 = 0 du x + 2 z - 1 = 0 avion.

Ensuite, comme vecteur directeur α → droite a, nous prenons le produit vectoriel des vecteurs n 1 → et n 2 → :

une → = n 1 → × n 2 → = je → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 je → - 6 j → - 2 k → ⇒ une → = (4 , - 6 , - 2 )

Ainsi, le vecteur n → = (4, - 6, - 2) sera le vecteur normal du plan perpendiculaire à la droite a. Écrivons l'équation requise du plan :

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Répondre: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

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Pour qu’un seul plan passe par trois points quelconques de l’espace, il est nécessaire que ces points ne se trouvent pas sur la même ligne droite.

Considérons les points M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) dans le système de coordonnées cartésien général.

Pour qu'un point arbitraire M(x, y, z) se trouve dans le même plan que les points M 1, M 2, M 3, il faut que les vecteurs soient coplanaires.

(
) = 0

Ainsi,

Équation d'un plan passant par trois points :

Équation d'un plan étant donné deux points et un vecteur colinéaire au plan.

Soit les points M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) et le vecteur
.

Créons une équation pour un plan passant par les points donnés M 1 et M 2 et un point arbitraire M (x, y, z) parallèle au vecteur .

Vecteurs
et vecteur
doit être coplanaire, c'est-à-dire

(
) = 0

Équation plane :

Équation d'un plan utilisant un point et deux vecteurs,

colinéaire au plan.

Soit deux vecteurs
Et
, plans colinéaires. Alors pour un point arbitraire M(x, y, z) appartenant au plan, les vecteurs
doit être coplanaire.

Équation plane :

Équation d'un plan par point et vecteur normal .

Théorème. Si un point M est donné dans l'espace 0 (X 0 , oui 0 , z 0 ), puis l'équation du plan passant par le point M 0 perpendiculaire au vecteur normal (UN, B, C) a la forme :

UN(x – x 0 ) + B(oui – oui 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Preuve. Pour un point arbitraire M(x, y, z) appartenant au plan, on compose un vecteur. Parce que vecteur est le vecteur normal, alors il est perpendiculaire au plan, et donc perpendiculaire au vecteur
. Alors le produit scalaire

= 0

Ainsi, on obtient l'équation du plan

Le théorème a été prouvé.

Équation d'un plan en segments.

Si dans l'équation générale Ax + By + Cz + D = 0 on divise les deux côtés par (-D)

,

remplacer
, on obtient l'équation du plan en segments :

Les nombres a, b, c sont respectivement les points d'intersection du plan avec les axes x, y et z.

Équation d'un plan sous forme vectorielle.

Où

- rayon vecteur du point courant M(x, y, z),

Un vecteur unitaire ayant la direction d'une perpendiculaire tombée sur un plan à partir de l'origine.

,  et  sont les angles formés par ce vecteur avec les axes x, y, z.

p est la longueur de cette perpendiculaire.

En coordonnées, cette équation ressemble à :

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Distance d'un point à un plan.

La distance d'un point arbitraire M 0 (x 0, y 0, z 0) au plan Ax+By+Cz+D=0 est :

Exemple. Trouvez l'équation du plan, sachant que le point P(4; -3; 12) est la base de la perpendiculaire tombée de l'origine à ce plan.

Donc A = 4/13 ; B = -3/13 ; C = 12/13, on utilise la formule :

UNE(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'un plan passant par deux points P(2; 0; -1) et

Q(1; -1; 3) perpendiculaire au plan 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vecteur normal au plan 3x + 2y – z + 5 = 0
parallèle au plan souhaité.

On obtient :

Exemple. Trouver l'équation du plan passant par les points A(2, -1, 4) et

B(3, 2, -1) perpendiculaire au plan X + à + 2z – 3 = 0.

L'équation recherchée du plan a la forme : A x+B oui+C z+ D = 0, vecteur normal à ce plan (A, B, C). Vecteur
(1, 3, -5) appartient au plan. Le plan qui nous est donné, perpendiculaire à celui souhaité, a un vecteur normal (1, 1, 2). Parce que les points A et B appartiennent aux deux plans, et les plans sont perpendiculaires entre eux, alors

Donc le vecteur normal (11, -7, -2). Parce que le point A appartient au plan souhaité, alors ses coordonnées doivent satisfaire l'équation de ce plan, c'est-à-dire 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Au total, on obtient l'équation du plan : 11 x - 7oui – 2z – 21 = 0.

Exemple. Trouvez l'équation du plan, sachant que le point P(4, -3, 12) est la base de la perpendiculaire tombée de l'origine à ce plan.

Trouver les coordonnées du vecteur normal
= (4, -3, 12). L'équation recherchée du plan a la forme : 4 x – 3oui + 12z+ D = 0. Pour trouver le coefficient D, on substitue les coordonnées du point P dans l'équation :

16 + 9 + 144 + D = 0

Au total, on obtient l'équation recherchée : 4 x – 3oui + 12z – 169 = 0

Exemple. Les coordonnées des sommets de la pyramide sont données : A 1 (1 ; 0 ; 3), A 2 (2 ; -1 ; 3), A 3 (2 ; 1 ; 1),

Trouvez la longueur du bord A 1 A 2.

Trouvez l'angle entre les arêtes A 1 A 2 et A 1 A 4.

Trouvez l'angle entre le bord A 1 A 4 et la face A 1 A 2 A 3.

Nous trouvons d’abord le vecteur normal à la face A 1 A 2 A 3 comme produit vectoriel de vecteurs
Et
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Trouvons l'angle entre le vecteur normal et le vecteur
.

-4 – 4 = -8.

L'angle souhaité  entre le vecteur et le plan sera égal à  = 90 0 - .

Trouvez l'aire de la face A 1 A 2 A 3.

Trouvez le volume de la pyramide.

Trouvez l'équation du plan A 1 A 2 A 3.

Utilisons la formule de l'équation d'un plan passant par trois points.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0 ;

Lors de l'utilisation de la version informatique " Cours supérieur de mathématiques" Vous pouvez exécuter un programme qui résoudra l'exemple ci-dessus pour toutes les coordonnées des sommets de la pyramide.

Pour démarrer le programme, double-cliquez sur l'icône :

Dans la fenêtre du programme qui s'ouvre, entrez les coordonnées des sommets de la pyramide et appuyez sur Entrée. De cette façon, tous les points de décision peuvent être obtenus un par un.

Remarque : Pour exécuter le programme, le programme Maple ( Waterloo Maple Inc.) de n'importe quelle version, à partir de MapleV Release 4, doit être installé sur votre ordinateur.

13.Angle entre les plans, distance d'un point à un plan.

Supposons que les plans α et β se coupent le long d'une droite c.
L'angle entre plans est l'angle entre les perpendiculaires à la ligne de leur intersection tracée dans ces plans.

En d’autres termes, dans le plan α nous avons tracé une droite a perpendiculaire à c. Dans le plan β - droite b, également perpendiculaire à c. Angle entre les plans α et β égal à l'angle entre les lignes a et b.

Notez que lorsque deux plans se croisent, quatre angles se forment en réalité. Les voyez-vous sur la photo ? Comme l'angle entre les plans que nous prenons épicé coin.

Si l'angle entre les plans est de 90 degrés, alors les plans perpendiculaire,

C'est la définition de la perpendiculaire des plans. Lors de la résolution de problèmes de stéréométrie, nous utilisons également signe de perpendiculaire des plans:

Si le plan α passe par la perpendiculaire au plan β, alors les plans α et β sont perpendiculaires.

distance d'un point à un plan

Considérons le point T, défini par ses coordonnées :

T = (x 0 , oui 0 , z 0)

Considérons également le plan α, donné par l'équation :

Hache + Par + Cz + D = 0

Alors la distance L du point T au plan α peut être calculée à l'aide de la formule :

En d'autres termes, nous substituons les coordonnées du point dans l'équation du plan, puis divisons cette équation par la longueur du vecteur normal n au plan :

Le nombre résultant est la distance. Voyons comment ce théorème fonctionne en pratique.

Nous avons déjà dérivé les équations paramétriques d'une droite sur un plan, obtenons les équations paramétriques d'une droite, qui est définie dans un système de coordonnées rectangulaires dans un espace tridimensionnel.

Supposons qu'un système de coordonnées rectangulaires soit fixé dans un espace tridimensionnel Oxyz. Définissons-y une ligne droite un(voir la section sur les méthodes de définition d'une ligne dans l'espace), indiquant le vecteur directeur de la ligne et les coordonnées d'un point sur la ligne . Nous partirons de ces données lors de l'élaboration des équations paramétriques d'une droite dans l'espace.

Soit un point arbitraire dans un espace tridimensionnel. Si on soustrait des coordonnées du point M. coordonnées du point correspondant M1, alors nous obtiendrons les coordonnées du vecteur (voir l'article trouver les coordonnées d'un vecteur à partir des coordonnées des points de sa fin et de son début), c'est-à-dire .

Évidemment, l’ensemble des points définit une droite UN si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.

Écrivons la condition nécessaire et suffisante de la colinéarité des vecteurs Et : , où est un nombre réel. L'équation résultante s'appelle équation paramétrique vectorielle de la droite dans un système de coordonnées rectangulaires Oxyz dans un espace tridimensionnel. L'équation paramétrique vectorielle d'une ligne droite sous forme de coordonnées a la forme et représente équations paramétriques de la droite un. Le nom « paramétrique » n'est pas accidentel, puisque les coordonnées de tous les points de la ligne sont spécifiées à l'aide du paramètre.

Donnons un exemple d'équations paramétriques d'une droite dans un système de coordonnées rectangulaires Oxyz dans l'espace : . Ici

15.Angle entre une ligne droite et un plan. Le point d'intersection d'une droite avec un plan.

Chaque équation du premier degré par rapport aux coordonnées x, y, z

Hache + Par + Cz +D = 0 (3.1)

définit un plan, et vice versa : tout plan peut être représenté par l'équation (3.1), qui est appelée équation plane.

Vecteur n(A, B, C) orthogonal au plan est appelé vecteur normal avion. Dans l'équation (3.1), les coefficients A, B, C ne sont pas égaux à 0 en même temps.

Cas particuliers de l'équation (3.1) :

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - le plan passe par l'origine.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - le plan est parallèle à l'axe Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - le plan passe par l'axe Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - le plan est parallèle au plan Oyz.

Équations des plans de coordonnées : x = 0, y = 0, z = 0.

Une droite dans l'espace peut être spécifiée :

1) comme ligne d'intersection de deux plans, c'est-à-dire système d'équations :

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ; (3.2)

2) par ses deux points M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2, y 2, z 2), alors la droite qui les traverse est donnée par les équations :

3) le point M 1 (x 1, y 1, z 1) qui lui appartient, et le vecteur un(m, n, p), colinéaire à lui. Ensuite la droite est déterminée par les équations :

. (3.4)

Les équations (3.4) sont appelées équations canoniques de la droite.

Vecteur un appelé direction vecteur droit.

On obtient des équations paramétriques d'une droite en assimilant chacune des relations (3.4) au paramètre t :

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

Système de résolution (3.2) en tant que système équations linéaires relativement inconnu x Et oui, on arrive aux équations de la droite dans projections ou à données d'équations de la droite:

x = mz + une, y = nz + b. (3.6)

A partir des équations (3.6), nous pouvons passer aux équations canoniques, trouvant z de chaque équation et égaliser les valeurs résultantes :

.

À partir des équations générales (3.2), vous pouvez passer aux équations canoniques d'une autre manière, si vous trouvez un point sur cette droite et son vecteur directeur n= [n 1 , n 2 ], où n 1 (A 1, B 1, C 1) et n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - vecteurs normaux de plans donnés. Si l'un des dénominateurs m, n ou r dans les équations (3.4) s'avère égal à zéro, alors le numérateur de la fraction correspondante doit être mis égal à zéro, c'est-à-dire système

est équivalent au système ; une telle ligne droite est perpendiculaire à l’axe Ox.

Système est équivalent au système x = x 1, y = y 1 ; la droite est parallèle à l'axe Oz.

Exemple 1.15. Composez une équation pour le plan, sachant que le point A(1,-1,3) sert de base à une perpendiculaire tracée de l'origine à ce plan.

Solution. Selon les conditions du problème, le vecteur OA(1,-1,3) est un vecteur normal du plan, alors son équation peut s'écrire
xy+3z+D=0. En substituant les coordonnées du point A(1,-1,3) appartenant au plan, on trouve D : 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Donc xy+3z-11=0.

Exemple 1.16. Écrivez l'équation d'un plan passant par l'axe Oz et formant un angle de 60° avec le plan 2x+y-z-7=0.

Solution. Le plan passant par l'axe Oz est donné par l'équation Ax+By=0, où A et B ne disparaissent pas simultanément. Ne laissez pas B
est égal à 0, A/Bx+y=0. Utiliser la formule du cosinus pour l'angle entre deux plans

.

Décider équation quadratique 3m 2 + 8m - 3 = 0, retrouver ses racines
m 1 = 1/3, m 2 = -3, d'où on obtient deux plans 1/3x+y = 0 et -3x+y = 0.

Exemple 1.17. Composez les équations canoniques de la droite :
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Solution. Les équations canoniques de la droite ont la forme :

Où m, n, p- les coordonnées du vecteur directeur de la droite, X 1 , oui 1 , z 1- les coordonnées de tout point appartenant à une ligne. Une ligne droite est définie comme la ligne d'intersection de deux plans. Pour trouver un point appartenant à une droite, l'une des coordonnées est fixe (le moyen le plus simple est de fixer, par exemple, x=0) et le système résultant est résolu comme un système d'équations linéaires à deux inconnues. Donc, soit x=0, alors y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, donc y=-1, z=1. Nous avons trouvé les coordonnées du point M(x 1, y 1, z 1) appartenant à cette droite : M (0,-1,1). Le vecteur directeur d’une droite est facile à trouver, connaissant les vecteurs normaux des plans d’origine n 1 (5,1,1) et n 2 (2,3,-2). Alors

Les équations canoniques de la droite ont la forme : x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z-1)/13.

Exemple 1.18. Dans la poutre définie par les plans 2x-y+5z-3=0 et x+y+2z+1=0, trouver deux plans perpendiculaires dont l'un passe par le point M(1,0,1).

Solution. L'équation de la poutre définie par ces plans a la forme u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, où u et v ne disparaissent pas simultanément. Réécrivons l'équation de la poutre comme suit :

(2u +v)x + (-u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Afin de sélectionner un plan de la poutre qui passe par le point M, on substitue les coordonnées du point M dans l'équation de la poutre. On obtient :

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, ou v = - u.

Ensuite, nous trouvons l'équation du plan contenant M en substituant v = - u dans l'équation de la poutre :

vous(2x-y +5z - 3) - vous (x + y +2z +1) = 0.

Parce que u¹0 (sinon v=0, et cela contredit la définition d'une poutre), alors on a l'équation du plan x-2y+3z-4=0. Le deuxième plan appartenant à la poutre doit lui être perpendiculaire. Écrivons la condition d'orthogonalité des plans :

(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, ou v = - 19/5u.

Cela signifie que l'équation du deuxième plan a la forme :

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 ou 9x +24y + 13z + 34 = 0

Supposons que nous devions trouver l’équation d’un plan passant par trois points donnés qui ne se trouvent pas sur la même droite. En désignant leurs rayons vecteurs par et le rayon vecteur actuel par , nous pouvons facilement obtenir l'équation requise sous forme vectorielle. En fait, les vecteurs doivent être coplanaires (ils se trouvent tous dans le plan souhaité). Par conséquent, le produit vectoriel-scalaire de ces vecteurs doit être égal à zéro :

C'est l'équation d'un plan passant par trois points donnés, sous forme vectorielle.

En passant aux coordonnées, on obtient l'équation en coordonnées :

Si trois points donnés se trouvent sur la même droite, alors les vecteurs seraient colinéaires. Par conséquent, les éléments correspondants des deux dernières lignes du déterminant de l’équation (18) seraient proportionnels et le déterminant serait identiquement égal à zéro. Par conséquent, l'équation (18) deviendrait identique pour toutes les valeurs de x, y et z. Géométriquement, cela signifie que chaque point de l'espace passe par un plan dans lequel se trouvent les trois points donnés.

Remarque 1. Le même problème peut être résolu sans utiliser de vecteurs.

En désignant respectivement les coordonnées des trois points donnés, nous écrirons l'équation de tout plan passant par le premier point :

Pour obtenir l'équation du plan recherché, il faut exiger que l'équation (17) soit satisfaite par les coordonnées de deux autres points :

A partir des équations (19), il faut déterminer le rapport de deux coefficients au troisième et saisir les valeurs trouvées dans l'équation (17).

Exemple 1. Écrivez une équation pour un plan passant par les points.

L'équation du plan passant par le premier de ces points sera :

Les conditions pour que l'avion (17) passe par deux autres points et le premier point sont :

En ajoutant la deuxième équation à la première, on trouve :

En substituant dans la deuxième équation, on obtient :

En substituant dans l'équation (17) au lieu de A, B, C, respectivement, 1, 5, -4 (nombres qui leur sont proportionnels), on obtient :

Exemple 2. Écrivez une équation pour un plan passant par les points (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

L'équation de tout plan passant par le point (0, 0, 0) sera]

Les conditions de passage de cet avion par les points (1, 1, 1) et (2, 2, 2) sont :

En réduisant la deuxième équation par 2, on voit que pour déterminer deux inconnues, il existe une équation avec

De là, nous obtenons . En substituant maintenant la valeur du plan dans l'équation, nous trouvons :

C'est l'équation du plan recherché ; cela dépend de l'arbitraire

quantités B, C (à savoir, de la relation c'est-à-dire qu'il existe un nombre infini de plans passant par trois points donnés (trois points donnés se trouvent sur la même ligne droite).

Remarque 2. Le problème de tracer un plan passant par trois points donnés qui ne se trouvent pas sur la même ligne est facilement résolu dans vue générale, si nous utilisons des déterminants. En effet, puisque dans les équations (17) et (19) les coefficients A, B, C ne peuvent être simultanément égaux à zéro, alors, considérant ces équations comme un système homogène à trois inconnues A, B, C, on écrit un nécessaire et suffisant condition d'existence d'une solution de ce système, différente de zéro (Partie 1, Chapitre VI, § 6) :

Après avoir développé ce déterminant dans les éléments de la première rangée, on obtient une équation du premier degré par rapport aux coordonnées actuelles, qui sera satisfaite notamment par les coordonnées des trois points donnés.

Vous pouvez également vérifier cette dernière directement en substituant les coordonnées de l'un de ces points à la place de . Sur le côté gauche, nous obtenons un déterminant dans lequel soit les éléments de la première ligne sont des zéros, soit il y a deux lignes identiques. Ainsi, l'équation construite représente un plan passant par les trois points donnés.