Résoudre les problèmes typiques de résistance des matériaux. Archives de catégorie : Problèmes de flexion Flexion des axes
Pour une poutre en porte-à-faux chargée charge distribuée kN/m et le moment concentré kN m (Fig. 3.12), il faut : construire des diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants, sélectionner une poutre de section circulaire à une contrainte normale admissible kN/cm2 et vérifier la résistance de la poutre par des contraintes tangentielles à une contrainte tangentielle admissible kN /cm2. Dimensions de la poutre m ; m; m.
Schéma de calcul pour le problème de flexion transversale directe
Riz. 3.12
Solution du problème « flexion transversale droite »
Déterminer les réactions de soutien
La réaction horizontale dans l'encastrement est nulle, puisque les charges externes dans la direction de l'axe z n'agissent pas sur la poutre.
Nous choisissons les directions des forces de réaction restantes apparaissant dans l’encastrement : nous dirigerons la réaction verticale, par exemple vers le bas, et le moment – dans le sens des aiguilles d’une montre. Leurs valeurs sont déterminées à partir des équations statiques :
Lors de la composition de ces équations, nous considérons que le moment est positif lors d'une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et la projection de la force est positive si sa direction coïncide avec la direction positive de l'axe y.
A partir de la première équation on trouve le moment au joint :
De la deuxième équation - réaction verticale :
Les valeurs positives que nous avons obtenues pour l'instant et la réaction verticale dans l'encastrement indiquent que nous avons deviné leurs directions.
Conformément à la nature de la fixation et du chargement de la poutre, nous divisons sa longueur en deux sections. Le long des limites de chacune de ces sections, nous délimiterons quatre sections transversales (voir Fig. 3.12), dans lesquelles nous utiliserons la méthode des sections (ROZU) pour calculer les valeurs des efforts tranchants et des moments fléchissants.
Section 1. Rejetons mentalement le côté droit de la poutre. Remplaçons son action par celle restante côté gauche force de cisaillement et moment de flexion. Pour faciliter le calcul de leurs valeurs, recouvrons le côté droit de la poutre avec un morceau de papier, en alignant le bord gauche de la feuille avec la section considérée.
Rappelons que la force de cisaillement apparaissant dans tout coupe transversale, doit équilibrer toutes les forces externes (actives et réactives) qui agissent sur la partie de la poutre que nous considérons (c'est-à-dire visible). Par conséquent, la force de cisaillement doit être égale à la somme algébrique de toutes les forces que nous observons.
Présentons également la règle des signes de l'effort tranchant : une force extérieure agissant sur la partie de la poutre considérée et tendant à « faire tourner » cette partie par rapport à la section dans le sens des aiguilles d'une montre provoque une force de cisaillement positive dans la section. Une telle force externe est incluse dans la somme algébrique pour la définition avec un signe plus.
Dans notre cas, nous ne voyons que la réaction du support, qui fait tourner la partie du faisceau qui nous est visible par rapport à la première section (par rapport au bord de la feuille de papier) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. C'est pourquoi
kN.
Le moment de flexion dans n'importe quelle section doit équilibrer le moment créé par les forces externes visibles par rapport à la section en question. Par conséquent, il est égal à la somme algébrique des moments de toutes les forces qui agissent sur la partie de la poutre considérée, par rapport à la section considérée (c'est-à-dire par rapport au bord de la feuille de papier). Dans ce cas, la charge externe, courbant la partie de la poutre considérée avec sa convexité vers le bas, provoque un moment de flexion positif dans la section. Et le moment créé par une telle charge est inclus dans la somme algébrique pour détermination avec un signe « plus ».
Nous voyons deux efforts : la réaction et le moment de clôture. Cependant, l'effet de levier de la force par rapport à la section 1 est nul. C'est pourquoi
kNm.
Nous avons pris le signe « plus » car le moment réactif plie la partie du faisceau que nous voyons avec une convexité vers le bas.
Section 2. Comme précédemment, nous couvrirons tout le côté droit de la poutre avec un morceau de papier. Or, contrairement à la première section, la force a un épaulement : m.
kN ; kNm.
Section 3. En fermant le côté droit de la poutre, on trouve
kN ;
Section 4. Couvrir le côté gauche de la poutre avec une feuille. Alors
kNm.
kNm.
.
En utilisant les valeurs trouvées, nous construisons des diagrammes des forces de cisaillement (Fig. 3.12, b) et des moments de flexion (Fig. 3.12, c).
Sous zones non chargées, le diagramme des forces de cisaillement est parallèle à l'axe de la poutre, et sous une charge répartie q - le long d'une ligne droite inclinée vers le haut. Sous la réaction de support dans le diagramme, il y a un saut de la valeur de cette réaction, c'est-à-dire de 40 kN.
Dans le diagramme des moments fléchissants, nous voyons une rupture sous la réaction d'appui. L'angle de courbure est dirigé vers la réaction d'appui. Sous charge distribuée q, le diagramme change en fonction de parabole quadratique, dont la convexité est dirigée vers la charge. Dans la section 6 du diagramme, il y a un extremum, puisque le diagramme de la force de cisaillement à cet endroit passe par la valeur zéro.
Déterminer le diamètre de section transversale requis de la poutre
La condition normale de résistance à la contrainte a la forme :
,
où est le moment résistant de la poutre lors de la flexion. Pour une poutre de section circulaire, elle est égale à :
.
Le plus grand par valeur absolue le moment de flexion se produit dans la troisième section de la poutre : 
kN cm
Ensuite, le diamètre de faisceau requis est déterminé par la formule
cm.
Nous acceptons mm. Alors
kN/cm2 kN/cm2.
La « surtension » est
,
ce qui est permis.
Nous vérifions la résistance de la poutre par les contraintes de cisaillement les plus élevées
Les contraintes de cisaillement les plus importantes apparaissant dans la section transversale de la poutre section ronde, sont calculés par la formule
,
où est la surface de la section transversale.
D'après le diagramme, la plus grande valeur algébrique de la force de cisaillement est égale à 
kN. Alors
kN/cm2 kN/cm2,
c'est-à-dire que la condition de résistance pour les contraintes tangentielles est également satisfaite, et avec une large marge.
Un exemple de résolution du problème « flexion transversale droite » n°2
Condition d'un exemple de problème en flexion transversale droite
Pour une poutre simplement appuyée chargée d'une charge répartie d'intensité kN/m, de force concentrée kN et de moment concentré kN m (Fig. 3.13), il est nécessaire de construire des diagrammes d'efforts tranchants et de moments fléchissants et de sélectionner une poutre de poutre en I. section transversale avec une contrainte normale admissible kN/cm2 et une contrainte tangentielle admissible kN/cm2. Portée du faisceau m.
Un exemple de problème de flexion droite - schéma de calcul
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Riz. 3.13
Solution d'un exemple de problème de pliage droit
Déterminer les réactions de soutien
Pour une poutre simplement appuyée donnée, il est nécessaire de trouver trois réactions d'appui : , et . Puisque seules les charges verticales perpendiculaires à son axe agissent sur la poutre, la réaction horizontale du support fixe articulé A est nulle : .
Les directions des réactions verticales sont choisies arbitrairement. Dirigons, par exemple, les deux réactions verticales vers le haut. Pour calculer leurs valeurs, on compose deux équations statiques :
Rappelons que la résultante de la charge linéaire , uniformément répartie sur une section de longueur l, est égale à , c'est-à-dire égale à l'aire du diagramme de cette charge et elle est appliquée au centre de gravité de cette diagramme, c'est-à-dire au milieu de la longueur.
;
kN.
Allons vérifier: .
Rappelons que les forces dont la direction coïncide avec la direction positive de l'axe y sont projetées (projetées) sur cet axe avec un signe plus :
c'est vrai.
Nous construisons des diagrammes d'efforts tranchants et de moments fléchissants
Nous divisons la longueur de la poutre en sections distinctes. Les limites de ces sections sont les points d'application des forces concentrées (actives et/ou réactives), ainsi que les points correspondant au début et à la fin de la charge répartie. Il y a trois sections de ce type dans notre problème. Le long des limites de ces sections, nous délimiterons six sections transversales dans lesquelles nous calculerons les valeurs des efforts tranchants et des moments fléchissants (Fig. 3.13, a).
Section 1. Rejetons mentalement le côté droit de la poutre. Pour faciliter le calcul de la force de cisaillement et du moment de flexion apparaissant dans cette section, nous couvrirons la partie de la poutre que nous avons jetée avec un morceau de papier, en alignant le bord gauche de la feuille de papier avec la section elle-même.
La force de cisaillement dans la section de poutre est égale à la somme algébrique de tous forces externes(actif et réactif) que nous voyons. DANS dans ce cas on voit la réaction de l'appui et de la charge linéaire q répartie sur une longueur infinitésimale. La charge linéaire résultante est nulle. C'est pourquoi
kN.
Le signe plus est pris car la force fait tourner la partie du faisceau que nous voyons par rapport à la première section (le bord d'un morceau de papier) dans le sens des aiguilles d'une montre.
Le moment de flexion dans la section de poutre est égal à la somme algébrique des moments de toutes les forces que l'on voit par rapport à la section considérée (c'est-à-dire par rapport au bord de la feuille de papier). Nous voyons la réaction d'appui et la charge linéaire q réparties sur une longueur infinitésimale. Cependant, la force a un effet de levier nul. La charge linéaire résultante est également nulle. C'est pourquoi
Section 2. Comme précédemment, nous couvrirons tout le côté droit de la poutre avec un morceau de papier. Nous voyons maintenant la réaction et la charge q agissant sur une section de longueur . La charge linéaire résultante est égale à . Il est fixé au milieu d'un tronçon de longueur. C'est pourquoi
Rappelons que lors de la détermination du signe du moment fléchissant, nous libérons mentalement la partie de la poutre qui nous est visible de toutes les fixations de support réelles et l'imaginons comme pincée dans la section considérée (c'est-à-dire que nous imaginons mentalement le bord gauche d'un morceau de papier comme encastrement rigide).
Section 3. Fermez le côté droit. On a
Section 4. Couvrir le côté droit de la poutre avec une feuille. Alors
Maintenant, pour vérifier l’exactitude des calculs, recouvrons le côté gauche de la poutre avec un morceau de papier. On voit la force concentrée P, la réaction de l'appui droit et la charge linéaire q répartie sur une longueur infinitésimale. La charge linéaire résultante est nulle. C'est pourquoi
kNm.
Autrement dit, tout est correct.
Section 5. Comme précédemment, fermez le côté gauche de la poutre. Aura
kN ;
kNm.
Section 6. Fermons à nouveau le côté gauche de la poutre. On a
kN ;
En utilisant les valeurs trouvées, nous construisons des diagrammes des forces de cisaillement (Fig. 3.13, b) et des moments de flexion (Fig. 3.13, c).
Nous veillons à ce que sous la zone non chargée, le diagramme des forces de cisaillement soit parallèle à l'axe de la poutre, et sous une charge répartie q - le long d'une ligne droite inclinée vers le bas. Il y a trois sauts dans le diagramme : sous la réaction - en hausse de 37,5 kN, sous la réaction - en hausse de 132,5 kN et sous la force P - en baisse de 50 kN.
Dans le diagramme des moments fléchissants, nous voyons des ruptures sous la force concentrée P et sous les réactions d'appui. Les angles de fracture sont dirigés vers ces forces. Sous une charge distribuée d'intensité q, le diagramme évolue le long d'une parabole quadratique dont la convexité est dirigée vers la charge. Sous le moment concentré, il y a un saut de 60 kN·m, c'est-à-dire de la valeur du moment lui-même. Dans la section 7 du diagramme, il y a un extremum, puisque le diagramme de la force de cisaillement pour cette section passe par la valeur zéro (). Déterminons la distance de la section 7 au support gauche.
Avec la flexion pure et droite d'une poutre, seules des contraintes normales apparaissent dans ses sections transversales. Lorsque l'amplitude du moment de flexion M dans la section de la tige est inférieure à une certaine valeur, le diagramme caractérisant la répartition des contraintes normales le long de l'axe y de la section transversale perpendiculaire à l'axe neutre (Fig. 11.17, a) a la forme montrée sur la Fig. 11.17, b. Les contraintes les plus élevées sont égales à mesure que le moment de flexion M augmente, les contraintes normales augmentent jusqu'à ce que leurs valeurs les plus élevées (dans les fibres les plus éloignées de l'axe neutre) deviennent égales à la limite d'élasticité (Fig. 11.17, c) ; dans ce cas le moment fléchissant est égal à la valeur dangereuse :
Lorsque le moment de flexion augmente au-delà valeur dangereuse des contraintes égales à la limite d'élasticité surviennent non seulement dans les fibres les plus éloignées de l'axe neutre, mais également dans une certaine zone de section transversale (Fig. 11.17, d) ; dans cette zone le matériau est dans un état plastique. Dans la partie médiane de la section, la contrainte est inférieure à la limite d'élasticité, c'est-à-dire que le matériau de cette partie est encore dans un état élastique.
Avec une nouvelle augmentation du moment fléchissant, la zone plastique s'étend vers l'axe neutre et les dimensions de la zone élastique diminuent.
A une certaine valeur limite du moment de flexion correspondant à un épuisement complet capacité portante section transversale de la tige à plier, la zone élastique disparaît et la zone de l'état plastique occupe toute la surface de la section transversale (Fig. 11.17, e). Dans ce cas, une charnière dite plastique (ou charnière élastique) est formée dans la section.
Contrairement à une charnière idéale, qui ne perçoit pas de moment, un moment constant agit dans une charnière plastique. La charnière plastique est unilatérale : elle disparaît lorsque des moments de signe opposé (par rapport à ) agissent sur la tige ou lorsque la poutre. est déchargé.
Pour déterminer la valeur du moment fléchissant limite, on sélectionne dans la partie de la section transversale de la poutre située au dessus de l'axe neutre, une zone élémentaire située à distance de l'axe neutre, et dans la partie située sous l'axe neutre, une zone située à distance de l'axe neutre (Fig. 11.17, une ).
Force normale élémentaire agissant sur la zone à état limite, est égal et son moment par rapport à l'axe neutre est égal, de même le moment de la force normale agissant sur la plate-forme est égal. Ces deux moments ont les mêmes signes. La grandeur du moment limite est égale au moment de toutes les forces élémentaires par rapport à l'axe neutre :
où sont les moments statiques du haut et du parties inférieures section transversale par rapport à l’axe neutre.
La quantité est appelée moment de résistance plastique axial et est notée
(10.17)
Ainsi,
(11.17)
La force longitudinale dans la section transversale lors de la flexion est nulle, et donc l'aire de la zone comprimée de la section est égale à l'aire de la zone étirée. Ainsi, l'axe neutre dans la section coïncidant avec la charnière plastique divise cette section transversale en deux parties égales. Par conséquent, avec une section asymétrique, l'axe neutre ne passe pas par le centre de gravité de la section à l'état limite.
A l'aide de la formule (11.17), on détermine la valeur du moment limite pour la tige section rectangulaire hauteur h et largeur b :
La valeur dangereuse du moment à laquelle le diagramme de contrainte normale a la forme montrée sur la Fig. 11.17, c, pour une section rectangulaire est déterminé par la formule
Attitude
Pour une section circulaire, le rapport a pour une poutre en I
Si la poutre de flexion est statiquement déterminée, alors après avoir supprimé la charge qui a provoqué le moment dans celle-ci, le moment de flexion dans sa section transversale est égal à zéro. Malgré cela, les contraintes normales dans la section transversale ne disparaissent pas. Le diagramme des contraintes normales au stade plastique (Fig. 11.17, e) est superposé au diagramme des contraintes au stade élastique (Fig. 11.17, f), similaire au diagramme présenté sur la Fig. 11.17, b, puisque lors du déchargement (qui peut être considéré comme une charge avec un moment de signe opposé), le matériau se comporte comme élastique.
Moment de flexion M correspondant au diagramme de contraintes représenté sur la Fig. 11.17, e, po valeur absolue est égal puisque seulement dans cette condition dans la section transversale de la poutre due à l'action du moment et M le moment total est égal à zéro. La tension la plus élevée sur le diagramme (Fig. 11.17, e) est déterminée à partir de l'expression
Résumant les diagrammes de contraintes présentés dans la Fig. 11.17, d, f, nous obtenons le diagramme montré sur la Fig. 11.17, w. Ce diagramme caractérise la répartition des contraintes après suppression de la charge qui a provoqué le moment. Avec un tel diagramme, le moment de flexion dans la section (ainsi que). force longitudinale) est égal à zéro.
La théorie présentée de la flexion au-delà de la limite élastique est utilisée non seulement dans le cas de flexion pure, mais aussi dans le cas flexion transversale, lorsque dans la section transversale de la poutre, en plus du moment de flexion, il existe également une force transversale.
Déterminons maintenant la valeur limite de la force P pour la poutre statiquement déterminée représentée sur la Fig. 12.17, une. Le diagramme des moments fléchissants de cette poutre est présenté sur la Fig. 12.17, b. Le moment de flexion le plus élevé se produit sous une charge où il est égal à L'état limite correspondant à l'épuisement complet de la capacité portante de la poutre est atteint lorsqu'une charnière plastique apparaît dans la section sous charge, de sorte que le la poutre se transforme en mécanisme (Fig. 12.17, c).
Dans ce cas, le moment de flexion dans la section sous charge est égal à
De la condition, nous trouvons [voir. formule (11.17)]
Calculons maintenant la charge ultime pour une poutre statiquement indéterminée. Considérons à titre d'exemple une poutre doublement statiquement indéterminée de section constante représentée sur la Fig. 13.17, une. L'extrémité gauche A de la poutre est rigidement serrée et l'extrémité droite B est sécurisée contre la rotation et le déplacement vertical.
Si les contraintes dans la poutre ne dépassent pas la limite de proportionnalité, alors le diagramme des moments fléchissants a la forme illustrée à la Fig. 13.17, b. Il est construit sur la base des résultats de calculs de poutres utilisant des méthodes conventionnelles, par exemple en utilisant des équations à trois moments. Le moment de flexion le plus important se produit dans la section de support gauche de la poutre considérée. A une valeur de charge, le moment de flexion dans cette section atteint une valeur dangereuse provoquant l'apparition de contraintes égales à la limite d'élasticité dans les fibres de la poutre les plus éloignées de l'axe neutre.
Une augmentation de la charge au-dessus de la valeur spécifiée conduit au fait que dans la section de support gauche A, le moment de flexion devient égal à la valeur limite et qu'une charnière en plastique apparaît dans cette section. Cependant, la capacité portante de la poutre n’est pas encore complètement épuisée.
Avec une nouvelle augmentation de la charge jusqu'à une certaine valeur, des charnières en plastique apparaissent également dans les sections B et C. Du fait de l'apparition de trois charnières, la poutre, initialement deux fois statiquement indéterminée, devient géométriquement variable (se transforme en mécanisme). Cet état de la poutre considérée (lorsque trois charnières plastiques y apparaissent) est limitant et correspond à l'épuisement complet de sa capacité portante ; une augmentation supplémentaire de la charge P devient impossible.
L'ampleur de la charge ultime peut être établie sans étudier le fonctionnement de la poutre au stade élastique et sans déterminer la séquence de formation des charnières plastiques.
Valeurs des moments fléchissants dans les sections. A, B et C (dans lesquels apparaissent les charnières plastiques) à l'état limite sont respectivement égaux et, par conséquent, le diagramme des moments fléchissants à l'état limite de la poutre a la forme représentée sur la Fig. 13h17, à. Ce diagramme peut être représenté comme étant constitué de deux diagrammes : le premier d'entre eux (Fig. 13.17, d) est un rectangle d'ordonnées et est provoqué par les moments appliqués aux extrémités d'une poutre simple reposant sur deux supports (Fig. 13.17, e ); le deuxième diagramme (Fig. 13.17, f) est un triangle avec la plus grande ordonnée et est provoqué par une charge agissant sur une poutre simple (Fig. 13.17, g.
On sait que la force P agissant sur une poutre simple provoque un moment de flexion dans la section sous charge où a et sont les distances de la charge aux extrémités de la poutre. Dans le cas considéré (fig.
Et donc le moment sous charge
Mais ce moment, comme le montre (Fig. 13.17, e), est égal à
De la même manière, les charges maximales sont établies pour chaque travée d'une poutre à travées multiples statiquement indéterminée. À titre d’exemple, considérons une poutre quadruple statiquement indéterminée de section constante illustrée à la Fig. 14.17, une.
A l'état limite, correspondant à l'épuisement complet de la capacité portante de la poutre dans chacune de ses travées, le diagramme des moments fléchissants a la forme représentée sur la Fig. 14.17, b. Ce schéma peut être considéré comme constitué de deux schémas, construits en supposant que chaque travée est une poutre simple reposant sur deux supports : un schéma (Fig. 14.17, c), provoqué par les moments agissant dans les charnières plastiques de support, et le deuxièmement (Fig. 14.17, d), provoqué par les charges extrêmes appliquées dans les travées.
De la fig. 14.17, nous installons :
Dans ces expressions
La valeur obtenue de la charge maximale pour chaque travée de la poutre ne dépend pas de la nature et de l'ampleur des charges dans les travées restantes.
De l'exemple analysé, il ressort clairement que le calcul d'une poutre statiquement indéterminée en termes de capacité portante s'avère plus simple que le calcul en termes d'étage élastique.
Le calcul d'une poutre continue en fonction de sa capacité portante est effectué de manière quelque peu différente dans les cas où, outre la nature de la charge dans chaque travée, les relations entre les ampleurs des charges dans différentes travées sont également spécifiées. Dans ces cas, la charge maximale est considérée comme telle que la capacité portante de la poutre n'est pas épuisée dans toutes les travées, mais dans l'une de ses travées.
A titre d'exemple, déterminons la charge maximale pour la poutre à quatre travées déjà considérée (Fig. 14.17, a) avec la relation donnée suivante entre les charges : De cette relation il résulte qu'à l'état limite
En utilisant les expressions obtenues pour les charges maximales de chaque travée, on trouve :
Le calcul d'une poutre à plier « manuellement », à l'ancienne, vous permet d'apprendre l'un des algorithmes les plus importants, les plus beaux et clairement vérifiés mathématiquement dans la science de la résistance des matériaux. Utiliser de nombreux programmes comme « saisir les données initiales...
... – obtenez la réponse » permet à l'ingénieur moderne d'aujourd'hui de travailler beaucoup plus vite que ses prédécesseurs il y a cent, cinquante ou même vingt ans. Cependant, avec cela approche moderne l'ingénieur est obligé de faire entièrement confiance aux auteurs du programme et, avec le temps, cesse de « ressentir le sens physique » des calculs. Mais les auteurs du programme sont des personnes, et les gens ont tendance à faire des erreurs. Si ce n'était pas le cas, il n'y aurait pas de nombreux correctifs, versions, « correctifs » pour presque tous les logiciel. Il me semble donc que tout ingénieur devrait parfois pouvoir vérifier « manuellement » les résultats des calculs.
Une aide (aide-mémoire, mémo) pour calculer les poutres à plier est présentée ci-dessous dans la figure.
Essayons de l'utiliser en utilisant un exemple simple de tous les jours. Disons que j'ai décidé de faire une barre horizontale dans mon appartement. L'emplacement a été déterminé - un couloir d'un mètre vingt de large. Sur les murs opposés à la hauteur requise l'un en face de l'autre, je fixe solidement les supports auxquels la traverse sera fixée - une tige en acier St3 d'un diamètre extérieur de trente-deux millimètres. Cette poutre supportera-t-elle mon poids ainsi que les charges dynamiques supplémentaires qui surgiront pendant les exercices ?
Nous dessinons un schéma pour calculer la poutre à plier. Évidemment, le schéma le plus dangereux pour appliquer une charge externe sera lorsque je commencerai à me relever, en accrochant une main au milieu de la barre.
Donnée initiale:
F1 = 900 n – force agissant sur la poutre (mon poids) sans tenir compte de la dynamique
d = 32 mm – diamètre extérieur la tige à partir de laquelle la poutre est faite
E = 206 000 n/mm^2 - module d'élasticité du matériau de la poutre en acier St3
[σi] = 250 n/mm^2 - contraintes de flexion admissibles (limite d'élasticité) pour le matériau de poutre en acier St3
Conditions aux frontières :
Мx (0) = 0 n*m – moment au point z = 0 m (premier appui)
Mx (1,2) = 0 n*m – moment au point z = 1,2 m (deuxième support)
V (0) = 0 mm – flèche au point z = 0 m (premier appui)
V (1,2) = 0 mm – flèche au point z = 1,2 m (deuxième support)
Calcul:
1. Tout d'abord, calculons le moment d'inertie Ix et le moment résistant Wx de la section de poutre. Ils nous seront utiles dans d'autres calculs. Pour une section circulaire (qui est la section d’une tige) :
Ix = (π*d^4)/64 = (3,14*(32/10)^4)/64 = 5,147 cm^4
Wx = (π*d^3)/32 = ((3,14*(32/10)^3)/32) = 3,217 cm^3
2. On compose des équations d'équilibre pour calculer les réactions des supports R1 et R2 :
Qy = -R1+F1-R2 = 0
Mx (0) = F1*(0-b2) -R2*(0-b3) = 0
À partir de la deuxième équation : R2 = F1*b2/b3 = 900*0,6/1,2 = 450 n
De la première équation : R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 n
3. Trouvons l'angle de rotation de la poutre dans le premier support à z = 0 à partir de l'équation de déflexion pour la deuxième section :
V (1,2) = V (0)+U (0)*1,2+(-R1*((1,2-b1)^3)/6+F1*((1,2-b2)^3)/6)/
U (0) = (R1*((1.2-b1)^3)/6 -F1*((1.2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =
= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/
/(206000*5,147/100)/1,2 = 0,00764 rad = 0,44˚
4.
Nous composons des équations pour construire des diagrammes pour la première section (0 Force de cisaillement : Qy(z) = -R1 Moment de flexion : Mx (z) = -R1*(z-b1) Angle de rotation : Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix) Déflexion : Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6)/(E*Ix) z = 0 m : Qy(0) = -R1 = -450n Ux(0) = U(0) = 0,00764 rad Vy (0) = V (0) = 0 mm z = 0,6 m : Qy(0,6) = -R1 = -450n Mx (0,6) = -R1*(0,6-b1) = -450*(0,6-0) = -270 n*m Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 rad Vy (0,6) = V (0)+U (0)*0,6+(-R1*((0,6-b1)^3)/6)/(E*Ix) = 0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 m La poutre va se plier au centre de 3 mm sous le poids de mon corps. Je pense que c'est une déviation acceptable. 5.
Nous écrivons les équations du diagramme pour la deuxième section (b2 Force latérale : Qy (z) = -R1+F1 Moment de flexion : Mx (z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2) Angle de rotation : Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix) Déflexion : Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/( E*Ix) z = 1,2 m : Qy (1,2) = -R1+F1 = -450+900 = 450n Mx (1,2) = 0n*m Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E* ix) = 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/ /(206000*5,147/100) = -0,00764 rad Vy (1,2) = V (1,2) = 0m 6.
Nous construisons des diagrammes en utilisant les données obtenues ci-dessus. 7.
Nous calculons les contraintes de flexion dans la section la plus chargée - au milieu de la poutre et les comparons avec les contraintes admissibles : σi = Mx max/Wx = (270*1000)/(3,217*1000) = 84 n/mm^2 σi = 84 n/mm^2< [σи] = 250 н/мм^2 En termes de résistance à la flexion, le calcul a montré une marge de sécurité triple : la barre horizontale peut être fabriquée en toute sécurité à partir d'une tige existante d'un diamètre de trente-deux millimètres et d'une longueur de mille deux cents millimètres. Ainsi, vous pouvez désormais facilement calculer « manuellement » une poutre à plier et la comparer avec les résultats obtenus lors du calcul à l'aide de l'un des nombreux programmes présentés sur Internet. Je demande à CEUX QUI RESPECTENT le travail de l’auteur de S’ABONNER aux annonces d’articles.
88 commentaires sur "Calcul des poutres à plier - "manuellement"!" Nous commencerons par le cas le plus simple, celui que l’on appelle le virage pur. La flexion pure est un cas particulier de flexion dans lequel l'effort transversal dans les sections de la poutre est nul. La flexion pure ne peut se produire que lorsque le poids propre de la poutre est si faible que son influence peut être négligée. Pour les poutres sur deux appuis, exemples de charges provoquant des flexion, illustrée à la Fig. 88. Dans les sections de ces poutres, où Q = 0 et, par conséquent, M = const ; une flexion pure a lieu. Les forces dans n'importe quelle section de la poutre lors de la flexion pure sont réduites à une paire de forces dont le plan d'action passe par l'axe de la poutre et le moment est constant. Les tensions peuvent être déterminées sur la base des considérations suivantes. 1. Les composantes tangentielles des forces le long des zones élémentaires de la section transversale d'une poutre ne peuvent être réduites à un couple de forces dont le plan d'action est perpendiculaire au plan de section. Il s'ensuit que l'effort de flexion dans la section est le résultat d'une action le long des zones élémentaires uniquement les forces normales, et donc en flexion pure, les contraintes sont réduites uniquement à la normale. 2. Pour que les efforts sur les sites élémentaires soient réduits à seulement quelques forces, parmi elles il faut qu'il y ait à la fois du positif et du négatif. Par conséquent, les fibres de tension et de compression de la poutre doivent exister. 3. Du fait que les forces dans différentes sections sont les mêmes, les contraintes aux points correspondants des sections sont les mêmes. Considérons un élément proche de la surface (Fig. 89, a). Puisqu’aucune force n’est appliquée le long de son bord inférieur, qui coïncide avec la surface de la poutre, aucune contrainte n’est exercée sur celle-ci. Il n'y a donc aucune contrainte sur le bord supérieur de l'élément, car sinon l'élément ne serait pas en équilibre. En considérant l'élément qui lui est adjacent en hauteur (Fig. 89, b), on arrive à. La même conclusion, etc. Il s'ensuit qu'il n'y a aucune contrainte le long des bords horizontaux d'un élément. En considérant les éléments qui composent la couche horizontale, en commençant par l'élément proche de la surface de la poutre (Fig. 90), nous arrivons à la conclusion qu'il n'y a aucune contrainte le long des bords verticaux latéraux d'aucun élément. Ainsi, l'état de contrainte de tout élément (Fig. 91, a) et, à la limite, des fibres, doit être représenté comme le montre la Fig. 91,b, c'est-à-dire qu'il peut s'agir soit d'une traction axiale, soit d'une compression axiale. 4. En raison de la symétrie de l'application des forces externes, la section au milieu de la longueur de la poutre après déformation doit rester plate et normale à l'axe de la poutre (Fig. 92, a). Pour la même raison, les sections en quarts de longueur de la poutre restent également plates et normales à l'axe de la poutre (Fig. 92, b), à moins que les sections extrêmes de la poutre lors de la déformation restent plates et normales à l'axe de le rayon. Une conclusion similaire est valable pour les sections en huitièmes de la longueur de la poutre (Fig. 92, c), etc. Par conséquent, si pendant la flexion les sections extérieures de la poutre restent plates, alors pour toute section, il reste Il est juste de dire qu'après déformation, elle reste plate et normale à l'axe de la poutre incurvée. Mais dans ce cas, il est évident que le changement d'allongement des fibres de la poutre le long de sa hauteur doit se produire non seulement de manière continue, mais également de manière monotone. Si l'on appelle une couche un ensemble de fibres ayant les mêmes allongements, alors il résulte de ce qui a été dit que les fibres étirées et comprimées de la poutre doivent être situées sur les côtés opposés de la couche dans laquelle les allongements des fibres sont égaux. à zéro. On appellera neutres les fibres dont les allongements sont nuls ; une couche constituée de fibres neutres est une couche neutre ; la ligne d'intersection de la couche neutre avec le plan de section transversale du faisceau - la ligne neutre de cette section. Ensuite, sur la base du raisonnement précédent, on peut affirmer qu'avec la flexion pure d'une poutre, dans chaque section il y a une ligne neutre qui divise cette section en deux parties (zones) : une zone de fibres étirées (zone étirée) et une zone de fibres compressées (zone compressée). En conséquence, aux points de la zone étirée de la section, des contraintes de traction normales doivent agir, aux points de la zone comprimée - des contraintes de compression, et aux points de la ligne neutre les contraintes sont égales à zéro. Ainsi, en flexion pure d'une poutre de section constante : 1) seules les contraintes normales agissent par sections ; 2) la section entière peut être divisée en deux parties (zones) - étirées et comprimées ; la limite des zones est la ligne de section neutre, aux points de laquelle les contraintes normales sont égales à zéro ; 3) tout élément longitudinal de la poutre (à la limite, toute fibre) est soumis à une tension ou une compression axiale, de sorte que les fibres adjacentes n'interagissent pas entre elles ; 4) si les sections extrêmes de la poutre lors de la déformation restent plates et normales à l'axe, alors toutes ses sections transversales restent plates et normales à l'axe de la poutre courbe. Considérons un élément d'une poutre soumis à une flexion pure, en concluant avant déformation après déformation où p est le rayon de courbure de la fibre neutre. L’allongement absolu du segment AB est donc égal à et allongement relatif Puisque, selon la position (3), la fibre AB est soumise à une tension axiale, alors lors de la déformation élastique Cela montre que les contraintes normales le long de la hauteur de la poutre sont réparties selon une loi linéaire (Fig. 94). Puisque la force égale de toutes les forces sur toutes les sections élémentaires de la section doit être égale à zéro, alors d'où, en substituant la valeur de (5.8), on trouve Mais la dernière intégrale est un moment statique autour de l'axe Oy, perpendiculaire au plan d'action des forces de flexion. Du fait de son égalité à zéro, cet axe doit passer par le centre de gravité O de la section. Ainsi, la ligne de section neutre de la poutre est une droite y, perpendiculaire au plan d'action des forces de flexion. C'est ce qu'on appelle l'axe neutre de la section de la poutre. Il résulte ensuite de (5.8) que les contraintes en des points situés à la même distance de l'axe neutre sont les mêmes. Le cas de flexion pure, dans lequel les forces de flexion agissent dans un seul plan, provoquant une flexion uniquement dans ce plan, est une flexion pure plane. Si ledit plan passe par l'axe Oz, alors le moment des forces élémentaires par rapport à cet axe doit être égal à zéro, c'est-à-dire En substituant ici la valeur de σ de (5.8), nous trouvons L'intégrale du côté gauche de cette égalité, comme on le sait, est le moment d'inertie centrifuge de la section par rapport aux axes y et z, donc Les axes autour desquels le moment d'inertie centrifuge de la section est nul sont appelés axes principaux d'inertie de cette section. S'ils traversent en outre le centre de gravité de la section, ils peuvent alors être appelés les principaux axes centraux d'inertie de la section. Ainsi, en flexion pure à plat, la direction du plan d'action des efforts de flexion et l'axe neutre de la section sont les principaux axes centraux d'inertie de cette dernière. Autrement dit, pour obtenir une courbure plate et pure d'une poutre, une charge ne peut lui être appliquée arbitrairement : elle doit être réduite à des forces agissant dans un plan passant par l'un des principaux axes centraux d'inertie des sections de poutre ; dans ce cas, l'autre axe central principal d'inertie sera l'axe neutre de la section. Comme on le sait, dans le cas d'une section symétrique par rapport à un axe quelconque, l'axe de symétrie est l'un de ses principaux axes centraux d'inertie. Par conséquent, dans ce cas particulier on obtiendra certainement une flexion pure en appliquant des charges appropriées dans un plan passant par l'axe longitudinal de la poutre et l'axe de symétrie de sa section. Une droite perpendiculaire à l'axe de symétrie et passant par le centre de gravité de la section est l'axe neutre de cette section. Après avoir établi la position de l'axe neutre, il n'est pas difficile de trouver l'ampleur de la contrainte en tout point de la section. En effet, puisque la somme des moments des forces élémentaires par rapport à l'axe neutre yy doit être égale au moment fléchissant, alors d'où, en substituant la valeur de σ de (5.8), nous trouvons Puisque l'intégrale et de l’expression (5.8) on obtient Le produit EI Y est appelé rigidité en flexion de la poutre. Les contraintes de traction et de compression les plus grandes en valeur absolue agissent aux points de la section pour lesquels la valeur absolue de z est la plus grande, c'est-à-dire aux points les plus éloignés de l'axe neutre. Avec la notation Fig. 95 nous avons La valeur Jy/h1 est appelée moment de résistance de la section à la traction et est notée Wyr ; de même, Jy/h2 est appelé moment résistant de la section à la compression et désignent Wyc, donc et donc Si l'axe neutre est l'axe de symétrie de la section, alors h1 = h2 = h/2 et donc Wyp = Wyc, il n'y a donc pas besoin de les distinguer, et ils utilisent la même notation : appelant W y simplement le moment résistant de la section. Par conséquent, dans le cas d'une section symétrique par rapport à l'axe neutre, Toutes les conclusions ci-dessus ont été obtenues sur la base de l'hypothèse selon laquelle les sections transversales de la poutre, lorsqu'elle est courbée, restent plates et normales à son axe (hypothèse des sections plates). Comme cela a été montré, cette hypothèse n'est valable que dans le cas où les sections extrêmes (d'extrémité) de la poutre restent plates pendant la flexion. En revanche, de l'hypothèse des sections planes, il résulte que les forces élémentaires dans de telles sections doivent être réparties selon une loi linéaire. Par conséquent, pour la validité de la théorie résultante de flexion pure à plat, il est nécessaire que les moments de flexion aux extrémités de la poutre soient appliqués sous la forme d'efforts élémentaires répartis sur la hauteur de la section selon une loi linéaire (Fig. 96), coïncidant avec la loi de répartition des contraintes sur la hauteur des poutres profilées. Cependant, sur la base du principe de Saint-Venant, on peut affirmer que changer la méthode d'application des moments fléchissants aux extrémités de la poutre n'entraînera que des déformations locales dont l'influence n'affectera qu'une certaine distance de ces extrémités (approximativement égale à la hauteur de la section). Les sections situées sur le reste de la longueur de la poutre resteront plates. Par conséquent, la théorie énoncée de la flexion pure à plat pour toute méthode d'application des moments de flexion n'est valable que dans la partie médiane de la longueur de la poutre, située à partir de ses extrémités à des distances approximativement égales à la hauteur de la section. Il est donc clair que cette théorie est évidemment inapplicable si la hauteur de la section dépasse la moitié de la longueur ou de l'envergure de la poutre. Dans les sciences de l'ingénierie et du génie civil (résistance des matériaux, mécanique des structures, théorie de la résistance), une poutre est comprise comme un élément d'une structure porteuse qui est principalement sensible aux charges de flexion et présente diverses formes de section transversale. Bien entendu, dans la construction réelle, les structures de poutres sont également soumises à d'autres types de charges (charge de vent, vibrations, charges alternées), cependant, le calcul principal des poutres horizontales, multisupports et rigidement fixées est effectué sous l'action de l'un ou l'autre charge transversale ou équivalente qui lui est réduite. Le schéma de calcul considère la poutre comme une tige rigidement fixée ou comme une tige montée sur deux supports. S'il y a 3 supports ou plus, le système de tiges est considéré comme statiquement indéterminé et le calcul de la flèche de la structure entière et de ses éléments individuels devient beaucoup plus compliqué. Dans ce cas, la charge principale est considérée comme la somme des forces agissant dans la direction perpendiculaire à la section. Le but du calcul de la flèche est de déterminer la flèche (déformation) maximale qui ne doit pas dépasser les valeurs limites et caractérise la rigidité à la fois d'un élément individuel (et de l'ensemble de la structure du bâtiment qui lui est associée. Le calcul de la rigidité permet de résoudre la question des plus grandes déformations pouvant se produire dans la structure d'un bâtiment sous l'action complexe de différents types de charges. Les méthodes de calcul modernes, réalisées à l'aide de calculs spécialisés sur calculateurs électroniques, ou réalisées à l'aide d'une calculatrice, permettent de déterminer la rigidité et la résistance de l'objet de recherche. Malgré la formalisation des méthodes de calcul, qui impliquent l'utilisation de formules empiriques, et que l'effet des charges réelles est pris en compte en introduisant des facteurs de correction (facteurs de sécurité), un calcul complet évalue de manière assez complète et adéquate la fiabilité opérationnelle d'une structure construite ou un élément fabriqué d’une machine. Malgré la séparation des calculs de résistance et de la détermination de la rigidité structurelle, les deux méthodes sont interdépendantes et les concepts de « rigidité » et de « résistance » sont indissociables. Cependant, dans les pièces de machines, la principale destruction d'un objet se produit en raison d'une perte de résistance, tandis que les objets de mécanique structurelle sont souvent impropres à une utilisation ultérieure en raison de déformations plastiques importantes, qui indiquent une faible rigidité des éléments structurels ou de l'objet dans son ensemble. Aujourd'hui, dans les disciplines « Résistance des matériaux », « Mécanique des structures » et « Pièces de machines », deux méthodes de calcul de la résistance et de la rigidité sont acceptées : Formule pour déterminer la résistance à la flexion d'une poutre L'algorithme de calcul de la rigidité (détermination de l'ampleur de la flèche) est assez formalisé et n'est pas difficile à maîtriser. Afin de déterminer la déflexion de la poutre, il est nécessaire d'effectuer les étapes suivantes dans l'ordre ci-dessous : Pour établir un schéma de conception d'une poutre, il faut savoir : Dans le calcul le plus simple de poutres à deux supports, un support est considéré comme rigide et le second est articulé. Les caractéristiques géométriques nécessaires lors des calculs de résistance et de rigidité incluent le moment d'inertie de la section (J) et le moment de résistance (W). Pour calculer leurs valeurs, il existe des formules de calcul spéciales. Formule du module de section Lors de la détermination des moments d'inertie et de résistance, il faut faire attention à l'orientation de la section dans le plan de coupe. À mesure que le moment d'inertie augmente, la rigidité de la poutre augmente et la flèche diminue. Ceci peut être facilement vérifié dans la pratique en essayant de plier la planche dans sa position normale « couchée » et en la plaçant sur son bord. Formule pour déterminer la déviation Lors de la détermination de la charge maximale, il est nécessaire de prendre en compte un nombre assez important de facteurs agissant à la fois de manière constante (charges statiques) et périodiquement (vent, charge de choc vibratoire). Dans une maison à un étage, la poutre en bois du plafond sera soumise à des forces de poids constantes provenant de son propre poids, des cloisons situées au deuxième étage, des meubles, des occupants, etc. Bien entendu, le calcul de la flèche des éléments de plancher est effectué dans tous les cas et est obligatoire en présence d'un niveau important de charges externes. Aujourd'hui, tous les calculs de la valeur de flèche sont assez formalisés et toutes les charges réelles complexes sont réduites aux schémas de calcul simples suivants : Dans le même temps, la méthode de calcul et l'algorithme ne dépendent pas du matériau de fabrication, dont les caractéristiques de résistance sont prises en compte par différentes valeurs du module élastique. L’erreur la plus courante consiste généralement à sous-estimer les unités de mesure. Par exemple, les facteurs de force sont substitués dans les formules de calcul en kilogrammes, et la valeur du module d'élasticité est prise selon le système SI, où il n'y a pas de concept de « kilogramme de force », et toutes les forces sont mesurées en newtons ou kilonewtons. L'industrie de la construction moderne, lors de la construction de structures industrielles et résidentielles, utilise des systèmes de tiges de différentes sections, formes et longueurs, constitués de divers matériaux. Les produits les plus répandus sont les produits en acier et en bois. Selon le matériau utilisé, la détermination de la valeur de déflexion présente ses propres nuances liées à la structure et à l'uniformité du matériau. La construction moderne de faible hauteur de maisons individuelles et de chalets de campagne utilise largement des rondins de bois résineux et feuillus. Fondamentalement, les produits en bois qui fonctionnent en flexion sont utilisés pour aménager les sols et les plafonds. Ce sont ces éléments structurels qui subiront les charges latérales les plus importantes, provoquant la plus grande déflexion. La flèche d'une bûche de bois dépend : Le critère d'admissibilité de la déviation du faisceau prend en compte deux facteurs : Ils ont une section plus complexe, qui peut être composite, réalisée à partir de plusieurs types de métaux laminés. Lors du calcul des structures métalliques, en plus de déterminer la rigidité de l'objet lui-même et de ses éléments, il est souvent nécessaire de déterminer les caractéristiques de résistance des connexions. Généralement, la connexion des éléments individuels d'une structure en acier est effectuée :Articles avec des sujets similaires
Commentaires
Etat de contrainte d'une poutre en flexion pure
situé entre les sections m-m et n-n, qui sont espacées les unes des autres d'une distance infinitésimale dx (Fig. 93). En raison de la position (4) du paragraphe précédent, les sections m- m et n - n, qui étaient parallèles avant déformation, restant plates après pliage, formeront un angle dQ et se couperont selon une droite passant par le point C, qui est le centre de courbure de la fibre neutre NN. Alors la partie AB de la fibre enfermée entre elles, située à une distance z de la fibre neutre (la direction positive de l'axe z est prise vers la convexité de la poutre lors de la flexion), se transformera après déformation en un arc AB. morceau de fibre neutre O1O2, s'étant transformé en arc, O1O2 ne changera pas de longueur, tandis que la fibre AB recevra un allongement :
est. moment d'inertie de la section par rapport à l'axe yy, alors
Dispositions de base des méthodes de calcul
Les méthodes de construction modernes pour calculer la résistance et la rigidité des structures à tiges (poutres) permettent, dès la phase de conception, de déterminer la valeur de la flèche et de tirer une conclusion sur la possibilité d'exploiter la structure du bâtiment.Algorithme de calcul de rigidité
Détermination des moments d'inertie et de résistance de section
Détermination de la charge et de la flèche maximales
Caractéristiques des calculs de déflexion
Types de poutres utilisées dans la construction
En bois
Acier
