La solution consiste à trouver non. Le plus grand diviseur commun (PGCD) – Définition, exemples et propriétés

Pour apprendre à trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres ou plus, vous devez comprendre ce que sont les nombres naturels, premiers et complexes.

Un nombre naturel est un nombre utilisé pour compter des objets entiers.

Si un nombre naturel ne peut être divisé qu’en lui-même et en un, alors il est appelé premier.

Tous les nombres naturels peuvent être divisés par eux-mêmes et par un, mais le seul nombre premier pair est 2, tous les autres peuvent être divisés par deux. Seuls les nombres impairs peuvent donc être premiers.

Il y a beaucoup de nombres premiers liste complète ils n'existent pas. Pour trouver GCD, il est pratique d'utiliser des tableaux spéciaux avec de tels nombres.

Majorité nombres naturels peuvent être divisés non seulement par un, eux-mêmes, mais aussi par d'autres nombres. Ainsi, par exemple, le nombre 15 peut être divisé par 3 et 5. Tous sont appelés diviseurs du nombre 15.

Ainsi, le diviseur de tout A est le nombre par lequel il peut être divisé sans reste. Si un nombre possède plus de deux facteurs naturels, on l’appelle composé.

Le nombre 30 peut avoir des diviseurs tels que 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Vous remarquerez que 15 et 30 ont les mêmes diviseurs 1, 3, 5, 15. Le plus grand diviseur commun de ces deux nombres est 15.

Ainsi, le diviseur commun des nombres A et B est le nombre par lequel ils peuvent être entièrement divisés. Le plus grand peut être considéré comme le maximum nombre total, dans lequel ils peuvent être divisés.

Pour résoudre les problèmes, l'inscription abrégée suivante est utilisée :

PGCD (A ; B).

Par exemple, pgcd (15 ; 30) = 30.

Pour écrire tous les diviseurs d'un nombre naturel, utilisez la notation :

D (15) = (1, 3, 5, 15)

PGCD (9 ; 15) = 1

Dans cet exemple, les nombres naturels n’ont qu’un seul diviseur commun. On les appelle relativement premiers, l’unité étant donc leur plus grand diviseur commun.

Comment trouver le plus grand diviseur commun des nombres

Pour trouver le pgcd de plusieurs nombres, il vous faut :

Trouver tous les diviseurs de chaque nombre naturel séparément, c'est-à-dire les factoriser en facteurs (nombres premiers) ;

Sélectionnez tous les facteurs identiques de nombres donnés ;

Multipliez-les ensemble.

Par exemple, pour calculer le plus grand diviseur commun des nombres 30 et 56, vous écrivez ce qui suit :

Pour éviter toute confusion, il est pratique d’écrire les facteurs en colonnes verticales. Sur le côté gauche de la ligne, vous devez placer le dividende et sur le côté droit, le diviseur. Sous le dividende, vous devez indiquer le quotient résultant.

Ainsi, dans la colonne de droite, il y aura tous les facteurs nécessaires à la solution.

Les diviseurs identiques (facteurs trouvés) peuvent être soulignés pour plus de commodité. Ils doivent être réécrits et multipliés et le plus grand diviseur commun noté.

PGCD (30 ; 56) = 2 * 5 = 10

Voilà à quel point il est facile de trouver le plus grand commun diviseur des nombres. Si vous pratiquez un peu, vous pouvez le faire presque automatiquement.

Le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple sont des concepts arithmétiques clés qui vous permettent d'opérer sans effort. fractions ordinaires. LCM et sont le plus souvent utilisés pour trouver le dénominateur commun de plusieurs fractions.

Concepts de base

Le diviseur d'un entier X est un autre entier Y par lequel X est divisé sans laisser de reste. Par exemple, le diviseur de 4 est 2 et 36 est 4, 6, 9. Un multiple d'un entier X est un nombre Y divisible par X sans reste. Par exemple, 3 est un multiple de 15 et 6 est un multiple de 12.

Pour toute paire de nombres, nous pouvons trouver leurs diviseurs et multiples communs. Par exemple, pour 6 et 9, le commun multiple est 18 et le commun diviseur est 3. Évidemment, les paires peuvent avoir plusieurs diviseurs et multiples, donc les calculs utilisent le plus grand diviseur GCD et le plus petit multiple LCM.

Le plus petit diviseur n’a aucun sens puisque pour tout nombre, il vaut toujours un. Le plus grand multiple n’a également aucun sens, puisque la séquence des multiples va vers l’infini.

Trouver pgcd

Il existe de nombreuses méthodes pour trouver le plus grand diviseur commun, dont les plus connues sont :

• énumération séquentielle des diviseurs, sélection des diviseurs communs pour une paire et recherche du plus grand d'entre eux ;
• décomposition des nombres en facteurs indivisibles ;
• Algorithme euclidien ;
• algorithme binaire.

Aujourd'hui à établissements d'enseignement Les plus populaires sont les méthodes de factorisation première et l'algorithme euclidien. Ce dernier, à son tour, est utilisé lors de la résolution d'équations diophantiennes : la recherche de GCD est nécessaire pour vérifier la possibilité de résolution en nombres entiers de l'équation.

Trouver le CNO

Le multiple le plus petit commun est également déterminé par énumération séquentielle ou factorisation en facteurs indivisibles. De plus, il est facile de trouver le LCM si le plus grand diviseur a déjà été déterminé. Pour les nombres X et Y, le LCM et le GCD sont liés par la relation suivante :

LCD(X,Y) = X × Y / PGCD(X,Y).

Par exemple, si GCM(15,18) = 3, alors LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. L'exemple le plus évident d'utilisation de LCM consiste à trouver le dénominateur commun, qui est le plus petit commun multiple de fractions données.

Nombres premiers entre eux

Si une paire de nombres n’a pas de diviseur commun, alors une telle paire est appelée premier entre eux. Le pgcd de ces paires est toujours égal à un, et sur la base de la relation entre les diviseurs et les multiples, le pgcd des paires premières entre elles est égal à leur produit. Par exemple, les nombres 25 et 28 sont relativement premiers, car ils n'ont pas de diviseur commun, et LCM(25, 28) = 700, ce qui correspond à leur produit. Deux nombres indivisibles seront toujours premiers relativement.

Diviseur commun et calculateur multiple

À l'aide de notre calculatrice, vous pouvez calculer GCD et LCM pour un nombre arbitraire de nombres parmi lesquels choisir. Les tâches de calcul des diviseurs communs et des multiples se trouvent en arithmétique de 5e et 6e années, mais GCD et LCM sont des concepts clés en mathématiques et sont utilisés en théorie des nombres, en planimétrie et en algèbre communicative.

Exemples concrets

Dénominateur commun des fractions

Le plus petit commun multiple est utilisé pour trouver le dénominateur commun de plusieurs fractions. Disons que dans un problème arithmétique, vous devez additionner 5 fractions :

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Pour additionner des fractions, l'expression doit être réduite à dénominateur commun, ce qui se réduit au problème de trouver le LCM. Pour ce faire, sélectionnez 5 nombres dans la calculatrice et saisissez les valeurs des dénominateurs dans les cellules appropriées. Le programme calculera le LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Vous devez maintenant calculer des facteurs supplémentaires pour chaque fraction, qui sont définis comme le rapport du LCM au dénominateur. Les multiplicateurs supplémentaires ressembleraient donc à :

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Après cela, nous multiplions toutes les fractions par le facteur supplémentaire correspondant et obtenons :

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Nous pouvons facilement additionner ces fractions et obtenir le résultat 159/360. Nous réduisons la fraction de 3 et voyons la réponse finale - 53/120.

Résolution d'équations diophantiennes linéaires

Les équations diophantiennes linéaires sont des expressions de la forme ax + by = d. Si le rapport d / pgcd(a, b) est un nombre entier, alors l'équation peut être résolue en nombres entiers. Vérifions quelques équations pour voir si elles ont une solution entière. Vérifions d'abord l'équation 150x + 8y = 37. À l'aide d'une calculatrice, nous trouvons PGCD (150,8) = 2. Divisons 37/2 = 18,5. Le nombre n’est pas un nombre entier, donc l’équation n’a pas de racines entières.

Vérifions l'équation 1320x + 1760y = 10120. Utilisez une calculatrice pour trouver PGCD(1320, 1760) = 440. Divisons 10120/440 = 23. En conséquence, nous obtenons un nombre entier, par conséquent, l'équation diophantienne peut être résolue en coefficients entiers. .

Conclusion

GCD et LCM jouent un rôle important dans la théorie des nombres, et les concepts eux-mêmes sont largement utilisés dans la plupart des domaines. différents domaines mathématiques. Utilisez notre calculatrice pour calculer les plus grands diviseurs et les plus petits multiples d'un nombre quelconque de nombres.

Plus grand diviseur commun

Définition 2

Si un nombre naturel a est divisible par un nombre naturel $b$, alors $b$ est appelé un diviseur de $a$ et $a$ est appelé un multiple de $b$.

Soient $a$ et $b$ des nombres naturels. Le nombre $c$ est appelé le diviseur commun de $a$ et de $b$.

L'ensemble des diviseurs communs des nombres $a$ et $b$ est fini, puisqu'aucun de ces diviseurs ne peut être supérieur à $a$. Cela signifie que parmi ces diviseurs, il y en a un plus grand, qui est appelé le plus grand diviseur commun des nombres $a$ et $b$ et est noté par la notation suivante :

$PGCD\(a;b)\ ou \D\(a;b)$

Pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres, il vous faut :

1. Trouvez le produit des nombres trouvés à l’étape 2. Le nombre obtenu sera le plus grand diviseur commun souhaité.

Exemple 1

Trouvez le pgcd des nombres $121$ et $132.$

242$=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Choisissez les nombres qui sont inclus dans l'expansion de ces nombres

242$=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Trouvez le produit des nombres trouvés à l’étape 2. Le nombre obtenu sera le plus grand diviseur commun souhaité.

$PGCD=2\cdot 11=22$

Exemple 2

Trouvez le pgcd des monômes $63$ et $81$.

Nous trouverons selon l'algorithme présenté. Pour ce faire :

Factorisons les nombres en facteurs premiers

63$=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Nous sélectionnons les nombres qui sont inclus dans l'expansion de ces nombres

63$=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Trouvons le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus grand diviseur commun souhaité.

$PGCD=3\cdot 3=9$

Vous pouvez trouver le pgcd de deux nombres d’une autre manière, en utilisant un ensemble de diviseurs de nombres.

Exemple 3

Trouvez le pgcd des nombres 48$ et 60$.

Solution:

Trouvons l'ensemble des diviseurs du nombre $48$ : $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Trouvons maintenant l'ensemble des diviseurs du nombre $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Trouvons l'intersection de ces ensembles : $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - cet ensemble déterminera l'ensemble des diviseurs communs des nombres $48$ et $60 $. Le plus grand élément dans ensemble donné le numéro sera de 12$. Cela signifie que le plus grand diviseur commun des nombres 48$ et 60$ est 12$.

Définition du NPL

Définition 3

Multiples communs de nombres naturels$a$ et $b$ sont un nombre naturel qui est un multiple de $a$ et $b$.

Les multiples communs de nombres sont des nombres divisibles par les nombres d'origine sans reste. Par exemple, pour les nombres 25$ et 50$, les multiples communs seront les nombres 50,100,150,200$, etc.

Le plus petit commun multiple sera appelé plus petit commun multiple et sera noté LCM$(a;b)$ ou K$(a;b).$

Pour trouver le LCM de deux nombres, vous devez :

1. Factoriser les nombres en facteurs premiers
2. Notez les facteurs qui font partie du premier nombre et ajoutez-y les facteurs qui font partie du second et ne font pas partie du premier.

Exemple 4

Trouvez le LCM des nombres 99$ et 77$.

Nous trouverons selon l'algorithme présenté. Pour ça

Factoriser les nombres en facteurs premiers

99$=3\cdot 3\cdot 11$

Notez les facteurs inclus dans le premier

ajoutez-y des multiplicateurs qui font partie du second et ne font pas partie du premier

Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus petit commun multiple souhaité

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Compiler des listes de diviseurs de nombres est souvent une tâche très laborieuse. Il existe un moyen de trouver GCD appelé algorithme euclidien.

Énoncés sur lesquels est basé l'algorithme euclidien :

Si $a$ et $b$ sont des nombres naturels et $a\vdots b$, alors $D(a;b)=b$

Si $a$ et $b$ sont des nombres naturels tels que $b

En utilisant $D(a;b)= D(a-b;b)$, on peut réduire successivement les nombres considérés jusqu'à atteindre une paire de nombres telle que l'un d'eux soit divisible par l'autre. Ensuite, le plus petit de ces nombres sera le plus grand diviseur commun souhaité pour les nombres $a$ et $b$.

Propriétés de GCD et LCM

1. Tout multiple commun de $a$ et $b$ est divisible par K$(a;b)$
2. Si $a\vdots b$ , alors К$(a;b)=a$

Si K$(a;b)=k$ et $m$ est un nombre naturel, alors K$(am;bm)=km$

Si $d$ est un diviseur commun pour $a$ et $b$, alors K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Si $a\vdots c$ et $b\vdots c$ , alors $\frac(ab)(c)$ est le multiple commun de $a$ et $b$

Pour tout nombre naturel $a$ et $b$, l'égalité est vraie

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Tout diviseur commun des nombres $a$ et $b$ est un diviseur du nombre $D(a;b)$

Pour comprendre comment calculer le LCM, il faut d’abord déterminer la signification du terme « multiple ».

Un multiple de A est un nombre naturel divisible par A sans reste. Ainsi, les nombres multiples de 5 peuvent être considérés comme 15, 20, 25, etc.

Il peut y avoir un nombre limité de diviseurs d’un nombre particulier, mais il existe un nombre infini de multiples.

Un multiple commun de nombres naturels est un nombre qui est divisible par eux sans laisser de reste.

Comment trouver le plus petit commun multiple de nombres

Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres (deux, trois ou plus) est le plus petit nombre naturel divisible par tous ces nombres.

Pour trouver le LOC, vous pouvez utiliser plusieurs méthodes.

Pour les petits nombres, il est pratique d'écrire tous les multiples de ces nombres sur une ligne jusqu'à ce que vous trouviez quelque chose de commun entre eux. Les multiples sont désignés par la lettre majuscule K.

Par exemple, les multiples de 4 peuvent s’écrire ainsi :

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Ainsi, vous voyez que le plus petit commun multiple des nombres 4 et 6 est le nombre 24. Cette notation se fait comme suit :

LCM(4, 6) = 24

Si les nombres sont grands, trouvez le commun multiple de trois nombres ou plus, il est alors préférable d'utiliser une autre méthode de calcul du LCM.

Pour terminer la tâche, vous devez factoriser les nombres donnés en facteurs premiers.

Vous devez d'abord écrire la décomposition du plus grand nombre sur une ligne, et en dessous - le reste.

Dans le développement de chaque nombre, il peut y avoir quantité différente multiplicateurs.

Par exemple, factorisons les nombres 50 et 20 en facteurs premiers.

Dans l’expansion du plus petit nombre, il y a que souligner les facteurs qui sont absents dans l’expansion du premier. grand nombre, puis ajoutez-les-y. Dans l’exemple présenté, il manque un deux.

Vous pouvez maintenant calculer le plus petit commun multiple de 20 et 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Oui, le travail facteurs premiers le plus grand nombre et les facteurs du deuxième nombre qui n'ont pas été inclus dans le développement du plus grand nombre seront le plus petit commun multiple.

Pour trouver le LCM de trois nombres ou plus, vous devez tous les factoriser en facteurs premiers, comme dans le cas précédent.

A titre d'exemple, vous pouvez trouver le plus petit commun multiple des nombres 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Ainsi, seuls deux deux du développement de seize n'ont pas été inclus dans la factorisation d'un plus grand nombre (un est dans le développement de vingt-quatre).

Il faut donc les ajouter à l’expansion d’un plus grand nombre.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Il existe des cas particuliers pour déterminer le plus petit commun multiple. Ainsi, si l'un des nombres peut être divisé sans reste par un autre, alors le plus grand de ces nombres sera le plus petit commun multiple.

Par exemple, le LCM de douze et vingt-quatre est vingt-quatre.

Si vous avez besoin de trouver le plus petit commun multiple les uns des autres nombres premiers, qui n'ont pas de diviseurs identiques, alors leur LCM sera égal à leur produit.

Par exemple, LCM (10, 11) = 110.

De nombreux diviseurs

Considérons le problème suivant : trouver le diviseur du nombre 140. Évidemment, le nombre 140 n'a pas un diviseur, mais plusieurs. Dans de tels cas, on dit que le problème vient beaucoup décisions. Trouvons-les tous. Tout d’abord, prenons en compte ce nombre en facteurs simples :

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Nous pouvons maintenant facilement écrire tous les diviseurs. Commençons par les facteurs premiers, c'est-à-dire ceux qui sont présents dans le développement donné ci-dessus :

Ensuite, nous notons ceux qui sont obtenus par multiplication par paires de diviseurs premiers :

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Ensuite - ceux qui contiennent trois diviseurs premiers :

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Enfin, n’oublions pas l’unité et le nombre décomposé lui-même :

Tous les diviseurs que nous avons trouvés forment beaucoup diviseurs du nombre 140, qui s'écrit entre accolades :

Ensemble de diviseurs du nombre 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Pour faciliter la perception, nous avons noté ici les diviseurs ( éléments de l'ensemble) par ordre croissant, mais, en général, cela n'est pas nécessaire. De plus, nous introduisons une abréviation de notation. Au lieu de « Ensemble des diviseurs du nombre 140 » nous écrirons « D(140) ». Ainsi,

De la même manière, vous pouvez trouver l’ensemble des diviseurs de tout autre nombre naturel. Par exemple, à partir de la décomposition

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

on obtient :

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

De l'ensemble de tous les diviseurs, il faut distinguer l'ensemble des diviseurs simples, qui pour les nombres 140 et 105 sont respectivement égaux :

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Il faut surtout souligner que dans la décomposition du nombre 140 en facteurs premiers, les deux apparaissent deux fois, alors que dans l'ensemble PD(140) il n'y en a qu'un. L’ensemble de PD(140) est, en substance, toutes les réponses au problème : « Trouver le facteur premier du nombre 140 ». Il est clair que la même réponse ne doit pas être répétée plus d’une fois.

Réduire les fractions. Plus grand diviseur commun

Considérons la fraction

On sait que cette fraction peut être réduite d'un nombre qui est à la fois diviseur du numérateur (105) et diviseur du dénominateur (140). Regardons les ensembles D(105) et D(140) et notons-les éléments communs.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105) ;

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Éléments communs aux ensembles D(105) et D(140) =

La dernière égalité peut s'écrire plus brièvement, à savoir :

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Ici l'icône spéciale «∩» («sac avec le trou vers le bas») indique celle des deux ensembles écrits selon différents côtésà partir de là, vous devez sélectionner uniquement les éléments communs. L’entrée « D(105) ∩ D(140) » se lit comme suit : « intersection ensembles de De de 105 et De de 140. »

[Notez en cours de route que vous pouvez effectuer diverses opérations binaires avec des ensembles, presque comme avec des nombres. Une autre opération binaire courante est association, qui est indiqué par l'icône « ∪ » (« sac avec le trou vers le haut »). L'union de deux ensembles comprend tous les éléments des deux ensembles :

PD(105) = (3, 5, 7) ;

PD(140) = (2, 5, 7) ;

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Nous avons donc découvert que la fraction

peut être réduit par l'un des nombres appartenant à l'ensemble

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

et ne peut être réduit par aucun autre nombre naturel. C'est tout moyens possibles abréviations (sauf l'abréviation inintéressante par un) :

Évidemment, il est plus pratique de réduire la fraction d’un nombre aussi grand que possible. DANS dans ce cas c'est le numéro 35, qu'ils disent être plus grand diviseur commun (PGCD) numéros 105 et 140. Ceci s’écrit

PGCD(105, 140) = 35.

Cependant, en pratique, si l’on nous donne deux nombres et que nous devons trouver leur plus grand diviseur commun, nous ne devrions construire aucun ensemble. Il suffit simplement de décomposer les deux nombres en facteurs premiers et de mettre en évidence ceux de ces facteurs qui sont communs aux deux décompositions, par exemple :

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

En multipliant les nombres soulignés (dans n'importe laquelle des extensions), nous obtenons :

pgcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Bien entendu, il est possible qu’il y ait plus de deux facteurs soulignés :

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

De là il ressort clairement que

pgcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

La situation mérite une mention particulière lorsqu'il n'y a aucun facteur commun et qu'il n'y a rien à souligner, par exemple :

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Dans ce cas,

PGCD(42, 55) = 1.

Deux nombres naturels pour lesquels GCD est égal à un sont appelés mutuellement premier. Si vous faites une fraction à partir de ces nombres, par exemple,

alors une telle fraction est irréductible.

D'une manière générale, la règle de réduction des fractions peut s'écrire comme suit :

Ici, on suppose que un Et b sont des nombres naturels et la fraction entière est positive. Si nous ajoutons maintenant un signe moins aux deux côtés de cette égalité, nous obtenons la règle correspondante pour les fractions négatives.

Additionner et soustraire des fractions. Le plus petit commun multiple

Supposons que vous deviez calculer la somme de deux fractions :

Nous savons déjà comment les dénominateurs sont pris en compte dans les facteurs premiers :

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

De cette décomposition il résulte immédiatement que, pour ramener les fractions à un dénominateur commun, il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 2 ∙ 2 (le produit des facteurs premiers non accentués du deuxième dénominateur), et le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par 3 (« produit » facteurs premiers non accentués du premier dénominateur). En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au nombre, qui peut être représenté comme suit :

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Il est facile de voir que les deux dénominateurs initiaux (105 et 140) sont des diviseurs du nombre 420, et que le nombre 420, à son tour, est un multiple des deux dénominateurs - et pas seulement un multiple, c'est multiple le moins commun (CNP) les numéros 105 et 140. Il s'écrit ainsi :

LCM(105, 140) = 420.

En regardant de plus près la décomposition des nombres 105 et 140, on voit que

105 ∙ 140 = PGCD(105, 140) ∙ PGCD(105, 140).

De même, pour les nombres naturels arbitraires b Et d:

b ∙ d= LOC( b, d) ∙ PGCD( b, d).

Complétons maintenant la sommation de nos fractions :