Résoudre les inégalités exponentielles. Équations exponentielles et inégalités

Dans cette leçon, nous examinerons diverses inégalités exponentielles et apprendrons comment les résoudre, en nous basant sur la technique de résolution des inégalités les plus simples. inégalités exponentielles

1. Définition et propriétés d'une fonction exponentielle

Rappelons la définition et les propriétés de base de la fonction exponentielle. La solution de toutes les équations et inégalités exponentielles est basée sur ces propriétés.

Fonction exponentielle est une fonction de la forme , où la base est le degré et Ici x est la variable indépendante, argument ; y est la variable dépendante, fonction.

Riz. 1. Graphique de la fonction exponentielle

Le graphique montre des exposants croissants et décroissants, illustrant la fonction exponentielle avec une base supérieure à un et inférieure à un mais supérieure à zéro, respectivement.

Les deux courbes passent par le point (0;1)

Propriétés de la fonction exponentielle:

Domaine: ;

Plage de valeurs : ;

La fonction est monotone, augmente avec, diminue avec.

Une fonction monotone prend chacune de ses valeurs étant donné une seule valeur d'argument.

Lorsque , lorsque l'argument augmente de moins à plus l'infini, la fonction augmente de zéro inclus à plus l'infini, c'est-à-dire que pour des valeurs données de l'argument, nous avons une fonction croissante de manière monotone (). Au contraire, lorsque l'argument augmente de moins à plus l'infini, la fonction diminue de l'infini à zéro inclus, c'est-à-dire que pour des valeurs données de l'argument, nous avons une fonction décroissante de manière monotone ().

2. Les inégalités exponentielles les plus simples, méthode de solution, exemple

Sur la base de ce qui précède, nous présentons une méthode pour résoudre des inégalités exponentielles simples :

Technique de résolution des inégalités :

Égaliser les bases des diplômes ;

Comparez les métriques en enregistrant ou en modifiant signe opposé inégalités.

La solution aux inégalités exponentielles complexes consiste généralement à les réduire aux inégalités exponentielles les plus simples.

La base du degré est supérieure à un, ce qui signifie que le signe d'inégalité est conservé :

Transformons le membre de droite en fonction des propriétés du degré :

La base du degré est inférieure à un, le signe de l'inégalité doit être inversé :

Pour résoudre l’inégalité quadratique, nous résolvons l’équation quadratique correspondante :

En utilisant le théorème de Vieta, nous trouvons les racines :

Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.

Nous avons donc une solution à l'inégalité :

Il est facile de deviner que le côté droit peut être représenté comme une puissance avec un exposant nul :

La base du degré est supérieure à un, le signe de l'inégalité ne change pas, on obtient :

Rappelons la technique pour résoudre de telles inégalités.

Considérons la fonction fractionnaire-rationnelle :

On retrouve le domaine de définition :

Trouver les racines de la fonction :

La fonction a une seule racine,

On sélectionne des intervalles de signe constant et on détermine les signes de la fonction sur chaque intervalle :

Riz. 2. Intervalles de constance du signe

Ainsi, nous avons reçu la réponse.

Répondre:

3. Résoudre les inégalités exponentielles standards

Considérons des inégalités avec les mêmes indicateurs, mais des bases différentes.

L'une des propriétés de la fonction exponentielle est qu'elle prend des valeurs strictement positives pour toute valeur de l'argument, ce qui signifie qu'elle peut être divisée en fonction exponentielle. Divisons l'inégalité donnée par son côté droit :

La base du degré est supérieure à un, le signe d'inégalité est conservé.

Illustrons la solution :

La figure 6.3 montre des graphiques des fonctions et . Evidemment, lorsque l'argument est supérieur à zéro, le graphique de la fonction est plus haut, cette fonction est plus grande. Lorsque les valeurs des arguments sont négatives, la fonction descend, elle est plus petite. Lorsque l'argument est égal, les fonctions sont égales, ce qui signifie point donné est aussi une solution à l’inégalité donnée.

Riz. 3. Illustration par exemple 4

Transformons l'inégalité donnée selon les propriétés du degré :

Voici quelques termes similaires :

Divisons les deux parties en :

Maintenant, nous continuons à résoudre de la même manière que l'exemple 4, divisons les deux parties par :

La base du degré est supérieure à un, le signe d'inégalité reste :

4. Solution graphique des inégalités exponentielles

Exemple 6 - Résoudre graphiquement l'inégalité :

Examinons les fonctions des côtés gauche et droit et construisons un graphique pour chacune d'elles.

La fonction est exponentielle et augmente sur tout son domaine de définition, c'est-à-dire pour toutes les valeurs réelles de l'argument.

La fonction est linéaire et décroissante sur tout son domaine de définition, c'est-à-dire pour toutes les valeurs réelles de l'argument.

Si ces fonctions se croisent, c'est-à-dire que le système a une solution, alors une telle solution est unique et peut être facilement devinée. Pour ce faire, nous parcourons des entiers ()

Il est facile de voir que la racine de ce système est :

Ainsi, les graphiques des fonctions se coupent en un point avec un argument égal à un.

Nous devons maintenant obtenir une réponse. La signification de l'inégalité donnée est que l'exposant doit être supérieur ou égal à fonction linéaire, c'est-à-dire être supérieur ou coïncider avec lui. La réponse est évidente : (Figure 6.4)

Riz. 4. Illustration par exemple 6

Nous avons donc cherché à résoudre diverses inégalités exponentielles standards. Nous passons ensuite à l’examen d’inégalités exponentielles plus complexes.

Bibliographie

Mordkovich A. G. Algèbre et principes analyse mathematique. - M. : Mnémosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. L'algèbre et les débuts de l'analyse mathématique. - M. : Outarde. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. et al. L'algèbre et les débuts de l'analyse mathématique. - M. : Lumières.

Mathématiques. Maryland. Mathématiques-répétition. com. Diffur. kemsu. ru.

Devoirs

1. Algèbre et débuts de l'analyse, 10e et 11e années (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, n° 472, 473 ;

2. Résolvez l’inégalité :

3. Résolvez l’inégalité.

et x = b est l'équation exponentielle la plus simple. En lui un supérieur à zéro et UN n'est pas égal à un.

Résoudre des équations exponentielles

D'après les propriétés de la fonction exponentielle, nous savons que sa plage de valeurs est limitée aux nombres réels positifs. Alors si b = 0, l’équation n’a pas de solution. La même situation se produit dans l'équation où b

Supposons maintenant que b>0. Si dans la fonction exponentielle la base un est supérieur à l'unité, alors la fonction sera croissante sur tout le domaine de définition. Si dans la fonction exponentielle pour la base UN la condition suivante est remplie 0

Sur cette base et en appliquant le théorème racine, nous trouvons que l'équation a x = b a une seule racine, pour b>0 et positif un pas égal à un. Pour le trouver, vous devez représenter b comme b = a c.
Il est alors évident que Avec sera une solution à l'équation a x = a c .

Considérons exemple suivant: résoudre l'équation 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25.

Imaginons 25 comme 5 2, nous obtenons :

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

Ou ce qui est équivalent :

x2 - 2*x - 1 = 2.

Nous résolvons l’équation quadratique résultante par l’un des méthodes connues. On obtient deux racines x = 3 et x = -1.

Réponse : 3;-1.

Résolvons l'équation 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Faisons le remplacement : t=2 x et obtenons l'équation quadratique suivante :

t 2 - 5*t + 4 = 0.
Nous résolvons cette équation en utilisant l'une des méthodes connues. On obtient les racines t1 = 1 t2 = 4

Nous résolvons maintenant les équations 2 x = 1 et 2 x = 4.

Réponse : 0 ; 2.

Résoudre les inégalités exponentielles

La solution aux inégalités exponentielles les plus simples repose également sur les propriétés des fonctions croissantes et décroissantes. Si dans une fonction exponentielle la base a est supérieure à un, alors la fonction sera croissante sur tout le domaine de définition. Si dans la fonction exponentielle pour la base UN la condition suivante est remplie 0, alors cette fonction sera décroissante sur l'ensemble des nombres réels.