Résoudre des inégalités avec des logarithmes en ligne. Tout sur les inégalités logarithmiques. Exemples d'analyse

17.10.2019

Collecte et utilisation des informations personnelles

Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier ou contacter une personne spécifique.

Vous pouvez être invité à fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.

Voici quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations.

Quelles informations personnelles nous collectons :

Lorsque vous soumettez une candidature sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, notamment votre nom, votre numéro de téléphone, votre adresse e-mail, etc.

Comment utilisons-nous vos informations personnelles:

Les informations personnelles que nous collectons nous permettent de vous contacter et de vous informer des offres uniques, promotions et autres événements et événements à venir.
De temps à autre, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour vous envoyer des avis et des messages importants.
Nous pouvons également utiliser des informations personnelles à des fins internes, telles que la réalisation d'audits, l'analyse de données et diverses recherches afin d'améliorer les services que nous fournissons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
Si vous participez à un tirage au sort, à un concours ou à une incitation similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.

Divulgation à des tiers

Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.

Exceptions:

Dans le cas où il est nécessaire - conformément à la loi, à l'ordre judiciaire, dans le cadre de procédures judiciaires et / ou sur la base de demandes publiques ou de demandes d'organismes publics sur le territoire de la Fédération de Russie - de divulguer vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée pour des raisons de sécurité, d'application de la loi ou d'autres raisons d'intérêt public.
En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.

Protection des informations personnelles

Nous prenons des précautions - y compris administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.

Maintenir votre vie privée au niveau de l'entreprise

Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les pratiques de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.

Définition du logarithme La façon la plus simple de l'écrire mathématiquement est la suivante :

La définition du logarithme peut s'écrire d'une autre manière :

Faites attention aux restrictions imposées sur la base du logarithme ( un) et sur l'expression sous-logarithmique ( X). À l'avenir, ces conditions deviendront des restrictions importantes pour l'ODZ, qui devront être prises en compte lors de la résolution de toute équation avec des logarithmes. Ainsi, désormais, en plus des conditions standard conduisant à des restrictions sur l'ODZ (positivité des expressions sous des racines de degrés pairs, non-égalité du dénominateur à zéro, etc.), il faut également prendre en compte les conditions suivantes :

L'expression sous-logarithmique ne peut être que positive.
La base du logarithme ne peut être que positive et non égale à un..

Notez que ni la base du logarithme ni l'expression sous-logarithmique ne peuvent être égales à zéro. Notez également que la valeur du logarithme lui-même peut prendre toutes les valeurs possibles, c'est-à-dire le logarithme peut être positif, négatif ou nul. Les logarithmes ont tellement de propriétés différentes qui découlent des propriétés des puissances et de la définition d'un logarithme. Listons-les. Ainsi, les propriétés des logarithmes :

Le logarithme du produit :

Logarithme des fractions :

En retirant le degré du signe du logarithme :

Portez une attention particulière à celles des dernières propriétés répertoriées dans lesquelles le signe du module apparaît après l'énoncé du degré. N'oubliez pas que lorsque vous prenez un degré pair au-delà du signe du logarithme, sous le logarithme ou à la base, vous devez laisser le signe du module.

Autres propriétés utiles des logarithmes :

Cette dernière propriété est très souvent utilisée dans les équations et inégalités logarithmiques complexes. Il faut s'en souvenir comme de tout le monde, même s'il est souvent oublié.

Les équations logarithmiques les plus simples sont :

Et leur solution est donnée par une formule qui découle directement de la définition du logarithme :

Les autres équations logarithmiques les plus simples sont celles qui, en utilisant des transformations algébriques et les formules et propriétés ci-dessus des logarithmes, peuvent être réduites à la forme :

La solution de ces équations, compte tenu de l'ODZ, est la suivante :

Quelques autres équations logarithmiques avec une variable dans la base peut se résumer ainsi :

Dans de telles équations logarithmiques, la forme générale de la solution découle également directement de la définition du logarithme. Seulement dans ce cas, il existe des restrictions supplémentaires pour le DHS qui doivent être prises en compte. Par conséquent, pour résoudre une équation logarithmique avec une variable dans la base, vous devez résoudre le système suivant :

Lors de la résolution d'équations logarithmiques plus complexes qui ne peuvent pas être réduites à l'une des équations ci-dessus, il est également activement utilisé méthode de changement de variable. Comme d'habitude, lors de l'application de cette méthode, il faut se rappeler qu'après l'introduction du remplacement, l'équation doit être simplifiée et ne plus contenir l'ancienne inconnue. Vous devez également vous rappeler d'effectuer la substitution inverse des variables.

Parfois, lors de la résolution d'équations logarithmiques, il faut aussi utiliser méthode graphique. Cette méthode consiste à construire le plus précisément possible sur un même plan de coordonnées les graphes des fonctions qui se trouvent à gauche et à droite de l'équation, puis à trouver les coordonnées de leurs points d'intersection selon le dessin. Les racines ainsi obtenues doivent être vérifiées par substitution dans l'équation originale.

Lors de la résolution d'équations logarithmiques, il est souvent aussi utile méthode de regroupement. Lors de l'utilisation de cette méthode, l'essentiel à retenir est que : pour que le produit de plusieurs facteurs soit égal à zéro, il faut qu'au moins l'un d'entre eux soit égal à zéro, et le reste existait. Lorsque les facteurs sont des logarithmes ou des parenthèses avec des logarithmes, et pas seulement des parenthèses avec des variables comme dans les équations rationnelles, de nombreuses erreurs peuvent se produire. Étant donné que les logarithmes ont de nombreuses restrictions sur la zone où ils existent.

Au moment de décider systèmes d'équations logarithmiques le plus souvent, vous devez utiliser soit la méthode de substitution, soit la méthode de substitution de variable. S'il existe une telle possibilité, alors lors de la résolution de systèmes d'équations logarithmiques, il faut s'efforcer de s'assurer que chacune des équations du système est individuellement réduite à une forme telle qu'il sera possible de faire la transition d'une équation logarithmique à un rationnel.

Les inégalités logarithmiques les plus simples sont résolues de la même manière que des équations similaires. Tout d'abord, à l'aide de transformations algébriques et des propriétés des logarithmes, il faut essayer de les amener à une forme où les logarithmes des côtés gauche et droit de l'inégalité auront les mêmes bases, c'est-à-dire obtenir une inégalité de la forme :

Après cela, il faut passer à une inégalité rationnelle, étant donné que cette transition doit s'effectuer de la manière suivante : si la base du logarithme est supérieure à un, alors le signe de l'inégalité n'a pas besoin d'être modifié, et si la base du logarithme est inférieur à un, alors vous devez changer le signe d'inégalité à l'opposé (cela signifie changer "moins" en "plus grand" ou vice versa). Dans le même temps, les signes moins à plus, en contournant les règles précédemment étudiées, n'ont besoin d'être modifiés nulle part. Écrivons mathématiquement ce que nous obtenons à la suite d'une telle transition. Si la base est supérieure à un, on obtient :

Si la base du logarithme est inférieure à un, changez le signe d'inégalité et obtenez le système suivant :

Comme nous pouvons le voir, lors de la résolution des inégalités logarithmiques, comme d'habitude, ODZ est également pris en compte (c'est la troisième condition dans les systèmes ci-dessus). De plus, dans ce cas, il est possible de ne pas exiger la positivité des deux expressions sous-logarithmiques, mais il suffit de n'exiger la positivité que de la plus petite d'entre elles.

Au moment de décider inégalités logarithmiques avec une variable dans la base logarithme, il est nécessaire de considérer indépendamment les deux options (lorsque la base est inférieure à un et supérieure à un) et de combiner les solutions de ces cas dans un ensemble. Dans le même temps, il ne faut pas oublier l'ODZ, c'est-à-dire sur le fait que la base et toutes les expressions sous-logarithmiques doivent être positives. Ainsi, lors de la résolution d'une inégalité de la forme :

On obtient l'ensemble de systèmes suivant :

Des inégalités logarithmiques plus complexes peuvent également être résolues en utilisant un changement de variables. Certaines autres inégalités logarithmiques (ainsi que des équations logarithmiques) nécessitent la procédure consistant à prendre le logarithme des deux parties de l'inégalité ou de l'équation sur la même base à résoudre. Ainsi, lors de la réalisation d'une telle procédure avec des inégalités logarithmiques, il y a une subtilité. Notez que lorsque vous prenez un logarithme avec une base supérieure à un, le signe d'inégalité ne change pas, et si la base est inférieure à un, alors le signe d'inégalité est inversé.

Si l'inégalité logarithmique ne peut être réduite à une inégalité rationnelle ou résolue par substitution, alors dans ce cas il faut appliquer méthode des intervalles généralisés, qui est la suivante :

Déterminez l'ODZ ;
Transformer l'inégalité pour qu'il y ait zéro du côté droit (du côté gauche, si possible, ramener à un dénominateur commun, factoriser, etc.) ;
Trouvez toutes les racines du numérateur et du dénominateur et placez-les sur la droite numérique, et si l'inégalité n'est pas stricte, peignez sur les racines du numérateur, mais dans tous les cas, laissez les racines du dénominateur sous forme de points;
Trouvez le signe de l'expression entière sur chacun des intervalles en substituant un nombre de l'intervalle donné dans l'inégalité transformée. En même temps, il n'est plus possible d'alterner les signes en passant par des points sur l'axe. Il faut déterminer le signe de l'expression sur chaque intervalle en substituant la valeur de l'intervalle dans cette expression, et ainsi de suite pour chaque intervalle. Il n'y a pas d'autre moyen (c'est, en gros, la différence entre la méthode généralisée des intervalles et celle habituelle);
Trouvez l'intersection de l'ODZ et des intervalles qui satisfont l'inégalité, sans perdre les points individuels qui satisfont l'inégalité (racines du numérateur dans les inégalités non strictes), et n'oubliez pas d'exclure toutes les racines du dénominateur dans toutes les inégalités de la réponse.

Arrière
Avant

Comment réussir sa préparation au CT en Physique et Mathématiques ?

Pour préparer avec succès le CT en Physique et Mathématiques, entre autres, trois conditions critiques doivent être remplies :

Étudiez tous les sujets et complétez tous les tests et tâches indiqués dans le matériel d'étude sur ce site. Pour ce faire, vous n'avez besoin de rien du tout, à savoir : consacrer trois à quatre heures par jour à préparer le CT en physique et mathématiques, étudier la théorie et résoudre des problèmes. Le fait est que le CT est un examen où il ne suffit pas de connaître la physique ou les mathématiques, il faut aussi être capable de résoudre rapidement et sans échec un grand nombre de problèmes sur des sujets variés et de complexité variable. Ce dernier ne peut être appris qu'en résolvant des milliers de problèmes.
Apprenez toutes les formules et lois en physique, et les formules et méthodes en mathématiques. En fait, c'est aussi très simple à faire, il n'y a qu'environ 200 formules nécessaires en physique, et même un peu moins en mathématiques. Dans chacun de ces sujets, il existe une douzaine de méthodes standard pour résoudre des problèmes d'un niveau de complexité de base, qui peuvent également être apprises, et ainsi, de manière entièrement automatique et sans difficulté, résoudre la majeure partie de la transformation numérique au bon moment. Après cela, vous n'aurez plus qu'à penser aux tâches les plus difficiles.
Assister aux trois étapes des tests de répétition en physique et en mathématiques. Chaque RT peut être visité deux fois pour résoudre les deux options. Encore une fois, sur le DT, outre la capacité à résoudre rapidement et efficacement les problèmes et la connaissance des formules et des méthodes, il est également nécessaire de pouvoir planifier correctement le temps, répartir les forces et surtout remplir correctement le formulaire de réponse. , sans confondre ni les numéros de réponses et de tâches, ni votre propre nom de famille. De plus, pendant le RT, il est important de s'habituer au style de poser des questions dans les tâches, ce qui peut sembler très inhabituel pour une personne non préparée sur le DT.

Une mise en œuvre réussie, diligente et responsable de ces trois points vous permettra de montrer un excellent résultat au CT, le maximum de ce dont vous êtes capable.

Vous avez trouvé une erreur ?

Si, comme il vous semble, vous avez trouvé une erreur dans le matériel de formation, veuillez l'écrire par courrier. Vous pouvez également écrire sur l'erreur sur le réseau social (). Dans la lettre, indiquez le sujet (physique ou mathématiques), le nom ou le numéro du sujet ou du test, le numéro de la tâche, ou l'endroit dans le texte (page) où, selon vous, il y a une erreur. Décrivez également l'erreur alléguée. Votre lettre ne passera pas inaperçue, soit l'erreur sera corrigée, soit on vous expliquera pourquoi ce n'est pas une erreur.

Une inéquation est dite logarithmique si elle contient une fonction logarithmique.

Les méthodes de résolution des inégalités logarithmiques ne sont pas différentes de sauf pour deux choses.

Premièrement, en passant de l'inégalité logarithmique à l'inégalité des fonctions sous-logarithmiques, il s'ensuit suivre le signe de l'inégalité résultante. Il obéit à la règle suivante.

Si la base de la fonction logarithmique est supérieure à $1$, alors lors du passage de l'inégalité logarithmique à l'inégalité des fonctions sous-logarithmiques, le signe de l'inégalité est conservé, et s'il est inférieur à $1$, alors il est inversé.

Deuxièmement, la solution de toute inégalité est un intervalle, et, donc, à la fin de la solution de l'inégalité des fonctions sous-logarithmiques, il faut composer un système de deux inégalités : la première inégalité de ce système sera l'inégalité de fonctions sous-logarithmiques, et le second sera l'intervalle du domaine de définition des fonctions logarithmiques comprises dans l'inégalité logarithmique.

Entraine toi.

Résolvons les inégalités :

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y) : \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

La base du logarithme est $2>1$, donc le signe ne change pas. En utilisant la définition du logarithme, on obtient :

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )