Réaliser une étude complète des fonctions du calculateur en ligne. Étudier la fonction \(y=\frac(x3)(1-x)\) à l'aide de méthodes de calcul différentiel et construire son graphique

16.10.2019

Explorer une fonction et tracer un graphique : exemples et solutions en ligne

Nous avons préparé pour vous de nombreuses études de fonctions toutes faites, à la fois payantes dans le classeur et gratuites dans la section Exemples d'études de fonctions. Sur la base de ces tâches résolues, vous pourrez vous familiariser en détail avec la méthodologie permettant d'effectuer des tâches similaires et réaliser vos recherches par analogie.

Nous offrons exemples prêts à l'emploiétude complète et tracé des fonctions des types les plus courants : polynômes, fractionnaires rationnels, irrationnels, exponentiels, logarithmiques, fonctions trigonométriques. Chaque problème résolu est accompagné d'un graphique prêt à l'emploi avec des points clés, des asymptotes, des maxima et des minima mis en évidence ; la solution est réalisée à l'aide d'un algorithme d'étude de la fonction ;

Dans tous les cas, les exemples résolus vous aideront bonne aide, car ils couvrent les types de fonctions les plus populaires. Nous vous proposons des centaines de problèmes déjà résolus, mais comme vous le savez, il existe un nombre infini de fonctions mathématiques dans le monde et les enseignants sont de grands experts pour inventer des tâches de plus en plus délicates pour les élèves pauvres. Alors, chers étudiants, assistance qualifiéeça ne te fera pas de mal.

Résoudre les problèmes de recherche de fonctions personnalisées

Dans ce cas, nos partenaires vous proposeront un autre service - recherche complète fonctions en ligneà commander. La tâche sera accomplie pour vous conformément à toutes les exigences d'un algorithme permettant de résoudre de tels problèmes, ce qui plaira grandement à votre professeur.

Nous ferons pour vous une étude complète de la fonction : nous trouverons le domaine de définition et la plage de valeurs, examinerons la continuité et la discontinuité, établirons la parité, vérifierons la périodicité de votre fonction, trouvons les points intersections avec des axes de coordonnées. Et, bien sûr, en utilisant davantage le calcul différentiel : nous trouverons des asymptotes, calculerons les extrema, les points d'inflexion et construirons le graphique lui-même.

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Si le problème nécessite une étude complète de la fonction f (x) = x 2 4 x 2 - 1 avec la construction de son graphe, alors nous examinerons ce principe en détail.

Pour résoudre le problème de ce genre propriétés et graphiques des principaux fonctions élémentaires. L'algorithme de recherche comprend les étapes suivantes :

Yandex.RTB R-A-339285-1

Trouver le domaine de définition

Les recherches étant menées sur le domaine de définition de la fonction, il faut commencer par cette étape.

Exemple 1

L'exemple donné consiste à trouver les zéros du dénominateur afin de les exclure de l'ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

En conséquence, vous pouvez obtenir des racines, des logarithmes, etc. Ensuite, l'ODZ peut être recherché pour une racine d'un degré pair de type g (x) 4 par l'inégalité g (x) ≥ 0, pour le logarithme log a g (x) par l'inégalité g (x) > 0.

Étudier les limites de l'ODZ et trouver des asymptotes verticales

Il existe des asymptotes verticales aux limites de la fonction, lorsque les limites unilatérales en ces points sont infinies.

Exemple 2

Par exemple, considérons les points frontaliers égaux à x = ± 1 2.

Il faut ensuite étudier la fonction pour trouver la limite unilatérale. On obtient alors que : lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Cela montre que les limites unilatérales sont infinies, ce qui signifie que les droites x = ± 1 2 sont les asymptotes verticales du graphique.

Etude d'une fonction et si elle est paire ou impaire

Lorsque la condition y (- x) = y (x) est satisfaite, la fonction est considérée comme paire. Cela suggère que le graphique est situé symétriquement par rapport à Oy. Lorsque la condition y (- x) = - y (x) est satisfaite, la fonction est considérée comme impaire. Cela signifie que la symétrie est relative à l'origine des coordonnées. Si au moins une inégalité n’est pas satisfaite, on obtient une fonction de forme générale.

L'égalité y (- x) = y (x) indique que la fonction est paire. Lors de la construction, il faut tenir compte du fait qu'il y aura une symétrie par rapport à Oy.

Pour résoudre l'inégalité, des intervalles d'augmentation et de diminution sont utilisés avec les conditions f " (x) ≥ 0 et f " (x) ≤ 0, respectivement.

Définition 1

Points fixes- ce sont les points qui ramènent la dérivée à zéro.

Points critiques- ce sont des points internes au domaine de définition où la dérivée de la fonction est égale à zéro ou n'existe pas.

Lors de la prise de décision, les notes suivantes doivent être prises en compte :

pour les intervalles existants d'inégalités croissantes et décroissantes de la forme f " (x) > 0, les points critiques ne sont pas inclus dans la solution ;
les points auxquels la fonction est définie sans dérivée finie doivent être inclus dans les intervalles d'augmentation et de diminution (par exemple, y = x 3, où le point x = 0 rend la fonction définie, la dérivée a la valeur de l'infini à ce moment-là point, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 est inclus dans l'intervalle croissant);
Pour éviter les désaccords, il est recommandé d'utiliser la littérature mathématique recommandée par le ministère de l'Éducation.

Inclusion des points critiques dans des intervalles croissants et décroissants s'ils satisfont au domaine de définition de la fonction.

Définition 2

Pour pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution d'une fonction, il faut trouver:

dérivé;
points critiques;
diviser le domaine de définition en intervalles en utilisant des points critiques ;
déterminer le signe de la dérivée sur chacun des intervalles, où + est une augmentation et - est une diminution.

Exemple 3

Trouver la dérivée sur le domaine de définition f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Solution

Pour résoudre, vous avez besoin de :

trouver des points stationnaires, cet exemple a x = 0 ;
trouver les zéros du dénominateur, l'exemple prend la valeur zéro à x = ± 1 2.

Nous plaçons des points sur l'axe des nombres pour déterminer la dérivée sur chaque intervalle. Pour ce faire, il suffit de prendre n'importe quel point de l'intervalle et d'effectuer un calcul. Si le résultat est positif, nous représentons + sur le graphique, ce qui signifie que la fonction est croissante, et - signifie qu'elle décroît.

Par exemple, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, ce qui signifie que le premier intervalle de gauche a un signe +. Considérez sur la droite numérique.

Répondre:

la fonction augmente sur l'intervalle - ∞ ; - 1 2 et (- 1 2 ; 0 ] ;
il y a une diminution de l'intervalle [ 0 ; 1 2) et 1 2 ; + ∞ .

Dans le diagramme, en utilisant + et -, la positivité et la négativité de la fonction sont représentées, et les flèches indiquent une diminution et une augmentation.

Les points extrêmes d'une fonction sont les points où la fonction est définie et par lesquels la dérivée change de signe.

Exemple 4

Si nous considérons un exemple où x = 0, alors la valeur de la fonction qu'il contient est égale à f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Lorsque le signe de la dérivée passe de + à - et passe par le point x = 0, alors le point de coordonnées (0 ; 0) est considéré comme le point maximum. Lorsque le signe passe du - à +, on obtient un point minimum.

La convexité et la concavité sont déterminées en résolvant des inégalités de la forme f "" (x) ≥ 0 et f "" (x) ≤ 0. Moins couramment utilisé est le nom de convexité vers le bas au lieu de concavité, et de convexité vers le haut au lieu de convexité.

Définition 3

Pour déterminer les intervalles de concavité et de convexité nécessaire:

trouver la dérivée seconde ;
trouver les zéros de la fonction dérivée seconde ;
divisez la zone de définition en intervalles avec les points apparaissant ;
déterminer le signe de l'intervalle.

Exemple 5

Trouvez la dérivée seconde du domaine de définition.

Solution

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

On retrouve les zéros du numérateur et du dénominateur, où dans notre exemple nous avons que les zéros du dénominateur x = ± 1 2

Vous devez maintenant tracer les points sur la droite numérique et déterminer le signe de la dérivée seconde de chaque intervalle. Nous obtenons cela

Répondre:

la fonction est convexe à partir de l'intervalle - 1 2 ; 1 2 ;
la fonction est concave à partir des intervalles - ∞ ; - 1 2 et 1 2 ; + ∞ .

Définition 4

Point d'inflexion– c'est un point de la forme x 0 ; f (x 0) . Lorsqu'elle a une tangente au graphique de la fonction, alors lorsqu'elle passe par x 0 la fonction change de signe à l'opposé.

En d'autres termes, il s'agit d'un point par lequel passe la dérivée seconde et change de signe, et aux points eux-mêmes elle est égale à zéro ou n'existe pas. Tous les points sont considérés comme le domaine de la fonction.

Dans l'exemple, il était clair qu'il n'y a pas de points d'inflexion, puisque la dérivée seconde change de signe en passant par les points x = ± 1 2. Ceux-ci, à leur tour, ne sont pas inclus dans le champ de la définition.

Trouver des asymptotes horizontales et obliques

Lors de la définition d'une fonction à l'infini, vous devez rechercher des asymptotes horizontales et obliques.

Définition 5

Asymptotes obliques sont représentés par des lignes droites, donné par l'équation y = k x + b, où k = lim x → ∞ f (x) x et b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Pour k = 0 et b non égal à l’infini, on trouve que l’asymptote oblique devient horizontal.

En d’autres termes, les asymptotes sont considérées comme des droites dont le graphe d’une fonction se rapproche à l’infini. Cela facilite la construction rapide d’un graphe de fonctions.

S'il n'y a pas d'asymptote, mais que la fonction est définie aux deux infinis, il est nécessaire de calculer la limite de la fonction à ces infinis afin de comprendre comment se comportera le graphique de la fonction.

Exemple 6

Considérons à titre d'exemple que

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

est une asymptote horizontale. Après avoir examiné la fonction, vous pouvez commencer à la construire.

Calculer la valeur d'une fonction aux points intermédiaires

Pour rendre le graphique plus précis, il est recommandé de trouver plusieurs valeurs de fonction à des points intermédiaires.

Exemple 7

A partir de l'exemple que nous avons considéré, il faut retrouver les valeurs de la fonction aux points x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Puisque la fonction est paire, nous obtenons que les valeurs coïncident avec les valeurs en ces points, c'est-à-dire que nous obtenons x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Écrivons et résolvons :

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Pour déterminer les maxima et minima de la fonction, les points d'inflexion et les points intermédiaires, il est nécessaire de construire des asymptotes. Pour une désignation pratique, les intervalles d'augmentation, de diminution, de convexité et de concavité sont enregistrés. Regardons l'image ci-dessous.

Il est nécessaire de tracer des lignes graphiques passant par les points marqués, ce qui permettra d'approcher les asymptotes en suivant les flèches.

Ceci conclut l’exploration complète de la fonction. Il existe des cas de construction de certaines fonctions élémentaires pour lesquelles des transformations géométriques sont utilisées.

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L'un des tâches les plus importantes le calcul différentiel est le développement exemples courantsétudes du comportement fonctionnel.

Si la fonction y=f(x) est continue sur l'intervalle , et que sa dérivée est positive ou égale à 0 sur l'intervalle (a,b), alors y=f(x) augmente de (f"(x)0) Si la fonction y=f (x) est continue sur le segment , et que sa dérivée est négative ou égale à 0 sur l'intervalle (a,b), alors y=f(x) diminue de (f"(x)0. )

Les intervalles dans lesquels la fonction ne diminue ni n'augmente sont appelés intervalles de monotonie de la fonction. La nature de la monotonie d'une fonction ne peut changer qu'aux points de son domaine de définition où le signe de la dérivée première change. Les points auxquels la dérivée première d'une fonction disparaît ou présente une discontinuité sont appelés critiques.

Théorème 1 (1ère condition suffisante pour l'existence d'un extremum).

Soit la fonction y=f(x) définie au point x 0 et soit un voisinage δ>0 tel que la fonction soit continue sur l'intervalle et dérivable sur l'intervalle (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , et sa dérivée conserve un signe constant sur chacun de ces intervalles. Alors si sur x 0 -δ,x 0) et (x 0 , x 0 +δ) les signes de la dérivée sont différents, alors x 0 est un point extremum, et s'ils coïncident, alors x 0 n'est pas un point extremum . De plus, si, en passant par le point x0, la dérivée change de signe de plus à moins (à gauche de x 0 f"(x)>0 est satisfait, alors x 0 est le point maximum ; si la dérivée change de signe de de moins à plus (à droite de x 0 exécuté f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Les points maximum et minimum sont appelés points extrêmes de la fonction, et les points maximum et minimum de la fonction sont ses valeurs extrêmes.

Théorème 2 (un signe nécessaire d'un extremum local).

Si la fonction y=f(x) a un extremum au courant x=x 0, alors soit f'(x 0)=0, soit f'(x 0) n'existe pas.
Aux points extrêmes de la fonction différentiable, la tangente à son graphique est parallèle à l'axe Ox.

Algorithme d'étude d'une fonction pour extremum :

1) Trouvez la dérivée de la fonction.
2) Trouver les points critiques, c'est-à-dire points auxquels la fonction est continue et la dérivée est nulle ou n'existe pas.
3) Considérez le voisinage de chaque point et examinez le signe de la dérivée à gauche et à droite de ce point.
4) Déterminez les coordonnées des points extrêmes ; pour cela, substituez les valeurs des points critiques dans cette fonction. En utilisant des conditions suffisantes pour l'extremum, tirez les conclusions appropriées.

Exemple 18. Examinez la fonction y=x 3 -9x 2 +24x pour un extremum

Solution.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) En assimilant la dérivée à zéro, nous trouvons x 1 =2, x 2 =4. Dans ce cas, la dérivée est définie partout ; Cela signifie qu’à part les deux points constatés, il n’y a pas d’autres points critiques.
3) Le signe de la dérivée y"=3(x-2)(x-4) change en fonction de l'intervalle comme le montre la figure 1. En passant par le point x=2, la dérivée change de signe de plus à moins, et en passant par le point x=4 - du moins au plus.
4) Au point x=2 la fonction a un maximum y max =20, et au point x=4 - un minimum y min =16.

Théorème 3. (2ème condition suffisante pour l'existence d'un extremum).

Soit f"(x 0) et au point x 0 il existe f""(x 0). Alors si f""(x 0)>0, alors x 0 est le point minimum, et si f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Sur un segment, la fonction y=f(x) peut atteindre la valeur la plus petite (y la plus petite) ou la plus grande (y la plus élevée) soit aux points critiques de la fonction situés dans l'intervalle (a;b), soit à les extrémités du segment.

Algorithme pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction continue y=f(x) sur le segment :

1) Trouvez f"(x).
2) Trouvez les points auxquels f"(x)=0 ou f"(x) n'existe pas et sélectionnez parmi eux ceux qui se trouvent à l'intérieur du segment.
3) Calculer la valeur de la fonction y=f(x) aux points obtenus à l'étape 2), ainsi qu'aux extrémités du segment et sélectionner parmi eux le plus grand et le plus petit : ce sont respectivement les plus grands (y la plus grande) et la plus petite (y la plus petite) valeurs de la fonction sur l'intervalle.

Exemple 19. Trouvez la plus grande valeur de la fonction continue y=x 3 -3x 2 -45+225 sur le segment.

1) On a y"=3x 2 -6x-45 sur le segment
2) La dérivée y" existe pour tout x. Trouvons les points auxquels y"=0 ; on obtient :
3x2 -6x-45=0
x2 -2x-15=0
x1 =-3 ; x2 =5
3) Calculer la valeur de la fonction aux points x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Le segment contient uniquement le point x=5. La plus grande des valeurs trouvées de la fonction est 225 et la plus petite est le nombre 50. Donc, y max = 225, y min = 50.

Etude d'une fonction sur la convexité

La figure montre des graphiques de deux fonctions. Le premier d’entre eux est convexe vers le haut, le second est convexe vers le bas.

La fonction y=f(x) est continue sur le segment et dérivable dans l'intervalle (a;b), est dite convexe vers le haut (vers le bas) sur ce segment si, pour axb, son graphe ne se situe pas plus haut (pas plus bas) que le tangente tracée en tout point M 0 (x 0 ;f(x 0)), où axb.

Théorème 4. Soit la fonction y=f(x) avoir une dérivée seconde en tout point intérieur x du segment et être continue aux extrémités de ce segment. Alors si l'inégalité f""(x)0 est vraie sur l'intervalle (a;b), alors la fonction est convexe vers le bas sur l'intervalle ; si l'inégalité f""(x)0 est vraie sur l'intervalle (a;b), alors la fonction est convexe vers le haut sur .

Théorème 5. Si la fonction y=f(x) a une dérivée seconde sur l'intervalle (a;b) et si elle change de signe en passant par le point x 0, alors M(x 0 ;f(x 0)) est un point d'inflexion.

Règle pour trouver les points d'inflexion :

1) Trouvez les points auxquels f""(x) n'existe pas ou disparaît.
2) Examinez le signe f""(x) à gauche et à droite de chaque point trouvé lors de la première étape.
3) Sur la base du théorème 4, tirez une conclusion.

Exemple 20. Trouver les points extremum et les points d'inflexion du graphique de la fonction y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Nous avons f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Évidemment, f"(x)=0 quand x 1 =0, x 2 =1. En passant par le point x=0, la dérivée change de signe de moins à plus, mais en passant par le point x=1 elle ne change pas de signe. Cela signifie que x=0 est le point minimum (y min =12) et qu'il n'y a pas d'extremum au point x=1. Ensuite, nous trouvons . La dérivée seconde disparaît aux points x 1 =1, x 2 =1/3. Les signes de la dérivée seconde changent comme suit : Sur le rayon (-∞;) on a f""(x)>0, sur l'intervalle (;1) on a f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Par conséquent, x= est le point d'inflexion du graphe de fonction (transition de la convexité vers le haut à la convexité vers le haut) et x=1 est également le point d'inflexion (transition de la convexité vers le haut vers la convexité vers le bas). Si x=, alors y= ; si, alors x=1, y=13.

Algorithme pour trouver l'asymptote d'un graphique

I. Si y=f(x) comme x → a, alors x=a est une asymptote verticale.
II. Si y=f(x) comme x → ∞ ou x → -∞, alors y=A est une asymptote horizontale.
III. Pour trouver l’asymptote oblique, nous utilisons l’algorithme suivant :
1) Calculez. Si la limite existe et est égale à b, alors y=b est une asymptote horizontale ; si , alors passez à la deuxième étape.
2) Calculez. Si cette limite n’existe pas, alors il n’y a pas d’asymptote ; s'il existe et est égal à k, alors passez à la troisième étape.
3) Calculez. Si cette limite n’existe pas, alors il n’y a pas d’asymptote ; s'il existe et est égal à b, alors passez à la quatrième étape.
4) Écrivez l’équation de l’asymptote oblique y=kx+b.

Exemple 21 : Trouver l'asymptote d'une fonction

1)
2)
3)
4) L'équation de l'asymptote oblique a la forme

Schéma d'étude d'une fonction et de construction de son graphe

I. Trouver le domaine de définition de la fonction.
II. Trouvez les points d'intersection du graphique de fonctions avec les axes de coordonnées.
III. Trouvez des asymptotes.
IV. Trouvez les points extrêmes possibles.
V. Trouver les points critiques.
VI. À l’aide du chiffre auxiliaire, explorez le signe des dérivées première et seconde. Déterminez les zones d'augmentation et de diminution de la fonction, trouvez la direction de convexité du graphique, les points d'extrema et les points d'inflexion.
VII. Construisez un graphique en tenant compte des recherches effectuées aux paragraphes 1 à 6.

Exemple 22 : Construire un graphique de la fonction selon le schéma ci-dessus

Solution.
I. Le domaine d'une fonction est l'ensemble de tous les nombres réels sauf x=1.
II. Puisque l'équation x 2 +1=0 n'a pas de racines réelles, le graphique de la fonction n'a pas de points d'intersection avec l'axe Ox, mais coupe l'axe Oy au point (0;-1).
III. Clarifions la question de l'existence des asymptotes. Etudions le comportement de la fonction près du point de discontinuité x=1. Puisque y → ∞ comme x → -∞, y → +∞ comme x → 1+, alors la droite x=1 est l'asymptote verticale du graphique de la fonction.
Si x → +∞(x → -∞), alors y → +∞(y → -∞) ; le graphique n’a donc pas d’asymptote horizontale. De plus, de l'existence de limites

En résolvant l'équation x 2 -2x-1=0, nous obtenons deux points extremum possibles :
x 1 =1-√2 et x 2 =1+√2

V. Pour trouver les points critiques, on calcule la dérivée seconde :

Puisque f""(x) ne disparaît pas, il n’y a pas de points critiques.
VI. Examinons le signe des dérivées première et seconde. Points extremum possibles à considérer : x 1 =1-√2 et x 2 =1+√2, diviser le domaine d'existence de la fonction en intervalles (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) et (1+√2;+∞).

Dans chacun de ces intervalles, la dérivée conserve son signe : dans le premier - plus, dans le deuxième - moins, dans le troisième - plus. La séquence de signes de la dérivée première s'écrira ainsi : +,-,+.
Nous constatons que la fonction augmente à (-∞;1-√2), diminue à (1-√2;1+√2) et augmente à nouveau à (1+√2;+∞). Points extrêmes : maximum à x=1-√2, et f(1-√2)=2-2√2 minimum à x=1+√2, et f(1+√2)=2+2√2. À (-∞;1) le graphique est convexe vers le haut et à (1;+∞) il est convexe vers le bas.
VII Faisons un tableau des valeurs obtenues

VIII Sur la base des données obtenues, nous construisons un croquis du graphique de la fonction

Dans cet article, nous examinerons un schéma d'étude d'une fonction et donnerons également des exemples d'étude des extrema, de la monotonie et des asymptotes d'une fonction donnée.

Schème

Le domaine d'existence (DOA) d'une fonction.
L'intersection de la fonction (le cas échéant) avec les axes de coordonnées, les signes de la fonction, la parité, la périodicité.
Points de rupture (de leur genre). Continuité. Les asymptotes sont verticales.
Monotonie et points extrêmes.
Points d'inflexion. Convexe.
Etude d'une fonction à l'infini, pour les asymptotes : horizontales et obliques.
Construire un graphique.

Test de monotonie

Théorème. Si la fonction g allumé en continu , différencié par (une; b) Et g'(x) ≥ 0 (g'(x)≤0), xє(une; b), Que g augmentant (diminuant) de .

Exemple:

y = 1 : 3x 3 - 6 : 2x 2 + 5x.

ODZ : xєR

y' = x 2 + 6x + 5.

Trouvons les intervalles de signes constants vous. Parce que vous est une fonction élémentaire, alors elle ne peut changer de signe qu'aux points où elle devient nulle ou n'existe pas. Son ODZ : xєR.

Trouvons les points auxquels la dérivée est égale à 0 (zéro) :

y' = 0;

x = -1 ; -5.

Donc, oui grandir sur (-∞; -5] et sur [-1; +∞), y descendant sur .

Recherche sur les extrêmes

T. x0 appelé le point maximum (max) sur l'ensemble UN fonctions g quand la fonction prend la plus grande valeur à ce stade g(x 0) ≥ g(x), xєA.

T. x0 appelé le point minimum (min) de la fonction g sur un plateau UN quand la fonction prend la plus petite valeur à ce stade g(x 0) ≤ g(x), xєА.

Sur le plateau UN les points maximum (max) et minimum (min) sont appelés points extremum g. De tels extrema sont également appelés extrema absolus sur le plateau. .

Si x0- point extrême de la fonction g dans certains de ses quartiers, alors x0 appelé point d'extremum local ou local (max ou min) de la fonction g.

Théorème (condition nécessaire). Si x0- point extremum (local) de la fonction g, alors la dérivée n'existe pas ou est égale à 0 (zéro) dans cette partie.

Définition. Les points dont la dérivée est inexistante ou égale à 0 (zéro) sont dits critiques. Ce sont ces points qui font suspecter les extrêmes.

Théorème (condition suffisante n°1). Si la fonction g continu dans certains districts, c'est-à-dire x0 et le signe change par ce point lors de la transition de la dérivée, alors ce point est le point d'extremum g.

Théorème (condition suffisante n°2). Supposons que la fonction dans une zone du point soit différentiable deux fois et g’ = 0, et g’’ > 0 (g’’< 0) , alors ce point est le point maximum (max) ou minimum (min) de la fonction.

Test de renflement

La fonction est dite convexe vers le bas (ou concave) sur l'intervalle (une, b) lorsque le graphique de la fonction n'est pas situé au-dessus de la sécante sur l'intervalle pour tout x avec (une, b), qui passe par ces points .

La fonction sera convexe strictement vers le bas à (une, b), si - le graphique se situe en dessous de la sécante sur l'intervalle.

La fonction est dite convexe vers le haut (convexe) sur l'intervalle (une, b), si pour un t points Avec (une, b) le graphique d'une fonction sur l'intervalle n'est pas inférieur à la sécante passant par l'abscisse en ces points .

La fonction sera strictement convexe vers le haut par (une, b), si - le graphique sur l'intervalle se situe au-dessus de la ligne sécante.

Si une fonction dans un certain district continue et à travers t.x0 Lors de la transition, la fonction change de convexité, ce point est appelé point d'inflexion de la fonction.

Etude sur les asymptotes

Définition. La droite s'appelle une asymptote g(x), si à une distance infinie de l'origine des coordonnées un point du graphe de la fonction s'en rapproche : ré(M,l).

Les asymptotes peuvent être verticales, horizontales et obliques.

Ligne verticale avec équation x = x 0 sera l'asymptote du graphe vertical de la fonction g , s'il y a un écart infini au point x 0, alors il y a au moins une limite gauche ou droite en ce point - l'infini.

Étudier une fonction sur un segment pour les plus petites et les plus grandes valeurs

Si la fonction est continue pendant , alors d'après le théorème de Weierstrass il y a une valeur maximale et une valeur minimale sur ce segment, c'est-à-dire qu'il y a t des lunettes qui appartiennent tel que g(x1) ≤g(x)< g(x 2), x 2 є . A partir des théorèmes sur la monotonie et les extrema, nous obtenons le schéma suivant pour étudier une fonction sur un intervalle pour les valeurs les plus petites et les plus grandes.

Plan

Trouver la dérivée g'(x).
Valeur de la fonction de recherche g en ces points et aux extrémités du segment.
Comparez les valeurs trouvées et sélectionnez la plus petite et la plus grande.

Commentaire. Si vous avez besoin d'étudier une fonction sur un intervalle fini (une, b), ou sur l'infini (-∞;b); (-∞; +∞) sur les valeurs max et min, puis dans le plan, au lieu des valeurs de fonction aux extrémités de l'intervalle, on recherche les frontières unilatérales correspondantes : au lieu de fa)à la recherche de f(a+) = limf(x), au lieu de f(b)à la recherche de f(-b). De cette façon, vous pouvez trouver l'ODZ d'une fonction sur un intervalle, car les extrema absolus n'existent pas nécessairement dans ce cas.

Application de la dérivée à la solution de problèmes appliqués à l'extremum de certaines quantités

Exprimez cette quantité en termes d’autres quantités de l’énoncé du problème afin qu’elle soit fonction d’une seule variable (si possible).
Déterminez l’intervalle de changement de cette variable.
Réaliser une étude de la fonction sur l'intervalle aux valeurs max et min.

Tâche. Il est nécessaire de construire une plate-forme rectangulaire, à l'aide d'un mètre de treillis, contre le mur de manière à ce qu'elle soit adjacente au mur d'un côté et que des trois autres, elle soit clôturée avec un treillis. À quel rapport hauteur/largeur la superficie d'une telle plate-forme sera-t-elle la plus grande ?

S = xy- fonction de 2 variables.

S = x(une - 2x)- fonction de la 1ère variable ; x .

S = hache - 2x 2 ; S" = a - 4x = 0, xєR, x = a : 4.

S(une : 4) = une 2 : 8- la plus grande valeur ;

S(0) =0.

Trouvons l'autre côté du rectangle : à = une : 2.

Rapport hauteur/largeur : y : x = 2.

Répondre. La plus grande surface sera égale à un 2 /8, si le côté parallèle au mur est 2 fois plus grand que l'autre côté.

Etude de fonction. Exemples

Exemple 1

Disponible y=x 3 : (1-x) 2 . Faites des recherches.

ODZ : xє(-∞; 1) U (1; ∞).
Une fonction de forme générale (ni paire ni impaire) n'est pas symétrique par rapport au point 0 (zéro).
Signes de fonction. La fonction est élémentaire, elle ne peut donc changer de signe qu'aux points où elle est égale à 0 (zéro) ou n'existe pas.
La fonction est élémentaire, donc continue sur l'ODZ : (-∞; 1) U (1; ∞).

Écart: x = 1 ;

limx 3 : (1-x) 2 = ∞- Discontinuité de 2ème espèce (infinie), donc il y a une asymptote verticale au point 1 ;

x = 1- équation d'asymptote verticale.

5. y' = x 2 (3 - x) : (1 - x) 3 ;

ODZ (y’): x ≠ 1 ;

x = 1- point critique.

y' = 0;

0; 3 - les points critiques.

6. y'' = 6x : (1 - x) 4 ;

Éléments critiques : 1, 0;

X = 0 - point de pliage, y(0) = 0.

7. limx 3 : (1 - 2x + x 2) = ∞- il n'y a pas d'asymptote horizontale, mais il peut y en avoir une inclinée.

k = 1- nombre;

b = 2- nombre.

Il existe donc une asymptote oblique y = x + 2à + ∞ et à - ∞.

Exemple 2

Donné y = (x 2 + 1) : (x - 1). Produire et recherche. Construisez un graphique.

1. Le domaine d'existence est la droite numérique entière, à l'exception de ce qu'on appelle x = 1.

2. oui croise OY (si possible) incl. (0;g(0)). Nous trouvons y(0) = -1 - t.intersection OY .

Points d'intersection du graphique avec BŒUF on trouve en résolvant l'équation y = 0. L'équation n'a pas de racines réelles, donc cette fonction ne se coupe pas BŒUF.

3. La fonction n'est pas périodique. Considérons l'expression

g(-x) ≠ g(x), et g(-x) ≠ -g(x). Cela signifie qu'il s'agit d'une fonction générale (ni paire ni impaire).

4. T. x = 1 la discontinuité est du deuxième type. En tous autres points, la fonction est continue.

5. Etude d'une fonction pour un extremum :

(x 2 - 2x - 1) : (x - 1)2 = oui"

et résoudre l'équation y" = 0.

Donc, 1 - √2, 1 + √2, 1 - les points critiques ou les points d'extremum possibles. Ces points divisent la droite numérique en quatre intervalles .

A chaque intervalle, la dérivée a un certain signe, qui peut être établi par la méthode des intervalles ou en calculant les valeurs de la dérivée en des points individuels. À intervalles (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , dérivée positive, ce qui signifie que la fonction est croissante ; Si xє(1 - √2 ; 1) U(1; 1 + √2 ) , alors la fonction diminue, car sur ces intervalles la dérivée est négative. À travers. x1 pendant la transition (le mouvement s'ensuit de gauche à droite), le signe dérivé passe de "+" à "-", donc, à ce stade il y a un maximum local, on trouvera

oui maximum = 2 - 2 √2 .

En passant par x2 la dérivée change de signe de « - » à « + », donc à ce stade il y a un minimum local, et

y mélanger = 2 + 2√2.

T. x = 1 pas l'extrême.

6. 4 : (x - 1) 3 = y"".

Sur (-∞; 1 ) 0 > y"" , par conséquent, sur cet intervalle la courbe est convexe ; si xє (1 ; ∞) - la courbe est concave. En t point 1 la fonction n'est pas définie, donc ce point n'est pas un point d'inflexion.

7. Des résultats du paragraphe 4, il résulte que x = 1- asymptote verticale de la courbe.

Il n'y a pas d'asymptote horizontale.

x + 1 = oui - asymptote oblique de cette courbe. Il n'y a pas d'autres asymptotes.

8. En tenant compte des recherches effectuées, nous construisons un graphique (voir figure ci-dessus).