Réaliser une étude de la fonction et construire son graphique. Examen complet de la fonction et tracé du graphique

20.09.2019

Application du concept de dérivée en économie. Fonction d'élasticité

Pour étudier les processus économiques et résoudre d'autres problèmes appliqués, le concept d'élasticité d'une fonction est souvent utilisé.

Définition. Fonction d'élasticité
est appelée la limite du rapport de l'incrément relatif de la fonction à l'incrément relatif de la variable à
, . (VII)

L'élasticité d'une fonction montre approximativement de combien de pour cent la fonction va changer
quand la variable indépendante change de 1%.

La fonction d'élasticité est utilisée dans l'analyse de la demande et de la consommation. Si l'élasticité de la demande (en valeur absolue)
, alors la demande est considérée comme élastique si
─ neutre si
─ inélastique par rapport au prix (ou au revenu).

Exemple 10 Calculer l'élasticité de la fonction
et trouver la valeur de l'indice d'élasticité pour = 3.

Solution : d'après la formule (VII), l'élasticité de la fonction est :

Soit x=3, alors
.Cela signifie que si la variable indépendante augmente de 1 %, alors la valeur de la variable dépendante augmentera de 1,42 %.

Exemple 11 Laisser la demande fonctionner concernant le prix ressemble à
, Où ─ coefficient constant. Trouvez la valeur de l'indicateur d'élasticité de la fonction de demande au prix x = 3 den. unités

Solution : calculer l'élasticité de la fonction de demande à l'aide de la formule (VII)

Croire
unités monétaires, on obtient
. Cela signifie qu'à un prix
unités monétaires une augmentation du prix de 1 % entraînera une diminution de la demande de 6 %, soit la demande est élastique.

Aujourd'hui, nous vous invitons à explorer et à construire un graphique d'une fonction avec nous. Après avoir étudié attentivement cet article, vous n’aurez pas à transpirer longtemps pour accomplir ce type de tâche. Il n'est pas facile d'étudier et de construire un graphique d'une fonction ; c'est un travail volumineux qui nécessite une attention et une précision maximales dans les calculs. Pour rendre le matériel plus facile à comprendre, nous étudierons la même fonction étape par étape et expliquerons toutes nos actions et calculs. Bienvenue dans l'incroyable et monde fascinant mathématiques! Aller!

Domaine

Afin d’explorer et de représenter graphiquement une fonction, vous devez connaître plusieurs définitions. La fonction est l’un des principaux concepts (de base) des mathématiques. Il reflète la dépendance entre plusieurs variables (deux, trois ou plus) lors des changements. La fonction montre également la dépendance des ensembles.

Imaginez que nous ayons deux variables qui présentent une certaine plage de changement. Ainsi, y est fonction de x, à condition que chaque valeur de la deuxième variable corresponde à une valeur de la seconde. Dans ce cas, la variable y est dépendante et on l'appelle une fonction. Il est d'usage de dire que les variables x et y sont dans Pour plus de clarté sur cette dépendance, un graphique de la fonction est construit. Qu'est-ce qu'un graphique d'une fonction ? Il s'agit d'un ensemble de points sur le plan de coordonnées, où chaque valeur x correspond à une valeur y. Les graphiques peuvent être différents : ligne droite, hyperbole, parabole, onde sinusoïdale, etc.

Il est impossible de représenter graphiquement une fonction sans recherche. Aujourd'hui, nous allons apprendre à mener des recherches et à construire un graphique d'une fonction. Il est très important de prendre des notes pendant l'étude. Cela rendra la tâche beaucoup plus facile à accomplir. Le plan de recherche le plus pratique :

Domaine.
Continuité.
Pair ou impair.
Périodicité.
Asymptotes.
Des zéros.
Signez la constance.
Augmentation et diminution.
Extrêmes.
Convexité et concavité.

Commençons par le premier point. Trouvons le domaine de définition, c'est-à-dire sur quels intervalles notre fonction existe : y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Dans notre cas, la fonction existe pour toutes les valeurs de x, c'est-à-dire que le domaine de définition est égal à R. Cela peut s'écrire comme suit xÎR.

Continuité

Nous allons maintenant examiner la fonction de discontinuité. En mathématiques, le terme « continuité » est apparu à la suite de l’étude des lois du mouvement. Qu'est-ce qui est infini ? L'espace, le temps, certaines dépendances (un exemple est la dépendance des variables S et t dans les problèmes de mouvement), la température d'un objet chauffé (eau, poêle à frire, thermomètre, etc.), une ligne continue (c'est-à-dire celle qui peut être dessiné sans le retirer de la feuille de crayon).

Un graphique est considéré comme continu s’il ne se rompt pas à un moment donné. Un des plus exemples illustratifs Un tel graphique est une sinusoïde, que vous pouvez voir sur l’image de cette section. Une fonction est continue en un point x0 si un certain nombre de conditions sont remplies :

une fonction est définie en un point donné ;
les limites droite et gauche en un point sont égales ;
la limite est égale à la valeur de la fonction au point x0.

Si au moins une condition n’est pas remplie, la fonction échoue. Et les points auxquels la fonction s'interrompt sont généralement appelés points d'arrêt. Un exemple de fonction qui « se brisera » lorsqu'elle est affichée graphiquement est : y=(x+4)/(x-3). De plus, y n'existe pas au point x = 3 (puisqu'il est impossible de diviser par zéro).

Dans la fonction que nous étudions (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) tout s'est avéré simple, puisque le graphique sera continu.

Même bizarre

Examinez maintenant la fonction de parité. Tout d’abord, un peu de théorie. Une fonction paire est celle qui satisfait à la condition f(-x)=f(x) pour toute valeur de la variable x (dans la plage de valeurs). Les exemples comprennent:

module x (le graphique ressemble à une daw, la bissectrice du premier et du deuxième quart du graphique) ;
x au carré (parabole) ;
cosinus x (cosinus).

Notez que tous ces graphiques sont symétriques lorsqu’ils sont vus par rapport à l’axe y (c’est-à-dire l’axe y).

Qu’appelle-t-on alors une fonction impaire ? Ce sont les fonctions qui satisfont à la condition : f(-x)=-f(x) pour toute valeur de la variable x. Exemples:

hyperbole;
parabole cubique;
sinusoïde;
tangente et ainsi de suite.

Veuillez noter que ces fonctions sont symétriques par rapport au point (0:0), c'est-à-dire l'origine. Sur la base de ce qui a été dit dans cette section de l'article, même et fonction impaire doit avoir la propriété : x appartient à l'ensemble de définition et -x aussi.

Examinons la fonction de parité. Nous pouvons voir qu’elle ne correspond à aucune des descriptions. Notre fonction n’est donc ni paire ni impaire.

Asymptotes

Commençons par une définition. Une asymptote est une courbe aussi proche que possible du graphique, c'est-à-dire que la distance à partir d'un certain point tend vers zéro. Au total, il existe trois types d'asymptotes :

vertical, c'est-à-dire parallèle à l'axe y ;
horizontal, c'est-à-dire parallèle à l'axe x ;
incliné.

Comme pour le premier type, ces lignes sont à rechercher à certains endroits :

écart;
extrémités du domaine de définition.

Dans notre cas, la fonction est continue et le domaine de définition est égal à R. Par conséquent, il n'y a pas d'asymptote verticale.

Le graphique d'une fonction a une asymptote horizontale, qui correspond à prochaine exigence: si x tend vers l'infini ou moins l'infini et que la limite est égale à un nombre (par exemple, a). Dans ce cas, y=a est l'asymptote horizontale. Il n’y a pas d’asymptote horizontale dans la fonction que nous étudions.

Une asymptote oblique n'existe que si deux conditions sont remplies :

lim(f(x))/x=k;
lim f(x)-kx=b.

Ensuite, il peut être trouvé en utilisant la formule : y=kx+b. Encore une fois, dans notre cas, il n’y a pas d’asymptote oblique.

Zéros de fonction

L'étape suivante consiste à examiner le graphique de la fonction pour les zéros. Il est également très important de noter que la tâche associée à la recherche des zéros d'une fonction se produit non seulement lors de l'étude et de la construction d'un graphique d'une fonction, mais également en tant que tâche indépendante et comme moyen de résoudre des inégalités. Vous devrez peut-être trouver les zéros d’une fonction sur un graphique ou utiliser une notation mathématique.

Trouver ces valeurs vous aidera à représenter graphiquement la fonction avec plus de précision. Si nous parlons dans un langage simple, alors le zéro de la fonction est la valeur de la variable x à laquelle y = 0. Si vous recherchez les zéros d'une fonction sur un graphique, vous devez faire attention aux points d'intersection du graphique avec l'axe des x.

Pour trouver les zéros de la fonction, vous devez résoudre l'équation suivante : y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Après avoir effectué les calculs nécessaires, nous obtenons la réponse suivante :

Constance du signe

La prochaine étape de la recherche et de la construction d'une fonction (graphique) consiste à trouver des intervalles de signe constant. Cela signifie que nous devons déterminer à quels intervalles la fonction prend une valeur positive et à quels intervalles elle prend une valeur négative. Les fonctions zéro trouvées dans la dernière section nous aideront à le faire. Nous devons donc construire une ligne droite (séparée du graphique) et en dans le bon ordre répartissez les zéros de la fonction dessus du plus petit au plus grand. Vous devez maintenant déterminer lequel des intervalles résultants a un signe « + » et lequel a un « - ».

Dans notre cas, la fonction prend une valeur positive sur les intervalles :

de 1 à 4 ;
de 9 à l'infini.

Sens négatif:

de moins l'infini à 1 ;
de 4 à 9.

C'est assez facile à déterminer. Remplacez n'importe quel nombre de l'intervalle dans la fonction et voyez quel signe la réponse s'avère avoir (moins ou plus).

Fonction croissante et décroissante

Afin d’explorer et de construire une fonction, nous devons savoir où le graphique va augmenter (monter le long de l’axe Oy) et où il va descendre (descendre le long de l’axe y).

La fonction n'augmente que si la plus grande valeur de la variable x correspond à valeur plus élevée toi. Autrement dit, x2 est supérieur à x1 et f(x2) est supérieur à f(x1). Et on observe un phénomène complètement inverse avec une fonction décroissante (plus x est grand, moins y). Pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution, vous devez trouver les éléments suivants :

domaine de définition (nous l'avons déjà) ;
dérivée (dans notre cas : 1/3(3x^2-28x+49) ;
résolvez l'équation 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Après calculs on obtient le résultat :

On obtient : la fonction augmente sur les intervalles de moins l'infini à 7/3 et de 7 à l'infini, et diminue sur l'intervalle de 7/3 à 7.

Extrêmes

La fonction étudiée y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) est continue et existe pour toute valeur de la variable x. Le point extrême montre le maximum et le minimum d'une fonction donnée. Dans notre cas, il n'y en a pas, ce qui simplifie grandement la tâche de construction. Sinon, ils peuvent également être trouvés à l’aide de la fonction dérivée. Une fois trouvés, n'oubliez pas de les marquer sur la carte.

Convexité et concavité

Nous continuons à explorer plus en détail la fonction y(x). Nous devons maintenant vérifier sa convexité et sa concavité. Les définitions de ces concepts sont assez difficiles à comprendre ; il vaut mieux tout analyser à l'aide d'exemples. Pour le test : une fonction est convexe si c'est une fonction non décroissante. D'accord, c'est incompréhensible !

Nous devons trouver la dérivée d’une fonction du second ordre. On obtient : y=1/3(6x-28). Maintenant, assimilons le côté droit à zéro et résolvons l'équation. Réponse : x=14/3. Nous avons trouvé le point d'inflexion, c'est-à-dire l'endroit où le graphique passe de la convexité à la concavité ou vice versa. Sur l'intervalle de moins l'infini à 14/3, la fonction est convexe, et de 14/3 à plus l'infini, elle est concave. Il est également très important de noter que le point d'inflexion sur le graphique doit être lisse et doux, non coins pointus ne devrait pas être présent.

Définir des points supplémentaires

Notre tâche est d'étudier et de construire un graphique de la fonction. Nous avons terminé l’étude ; construire un graphique de la fonction n’est plus difficile. Pour une reproduction plus précise et détaillée d'une courbe ou d'une ligne droite sur le plan de coordonnées, vous pouvez trouver plusieurs points auxiliaires. Ils sont assez faciles à calculer. Par exemple, prenons x=3, résolvons l’équation résultante et trouvons y=4. Ou x=5, et y=-5 et ainsi de suite. Vous pouvez prendre autant de points supplémentaires que nécessaire pour la construction. On en trouve au moins 3 à 5.

Tracer un graphique

Nous devions étudier la fonction (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Toutes les marques nécessaires lors des calculs ont été faites sur le plan de coordonnées. Il ne reste plus qu'à construire un graphique, c'est-à-dire relier tous les points. La connexion des points doit être fluide et précise, c'est une question de compétence - un peu de pratique et votre emploi du temps sera parfait.

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