Vérifiez la solution pour le plus grand et le plus petit du segment. La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction. Tâche B15 (2014)

Voyons comment examiner une fonction à l'aide d'un graphique. Il s'avère qu'en regardant le graphique, on peut découvrir tout ce qui nous intéresse, à savoir :

• domaine d'une fonction
• plage de fonctions
• zéros de fonction
• intervalles d'augmentation et de diminution
• points maximum et minimum
• la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un segment.

Clarifions la terminologie :

Abscisse est la coordonnée horizontale du point.
Ordonnée- coordonnée verticale.
Axe des abscisses- l'axe horizontal, appelé le plus souvent axe.
Axe Y - axe vertical, ou axe.

Argument- une variable indépendante dont dépendent les valeurs de la fonction. Le plus souvent indiqué.
En d’autres termes, nous choisissons , substituons des fonctions dans la formule et obtenons .

Domaine fonctions - l'ensemble de ces (et seulement celles) valeurs d'argument pour lesquelles la fonction existe.
Indiqué par : ou .

Dans notre figure, le domaine de définition de la fonction est le segment. C'est sur ce segment que est tracé le graphique de la fonction. Ici seulement cette fonction existe.

Plage de fonctions est l'ensemble des valeurs que prend une variable. Dans notre figure, il s'agit d'un segment - de la valeur la plus basse à la plus élevée.

Zéros de fonction- les points où la valeur de la fonction est nulle, c'est-à-dire. Dans notre figure, ce sont des points et .

Les valeurs de fonction sont positives où . Dans notre figure, ce sont les intervalles et .
Les valeurs de fonction sont négatives où . Pour nous, il s'agit de l'intervalle (ou intervalle) de à .

Les notions les plus importantes - fonction croissante et décroissante sur certains plateaux. En tant qu'ensemble, vous pouvez prendre un segment, un intervalle, une union d'intervalles ou la droite numérique entière.

Fonction augmente

En d'autres termes, plus, plus, c'est-à-dire que le graphique va vers la droite et vers le haut.

Fonction diminue sur un ensemble si pour tout et appartenant à l'ensemble, l'inégalité implique l'inégalité .

Pour une fonction décroissante, une valeur plus grande correspond à une valeur plus petite. Le graphique va vers la droite et vers le bas.

Dans notre figure, la fonction augmente sur l'intervalle et diminue sur les intervalles et .

Définissons ce que c'est points maximum et minimum de la fonction.

Point maximum- c'est un point interne au domaine de définition, tel que la valeur de la fonction en lui est plus grande qu'en tous les points suffisamment proches de lui.
En d’autres termes, un point maximum est un point auquel la valeur de la fonction plus que chez les voisins. Il s'agit d'une « colline » locale sur la carte.

Dans notre figure, il y a un point maximum.

Point minimum- un point interne au domaine de définition, tel que la valeur de la fonction en lui est moindre qu'en tous points suffisamment proches de lui.
C'est-à-dire que le point minimum est tel que la valeur de la fonction qu'il contient est inférieure à celle de ses voisins. Il s’agit d’un « trou » local sur le graphique.

Dans notre figure, il y a un point minimum.

Le point est la frontière. Ce n'est pas un point interne au domaine de définition et ne rentre donc pas dans la définition d'un point maximum. Après tout, elle n’a pas de voisins à gauche. De la même manière, sur notre carte il ne peut y avoir de point minimum.

Les points maximum et minimum ensemble sont appelés points extrêmes de la fonction. Dans notre cas, c'est et .

Que faire si vous avez besoin de trouver, par exemple, fonction minimale sur le segment ? DANS dans ce cas répondre: . Parce que fonction minimale est sa valeur au point minimum.

De même, le maximum de notre fonction est . Il est atteint au point .

On peut dire que les extrema de la fonction sont égaux à et .

Parfois, les problèmes nécessitent d'être trouvés valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sur un segment donné. Ils ne coïncident pas nécessairement avec les extrêmes.

Dans notre cas plus petite valeur de fonction sur le segment est égal et coïncide avec le minimum de la fonction. Mais sa plus grande valeur sur ce segment est égale à . On l'atteint à l'extrémité gauche du segment.

Dans tous les cas, les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction continue sur un segment sont atteintes soit aux points extrêmes, soit aux extrémités du segment.

Petite et jolie tâche simple de la catégorie de ceux qui servent de bouée de sauvetage à un étudiant flottant. Nous sommes à la mi-juillet dans la nature, il est donc temps de s'installer avec votre ordinateur portable sur la plage. Tôt le matin, le rayon de soleil de la théorie a commencé à jouer, pour bientôt se concentrer sur la pratique qui, malgré la facilité déclarée, contient des éclats de verre dans le sable. À cet égard, je vous recommande de considérer consciencieusement les quelques exemples de cette page. Pour résoudre des problèmes pratiques, vous devez être capable de trouver des produits dérivés et comprendre le contenu de l'article Intervalles de monotonie et extrema de la fonction.

Tout d’abord, brièvement sur l’essentiel. Dans la leçon sur continuité de fonction J'ai donné la définition de la continuité en un point et de la continuité en un intervalle. L’exemple de comportement d’une fonction sur un segment est formulé de manière similaire. Une fonction est continue sur un intervalle si :

1) il est continu sur l'intervalle ;
2) continu en un point sur la droite et au point gauche.

Dans le deuxième paragraphe, nous avons parlé de ce qu'on appelle continuité unilatérale fonctionne en un point. Il existe plusieurs approches pour le définir, mais je m'en tiendrai à la ligne que j'ai commencée plus tôt :

La fonction est continue au point sur la droite, si elle est définie en un point donné et que sa limite droite coïncide avec la valeur de la fonction en un point donné : . C'est continu au point gauche, s'il est défini en un point donné et que sa limite gauche est égale à la valeur en ce point :

Imaginez que les points verts soient des ongles auxquels est attaché un élastique magique :

Prenez mentalement la ligne rouge entre vos mains. Évidemment, peu importe jusqu'où nous étirons le graphique de haut en bas (le long de l'axe), la fonction restera toujours limité– une clôture en haut, une clôture en bas, et notre produit broute dans le paddock. Ainsi, une fonction continue sur un intervalle est bornée sur celui-ci. Au cours de l’analyse mathématique, ce fait apparemment simple est énoncé et strictement prouvé. Premier théorème de Weierstrass....Beaucoup de gens sont contrariés par le fait que des affirmations élémentaires soient fastidieusement justifiées en mathématiques, mais cela a une signification importante. Supposons qu'un certain habitant du Moyen Âge éponge tire un graphique dans le ciel au-delà des limites de visibilité, celui-ci sera inséré. Avant l’invention du télescope, la fonction limitée dans l’espace n’était pas du tout évidente ! Franchement, comment savoir ce qui nous attend à l’horizon ? Après tout, la Terre était autrefois considérée comme plate, donc aujourd'hui même la téléportation ordinaire nécessite une preuve =)

Selon Deuxième théorème de Weierstrass, continu sur un segmentla fonction atteint son limite supérieure exacte et le vôtre bord inférieur précis .

Le numéro s'appelle aussi la valeur maximale de la fonction sur le segment et sont désignés par , et le nombre est la valeur minimale de la fonction sur le segment marqué .

Dans notre cas:

Note : en théorie, les enregistrements sont courants .

Grosso modo, valeur la plus élevée est l'endroit où se trouve le point le plus élevé du graphique, et le point le plus bas est l'endroit où se trouve le point le plus bas.

Important! Comme déjà souligné dans l'article sur extrema de la fonction, plus grande valeur de fonction Et plus petite valeur de fonction – PAS LE MÊME, Quoi fonction maximale Et fonction minimale. Ainsi, dans l'exemple considéré, le nombre est le minimum de la fonction, mais pas la valeur minimale.

Au fait, que se passe-t-il en dehors du segment ? Oui, même une inondation, dans le contexte du problème considéré, cela ne nous intéresse pas du tout. La tâche consiste uniquement à trouver deux nombres et c'est tout!

De plus, la solution est purement analytique, donc pas besoin de faire un dessin!

L’algorithme se trouve en surface et se suggère à partir de la figure ci-dessus :

1) Trouver les valeurs de la fonction dans points critiques, qui appartiennent à ce segment.

Attrapez un autre bonus : ici il n'est pas nécessaire de vérifier la condition suffisante pour un extremum, puisque, comme nous venons de le montrer, la présence d'un minimum ou d'un maximum ne garantit pas encore, quelle est la valeur minimale ou maximale. La fonction de démonstration atteint un maximum et, par la volonté du destin, ce même nombre est la plus grande valeur de la fonction sur le segment. Mais bien entendu, une telle coïncidence ne se produit pas toujours.

Ainsi, dans un premier temps, il est plus rapide et plus facile de calculer les valeurs de la fonction aux points critiques appartenant au segment, sans se soucier de savoir s'il y a des extrema ou non.

2) On calcule les valeurs de la fonction aux extrémités du segment.

3) Parmi les valeurs de fonction trouvées dans les 1er et 2ème paragraphes, sélectionnez la plus petite et la plus grand nombre, écris la réponse.

Nous nous asseyons au bord de la mer bleue et frappons les eaux peu profondes avec nos talons :

Exemple 1

Trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction sur un segment

Solution:
1) Calculons les valeurs de la fonction aux points critiques appartenant à ce segment :

Calculons la valeur de la fonction au deuxième point critique :

2) Calculons les valeurs de la fonction aux extrémités du segment :

3) Des résultats « audacieux » ont été obtenus avec des exposants et des logarithmes, ce qui complique considérablement leur comparaison. Pour cette raison, armons-nous d’une calculatrice ou d’Excel et calculons des valeurs approximatives, sans oublier que :

Maintenant, tout est clair.

Répondre:

Instance rationnelle fractionnaire pour décision indépendante:

Exemple 6

Trouver le maximum et valeur minimum fonctionne sur un intervalle

Le processus de recherche des valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur un segment rappelle un vol fascinant autour d'un objet (graphique d'une fonction) dans un hélicoptère, tirant en certains points avec un canon à longue portée et sélectionnant très points spéciaux à partir de ces points pour les tirs de contrôle. Les points sont sélectionnés d'une certaine manière et selon certaines règles. Par quelles règles ? Nous en reparlerons plus loin.

Si la fonction oui = F(X) est continue sur l'intervalle [ un, b] , alors il atteint ce segment moins Et valeurs les plus élevées . Cela peut se produire soit dans points extrêmes, ou aux extrémités du segment. Par conséquent, pour trouver moins Et les plus grandes valeurs de la fonction , continu sur l'intervalle [ un, b] , vous devez calculer ses valeurs en tout points critiques et aux extrémités du segment, puis choisissez parmi eux le plus petit et le plus grand.

Supposons, par exemple, que vous souhaitiez déterminer la plus grande valeur de la fonction F(X) sur le segment [ un, b] . Pour ce faire, vous devez trouver tous ses points critiques reposant sur [ un, b] .

Point critique appelé le point auquel fonction définie, et elle dérivé soit égal à zéro, soit n'existe pas. Ensuite, vous devez calculer les valeurs de la fonction aux points critiques. Et enfin, il faut comparer les valeurs de la fonction aux points critiques et aux extrémités du segment ( F(un) Et F(b)). Le plus grand de ces nombres sera la plus grande valeur de la fonction sur le segment [un, b] .

Problèmes de recherche plus petites valeurs de fonction .

Nous recherchons ensemble les valeurs les plus petites et les plus grandes de la fonction

Exemple 1. Trouver les valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur le segment [-1, 2] .

Solution. Trouvez la dérivée de cette fonction. Assumons la dérivée à zéro () et obtenons deux points critiques : et . Pour trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur un segment donné, il suffit de calculer ses valeurs aux extrémités du segment et au point, puisque le point n'appartient pas au segment [-1, 2]. Ces valeurs de fonction sont : , , . Il s'ensuit que plus petite valeur de fonction(indiqué en rouge sur le graphique ci-dessous), égal à -7, est atteint à l'extrémité droite du segment - au point , et le plus grand(également rouge sur le graphique), est égal à 9, - au point critique.

Si une fonction est continue dans un certain intervalle et que cet intervalle n'est pas un segment (mais est, par exemple, un intervalle ; la différence entre un intervalle et un segment : les points limites de l'intervalle ne sont pas inclus dans l'intervalle, mais les les points limites du segment sont inclus dans le segment), alors parmi les valeurs de la fonction, il ne peut y avoir ni la plus petite ni la plus grande. Ainsi, par exemple, la fonction représentée dans la figure ci-dessous est continue sur ]-∞, +∞[ et n'a pas la plus grande valeur.

Cependant, pour tout intervalle (fermé, ouvert ou infini), la propriété suivante des fonctions continues est vraie.

Exemple 4. Trouver les valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur le segment [-1, 3] .

Solution. On retrouve la dérivée de cette fonction comme la dérivée du quotient :

.

Nous assimilons la dérivée à zéro, ce qui nous donne un point critique : . Il appartient au segment [-1, 3] . Pour trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur un segment donné, on retrouve ses valeurs aux extrémités du segment et au point critique trouvé :

Comparons ces valeurs. Conclusion : égal à -5/13, au point et valeur la plus élevéeégal à 1 au point .

Nous continuons à rechercher ensemble les valeurs les plus petites et les plus grandes de la fonction

Il y a des enseignants qui, au sujet de la recherche des valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction, ne donnent pas aux élèves des exemples à résoudre plus complexes que ceux qui viennent d'être évoqués, c'est-à-dire ceux dans lesquels la fonction est un polynôme ou un fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Mais nous ne nous limiterons pas à de tels exemples, car parmi les enseignants il y a ceux qui aiment forcer les élèves à réfléchir pleinement (la table des dérivées). Par conséquent, le logarithme et la fonction trigonométrique seront utilisés.

Exemple 6. Trouver les valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur le segment .

Solution. On trouve la dérivée de cette fonction comme dérivé du produit :

Nous assimilons la dérivée à zéro, ce qui donne un point critique : . Il appartient au segment. Pour trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur un segment donné, on retrouve ses valeurs aux extrémités du segment et au point critique trouvé :

Résultat de toutes les actions : la fonction atteint sa valeur minimale, égal à 0, au point et au point et valeur la plus élevée, égal e², au point.

Exemple 7. Trouver les valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur le segment .

Solution. Trouvez la dérivée de cette fonction :

Nous assimilons la dérivée à zéro :

Le seul point critique appartient au segment. Pour trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur un segment donné, on retrouve ses valeurs aux extrémités du segment et au point critique trouvé :

Conclusion: la fonction atteint sa valeur minimale, égal à , au point et valeur la plus élevée, égal , au point .

Dans les problèmes extrêmes appliqués, trouver les valeurs les plus petites (maximales) d'une fonction revient généralement à trouver le minimum (maximum). Mais ce ne sont pas les minimums ou les maximums eux-mêmes qui présentent le plus grand intérêt pratique, mais les valeurs de l'argumentation auxquelles ils sont atteints. Lors de la résolution de problèmes appliqués, une difficulté supplémentaire surgit : composer des fonctions qui décrivent le phénomène ou le processus considéré.

Exemple 8. Un réservoir d'une capacité de 4, ayant la forme d'un parallélépipède à base carrée et ouvert en haut, doit être étamé. Quelle doit être la taille du réservoir pour que le moins de matériau soit utilisé pour le recouvrir ?

Solution. Laisser X- côté socle, h- hauteur du réservoir, S- sa superficie sans couverture, V- son volume. La surface du réservoir est exprimée par la formule, c'est-à-dire est fonction de deux variables. Exprimer S en fonction d'une variable, on utilise le fait que , d'où . Remplacement de l'expression trouvée h dans la formule pour S:

Examinons cette fonction à son extremum. Il est défini et différentiable partout dans ]0, +∞[ , et

.

Nous assimilons la dérivée à zéro () et trouvons le point critique. De plus, en , la dérivée n'existe pas, mais cette valeur n'entre pas dans le domaine de définition et ne peut donc pas être un point extremum. C’est donc le seul point critique. Vérifions la présence d'un extremum en utilisant le second indication suffisante. Trouvons la dérivée seconde. Lorsque la dérivée seconde est supérieure à zéro (). Cela signifie que lorsque la fonction atteint un minimum . Depuis cela le minimum est le seul extremum de cette fonction, c'est sa plus petite valeur. Ainsi, le côté de la base du réservoir doit être de 2 m et sa hauteur doit être de .

Exemple 9. Du point UN situé sur la voie ferrée, au point AVEC, situé à distance de celui-ci je, la marchandise doit être transportée. Le coût du transport d'une unité de poids par unité de distance par chemin de fer est égal à , et par autoroute, il est égal à . A quel point M lignes chemin de fer une autoroute devrait être construite pour transporter les marchandises de UN V AVECétait le plus économique (section UN B la voie ferrée est supposée être droite) ?

En pratique, il est assez courant d’utiliser la dérivée pour calculer la plus grande et la plus petite valeur d’une fonction. Nous effectuons cette action lorsque nous trouvons comment minimiser les coûts, augmenter les profits, calculer charge optimale pour la production, etc., c'est-à-dire dans les cas où il est nécessaire de déterminer valeur optimale n’importe quel paramètre. Pour résoudre correctement de tels problèmes, vous devez bien comprendre quelles sont les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction.

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Généralement, nous définissons ces valeurs dans un certain intervalle x, qui à son tour peut correspondre à l'ensemble du domaine de la fonction ou à une partie de celui-ci. Cela peut être comme un segment [a; b ] , et intervalle ouvert (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), intervalle infini (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) ou intervalle infini - ∞ ; une , (- ∞ ; une ] , [ une ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Dans cet article, nous vous expliquerons comment calculer explicitement la valeur la plus grande et la plus petite. fonction donnée avec une variable y=f(x) y = f (x) .

Définitions basiques

Commençons, comme toujours, par la formulation des définitions de base.

Définition 1

La plus grande valeur de la fonction y = f (x) sur un certain intervalle x est la valeur m a x y = f (x 0) x ∈ X, qui pour toute valeur x x ∈ X, x ≠ x 0 fait l'inégalité f (x) ≤ f (x) valide 0) .

Définition 2

La plus petite valeur de la fonction y = f (x) sur un certain intervalle x est la valeur m i n x ∈ X y = f (x 0) , ce qui pour toute valeur x ∈ X, x ≠ x 0 fait l'inégalité f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Ces définitions sont assez évidentes. Encore plus simple, on peut dire ceci : la plus grande valeur d'une fonction est sa plus grande valeur. grande importance sur un intervalle connu en abscisse x 0, et la plus petite est la plus petite valeur acceptée sur le même intervalle en x 0.

Définition 3

Les points stationnaires sont les valeurs de l'argument d'une fonction auxquelles sa dérivée devient 0.

Pourquoi avons-nous besoin de savoir ce que sont les points stationnaires ? Pour répondre à cette question, il faut rappeler le théorème de Fermat. Il en résulte qu'un point stationnaire est le point où se situe l'extremum de la fonction différentiable (c'est-à-dire son minimum ou maximum local). Par conséquent, la fonction prendra la valeur la plus petite ou la plus grande sur un certain intervalle précisément en l'un des points stationnaires.

Une fonction peut également prendre la valeur la plus grande ou la plus petite aux points où la fonction elle-même est définie et où sa dérivée première n'existe pas.

Première question qui se pose lorsqu'on étudie ce sujet : dans tous les cas peut-on déterminer la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction sur un intervalle donné ? Non, nous ne pouvons pas faire cela lorsque les limites d'un intervalle donné coïncident avec les limites de la zone de définition, ou si nous avons affaire à un intervalle infini. Il arrive aussi qu'une fonction dans un segment donné ou à l'infini prenne l'infiniment petit ou l'infini grandes valeurs. Dans ces cas, il n’est pas possible de déterminer la valeur la plus grande et/ou la plus petite.

Ces points deviendront plus clairs après avoir été représentés sur les graphiques :

La première figure nous montre une fonction qui prend les valeurs les plus grandes et les plus petites (m a x y et m i n y) en des points stationnaires situés sur le segment [ - 6 ; 6].

Examinons en détail le cas indiqué dans le deuxième graphique. Changeons la valeur du segment en [ 1 ; 6 ] et nous constatons que la valeur maximale de la fonction sera atteinte au point dont l'abscisse est à la limite droite de l'intervalle, et la valeur minimale - au point stationnaire.

Dans la troisième figure, les abscisses des points représentent les points limites du segment [ - 3 ; 2]. Elles correspondent à la plus grande et à la plus petite valeur d'une fonction donnée.

Regardons maintenant la quatrième image. Dans celui-ci, la fonction prend m a x y (la plus grande valeur) et m i n y (la plus petite valeur) à des points stationnaires sur l'intervalle ouvert (- 6 ; 6).

Si l'on prend l'intervalle [ 1 ; 6), alors on peut dire que la plus petite valeur de la fonction sur celui-ci sera atteinte en un point stationnaire. La plus grande valeur nous sera inconnue. La fonction pourrait prendre sa valeur maximale à x égal à 6 si x = 6 appartenait à l'intervalle. C’est exactement le cas montré dans le graphique 5.

Dans le graphique 6, cette fonction acquiert sa plus petite valeur à la limite droite de l'intervalle (- 3 ; 2 ], et nous ne pouvons pas tirer de conclusions définitives sur la plus grande valeur.

Sur la figure 7, nous voyons que la fonction aura m a x y en un point stationnaire ayant une abscisse égale à 1. La fonction atteindra sa valeur minimale à la limite de l'intervalle du côté droit. À moins l'infini, les valeurs de la fonction s'approcheront asymptotiquement de y = 3.

Si l'on prend l'intervalle x ∈ 2 ; + ∞ , alors nous verrons que la fonction donnée ne prendra ni la plus petite ni la plus grande valeur. Si x tend vers 2, alors les valeurs de la fonction tendront vers moins l'infini, puisque la droite x = 2 est une asymptote verticale. Si l'abscisse tend vers plus l'infini, alors les valeurs de la fonction se rapprocheront asymptotiquement de y = 3. C’est exactement le cas illustré à la figure 8.

Dans ce paragraphe, nous présenterons la séquence d'actions à effectuer pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction sur un certain segment.

1. Tout d'abord, trouvons le domaine de définition de la fonction. Vérifions si le segment spécifié dans la condition y est inclus.
2. Calculons maintenant les points contenus dans ce segment pour lesquels la dérivée première n'existe pas. Le plus souvent on les retrouve dans des fonctions dont l'argument est écrit sous le signe du module, ou dans fonctions de puissance, dont l’exposant est un nombre fractionnaire rationnel.
3. Ensuite, nous découvrirons quels points stationnaires tomberont dans le segment donné. Pour ce faire, vous devez calculer la dérivée de la fonction, puis l'assimiler à 0 et résoudre l'équation résultante, puis sélectionner les racines appropriées. Si nous n’obtenons pas un seul point stationnaire ou s’il n’appartient pas au segment donné, nous passons à l’étape suivante.
4. Nous déterminons quelles valeurs la fonction prendra à des points stationnaires donnés (le cas échéant), ou à ces points où la dérivée première n'existe pas (s'il y en a), ou nous calculons les valeurs pour x = a et x = b.
5. 5. Nous disposons d’un certain nombre de valeurs de fonction parmi lesquelles nous devons maintenant sélectionner la plus grande et la plus petite. Ce seront les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction que nous devons trouver.

Voyons comment appliquer correctement cet algorithme lors de la résolution de problèmes.

Exemple 1

Condition: la fonction y = x 3 + 4 x 2 est donnée. Déterminez ses valeurs les plus grandes et les plus petites sur les segments [ 1 ; 4 ] et [ - 4 ; - 1 ] .

Solution:

Commençons par trouver le domaine de définition d'une fonction donnée. Dans ce cas, ce sera l’ensemble de tous les nombres réels sauf 0. En d'autres termes, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Les deux segments spécifiés dans la condition se trouveront à l'intérieur de la zone de définition.

Calculons maintenant la dérivée de la fonction selon la règle de différenciation des fractions :

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x3

Nous avons appris que la dérivée d'une fonction existera en tout point des segments [ 1 ; 4 ] et [ - 4 ; - 1 ] .

Nous devons maintenant déterminer les points stationnaires de la fonction. Faisons cela en utilisant l'équation x 3 - 8 x 3 = 0. Il n’a qu’une seule vraie racine, qui est 2. Ce sera un point stationnaire de la fonction et tombera dans le premier segment [1; 4 ] .

Calculons les valeurs de la fonction aux extrémités du premier segment et à ce stade, c'est-à-dire pour x = 1, x = 2 et x = 4 :

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Nous avons constaté que la plus grande valeur de la fonction m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 sera atteint à x = 1, et le plus petit m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – à x = 2.

Le deuxième segment ne comprend pas un seul point stationnaire, nous devons donc calculer les valeurs de fonction uniquement aux extrémités du segment donné :

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Cela signifie m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m je n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Répondre: Pour le segment [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m je n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , pour le segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m je n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Voir l'image:

Avant d'étudier cette méthode, nous vous conseillons de revoir comment calculer correctement la limite unilatérale et la limite à l'infini, ainsi que d'apprendre les méthodes de base pour les trouver. Pour trouver la plus grande et/ou la plus petite valeur d’une fonction sur un intervalle ouvert ou infini, effectuez les étapes suivantes de manière séquentielle.

1. Vous devez d’abord vérifier si l’intervalle donné est un sous-ensemble du domaine de définition de cette fonction.
2. Déterminons tous les points contenus dans l'intervalle requis et auxquels la dérivée première n'existe pas. Ils apparaissent généralement dans les fonctions où l'argument est entouré du signe du module et dans les fonctions puissance avec un signe fractionnaire. indicateur rationnel. Si ces points manquent, vous pouvez alors passer à l'étape suivante.
3. Déterminons maintenant quels points stationnaires se situeront dans l’intervalle donné. Tout d’abord, nous assimilons la dérivée à 0, résolvons l’équation et sélectionnons les racines appropriées. Si nous n'avons pas un seul point stationnaire ou s'ils ne se situent pas dans l'intervalle donné, alors nous passons immédiatement à actions supplémentaires. Ils sont déterminés par le type d'intervalle.

• Si l'intervalle est de la forme [ a ; b) , alors nous devons calculer la valeur de la fonction au point x = a et la limite unilatérale lim x → b - 0 f (x) .
• Si l'intervalle a la forme (a; b ], alors nous devons calculer la valeur de la fonction au point x = b et la limite unilatérale lim x → a + 0 f (x).
• Si l'intervalle a la forme (a; b), alors nous devons calculer les limites unilatérales lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Si l'intervalle est de la forme [ a ; + ∞), alors nous devons calculer la valeur au point x = a et la limite à plus l'infini lim x → + ∞ f (x) .
• Si l'intervalle ressemble à (- ∞ ; b ] , on calcule la valeur au point x = b et la limite à moins l'infini lim x → - ∞ f (x) .
• Si - ∞ ; b , alors nous considérons la limite unilatérale lim x → b - 0 f (x) et la limite à moins l'infini lim x → - ∞ f (x)
• Si - ∞ ; + ∞ , alors on considère les limites sur moins et plus l'infini lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. À la fin, vous devez tirer une conclusion basée sur les valeurs et limites de la fonction obtenues. De nombreuses options sont disponibles ici. Ainsi, si la limite unilatérale est égale à moins l'infini ou à plus l'infini, alors il est immédiatement clair que rien ne peut être dit sur les valeurs les plus petites et les plus grandes de la fonction. Ci-dessous, nous examinerons un exemple typique. Descriptions détaillées vous aidera à comprendre de quoi il s'agit. Si nécessaire, vous pouvez revenir aux figures 4 à 8 dans la première partie du matériel.

Condition : fonction donnée y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calculez sa plus grande et sa plus petite valeur dans les intervalles - ∞ ; - 4, - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Solution

Tout d’abord, on retrouve le domaine de définition de la fonction. Le dénominateur de la fraction contient trinôme quadratique, qui ne doit pas aller à 0 :

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Nous avons obtenu le domaine de définition de la fonction auquel appartiennent tous les intervalles spécifiés dans la condition.

Maintenant, différencions la fonction et obtenons :

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1" · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Par conséquent, les dérivées d’une fonction existent dans tout son domaine de définition.

Passons à la recherche de points stationnaires. La dérivée de la fonction devient 0 à x = - 1 2 . Il s'agit d'un point stationnaire qui se situe dans les intervalles (- 3 ; 1 ] et (- 3 ; 2) .

Calculons la valeur de la fonction à x = - 4 pour l'intervalle (- ∞ ; - 4 ], ainsi que la limite à moins l'infini :

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Puisque 3 e 1 6 - 4 > - 1, cela signifie que m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Cela ne nous permet pas de déterminer de manière unique la plus petite valeur de fonction. On ne peut que conclure qu'il existe une contrainte en dessous de - 1, puisque c'est de cette valeur que la fonction se rapproche asymptotiquement à moins l'infini.

La particularité du deuxième intervalle est qu'il n'y a pas un seul point stationnaire ni une seule limite stricte. Par conséquent, nous ne pourrons calculer ni la plus grande ni la plus petite valeur de la fonction. Après avoir défini la limite à moins l'infini et comme l'argument tend vers - 3 du côté gauche, on obtient seulement un intervalle de valeurs :

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 et 0 - 4 = - 1

Cela signifie que les valeurs de la fonction seront situées dans l'intervalle - 1 ; +∞

Pour trouver la plus grande valeur de la fonction dans le troisième intervalle, on détermine sa valeur au point stationnaire x = - 1 2 si x = 1. Nous aurons également besoin de connaître la limite unilatérale pour le cas où l'argument tend vers - 3 du côté droit :

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 oui (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Il s'est avéré que la fonction prendra la plus grande valeur en un point stationnaire m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Quant à la plus petite valeur, nous ne pouvons pas la déterminer. Tout ce que nous savons , est la présence d'une limite inférieure à - 4 .

Pour l'intervalle (- 3 ; 2), prenez les résultats du calcul précédent et calculez à nouveau à quoi est égale la limite unilatérale lorsqu'on tend vers 2 sur le côté gauche :

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Cela signifie que m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, et la plus petite valeur ne peut pas être déterminée, et les valeurs de la fonction sont limitées d'en bas par le nombre - 4 .

D'après ce que nous avons obtenu dans les deux calculs précédents, nous pouvons dire que sur l'intervalle [ 1 ; 2) la fonction prendra la plus grande valeur à x = 1, mais il est impossible de trouver la plus petite.

Sur l'intervalle (2 ; + ∞) la fonction n'atteindra ni la plus grande ni la plus petite valeur, c'est-à-dire il prendra les valeurs de l'intervalle - 1 ; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Après avoir calculé à quoi sera égale la valeur de la fonction à x = 4, nous découvrons que m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , et la fonction donnée à plus l'infini s'approchera asymptotiquement de la droite y = - 1 .

Comparons ce que nous avons obtenu dans chaque calcul avec le graphique de la fonction donnée. Sur la figure, les asymptotes sont représentées par des lignes pointillées.

C'est tout ce que nous voulions vous dire sur la recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction. Les séquences d'actions que nous vous avons données vous aideront à effectuer les calculs nécessaires le plus rapidement et le plus simplement possible. Mais rappelez-vous qu'il est souvent utile de déterminer d'abord à quels intervalles la fonction diminuera et à quels intervalles elle augmentera, après quoi vous pourrez tirer d'autres conclusions. De cette façon, vous pouvez déterminer plus précisément les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction et justifier les résultats obtenus.

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