Réduire des fractions au plus petit dénominateur commun, règle, exemples, solutions

Multiplication entrecroisée

Méthode du diviseur commun

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Pour apprécier la différence que fait la méthode multiple la moins courante, essayez de calculer ces mêmes exemples en utilisant la méthode croisée.

Dénominateur commun des fractions

Bien sûr, sans calculatrice. Je pense qu'après cela, les commentaires seront inutiles.

Voir également:

Au départ, je voulais inclure des techniques de dénominateur commun dans la section Ajout et soustraction de fractions. Mais il y avait tellement d’informations et leur importance était si grande (après tout, non seulement fractions numériques), qu'il est préférable d'étudier cette question séparément.

Disons donc que nous avons deux fractions avec différents dénominateurs. Et nous voulons nous assurer que les dénominateurs deviennent les mêmes. La propriété fondamentale d'une fraction vient à la rescousse, qui, je vous le rappelle, ressemble à ceci :

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Ainsi, si vous choisissez correctement les facteurs, les dénominateurs des fractions deviendront égaux - c'est ce qu'on appelle le processus. Et les nombres requis, « égalisant » les dénominateurs, sont appelés.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ? Voici quelques raisons :

1. Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
2. Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
3. Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Pourcentages sont, en fait, des expressions ordinaires contenant des fractions.

Il existe de nombreuses façons de trouver des nombres qui, une fois multipliés par eux, rendront les dénominateurs des fractions égaux. Nous n'en considérerons que trois - par ordre croissant de complexité et, en un sens, d'efficacité.

Multiplication entrecroisée

Le plus simple et manière fiable, ce qui garantit l'égalisation des dénominateurs. Nous agirons « à corps perdu » : nous multiplions la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et la seconde par le dénominateur de la première. En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au produit des dénominateurs d’origine. Regarde:

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On a:

Oui, c'est aussi simple que cela. Si vous commencez tout juste à étudier les fractions, il est préférable de travailler en utilisant cette méthode - de cette façon, vous vous assurerez contre de nombreuses erreurs et serez assuré d'obtenir le résultat.

Le seul inconvénient cette méthode- il faut beaucoup compter, car les dénominateurs sont multipliés « encore et encore », et le résultat peut être de très grands nombres. C'est le prix à payer pour la fiabilité.

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

1. Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l’un d’eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
2. Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
3. Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

D’ailleurs, je n’ai pas pris les fractions de cet exemple par hasard. Si cela vous intéresse, essayez de les compter en utilisant la méthode entrecroisée. Après réduction, les réponses seront les mêmes, mais il y aura beaucoup plus de travail.

C'est la force de la méthode diviseurs communs, mais, je le répète, il ne peut être utilisé que dans le cas où l'un des dénominateurs est divisé par l'autre sans reste. Ce qui arrive assez rarement.

Méthode multiple la moins courante

Lorsque nous réduisons des fractions à un dénominateur commun, nous essayons essentiellement de trouver un nombre divisible par chaque dénominateur. Ensuite, nous ramenons les dénominateurs des deux fractions à ce nombre.

Il existe de nombreux nombres de ce type, et le plus petit d'entre eux ne sera pas nécessairement égal au produit direct des dénominateurs des fractions originales, comme le suppose la méthode « entrecroisée ».

Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est bien inférieur au produit 8 12 = 96.

Le plus petit nombre, qui est divisible par chacun des dénominateurs, est appelé leur (LCM).

Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a; b). Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24.

Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regarde les exemples:

Comment trouver le plus petit dénominateur commun

Trouvez le sens des expressions :

Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 · 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :

Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :

1. Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
2. À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.

Ne pense pas qu'il existe de tels fractions complexes ne sera pas le cas dans des exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !

Le seul problème est de savoir comment trouver ce même NOC. Parfois, tout est trouvé en quelques secondes, littéralement « à l'œil nu », mais en général, il s'agit d'une tâche informatique complexe qui nécessite une considération distincte. Nous n’en parlerons pas ici.

Voir également:

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Au départ, je voulais inclure des techniques de dénominateur commun dans la section Ajout et soustraction de fractions. Mais il s'est avéré qu'il y avait tellement d'informations et leur importance est si grande (après tout, les fractions numériques ne sont pas les seules à avoir des dénominateurs communs) qu'il est préférable d'étudier cette question séparément.

Supposons donc que nous ayons deux fractions avec des dénominateurs différents. Et nous voulons nous assurer que les dénominateurs deviennent les mêmes. La propriété fondamentale d'une fraction vient à la rescousse, qui, je vous le rappelle, ressemble à ceci :

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Ainsi, si vous choisissez correctement les facteurs, les dénominateurs des fractions deviendront égaux - c'est ce qu'on appelle le processus. Et les nombres requis, « égalisant » les dénominateurs, sont appelés.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ?

Dénominateur commun, concept et définition.

Voici quelques raisons :

1. Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
2. Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
3. Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Les pourcentages sont essentiellement des expressions ordinaires contenant des fractions.

Il existe de nombreuses façons de trouver des nombres qui, une fois multipliés par eux, rendront les dénominateurs des fractions égaux. Nous n'en considérerons que trois - par ordre croissant de complexité et, en un sens, d'efficacité.

Multiplication entrecroisée

La méthode la plus simple et la plus fiable, qui garantit l'égalisation des dénominateurs. Nous agirons « à corps perdu » : nous multiplions la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et la seconde par le dénominateur de la première. En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au produit des dénominateurs d’origine. Regarde:

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On a:

Oui, c'est aussi simple que cela. Si vous commencez tout juste à étudier les fractions, il est préférable de travailler en utilisant cette méthode - de cette façon, vous vous assurerez contre de nombreuses erreurs et serez assuré d'obtenir le résultat.

Le seul inconvénient de cette méthode est qu'il faut compter beaucoup, car les dénominateurs sont multipliés « jusqu'au bout », et le résultat peut être de très grands nombres. C'est le prix à payer pour la fiabilité.

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

1. Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l’un d’eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
2. Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
3. Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

D’ailleurs, je n’ai pas pris les fractions de cet exemple par hasard. Si cela vous intéresse, essayez de les compter en utilisant la méthode entrecroisée. Après réduction, les réponses seront les mêmes, mais il y aura beaucoup plus de travail.

C'est là toute la puissance de la méthode des diviseurs communs, mais, encore une fois, elle ne peut être utilisée que lorsque l'un des dénominateurs est divisible par l'autre sans reste. Ce qui arrive assez rarement.

Méthode multiple la moins courante

Lorsque nous réduisons des fractions à un dénominateur commun, nous essayons essentiellement de trouver un nombre divisible par chaque dénominateur. Ensuite, nous ramenons les dénominateurs des deux fractions à ce nombre.

Il existe de nombreux nombres de ce type, et le plus petit d'entre eux ne sera pas nécessairement égal au produit direct des dénominateurs des fractions originales, comme le suppose la méthode « entrecroisée ».

Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est bien inférieur au produit 8 12 = 96.

Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur (LCM).

Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a; b). Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24.

Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regarde les exemples:

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 · 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :

Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :

1. Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
2. À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.

Pour apprécier la différence que fait la méthode multiple la moins courante, essayez de calculer ces mêmes exemples en utilisant la méthode croisée. Bien sûr, sans calculatrice. Je pense qu'après cela, les commentaires seront inutiles.

Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !

Le seul problème est de savoir comment trouver ce même NOC. Parfois, tout est trouvé en quelques secondes, littéralement « à l'œil nu », mais en général, il s'agit d'une tâche informatique complexe qui nécessite une considération distincte. Nous n’en parlerons pas ici.

Voir également:

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Au départ, je voulais inclure des techniques de dénominateur commun dans la section Ajout et soustraction de fractions. Mais il s'est avéré qu'il y avait tellement d'informations et leur importance est si grande (après tout, les fractions numériques ne sont pas les seules à avoir des dénominateurs communs) qu'il est préférable d'étudier cette question séparément.

Supposons donc que nous ayons deux fractions avec des dénominateurs différents. Et nous voulons nous assurer que les dénominateurs deviennent les mêmes. La propriété fondamentale d'une fraction vient à la rescousse, qui, je vous le rappelle, ressemble à ceci :

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Ainsi, si vous choisissez correctement les facteurs, les dénominateurs des fractions deviendront égaux - c'est ce qu'on appelle le processus. Et les nombres requis, « égalisant » les dénominateurs, sont appelés.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ? Voici quelques raisons :

1. Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
2. Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
3. Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Les pourcentages sont essentiellement des expressions ordinaires contenant des fractions.

Il existe de nombreuses façons de trouver des nombres qui, une fois multipliés par eux, rendront les dénominateurs des fractions égaux. Nous n'en considérerons que trois - par ordre croissant de complexité et, en un sens, d'efficacité.

Multiplication entrecroisée

La méthode la plus simple et la plus fiable, qui garantit l'égalisation des dénominateurs. Nous agirons « à corps perdu » : nous multiplions la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et la seconde par le dénominateur de la première. En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au produit des dénominateurs d’origine.

Regarde:

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On a:

Oui, c'est aussi simple que cela. Si vous commencez tout juste à étudier les fractions, il est préférable de travailler en utilisant cette méthode - de cette façon, vous vous assurerez contre de nombreuses erreurs et serez assuré d'obtenir le résultat.

Le seul inconvénient de cette méthode est qu'il faut compter beaucoup, car les dénominateurs sont multipliés « jusqu'au bout », et le résultat peut être de très grands nombres. C'est le prix à payer pour la fiabilité.

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

1. Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l’un d’eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
2. Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
3. Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

D’ailleurs, je n’ai pas pris les fractions de cet exemple par hasard. Si cela vous intéresse, essayez de les compter en utilisant la méthode entrecroisée. Après réduction, les réponses seront les mêmes, mais il y aura beaucoup plus de travail.

C'est là toute la puissance de la méthode des diviseurs communs, mais, encore une fois, elle ne peut être utilisée que lorsque l'un des dénominateurs est divisible par l'autre sans reste. Ce qui arrive assez rarement.

Méthode multiple la moins courante

Lorsque nous réduisons des fractions à un dénominateur commun, nous essayons essentiellement de trouver un nombre divisible par chaque dénominateur. Ensuite, nous ramenons les dénominateurs des deux fractions à ce nombre.

Il existe de nombreux nombres de ce type, et le plus petit d'entre eux ne sera pas nécessairement égal au produit direct des dénominateurs des fractions originales, comme le suppose la méthode « entrecroisée ».

Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est bien inférieur au produit 8 12 = 96.

Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur (LCM).

Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a; b). Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24.

Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regarde les exemples:

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 · 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :

Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :

1. Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
2. À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.

Pour apprécier la différence que fait la méthode multiple la moins courante, essayez de calculer ces mêmes exemples en utilisant la méthode croisée. Bien sûr, sans calculatrice. Je pense qu'après cela, les commentaires seront inutiles.

Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !

Le seul problème est de savoir comment trouver ce même NOC. Parfois, tout est trouvé en quelques secondes, littéralement « à l'œil nu », mais en général, il s'agit d'une tâche informatique complexe qui nécessite une considération distincte. Nous n’en parlerons pas ici.

Voir également:

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Au départ, je voulais inclure des techniques de dénominateur commun dans la section Ajout et soustraction de fractions. Mais il s'est avéré qu'il y avait tellement d'informations et leur importance est si grande (après tout, les fractions numériques ne sont pas les seules à avoir des dénominateurs communs) qu'il est préférable d'étudier cette question séparément.

Supposons donc que nous ayons deux fractions avec des dénominateurs différents. Et nous voulons nous assurer que les dénominateurs deviennent les mêmes. La propriété fondamentale d'une fraction vient à la rescousse, qui, je vous le rappelle, ressemble à ceci :

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Ainsi, si vous choisissez correctement les facteurs, les dénominateurs des fractions deviendront égaux - c'est ce qu'on appelle le processus. Et les nombres requis, « égalisant » les dénominateurs, sont appelés.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ? Voici quelques raisons :

1. Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
2. Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
3. Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Les pourcentages sont essentiellement des expressions ordinaires contenant des fractions.

Il existe de nombreuses façons de trouver des nombres qui, une fois multipliés par eux, rendront les dénominateurs des fractions égaux. Nous n'en considérerons que trois - par ordre croissant de complexité et, en un sens, d'efficacité.

Multiplication entrecroisée

La méthode la plus simple et la plus fiable, qui garantit l'égalisation des dénominateurs. Nous agirons « à corps perdu » : nous multiplions la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et la seconde par le dénominateur de la première. En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au produit des dénominateurs d’origine. Regarde:

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On a:

Oui, c'est aussi simple que cela. Si vous commencez tout juste à étudier les fractions, il est préférable de travailler en utilisant cette méthode - de cette façon, vous vous assurerez contre de nombreuses erreurs et serez assuré d'obtenir le résultat.

Le seul inconvénient de cette méthode est qu'il faut compter beaucoup, car les dénominateurs sont multipliés « jusqu'au bout », et le résultat peut être de très grands nombres.

Réduire les fractions à un dénominateur commun

C'est le prix à payer pour la fiabilité.

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

1. Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l’un d’eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
2. Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
3. Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

D’ailleurs, je n’ai pas pris les fractions de cet exemple par hasard. Si cela vous intéresse, essayez de les compter en utilisant la méthode entrecroisée. Après réduction, les réponses seront les mêmes, mais il y aura beaucoup plus de travail.

C'est là toute la puissance de la méthode des diviseurs communs, mais, encore une fois, elle ne peut être utilisée que lorsque l'un des dénominateurs est divisible par l'autre sans reste. Ce qui arrive assez rarement.

Méthode multiple la moins courante

Lorsque nous réduisons des fractions à un dénominateur commun, nous essayons essentiellement de trouver un nombre divisible par chaque dénominateur. Ensuite, nous ramenons les dénominateurs des deux fractions à ce nombre.

Il existe de nombreux nombres de ce type, et le plus petit d'entre eux ne sera pas nécessairement égal au produit direct des dénominateurs des fractions originales, comme le suppose la méthode « entrecroisée ».

Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est bien inférieur au produit 8 12 = 96.

Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur (LCM).

Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a; b). Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8 ; 12) = 24.

Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regarde les exemples:

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 · 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :

Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :

1. Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
2. À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.

Pour apprécier la différence que fait la méthode multiple la moins courante, essayez de calculer ces mêmes exemples en utilisant la méthode croisée. Bien sûr, sans calculatrice. Je pense qu'après cela, les commentaires seront inutiles.

Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !

Le seul problème est de savoir comment trouver ce même NOC. Parfois, tout est trouvé en quelques secondes, littéralement « à l'œil nu », mais en général, il s'agit d'une tâche informatique complexe qui nécessite une considération distincte. Nous n’en parlerons pas ici.

Cette méthode a du sens si le degré du polynôme n'est pas inférieur à deux. Dans ce cas, le facteur commun peut être non seulement un binôme du premier degré, mais également des degrés supérieurs.

Pour trouver un point commun facteur En termes de polynôme, il est nécessaire d'effectuer un certain nombre de transformations. Le binôme ou monôme le plus simple pouvant être retiré des parenthèses sera l'une des racines du polynôme. Évidemment, dans le cas où le polynôme n'a pas de terme libre, il y aura une inconnue au premier degré - le polynôme, égal à 0.

Il est plus difficile de trouver un facteur commun lorsque le terme libre n'est pas égal à zéro. Des méthodes de sélection ou de regroupement simple sont alors applicables. Par exemple, supposons que toutes les racines du polynôme soient rationnelles et que tous les coefficients du polynôme soient des entiers : y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.

Notez tous les diviseurs entiers du terme libre. Si un polynôme a des racines rationnelles, alors elles en font partie. À la suite de la sélection, les racines 2 et -3 sont obtenues. Cela signifie que les facteurs communs de ce polynôme seront les binômes (y - 2) et (y + 3).

La méthode de factorisation courante est l'une des composantes de la factorisation. La méthode décrite ci-dessus est applicable si le coefficient du degré le plus élevé est 1. Si ce n'est pas le cas, il faut d'abord effectuer une série de transformations. Par exemple : 2 ans³ + 19 ans² + 41 ans + 15.

Faites une substitution de la forme t = 2³·y³. Pour cela, multipliez tous les coefficients du polynôme par 4 : 2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Après remplacement : t³ + 19·t² + 82·t + 60. Maintenant, à trouver le facteur commun, nous appliquons la méthode ci-dessus.

En plus, méthode efficace Trouver un facteur commun correspond aux éléments d'un polynôme. C'est particulièrement utile lorsque la première méthode ne fonctionne pas, c'est-à-dire Le polynôme n'a pas de racines rationnelles. Toutefois, les regroupements ne sont pas toujours évidents. Par exemple : Le polynôme y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 n'a pas de racines entières.

Utiliser le regroupement : y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1). Le facteur commun des éléments de ce polynôme est (y² - 2).

La multiplication et la division, tout comme l’addition et la soustraction, sont des opérations arithmétiques de base. Sans apprendre à résoudre des exemples de multiplication et de division, une personne rencontrera de nombreuses difficultés non seulement lors de l'étude de sections plus complexes des mathématiques, mais même dans les affaires quotidiennes les plus ordinaires. La multiplication et la division sont étroitement liées, et les composantes inconnues des exemples et des problèmes impliquant l'une de ces opérations sont calculées à l'aide de l'autre opération. Dans le même temps, il est nécessaire de comprendre clairement que lors de la résolution d'exemples, les objets que vous divisez ou multipliez ne font absolument aucune différence.

Tu auras besoin de

• - table de multiplication;
• - une calculatrice ou une feuille de papier et un crayon.

Instructions

Notez l'exemple dont vous avez besoin. Étiquetez l’inconnu facteur comme un X. Un exemple pourrait ressembler à ceci : a*x=b. Au lieu du facteur a et du produit b dans l'exemple, il peut y avoir n'importe quel nombre ou. Rappelez-vous le principe de base de la multiplication : changer la place des facteurs ne change pas le produit. Tellement inconnu facteur x peut être placé absolument n’importe où.

Pour trouver l'inconnu facteur dans un exemple où il n'y a que deux facteurs, il suffit de diviser le produit par le connu facteur. Autrement dit, cela se fait comme suit : x=b/a. Si vous avez du mal à opérer avec des quantités abstraites, essayez d’imaginer ce problème sous forme d’objets concrets. Vous, vous n’avez que des pommes et combien vous en mangerez, mais vous ne savez pas combien de pommes tout le monde aura. Par exemple, vous avez 5 membres de la famille et il y a 15 pommes. Désignez x le nombre de pommes destinées à chacun. L’équation ressemblera alors à ceci : 5(pommes)*x=15(pommes). Inconnu facteur se trouve de la même manière que dans l'équation avec des lettres, c'est-à-dire diviser 15 pommes entre cinq membres de la famille, au final il s'avère que chacun d'eux a mangé 3 pommes.

De la même manière l'inconnu est trouvé facteur avec le nombre de facteurs. Par exemple, l'exemple ressemble à a*b*c*x*=d. En théorie, trouvez avec facteur c'est possible de la même manière que dans l'exemple suivant : x=d/a*b*c. Mais l’équation peut être réduite à plus vue simple, désignant le produit de facteurs connus avec une autre lettre - par exemple, m. Trouvez à quoi m est égal en multipliant nombres a,b et c : m=a*b*c. Ensuite, l'exemple entier peut être représenté par m*x=d, et la quantité inconnue sera égale à x=d/m.

Si connu facteur et le produit sont des fractions, l'exemple est résolu exactement de la même manière que pour . Mais dans ce cas, vous devez vous souvenir des actions. Lors de la multiplication de fractions, leurs numérateurs et dénominateurs sont multipliés. Lors de la division de fractions, le numérateur du dividende est multiplié par le dénominateur du diviseur et le dénominateur du dividende est multiplié par le numérateur du diviseur. Autrement dit, dans ce cas, l'exemple ressemblera à ceci : a/b*x=c/d. Afin de trouver une quantité inconnue, vous devez diviser le produit par le connu facteur. Autrement dit, x=a/b:c/d =a*d/b*c.

Vidéo sur le sujet

note

Lors de la résolution d'exemples avec des fractions, la fraction d'un facteur connu peut simplement être inversée et l'action effectuée sous la forme d'une multiplication de fractions.

Un polynôme est la somme de monômes. Un monôme est le produit de plusieurs facteurs, qui sont un chiffre ou une lettre. Degré inconnu est le nombre de fois où il est multiplié par lui-même.

Instructions

Merci de le fournir si ce n'est pas déjà fait. Les monômes similaires sont des monômes du même type, c'est-à-dire des monômes avec les mêmes inconnues du même degré.

Prenons, par exemple, le polynôme 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Ce polynôme a deux inconnues : x et y.

Connectez des monômes similaires. Les monômes avec la deuxième puissance de y et la troisième puissance de x prendront la forme y²*x³, et les monômes avec la quatrième puissance de y s'annuleront. Il s'avère que y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.

Prenez y comme principale lettre inconnue. Trouvez le degré maximum pour y inconnu. Il s'agit d'un monôme y²*x³ et, par conséquent, du degré 2.

Tirer une conclusion. Degré polynôme 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² dans x est égal à trois, et dans y est égal à deux.

Trouver le diplôme polynôme√x+5*y par y. Il est égal au degré maximum de y, c'est-à-dire un.

Trouver le diplôme polynôme√x+5*y dans x. L'inconnu x est localisé, ce qui signifie que son degré sera une fraction. Puisque la racine est une racine carrée, la puissance de x est 1/2.

Tirer une conclusion. Pour polynôme√x+5*y la puissance x est 1/2 et la puissance y est 1.

Vidéo sur le sujet

Simplification expressions algébriques requis dans de nombreux domaines des mathématiques, y compris la résolution d'équations diplômes supérieurs, différenciation et intégration. Plusieurs méthodes sont utilisées, dont la factorisation. Pour appliquer cette méthode, vous devez trouver et faire un général facteur derrière supports.

Pour résoudre des exemples avec des fractions, vous devez être capable de trouver le plus petit dénominateur commun. Vous trouverez ci-dessous des instructions détaillées.

Comment trouver le plus petit dénominateur commun - concept

Plus petit dénominateur commun (LCD) en mots simples est le nombre minimum divisible par les dénominateurs de toutes les fractions dans cet exemple. En d’autres termes, on l’appelle le plus petit commun multiple (LCM). NOS n'est utilisé que si les dénominateurs des fractions sont différents.

Comment trouver le plus petit dénominateur commun – exemples

Examinons des exemples de recherche de CNO.

Calculez : 3/5 + 2/15.

Solution (séquence d'actions) :

• Nous regardons les dénominateurs des fractions, veillons à ce qu'ils soient différents et que les expressions soient les plus abrégées possible.
• On trouve le plus petit nombre divisible à la fois par 5 et par 15. Ce nombre sera 15. Ainsi, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Nous avons trouvé le dénominateur. Que contiendra le numérateur ? Un multiplicateur supplémentaire nous aidera à comprendre cela. Un facteur supplémentaire est le nombre obtenu en divisant le NZ par le dénominateur d'une fraction particulière. Pour 3/5, le facteur supplémentaire est 3, puisque 15/5 = 3. Pour la deuxième fraction, le facteur supplémentaire est 1, puisque 15/15 = 1.
• Après avoir découvert le facteur supplémentaire, nous le multiplions par les numérateurs des fractions et ajoutons les valeurs résultantes. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Réponse : 3/5 + 2/15 = 11/15.

Si dans l'exemple, non pas 2, mais 3 fractions ou plus sont ajoutées ou soustraites, alors le NCD doit être recherché pour autant de fractions qu'indiqué.

Calculer : 1/2 – 5/12 + 3/6

Solution (séquence d'actions) :

• Trouver le plus petit dénominateur commun. Le nombre minimum divisible par 2, 12 et 6 est 12.
• On obtient : 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Nous recherchons des multiplicateurs supplémentaires. Pour 1/2 – 6 ; pour 5/12 – 1 ; pour 3/6 – 2.
• Nous multiplions par les numérateurs et attribuons les signes correspondants : 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Réponse : 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

Au départ, je voulais inclure des techniques de dénominateur commun dans la section Ajout et soustraction de fractions. Mais il s'est avéré qu'il y avait tellement d'informations et leur importance est si grande (après tout, les fractions numériques ne sont pas les seules à avoir des dénominateurs communs) qu'il est préférable d'étudier cette question séparément.

Supposons donc que nous ayons deux fractions avec des dénominateurs différents. Et nous voulons nous assurer que les dénominateurs deviennent les mêmes. La propriété fondamentale d'une fraction vient à la rescousse, qui, je vous le rappelle, ressemble à ceci :

Une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont multipliés par le même nombre autre que zéro.

Ainsi, si vous choisissez correctement les facteurs, les dénominateurs des fractions deviendront égaux - ce processus est appelé réduction à un dénominateur commun. Et les nombres requis, « égalisant » les dénominateurs, sont appelés facteurs supplémentaires.

Pourquoi devons-nous réduire les fractions à un dénominateur commun ? Voici quelques raisons :

1. Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs. Il n'existe pas d'autre moyen d'effectuer cette opération ;
2. Comparer des fractions. Parfois, la réduction à un dénominateur commun simplifie grandement cette tâche ;
3. Résoudre des problèmes impliquant des fractions et des pourcentages. Les pourcentages sont essentiellement des expressions ordinaires contenant des fractions.

Il existe de nombreuses façons de trouver des nombres qui, une fois multipliés par eux, rendront les dénominateurs des fractions égaux. Nous n'en considérerons que trois - par ordre croissant de complexité et, en un sens, d'efficacité.

Multiplication entrecroisée

La méthode la plus simple et la plus fiable, qui garantit l'égalisation des dénominateurs. Nous agirons « à corps perdu » : nous multiplions la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et la seconde par le dénominateur de la première. En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au produit des dénominateurs d’origine. Regarde:

Comme facteurs supplémentaires, considérons les dénominateurs des fractions voisines. On a:

Oui, c'est aussi simple que cela. Si vous commencez tout juste à étudier les fractions, il est préférable de travailler en utilisant cette méthode - de cette façon, vous vous assurerez contre de nombreuses erreurs et serez assuré d'obtenir le résultat.

Le seul inconvénient de cette méthode est qu'il faut compter beaucoup, car les dénominateurs sont multipliés « jusqu'au bout », et le résultat peut être de très grands nombres. C'est le prix à payer pour la fiabilité.

Méthode du diviseur commun

Cette technique permet de réduire considérablement les calculs, mais, malheureusement, elle est assez rarement utilisée. La méthode est la suivante :

1. Avant d’aller tout droit (c’est-à-dire en utilisant la méthode entrecroisée), jetez un œil aux dénominateurs. Peut-être que l’un d’eux (celui qui est le plus grand) est divisé en un autre.
2. Le nombre résultant de cette division sera un facteur supplémentaire pour la fraction ayant un plus petit dénominateur.
3. Dans ce cas, une fraction avec un grand dénominateur n'a pas besoin d'être multipliée par quoi que ce soit - c'est là que résident les économies. Dans le même temps, la probabilité d’erreur est considérablement réduite.

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 84 : 21 = 4 ; 72 : 12 = 6. Puisque dans les deux cas un dénominateur est divisé sans reste par l'autre, nous utilisons la méthode des facteurs communs. Nous avons:

Notez que la deuxième fraction n’a été multipliée par rien du tout. En fait, nous avons réduit de moitié la quantité de calcul !

D’ailleurs, je n’ai pas pris les fractions de cet exemple par hasard. Si cela vous intéresse, essayez de les compter en utilisant la méthode entrecroisée. Après réduction, les réponses seront les mêmes, mais il y aura beaucoup plus de travail.

C'est là toute la puissance de la méthode des diviseurs communs, mais, encore une fois, elle ne peut être utilisée que lorsque l'un des dénominateurs est divisible par l'autre sans reste. Ce qui arrive assez rarement.

Méthode multiple la moins courante

Lorsque nous réduisons des fractions à un dénominateur commun, nous essayons essentiellement de trouver un nombre divisible par chaque dénominateur. Ensuite, nous ramenons les dénominateurs des deux fractions à ce nombre.

Il existe de nombreux nombres de ce type, et le plus petit d'entre eux ne sera pas nécessairement égal au produit direct des dénominateurs des fractions originales, comme le suppose la méthode « entrecroisée ».

Par exemple, pour les dénominateurs 8 et 12, le nombre 24 convient tout à fait, puisque 24 : 8 = 3 ; 24 : 12 = 2. Ce nombre est bien inférieur au produit 8 · 12 = 96.

Le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs est appelé leur plus petit commun multiple (LCM).

Notation : Le plus petit commun multiple de a et b est noté LCM(a ; b) . Par exemple, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8, 12) = 24 .

Si vous parvenez à trouver un tel nombre, le nombre total de calculs sera minime. Regarde les exemples:

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Notez que 234 = 117 2 ; 351 = 117 3. Les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1) et le facteur 117 est commun. Donc LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

De même, 15 = 5 3 ; 20 = 5 · 4. Les facteurs 3 et 4 sont premiers entre eux et le facteur 5 est commun. Donc LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Ramenons maintenant les fractions aux dénominateurs communs :

Remarquez à quel point il était utile de factoriser les dénominateurs d'origine :

1. Ayant découvert des facteurs identiques, nous sommes immédiatement arrivés au plus petit commun multiple, ce qui, d'une manière générale, est un problème non trivial ;
2. À partir du développement obtenu, vous pouvez découvrir quels facteurs sont « manquants » dans chaque fraction. Par exemple, 234 · 3 = 702, donc pour la première fraction le facteur supplémentaire est 3.

Pour apprécier la différence que fait la méthode multiple la moins courante, essayez de calculer ces mêmes exemples en utilisant la méthode croisée. Bien sûr, sans calculatrice. Je pense qu'après cela, les commentaires seront inutiles.

Ne pensez pas qu'il n'y aura pas de fractions aussi complexes dans les exemples réels. Ils se rencontrent tout le temps, et les tâches ci-dessus ne sont pas la limite !

Le seul problème est de savoir comment trouver ce même NOC. Parfois, tout est trouvé en quelques secondes, littéralement « à l'œil nu », mais en général, il s'agit d'une tâche informatique complexe qui nécessite une considération distincte. Nous n’en parlerons pas ici.

Dans cette leçon, nous examinerons la réduction des fractions à un dénominateur commun et résoudrons des problèmes sur ce sujet. Définissons la notion de dénominateur commun et de facteur supplémentaire, rappelons la mutuelle nombres premiers. Définissons le concept de plus petit dénominateur commun (LCD) et résolvons un certain nombre de problèmes pour le trouver.

Sujet : Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs

Leçon : Réduire des fractions à un dénominateur commun

Répétition. La propriété principale d'une fraction.

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés ou divisés par le même entier naturel, alors vous obtenez une fraction égale.

Par exemple, le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être divisés par 2. Nous obtenons la fraction. Cette opération est appelée réduction de fraction. Vous pouvez également effectuer la transformation inverse en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2. Dans ce cas, on dit que l'on a réduit la fraction à un nouveau dénominateur. Le chiffre 2 est appelé facteur supplémentaire.

Conclusion. Une fraction peut être réduite à n’importe quel dénominateur qui est un multiple du dénominateur de la fraction donnée. Pour amener une fraction à un nouveau dénominateur, son numérateur et son dénominateur sont multipliés par un facteur supplémentaire.

1. Réduisez la fraction au dénominateur 35.

Le nombre 35 est un multiple de 7, c'est-à-dire que 35 est divisible par 7 sans reste. Cela signifie que cette transformation est possible. Trouvons un facteur supplémentaire. Pour ce faire, divisez 35 par 7. Nous obtenons 5. Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par 5.

2. Réduisez la fraction au dénominateur 18.

Trouvons un facteur supplémentaire. Pour ce faire, divisez le nouveau dénominateur par celui d'origine. On obtient 3. Multipliez le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 3.

3. Réduisez la fraction à un dénominateur de 60.

Diviser 60 par 15 donne un facteur supplémentaire. Il est égal à 4. Multipliez le numérateur et le dénominateur par 4.

4. Réduire la fraction au dénominateur 24

Dans les cas simples, la réduction à un nouveau dénominateur s'effectue mentalement. Il est seulement d'usage d'indiquer le facteur supplémentaire derrière une parenthèse légèrement à droite et au-dessus de la fraction originale.

Une fraction peut être réduite à un dénominateur de 15 et une fraction peut être réduite à un dénominateur de 15. Les fractions ont également un dénominateur commun de 15.

Le dénominateur commun des fractions peut être n’importe quel multiple commun de leurs dénominateurs. Par souci de simplicité, les fractions sont réduites à leur plus petit dénominateur commun. Il est égal au plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions données.

Exemple. Réduisez les fractions et au plus petit dénominateur commun.

Tout d'abord, trouvons le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions. Ce nombre est 12. Trouvons un facteur supplémentaire pour les première et deuxième fractions. Pour ce faire, divisez 12 par 4 et 6. Trois est un facteur supplémentaire pour la première fraction et deux pour la seconde. Ramenons les fractions au dénominateur 12.

Nous avons ramené les fractions à un dénominateur commun, c'est-à-dire que nous avons trouvé des fractions égales qui ont le même dénominateur.

Règle. Pour réduire des fractions à leur plus petit dénominateur commun, il faut

Trouvez d’abord le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions, ce sera leur plus petit commun dénominateur ;

Deuxièmement, divisez le plus petit dénominateur commun par les dénominateurs de ces fractions, c'est-à-dire trouvez un facteur supplémentaire pour chaque fraction.

Troisièmement, multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par son facteur supplémentaire.

a) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Le plus petit dénominateur commun est 12. Le facteur supplémentaire pour la première fraction est 4, pour la seconde - 3. Nous réduisons les fractions au dénominateur 24.

b) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Le plus petit dénominateur commun est 45. Diviser 45 par 9 par 15 donne respectivement 5 et 3. Nous réduisons les fractions au dénominateur 45.

c) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Le dénominateur commun est 24. Les facteurs supplémentaires sont respectivement 2 et 3.

Parfois, il peut être difficile de trouver verbalement le plus petit commun multiple des dénominateurs de fractions données. Ensuite, le dénominateur commun et les facteurs supplémentaires sont trouvés en décomposant en facteurs premiers.

Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Factorisons les nombres 60 et 168 en facteurs premiers. Écrivons le développement du nombre 60 et ajoutons les facteurs manquants 2 et 7 du deuxième développement. Multiplions 60 par 14 et obtenons un dénominateur commun de 840. Le facteur supplémentaire pour la première fraction est 14. Le facteur supplémentaire pour la deuxième fraction est 5. Ramenons les fractions à un dénominateur commun de 840.

Bibliographie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et autres Mathématiques 6. - M. : Mnémosyne, 2012.

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3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Derrière les pages d'un manuel de mathématiques. - Lumières, 1989.

4. Rurukin A.N., Tchaïkovski I.V. Devoirs pour le cours de mathématiques, 5e et 6e années. - ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaïkovski K.G. Mathématiques 5-6. Un manuel pour les élèves de 6e année de l'école par correspondance MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. et autres Mathématiques : Manuel-interlocuteur pour les classes 5-6. lycée. Bibliothèque du professeur de mathématiques. - Lumières, 1989.

Vous pouvez télécharger les livres spécifiés à la clause 1.2. de cette leçon.

Devoirs

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et autres Mathématiques 6. - M. : Mnemosyne, 2012. (lien voir 1.2)

Devoirs : n°297, n°298, n°300.

Autres tâches : n° 270, n° 290