Exemples sur le thème du degré avec exposant rationnel. Propriétés des diplômes, formulations, preuves, exemples

La leçon vidéo « Exposant avec un exposant rationnel » contient un visuel matériel pédagogique donner une leçon sur ce sujet. La leçon vidéo contient des informations sur le concept de diplôme avec un exposant rationnel, les propriétés de ces diplômes, ainsi que des exemples décrivant l'utilisation de matériel pédagogique pour résoudre des problèmes pratiques. Le but de cette leçon vidéo est de présenter clairement et clairement le matériel pédagogique, de faciliter son élaboration et sa mémorisation par les étudiants, et de développer la capacité à résoudre des problèmes en utilisant les concepts appris.

Les principaux avantages de la leçon vidéo sont la possibilité d'effectuer visuellement des transformations et des calculs, la possibilité d'utiliser des effets d'animation pour améliorer l'efficacité de l'apprentissage. L’accompagnement vocal contribue à développer un discours mathématique correct, et permet également de remplacer l’explication de l’enseignant, lui permettant ainsi de réaliser un travail individuel.

La leçon vidéo commence par l'introduction du sujet. Relier les études nouveau sujet avec le matériel étudié précédemment, il est suggéré de se rappeler que n √a est autrement noté a 1/n pour n naturel et a positif. Cette représentation n-racine est affichée à l'écran. Ensuite, il est proposé de considérer ce que signifie l'expression a m/n, dans laquelle a est un nombre positif et m/n est une fraction. La définition d'un degré avec un exposant rationnel comme a m/n = n √a m est donnée, mise en évidence dans un cadre. On note que n peut être un nombre naturel et m peut être un nombre entier.

Après avoir défini un degré avec un exposant rationnel, sa signification est révélée à travers des exemples : (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Un exemple est également présenté dans lequel une puissance représentée par une décimale est convertie en fraction ordinaireà représenter sous forme de racine : (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 et un exemple avec un exposant négatif : 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

La particularité du cas particulier où la base du degré est zéro est indiquée séparément. Il est à noter que ce degré n’a de sens qu’avec un exposant fractionnaire positif. Dans ce cas, sa valeur est nulle : 0 m/n =0.

Une autre caractéristique d'un degré avec un exposant rationnel est à noter : un degré avec un exposant fractionnaire ne peut pas être considéré avec un exposant fractionnaire. Des exemples de notation incorrecte des degrés sont donnés : (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Ensuite, dans la leçon vidéo, nous discutons des propriétés d'un degré avec un exposant rationnel. Il est à noter que les propriétés d’un degré à exposant entier seront également valables pour un degré à exposant rationnel. Il est proposé de rappeler la liste des propriétés également valables en dans ce cas:

1. En multipliant les puissances avec pour les mêmes raisons leurs indicateurs s'additionnent : a p a q =a p+q.
2. La division des degrés de mêmes bases se réduit à un degré avec une base donnée et la différence des exposants : a p:a q =a p-q.
3. Si on élève le degré à une certaine puissance, alors on se retrouve avec un degré avec une base donnée et le produit des exposants : (a p) q = a pq.

Toutes ces propriétés sont valables pour les puissances d'exposants rationnels p, q et de base positive a>0. De plus, les transformations de degrés lors de l'ouverture des parenthèses restent vraies :

1. (ab) p =a p b p - élever à une certaine puissance avec un exposant rationnel le produit de deux nombres est réduit au produit de nombres dont chacun est élevé à une puissance donnée.
2. (a/b) p =a p /b p - élever une fraction à une puissance avec un exposant rationnel est réduite à une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont élevés à une puissance donnée.

Le didacticiel vidéo explique la résolution d'exemples utilisant les propriétés considérées des puissances avec un exposant rationnel. Dans le premier exemple, il est proposé de trouver la valeur d'une expression qui contient des variables x dans une puissance fractionnaire : (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Malgré la complexité de l’expression, en utilisant les propriétés des puissances, elle peut être résolue assez simplement. La résolution du problème commence par la simplification de l'expression, qui utilise la règle consistant à élever une puissance avec un exposant rationnel à une puissance, ainsi qu'à multiplier les puissances avec la même base. Après avoir remplacé la valeur donnée x=8 dans l'expression simplifiée x 1/3 +48, ​​​​il est facile d'obtenir la valeur - 50.

Dans le deuxième exemple, vous devez réduire une fraction dont le numérateur et le dénominateur contiennent des puissances avec un exposant rationnel. En utilisant les propriétés du degré, on extrait de la différence le facteur x 1/3, qui est ensuite réduit au numérateur et au dénominateur, et en utilisant la formule de la différence des carrés, le numérateur est factorisé, ce qui donne d'autres réductions de valeurs identiques. facteurs au numérateur et au dénominateur. Le résultat de telles transformations est la fraction courte x 1/4 +3.

La leçon vidéo « Exposant avec un exposant rationnel » peut être utilisée à la place de l'enseignant expliquant un nouveau sujet de cours. Ce manuel contient également suffisamment informations complètes Pour auto-apprentissageétudiant. Le matériel peut également être utile pour l’enseignement à distance.

A partir des exposants entiers du nombre a, le passage aux exposants rationnels s'impose. Ci-dessous, nous définirons un degré avec un exposant rationnel, et nous le ferons de manière à ce que toutes les propriétés d'un degré avec un exposant entier soient préservées. Cela est nécessaire car les nombres entiers font partie des nombres rationnels.

On sait que l'ensemble des nombres rationnels est constitué d'entiers et de fractions, et chacun nombre fractionnaire peut être représenté comme positif ou négatif fraction commune. Nous avons défini un degré avec un exposant entier dans le paragraphe précédent, donc, pour compléter la définition d'un degré avec un exposant rationnel, nous devons donner un sens au degré du nombre un avec un indicateur fractionnaire m/n, Où m est un entier, et n- naturel. Faisons ça.

Considérons un degré avec un exposant fractionnaire de la forme . Pour que la propriété puissance-puissance reste valable, l'égalité doit être vérifiée . Si nous prenons en compte l'égalité résultante et la manière dont nous avons déterminé la racine n du degré, alors il est logique d'accepter, à condition que compte tenu de l'information donnée m, n Et un l'expression a du sens.

Il est facile de vérifier que pour toutes les propriétés d'un degré à exposant entier sont valides (cela a été fait dans la section propriétés d'un degré à exposant rationnel).

Le raisonnement ci-dessus nous permet de faire ce qui suit conclusion: si donné m, n Et un l'expression a du sens, alors la puissance du nombre un avec un indicateur fractionnaire m/n appelé la racine n le degré de un dans une certaine mesure m.

Cette affirmation nous rapproche de la définition d’un degré avec un exposant fractionnaire. Il ne reste plus qu'à décrire à quel moment m, n Et un l'expression a du sens. En fonction des restrictions imposées m, n Et un Il existe deux approches principales.

1. Le moyen le plus simple consiste à imposer une restriction un, ayant accepté a≥0 pour du positif m Et une>0 pour le négatif m(Depuis quand m≤0 degré 0 m non défini). Nous obtenons alors la définition suivante d’un degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Puissance d'un nombre positif un avec un indicateur fractionnaire m/n , Où m- entier, et n – nombre naturel, appelée racine n-ème du numéro un dans une certaine mesure m, c'est, .

La puissance fractionnaire de zéro est également déterminée avec le seul avertissement que l'indicateur doit être positif.

Définition.

Puissance de zéro avec exposant fractionnaire positif m/n , Où m est un entier positif, et n– nombre naturel, défini comme .
Lorsque le degré n'est pas déterminé, c'est-à-dire que le degré du nombre zéro avec un exposant fractionnaire négatif n'a pas de sens.

Il convient de noter qu'avec cette définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, il y a une mise en garde : pour certains négatifs un et certains m Et n l'expression a du sens, mais nous avons écarté ces cas en introduisant la condition a≥0. Par exemple, les entrées ont du sens ou , et la définition donnée ci-dessus nous oblige à dire que les puissances à exposant fractionnaire de la forme n’a aucun sens, puisque la base ne doit pas être négative.

2. Une autre approche pour déterminer le degré avec un exposant fractionnaire m/n consiste à considérer séparément les exposants pairs et impairs de la racine. Cette approche nécessite une condition supplémentaire : la puissance du nombre un, dont l'exposant est une fraction ordinaire réductible, est considérée comme une puissance du nombre un, dont l'indicateur est la fraction irréductible correspondante (l'importance de cette condition sera expliquée ci-dessous). Autrement dit, si m/n est une fraction irréductible, alors pour tout nombre naturel k Le diplôme est préalablement remplacé par .

Pour même n et positif m l'expression a du sens pour tout résultat non négatif un(une racine paire d'un nombre négatif n'a aucune signification), pour un nombre négatif m nombre un doit encore être différent de zéro (sinon il y aura division par zéro). Et pour bizarre n et positif m nombre un peut être quelconque (la racine impaire est définie pour tout nombre réel) et pour les nombres négatifs m nombre un doit être différent de zéro (pour qu’il n’y ait pas de division par zéro).

Le raisonnement ci-dessus nous amène à cette définition d’un degré à exposant fractionnaire.

Définition.

Laisser m/n– fraction irréductible, m- entier, et n– nombre naturel. Pour toute fraction réductible, le degré est remplacé par . Le pouvoir du nombre un avec un exposant fractionnaire irréductible m/n- c'est pour

o n'importe quel nombre réel un, tout à fait positif m et étrange naturel n, Par exemple, ;

o tout nombre réel non nul un, entier négatif m et étrange n, Par exemple, ;

o tout nombre non négatif un, tout à fait positif m et même n, Par exemple, ;

o tout positif un, entier négatif m et même n, Par exemple, ;

o dans d'autres cas, le diplôme avec un indicateur fractionnaire n'est pas déterminé, comme par exemple les diplômes ne sont pas définis .a nous n'attachons aucune signification à l'entrée ; nous définissons la puissance du nombre zéro pour les exposants fractionnaires positifs ; m/n Comment , pour les exposants fractionnaires négatifs, la puissance du nombre zéro n'est pas définie.

En conclusion de ce paragraphe, faisons attention au fait que l'exposant fractionnaire peut s'écrire sous la forme décimal ou nombre mixte, Par exemple, . Pour calculer les valeurs d'expressions de ce type, vous devez écrire l'exposant sous la forme d'une fraction ordinaire, puis utiliser la définition de l'exposant avec un exposant fractionnaire. Pour les exemples ci-dessus nous avons Et

Puissance avec exposant rationnel

Khassianova T.G.,

professeur de mathématiques

Le matériel présenté sera utile aux professeurs de mathématiques lors de l'étude du sujet « Exposant avec un exposant rationnel ».

Le but du matériel présenté : révéler mon expérience de conduite d'un cours sur le thème « Exposant avec un exposant rationnel » programme de travail discipline "Mathématiques".

La méthodologie de conduite de la leçon correspond à son type - une leçon d'étude et de consolidation initiale de nouvelles connaissances. Mis à jour connaissances de base et des compétences basées sur l'expérience acquise antérieurement ; mémorisation primaire, consolidation et application de nouvelles informations. La consolidation et l'application du nouveau matériel ont eu lieu sous la forme de résolution de problèmes que j'ai testés de complexité variable, donnant un résultat positif dans la maîtrise du sujet.

Au début du cours, j'ai fixé les objectifs suivants aux élèves : pédagogiques, développementaux, pédagogiques. Pendant la leçon, j'ai utilisé diverses manières activités : frontale, individuelle, en binôme, indépendante, test. Les tâches étaient différenciées et permettaient d'identifier, à chaque étape de la leçon, le degré d'acquisition des connaissances. Le volume et la complexité des tâches correspondent aux caractéristiques d'âge des étudiants. D'après mon expérience - devoirs, à l'instar des problèmes résolus en classe, permet de consolider de manière fiable les connaissances et les compétences acquises. À la fin du cours, une réflexion a été menée et le travail de chaque élève a été évalué.

Les objectifs ont été atteints. Les étudiants ont étudié le concept et les propriétés d'un degré avec un exposant rationnel et ont appris à utiliser ces propriétés pour résoudre des problèmes pratiques. Pour travail indépendant Les notes seront annoncées lors du prochain cours.

Je crois que la méthodologie que j'utilise pour enseigner les mathématiques peut être utilisée par les professeurs de mathématiques.

Sujet de la leçon : Puissance avec exposant rationnel

Objectif de la leçon :

Identifier le niveau de maîtrise par les étudiants d'un ensemble de connaissances et de compétences et, sur cette base, appliquer certaines solutions pour améliorer le processus éducatif.

Objectifs de la leçon :

Pédagogique: former de nouvelles connaissances parmi les étudiants sur les concepts de base, les règles, les lois pour déterminer les diplômes avec un indicateur rationnel, la capacité d'appliquer de manière indépendante les connaissances dans des conditions standard, dans des conditions modifiées et non standard ;

développement: penser logiquement et mettre en œuvre créativité;

élevage: développer l'intérêt pour les mathématiques, reconstituer le vocabulaire avec de nouveaux termes, gagner Informations Complémentaires sur le monde qui nous entoure. Cultivez la patience, la persévérance et la capacité à surmonter les difficultés.

Moment d'organisation

Actualisation des connaissances de référence

Lors de la multiplication de puissances avec les mêmes bases, les exposants sont ajoutés, mais la base reste la même :

Par exemple,

2. Lors de la division de degrés avec les mêmes bases, les exposants des degrés sont soustraits, mais la base reste la même :

Par exemple,

3. Lorsqu'on élève un degré à une puissance, les exposants sont multipliés, mais la base reste la même :

Par exemple,

4. Le degré du produit est égal au produit des degrés des facteurs :

Par exemple,

5. Le degré du quotient est égal au quotient des degrés du dividende et du diviseur :

Par exemple,

Exercices avec solutions

Trouvez le sens de l’expression :

Solution:

Dans ce cas, aucune des propriétés d’un degré à exposant naturel ne peut être appliquée explicitement, puisque tous les degrés ont différentes raisons. Écrivons quelques puissances sous une forme différente :

(le degré du produit est égal au produit des degrés des facteurs) ;

(lors de la multiplication de puissances avec les mêmes bases, les exposants sont ajoutés, mais la base reste la même ; lorsqu'on élève un degré à une puissance, les exposants sont multipliés, mais la base reste la même).

On obtient alors :

Dans cet exemple, les quatre premières propriétés d’un degré avec un exposant naturel ont été utilisées.

Racine carrée arithmétique
- ce n'est pas nombre négatif, dont le carré est égal àun,
. À
- expression
pas défini, parce que il n'existe pas de nombre réel dont le carré est égal à un nombre négatifun.

Dictée mathématique(8-10 minutes)

Option

II. Option

1.Trouver la valeur de l'expression

UN)

b)

1.Trouver la valeur de l'expression

UN)

b)

2.Calculer

UN)

b)

DANS)

2.Calculer

UN)

b)

V)

Auto-test(sur le tableau de revers) :

Matrice de réponse :

№ option/tâche

Problème 1

Problème 2

Option 1

a)2

b)2

une) 0,5

b)

V)

Option 2

une) 1,5

b)

UN)

b)

c)4

II. Formation de nouvelles connaissances

Considérons quel sens a l'expression, où - nombre positif– nombre fractionnaire et m-entier, n-naturel (n›1)

Définition : puissance de a›0 avec exposant rationnelr = , m-entier, n-naturel ( n›1) le numéro est appelé.

Donc:

Par exemple:

Remarques :

1. Pour tout nombre a positif et tout nombre r rationnel positivement.

2. Quand
degré rationnel Nombresunpas déterminé.

Des expressions comme
cela n'a pas de sens.

3.Si un nombre fractionnaire positif est
.

Si fractionnaire nombre négatif, alors -cela n'a pas de sens.

Par exemple: - ça n'a pas de sens.

Considérons les propriétés d'un degré avec un exposant rationnel.

Soit a >0, b>0 ; r, s - n'importe lequel nombres rationnels. Alors un degré avec n’importe quel exposant rationnel a les propriétés suivantes:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Consolidation. Formation de nouvelles compétences et capacités.

Les fiches de tâches fonctionnent en petits groupes sous la forme d'un test.