Exemples et problèmes pour toutes les opérations avec des décimales. Décimales : définitions, enregistrement, exemples, actions avec décimales

CHAPITRE III.

DÉCIMAUX.

§ 31. Problèmes et exemples pour toutes les actions avec décimales.

Suivez ces étapes :

767. Trouvez le quotient de division :

Suivez ces étapes :

772. Calculer:

Trouver X , Si:

776. Le nombre inconnu a été multiplié par la différence entre les nombres 1 et 0,57 et le produit était 3,44. Trouvez le numéro inconnu.

777. La somme du nombre inconnu et de 0,9 a été multipliée par la différence entre 1 et 0,4 et le produit était de 2,412. Trouvez le numéro inconnu.

778. À l'aide des données du diagramme sur la fonte du fer dans la RSFSR (Fig. 36), créez un problème à résoudre auquel vous devez appliquer les actions d'addition, de soustraction et de division.

779. 1) Longueur Canal de Suez D'une longueur de 165,8 km, la longueur du canal de Panama est inférieure de 84,7 km à celle du canal de Suez et la longueur du canal mer Blanche-Baltique est de 145,9 km plus longue que celle du canal de Panama. Quelle est la longueur du canal Mer Blanche-Baltique ?

2) Le métro de Moscou (en 1959) a été construit en 5 étapes. La longueur de la première étape du métro est de 11,6 km, la deuxième de 14,9 km, la longueur de la troisième est de 1,1 km inférieure à la longueur de la deuxième étape, la longueur de la quatrième étape est de 9,6 km de plus que la troisième étape , et la longueur de la cinquième étape est de 11,5 km moins la quatrième. Quelle était la longueur du métro de Moscou au début de 1959 ?

780. 1) La plus grande profondeur de l'océan Atlantique est de 8,5 km, la plus grande profondeur de l'océan Pacifique est de 2,3 km supérieure à la profondeur de l'océan Atlantique et la plus grande profondeur de l'océan Arctique est 2 fois inférieure à la plus grande profondeur. Océan Pacifique. Quelle est la plus grande profondeur de l’océan Arctique ?

2) La voiture Moskvich consomme 9 litres d'essence aux 100 km, la voiture Pobeda consomme 4,5 litres de plus que la Moskvich et la Volga 1,1 fois plus que la Pobeda. Combien d'essence consomme une voiture Volga pour 1 km de trajet ? (Arrondissez la réponse à 0,01 l près.)

781. 1) L'étudiant est allé chez son grand-père pendant les vacances. Il a voyagé en train pendant 8,5 heures et depuis la gare à cheval pendant 1,5 heure. Au total, il a parcouru 440 km. À quelle vitesse l'étudiant voyageait-il sur le chemin de fer s'il montait à cheval à une vitesse de 10 km/h ?

2) Le kolkhozien devait se trouver en un point situé à 134,7 km de son domicile. Il a pris le bus pendant 2,4 heures à une vitesse moyenne de 55 km/h et a parcouru le reste du trajet à pied à une vitesse de 4,5 km/h. Combien de temps a-t-il marché ?

782. 1) Au cours de l'été, un spermophile détruit environ 0,12 centième de pain. Au printemps, les pionniers ont exterminé 1 250 spermophiles sur 37,5 hectares. Combien de pain les écoliers ont-ils économisé pour la ferme collective ? Combien y a-t-il de pain économisé pour 1 hectare ?

2) La ferme collective a calculé qu'en détruisant les gaufres sur une superficie de 15 hectares de terres arables, les écoliers ont économisé 3,6 tonnes de céréales. Combien de gaufres sont détruites en moyenne par hectare de terre, si une gaufre détruit 0,012 tonne de céréales au cours de l'été ?

783. 1) Lors de la mouture du blé en farine, 0,1 de son poids est perdu et lors de la cuisson, une cuisson égale à 0,4 du poids de farine est obtenue. Quelle quantité de pain cuit sera produite à partir de 2,5 tonnes de blé ?

2) La ferme collective a collecté 560 tonnes de graines de tournesol. Quelle quantité d'huile de tournesol sera produite à partir des grains collectés si le poids du grain est 0,7 du poids des graines de tournesol et le poids de l'huile obtenue est 0,25 du poids du grain ?

784. 1) Le rendement en crème du lait est de 0,16 du poids de lait et le rendement en beurre de la crème est de 0,25 du poids de la crème. Quelle quantité de lait (en poids) faut-il pour produire 1 quintal de beurre ?

2) Combien de kilogrammes de cèpes faut-il collecter pour obtenir 1 kg de champignons séchés, s'il reste lors de la préparation au séchage 0,5 du poids, et lors du séchage 0,1 du poids du champignon transformé ?

785. 1) Les terres attribuées à la ferme collective sont utilisées comme suit : 55 % d'entre elles sont occupées par des terres arables, 35 % par des prairies, et le reste des terres d'un montant de 330,2 hectares est affecté au jardin de la ferme collective et à les domaines des kolkhoziens. Combien de terres y a-t-il dans la ferme collective ?

2) La ferme collective a semé 75 % de la superficie totale ensemencée en céréales, 20 % en légumes et le reste de la superficie graminées fourragères. Quelle superficie ensemencée aurait la ferme collective si elle ensemençait 60 hectares de graminées fourragères ?

786. 1) Combien de quintaux de graines faudra-t-il pour semer un champ en forme de rectangle de 875 m de long et 640 m de large, si l'on sème 1,5 quintaux de graines pour 1 hectare ?

2) Combien de quintaux de graines faudra-t-il pour semer un champ en forme de rectangle si son périmètre est de 1,6 km ? La largeur du champ est de 300 m. Pour semer 1 hectare, il faut 1,5 quintal de graines.

787. Combien d'enregistrements forme carrée avec un côté de 0,2 dm s'inscrira dans un rectangle mesurant 0,4 dm x 10 dm ?

788. La salle de lecture a des dimensions de 9,6 mx 5 mx 4,5 m. Pour combien de places la salle de lecture est-elle conçue si 3 mètres cubes sont nécessaires pour chaque personne ? m d'air ?

789. 1) Quelle surface de prairie un tracteur équipé d'une remorque de quatre faucheuses peut-il tondre en 8 heures, si la largeur de travail de chaque faucheuse est de 1,56 m et la vitesse du tracteur est de 4,5 km/h ? (Le temps d'arrêt n'est pas pris en compte.) (Arrondissez la réponse au 0,1 hectare le plus proche.)

2) La largeur de travail du semoir de légumes tracteur est de 2,8 m. Quelle surface peut être semée avec ce semoir en 8 heures. travailler à une vitesse de 5 km/h ?

790. 1) Déterminez le rendement d’une charrue tracteur à trois corps en 10 heures. travail, si la vitesse du tracteur est de 5 km par heure, l'adhérence d'un corps est de 35 cm et la perte de temps était de 0,1 du temps total passé. (Arrondissez la réponse au 0,1 hectare le plus proche.)

2) Trouver le rendement d'une charrue tracteur à cinq corps en 6 heures. travail, si la vitesse du tracteur est de 4,5 km par heure, l'adhérence d'un corps est de 30 cm et la perte de temps était de 0,1 du temps total passé. (Arrondissez la réponse au 0,1 hectare le plus proche.)

791. Consommation d'eau par 5 km parcourus pour une locomotive à vapeur train de voyageurségal à 0,75 tonne. Le réservoir d'eau de l'annexe contient 16,5 tonnes d'eau. Combien de kilomètres le train aura-t-il assez d’eau pour parcourir si le réservoir est rempli à 0,9 de sa capacité ?

792. La voie d'évitement ne peut accueillir que 120 wagons de marchandises d'une longueur moyenne de 7,6 m. Combien de wagons de voyageurs à quatre essieux, chacun mesurant 19,2 m de long, peuvent être placés sur cette voie si 24 wagons de marchandises supplémentaires sont placés sur cette voie ?

793. Pour la solidité du remblai ferroviaire, il est recommandé de renforcer les talus en semant herbes des champs. Pour chaque mètre carré de remblai, il faut 2,8 g de graines, ce qui coûte 0,25 rouble. pour 1 kg. Combien coûtera le semis de 1,02 hectares de talus si le coût des travaux est 0,4 du coût des semences ? (Arrondissez la réponse au rouble le plus proche.)

794. Usine de briques livré à la gare chemin de fer briques. 25 chevaux et 10 camions ont travaillé pour transporter les briques. Chaque cheval transportait 0,7 tonne par voyage et effectuait 4 voyages par jour. Chaque véhicule transportait 2,5 tonnes par trajet et effectuait 15 déplacements par jour. Le transport a duré 4 jours. Combien de briques ont été livrées à la gare si le poids moyen d'une brique est de 3,75 kg ? (Arrondissez la réponse au millier d’unités le plus proche.)

795. Le stock de farine était réparti entre trois boulangeries : la première recevait 0,4 du stock total, la deuxième 0,4 du reste et la troisième boulangerie recevait 1,6 tonne de farine de moins que la première. Quelle quantité de farine a été distribuée ?

796. En deuxième année de l'institut, il y a 176 étudiants, en troisième année il y en a 0,875 et en première année une fois et demie de plus, c'était en troisième année. Le nombre d'étudiants en première, deuxième et troisième années représentait 0,75 du nombre total d'étudiants de cet institut. Combien d’étudiants y avait-il à l’institut ?

797. Trouvez la moyenne arithmétique :

1) deux nombres : 56,8 et 53,4 ; 705.3 et 707.5 ;

2) trois nombres: 46,5; 37,8 et 36 ; 0,84 ; 0,69 et 0,81 ;

3) quatre nombres : 5,48 ; 1,36 ; 3.24 et 2.04.

798. 1) Le matin la température était de 13,6°, à midi de 25,5° et le soir de 15,2°. Calculez la température moyenne pour cette journée.

2) Qu'est-ce que température moyenne pendant une semaine, si dans la semaine le thermomètre indiquait : 21° ; 20,3°; 22,2°; 23,5°; 21,1° ; 22,1° ; 20,8° ?

799. 1) L'équipe de l'école a désherbé 4,2 hectares de betteraves le premier jour, 3,9 hectares le deuxième jour et 4,5 hectares le troisième. Déterminez le rendement moyen de l’équipe par jour.

2) Établir un délai standard de production nouvelle pièce 3 tourneurs ont été fournis. Le premier a produit la pièce en 3,2 minutes, le deuxième en 3,8 minutes et le troisième en 4,1 minutes. Calculez la norme de temps qui a été définie pour la fabrication de la pièce.

800. 1) La moyenne arithmétique de deux nombres est 36,4. L'un de ces nombres est 36,8. Trouvez autre chose.

2) La température de l'air a été mesurée trois fois par jour : le matin, à midi et le soir. Trouvez la température de l'air le matin s'il faisait 28,4° à midi, 18,2° le soir et que la température moyenne du jour est de 20,4°.

801. 1) La voiture a parcouru 98,5 km au cours des deux premières heures et 138 km au cours des trois heures suivantes. Combien de kilomètres une voiture moyenne parcourt-elle par heure ?

2) Un test de capture et de pesée de carpes d'un an a montré que sur 10 carpes, 4 pesaient 0,6 kg, 3 pesaient 0,65 kg, 2 pesaient 0,7 kg et 1 pesait 0,8 kg. Quel est le poids moyen d’une carpe d’un an ?

802. 1) Pour 2 litres de sirop coûte 1,05 roubles. pour 1 litre, ajoutez 8 litres d'eau. Combien coûte 1 litre de l'eau obtenue avec du sirop ?

2) L'hôtesse a acheté une boîte de 0,5 litre de bortsch en conserve pour 36 kopecks. et bouilli avec 1,5 litre d'eau. Combien coûte une assiette de bortsch si son volume est de 0,5 litre ?

803. Travaux de laboratoire"Mesurer la distance entre deux points"

1er rendez-vous. Mesure avec un ruban à mesurer (ruban à mesurer). La classe est divisée en unités de trois personnes chacune. Accessoires : 5-6 pôles et 8-10 tags.

Avancement des travaux : 1) les points A et B sont marqués et une ligne droite est tracée entre eux (voir tâche 178) ; 2) poser le mètre ruban le long de la ligne droite accrochée et marquer à chaque fois l'extrémité du mètre ruban avec une étiquette. 2ème rendez-vous. Mesure, étapes. La classe est divisée en unités de trois personnes chacune. Chaque élève parcourt la distance de A à B en comptant le nombre de ses pas. En multipliant la longueur moyenne de votre pas par le nombre de pas obtenu, vous trouvez la distance de A à B.

3ème rendez-vous. Mesure à l'oeil. Chaque élève dessine main gauche avec un pouce levé (Fig. 37) et dirige pouce sur la perche jusqu'au point B (un arbre sur la photo) pour que l'œil gauche (point A), le pouce et le point B soient sur la même ligne droite. Sans changer de position, fermez votre œil gauche et regardez votre pouce avec votre droit. Mesurez le déplacement résultant à l'œil nu et augmentez-le de 10 fois. C'est la distance de A à B.

804. 1) Selon le recensement de 1959, la population de l'URSS était de 208,8 millions d'habitants, et population rurale il y avait 9,2 millions d'habitants de plus que la population de la ville. Combien y avait-il de citadins et de ruraux en URSS en 1959 ?

2) Selon le recensement de 1913, la population de la Russie était de 159,2 millions d'habitants et la population urbaine était inférieure de 103,0 millions à la population rurale. Quelle était la population urbaine et rurale en Russie en 1913 ?

805. 1) La longueur du fil est de 24,5 m. Ce fil a été coupé en deux parties de sorte que la première partie s'est avérée être 6,8 m plus longue que la seconde. Combien de mètres mesure chaque pièce ?

2) La somme de deux nombres est 100,05. Un nombre est 97,06 de plus que l’autre. Trouvez ces numéros.

806. 1) Il y a 8656,2 tonnes de charbon dans trois entrepôts de charbon, dans le deuxième entrepôt il y a 247,3 tonnes de charbon de plus que dans le premier et dans le troisième il y a 50,8 tonnes de plus que dans le second. Combien de tonnes de charbon y a-t-il dans chaque entrepôt ?

2) La somme de trois nombres est 446,73. Premier numéro moins de deux par 73,17 et plus que le troisième par 32,22. Trouvez ces numéros.

807. 1) Le bateau s'est déplacé le long de la rivière à une vitesse de 14,5 km par heure et à contre-courant à une vitesse de 9,5 km par heure. Quelle est la vitesse du bateau en eau calme et quelle est la vitesse du courant de la rivière ?

2) Le paquebot a parcouru 85,6 km le long du fleuve en 4 heures, et 46,2 km à contre-courant en 3 heures. Quelle est la vitesse du bateau à vapeur en eau calme et quelle est la vitesse du courant de la rivière ?

808. 1) Deux navires à vapeur ont livré 3 500 tonnes de marchandises et un navire à vapeur a livré 1,5 fois plus de marchandises que l'autre. Quelle quantité de marchandises chaque navire transportait-il ?

2) La superficie de deux pièces est de 37,2 mètres carrés. m. La superficie d'une pièce est 2 fois plus grande que l'autre. Quelle est la superficie de chaque pièce ?

809. 1) Depuis deux agglomérations distantes de 32,4 km, un motocycliste et un cycliste se sont dirigés simultanément l'un vers l'autre. Combien de kilomètres chacun d'entre eux parcourra-t-il avant le rendez-vous si la vitesse du motocycliste est 4 fois celle du cycliste ?

2) Trouvez deux nombres dont la somme est 26,35 et le quotient de la division d'un nombre par l'autre est 7,5.

810. 1) L'usine a envoyé trois types de marchandises d'un poids total de 19,2 tonnes. Le poids du premier type de marchandises était trois fois supérieur au poids du deuxième type de marchandises et le poids du troisième type de marchandises était deux fois moins élevé. comme le poids du premier et du deuxième types de marchandises combinés. Quel est le poids de chaque type de marchandise ?

2) En trois mois, une équipe de mineurs a produit 52,5 mille tonnes minerai de fer. En mars, il a été produit 1,3 fois, en février 1,2 fois plus qu'en janvier. Quelle quantité de minerai l’équipage a-t-il extrait chaque mois ?

811. 1) Le gazoduc Saratov-Moscou est plus long de 672 km que le canal de Moscou. Trouvez la longueur des deux structures si la longueur du gazoduc est 6,25 fois supérieure à la longueur du canal de Moscou.

2) La longueur de la rivière Don est 3,934 fois supérieure à la longueur de la rivière Moscou. Trouvez la longueur de chaque rivière si la longueur de la rivière Don est supérieure de 1 467 km à la longueur de la rivière Moscou.

812. 1) La différence entre deux nombres est 5,2 et le quotient d'un nombre divisé par un autre est 5. Trouvez ces nombres.

2) La différence entre deux nombres est de 0,96 et leur quotient est de 1,2. Trouvez ces numéros.

813. 1) Un nombre est 0,3 de moins que l’autre et en représente 0,75. Trouvez ces numéros.

2) Un nombre est 3,9 de plus qu’un autre nombre. Si le plus petit nombre est doublé, ce sera 0,5 du plus grand. Trouvez ces numéros.

814. 1) La ferme collective a semé 2 600 hectares de blé et de seigle. Combien d'hectares de terre ont été ensemencés en blé et combien en seigle, si 0,8 de la superficie ensemencée en blé est égal à 0,5 de la superficie ensemencée en seigle ?

2) La collection de deux garçons totalise 660 timbres. De combien de timbres la collection de chaque garçon est composée si 0,5 des timbres du premier garçon est égal à 0,6 de la collection du deuxième garçon ?

815. Deux étudiants avaient ensemble 5,4 roubles. Après que le premier ait dépensé 0,75 de son argent et le second 0,8 de son argent, il leur restait la même somme d’argent. De combien d’argent disposait chaque élève ?

816. 1) Deux bateaux à vapeur partent l'un vers l'autre de deux ports dont la distance est de 501,9 km. Combien de temps leur faudra-t-il pour se rencontrer si la vitesse du premier navire est de 25,5 km par heure et celle du second de 22,3 km par heure ?

2) Deux trains partent l'un vers l'autre de deux points dont la distance est de 382,2 km. Combien de temps leur faudra-t-il pour se rencontrer si la vitesse moyenne du premier train était de 52,8 km/h et celle du second de 56,4 km/h ?

817. 1) Deux voitures ont quitté deux villes situées à une distance de 462 km en même temps et se sont rencontrées au bout de 3,5 heures. Trouvez la vitesse de chaque voiture si la vitesse de la première était supérieure de 12 km/h à la vitesse de la deuxième voiture.

2) De deux colonies, la distance qui les sépare est de 63 km, un motocycliste et un cycliste se sont rencontrés simultanément et se sont rencontrés au bout de 1,2 heure. Trouvez la vitesse du motocycliste si le cycliste roulait à une vitesse inférieure de 27,5 km par heure à la vitesse du motocycliste.

818. L'étudiant a remarqué qu'un train composé d'une locomotive à vapeur et de 40 voitures est passé à côté de lui pendant 35 secondes. Déterminez la vitesse du train par heure si la longueur de la locomotive est de 18,5 m et la longueur du wagon est de 6,2 m (Donnez la réponse avec une précision de 1 km par heure.)

819. 1) Un cycliste a quitté A pour B à une vitesse moyenne de 12,4 km/h. Après 3 heures 15 minutes. un autre cycliste est parti de B vers lui à une vitesse moyenne de 10,8 km/h. Au bout de combien d'heures et à quelle distance de A se retrouveront-ils si 0,32 la distance entre A et B est de 76 km ?

2) Depuis les villes A et B, distantes de 164,7 km, un camion de la ville A et une voiture de la ville B se sont dirigés l'un vers l'autre. camion 36 km, et une voiture de tourisme est 1,25 fois plus longue. La voiture particulière est repartie 1,2 heure plus tard que le camion. Après combien de temps et à quelle distance de la ville B voiture de tourisme va rencontrer la cargaison?

820. Deux navires ont quitté le même port au même moment et font route dans la même direction. Le premier bateau à vapeur parcourt 37,5 km toutes les 1,5 heures et le deuxième bateau à vapeur parcourt 45 km toutes les 2 heures. Combien de temps faudra-t-il pour que le premier navire soit à 10 km du second ?

821. Un piéton a d'abord quitté un point, et 1h30 après sa sortie, un cycliste est parti dans la même direction. À quelle distance du point le cycliste a-t-il rattrapé le piéton si le piéton marchait à une vitesse de 4,25 km/h et le cycliste roulait à une vitesse de 17 km/h ?

822. Le train a quitté Moscou pour Leningrad à 6 heures. 10 minutes. matin et j'ai marché à une vitesse moyenne de 50 km/h. Plus tard, un avion de ligne a décollé de Moscou à destination de Léningrad et est arrivé à Léningrad en même temps que l'arrivée du train. Vitesse moyenne la vitesse de l'avion était de 325 km par heure et la distance entre Moscou et Léningrad était de 650 km. Quand l’avion a-t-il décollé de Moscou ?

823. Le bateau à vapeur a parcouru le fleuve pendant 5 heures, et à contre-courant pendant 3 heures et n'a parcouru que 165 km. Combien de kilomètres a-t-il parcouru en aval et combien à contre-courant, si la vitesse du débit de la rivière est de 2,5 km par heure ?

824. Le train a quitté A et doit arriver à B certaine heure; après avoir parcouru la moitié du chemin et parcouru 0,8 km en 1 minute, le train a été arrêté pendant 0,25 heure ; après avoir encore augmenté la vitesse de 100 m pour 1 million, le train est arrivé à l'heure à B. Trouvez la distance entre A et B.

825. De la ferme collective à la ville 23 km. Un facteur a roulé à vélo de la ville à la ferme collective à une vitesse de 12,5 km/h. Quatre heures plus tard, le directeur du kolkhoze est entré en ville à cheval à une vitesse égale à 0,6 de celle du facteur. Combien de temps après son départ le kolkhozien rencontrera-t-il le facteur ?

826. Une voiture a quitté la ville A pour la ville B, à 234 km de A, à une vitesse de 32 km/h. 1h75 plus tard, une deuxième voiture a quitté la ville B en direction de la première, dont la vitesse était 1,225 fois supérieure à la vitesse de la première. Combien d’heures après le départ la deuxième voiture rencontrera-t-elle la première ?

827. 1) Un dactylographe peut retaper un manuscrit en 1,6 heure et un autre en 2,5 heures. Combien de temps faudra-t-il aux deux dactylos pour taper ce manuscrit, en travaillant ensemble ? (Arrondissez la réponse à 0,1 heure près.)

2) La piscine est remplie de deux pompes de puissance différente. La première pompe, fonctionnant seule, peut remplir la piscine en 3,2 heures et la seconde en 4 heures. Combien de temps faudra-t-il pour remplir la piscine si ces pompes fonctionnent simultanément ? (Arrondissez la réponse à 0,1 près.)

828. 1) Une équipe peut finaliser une commande en 8 jours. L'autre a besoin de 0,5 fois pour terminer cette commande. La troisième équipe peut finaliser cette commande en 5 jours. Dans combien de jours la totalité de la commande sera-t-elle finalisée avec joint travail à trois des brigades ? (Arrondissez la réponse à 0,1 jour près.)

2) Le premier travailleur peut terminer la commande en 4 heures, le deuxième 1,25 fois plus rapidement et le troisième en 5 heures. Combien d'heures faudra-t-il pour finaliser la commande ? travailler ensemble trois ouvriers ? (Arrondissez la réponse à 0,1 heure près.)

829. Deux voitures travaillent pour nettoyer la rue. Le premier d'entre eux peut nettoyer toute la rue en 40 minutes, le second nécessite 75 % du temps du premier. Les deux machines ont commencé à fonctionner en même temps. Après avoir travaillé ensemble pendant 0,25 heure, la deuxième machine a cessé de fonctionner. Combien de temps après la première machine a-t-elle fini de nettoyer la rue ?

830. 1) L'un des côtés du triangle mesure 2,25 cm, le deuxième est 3,5 cm plus grand que le premier et le troisième mesure 1,25 cm. moins que la seconde. Trouvez le périmètre du triangle.

2) L'un des côtés du triangle mesure 4,5 cm, le deuxième est 1,4 cm de moins que le premier et le troisième côté est égal à la moitié de la somme des deux premiers côtés. Quel est le périmètre du triangle ?

831 . 1) La base du triangle mesure 4,5 cm et sa hauteur est inférieure de 1,5 cm. Trouvez l'aire du triangle.

2) La hauteur du triangle est de 4,25 cm et sa base est 3 fois plus grande. Trouvez l'aire du triangle. (Arrondissez la réponse à 0,1 près.)

832. Trouvez l'aire des figures ombrées (Fig. 38).

833. Quelle surface est la plus grande : un rectangle de 5 cm et 4 cm de côté, un carré de 4,5 cm de côté ou un triangle dont la base et la hauteur mesurent chacune 6 cm ?

834. La pièce mesure 8,5 m de long, 5,6 m de large et 2,75 m de haut. La superficie des fenêtres, portes et poêles est de 0,1. superficie totale murs de la pièce. Combien de morceaux de papier peint faudra-t-il pour recouvrir cette pièce si un morceau de papier peint mesure 7 m de long et 0,75 m de large ? (Arrondissez la réponse à l’unité la plus proche.)

835. L'extérieur doit être enduit et blanchi à la chaux. maison à un étage, dont les dimensions sont : longueur 12 m, largeur 8 m et hauteur 4,5 m. La maison dispose de 7 fenêtres mesurant 0,75 m x 1,2 m chacune et 2 portes mesurant chacune 0,75 m x 2,5 m. travaux, si le blanchiment à la chaux et le plâtrage font 1 m². m coûte 24 kopecks ? (Arrondissez la réponse au rouble le plus proche.)

836. Calculez la surface et le volume de votre pièce. Trouvez les dimensions de la pièce en mesurant.

837. Le jardin a la forme d'un rectangle dont la longueur est de 32 m, la largeur est de 10 m. 0,05 de la superficie totale du jardin est semé de carottes et le reste du jardin est planté de pommes de terre. et des oignons, et une superficie 7 fois plus grande que celle des oignons est plantée de pommes de terre. Quelle superficie de terre est plantée individuellement en pommes de terre, oignons et carottes ?

838. Le potager a la forme d'un rectangle dont la longueur est de 30 m et la largeur de 12 m. 0,65 de la superficie totale du jardin est planté de pommes de terre, et le reste de carottes et de betteraves, et 84 mètres carrés sont plantés de betteraves. m plus que des carottes. Quelle superficie de terre y-a-t-il séparément pour les pommes de terre, les betteraves et les carottes ?

839. 1) La boîte en forme de cube était recouverte de contreplaqué sur tous ses côtés. Quelle quantité de contreplaqué a été utilisée si le bord du cube mesure 8,2 dm ? (Arrondissez la réponse au 0,1 dm² le plus proche.)

2) Quelle quantité de peinture sera nécessaire pour peindre un cube avec un bord de 28 cm, si pour 1 m². cm, 0,4 g de peinture sera-t-il utilisé ? (Réponse, arrondissez au 0,1 kg le plus proche.)

840. Longueur d'une billette en fonte façonnée parallélépipède rectangle, égal à 24,5 cm, largeur 4,2 cm et hauteur 3,8 cm. Combien pèsent 200 ébauches en fonte si 1 cube. le dm de fonte pèse 7,8 kg ? (Arrondissez la réponse au kg près.)

841. 1) La longueur de la boîte (avec couvercle), en forme de parallélépipède rectangle, est de 62,4 cm, largeur 40,5 cm, hauteur 30 cm. mètres carrés de planches utilisées pour fabriquer une boîte, si les déchets de planches constituent 0,2 de la surface qui devrait être recouverte de planches ? (Arrondissez la réponse au 0,1 m² le plus proche)

2) Bas et parois latérales les fosses en forme de parallélépipède rectangle doivent être bordées de planches. La longueur de la fosse est de 72,5 m, la largeur de 4,6 m et la hauteur de 2,2 m. Combien de mètres carrés de planches ont été utilisés pour le revêtement si les déchets de planches constituent 0,2 de la surface à gainer de planches ? (Arrondissez la réponse au m² le plus proche)

842. 1) La longueur du sous-sol, en forme de parallélépipède rectangle, est de 20,5 m, la largeur est de 0,6 de sa longueur et la hauteur est de 3,2 m. Le sous-sol a été rempli de pommes de terre à 0,8 de son volume. Combien de tonnes de pommes de terre peuvent tenir dans le sous-sol si 1 mètre cube de pommes de terre pèse 1,5 tonne ? (Réponse ronde au millier près.)

2) La longueur du réservoir, en forme de parallélépipède rectangle, est de 2,5 m, la largeur est de 0,4 de sa longueur et la hauteur est de 1,4 m. Le réservoir est rempli de kérosène à 0,6 de son volume. Combien de tonnes de kérosène sont versées dans le réservoir si le poids du kérosène dans un volume est de 1 mètre cube ? m est égal à 0,9 t ? (Arrondissez la réponse à 0,1 t près.)

843. 1) Combien de temps faut-il pour rafraîchir l'air d'une pièce de 8,5 m de long, 6 m de large et 3,2 m de haut, en passant par une fenêtre en 1 seconde. passe 0,1 mètre cube. m d'air ?

2) Calculez le temps nécessaire pour rafraîchir l'air de votre pièce.

844. Dimensions bloc de béton pour les murs du bâtiment sont les suivants : 2,7 m x 1,4 m x 0,5 m Le vide représente 30 % du volume du bloc. Combien de mètres cubes de béton seront nécessaires pour fabriquer 100 de ces blocs ?

845. Niveleuse-élévatrice (machine à creuser des fossés) en 8 heures. Les travaux réalisent un fossé de 30 cm de large, 34 cm de profondeur et 15 km de long. Combien de pelleteuses une telle machine remplace-t-elle si une pelleteuse peut extraire 0,8 mètre cube ? m par heure ? (Arrondissez le résultat.)

846. Le bac en forme de parallélépipède rectangle mesure 12 m de long et 8 m de large. Dans ce bac, le grain est versé jusqu'à une hauteur de 1,5 m. Afin de connaître le poids de tout le grain, ils ont pris une caisse de 0,5 m de long, 0,5 m de large et 0,4 m de haut, l'ont remplie de grain et l'ont pesée. Combien pesait le grain dans le silo si le grain dans la caisse pesait 80 kg ?

848. 1) À l'aide du schéma « Production d'acier en RSFSR » (Fig. 39). répondez aux questions suivantes :

a) De combien de millions de tonnes la production d'acier a-t-elle augmenté en 1959 par rapport à 1945 ?

b) Combien de fois la production d'acier en 1959 était-elle supérieure à la production d'acier en 1913 ? (Précis à 0,1.)

2) A l'aide du schéma « Superficies cultivées en RSFSR » (Fig. 40), répondez aux questions suivantes :

a) De combien de millions d'hectares la superficie cultivée a-t-elle augmenté en 1959 par rapport à 1945 ?

b) Combien de fois la superficie ensemencée en 1959 était-elle supérieure à celle de 1913 ?

849. Construisez un diagramme linéaire de la croissance de la population urbaine en URSS, si en 1913 la population urbaine était de 28,1 millions de personnes, en 1926 - 24,7 millions, en 1939 - 56,1 millions et en 1959 - 99, 8 millions de personnes.

850. 1) Faites un devis pour la rénovation de votre classe, si vous devez blanchir les murs et le plafond, et peindre le sol. Renseignez-vous auprès du gardien de l'école pour établir un devis (taille des classes, coût du blanchiment à la chaux 1 m², coût de la peinture du sol 1 m²).

2) L'école a acheté des plants à planter dans le jardin : 30 pommiers pour 0,65 roubles. par pièce, 50 cerises pour 0,4 roubles. par pièce, 40 groseilliers pour 0,2 roubles. et 100 framboisiers pour 0,03 roubles. derrière le buisson. Rédigez une facture pour cet achat en utilisant l'exemple suivant :

L'atelier de couture disposait de 5 couleurs de ruban. Il y avait plus de bureaucratie rouge que de bleu de 2,4 mètres, mais moins de ruban vert de 3,8 mètres. Il y avait plus de ruban blanc que de ruban noir sur 1,5 mètre, mais moins de ruban vert sur 1,9 mètre. Combien de mètres de ruban y avait-il au total dans l'atelier si le blanc mesurait 7,3 mètres ?

Solution
• 1) 7,3 + 1,9 = 9,2 (m) de ruban vert se trouvaient dans l'atelier ;
• 2) 7,3 – 1,5 = 5,8 (m) de ruban noir ;
• 3) 9,2 – 3,8 = 5,4 (m) de ruban rouge ;
• 4) 5,4 - 2,4 = 3 (m) ruban bleu ;
• 5) 7,3 + 9,2 + 5,8 + 5,4 + 3 = 30,7 (m).
• Réponse : au total, il y avait 30,7 mètres de ruban adhésif dans l'atelier.

Problème 2

La longueur de la section rectangulaire est de 19,4 mètres et la largeur est inférieure de 2,8 mètres. Calculez le périmètre du site.

Solution
• 1) 19,4 – 2,8 = 16,6 (m) de largeur de la zone ;
• 2) 16,6 * 2 + 19,4 * 2 = 33,2 + 38,8 = 72(m).
• Réponse : le périmètre du site est de 72 mètres.

Problème 3

La longueur du saut d'un kangourou peut atteindre 13,5 mètres. Le record du monde pour une personne est de 8,95 mètres. Jusqu’où un kangourou peut-il sauter ?

Solution
• 1) 13,5 – 8,95 = 4,55 (m).
• 2) Réponse : le kangourou saute 4,55 mètres plus loin.

Problème 4

Le plus basse température sur la planète a été enregistré à la station Vostok en Antarctique, à l'été du 21 juillet 1983 et était de -89,2°C, et le plus chaud dans la ville d'Al-Azizia, le 13 septembre 1922 était de +57,8°C. la différence entre les températures.

Solution
• 1) 89,2 + 57,8 = 147°C.
• Réponse : La différence entre les températures est de 147°C.



Problème 5

La capacité de charge du fourgon Gazelle est de 1,5 tonne et celle du camion-benne minier BelAZ est 24 fois supérieure. Calculez la capacité de charge du camion-benne BelAZ.

Solution
• 1) 1,5 * 24 = 36 (tonnes).
• Réponse : La capacité de charge de BelAZ est de 36 tonnes.

Problème 6

La vitesse maximale de la Terre sur son orbite est de 30,27 km/sec et la vitesse de Mercure est 17,73 km plus élevée. À quelle vitesse Mercure se déplace-t-elle sur son orbite ?

Solution
• 1) 30,27 + 17,73 = 48 (km/s).
• Réponse : La vitesse orbitale de Mercure est de 48 km/s.

Problème 7

Profondeur Tranchée des Mariannes est de 11,023 km et la hauteur de la plus haute montagne du monde - Chomolungma est de 8,848 km au-dessus du niveau de la mer. Calculez la différence entre ces deux points.

Solution
• 1) 11,023 + 8,848 = 19,871(km).
• Réponse : 19 871 km.

Problème 8

Pour Kolya, comme pour toute personne en bonne santé, température normale corps 36,6°C, et pour son ami à quatre pattes Sharik 2,2°C de plus. Quelle température est considérée comme normale pour Sharik ?

Solution
• 1) 36,6 + 2,2 = 38,8°C.
• Réponse : La température corporelle normale de Sharik est de 38,8°C.

Problème 9

Le peintre a peint 18,6 m² de clôture en 1 jour, et son assistant a peint 4,4 m² de moins. Combien de m2 de clôture un peintre et son assistant peuvent-ils peindre au total ? semaine de travail, s'il est égal à cinq jours ?

Solution
• 1) 18,6 – 4,4 = 14,2 (m²) sera peint par un assistant peintre en 1 jour ;
• 2) 14,2 + 18,6 = 32,8 (m²) seront peints en 1 jour ensemble ;
• 3) 32,8 *5 = 164 (m²).
• Réponse : dans une semaine de travail, le peintre et son assistant peindront ensemble 164 m² de clôture.

Problème 10

Deux bateaux sont partis simultanément de deux quais l'un vers l'autre. La vitesse d'un bateau est de 42,2 km/h, celle du second est de 6 km/h de plus. Quelle sera la distance entre les bateaux après 2h30 si la distance entre les quais est de 140,5 km ?

Solution
• 1) 42,2 + 6 = 48,2 (km/h) vitesse du deuxième bateau ;
• 2) 42,2 * 2,5 = 105,5 (km) seront parcourus par le premier bateau en 2,5 heures ;
• 3) 48,2 * 2,5 = 120,5 (km) seront parcourus par le deuxième bateau en 2,5 heures ;
• 4) 140,5 – 105,5 = 35 (km) de distance entre le premier bateau et le quai opposé ;
• 5) 140,5 – 120,5 = 20 (km) de distance entre le deuxième bateau et le quai opposé ;
• 6) 35 + 20 = 55 (km) ;
• 7) 140 – 55 = 85 (km).
• Réponse : il y aura 85 km entre les bateaux.

Problème 11

Chaque jour, un cycliste parcourt 30,2 km. Un motocycliste, s'il passait le même temps, parcourrait une distance 2,5 fois plus grande qu'un cycliste. Quelle distance un motocycliste peut-il parcourir en 4 jours ?

Solution
• 1) 30,2 * 2,5 = 75,5 (km) qu'un motocycliste parcourra en 1 jour ;
• 2) 75,5 * 4 = 302 (km).
• Réponse : un motocycliste peut parcourir 302 km en 4 jours.

Problème 12

En 1 jour, le magasin a vendu 18,3 kg de biscuits et 2,4 kg de bonbons en moins. Combien de bonbons et de biscuits ont été vendus dans le magasin ce jour-là ?

Solution
• 1) 18,3 – 2,4 = 15,9 (kg) de bonbons ont été vendus dans le magasin ;
• 2) 15,9 + 18,3 = 34,2 (kg).
• Réponse : au total, 34,2 kg de friandises et de biscuits ont été vendus.



Parmi les nombreuses fractions trouvées en arithmétique, celles qui ont 10, 100, 1000 au dénominateur - en général, toute puissance de dix - méritent une attention particulière. Ces fractions ont un nom et une notation particuliers.

Un nombre décimal est une fraction numérique dont le dénominateur est une puissance de dix.

Exemples de fractions décimales :

Pourquoi était-il nécessaire de séparer de telles fractions ? Pourquoi ont-ils besoin propre forme des enregistrements ? Il y a à cela au moins trois raisons :

1. Les décimales sont beaucoup plus faciles à comparer. N'oubliez pas : pour comparer des fractions ordinaires, il faut les soustraire les unes aux autres et, notamment, réduire les fractions à dénominateur commun. En décimales, rien de tel n’est requis ;
2. Réduisez les calculs. Les fractions décimales sont ajoutées et multipliées par propres règles, et après un peu d'entraînement, vous travaillerez avec eux beaucoup plus rapidement qu'avec les classiques ;
3. Facilité d'enregistrement. Contrairement aux fractions ordinaires, les décimales sont écrites sur une seule ligne sans perte de clarté.

La plupart des calculatrices donnent également des réponses en décimales. Dans certains cas, un format d'enregistrement différent peut poser des problèmes. Par exemple, que se passe-t-il si vous demandez de la monnaie dans le magasin d'un montant de 2/3 de rouble :)

Règles d'écriture des fractions décimales

Le principal avantage des fractions décimales est leur notation pratique et visuelle. À savoir:

La notation décimale est une forme d'écriture de fractions décimales, où partie entière séparé d'une fraction par un point régulier ou une virgule. Dans ce cas, le séparateur lui-même (point ou virgule) est appelé point décimal.

Par exemple, 0,3 (lire : « pointeurs zéro, 3 dixièmes ») ; 7,25 (7 entiers, 25 centièmes) ; 3,049 (3 entiers, 49 millièmes). Tous les exemples sont tirés de la définition précédente.

À l’écrit, une virgule est généralement utilisée comme point décimal. Ici et plus loin sur tout le site, la virgule sera également utilisée.

Pour écrire une fraction décimale arbitraire sous cette forme, vous devez suivre trois étapes simples :

1. Écrivez le numérateur séparément ;
2. Décalez la virgule vers la gauche d’autant de positions qu’il y a de zéros au dénominateur. Supposons qu'au départ, le point décimal se trouve à droite de tous les chiffres ;
3. Si la virgule décimale s'est déplacée et qu'après elle il y a des zéros à la fin de l'entrée, ils doivent être barrés.

Il arrive qu'à la deuxième étape, le numérateur n'ait pas suffisamment de chiffres pour effectuer le décalage. Dans ce cas, les positions manquantes sont remplies de zéros. Et en général, à gauche de n'importe quel nombre, vous pouvez attribuer n'importe quel nombre de zéros sans nuire à votre santé. C'est moche, mais parfois utile.

À première vue, cet algorithme peut paraître assez compliqué. En fait, tout est très, très simple : il suffit de s'entraîner un peu. Jetez un œil aux exemples :

Tâche. Pour chaque fraction, indiquez sa notation décimale :

Le numérateur de la première fraction est : 73. On décale la virgule décimale d'un signe (puisque le dénominateur est 10) - on obtient 7,3.

Numérateur de la deuxième fraction : 9. On décale la virgule décimale de deux places (puisque le dénominateur est 100) - on obtient 0,09. J'ai dû ajouter un zéro après la virgule et un de plus avant, afin de ne pas laisser une entrée étrange comme « .09 ».

Le numérateur de la troisième fraction : 10029. On décale la virgule décimale de trois places (puisque le dénominateur est 1000) - on obtient 10,029.

Le numérateur de la dernière fraction : 10 500. Encore une fois, nous décalons le point de trois chiffres - nous obtenons 10 500. Il y a des zéros supplémentaires à la fin du numéro. Rayez-les et nous obtenons 10,5.

Faites attention aux deux derniers exemples : les nombres 10,029 et 10,5. Selon les règles, les zéros à droite doivent être barrés, comme cela a été fait dans le dernier exemple. Cependant, vous ne devez jamais faire cela avec des zéros à l’intérieur d’un nombre (qui sont entourés d’autres nombres). C'est pourquoi nous avons obtenu 10,029 et 10,5, et non 1,29 et 1,5.

Nous avons donc compris la définition et la forme d'écriture des fractions décimales. Voyons maintenant comment convertir des fractions ordinaires en décimales - et vice versa.

Conversion de fractions en décimales

Considérons une fraction numérique simple de la forme a /b. Vous pouvez utiliser la propriété de base d'une fraction et multiplier le numérateur et le dénominateur par un nombre tel que le bas s'avère être une puissance de dix. Mais avant de le faire, lisez ce qui suit :

Il existe des dénominateurs qui ne peuvent être réduits à des puissances de dix. Apprenez à reconnaître de telles fractions, car elles ne peuvent pas être utilisées à l'aide de l'algorithme décrit ci-dessous.

C'est ainsi que les choses se passent. Eh bien, comment comprenez-vous si le dénominateur est réduit à une puissance dix ou non ?

La réponse est simple : prendre en compte le dénominateur facteurs premiers. Si le développement ne contient que les facteurs 2 et 5, ce nombre peut être réduit à une puissance dix. S'il existe d'autres nombres (3, 7, 11 - peu importe), vous pouvez oublier la puissance dix.

Tâche. Vérifiez si les fractions indiquées peuvent être représentées sous forme décimale :

Écrivons et factorisons les dénominateurs de ces fractions :

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - seuls les nombres 2 et 5 sont présents. Par conséquent, la fraction peut être représentée sous forme décimale.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - il existe un facteur « interdit » 3. La fraction ne peut pas être représentée sous forme décimale.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Tout est en ordre : il n'y a rien à part les nombres 2 et 5. Une fraction peut être représentée sous forme décimale.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Le facteur 3 a « refait surface » Il ne peut pas être représenté comme une fraction décimale.

Nous avons donc réglé le dénominateur - examinons maintenant l'ensemble de l'algorithme pour passer aux fractions décimales :

1. Factorisez le dénominateur de la fraction d'origine et assurez-vous qu'il est généralement représentable sous forme décimale. Ceux. vérifier que seuls les facteurs 2 et 5 sont présents dans le développement sinon l'algorithme ne fonctionne pas ;
2. Comptez combien de deux et de cinq sont présents dans l'extension (il n'y aura pas d'autres nombres là-bas, vous vous souvenez ?). Choisissez un facteur supplémentaire tel que le nombre de deux et de cinq soit égal.
3. En fait, multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par ce facteur - nous obtenons la représentation souhaitée, c'est-à-dire le dénominateur sera une puissance de dix.

Bien entendu, le facteur supplémentaire sera également décomposé uniquement en deux et cinq. En même temps, afin de ne pas vous compliquer la vie, vous devez choisir le plus petit multiplicateur parmi tous les possibles.

Et encore une chose : si la fraction d'origine contient une partie entière, assurez-vous de convertir cette fraction en une fraction impropre - et ensuite seulement appliquez l'algorithme décrit.

Tâche. Traduire les données fractions numériques en décimal :

Factorisons le dénominateur de la première fraction : 4 = 2 · 2 = 2 2 . La fraction peut donc être représentée sous forme décimale. L'expansion contient deux deux et non un seul cinq, donc le facteur supplémentaire est 5 2 = 25. Avec lui, le nombre de deux et de cinq sera égal. Nous avons:

Examinons maintenant la deuxième fraction. Pour ce faire, notez que 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 - il y a un triple dans le développement, donc la fraction ne peut pas être représentée sous forme décimale.

Les deux dernières fractions ont respectivement pour dénominateurs 5 (nombre premier) et 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - seuls deux et cinq sont présents partout. De plus, dans le premier cas, « pour un bonheur complet » un facteur de 2 ne suffit pas, et dans le second - 5. On obtient :

Conversion de décimales en fractions communes

La conversion inverse – de la notation décimale à la notation régulière – est beaucoup plus simple. Il n'y a pas de restrictions ni de contrôles spéciaux ici, vous pouvez donc toujours convertir une fraction décimale en fraction classique « à deux étages ».

L'algorithme de traduction est le suivant :

1. Rayez tous les zéros à gauche de la virgule, ainsi que le point décimal. Ce sera le numérateur de la fraction souhaitée. L'essentiel est de ne pas en faire trop et de ne pas rayer les zéros intérieurs entourés d'autres chiffres ;
2. Comptez combien de décimales il y a après la virgule. Prenez le chiffre 1 et ajoutez autant de zéros à droite que de caractères que vous comptez. Ce sera le dénominateur ;
3. En fait, notez la fraction dont nous venons de trouver le numérateur et le dénominateur. Si possible, réduisez-le. Si la fraction originale contenait une partie entière, nous obtiendrons désormais une fraction impropre, ce qui est très pratique pour des calculs ultérieurs.

Tâche. Convertir des fractions décimales en fractions ordinaires : 0,008 ; 3.107 ; 2,25 ; 7,2008.

Rayez les zéros à gauche et les virgules - nous obtenons les numéros suivants(ce seront les numérateurs) : 8 ; 3107 ; 225 ; 72008.

Dans les première et deuxième fractions, il y a 3 décimales, dans la deuxième - 2 et dans la troisième - jusqu'à 4 décimales. On obtient les dénominateurs : 1000 ; 1000 ; 100 ; 10000.

Enfin, combinons les numérateurs et les dénominateurs en fractions ordinaires :

Comme le montrent les exemples, la fraction résultante peut très souvent être réduite. Permettez-moi de noter encore une fois que toute fraction décimale peut être représentée comme une fraction ordinaire. La conversion inverse n’est pas toujours possible.

Nous consacrerons ce matériel à un sujet aussi important que les fractions décimales. Tout d'abord, définissons les définitions de base, donnons des exemples et attardons-nous sur les règles de la notation décimale, ainsi que sur les chiffres des fractions décimales. Ensuite, nous soulignons les principaux types : fractions finies et infinies, périodiques et non périodiques. Dans la dernière partie, nous montrerons comment les points correspondant aux nombres fractionnaires sont situés sur l'axe des coordonnées.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Qu'est-ce que la notation décimale des nombres fractionnaires

La notation dite décimale des nombres fractionnaires peut être utilisée aussi bien pour les nombres naturels que pour les nombres fractionnaires. Cela ressemble à un ensemble de deux nombres ou plus séparés par une virgule.

Le point décimal est nécessaire pour séparer la partie entière de la partie fractionnaire. En règle générale, le dernier chiffre d'une fraction décimale n'est pas un zéro, à moins que le point décimal n'apparaisse immédiatement après le premier zéro.

Quels sont quelques exemples de nombres fractionnaires en notation décimale ? Cela peut être 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11 231 552, 9, etc.

Dans certains manuels, vous pouvez trouver l'utilisation d'un point au lieu d'une virgule (5. 67, 6789. 1011, etc.). Cette option est considérée comme équivalente, mais elle est plus typique pour les sources de langue anglaise.

Définition des décimales

Sur la base du concept de notation décimale ci-dessus, nous pouvons formuler la définition suivante des fractions décimales :

Définition 1

Les fractions décimales représentent nombres fractionnaires en notation décimale.

Pourquoi devons-nous écrire les fractions sous cette forme ? Cela nous donne certains avantages par rapport aux notations ordinaires, par exemple une notation plus compacte, surtout dans les cas où le dénominateur contient 1000, 100, 10, etc. ou nombre mixte. Par exemple, au lieu de 6 10, nous pouvons spécifier 0,6, au lieu de 25 10000 - 0,0023, au lieu de 512 3 100 - 512,03.

Comment représenter correctement des fractions ordinaires avec des dizaines, des centaines et des milliers au dénominateur sous forme décimale sera discuté dans un document séparé.

Comment lire correctement les décimales

Il existe quelques règles pour lire les notations décimales. Ainsi, les fractions décimales auxquelles correspondent leurs équivalents ordinaires réguliers se lisent presque de la même manière, mais avec l'ajout des mots « zéro dixième » au début. Ainsi, l’entrée 0, 14, qui correspond à 14 100, se lit comme « zéro virgule quatorze centièmes ».

Si une fraction décimale peut être associée à un nombre fractionnaire, alors elle se lit de la même manière que ce nombre. Ainsi, si nous avons la fraction 56 002, qui correspond à 56 2 1000, nous lisons cette entrée comme « cinquante-six virgule deux millièmes ».

La signification d'un chiffre dans une fraction décimale dépend de l'endroit où il se trouve (comme dans le cas des nombres naturels). Ainsi, dans la fraction décimale 0,7, sept équivaut à des dixièmes, dans 0,0007 à des dix millièmes et dans la fraction 70 000,345, cela signifie sept dizaines de milliers d'unités entières. Ainsi, dans les fractions décimales, il existe également la notion de valeur de position.

Les noms des chiffres situés avant la virgule décimale sont similaires à ceux qui existent dans les nombres naturels. Les noms de ceux situés après sont clairement présentés dans le tableau :

Regardons un exemple.

Exemple 1

Nous avons la fraction décimale 43 098. Elle a un quatre à la place des dizaines, un trois à la place des unités, un zéro à la place des dixièmes, 9 à la place des centièmes et 8 à la place des millièmes.

Il est d'usage de distinguer les rangs des fractions décimales par priorité. Si nous parcourons les nombres de gauche à droite, nous passerons des chiffres les plus significatifs aux chiffres les plus bas. Il s’avère que les centaines sont plus anciennes que les dizaines et que les parties par million sont plus jeunes que les centièmes. Si nous prenons la fraction décimale finale que nous avons citée comme exemple ci-dessus, alors la place la plus élevée ou la plus élevée sera la place des centaines, et la place la plus basse ou la plus basse sera la 10 millième.

Toute fraction décimale peut être développée en chiffres individuels, c'est-à-dire présentée sous forme de somme. Cette action s'effectue de la même manière que pour nombres naturels.

Exemple 2

Essayons de développer la fraction 56, 0455 en chiffres.

Nous obtiendrons :

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Si nous nous souvenons des propriétés d'addition, nous pouvons représenter cette fraction sous d'autres formes, par exemple comme la somme 56 + 0, 0455, ou 56, 0055 + 0, 4, etc.

Que sont les décimales de fin

Toutes les fractions dont nous avons parlé ci-dessus sont des décimales finies. Cela signifie que le nombre de chiffres après la virgule est fini. Dérivons la définition :

Définition 1

Les décimales de fin sont un type de fraction décimale qui a un nombre fini de décimales après la décimale.

Des exemples de telles fractions peuvent être 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49, etc.

Chacune de ces fractions peut être convertie soit en un nombre fractionnaire (si la valeur de sa partie fractionnaire est différente de zéro), soit en fraction commune(avec partie entière nulle). Nous nous sommes consacrés à la façon dont cela est fait matériau séparé. Ici, nous signalerons simplement quelques exemples : par exemple, nous pouvons réduire la fraction décimale finale 5, 63 à la forme 5 63 100, et 0, 2 correspond à 2 10 (ou toute autre fraction égale, par exemple exemple, 4 20 ou 1 5.)

Mais le processus inverse, c'est-à-dire écrire une fraction commune sous forme décimale n’est pas toujours possible. Ainsi, 5 13 ne peut pas être remplacé par fraction égale avec un dénominateur de 100, 10, etc., ce qui signifie qu'une fraction décimale finale ne peut en être obtenue.

Principaux types de fractions décimales infinies : fractions périodiques et non périodiques

Nous avons indiqué ci-dessus que les fractions finies sont ainsi appelées parce qu’elles ont un nombre fini de chiffres après la virgule. Cependant, il se peut qu'elle soit infinie, auquel cas les fractions elles-mêmes seront également appelées infinies.

Définition 2

Les fractions décimales infinies sont celles qui ont un nombre infini de chiffres après la virgule.

De toute évidence, ces nombres ne peuvent tout simplement pas être écrits dans leur intégralité, nous n'en indiquons donc qu'une partie, puis ajoutons des points de suspension. Ce signe indique une continuation infinie de la séquence des décimales. Des exemples de fractions décimales infinies incluent 0, 143346732…, ​​​​3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. etc.

La « queue » d'une telle fraction peut contenir non seulement des séquences de nombres apparemment aléatoires, mais également une répétition constante du même caractère ou groupe de caractères. Les fractions avec des nombres alternés après la virgule décimale sont appelées périodiques.

Définition 3

Les fractions décimales périodiques sont des fractions décimales infinies dans lesquelles un chiffre ou un groupe de plusieurs chiffres est répété après la virgule. La partie répétitive est appelée la période de la fraction.

Par exemple, pour la fraction 3, 444444.... le point sera le chiffre 4, et pour 76, 134134134134... - le groupe 134.

Quel quantité minimale Est-il permis de laisser des signes dans la notation d'une fraction périodique ? Pour les fractions périodiques, il suffira d’écrire la période entière une fois entre parenthèses. Donc, fraction 3, 444444…. Il serait correct de l'écrire sous la forme 3, (4) et 76, 134134134134... - sous la forme 76, (134).

En général, les entrées avec plusieurs points entre parenthèses auront exactement la même signification : par exemple, la fraction périodique 0,677777 est la même que 0,6 (7) et 0,6 (77), etc. Les enregistrements de la forme 0, 67777 (7), 0, 67 (7777), etc. sont également acceptables.

Pour éviter les erreurs, nous introduisons une uniformité de notation. Convenons de n'écrire qu'un seul point (la séquence de nombres la plus courte possible), la plus proche de la virgule décimale, et de le mettre entre parenthèses.

Autrement dit, pour la fraction ci-dessus, nous considérerons que l'entrée principale est 0, 6 (7) et, par exemple, dans le cas de la fraction 8, 9134343434, nous écrirons 8, 91 (34).

Si le dénominateur d'une fraction ordinaire contient des facteurs premiers non égaux à 5 et 2, alors une fois convertis en notation décimale, ils donneront des fractions infinies.

En principe, nous pouvons écrire n’importe quelle fraction finie comme une fraction périodique. Pour ce faire, il suffit d’ajouter un nombre infini de zéros à droite. A quoi ça ressemble en enregistrement ? Disons que nous avons la fraction finale 45, 32. Sous forme périodique, cela ressemblera à 45, 32 (0). Cette action est possible car l’ajout de zéros à droite de n’importe quelle fraction décimale nous donne une fraction résultante qui lui est égale.

Une attention particulière doit être portée aux fractions périodiques avec une période de 9, par exemple 4, 89 (9), 31, 6 (9). Il s'agit d'une notation alternative pour les fractions similaires avec une période de 0, elles sont donc souvent remplacées lors de l'écriture par des fractions avec une période nulle. Dans ce cas, un est ajouté à la valeur du chiffre suivant et (0) est indiqué entre parenthèses. L'égalité des nombres résultants peut être facilement vérifiée en les représentant comme des fractions ordinaires.

Par exemple, la fraction 8, 31 (9) peut être remplacée par la fraction correspondante 8, 32 (0). Ou 4, (9) = 5, (0) = 5.

Les fractions périodiques décimales infinies font référence à nombres rationnels. En d’autres termes, toute fraction périodique peut être représentée comme une fraction ordinaire, et vice versa.

Il existe également des fractions qui n'ont pas de séquence répétitive à l'infini après la virgule décimale. Dans ce cas, on les appelle fractions non périodiques.

Définition 4

Les fractions décimales non périodiques incluent les fractions décimales infinies qui ne contiennent pas de point après la virgule, c'est-à-dire groupe répétitif de nombres.

Parfois, les fractions non périodiques ressemblent beaucoup aux fractions périodiques. Par exemple, 9, 03003000300003... à première vue, il semble y avoir un point, cependant analyse détaillée les décimales confirment qu'il s'agit toujours d'une fraction non périodique. Il faut être très prudent avec de tels chiffres.

Les fractions non périodiques sont classées comme nombres irrationnels. Ils ne sont pas convertis en fractions ordinaires.

Opérations de base avec des décimales

Les opérations suivantes peuvent être effectuées avec des fractions décimales : comparaison, soustraction, addition, division et multiplication. Examinons chacun d'eux séparément.

La comparaison de décimales peut être réduite à la comparaison de fractions qui correspondent aux décimales originales. Mais les fractions infinies non périodiques ne peuvent pas être réduites à cette forme, et la conversion de fractions décimales en fractions ordinaires est souvent une tâche fastidieuse. Comment pouvons-nous effectuer rapidement une action de comparaison si nous devons le faire tout en résolvant un problème ? Il est pratique de comparer des fractions décimales par chiffre de la même manière que nous comparons des nombres naturels. Nous consacrerons un article séparé à cette méthode.

Pour additionner certaines fractions décimales avec d'autres, il est pratique d'utiliser la méthode d'addition de colonnes, comme pour les nombres naturels. Pour ajouter des fractions décimales périodiques, vous devez d'abord les remplacer par des fractions ordinaires et compter selon schéma standard. Si, selon les conditions du problème, nous devons ajouter des fractions infinies non périodiques, nous devons d'abord les arrondir à un certain chiffre, puis les ajouter. Plus le chiffre auquel nous arrondissons est petit, plus la précision du calcul sera élevée. Pour la soustraction, la multiplication et la division de fractions infinies, un pré-arrondi est également nécessaire.

Trouver la différence entre des fractions décimales est l’inverse de l’addition. Essentiellement, en utilisant la soustraction, nous pouvons trouver un nombre dont la somme avec la fraction que nous soustrayons nous donnera la fraction que nous minimisons. Nous en parlerons plus en détail dans un article séparé.

La multiplication de fractions décimales se fait de la même manière que pour les nombres naturels. La méthode de calcul des colonnes convient également pour cela. On réduit encore cette action avec les fractions périodiques à la multiplication des fractions ordinaires selon les règles déjà étudiées. Les fractions infinies, on s'en souvient, doivent être arrondies avant les calculs.

Le processus de division de nombres décimaux est l’inverse de la multiplication. Lors de la résolution de problèmes, nous utilisons également des calculs en colonnes.

Vous pouvez établir une correspondance exacte entre la fraction décimale finale et un point sur l'axe des coordonnées. Voyons comment marquer un point sur l'axe qui correspondra exactement à la fraction décimale requise.

Nous avons déjà étudié comment construire des points correspondant à des fractions ordinaires, mais les fractions décimales peuvent être réduites à cette forme. Par exemple, la fraction commune 14 10 est la même que 1, 4, donc le point correspondant sera éloigné de l'origine dans le sens positif exactement de la même distance :

Vous pouvez vous passer de remplacer la fraction décimale par une fraction ordinaire, mais utilisez la méthode d'expansion par chiffres comme base. Ainsi, si nous devons marquer un point dont la coordonnée sera égale à 15, 4008, alors nous présenterons d'abord ce nombre comme la somme 15 + 0, 4 +, 0008. Pour commencer, mettons de côté 15 segments unitaires entiers dans le sens positif dès le début du compte à rebours, puis 4 dixièmes d’un segment, puis 8 dix millièmes d’un segment. En conséquence, nous obtenons un point de coordonnées qui correspond à la fraction 15, 4008.

Pour une fraction décimale infinie, il est préférable d'utiliser cette méthode, car elle permet de se rapprocher à volonté du point souhaité. Dans certains cas, il est possible de construire une correspondance exacte à une fraction infinie sur l'axe des coordonnées : par exemple, 2 = 1, 41421. . . , et cette fraction peut être associée à un point du rayon de coordonnées, distant de 0 de la longueur de la diagonale du carré, dont le côté sera égal à un segment unitaire.

Si l'on trouve non pas un point sur l'axe, mais une fraction décimale qui lui correspond, alors cette action est appelée la mesure décimale d'un segment. Voyons comment procéder correctement.

Disons que nous devons passer de zéro à un point donné sur l'axe des coordonnées (ou nous en rapprocher le plus possible dans le cas d'une fraction infinie). Pour ce faire, on reporte progressivement les segments unitaires depuis l'origine des coordonnées jusqu'à arriver à point souhaité. Après des segments entiers, si nécessaire, nous mesurons les dixièmes, les centièmes et les fractions plus petites afin que la correspondance soit la plus précise possible. En conséquence, nous avons reçu une fraction décimale qui correspond à point donné sur l'axe des coordonnées.

Ci-dessus, nous avons montré un dessin avec le point M. Regardez-le encore : pour en arriver là, il faut mesurer à partir de zéro un segment unitaire et quatre dixièmes de celui-ci, puisque ce point correspond à la fraction décimale 1, 4.

Si nous ne pouvons pas atteindre un point dans le processus de mesure décimale, cela signifie que cela correspond à une fraction décimale infinie.

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Les fractions décimales sont les mêmes que les fractions ordinaires, mais en notation dite décimale. La notation décimale est utilisée pour les fractions avec les dénominateurs 10, 100, 1000, etc. Au lieu de fractions, 1/10 ; 1/100 ; 1/1000 ; ... écrivez 0,1 ; 0,01 ; 0,001;... .

Par exemple, 0,7 ( zéro virgule sept) est une fraction 7/10 ; 5.43 ( cinq virgule quarante-trois) est une fraction mixte 5 43/100 (ou, ce qui revient au même, fraction impropre 543/100).

Il peut arriver qu'il y ait un ou plusieurs zéros immédiatement après la virgule décimale : 1,03 est la fraction 1 3/100 ; 17,0087 est la fraction 17 87/10000. Règle générale est-ce: le dénominateur d'une fraction commune doit avoir autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule dans la fraction décimale.

Une fraction décimale peut se terminer par un ou plusieurs zéros. Il s'avère que ces zéros sont « supplémentaires » - ils peuvent simplement être supprimés : 1,30 = 1,3 ; 5,4600 = 5,46 ; 3 000 = 3. Découvrez pourquoi il en est ainsi ?

Les décimales apparaissent naturellement lors de la division par des nombres « ronds » - 10, 100, 1000, ... Assurez-vous de comprendre les exemples suivants :

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Remarquez-vous une tendance ici ? Essayez de le formuler. Que se passe-t-il si vous multipliez une fraction décimale par 10, 100, 1000 ?

Pour convertir une fraction ordinaire en décimal, vous devez la réduire à un dénominateur « rond » :

2/5 = 4/10 = 0,4 ; 11/20 = 55/100 = 0,55 ; 9/2 = 45/10 = 4,5, etc.

L'ajout de décimales est beaucoup plus facile que l'ajout de fractions. L'addition s'effectue de la même manière qu'avec les nombres ordinaires - selon les chiffres correspondants. Lors d'un ajout dans une colonne, les termes doivent être écrits de manière à ce que leurs virgules soient sur la même verticale. La virgule de la somme sera également sur la même verticale. La soustraction de fractions décimales s’effectue exactement de la même manière.

Si, lors de l'addition ou de la soustraction dans l'une des fractions, le nombre de chiffres après la virgule est inférieur à celui de l'autre, alors le nombre requis de zéros doit être ajouté à la fin de cette fraction. Vous ne pouvez pas additionner ces zéros, mais simplement les imaginer dans votre esprit.

Lors de la multiplication de fractions décimales, elles doivent à nouveau être multipliées comme numéros réguliers(dans ce cas, il n'est plus nécessaire d'écrire une virgule sous la virgule). Dans le résultat obtenu, vous devez séparer par une virgule un nombre de chiffres égal au nombre total de décimales dans les deux facteurs.

Lors de la division de fractions décimales, vous pouvez simultanément déplacer la virgule décimale du dividende et du diviseur vers la droite du même nombre de places : cela ne changera pas le quotient :

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Expliquez pourquoi il en est ainsi ?

1. Dessinez un carré de 10x10. Peignez-en une partie égale à : a) 0,02 ; b) 0,7 ; c) 0,57 ; d) 0,91 ; e) 0,135 aire du carré entier.
2. Qu'est-ce que 2,43 carrés ? Dessinez-le en image.
3. Divisez le nombre 37 par 10 ; 795 ; 4 ; 2.3 ; 65,27 ; 0,48 et écrivez le résultat sous forme de fraction décimale. Divisez les mêmes nombres par 100 et 1000.
4. Multipliez les nombres 4,6 par 10 ; 6,52 ; 23.095 ; 0,01999. Multipliez les mêmes nombres par 100 et 1000.
5. Représentez la décimale sous forme de fraction et réduisez-la :
   une) 0,5 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ;
   b) 0,25 ; 0,75 ; 0,05 ; 0,35 ; 0,025 ;
   c) 0,125 ; 0,375 ; 0,625 ; 0,875 ;
   d) 0,44 ; 0,26 ; 0,92 ; 0,78 ; 0,666 ; 0,848.
6. Imaginez-le sous la forme fraction mixte: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23,005; 7,0125.
7. Exprimez une fraction sous forme décimale :
   une) 1/2 ; 3/2 ; 7/2 ; 15/2 ; 1/5 ; 3/5 ; 4/5 ; 18/5 ;
   b) 1/4 ; 3/4 ; 5/4 ; 19/4 ; 1/20 ; 7/20 ; 49/20 ; 1/25 ; 13/25 ; 77/25 ; 1/50 ; 17/50 ; 137/50 ;
   c) 1/8 ; 3/8 ; 5/8 ; 7/8 ; 11/8 ; 125/8 ; 1/16 ; 5/16 ; 16/09 ; 23/16 ;
   d) 1/500 ; 3/250 ; 71/200 ; 9/125 ; 27/2500 ; 1999/2000.
8. Trouvez la somme : a) 7,3+12,8 ; b) 65,14+49,76 ; c) 3,762+12,85 ; d) 85,4+129,756 ; e) 1,44+2,56.
9. Considérez un comme la somme de deux décimales. Trouvez vingt autres façons de le présenter de cette façon.
10. Trouvez la différence : a) 13,4-8,7 ; b) 74.52-27.04 ; c) 49,736-43,45 ; d) 127,24-93,883 ; e) 67-52.07 ; e) 35,24-34,9975.
11. Trouvez le produit : a) 7,6·3,8 ; b) 4,8·12,5 ; c) 2,39·7,4 ; d) 3,74·9,65.