L'application du dérivé pour résoudre les problèmes de l'examen d'État unifié sera bientôt disponible ! Mais il est encore temps de se préparer ! Leçon « Application des dérivés dans la résolution des problèmes de l'examen d'État unifié

La droite y=3x+2 est tangente au graphique de la fonction y=-12x^2+bx-10.

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Solution

Soit x_0 l'abscisse du point du graphe de la fonction y=-12x^2+bx-10 par lequel passe la tangente à ce graphe. La valeur de la dérivée au point x_0 est égale à la pente de la tangente, soit y"(x_0)=-24x_0+b=3. Par contre, le point de tangence appartient simultanément au graphe du fonction et la tangente, c'est-à-dire -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 Nous obtenons un système d'équations.

\begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cas)

En résolvant ce système, nous obtenons x_0^2=1, ce qui signifie soit x_0=-1, soit x_0=1.

D'après la condition d'abscisse, les points tangents sont inférieurs à zéro, donc x_0=-1, alors b=3+24x_0=-21.

Répondre Condition La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) (qui est une ligne brisée composée de trois segments droits). À l’aide de la figure, calculez F(9)-F(5), où F(x) est l’un des

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fonctions primitives f(x). D'après la formule de Newton-Leibniz, la différence F(9)-F(5), où F(x) est l'une des primitives de la fonction f(x), est égale à l'aire du trapèze curviligne limité par le graphique de la fonction y=f(x), droites y=0 , x=9 et x=5.

Selon l'échéancier, nous déterminons que le trapèze courbé

En résolvant ce système, nous obtenons x_0^2=1, ce qui signifie soit x_0=-1, soit x_0=1.

est un trapèze de bases égales à 4 et 3 et de hauteur 3.

D'après la condition d'abscisse, les points tangents sont inférieurs à zéro, donc x_0=-1, alors b=3+24x_0=-21.

Sa superficie est égale

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\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

En résolvant ce système, nous obtenons x_0^2=1, ce qui signifie soit x_0=-1, soit x_0=1.

est un trapèze de bases égales à 4 et 3 et de hauteur 3.

D'après la condition d'abscisse, les points tangents sont inférieurs à zéro, donc x_0=-1, alors b=3+24x_0=-21.

La figure montre un graphique de y=f"(x) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-8 ; 7). Trouvez le nombre de points maximum de la fonction f(x) appartenant à l'intervalle [-6; -2].

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Le graphique montre que la dérivée f"(x) de la fonction f(x) change de signe de plus à moins (à ces points il y aura un maximum) en exactement un point (entre -5 et -4) de l'intervalle [ -6; -2 ] Il y a donc exactement un point maximum dans l'intervalle [-6; -2].

En résolvant ce système, nous obtenons x_0^2=1, ce qui signifie soit x_0=-1, soit x_0=1.

est un trapèze de bases égales à 4 et 3 et de hauteur 3.

D'après la condition d'abscisse, les points tangents sont inférieurs à zéro, donc x_0=-1, alors b=3+24x_0=-21.

La figure montre un graphique de la fonction y=f(x), définie sur l'intervalle (-2 ; 8).

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Déterminer le nombre de points auxquels la dérivée de la fonction f(x) est égale à 0.

En résolvant ce système, nous obtenons x_0^2=1, ce qui signifie soit x_0=-1, soit x_0=1.

est un trapèze de bases égales à 4 et 3 et de hauteur 3.

D'après la condition d'abscisse, les points tangents sont inférieurs à zéro, donc x_0=-1, alors b=3+24x_0=-21.

L'égalité de la dérivée en un point à zéro signifie que la tangente au graphique de la fonction tracée en ce point est parallèle à l'axe Ox.

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Par conséquent, nous trouvons des points où la tangente au graphique de la fonction est parallèle à l'axe Ox.

Sur ce graphique, ces points sont des points extremum (points maximum ou minimum). Comme vous pouvez le constater, il y a 5 points extrêmes.

En résolvant ce système, nous obtenons x_0^2=1, ce qui signifie soit x_0=-1, soit x_0=1.

est un trapèze de bases égales à 4 et 3 et de hauteur 3.

D'après la condition d'abscisse, les points tangents sont inférieurs à zéro, donc x_0=-1, alors b=3+24x_0=-21.

La droite y=-3x+4 est parallèle à la tangente au graphique de la fonction y=-x^2+5x-7.

Trouvez l'abscisse du point tangent. Le coefficient angulaire de la droite du graphique de la fonction y=-x^2+5x-7 en un point arbitraire x_0 est égal à y"(x_0). Mais y"=-2x+5, ce qui signifie y" (x_0)=-2x_0+5. Angulaire le coefficient de la ligne y=-3x+4 spécifié dans la condition est égal à -3. Les lignes parallèles ont donc les mêmes coefficients angulaires. -2x_0 +5=-3..

On obtient : x_0 = 4.

La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) et les points -6, -1, 1, 4 sont marqués en abscisse. En lequel de ces points la dérivée est-elle la plus petite ? Veuillez indiquer ce point dans votre réponse.

Dans la tâche n°13 de l'examen d'État unifié en mathématiques de niveau de base, vous devrez démontrer des compétences et des connaissances sur l'un des concepts du comportement d'une fonction : les dérivées en un point ou des taux d'augmentation ou de diminution. La théorie de cette tâche sera ajoutée un peu plus tard, mais cela ne nous empêchera pas d'examiner en détail plusieurs options typiques Analyse des options typiques pour les tâches n°14 de l'examen d'État unifié en mathématiques du niveau de base Première version de la tâche (version démo 2018) Le graphique montre la température en fonction du temps à mesure que le moteur chauffe.

voiture de tourisme

. L'axe horizontal indique le temps en minutes écoulé depuis le démarrage du moteur ; sur

axe vertical

1. Sélectionnez l'intervalle de temps pendant lequel la température a baissé.
2. Appliquez une règle à 30°C et déterminez l'intervalle de temps pendant lequel la température était inférieure à 30°C.

Solution:

Choisissons l'intervalle de temps pendant lequel la température a baissé. Cette section est visible à l'œil nu ; elle commence 8 minutes après le démarrage du moteur.

Appliquez une règle à 30°C et déterminez l'intervalle de temps pendant lequel la température était inférieure à 30°C.

Sous la règle, il y aura une section correspondant à l'intervalle de temps 0 - 1 min.

À l’aide d’un crayon et d’une règle, nous déterminerons à quel intervalle de temps la température était comprise entre 40°C et 80°C.

Déposons les perpendiculaires des points correspondant à 40°С et 80°С sur le graphique, et à partir des points résultants, nous abaissons les perpendiculaires sur l'axe du temps.

On voit que cet intervalle de température correspond à un intervalle de temps de 3 à 6,5 minutes. Autrement dit, parmi ceux donnés dans la condition 3 à 6 minutes.

En utilisant la méthode d'élimination, nous sélectionnerons l'option de réponse manquante.

Deuxième version de la tâche

Solution:

Analysons le graphique de la fonction A. Si la fonction augmente, alors la dérivée est positive et vice versa. La dérivée de la fonction est égale à zéro aux points extrêmes.

Premièrement, la fonction A augmente, c'est-à-dire la dérivée est positive. Cela correspond aux graphiques des dérivées 2 et 3. Au point maximum de la fonction x = -2, c'est-à-dire qu'à ce stade la dérivée doit être égale à zéro. Cette condition correspond au graphique numéro 3.

Premièrement, la fonction B diminue, c'est-à-dire la dérivée est négative. Cela correspond aux graphiques des dérivées 1 et 4. Le point maximum de la fonction est x=-2, c'est-à-dire qu'à ce stade la dérivée doit être égale à zéro. Cette condition correspond au graphique numéro 4.

Premièrement, la fonction B augmente, c'est-à-dire la dérivée est positive. Cela correspond aux graphiques des dérivées 2 et 3. Le point maximum de la fonction est x = 1, c'est-à-dire qu'à ce stade la dérivée doit être égale à zéro. Cette condition correspond au graphique numéro 2.

En utilisant la méthode d'élimination, on peut déterminer que le graphique de la fonction Г correspond au graphique de la dérivée numérotée 1.

Réponse : 3421.

Troisième version de la tâche

Établir une correspondance entre les graphiques des fonctions et les graphiques de leurs dérivées.

Algorithme d'exécution pour chaque fonction :

1. Déterminez les intervalles des fonctions croissantes et décroissantes.
2. Déterminez les points maximum et minimum des fonctions.
3. Tirez des conclusions et faites correspondre les graphiques proposés.

Solution:

Analysons le graphique de la fonction A.

Si la fonction est croissante, alors la dérivée est positive et vice versa. La dérivée de la fonction est égale à zéro aux points extrêmes.

Le point extremum est le point auquel le maximum ou valeur minimale fonctions.

Premièrement, la fonction A augmente, c'est-à-dire la dérivée est positive. Cela correspond aux graphiques des dérivées 3 et 4. Au point maximum de la fonction x=0, c'est-à-dire qu'à ce stade la dérivée doit être égale à zéro. Cette condition correspond au graphique numéro 4.

Analysons le graphique de la fonction B.

Premièrement, la fonction B diminue, c'est-à-dire la dérivée est négative. Cela correspond aux graphiques des dérivées 1 et 2. Le point minimum de la fonction est x=-1, c'est-à-dire qu'à ce stade la dérivée doit être égale à zéro. Cette condition correspond au graphique numéro 2.

Analysons le graphique de la fonction B.

Premièrement, la fonction B diminue, c'est-à-dire la dérivée est négative. Cela correspond aux graphiques des dérivées 1 et 2. Le point minimum de la fonction est x = 0, c'est-à-dire qu'à ce stade la dérivée doit être égale à zéro. Cette condition correspond au graphique numéro 1.

En utilisant la méthode d'élimination, on peut déterminer que le graphique de la fonction Г correspond au graphique de la dérivée numérotée 3.

Réponse : 4213.

Option de la quatorzième tâche 2017

La figure montre le graphique de la fonction et les tangentes qui y sont tracées aux points d'abscisse A, B, C et D.La colonne de droite montre les valeurs de la dérivée aux points A, B, C et D. À l'aide du graphique, faites correspondre chaque point avec la valeur de la dérivée de la fonction qui s'y trouve.

POINTS
UN
DANS
AVEC
D

VALEURS DÉRIVÉES
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Rappelons ce que signifie la dérivée, à savoir sa valeur au point - la valeur de la fonction dérivée en un point est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison (coefficient) de la tangente.

Dans les réponses, nous avons deux options positives et deux options négatives. On s'en souvient, si le coefficient est droit (graphique y = kx+b) est positif, alors la droite augmente, mais si elle est négative, alors la droite diminue.

Nous avons deux lignes croissantes - aux points A et D. Rappelons maintenant ce que signifie la valeur du coefficient k ?

Le coefficient k montre à quelle vitesse la fonction augmente ou diminue (en fait, le coefficient k est lui-même une dérivée de la fonction y = kx+ b).

Par conséquent, k = 2/3 correspond à une droite plus plate - D, et k = 3 - A.

De même dans le cas de valeurs négatives : le point B correspond à une droite plus raide avec k = - 4, et le point C - -1/2.

Signification géométrique dérivée X Y 0 tangente α k – pente droite (tangente) La signification géométrique de la dérivée : si une tangente peut être tracée au graphique de la fonction y = f(x) au point avec l'abscisse, non parallèle à l'axe des y, alors elle exprime la coefficient angulaire de la tangente, c'est-à-dire Puisque alors l’égalité est vraie : Équation d’une droite

X y Si α 0. Si α > 90°, alors k 90°, puis k 90°, puis k 90°, puis k 90°, puis k title="х y Si α 0. Si α > 90°, puis k

X y Tâche 1. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à ce graphique tracée au point d'abscisse -1. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x =

Y x x0x La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouvez la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0. Réponse : -0,25

La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-6;6). Trouvez les intervalles de fonction croissante f(x). Dans votre réponse, indiquez la somme des points entiers compris dans ces intervalles. B =...

La figure montre le graphique de la fonction y = f(x) et la tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="Dans l'image montre le graphique de la fonction y = f(x ) et la tangente à celui-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="La figure montre le graphique de la fonction y = f(x) et la tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}

La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-1;17). Trouver les intervalles de diminution de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la longueur du plus grand d’entre eux. f(x)

0 sur l'intervalle, puis la fonction f(x)" title="La figure montre un graphique de la fonction y = f(x). Trouvez parmi les points x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5, x 6 et x 7 sont les points auxquels la dérivée de la fonction f(x) est positive. En réponse, notez le nombre de points trouvés. Si f (x) > 0 sur l'intervalle, alors le. fonction f(x)" class="link_thumb"> 8 !} La figure montre un graphique de la fonction y = f(x). Trouvez parmi les points x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 et x 7 les points auxquels la dérivée de la fonction f(x) est positive. En réponse, notez le nombre de points trouvés. Si f (x) > 0 sur un intervalle, alors la fonction f (x) augmente sur cet intervalle Réponse : 2 0 sur l'intervalle, puis la fonction f(x)"> 0 sur l'intervalle, puis la fonction f(x) augmente sur cet intervalle Réponse : 2"> 0 sur l'intervalle, puis la fonction f(x)" title= "On La figure montre un graphique de la fonction y = f(x). Trouvez parmi les points x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 et x 7 les points auxquels le La dérivée de la fonction f(x) est positive. Notez le nombre de points trouvés. Si f (x) > 0 sur l'intervalle, alors la fonction f(x) est positive."> title="La figure montre un graphique de la fonction y = f(x). Trouvez parmi les points x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 et x 7 les points auxquels la dérivée de la fonction f(x) est positive. En réponse, notez le nombre de points trouvés. Si f (x) > 0 sur un intervalle, alors la fonction f(x)"> !}

La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-9 ; 2). A quel moment sur le segment -8 ; -4 la fonction f(x) prend valeur la plus élevée? Sur le segment -8 ; -4f(x)

La fonction y = f(x) est définie sur l'intervalle (-5 ; 6). La figure montre un graphique de la fonction y = f(x). Trouvez parmi les points x 1, x 2, ..., x 7 les points auxquels la dérivée de la fonction f(x) est égale à zéro. En réponse, notez le nombre de points trouvés. Réponse : 3 points x 1, x 4, x 6 et x 7 sont des points extrêmes. Au point x 4 il n'y a pas de f (x)

Littérature 4 Algèbre et début du cours d'analyse. Tutoriel pour établissements d'enseignement niveau de base/ Sh. A. Alimov et autres, - M. : Prosveshchenie, Semenov A. L. Examen d'État unifié : 3000 problèmes de mathématiques. – M. : Maison d'édition « Examen », Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. Un guide visuel de l'algèbre et des débuts de l'analyse avec des exemples pour les niveaux 7-11. – M. : Ilexa, Ressource électronique Ouvrez la banque de tâches de l'examen d'État unifié.

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Type de cours : répétition et généralisation.

Format du cours : cours-consultation.

Objectifs de la leçon :

• pédagogique: répéter et généraliser les connaissances théoriques sur les thèmes : « Signification géométrique de la dérivée » et « Application de la dérivée à l'étude des fonctions » ; considérer tous les types de problèmes B8 rencontrés à l'examen d'État unifié de mathématiques ; donner aux étudiants la possibilité de tester leurs connaissances décision indépendante
• tâches ; apprendre à remplir le formulaire de réponse à l'examen ; développement: favoriser le développement de la communication comme méthode connaissances scientifiques, tels que la comparaison, la juxtaposition, la classification d'objets, la détermination de moyens adéquats pour résoudre une tâche éducative sur la base d'algorithmes donnés, la capacité d'agir de manière indépendante dans des situations d'incertitude, de contrôler et d'évaluer ses activités, de trouver et d'éliminer les causes des difficultés ;
• pédagogique: développer les compétences communicatives des élèves ( culture de la communication, capacité à travailler en groupe); favoriser le développement du besoin d’auto-éducation.

Technologies : éducation au développement, TIC.

Méthodes pédagogiques : verbal, visuel, pratique, problématique.

Formes de travail : individuel, frontal, groupe.

Accompagnement pédagogique et méthodologique :

1. Algèbre et débuts de l'analyse mathématique 11e année : manuel. Pour l'enseignement général Institutions : base et profil. niveaux / (Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); édité par A. B. Zhizhchenko. – 4e éd. – M. : Éducation, 2011.

2. Examen d'État unifié : 3000 problèmes avec réponses en mathématiques. Toutes les tâches du groupe B/A.L. Semenov, I.V. Iachchenko et autres ; édité par A.L. Semionova, I.V. Iachchenko. – M. : Maison d’édition « Exam », 2011.

3. Ouvrez la banque de tâches.

Équipement et matériel pour le cours : projecteur, écran, PC pour chaque étudiant avec une présentation installée dessus, impression d'un mémo pour tous les étudiants (Annexe 1) et feuille de match ( Annexe 2) .

Préparation préliminaireà la leçon : comme devoirs il est demandé aux étudiants de répéter du matériel théorique du manuel sur les thèmes : « Signification géométrique de la dérivée », « Application de la dérivée à l'étude des fonctions » ; La classe est divisée en groupes (4 personnes chacun), chacun comprenant des élèves de niveaux différents.

Explication de la leçon : Cette leçon est enseignée en 11e au stade du redoublement et de la préparation à l'examen d'État unifié. La leçon vise à répéter et à généraliser le matériel théorique, à son application dans la résolution de problèmes d'examen. Durée du cours - 1,5 heures .

Cette leçon n'est pas jointe au manuel, elle peut donc être enseignée tout en travaillant sur n'importe quel matériel pédagogique. Cette leçon peut également être divisée en deux leçons distinctes et enseignée comme leçon finale sur les sujets abordés.

Progression de la leçon

I. Moment organisationnel.

II. Leçon sur l'établissement d'objectifs.

III. Répétition sur le thème « Signification géométrique des dérivées ».

Travail oral frontal à l'aide d'un projecteur (diapositives n°3-7)

Travail en groupe : résoudre des problèmes avec des indices, des réponses, avec consultation de l'enseignant (diapositives n° 8-17)

IV. Travail indépendant 1.

Les étudiants travaillent individuellement sur PC (diapositives n° 18 à 26) et inscrivent leurs réponses dans la fiche d'évaluation. Si nécessaire, vous pouvez consulter un professeur, mais dans ce cas l'élève perdra 0,5 point. Si l'étudiant termine le travail plus tôt, il peut choisir de résoudre des tâches supplémentaires de la collection, pp. 242, 306-324 (les tâches supplémentaires sont évaluées séparément).

V. Vérification mutuelle.

Les élèves échangent des fiches d’évaluation, vérifient le travail d’un ami et attribuent des points (diapositive n°27)

VI. Correction des connaissances.

VII. Répétition sur le thème « Application de la dérivée à l'étude des fonctions »

Travail oral frontal à l'aide d'un projecteur (diapositives n°28-30)

Travail en groupe : résoudre des problèmes avec des indices, des réponses, avec consultation de l'enseignant (diapositives n° 31-33)

VIII. Travail indépendant 2.

Les étudiants travaillent individuellement sur un PC (diapositives n°34 à 46) et saisissent leurs réponses sur le formulaire de réponse. Si nécessaire, vous pouvez consulter un professeur, mais dans ce cas l'élève perdra 0,5 point. Si l'étudiant termine le travail plus tôt, il peut choisir de résoudre des tâches supplémentaires de la collection, pp. 243-305 (les tâches supplémentaires sont évaluées séparément).

IX. Examen par les pairs.

Les élèves échangent des fiches d’évaluation, vérifient le travail d’un ami et attribuent des points (diapositive n°47).

X. Correction des connaissances.

Les élèves travaillent à nouveau en groupe, discutent de la solution et corrigent les erreurs.

XI. En résumé.

Chaque élève calcule ses points et inscrit une note sur la feuille de notation.

Les élèves soumettent à l'enseignant une fiche d'évaluation et des solutions à des problèmes supplémentaires.

Chaque élève reçoit un mémo (diapositive n°53-54).

XII. Réflexion.

Les étudiants sont invités à évaluer leurs connaissances en choisissant l'une des phrases :

• J'ai réussi !!!
• Nous devons résoudre quelques exemples supplémentaires.
• Eh bien, qui a inventé ce calcul !

XIII. Devoirs.

Pour devoirs Les étudiants sont invités à choisir de résoudre des tâches de la collection, pp. 242-334, ainsi que d'une banque ouverte de tâches.