Présentation sur le thème "Volume d'un polyèdre". Travaux pratiques "volumes de polyèdres" VII. Devoirs

Présentation pour un cours de géométrie en 11e.

Sujet: Résoudre des problèmes sur le thème « Aires et volumes de polyèdres ».

Cible: redoublement, préparation à l'examen d'État unifié 2016.

Volkova Nina Vitalievna

professeur de mathématiques

Lycée MBOU n°3 de la formation municipale du district de Timashevsky

Super boulot.

Préparation à l'examen d'État unifié.

(Tâches B-8).

1. Le volume d’un cube est 8. Trouvez son aire.

Solution:

1.S n=6a

3. Trouvez le bord, puis la surface.

2. Le rayon de la base du cylindre est 2 et la hauteur est 3. Trouvez la surface latérale du cylindre divisée par.

S b=2 rh.

3. Un parallélépipède rectangle est décrit autour d'un cylindre dont le rayon de base et la hauteur sont égaux à 6. Trouvez le volume du parallélépipède.

1 3

4. Les côtés de la base d'une pyramide quadrangulaire régulière sont égaux à 10, les bords latéraux sont égaux à 13.

Trouvez l'aire de cette pyramide.

5. Le volume du cône est de 16. Une section est tracée au milieu de la hauteur parallèlement à la base du cône, qui est la base d'un cône plus petit ayant le même sommet. Trouver le volume

cône plus petit.

6. De l'eau était versée dans un récipient en forme de prisme triangulaire régulier. Le niveau d'eau atteint 80 cm. A quelle hauteur aura-t-il le niveau d'eau si elle est versée dans un autre récipient similaire, dont le fond est 4 fois plus grand que le premier ?

X

7. Le cylindre et le cône ont une base commune et une hauteur commune. Calculez le volume du cylindre si le volume du cône est de 87.

8. Trouvez le volume du polyèdre indiqué sur la figure (tous les angles dièdres du polyèdre sont droits).

9. Deux arêtes d'un parallélépipède rectangle venant du même sommet sont 3 et 4. L'aire de ce parallélépipède rectangle est de 94. Trouvez la troisième arête venant du même sommet.

X

10. Les deux arêtes d'un cuboïde s'étendant à partir du même sommet sont 1 et 2. La surface du cuboïde est de 16. Trouvez sa diagonale.

X

D =…

11. Un parallélépipède rectangle est décrit autour d'une sphère de rayon 8,5 cm. Trouvez son volume.

12. À la base d’un prisme droit se trouve un carré de côté 8.

Les côtes latérales sont égales.

Trouvez le volume du cylindre circonscrit autour de ce prisme.

D/Z sur cartes.

Faites-le certainement !

C’est peut-être le genre de problèmes que vous rencontrerez lors de l’examen d’État unifié !

Matériel du site Web utilisé :

http://live.mephist.ru/show/mathege2010/view/B1/solved/

http://mathege.ru:8080/or/ege/Main?view=Pos

Diapositive 1

Diapositive 2

Diapositive 3

Diapositive 4

Diapositive 5

Diapositive 6

Diapositive 7

Diapositive 8

Classe: 11

Objectifs:

• répéter les types de polyèdres, leurs éléments et formules de volume ; montrer l'orientation pratique du sujet étudié ;
• développer les compétences pratiques des étudiants;
• susciter l’intérêt pour le sujet.

Équipement:

• un ensemble de tous types de polyèdres ;
• dessins de polygones au tableau;
• une affiche représentant n'importe quel bâtiment moderne ;
• projecteur.

I. Conversation heuristique

(répétition du matériel théorique sur le sujet)

1. Nommez et notez les formules des volumes d'un prisme, d'un parallélépipède, d'une pyramide, d'une pyramide tronquée.
(Vprismes = Smain. h, Vparallel = abc ou Vparallel = Smain. h, Vpyram. = Smain. h, V =

2. Quelles quantités sont répétées dans toutes les formules ci-dessus ? (Hauteur)
3. Affichez la hauteur sur des prismes droits et inclinés.
4. Un parallélépipède peut-il être appelé un prisme ? Et le cube ? (Oui, ce sont des cas particuliers de prisme)
5. Montrez la hauteur sur une pyramide droite et inclinée.
6. Quelles formes peuvent se trouver à la base d’un prisme et d’une pyramide ? (Triangle, carré, losange, rectangle, parallélogramme, trapèze et autres figures plates)
7. Peut-il y avoir un trapèze à la base d'un parallélépipède ? (Non, car un parallélépipède est un prisme à la base duquel se trouve un parallélogramme)
8. Regardez les polygones présentés au tableau. Ces polygones peuvent se trouver à la base des polyèdres que nous avons considérés.

Sur les cartes se trouvent des formules pour calculer les aires des polygones ( Annexe 1 ). Associez ces formules aux chiffres indiqués au tableau ; Dites-moi, quelle formule est utilisée pour calculer l'aire de chacune de ces figures ?
9. Laquelle de ces formules convient pour calculer la surface au sol d'une pièce ? ( UN . b ou un 2)

II. Résoudre des problèmes avec un contenu pratique

Première possibilité :"Service Expert de la Station Sanitaire et Epidémiologique"

(un « expert senior » est sélectionné qui décrit le contenu du problème et tire une conclusion sur la base des résultats de la solution).

Solution:

V = abc ou V = Sbash.
V = 8,5 6 3,6 = 183,6( m 3)
183,6: 30 = 6,12(m 3) air par étudiant.

Avis d'expert :

Oui, 30 étudiants peuvent étudier en classe.

Deuxième option :"Service météorologique"

(un « météorologue principal » est sélectionné, qui décrit le contenu du problème et tire une conclusion sur la base des résultats de la solution)

Solution:

Le parterre de fleurs est une figure géométrique - un prisme triangulaire droit, où h = 20 mm, alors V = Smain. h

1) Sbas. =
2) h = 20 mm, 1m = 1000mm, 1mm = 0,001m, alors h = 0,02 m
3) V = 15,3 0,02 = 0,306 ( m 3) = 306(dm 3)
4) 1dm 3 = 1je(eau), puis 306 dm 3 = 306 litres d'eau

Conclusion du « météorologue senior » :

Au cours de la journée, 306 litres de précipitations sont tombés sur le parterre de fleurs.

III. Résoudre les problèmes pour le développement de l'œil

On doit souvent se poser la question : est-ce beaucoup ou peu ? Pour apprendre à répondre à de telles questions, vous devez constamment développer votre œil. Chacun de vous aura désormais la possibilité de vérifier la qualité de son œil.

1) À votre avis, à quel point cm Est-ce que 3 eaux de Cologne ou lotions sont incluses dans cette bouteille ? (L'enseignant montre aux élèves une bouteille en forme de pyramide tronquée ou de parallélépipède rectangle.)

Pendant que les élèves font leurs suppositions, l’un d’eux s’approche du tableau, prend les mesures appropriées et calcule le résultat correct. Les élèves comparent leurs suppositions avec ce résultat, vérifiant ainsi la qualité de leur œil.

2) Combien m 3 air dans notre bureau ? (Le professeur renseigne lui-même les paramètres).

IV. « Temps mort » pour le développement de l’imaginaire spatial

1. Une tablette avec un dessin du bâtiment s'affiche.

Question : De quelles formes géométriques se compose ce bâtiment ?
Réponse : Un parallélépipède rectangle, une pyramide quadrangulaire régulière, etc.

2. Quelles formes géométriques retrouve-t-on sur votre lieu de travail ?

V. Laboratoire et travaux pratiques

Chacun a sur sa table une maquette de polyèdre.

Exercice: Prenez les mesures nécessaires et calculez le volume de cette figure sur une feuille de papier.

(Pré-notez le numéro de la figure et son nom sur une feuille de papier).

VI. Résoudre les mots croisés

Les étudiants ayant terminé le laboratoire et les travaux pratiques plus tôt que les autres sont invités à résoudre les mots croisés « Polyèdres ».

1. Faces parallèles du prisme (base);
2. Un des polyèdres (pyramide);
3. Perpendiculaire entre les bases du prisme (hauteur);
4. Plan coupant un polyèdre (section);
5. Unité de mesure (mètre).

VII. Devoirs

VIII. Résumé de la leçon

MINISTÈRE DE L'ÉDUCATION ET DES SCIENCES DE LA FÉDÉRATION DE RUSSIE

établissement d'enseignement budgétaire de l'État fédéral
enseignement supérieur

"UNIVERSITÉ TECHNIQUE D'ÉTAT D'OULYANOVSK"

Collège Barysh - succursale

Université technique d'État d'Oulianovsk

pour les travaux pratiques

par discipline

« Mathématiques : algèbre et principes d'analyse, géométrie»

pour les étudiants spéciaux 09/02/03 Programmation dans les systèmes informatiques, 38/02/01 Économie et comptabilité (par secteur)

2018

commission méthodologique cyclique

disciplines du cycle naturel général et professionnel général

Président _______ N.A. Zolina

J'approuve

Adjoint Directeur des Affaires Académiques

I.I.Shmelkova

Professeur du Barysh College - branche de l'UlSTU D.A. Sovetkine

NOTE EXPLICATIVE

Les cours pratiques ont pour objectif de consolider et d'approfondir les connaissances théoriques de la discipline, ainsi que d'acquérir des compétences pratiques par les étudiants.

Avant de terminer chaque cours pratique, l'étudiant est tenu de répéter la matière couverte dans la littérature spécifiée dans le devoir, en rapport avec le sujet du cours pratique. L'état de préparation des étudiants est vérifié au moyen d'une enquête.

Lorsqu'ils effectuent leur travail, les étudiants doivent bénéficier d'une certaine indépendance et leur attitude créative à l'égard du travail doit être encouragée de toutes les manières possibles.

À la fin de la leçon, les étudiants préparent un rapport qui doit couvrir le matériel nécessaire à la réalisation de la leçon pratique dans l'ordre spécifié dans le devoir.

Après avoir complété le rapport, l'étudiant reçoit un crédit pour le travail effectué.

Règles pour effectuer les travaux pratiques :

Lors de l'exécution d'un travail, l'étudiant doit étudier de manière indépendante les recommandations méthodologiques pour la réalisation d'un travail spécifique ; effectuer les calculs appropriés ; utiliser la littérature de référence et technique ; préparer des réponses aux questions de contrôle. Lors de l'étude de la justification théorique, l'étudiant doit garder à l'esprit que l'objectif principal de l'étude de la théorie est la capacité de l'appliquer dans la pratique pour résoudre des problèmes pratiques.

Après avoir réalisé le travail, l'étudiant doit présenter un rapport sur le travail effectué avec les résultats et conclusions obtenus et le défendre oralement. Les rapports de travaux pratiques sont réalisés sur des feuilles A4. La première page est conçue selon les règles de conception des pages de titre. Il est nécessaire de laisser des marges de 25 à 30 mm de large pour les commentaires de l’enseignant. Tous les schémas et dessins accompagnant la mise en œuvre des travaux pratiques sont réalisés au crayon conformément aux exigences de GOST.

Une exécution bâclée des travaux pratiques, le non-respect des règles acceptées et une mauvaise exécution des dessins, graphiques ou schémas peuvent entraîner le retour du travail pour révision.

Le rapport doit contenir :

titre de l'œuvre ;

but du travail;

• séquence de travail;

  réponses aux questions de sécurité ;

  conclusion sur le travail effectué.

TRAVAIL PRATIQUE

Sujet " Volumes et surfaces des polyèdres et corps de révolution »

Cible: consolider les connaissances et les compétences nécessaires pour trouver des volumes et des surfaces de polyèdres et de corps de révolution.

Temps – 2 heures.

Lignes directrices

Avant d'effectuer des travaux pratiques, il est nécessaire de réaliser un projet individuel - réaliser un polyèdre ou un corps de rotation selon les instructions de l'enseignant.

Liste des prismes

1. La figure est un parallélépipède.

Mesures requises : utilisez une règle pour mesurer la longueur, la largeur, la hauteur.

À l’aide de ces mesures, trouvez :

diagonale parallélépipédique

surface latérale

superficie totale

volume de la figure.

2. Figure – prisme triangulaire droit ABCA 1 B 1 C 1 .

À l’aide de ces mesures, trouvez :

surface latérale

superficie totale

volume de la figure

surface de la section transversale tracée à travers la nervure latéraleLes AA 1 et le milieu du bord de baseColombie-Britannique

3. Chiffre - cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Mesures requises : Utilisez une règle pour mesurer toutes les côtes.

À l’aide de ces mesures, trouvez :

diagonales du prisme

surface latérale

superficie totale

volume de la figure

Questions de sécurité :

Définition d'un polyèdre

Définition d'un prisme

Types de prismes, leurs définitions

Éléments de prisme

Définition d'un parallélépipède, de ses types et éléments

Types de sections de prisme

Volume du parallélépipède et du prisme

Liste des pyramides

La figure est un tétraèdre.

Mesures requises : Utilisez une règle pour mesurer toutes les côtes.

À l’aide de ces mesures, trouvez :

hauteur de la pyramide

surface latérale

superficie totale

volume de la figure

aire de coupe transversale passant par le bord latéral et l'apothème de la face opposée

La figure est une pyramide quadrangulaire.

Mesures requises : Utilisez une règle pour mesurer toutes les côtes.

À l’aide de ces mesures, trouvez :

surface latérale

superficie totale

volume de la figure

aire de section transversale passant par la diagonale de la base et la nervure latérale

l'angle entre le bord latéral et le plan de la base.

La figure est une pyramide triangulaire tronquée.

Mesures requises : Utilisez une règle pour mesurer toutes les côtes.

À l’aide de ces mesures, trouvez :

surface latérale

superficie totale

volume de la figure

surface de la section transversale passant par la hauteur de la base et le bord latéral.

La figure est une pyramide quadrangulaire tronquée.

Mesures requises : Mesurez avec une règle.

À l’aide de ces mesures, trouvez :

surface latérale

superficie totale

volume de la figure

aire de section transversale passant par deux nervures latérales opposées.

Questions de sécurité :

Définition de pyramide, pyramide tronquée

Types de pyramides, leurs définitions

Éléments de pyramide

Types de sections

Volume de la pyramide

Liste des corps de révolution

1. Cylindre

Mesures requises : Utilisez une règle pour mesurer le diamètre et la hauteur du cylindre.

À l’aide de ces mesures, trouvez :

surface latérale

superficie totale

volume de la figure

trouver la section transversale tracée parallèlement à l'axe du cylindre à une distanceL(demandez à chaque élève individuellement) d'elle.

Questions :

Définition d'un cylindre

Définir un cylindre droit et équilatéral

Éléments de cylindre

Types de sections

Volume du cylindre

2. Cône

Mesures nécessaires : utilisez une règle pour mesurer la génératrice et le diamètre de la base.

À l’aide de ces mesures, trouvez :

surface latérale

superficie totale

volume de la figure

zone axiale

l'angle d'inclinaison de la génératrice par rapport au plan de la base.

Questions :

Définition de cône, cône tronqué

Éléments de cône

Types de sections

Aire et volume d'un cône, cône tronqué

3. Boule et sphère

Mesures requises : mesurer la longueur du cercle diamétral.

À l’aide de ces mesures, trouvez :

rayon de la figure

surface d'une sphère

volume de la balle

trouver l'aire de la section transversale d'une boule ou d'une sphère par un plan tracé à distanceX(demander à chaque élève individuellement) du centre.

Questions :

Définition de balle, sphère

Types de sections d'une balle et d'une sphère

Équation de sphère

Détermination du plan tangent à la balle

Définition du segment sphérique, de la couche sphérique et du secteur sphérique

Exercice:

1. Prenez les mesures nécessaires en fonction de votre silhouette

2. Sur la base des données de mesure, effectuez les calculs nécessaires

3. Remplissez la tâche dans des cahiers

4. Répondez aux questions théoriques.

Exigences de conception : dessinez une image de la figure, notez ce qui est donné, notez ce qui doit être trouvé, une solution complète et une réponse.

LISTE DES SOURCES UTILISÉES

1. Dadayan A.A. Recueil de problèmes de mathématiques : manuel. allocation / AA Dadayan. – M. :FORUM : INFRA-M, 2014. – 352 p.

2. Dadayan A.A. Mathématiques : manuel. /A.A. Dadayan. – 2e éd. – M. : FORUM, 2014. -544 p. _

3. Bogomolov N.V. Cours pratiques de mathématiques, - M. : Nauka, 2011. – 370 p.

4. L'algèbre et les débuts de l'analyse. Mathématiques pour les écoles techniques en 2 heures Ed. G.N. Yakovleva. – M. : Nauka, 2015. -1002 p.

5. Géométrie : Manuel. pour les classes 10-11. enseignement général institutions / L.S. Atanasyan, V.F. Butouzov, S.B. Kadomtsev et coll. – 6e éd. – M. : Éducation, 2013. – 207 p.

6. Alimov Sh. A. et al. Mathématiques : algèbre et principes d'analyse mathématique, géométrie. Algèbre et débuts de l'analyse mathématique (niveaux de base et avancé). - M., 2014.

Diapositive 2

Polyèdre

Un polyèdre est un corps dont la surface est constituée d'un nombre fini de polygones plats.

Diapositive 3

Un polyèdre est dit convexe s’il se trouve sur un côté de tout plan contenant sa face. Un polyèdre est dit non convexe s'il existe une face telle que le polyèdre se trouve de part et d'autre du plan contenant cette face.

Diapositive 4

Quel est le volume d'un corps, en particulier d'un polyèdre, au quotidien ? C'est la quantité de liquide qui peut être versée à l'intérieur de ce polyèdre. Coupez le dessus et versez de l'eau à l'intérieur de chaque polyèdre. Le polyèdre convexe a déjà été rempli, mais pas encore le polyèdre non convexe. Mais peut-être que l’eau a été versée à des vitesses différentes : afin de comparer correctement les volumes, versons le liquide de chaque polyèdre dans des verres identiques. Le niveau d’eau dans le verre de droite est plus élevé que dans celui de gauche, ce qui signifie que le volume du polyèdre non convexe est en réalité supérieur au volume du polyèdre convexe.

Diapositive 5

De nombreuses réalisations importantes des mathématiciens de la Grèce antique dans la résolution des problèmes de recherche des cubatures (calcul des volumes) des corps sont associées à l'utilisation de la méthode d'épuisement proposée par Eudoxe de Cnide (environ 408-355 avant JC).

Il existe une formule bien connue qui permet de trouver le volume d'un polyèdre si seules les longueurs de ses arêtes sont connues.

Le volume d’un polyèdre arbitraire peut être calculé en connaissant uniquement les longueurs de ses arêtes. Cependant, le polyèdre doit être d'un type particulier.

Diapositive 6

Dans le cas général, on peut montrer que les volumes généralisés des polyèdres sont les racines d'équations polynomiales avec des coefficients qui ne dépendent pas de la localisation des sommets du polyèdre dans l'espace, mais sont des polynômes dans les carrés des longueurs de son bords. Les coefficients numériques de ces polynômes sont déterminés par la structure combinatoire du polyèdre.

Diapositive 7

Volume d'une pyramideThéorème. Le volume d'une pyramide est égal au tiers du produit de l'aire de la base et de la hauteur.

Le volume d'un polyèdre est égal à la somme des volumes des pyramides qui ont les faces du polyèdre pour base et le centre de la sphère pour sommet. Puisque toutes les pyramides ont la même hauteur, égale au rayon R de la sphère, alors le volume du polyèdre.