Enseigner la planimétrie dans un cours scolaire

27.09.2019

Somme des angles du triangle

Lorsque vous déduisez le théorème sur la somme des angles d'un triangle, vous pouvez utiliser des aides visuelles. Le triangle ABC est découpé, ses coins sont numérotés, puis ils sont coupés et appliqués les uns aux autres. Il s'avère que l+2+3=2d. Dessinez la hauteur CD à partir du sommet C du triangle ABC et pliez le triangle de manière à ce que la hauteur soit divisée en deux, c'est-à-dire le sommet C est tombé au point D - la base de la hauteur. La ligne d'inflexion MN est la ligne médiane du triangle ABC. Puis ils se plient triangles isocèles AMD et DNB par leurs hauteurs, avec les sommets A et B coïncidant avec le point D et l+2+3=2d.

Il convient de rappeler que l'utilisation d'aides visuelles dans un cours systématique de géométrie n'a pas pour but de remplacer la preuve logique d'une proposition par sa vérification expérimentale. Aides visuelles ne doit que faciliter la compréhension par les élèves de tel ou tel fait géométrique, des propriétés de telle ou telle figure géométrique et de la position relative de ses éléments individuels. Lors de la détermination de la taille de l'angle d'un triangle, il convient de rappeler aux élèves le théorème évoqué précédemment sur l'angle externe d'un triangle et d'indiquer que le théorème sur la somme des angles d'un triangle permet, par construction et calcul, d'établir une relation numérique entre les angles externes et internes qui ne leur sont pas adjacents.

Comme conséquence du théorème sur la somme des angles d'un triangle, il est prouvé que dans un triangle rectangle, la branche opposée à l'angle de 30 degrés est égale à la moitié de l'hypoténuse.

Au fur et à mesure que le matériel progresse, les élèves doivent poser des questions et tâches simples, favorisant une meilleure assimilation du nouveau matériel. Par exemple, quelles droites sont dites parallèles ?

A quelle position de la transversale tous les angles formés par deux droites parallèles et cette transversale sont-ils égaux ?

Une ligne droite tracée dans un triangle parallèle à la base en coupe un petit triangle. Montrer que le triangle coupé et le triangle donné sont congrus.

Calculez tous les angles sous-tendus par deux parallèles et une transversale si l'on sait que l'un des angles est de 72 degrés.

Les angles internes unilatéraux sont respectivement égaux à 540 et 1230. De combien de degrés faut-il faire pivoter l'une des droites autour de son point d'intersection avec la transversale pour que les droites soient parallèles ?

Montrer que les bissectrices de : a) deux angles égaux mais non opposés formés par deux droites parallèles et une transversale sont parallèles, b) deux angles inégaux ayant les mêmes droites et une transversale sont perpendiculaires.

Soient deux droites parallèles AB et CD et une sécante EF coupant ces droites aux points K et L. Les bissectrices KM et KN des angles AKL et BKL coupent le segment MN de la droite CD. Trouver la longueur MN si l'on sait que le segment sécant KL enfermé entre les parallèles est égal à a.

Quel est le type de triangle dans lequel : a) la somme de deux angles quelconques est supérieure à d, b) la somme de deux angles est égale à d, c) la somme de deux angles est inférieure à d ? Réponse : a) à angle aigu, b) rectangulaire, c) à angle obtus. Combien de fois est la somme des angles extérieurs d'un triangle plus que le montant ses coins internes ? Réponse : 2 fois.

Tous les angles extérieurs d’un triangle peuvent-ils être : a) aigus, b) obtus, c) droits ? Réponse : a) non, b) oui, c) non.

Quel triangle a chaque angle extérieur deux fois plus grand que chaque angle intérieur ? Réponse : équilatéral.

Lors de l'étude de la technique des lignes parallèles, il est nécessaire d'utiliser des éléments historiques, théoriques et littérature méthodologique formuler pleinement le concept de lignes parallèles.

THÉORÈME 1.Égalité des angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires :Si
à la fois pointus ou à la fois obtus et
,
, Que
. THÉORÈME 2. Propriétés de la ligne médiane d'un trapèze :A) la ligne médiane du trapèze est parallèle aux bases du trapèze ;B) la ligne médiane est égale à la moitié de la somme des bases du trapèze ;C) la ligne médiane (et seulement elle) coupe en deux tout segment compris entre les bases du trapèze. Ces propriétés sont également valables pour la ligne médiane d'un triangle, si l'on considère le triangle comme un trapèze « dégénéré » dont l'une des bases a une longueur égale à zéro. THÉORÈME 3. Sur les points d'intersection des médianes, bissectrices, altitudes d'un triangle :A) trois médianes d'un triangle se coupent en un point (c'est ce qu'on appelle le centre de gravité du triangle) et se divisent en ce point dans un rapport de 2 : 1, en comptant à partir du sommet ;B) trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point ;C) trois altitudes se coupent en un point (c'est ce qu'on appelle l'orthocentre du triangle).THÉORÈME 4. Propriété de la médiane dans un triangle rectangle :dans un triangle rectangle, la médiane tirée de l'hypoténuse est égale à la moitié de celle-ci. Le théorème inverse est également vrai : si dans un triangle une des médianes est égale à la moitié du côté vers lequel elle est tracée, alors ce triangle est rectangleTHÉORÈME 5. propriété de la bissectrice d'un angle interne d'un triangle :La bissectrice d'un angle interne d'un triangle divise le côté vers lequel il est dessiné en parties proportionnelles aux côtés opposés :
THÉORÈME 6. Relations métriques dans un triangle rectangle :SiunEtb- jambes,c– l'hypoténuse,h- hauteur, Et - projections des jambes sur l'hypoténuse, puis : a)
; b)
; V)
; G)
; d)
THÉORÈME 7. Détermination du type de triangle en fonction de ses côtés :Laisserun, b, c– les côtés du triangle, c étant le plus grand côté ; Alors:Et si
, alors le triangle est aigu ;B) si
, alors le triangle est rectangle ;B) si
, alors le triangle est obtus.THÉORÈME 8. Relations métriques dans un parallélogramme :La somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de tous ses côtés :
. Lors de la résolution de problèmes géométriques, il faut souvent établir l'égalité de deux segments (ou angles). Indiquons trois manières principales de prouver géométriquement l’égalité de deux segments : 1) considérer les segments comme les côtés de deux triangles et prouver que ces triangles sont égaux ; 2) représenter les segments comme les côtés d'un triangle et prouver que ce triangle est isocèle ; 3 ) remplacer le segment UN un segment égal , et le segment b – égal à lui et prouver l’égalité des segments et . Tache 1.Deux lignes mutuellement perpendiculaires coupent les côtésUN B, AVANT JC., CD, ANNONCEcarréA B C Daux pointsE, F, K, Lrespectivement. Prouve-leE.K. = FL(voir figure pour la tâche n°1).R.

Riz. à la tâche n°1

Solution: 1. En utilisant le premier des chemins ci-dessus pour l'égalité de deux segments, nous dessinons les segments
Et
- puis les segments qui nous intéressent E.K. Et FL devenir les côtés de deux triangles rectangles EPK Et FML(voir figure pour la tâche n°1). 2

Riz. à la tâche n°1

Nous avons: PK = FM(plus de détails: PK = ANNONCE, ANNONCE = UN B, UN B = FM, Moyens,PK = FM), (sous forme d'angles à côtés mutuellement perpendiculaires, théorème 1). Cela signifie (le long de la jambe et de l'angle aigu). De l'égalité des triangles rectangles, il résulte que leurs hypoténuses sont égales, c'est-à-dire segments E.K. Et FL. ■ Notez que lors de la résolution de problèmes géométriques, vous devez souvent faire des constructions supplémentaires, par exemple les suivantes : tracer une droite parallèle ou perpendiculaire à l'une de celles de la figure (comme nous l'avons fait dans la tâche 1) ; doubler la médiane du triangle afin de compléter le triangle en un parallélogramme (nous le ferons dans le problème 2), en traçant une bissectrice auxiliaire. Il existe des constructions supplémentaires utiles liées au cercle. Tâche 2.Des soirées
égalun, b, c. Calculer la médiane , dessiné du côté c (voir figure pour le problème 2).R.

Riz. au problème n°2

Solution : Doublez la médiane en complétant
au parallélogramme ACVR, et appliquons le théorème 8 à ce parallélogramme On obtient : , soit
, où l'on trouve :
Tâche 3.Montrer que dans tout triangle, la somme des médianes est supérieure aux ¾ du périmètre, mais inférieure au périmètre.R.
solution: 1. Considérons
(voir figure pour le problème 3) Nous avons :
;
. Parce que AM + MS > AC, Que
(1)P

Riz. au problème n°3

En effectuant un raisonnement similaire pour les triangles AMB et BMC, on obtient :
(2)
(3) En additionnant les inégalités (1), (2), (3), on obtient :
, T.
.e. nous avons prouvé que la somme des médianes est supérieure aux ¾ du périmètre. 2. Doublons la médiane BD, complétant le triangle en un parallélogramme (voir la figure du problème 3). Puis à partir de
on a: B.K. < AVANT JC. + CK, ceux.
(4) De même:
(5)

Riz. au problème n°3

(6) En additionnant les inégalités (4), (5), (6), on obtient : , soit la somme des médianes est inférieure au périmètre. ■ Tâche 4.Montrer que dans un triangle rectangle non isocèle la bissectrice angle droit coupe en deux l'angle entre la médiane et l'altitude tirée du même sommet.R.
solution: Soit ACB un triangle rectangle,

, CH – hauteur, CD – bissectrice, SM – médiane. Introduisons la notation suivante : (voir figure pour le problème 4) . 1.

comme des angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires (). 2

Riz. au problème n°4

Parce que
(voir Théorème 4), alors SM = MV, et ensuite de
nous concluons que
Donc, 3. Puisque et (après tout, CD est une bissectrice), c'est ce qu'il fallait prouver. ■ Tâche 5.Dans un parallélogramme à côtésun Etbles bissectrices des angles internes sont dessinées (voir figure pour le problème 5). Trouver les longueurs des diagonales du quadrilatère formé à l'intersection des bissectrices.Solution: 1 . AE – bissectrice
, BP – bissectrice
(voir figure) . puisque dans un parallélogramme
ceux. alors Cela signifie que dans le triangle ABC la somme des angles A et B est égale à 90 0, alors l'angle K est égal à 90 0, c'est-à-dire que les bissectrices AE et BP sont mutuellement perpendiculaires. UN
La perpendiculaire mutuelle des bissectrices AE et DQ, BP et CF, CF et DQ se prouve logiquement. SORTIE : KLMN est un quadrilatère à angles droits, c'est-à-dire rectangle. Un rectangle a des diagonales égales, il suffit donc de trouver la longueur de l'une d'elles, par exemple KM. 2

Riz. au problème n°5

Considérons
Il a AK - à la fois la bissectrice et la hauteur. Cela signifie, premièrement, que le triangle ABP est isocèle, c'est-à-dire AB = AP = b, et, d'autre part, que le segment AK est en même temps la médiane du triangle ABP, c'est-à-dire K – le milieu de la bissectrice BP. On prouve de la même manière que M est le milieu de la bissectrice DQ. 3. Considérons le segment KM. Il coupe en deux les segments BP et DQ. Mais la ligne médiane d'un parallélogramme (notez qu'un parallélogramme est cas particulier trapèzes; Si on peut parler de la ligne médiane d'un trapèze, alors on peut tout aussi bien parler de la ligne médiane d'un parallélogramme, qui a les mêmes propriétés) passe par les points K et M (voir Théorème 2). Cela signifie que KM est un segment sur la ligne médiane, et donc
.4. Parce que
Et
, alors KMDP est un parallélogramme, et donc. Répondre:
■ En fait, dans le processus de résolution du problème (aux étapes 1 et 2), nous nous sommes montrés assez propriété importante: les bissectrices des angles adjacents au côté d'un trapèze se coupent à angle droit en un point situé sur la ligne médiane du trapèze. Il convient de noter que la principale méthode de composition des équations dans les problèmes géométriques est méthodeélément de support, qui est la suivante : un même élément (côté, angle, aire, rayon, etc.) s'exprime en grandeurs connues et inconnues par deux différentes façons et les expressions résultantes sont assimilées. Bien souvent, une zone est choisie comme élément de référenceLes figures. Alors on dit que pour construire l’équation on utilise méthode de la zone. Il est nécessaire d'apprendre aux écoliers à résoudre des problèmes de base, c'est-à-dire ceux. Qui sont inclus en tant que composants dans de nombreuses autres tâches. Il s'agit par exemple de problèmes de recherche des éléments de base d'un triangle : médiane, hauteur, bissectrice, rayons de cercle inscrit et circonscrit, aire. Z problème 6.Dans le triangle ABC, les côtés AB et BC sont égaux et BH est la hauteur. Un point est pris du côté de la Colombie-BritanniqueDDonc
(voir figure pour le problème 6). Dans quel rapport est le segmentANNONCEdivise la hauteur du VN ?Solution: 1. Soit BD = un, alors CD = 4 un, AB = 5a.2

Riz. au problème n°6

Dessinons un segment
(voir figure pour le problème 6) Puisque NK est la ligne médiane du triangle ACD DK = KC = 2 un .3. Considérons le triangle VNK. On a : BD = un,NSP = 2 un Et
. D'après le théorème de Thalès
Mais
Cela signifie
■ Si le problème nécessite de trouver le rapport d'un nombre quelconque de quantités, alors, en règle générale, le problème est résolu en utilisant la méthode des paramètres auxiliaires. Cela signifie qu'au début de la résolution d'un problème, nous annonçons quelques valeur linéaire connu, en le désignant, par exemple, avec la lettre UN, puis l'exprimer à travers UN les quantités dont le rapport doit être trouvé. Lorsque la relation requise est compilée, le paramètre auxiliaire UN est en train de rétrécir. C'est exactement ainsi que nous avons agi face au problème . Nos conseils : lors de la résolution de problèmes dans lesquels il est nécessaire de trouver le rapport des quantités (en particulier dans les problèmes de détermination d'un angle - après tout, en règle générale, lors du calcul d'un angle nous parlons deà propos de le trouver fonction trigonométrique, c'est à dire. sur la relation des parties triangle rectangle), il faut apprendre aux élèves à mettre en évidence l'introduction d'un paramètre auxiliaire comme première étape de la résolution. La méthode des paramètres auxiliaires est également utilisée dans les problèmes où figure géométrique déterminé jusqu’à la similarité. Tâche 7.Un rectangle s'inscrit dans un triangle de côtés égaux à 10, 17 et 21 cm de telle sorte que ses deux sommets soient d'un côté du triangle, et les deux autres sommets soient des deux autres côtés du triangle. Trouvez les côtés du rectangle si l'on sait que son périmètre est de 22,5 cm.R.
décision . 1. Tout d’abord, déterminons le type de triangle. Nous avons : 10 2 = 100 ; 17 2 = 289 ; 21 2 = 441. Puisque 21 2 > 10 2 + 17 2, le triangle est à angle obtus (voir Théorème 7), ce qui signifie qu'un rectangle ne peut s'y inscrire que d'une seule manière : en plaçant ses deux sommets sur le plus grand côté du triangle ABC (voir fig. . du problème 7), où AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm.

Généralement, les angles sont considérés soit avec des côtés parallèles correspondants, soit avec des côtés perpendiculaires correspondants. Considérons d'abord le premier cas.

Soit deux angles ABC et DEF. Leurs côtés sont respectivement parallèles : AB || DE et Colombie-Britannique || E.F. Ces deux angles soit seront égaux, soit leur somme sera égale à 180°. Dans la figure ci-dessous, dans le premier cas ∠ABC = ∠DEF, et dans le second ∠ABC + ∠DEF = 180°.

La preuve que c’est bien le cas se résume à ce qui suit.

Considérons des angles avec des côtés parallèles correspondants, situés comme dans la première figure. En même temps, on prolonge les droites AB et EF jusqu’à leur intersection. Notons le point d'intersection par la lettre G. De plus, pour plus de clarté dans la preuve suivante, le côté BC est prolongé sur la figure.

Puisque les droites BC et EF sont parallèles, si la droite AB coupe l’une d’elles, alors elle coupera certainement l’autre. Autrement dit, la droite AB est une sécante pour deux droites parallèles. Comme on le sait, dans ce cas, les angles transversaux au niveau de la sécante sont égaux, les angles unilatéraux totalisent 180° et les angles correspondants sont égaux.

Autrement dit, quelle que soit la paire d'angles que nous prenons aux sommets B et G (un angle par rapport à l'un, l'autre par le second), nous obtiendrons toujours soit des angles égaux, soit un total de 180°.

Cependant, les droites AB et DE sont également parallèles. Pour eux, la droite EF est une sécante. Cela signifie que toutes les paires d'angles provenant des sommets G et E totaliseront 180° ou seront égales l'une à l'autre. Il s’ensuit que les paires d’angles issus des sommets B et E obéiront à cette règle.

Par exemple, considérons les angles ∠ABC et ∠DEF. Angle ABC égal à l'angle BGE, puisque ces angles correspondent aux droites parallèles BC et EF. À son tour, l’angle BGE est égal à l’angle DEF, puisque ces angles se correspondent lorsque AB et DE sont parallèles. Ainsi il est prouvé, ∠ABC et ∠DEF.

Considérons maintenant les angles ∠ABC et ∠DEG. L'angle ABC est égal à l'angle BGE. Mais ∠BGE et ∠DEG sont des angles unilatéraux avec des droites parallèles (AB || DE) coupées par une transversale (EF). Comme vous le savez, la somme de ces angles atteint 180°. Si l’on regarde le deuxième cas de la première figure, on se rend compte qu’il correspond au couple d’angles ABC et DEG de la deuxième figure.

donc deux différents angles, dont les côtés sont respectivement parallèles ou égaux entre eux, ou totalisent 180°. Le théorème a été prouvé.

Un cas particulier doit être noté : lorsque les coins sont tournés. Dans ce cas, ils seront évidemment égaux les uns aux autres.

Considérons maintenant les angles avec des côtés perpendiculaires correspondants. Cette affaire semble plus compliquée car arrangement mutuel les angles sont plus variés. La figure ci-dessous montre trois exemples de la façon dont les coins peuvent être positionnés avec des côtés perpendiculaires correspondants. Cependant, dans les deux cas, un côté du premier angle (ou son extension) est perpendiculaire à un côté du deuxième angle, et le deuxième côté du premier angle est perpendiculaire au deuxième côté du deuxième angle.

Considérons l'un des cas. Dans ce cas, nous dessinons une bissectrice dans un coin et, par un point arbitraire de celui-ci, nous traçons des perpendiculaires aux côtés de son angle.

Voici les angles ABC et DEF de côtés respectivement perpendiculaires : AB ⊥ DE et BC ⊥ EF. Sur la bissectrice de l'angle ABC, on prend le point G, par lequel sont tracées les perpendiculaires au même angle : GH ⊥ AB et GI ⊥ BC.

Considérons les triangles BGH et BGI. Ils sont rectangulaires car les angles H et I sont droits. Dans ceux-ci, les angles au sommet B sont égaux, puisque BG est la bissectrice de l'angle ABC. De plus, pour les triangles considérés, le côté BG est commun et constitue l'hypoténuse de chacun d'eux. Comme on le sait, les triangles rectangles sont congrus si leurs hypoténuses et l'une d'entre elles sont égales. coins pointus. Ainsi, ∆BGH = ∆BGI.

Puisque ∆BGH = ∆BGI, alors ∠BGH = ∠BGI. Par conséquent, l'angle HGI peut être représenté non pas comme la somme de ces deux angles, mais comme l'un d'eux multiplié par 2 : ∠HGI = ∠BGH * 2.

L'angle ABC peut être représenté comme la somme de deux angles : ∠ABC = ∠GBH + ∠GBI. Puisque les angles composants sont égaux les uns aux autres (puisqu'ils sont formés par une bissectrice), l'angle ABC peut être représenté comme le produit de l'un d'eux et du nombre 2 : ∠ABC = ∠GBH * 2.

Les angles BGH et GBH sont des angles aigus d'un triangle rectangle et leur totalise donc 90°. Regardons les égalités résultantes :

∠BGH + ∠GBH = 90°
∠HGI = ∠BGH * 2
∠ABC = ∠GBH*2

Ajoutons les deux derniers :

∠HGI + ∠ABC = ∠BGH * 2 + ∠GBH * 2

Sortons le facteur commun des parenthèses :

∠HGI + ∠ABC = 2(∠BGH + ∠GBH)

Puisque la somme des angles entre parenthèses est de 90°, il s’avère que la somme des angles HGI et ABC donne 180° :

∠ABC + ∠HGI = 2 * 90° = 180°

Nous avons donc prouvé que la somme des angles HGI et ABC est de 180°. Regardons maintenant à nouveau le dessin et reportons notre attention sur l'angle avec lequel l'angle ABC a des côtés perpendiculaires correspondants. C'est l'angle DEF.

Les droites GI et EF sont parallèles entre elles puisqu’elles sont toutes deux perpendiculaires à la même droite BC. Et comme vous le savez, les droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. Pour la même raison DE || GH.

Comme cela a été prouvé précédemment, les angles ayant des côtés parallèles correspondants totalisent 180° ou sont égaux les uns aux autres. Cela signifie soit ∠DEF = ∠HGI, soit ∠DEF + ∠HGI = 180°.

Cependant, ∠ABC + ∠HGI = 180°. On en conclut que dans le cas de côtés perpendiculaires correspondants, les angles sont soit égaux, soit leur somme totalise 180°.

Bien que dans dans ce cas nous nous sommes limités à prouver uniquement le montant. Mais si nous étendons mentalement le côté EF dans la direction opposée, nous verrons un angle égal à l'angle ABC, et en même temps ses côtés sont également perpendiculaires à l'angle ABC. L'égalité de tels angles peut être prouvée en considérant des angles avec des côtés parallèles correspondants : ∠DEF et ∠HGI.

53.Angles ( coins internes) Triangle on appelle trois angles, dont chacun est formé de trois rayons émergeant des sommets du triangle et passant par les deux autres sommets.

54. Théorème de la somme des angles du triangle. La somme des angles d'un triangle est de 180°.

55. Coin extérieur d'un triangle est un angle adjacent à un angle de ce triangle.

56. Coin extérieur d'un triangle est égal à la somme de deux angles d'un triangle qui ne lui sont pas adjacents.

57. Si les trois coins Triangle épicé, alors le triangle s'appelle à angle aigu.

58. Si un des coins Triangle émoussé, alors le triangle s'appelle à angle obtus.

59. Si un des coins Triangle droit, alors le triangle s'appelle rectangulaire.

60. Le côté d'un triangle rectangle opposé à l'angle droit s'appelle hypoténuse(mot grec gyipotenusa - « contraction »), et deux côtés formant un angle droit - jambes(mot latin katetos – « plomb ») .

61. Théorème sur les relations entre les côtés et les angles d'un triangle. Dans un triangle contre côté plus grand il y a un angle plus grand et retour, Le plus grand côté se trouve à l’opposé du plus grand angle.

62. Dans un triangle rectangle L'hypoténuse est plus longue que la jambe.

parce que Le plus grand côté se trouve toujours à l’opposé du plus grand angle.

Signes d'un triangle isocèle.

Si dans un triangle deux angles sont égaux, alors il est isocèle ;

Si dans un triangle la bissectrice est la médiane ou la hauteur,
alors ce triangle est isocèle ;

Si dans un triangle la médiane est la bissectrice ou la hauteur, Que

ce triangle est isocèle ;

Si dans un triangle la hauteur est médiane ou bissectrice,

alors ce triangle est isocèle.

64. Théorème. Inégalité triangulaire. La longueur de chaque côté du triangle est supérieure à la différence et inférieur au montant longueurs des deux autres côtés:

Propriétés des angles d'un triangle rectangle.

La somme de deux angles aigus d'un triangle rectangle est 90°.

UN + B = 90°

66. Propriété du triangle rectangle.

Un côté d'un triangle rectangle opposé à un angle de 30° est égal à la moitié de l'hypoténuse.

Si/ A = 30°, alors BC = ½ AB

67. Propriétés d'un triangle rectangle.

a) Si une branche d'un triangle rectangle est égale à la moitié de l'hypoténuse, alors l'angle opposé à cette branche est de 30°.

Si BC = ½ AB, alors / B = 30°

B) La médiane tirée de l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse.

CF médian = ½ AB

Signe d'égalité des triangles rectangles sur deux côtés.

Si les jambes d’un triangle rectangle sont égales aux jambes d’un autre, alors ces triangles sont congrus.

Pour les angles dont les côtés sont parallèles, les propositions suivantes sont valables :

1. Si les côtés a et b d'un angle sont respectivement parallèles aux côtés a et b d'un autre angle et ont les mêmes directions qu'eux, alors les angles sont égaux.

2. Si, dans les mêmes conditions de parallélisme, les côtés a et b sont opposés aux côtés a et b, alors les angles sont également égaux.

3. Si, enfin, les côtés a et sont parallèles et de même direction, et que les côtés sont parallèles et de direction opposée, alors les angles se complètent jusqu'à ce qu'ils s'inversent.

Preuve. Démontrons la première de ces propositions. Que les côtés des angles soient parallèles et également dirigés (Fig. 191). Relions les sommets des coins par une ligne droite.

Dans ce cas, deux cas sont possibles : la droite passe à l'intérieur des coins ou à l'extérieur de ces coins (Fig. 191, b). Dans les deux cas la preuve est évidente : donc, dans le premier cas

mais d'où le sort-on ? Dans le deuxième cas nous avons

et le résultat découle encore une fois des égalités

Nous laissons les preuves des propositions 2 et 3 au lecteur. On peut dire que si les côtés des angles sont respectivement parallèles, alors les angles sont soit égaux, soit leur somme donne l'angle opposé.

Évidemment, ils sont égaux si les deux sont simultanément aigus ou les deux sont obtus, et leur somme est égale si l'un d'eux est aigu et l'autre est obtus.

Les angles avec des côtés perpendiculaires correspondants sont égaux ou complémentaires les uns aux autres jusqu'à un angle droit.

Preuve. Soit a un angle (fig. 192), et O le sommet de l'angle formé par les droites ; donc, qu'il y ait l'un des quatre angles formés par ces deux droites ; Faisons pivoter l'angle (c'est-à-dire ses deux côtés) autour de son sommet O à angle droit ; on obtient un angle égal à celui-ci, mais dont les côtés sont perpendiculaires aux côtés de l'angle de rotation indiqué sur la Fig. 192 passant par Ils sont parallèles aux lignes droites formant angle donné UN. Par conséquent, les angles signifient que les angles sont égaux ou forment un angle inversé au total.

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