Représentez graphiquement la fonction y 2x2 5x 3. Représentez graphiquement les fonctions en ligne

La construction de graphes de fonctions contenant des modules pose généralement des difficultés considérables aux écoliers. Cependant, tout n'est pas si mal. Il suffit de se souvenir de plusieurs algorithmes pour résoudre de tels problèmes, et vous pouvez facilement tracer même la fonction la plus complexe en apparence. Voyons quels sont ces algorithmes.

1. Tracer la fonction y = |f(x)|

Notez que l'ensemble des valeurs de fonction y = |f(x)| : y ≥ 0. Ainsi, les graphes de telles fonctions sont toujours situés complètement dans le demi-plan supérieur.

Tracer la fonction y = |f(x)| se compose des quatre étapes simples suivantes.

1) Construire soigneusement et soigneusement le graphique de la fonction y = f(x).

2) Laissez inchangés tous les points du graphique qui sont au-dessus ou sur l'axe 0x.

3) La partie du graphique située sous l'axe 0x s'affiche symétriquement autour de l'axe 0x.

Exemple 1. Tracez un graphique de la fonction y = |x 2 - 4x + 3|

1) Nous construisons un graphique de la fonction y \u003d x 2 - 4x + 3. Il est évident que le graphique de cette fonction est une parabole. Trouvons les coordonnées de tous les points d'intersection de la parabole avec les axes de coordonnées et les coordonnées du sommet de la parabole.

x2 - 4x + 3 = 0.

X 1 = 3, X 2 = 1.

Par conséquent, la parabole coupe l'axe 0x aux points (3, 0) et (1, 0).

y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.

Par conséquent, la parabole coupe l'axe 0y au point (0, 3).

Coordonnées du sommet de la parabole :

x en \u003d - (-4/2) \u003d 2, y en \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.

Par conséquent, le point (2, -1) est le sommet de cette parabole.

Dessinez une parabole en utilisant les données reçues (Fig. 1)

2) La partie du graphique située sous l'axe 0x est affichée symétriquement par rapport à l'axe 0x.

3) On obtient le graphe de la fonction originale ( riz. 2, représenté par une ligne pointillée).

2. Tracer la fonction y = f(|x|)

Notez que les fonctions de la forme y = f(|x|) sont paires :

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Cela signifie que les graphiques de ces fonctions sont symétriques autour de l'axe 0y.

Tracer la fonction y = f(|x|) consiste en la simple chaîne d'actions suivante.

1) Tracez la fonction y = f(x).

2) Laisser la partie du graphe pour laquelle x ≥ 0, c'est-à-dire la partie du graphe située dans le demi-plan droit.

3) Afficher la partie du graphique spécifiée au paragraphe (2) symétriquement à l'axe 0y.

4) Comme graphique final, sélectionner l'union des courbes obtenues aux paragraphes (2) et (3).

Exemple 2. Dessinez un graphique de la fonction y = x 2 – 4 · |x| + 3

Puisque x 2 = |x| 2 , alors la fonction d'origine peut être réécrite comme formulaire suivant: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Et maintenant nous pouvons appliquer l'algorithme proposé ci-dessus.

1) Nous construisons soigneusement et soigneusement le graphique de la fonction y \u003d x 2 - 4 x + 3 (voir aussi riz. une).

2) On laisse la partie du graphe pour laquelle x ≥ 0, c'est-à-dire la partie du graphe située dans le demi-plan droit.

3) Affichez le côté droit du graphique symétriquement à l'axe 0y.

(Fig. 3).

Exemple 3. Dessinez un graphique de la fonction y = log 2 |x|

Nous appliquons le schéma ci-dessus.

1) On trace la fonction y = log 2 x (Fig. 4).

3. Tracer la fonction y = |f(|x|)|

Notez que les fonctions de la forme y = |f(|x|)| sont également pairs. En effet, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), et par conséquent, leurs graphiques sont symétriques autour de l'axe 0y. L'ensemble des valeurs de telles fonctions: y ≥ 0. Par conséquent, les graphiques de ces fonctions sont situés complètement dans le demi-plan supérieur.

Pour tracer la fonction y = |f(|x|)|, vous devez :

1) Construire un graphique net de la fonction y = f(|x|).

2) Laissez inchangée la partie du graphique qui est au-dessus ou sur l'axe 0x.

3) La partie du graphique située sous l'axe 0x doit être affichée symétriquement par rapport à l'axe 0x.

4) Comme graphique final, sélectionner l'union des courbes obtenues aux paragraphes (2) et (3).

Exemple 4. Dessinez un graphique de la fonction y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Notez que x 2 = |x| 2. Ainsi, au lieu de la fonction originale y = -x 2 + 2|x| - une

vous pouvez utiliser la fonction y = -|x| 2 + 2|x| – 1, puisque leurs graphiques sont les mêmes.

On construit un graphe y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Pour cela, nous utilisons l'algorithme 2.

a) Nous traçons la fonction y \u003d -x 2 + 2x - 1 (Fig. 6).

b) Nous quittons la partie du graphique située dans le demi-plan droit.

c) Affichez la partie résultante du graphique symétriquement à l'axe 0y.

d) Le graphique résultant est représenté sur la figure par une ligne pointillée (Fig. 7).

2) Il n'y a pas de points au-dessus de l'axe 0x, nous laissons les points sur l'axe 0x inchangés.

3) La partie du graphique située sous l'axe 0x est affichée symétriquement par rapport à 0x.

4) Le graphique résultant est représenté sur la figure par une ligne pointillée (Fig. 8).

Exemple 5. Tracez la fonction y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Vous devez d'abord tracer la fonction y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Pour ce faire, nous revenons à l'algorithme 2.

a) Tracez soigneusement la fonction y = (2x – 4) / (x + 3) (Fig. 9).

remarquerez que fonction donnée est linéaire-fractionnaire et son graphe est une hyperbole. Pour construire une courbe, vous devez d'abord trouver les asymptotes du graphique. Horizontal - y \u003d 2/1 (le rapport des coefficients en x dans le numérateur et le dénominateur d'une fraction), vertical - x \u003d -3.

2) La partie du graphique située au-dessus ou sur l'axe 0x restera inchangée.

3) La partie du graphique située sous l'axe 0x sera affichée symétriquement par rapport à 0x.

4) Le graphique final est montré dans la figure (Fig. 11).

site, avec copie complète ou partielle du matériel, un lien vers la source est requis.

Vers l'âge d'or technologies de l'information Peu de gens achèteront un papier millimétré et passeront des heures à dessiner une fonction ou un ensemble arbitraire de données, et pourquoi faire une telle corvée alors que vous pouvez représenter graphiquement la fonction en ligne. De plus, il est presque impossible et difficile de calculer des millions de valeurs d'expression pour un affichage correct, et malgré tous les efforts, vous obtiendrez une ligne brisée, pas une courbe. Parce que l'ordinateur ce cas – assistant indispensable.

Qu'est-ce qu'un graphe de fonctions

Une fonction est une règle selon laquelle chaque élément d'un ensemble est associé à un élément d'un autre ensemble, par exemple, l'expression y = 2x + 1 établit une connexion entre les ensembles de toutes les valeurs x et toutes les valeurs y, donc , c'est une fonction. En conséquence, le graphe de la fonction sera appelé l'ensemble des points dont les coordonnées satisfont l'expression donnée.

Dans la figure, nous voyons le graphique de la fonction y=x. C'est une droite et chacun de ses points a ses propres coordonnées sur l'axe X et sur l'axe Oui. Sur la base de la définition, si nous remplaçons la coordonnée X un certain point dans équation donnée, alors on obtient la coordonnée de ce point sur l'axe Oui.

Services de tracé de graphes de fonctions en ligne

Considérez plusieurs services populaires et meilleurs qui vous permettent de dessiner rapidement un graphique d'une fonction.

Ouvre la liste des services les plus courants qui vous permettent de tracer un graphique de fonction à l'aide d'une équation en ligne. Umath ne contient que outils nécessaires, telles que le zoom, le déplacement le long du plan de coordonnées et l'affichage des coordonnées du point pointé par la souris.

Instruction:

1. Entrez votre équation dans la case après le signe "=".
2. Cliquez sur le bouton "Construire un graphique".

Comme vous pouvez le voir, tout est extrêmement simple et accessible, la syntaxe pour écrire des fonctions mathématiques complexes : avec un module, trigonométrique, exponentielle - est donnée juste en dessous du graphique. De plus, si nécessaire, vous pouvez définir l'équation par la méthode paramétrique ou créer des graphiques dans le système de coordonnées polaires.

Yotx possède toutes les fonctions du service précédent, mais contient en même temps des innovations intéressantes telles que la création d'un intervalle d'affichage de fonction, la possibilité de créer un graphique à l'aide de données tabulaires et également d'afficher un tableau avec des solutions complètes.

Instruction:

1. Sélectionner manière nécessaire planifier des tâches.
2. Entrez une équation.
3. Définissez l'intervalle.
4. Cliquez sur le bouton "Construire".

Pour ceux qui sont trop paresseux pour comprendre comment écrire certaines fonctions, ce poste présente un service avec la possibilité de sélectionner celui dont vous avez besoin dans la liste en un clic de souris.

Instruction:

1. Trouvez la fonction dont vous avez besoin dans la liste.
2. Cliquez dessus avec le bouton gauche de la souris
3. Si nécessaire, saisissez les coefficients dans le champ "Une fonction:".
4. Cliquez sur le bouton "Construire".

En termes de visualisation, il est possible de changer la couleur du graphique, ainsi que de le masquer ou de le supprimer complètement.

Desmos est de loin le service le plus sophistiqué pour construire des équations en ligne. En déplaçant le curseur avec le bouton gauche de la souris enfoncé sur le graphique, vous pouvez voir en détail toutes les solutions de l'équation avec une précision de 0,001. Le clavier intégré vous permet d'écrire rapidement des degrés et des fractions. L'avantage le plus important est la possibilité d'écrire l'équation dans n'importe quel état, sans conduire à la forme : y = f(x).

Instruction:

1. Dans la colonne de gauche, faites un clic droit sur une ligne libre.
2. Dans le coin inférieur gauche, cliquez sur l'icône du clavier.
3. Sur le panneau qui apparaît, tapez l'équation souhaitée (pour écrire les noms des fonctions, allez dans la section "A B C").
4. Le graphique est construit en temps réel.

La visualisation est juste parfaite, adaptative, on voit bien que les designers ont travaillé sur l'application. Parmi les avantages, on peut noter une énorme abondance d'opportunités, pour le développement desquelles vous pouvez voir des exemples dans le menu dans le coin supérieur gauche.

Il existe de nombreux sites de fonctions de traçage, mais chacun est libre de choisir par lui-même en fonction des fonctionnalités requises et de ses préférences personnelles. La liste des meilleurs a été compilée pour répondre aux exigences de tout mathématicien, jeune et vieux. Bonne chance à vous pour comprendre la "reine des sciences" !

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Nous choisissons un système de coordonnées rectangulaires sur le plan et traçons les valeurs de l'argument sur l'axe des abscisses X, et sur l'axe y - les valeurs de la fonction y = f(x).

Graphique de fonction y = f(x) l'ensemble de tous les points est appelé, pour lequel les abscisses appartiennent au domaine de la fonction, et les ordonnées sont égales aux valeurs correspondantes de la fonction.

En d'autres termes, le graphique de la fonction y \u003d f (x) est l'ensemble de tous les points du plan, les coordonnées X, à qui satisfont la relation y = f(x).

Sur la fig. 45 et 46 sont des graphiques de fonctions y = 2x + 1 et y \u003d x 2 - 2x.

En toute rigueur, il faut distinguer le graphe d'une fonction (dont la définition mathématique exacte a été donnée plus haut) et la courbe tracée, qui ne donne toujours qu'une esquisse plus ou moins précise du graphe (et même alors, en règle générale, pas du graphe entier, mais seulement de sa partie située dans les parties finales du plan). Dans ce qui suit, cependant, nous ferons généralement référence à "graphique" plutôt qu'à "esquisse de graphique".

À l'aide d'un graphique, vous pouvez trouver la valeur d'une fonction en un point. A savoir, si le point X = un appartient au périmètre de la fonction y = f(x), puis pour trouver le nombre FA)(c'est-à-dire les valeurs de la fonction au point X = un) devrait le faire. Besoin par un point avec une abscisse X = un tracez une ligne droite parallèle à l'axe y ; cette ligne coupera le graphique de la fonction y = f(x)à un moment donné; l'ordonnée de ce point sera, en vertu de la définition du graphe, égale à FA)(Fig. 47).

Par exemple, pour la fonction f(x) = x 2 - 2x en utilisant le graphique (Fig. 46) on trouve f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, etc.

Un graphique de fonction illustre visuellement le comportement et les propriétés d'une fonction. Par exemple, à partir d'un examen de la Fig. 46 il est clair que la fonction y \u003d x 2 - 2x prend des valeurs positives lorsque X< 0 et à x > 2, négatif - à 0< x < 2; plus petite valeur une fonction y \u003d x 2 - 2x accepte à x = 1.

Pour tracer une fonction f(x) vous devez trouver tous les points du plan, les coordonnées X,à qui satisfont l'équation y = f(x). Dans la plupart des cas, cela est impossible, car il existe une infinité de tels points. Par conséquent, le graphique de la fonction est représenté approximativement - avec une précision plus ou moins grande. La plus simple est la méthode de tracé multipoint. Elle consiste dans le fait que l'argument X donner un nombre fini de valeurs - disons, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k et créer un tableau qui inclut les valeurs sélectionnées de la fonction.

Le tableau ressemble à ceci :

Après avoir compilé un tel tableau, nous pouvons esquisser plusieurs points sur le graphique de la fonction y = f(x). Ensuite, en reliant ces points par une ligne lisse, nous obtenons une vue approximative du graphique de la fonction y = f(x).

Cependant, il convient de noter que la méthode de tracé multipoint est très peu fiable. En effet, le comportement du graphe entre les points marqués et son comportement en dehors du segment entre les points extrêmes pris reste inconnu.

Exemple 1. Pour tracer une fonction y = f(x) quelqu'un a compilé une table de valeurs d'arguments et de fonctions :

Les cinq points correspondants sont représentés sur la Fig. 48.

Sur la base de l'emplacement de ces points, il a conclu que le graphique de la fonction est une ligne droite (représentée à la Fig. 48 par une ligne pointillée). Cette conclusion peut-elle être considérée comme fiable ? À moins qu'il n'y ait des considérations supplémentaires pour étayer cette conclusion, elle peut difficilement être considérée comme fiable. fiable.

Pour étayer notre affirmation, considérons la fonction

.

Les calculs montrent que les valeurs de cette fonction aux points -2, -1, 0, 1, 2 sont juste décrites par le tableau ci-dessus. Cependant, le graphique de cette fonction n'est pas du tout une ligne droite (il est représenté sur la figure 49). Un autre exemple est la fonction y = x + l + sinx ; ses significations sont également décrites dans le tableau ci-dessus.

Ces exemples montrent que dans sa forme "pure", la méthode de tracé multipoint n'est pas fiable. Par conséquent, pour tracer une fonction donnée, en règle générale, procédez comme suit. Tout d'abord, les propriétés de cette fonction sont étudiées, à l'aide desquelles il est possible de construire une esquisse du graphe. Ensuite, en calculant les valeurs de la fonction en plusieurs points (dont le choix dépend des propriétés définies de la fonction), on trouve les points correspondants du graphe. Et, enfin, une courbe est tracée à travers les points construits en utilisant les propriétés de cette fonction.

Nous examinerons plus tard certaines propriétés (les plus simples et les plus fréquemment utilisées) des fonctions utilisées pour trouver l'esquisse d'un graphe, mais nous allons maintenant analyser certaines méthodes couramment utilisées pour tracer des graphes.

Représentation graphique de la fonction y = |f(x)|.

Il est souvent nécessaire de tracer une fonction y = |f(x)|, où f(x) - fonction donnée. Rappelez-vous comment cela est fait. A-prieuré valeur absolue les nombres peuvent être écrits

Cela signifie que le graphique de la fonction y=|f(x)| peut être obtenu à partir du graphique, les fonctions y = f(x) comme suit : tous les points du graphe de la fonction y = f(x), dont les ordonnées ne sont pas négatives, doivent rester inchangées ; plus loin, au lieu des points du graphique de la fonction y = f(x), ayant des coordonnées négatives, il faut construire les points correspondants du graphe de la fonction y = -f(x)(c'est-à-dire une partie du graphe de la fonction
y = f(x), qui se trouve sous l'axe X, doit être réfléchi symétriquement autour de l'axe X).

Exemple 2 Tracer une fonction y = |x|.

Prenons le graphique de la fonction y = x(Fig. 50, a) et une partie de ce graphique avec X< 0 (couché sous l'axe X) se réfléchit symétriquement autour de l'axe X. On obtient ainsi le graphe de la fonction y = |x|(Fig. 50, b).

Exemple 3. Tracer une fonction y = |x 2 - 2x|.

On trace d'abord la fonction y = x 2 - 2x. Le graphe de cette fonction est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, le sommet de la parabole a pour coordonnées (1 ; -1), son graphe coupe l'axe des abscisses aux points 0 et 2. Sur l'intervalle (0 ; 2 ) la fonction prend des valeurs négatives, donc cette partie du graphique se reflète symétriquement autour de l'axe des x. La figure 51 montre un graphique de la fonction y \u003d |x 2 -2x |, basé sur le graphique de la fonction y = x 2 - 2x

Graphique de la fonction y = f(x) + g(x)

Considérons le problème de tracer la fonction y = f(x) + g(x). si des graphiques de fonctions sont donnés y = f(x) et y = g(x).

Notez que le domaine de la fonction y = |f(x) + g(х)| est l'ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles les deux fonctions y = f(x) et y = g(x) sont définies, c'est-à-dire que ce domaine de définition est l'intersection des domaines de définition, les fonctions f(x ) et g(x).

Laissez les points (x 0, y 1) et (x 0, y 2) appartiennent respectivement aux graphes de fonctions y = f(x) et y = g(x), soit y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Alors le point (x0;. y1 + y2) appartient au graphe de la fonction y = f(x) + g(x)(pour f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. et tout point du graphique de la fonction y = f(x) + g(x) peut être obtenue de cette manière. Par conséquent, le graphique de la fonction y = f(x) + g(x) peut être obtenu à partir de graphes de fonctions y = f(x). et y = g(x) en remplaçant chaque point ( x n, y 1) graphiques de fonction y = f(x) point (x n, y 1 + y 2), où y 2 = g(x n), c'est-à-dire en déplaçant chaque point ( x n, y 1) graphe de fonction y = f(x) le long de l'axe à par le montant y 1 \u003d g (x n). Dans ce cas, seuls ces points sont pris en compte. X n pour lequel les deux fonctions sont définies y = f(x) et y = g(x).

Cette méthode de tracé d'un graphique de fonction y = f(x) + g(x) s'appelle l'addition de graphes de fonctions y = f(x) et y = g(x)

Exemple 4. Dans la figure, par la méthode d'ajout de graphes, un graphe de la fonction est construit
y = x + sinx.

Lors du tracé d'une fonction y = x + sinx nous avons supposé que f(x) = x, un g(x) = sinx. Pour construire un graphe de fonction, on sélectionne des points d'abscisse -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Valeurs f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx nous calculerons aux points sélectionnés et placerons les résultats dans le tableau.