L'ordre de transformation des graphiques de fonctions. Transformation de graphiques de fonctions élémentaires

Hypothèse : Si vous étudiez le mouvement du graphique lors de la formation d'une équation de fonctions, vous remarquerez que tous les graphiques obéissent modèles généraux il est donc possible de formuler des lois générales quelles que soient les fonctions, ce qui facilitera non seulement la construction de graphiques diverses fonctions, mais aussi les utiliser pour résoudre des problèmes.

Objectif : Etudier le mouvement des graphiques de fonctions :

1) La tâche est d'étudier la littérature

2) Apprenez à créer des graphiques de diverses fonctions

3) Apprenez à convertir des graphiques fonctions linéaires

4) Considérez la question de l'utilisation de graphiques lors de la résolution de problèmes

Objet d'étude : Graphiques de fonctions

Sujet de recherche : Mouvements des graphes de fonctions

Pertinence : En règle générale, la construction de graphiques de fonctions prend beaucoup de temps et nécessite de l'attention de la part de l'étudiant, mais connaissant les règles de conversion des graphiques de fonctions et des graphiques de fonctions de base, vous pouvez construire rapidement et facilement des graphiques de fonctions , qui vous permettra non seulement d'accomplir des tâches de construction de graphiques de fonctions, mais également de résoudre des problèmes qui y sont liés (pour trouver le maximum (hauteur minimale du temps et point de rencontre))

Ce projet est utile à tous les élèves de l'école.

Revue de littérature:

La littérature traite des méthodes de construction de graphiques de diverses fonctions, ainsi que d'exemples de transformation de graphiques de ces fonctions. Les graphiques de presque toutes les fonctions de base sont utilisés dans divers processus techniques, ce qui permet d'imaginer plus clairement le processus et de programmer le résultat

Fonction permanente. Cette fonction est donnée par la formule y = b, où b est un certain nombre. Le graphique d'une fonction constante est une droite parallèle à l'abscisse et passant par le point (0; b) en ordonnée. Le graphique de la fonction y = 0 est l'axe des x.

Types de fonction 1Proportionnalité directe. Cette fonction est donnée par la formule y = kx, où le coefficient de proportionnalité k ≠ 0. Le graphique de proportionnalité directe est une droite passant par l'origine.

Fonction linéaire. Une telle fonction est donnée par la formule y = kx + b, où k et b sont des nombres réels. Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite.

Les graphiques de fonctions linéaires peuvent se croiser ou être parallèles.

Ainsi, les lignes des graphiques des fonctions linéaires y = k 1 x + b 1 et y = k 2 x + b 2 se coupent si k 1 ≠ k 2 ; si k 1 = k 2, alors les droites sont parallèles.

2La proportionnalité inverse est une fonction donnée par la formule y = k/x, où k ≠ 0. K est appelé coefficient proportionnalité inverse. Le graphique de proportionnalité inverse est une hyperbole.

La fonction y = x 2 est représentée par un graphe appelé parabole : sur l'intervalle [-~; 0] la fonction diminue, sur l'intervalle la fonction augmente.

La fonction y = x 3 augmente sur toute la droite numérique et est représentée graphiquement par une parabole cubique.

Fonction puissance avec exposant naturel. Cette fonction est donnée par la formule y = x n, où n est entier naturel. Graphiques fonction de puissance avec un exposant naturel dépend de n. Par exemple, si n = 1, alors le graphique sera une droite (y = x), si n = 2, alors le graphique sera une parabole, etc.

Une fonction puissance avec un exposant entier négatif est représentée par la formule y = x -n, où n est un nombre naturel. Cette fonction est définie pour tout x ≠ 0. Le graphique de la fonction dépend également de l'exposant n.

Fonction puissance avec un exposant fractionnaire positif. Cette fonction est représentée par la formule y = x r, où r est une fraction irréductible positive. Cette fonction n’est également ni paire ni impaire.

Un graphique linéaire qui affiche la relation entre les variables dépendantes et indépendantes sur le plan de coordonnées. Le graphique sert à afficher visuellement ces éléments

Une variable indépendante est une variable qui peut prendre n'importe quelle valeur dans le domaine de définition de la fonction (où cette fonction cela a du sens (vous ne pouvez pas diviser par zéro))

Pour créer un graphique des fonctions dont vous avez besoin

1) Trouver la VA (plage de valeurs acceptables)

2) prendre plusieurs valeurs arbitraires pour la variable indépendante

3) Trouver la valeur de la variable dépendante

4) Construisez un plan de coordonnées et marquez ces points dessus

5) Reliez leurs lignes si nécessaire, examinez le graphique obtenu Transformation des graphiques fonctions élémentaires.

Conversion de graphiques

DANS forme pure Les fonctions élémentaires de base ne sont malheureusement pas si courantes. Beaucoup plus souvent, vous devez traiter avec des fonctions élémentaires obtenues à partir de fonctions élémentaires de base en ajoutant des constantes et des coefficients. Des graphiques de telles fonctions peuvent être construits en appliquant des transformations géométriques aux graphiques des fonctions élémentaires de base correspondantes (ou en passant à un nouveau système de coordonnées). Par exemple, fonction quadratique la formule est une formule de parabole quadratique compressée trois fois par rapport à l'axe des ordonnées, affichée symétriquement par rapport à l'axe des abscisses, décalée contre la direction de cet axe de 2/3 unités et décalée le long de l'axe des ordonnées de 2 unités.

Comprenons ces transformations géométriques du graphique d'une fonction étape par étape à l'aide d'exemples spécifiques.

En utilisant des transformations géométriques du graphique de la fonction f(x), un graphique de n'importe quelle fonction de la forme formule peut être construit, où la formule est les coefficients de compression ou d'étirement le long des axes oy et ox, respectivement, les signes moins devant de la formule et des coefficients de formule indiquent un affichage symétrique du graphique par rapport à axes de coordonnées, a et b déterminent respectivement le décalage par rapport aux axes des abscisses et des ordonnées.

Ainsi, il existe trois types de transformations géométriques du graphe d'une fonction :

Le premier type est la mise à l'échelle (compression ou étirement) le long des axes des abscisses et des ordonnées.

La nécessité d'une mise à l'échelle est indiquée par des coefficients de formule différents de un ; si le nombre est inférieur à 1, alors le graphique est compressé par rapport à oy et étiré par rapport à ox si le nombre est supérieur à 1, alors nous l'étirons le long de l'axe des ordonnées ; et compresser le long de l'axe des abscisses.

Le deuxième type est un affichage symétrique (miroir) par rapport aux axes de coordonnées.

La nécessité de cette transformation est indiquée par les signes moins devant les coefficients de la formule (dans ce cas, on affiche le graphique symétriquement par rapport à l'axe ox) et de la formule (dans ce cas, on affiche le graphique symétriquement par rapport à l'axe oy axe). S'il n'y a pas de signe moins, cette étape est ignorée.

Transfert parallèle.

TRANSLATION LE LONG DE L'AXE Y

f(x) => f(x) -b
Supposons que vous souhaitiez construire un graphique de la fonction y = f(x) - b. Il est facile de voir que les ordonnées de ce graphique pour toutes les valeurs de x sur |b| unités inférieures aux ordonnées correspondantes du graphique de fonction y = f(x) pour b>0 et |b| unités de plus - à b 0 ou jusqu'à b Pour tracer le graphique de la fonction y + b = f(x), vous devez construire un graphique de la fonction y = f(x) et déplacer l'axe des x vers |b| unités jusqu'à b>0 ou par |b| unités en baisse à b

TRANSFERT LE LONG DE L'AXE ABSCISS

f(x) => f(x + a)
Supposons que vous souhaitiez tracer la fonction y = f(x + a). Considérons la fonction y = f(x), qui à un moment donné x = x1 prend la valeur y1 = f(x1). Évidemment, la fonction y = f(x + a) prendra la même valeur au point x2 dont la coordonnée est déterminée à partir de l'égalité x2 + a = x1, c'est-à-dire x2 = x1 - a, et l'égalité considérée est valable pour la totalité de toutes les valeurs du domaine de définition de la fonction. Par conséquent, le graphique de la fonction y = f(x + a) peut être obtenu en déplaçant parallèlement le graphique de la fonction y = f(x) le long de l'axe des x vers la gauche de |a| unités pour a > 0 ou vers la droite par |a| unités pour a Pour construire un graphique de la fonction y = f(x + a), vous devez construire un graphique de la fonction y = f(x) et déplacer l'axe des ordonnées vers |a| unités vers la droite lorsque a>0 ou par |a| unités vers la gauche à un

Exemples:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Réflexion.

CONSTRUCTION D'UN GRAPHE D'UNE FONCTION DE LA FORME Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Il est évident que les fonctions y = f(-x) et y = f(x) prennent des valeurs égales en des points dont les abscisses sont égales en valeur absolue, mais de signe opposé. Autrement dit, les ordonnées du graphique de la fonction y = f(-x) dans la région des valeurs positives (négatives) de x seront égales aux ordonnées du graphique de la fonction y = f(x) pour les valeurs négatives (positives) correspondantes de x en valeur absolue. Ainsi, nous obtenons la règle suivante.
Pour tracer la fonction y = f(-x), vous devez tracer la fonction y = f(x) et la refléter par rapport à l'ordonnée. Le graphique résultant est le graphique de la fonction y = f(-x)

CONSTRUCTION D'UN GRAPHE D'UNE FONCTION DE LA FORME Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Les ordonnées du graphique de la fonction y = - f(x) pour toutes les valeurs de l'argument sont égales en valeur absolue, mais opposées en signe aux ordonnées du graphique de la fonction y = f(x) pour le mêmes valeurs de l'argument. Ainsi, nous obtenons la règle suivante.
Pour tracer un graphique de la fonction y = - f(x), vous devez tracer un graphique de la fonction y = f(x) et le refléter par rapport à l'axe des x.

Exemples:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Déformation.

DÉFORMATION DU GRAPHE LE LONG DE L'AXE Y

f(x) => kf(x)
Considérons une fonction de la forme y = k f(x), où k > 0. Il est facile de voir qu'à valeurs égales de l'argument, les ordonnées du graphique de cette fonction seront k fois supérieures aux ordonnées de le graphe de la fonction y = f(x) pour k > 1 ou 1/k fois inférieur aux ordonnées du graphe de la fonction y = f(x) pour k Construire un graphe de la fonction y = k f(x ), vous devez construire un graphique de la fonction y = f(x) et augmenter ses ordonnées de k fois pour k > 1 (étirer le graphique le long de l'axe des ordonnées) ou réduire ses ordonnées de 1/k fois à k
k > 1- s'étendant à partir de l'axe Ox
0 - compression sur l'axe OX

DÉFORMATION DU GRAPHE LE LONG DE L'AXE ABSCISS

f(x) => f(kx)
Supposons qu'il soit nécessaire de construire un graphe de la fonction y = f(kx), où k>0. Considérons la fonction y = f(x), qui en un point arbitraire x = x1 prend la valeur y1 = f(x1). Il est évident que la fonction y = f(kx) prend la même valeur au point x = x2 dont la coordonnée est déterminée par l'égalité x1 = kx2, et cette égalité est valable pour la totalité de toutes les valeurs de x du domaine de définition de la fonction. Par conséquent, le graphe de la fonction y = f(kx) s'avère compressé (pour k 1) le long de l'axe des abscisses par rapport au graphe de la fonction y = f(x). Ainsi, nous obtenons la règle.
Pour construire un graphique de la fonction y = f(kx), vous devez construire un graphique de la fonction y = f(x) et réduire ses abscisses de k fois pour k>1 (compresser le graphique le long de l'axe des abscisses) ou augmenter ses abscisses par 1/k fois pour k
k > 1- compression vers l'axe Oy
0 - s'étendant à partir de l'axe OY

Selon les conditions des processus physiques, certaines quantités prennent des valeurs constantes et sont appelées constantes, d'autres changent sous certaines conditions et sont appelées variables.

Étude minutieuse environnement montre que les grandeurs physiques dépendent les unes des autres, c'est-à-dire qu'un changement dans certaines quantités entraîne un changement dans d'autres.

L'analyse mathématique traite de l'étude des relations quantitatives entre des quantités mutuellement variables, en faisant abstraction de la signification physique spécifique. L'un des concepts de base de l'analyse mathématique est le concept de fonction.

Considérez les éléments de l'ensemble et les éléments de l'ensemble
(Fig. 3.1).

Si une certaine correspondance est établie entre les éléments des ensembles
Et sous forme de règle , alors ils notent que la fonction est définie
.

Définition 3.1. Correspondance , qui associe à chaque élément pas un ensemble vide
un élément bien défini pas un ensemble vide ,appelé fonction ou mappage
V .

Afficher symboliquement
V s'écrit ainsi :

.

En même temps, beaucoup
est appelé le domaine de définition de la fonction et est noté
.

À leur tour, beaucoup est appelée la plage de valeurs de la fonction et est notée
.

De plus, il convient de noter que les éléments de l'ensemble
sont appelées variables indépendantes, éléments de l'ensemble sont appelées variables dépendantes.

Méthodes de spécification d'une fonction

La fonction peut être spécifiée des manières principales suivantes : tabulaire, graphique, analytique.

Si, sur la base de données expérimentales, des tableaux sont compilés contenant les valeurs de la fonction et les valeurs des arguments correspondants, alors cette méthode de spécification de la fonction est appelée tabulaire.

Parallèlement, si certaines études du résultat expérimental sont affichées sur un enregistreur (oscilloscope, enregistreur, etc.), alors on constate que la fonction est précisée graphiquement.

La manière la plus courante est la manière analytique de spécifier une fonction, c'est-à-dire une méthode dans laquelle une variable indépendante et dépendante est liée à l'aide d'une formule. Où rôle important joue le domaine de la fonction :

différents, bien qu'ils soient donnés par les mêmes relations analytiques.

Si vous spécifiez uniquement la formule de la fonction
, alors on considère que le domaine de définition de cette fonction coïncide avec l'ensemble de ces valeurs de la variable , pour lequel l'expression
a le sens. À cet égard, le problème de trouver le domaine de définition d'une fonction joue un rôle particulier.

Tâche 3.1. Trouver le domaine d'une fonction

Solution

Le premier terme prend des valeurs réelles lorsque
, et le second à. Ainsi, pour trouver le domaine de définition fonction donnée il faut résoudre le système d'inégalités :

En conséquence, la solution à un tel système est . Le domaine de définition de la fonction est donc le segment
.

Les transformations les plus simples des graphes de fonctions

La construction de graphiques de fonctions peut être considérablement simplifiée si vous utilisez les graphiques bien connus des fonctions élémentaires de base. Les fonctions suivantes sont appelées fonctions élémentaires principales :

1) fonction de puissance
Où
;

2) fonction exponentielle
Où
Et
;

3) fonction logarithmique
, Où - tout nombre positif autre qu'un :
Et
;

4) fonctions trigonométriques




;
.

5) fonctions trigonométriques inverses
;
;
;
.

Les fonctions élémentaires sont des fonctions obtenues à partir de fonctions élémentaires de base à l'aide de quatre opérations arithmétiques et superpositions appliquées un nombre fini de fois.

Des transformations géométriques simples permettent également de simplifier le processus de construction d'un graphe de fonctions. Ces transformations sont basées sur les affirmations suivantes :

Le graphe de la fonction y=f(x+a) est le graphe y=f(x), décalé (pour a >0 vers la gauche, pour a< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

Le graphe de la fonction y=f(x) +b est le graphe de y=f(x), décalé (à b>0 vers le haut, à b< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

Le graphe de la fonction y = mf(x) (m0) est le graphe de y = f(x), étiré (à m>1) m fois ou compressé (à 0

Le graphe de la fonction y = f(kx) est le graphe de y = f(x), compressé (pour k >1) k fois ou étiré (pour 0< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.