Direct et proportionnalité inverse

Si t est le temps de déplacement du piéton (en heures), s est la distance parcourue (en kilomètres) et qu'il se déplace uniformément à une vitesse de 4 km/h, alors la relation entre ces grandeurs peut être exprimée par la formule s = 4t. Puisque chaque valeur t correspond à une seule valeur s, on peut dire qu'une fonction est définie à l'aide de la formule s = 4t. C'est ce qu'on appelle la proportionnalité directe et elle est définie comme suit.

Définition. La proportionnalité directe est une fonction qui peut être spécifiée à l'aide de la formule y=kx, où k est un nombre réel non nul.

Le nom de la fonction y = k x est dû au fait que dans la formule y = k x il y a des variables x et y, qui peuvent être des valeurs de quantités. Et si le rapport de deux quantités est égal à un nombre différent de zéro, on les appelle directement proportionnel . Dans notre cas = k (k≠0). Ce numéro s'appelle coefficient de proportionnalité.

La fonction y = k x est un modèle mathématique de nombreuses situations réelles déjà considérées dans cours initial mathématiques. L'un d'eux est décrit ci-dessus. Autre exemple : si un sac de farine contient 2 kg et que x de ces sacs ont été achetés, alors la masse totale de farine achetée (notée y) peut être représentée par la formule y = 2x, c'est-à-dire le rapport entre le nombre de sacs et la masse totale de farine achetée est directement proportionnel avec le coefficient k=2.

Rappelons quelques propriétés de proportionnalité directe qui sont étudiées dans un cours de mathématiques scolaire.

1. Le domaine de définition de la fonction y = k x et la plage de ses valeurs est l'ensemble des nombres réels.

2. Le graphique de proportionnalité directe est une ligne droite passant par l'origine des coordonnées. Par conséquent, pour construire un graphique de proportionnalité directe, il suffit de trouver un seul point qui lui appartient et ne coïncide pas avec l'origine des coordonnées, puis de tracer une ligne droite passant par ce point et l'origine des coordonnées.

Par exemple, pour construire un graphique de la fonction y = 2x, il suffit d'avoir un point de coordonnées (1, 2), puis de tracer une ligne droite le traversant et l'origine des coordonnées (Fig. 7).

3. Pour k > 0, la fonction y = khx augmente sur tout le domaine de définition ; à k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Si la fonction f est une proportionnalité directe et (x 1, y 1), (x 2, y 2) sont des paires de valeurs correspondantes des variables x et y, et x 2 ≠0 alors.

En effet, si la fonction f est de proportionnalité directe, alors elle peut être donnée par la formule y = khx, et alors y 1 = kh 1, y 2 = kh 2. Puisque à x 2 ≠0 et k≠0, alors y 2 ≠0. C'est pourquoi et cela veut dire .

Si les valeurs des variables x et y sont des nombres réels positifs, alors la propriété prouvée de proportionnalité directe peut être formulée comme suit : avec une augmentation (diminution) de la valeur de la variable x plusieurs fois, la valeur correspondante de la variable y augmente (diminue) du même montant.

Cette propriété n'est inhérente qu'à la proportionnalité directe et peut être utilisée lors de la résolution de problèmes écrits dans lesquels des quantités directement proportionnelles sont considérées.

Problème 1. En 8 heures, un tourneur a produit 16 pièces. Combien d’heures faudra-t-il à un opérateur de tour pour produire 48 pièces s’il travaille avec la même productivité ?

Solution. Le problème considère les quantités - le temps de travail du tourneur, le nombre de pièces fabriquées par lui et la productivité (c'est-à-dire le nombre de pièces fabriquées par le tourneur en 1 heure), et la dernière valeur est constante, et les deux autres prennent différentes significations. De plus, le nombre de pièces réalisées et le temps de travail sont des valeurs directement proportionnelles, puisque leur rapport est égal à un certain nombre qui n'est pas égal à zéro, à savoir le nombre de pièces réalisées par un tourneur en 1 heure si le nombre. de pièces fabriquées est désigné par la lettre y, le temps de travail est x et la productivité est k, alors nous obtenons que = k ou y = khx, c'est-à-dire Le modèle mathématique de la situation présentée dans le problème est la proportionnalité directe.

Le problème peut être résolu de deux manières arithmétiques :

1ère voie : 2ème voie :

1) 16:8 = 2 (enfants) 1) 48:16 = 3 (fois)

2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)

En résolvant le problème de la première manière, nous avons d'abord trouvé le coefficient de proportionnalité k, il est égal à 2, puis, sachant que y = 2x, nous avons trouvé la valeur de x à condition que y = 48.

Pour résoudre le problème de la deuxième manière, nous avons utilisé la propriété de proportionnalité directe : autant de fois que le nombre de pièces fabriquées par un tourneur augmente, le temps de leur production augmente d'autant.

Passons maintenant à une fonction appelée proportionnalité inverse.

Si t est le temps de déplacement du piéton (en heures), v est sa vitesse (en km/h) et qu'il a parcouru 12 km, alors la relation entre ces quantités peut être exprimée par la formule v∙t = 20 ou v = .

Puisque chaque valeur t (t ≠ 0) correspond à une seule valeur de vitesse v, on peut dire qu'une fonction est spécifiée à l'aide de la formule v =. C'est ce qu'on appelle la proportionnalité inverse et est définie comme suit.

Définition. La proportionnalité inverse est une fonction qui peut être spécifiée à l'aide de la formule y =, où k est un nombre réel différent de zéro.

Le nom de cette fonction vient du fait que y = il existe des variables x et y, qui peuvent être des valeurs de quantités. Et si le produit de deux quantités est égal à un nombre différent de zéro, alors elles sont appelées inversement proportionnelles. Dans notre cas xy = k(k ≠0). Ce nombre k est appelé coefficient de proportionnalité.

Fonction y = est un modèle mathématique de nombreuses situations réelles envisagées déjà dans le cours initial de mathématiques. L'un d'eux est décrit avant la définition de la proportionnalité inverse. Autre exemple : si vous avez acheté 12 kg de farine et que vous les mettez dans des boîtes de l : y kg chacune, alors la relation entre ces quantités peut être représentée sous sous la forme x-y= 12, soit elle est inversement proportionnelle avec le coefficient k=12.

Rappelons quelques propriétés de proportionnalité inverse connues de cours scolaire mathématiques.

1.Domaine de définition de la fonction y = et la plage de ses valeurs x est l'ensemble des nombres réels autres que zéro.

2. Le graphique de proportionnalité inverse est une hyperbole.

3. Pour k > 0, les branches de l'hyperbole sont situées dans les 1er et 3ème quartiers et la fonction y = est décroissante sur tout le domaine de définition de x (Fig. 8).

Riz. 8 Fig.9

À k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = est croissante sur tout le domaine de définition de x (Fig. 9).

4. Si la fonction f est une proportionnalité inverse et (x 1, y 1), (x 2, y 2) sont des paires de valeurs correspondantes des variables x et y, alors.

En effet, si la fonction f est de proportionnalité inverse, alors elle peut être donnée par la formule y = ,et puis . Puisque x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, alors

Si les valeurs des variables x et y sont des nombres réels positifs, alors cette propriété de proportionnalité inverse peut être formulée comme suit : avec une augmentation (diminution) de la valeur de la variable x plusieurs fois, la valeur correspondante de la variable y diminue (augmente) du même montant.

Cette propriété n'est inhérente qu'à la proportionnalité inverse et peut être utilisée lors de la résolution de problèmes écrits dans lesquels des quantités inversement proportionnelles sont considérées.

Problème 2. Un cycliste, se déplaçant à une vitesse de 10 km/h, a parcouru la distance de A à B en 6 heures. Combien de temps le cycliste passera-t-il sur le chemin du retour s'il roule à une vitesse de 20 km/h ?

Solution. Le problème considère les grandeurs suivantes : la vitesse du cycliste, le temps de déplacement et la distance de A à B, la dernière grandeur étant constante, tandis que les deux autres prennent des valeurs différentes. De plus, la vitesse et le temps de déplacement sont des quantités inversement proportionnelles, puisque leur produit est égal à un certain nombre, à savoir la distance parcourue. Si le temps de déplacement du cycliste est noté par la lettre y, la vitesse par x et la distance AB par k, alors on obtient que xy = k ou y =, c'est-à-dire Le modèle mathématique de la situation présentée dans le problème est la proportionnalité inverse.

Il existe deux manières de résoudre le problème :

1ère voie : 2ème voie :

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (fois)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

En résolvant le problème de la première manière, nous avons d'abord trouvé le coefficient de proportionnalité k, il est égal à 60, puis, sachant que y =, nous avons trouvé la valeur de y à condition que x = 20.

Pour résoudre le problème de la deuxième manière, nous avons utilisé la propriété de proportionnalité inverse : le nombre de fois que la vitesse de déplacement augmente, le temps pour parcourir la même distance diminue du même nombre.

Notez que lors de la résolution tâches spécifiques avec des quantités inversement proportionnelles ou directement proportionnelles, certaines restrictions sont imposées sur x et y, en particulier, elles peuvent être considérées non pas sur l'ensemble des nombres réels, mais sur ses sous-ensembles.

Problème 3. Lena a acheté x crayons et Katya en a acheté 2 fois plus. Notons y le nombre de crayons achetés par Katya, exprimez y par x et construisez un graphique de la correspondance établie à condition que x≤5. Cette correspondance est-elle une fonction ? Quel est son domaine de définition et sa gamme de valeurs ?

Solution. Katya a acheté = 2 crayons. Lors du tracé de la fonction y=2x, il faut tenir compte du fait que la variable x désigne le nombre de crayons et x≤5, ce qui signifie qu'elle ne peut prendre que les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ce sera le domaine de définition de cette fonction. Pour obtenir la plage de valeurs de cette fonction, vous devez multiplier chaque valeur x de la plage de définition par 2, c'est-à-dire ce sera l'ensemble (0, 2, 4, 6, 8, 10). Par conséquent, le graphique de la fonction y = 2x avec le domaine de définition (0, 1, 2, 3, 4, 5) sera l'ensemble des points représentés sur la figure 10. Tous ces points appartiennent à la droite y = 2x .

Exemple

Facteur de proportionnalité

Une relation constante de quantités proportionnelles est appelée facteur de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité montre combien d'unités d'une quantité correspondent à une unité d'une autre.

Proportionnalité directe

Proportionnalité directe- la dépendance fonctionnelle, dans laquelle une certaine quantité dépend d'une autre quantité de telle sorte que leur rapport reste constant. En d'autres termes, ces variables changent proportionnellement, en parts égales, c'est-à-dire que si l'argument change deux fois dans n'importe quelle direction, alors la fonction change également deux fois dans la même direction.

Mathématiquement, la proportionnalité directe s'écrit sous la forme d'une formule :

F(X) = unX,un = const

Proportionnalité inverse

Proportionnalité inverse- il s'agit d'une dépendance fonctionnelle, dans laquelle une augmentation de la valeur indépendante (argument) entraîne une diminution proportionnelle de la valeur dépendante (fonction).

Mathématiquement, la proportionnalité inverse s'écrit sous la forme d'une formule :

Propriétés de la fonction :

Sources

Fondation Wikimédia. 2010.

Aujourd'hui, nous examinerons quelles quantités sont appelées inversement proportionnelles, à quoi ressemble un graphique de proportionnalité inverse et comment tout cela peut vous être utile non seulement dans les cours de mathématiques, mais aussi en dehors de l'école.

Des proportions si différentes

Proportionnalité Nommez deux quantités qui dépendent mutuellement l’une de l’autre.

La dépendance peut être directe et inverse. Par conséquent, les relations entre les quantités sont décrites par une proportionnalité directe et inverse.

Proportionnalité directe– il s'agit d'une telle relation entre deux quantités dans laquelle une augmentation ou une diminution de l'une d'elles entraîne une augmentation ou une diminution de l'autre. Ceux. leur attitude ne change pas.

Par exemple, plus vous consacrez d’efforts à étudier en vue des examens, plus vos notes sont élevées. Ou plus vous emportez de choses avec vous en randonnée, plus votre sac à dos sera lourd à transporter. Ceux. L'effort consacré à la préparation des examens est directement proportionnel aux notes obtenues. Et le nombre de choses emballées dans un sac à dos est directement proportionnelle à son poids.

Proportionnalité inverse- Ce dépendance fonctionnelle, dans lequel une diminution ou une augmentation plusieurs fois d'une quantité indépendante (c'est ce qu'on appelle un argument) provoque une augmentation ou une diminution proportionnelle (c'est-à-dire le même nombre de fois) d'une quantité dépendante (c'est ce qu'on appelle une fonction).

Illustrons exemple simple. Vous voulez acheter des pommes au marché. Les pommes sur le comptoir et la somme d’argent dans votre portefeuille sont en proportion inverse. Ceux. Plus vous achetez de pommes, moins il vous restera d’argent.

Fonction et son graphique

La fonction de proportionnalité inverse peut être décrite comme y = k/x. Dans lequel X≠ 0 et k≠ 0.

Cette fonction a les propriétés suivantes :

1. Son domaine de définition est l'ensemble de tous les nombres réels sauf X = 0. D(oui): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. La plage est constituée de nombres réels sauf oui= 0. E(y) : (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. N'a pas de valeurs maximales ou minimales.
4. C'est étrange et son graphique est symétrique par rapport à l'origine.
5. Non périodique.
6. Son graphique ne coupe pas les axes de coordonnées.
7. N'a pas de zéros.
8. Si k> 0 (c'est-à-dire que l'argument augmente), la fonction diminue proportionnellement sur chacun de ses intervalles. Si k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. À mesure que l'argument augmente ( k> 0) les valeurs négatives de la fonction sont dans l'intervalle (-∞ ; 0), et les valeurs positives sont dans l'intervalle (0 ; +∞). Lorsque l'argument diminue ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Le graphique d’une fonction de proportionnalité inverse s’appelle une hyperbole. Montré comme suit :

Problèmes de proportionnalité inverse

Pour que ce soit plus clair, examinons plusieurs tâches. Ils ne sont pas trop compliqués et les résoudre vous aidera à visualiser ce qu'est la proportionnalité inverse et comment cette connaissance peut être utile dans votre vie quotidienne.

Tâche n°1. Une voiture roule à une vitesse de 60 km/h. Il lui a fallu 6 heures pour arriver à destination. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir la même distance s’il se déplace à une vitesse deux fois supérieure ?

Nous pouvons commencer par écrire une formule qui décrit la relation entre le temps, la distance et la vitesse : t = S/V. D’accord, cela nous rappelle beaucoup la fonction de proportionnalité inverse. Et cela indique que le temps qu’une voiture passe sur la route et la vitesse à laquelle elle se déplace sont en proportion inverse.

Pour vérifier cela, trouvons V 2, qui selon la condition est 2 fois plus élevé : V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Ensuite, nous calculons la distance en utilisant la formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Or, il n'est pas difficile de connaître le temps t 2 qui nous est demandé en fonction des conditions du problème : t 2 = 360/120 = 3 heures.

Comme vous pouvez le constater, le temps de trajet et la vitesse sont en effet inversement proportionnels : à une vitesse 2 fois supérieure à la vitesse d'origine, la voiture passera 2 fois moins de temps sur la route.

La solution à ce problème peut également s’écrire sous forme de proportion. Créons donc d'abord ce diagramme :

↓ 60 km/h – 6 heures

↓120 km/h – xh

Les flèches indiquent une relation inversement proportionnelle. Ils suggèrent également que lors de l'établissement d'une proportion, il faut retourner le côté droit de la fiche : 60/120 = x/6. Où obtenons-nous x = 60 * 6/120 = 3 heures.

Tâche n°2. L'atelier emploie 6 ouvriers capables d'effectuer une quantité de travail donnée en 4 heures. Si le nombre de travailleurs est réduit de moitié, combien de temps faudra-t-il aux travailleurs restants pour accomplir la même quantité de travail ?

Écrivons les conditions du problème sous la forme diagramme visuel:

↓ 6 ouvriers – 4 heures

↓ 3 ouvriers – x h

Écrivons cela sous forme de proportion : 6/3 = x/4. Et on obtient x = 6 * 4/3 = 8 heures S'il y a 2 fois moins de travailleurs, les autres passeront 2 fois plus de temps à faire tout le travail.

Tâche n°3. Il y a deux tuyaux menant à la piscine. Grâce à un tuyau, l'eau s'écoule à une vitesse de 2 l/s et remplit la piscine en 45 minutes. Grâce à un autre tuyau, la piscine se remplira en 75 minutes. A quelle vitesse l'eau pénètre-t-elle dans la piscine par ce tuyau ?

Pour commencer, réduisons toutes les grandeurs qui nous sont données selon les conditions du problème aux mêmes unités de mesure. Pour ce faire, on exprime la vitesse de remplissage de la piscine en litres par minute : 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Puisque cette condition implique que la piscine se remplit plus lentement par le deuxième tuyau, cela signifie que le débit d’eau est plus faible. La proportionnalité est inverse. Exprimons la vitesse inconnue par x et traçons le schéma suivant :

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Et puis on compose la proportion : 120/x = 75/45, d'où x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

Dans le problème, le taux de remplissage de la piscine est exprimé en litres par seconde ; réduisons la réponse que nous avons reçue à la même forme : 72/60 = 1,2 l/s.

Tâche n°4. Une petite imprimerie privée imprime des cartes de visite. Un employé d'une imprimerie travaille à une vitesse de 42 cartes de visite par heure et travaille une journée complète - 8 heures. S’il travaillait plus vite et imprimait 48 cartes de visite en une heure, combien de temps plus tôt pourrait-il rentrer chez lui ?

Nous suivons le chemin éprouvé et dressons un schéma en fonction des conditions du problème, désignant la valeur souhaitée par x :

↓ 42 cartes de visite/heure – 8 heures

↓ 48 cartes de visite/h – x h

Nous avons une relation inversement proportionnelle : le nombre de fois plus de cartes de visite qu'un employé d'une imprimerie imprime par heure, le même nombre de fois moins de temps dont il aura besoin pour effectuer le même travail. Sachant cela, créons une proportion :

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 heures.

Ainsi, après avoir terminé le travail en 7 heures, l'employé de l'imprimerie pouvait rentrer chez lui une heure plus tôt.

Conclusion

Il nous semble que ces problèmes de proportionnalité inverse sont vraiment simples. Nous espérons que maintenant vous les considérez également de cette façon. Et l'essentiel est que la connaissance de l'inverse dépendance proportionnelle les quantités peuvent en effet vous être utiles plus d’une fois.

Pas seulement dans les cours de mathématiques et les examens. Mais même alors, lorsque vous vous préparez à partir en voyage, à faire du shopping, à décider de gagner un peu d'argent supplémentaire pendant les vacances, etc.

Dites-nous dans les commentaires quels exemples de relations proportionnelles inverses et directes vous remarquez autour de vous. Que ce soit un tel jeu. Vous verrez à quel point c'est excitant. N'oubliez pas de partager cet article sur dans les réseaux sociaux pour que vos amis et camarades de classe puissent également jouer.

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