Équations exponentielles et inégalités. Résoudre des équations exponentielles et des inégalités

Prenons un exemple : résoudre l'inégalité (0,5) (7 - 3*x)< 4.

Notez que 4 = (0,5) 2 . Alors l'inégalité prendra la forme (0.5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

On obtient : 7 - 3*x>-2.

D'où : x<3.

Réponse : x<3.

Si la base de l’inégalité était supérieure à un, alors en supprimant la base, il ne serait pas nécessaire de changer le signe de l’inégalité.

Dans cette leçon, nous examinerons diverses inégalités exponentielles et apprendrons comment les résoudre, sur la base de la technique de résolution des inégalités exponentielles les plus simples.

1. Définition et propriétés d'une fonction exponentielle

Rappelons la définition et les propriétés de base de la fonction exponentielle. La solution de toutes les équations et inégalités exponentielles est basée sur ces propriétés.

Fonction exponentielle est une fonction de la forme , où la base est le degré et Ici x est la variable indépendante, argument ; y est la variable dépendante, fonction.

Riz. 1. Graphique de la fonction exponentielle

Le graphique montre des exposants croissants et décroissants, illustrant la fonction exponentielle avec une base supérieure à un et inférieure à un mais supérieure à zéro, respectivement.

Les deux courbes passent par le point (0;1)

Propriétés de la fonction exponentielle:

Domaine: ;

Plage de valeurs : ;

La fonction est monotone, augmente avec, diminue avec.

Une fonction monotone prend chacune de ses valeurs étant donné une seule valeur d'argument.

Lorsque , lorsque l'argument augmente de moins à plus l'infini, la fonction augmente de zéro inclus à plus l'infini, c'est-à-dire que pour des valeurs données de l'argument, nous avons une fonction croissante de manière monotone (). Au contraire, lorsque l'argument augmente de moins à plus l'infini, la fonction diminue de l'infini à zéro inclus, c'est-à-dire que pour des valeurs données de l'argument, nous avons une fonction décroissante de manière monotone ().

2. Les inégalités exponentielles les plus simples, méthode de solution, exemple

Sur la base de ce qui précède, nous présentons une méthode pour résoudre les inégalités exponentielles les plus simples :

Technique de résolution des inégalités :

Égaliser les bases des diplômes ;

Comparez les indicateurs en conservant ou en changeant le signe d'inégalité par le signe opposé.

La solution aux inégalités exponentielles complexes consiste généralement à les réduire aux inégalités exponentielles les plus simples.

La base du degré est supérieure à un, ce qui signifie que le signe d'inégalité est conservé :

Transformons le membre de droite en fonction des propriétés du degré :

La base du degré est inférieure à un, le signe de l'inégalité doit être inversé :

Pour résoudre l'inégalité quadratique, nous résolvons l'équation quadratique correspondante :

En utilisant le théorème de Vieta, nous trouvons les racines :

Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.

Nous avons donc une solution à l'inégalité :

Il est facile de deviner que le côté droit peut être représenté comme une puissance avec un exposant nul :

La base du degré est supérieure à un, le signe de l'inégalité ne change pas, on obtient :

Rappelons la technique pour résoudre de telles inégalités.

Considérons la fonction fractionnaire-rationnelle :

On retrouve le domaine de définition :

Trouver les racines de la fonction :

La fonction a une seule racine,

On sélectionne des intervalles de signe constant et on détermine les signes de la fonction sur chaque intervalle :

Riz. 2. Intervalles de constance du signe

Ainsi, nous avons reçu la réponse.

Répondre:

3. Résoudre les inégalités exponentielles standards

Considérons des inégalités avec les mêmes indicateurs, mais des bases différentes.

L'une des propriétés de la fonction exponentielle est que pour toute valeur de l'argument, elle prend des valeurs strictement positives, ce qui signifie qu'elle peut être divisée en fonction exponentielle. Divisons l'inégalité donnée par son côté droit :

La base du degré est supérieure à un, le signe d'inégalité est conservé.

Illustrons la solution :

La figure 6.3 montre des graphiques des fonctions et . Evidemment, lorsque l'argument est supérieur à zéro, le graphique de la fonction est plus haut, cette fonction est plus grande. Lorsque les valeurs des arguments sont négatives, la fonction descend, elle est plus petite. Si l’argument est égal, les fonctions sont égales, ce qui signifie que ce point est aussi une solution à l’inégalité donnée.

Riz. 3. Illustration par exemple 4

Transformons l'inégalité donnée selon les propriétés du degré :

Voici quelques termes similaires :

Divisons les deux parties en :

Maintenant, nous continuons à résoudre de la même manière que l'exemple 4, divisons les deux parties par :

La base du degré est supérieure à un, le signe d'inégalité reste :

4. Solution graphique des inégalités exponentielles

Exemple 6 - Résoudre graphiquement l'inégalité :

Examinons les fonctions des côtés gauche et droit et construisons un graphique pour chacune d'elles.

La fonction est exponentielle et augmente sur tout son domaine de définition, c'est-à-dire pour toutes les valeurs réelles de l'argument.

La fonction est linéaire et décroissante sur tout son domaine de définition, c'est-à-dire pour toutes les valeurs réelles de l'argument.

Si ces fonctions se croisent, c'est-à-dire que le système a une solution, alors une telle solution est unique et peut être facilement devinée. Pour ce faire, nous parcourons des entiers ()

Il est facile de voir que la racine de ce système est :

Ainsi, les graphiques des fonctions se coupent en un point avec un argument égal à un.

Nous devons maintenant obtenir une réponse. La signification de l'inégalité donnée est que l'exposant doit être supérieur ou égal à la fonction linéaire, c'est-à-dire être supérieur ou coïncider avec elle. La réponse est évidente : (Figure 6.4)

Riz. 4. Illustration par exemple 6

Nous avons donc cherché à résoudre diverses inégalités exponentielles standards. Nous passons ensuite à l’examen d’inégalités exponentielles plus complexes.

Bibliographie

Mordkovich A. G. L'algèbre et les débuts de l'analyse mathématique. - M. : Mnémosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. L'algèbre et les débuts de l'analyse mathématique. - M. : Outarde. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. et al. L'algèbre et les débuts de l'analyse mathématique. - M. : Lumières.

Mathématiques. Maryland. Mathématiques-répétition. com. Diffur. kemsu. ru.

Devoirs

1. Algèbre et débuts de l'analyse, 10e et 11e années (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, n° 472, 473 ;

2. Résolvez l’inégalité :

3. Résolvez les inégalités.

Université d'État de Belgorod

DÉPARTEMENT algèbre, théorie des nombres et géométrie

Thème de travail : Équations de puissance exponentielles et inégalités.

Travail d'études supérieuresétudiant de la Faculté de Physique et Mathématiques

Conseiller scientifique:

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Réviseur : _____________________________________________

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Belgorod. 2006

Introduction.

« …la joie de voir et de comprendre… »

A.Einstein.

Dans cet ouvrage, j'ai essayé de transmettre mon expérience de professeur de mathématiques, de transmettre au moins dans une certaine mesure mon attitude envers son enseignement - une entreprise humaine dans laquelle la science mathématique, la pédagogie, la didactique, la psychologie et même la philosophie sont étonnamment liées.

J'ai eu l'occasion de travailler avec des enfants et des diplômés, avec des enfants aux pôles de développement intellectuel : ceux qui étaient inscrits chez un psychiatre et qui s'intéressaient beaucoup aux mathématiques.

J'ai eu l'occasion de résoudre de nombreux problèmes méthodologiques. Je vais essayer de parler de ceux que j'ai réussi à résoudre. Mais les plus ratés encore, et même dans ceux qui semblent résolus, de nouvelles questions surgissent.

Mais les réflexions et les doutes de l’enseignant sont encore plus importants que l’expérience elle-même : pourquoi est-ce exactement comme ça, cette expérience ?

Et l'été est différent maintenant, et le développement de l'éducation est devenu plus intéressant. «Sous les Jupiters» n'est pas aujourd'hui la recherche d'un système mythique optimal d'enseignement de «tout et de tous», mais de l'enfant lui-même. Mais alors – nécessairement – ​​le professeur.

Dans le cours scolaire d'algèbre et de début d'analyse, de la 10e à la 11e année, lors de la réussite de l'examen d'État unifié pour un cours de lycée et lors des examens d'entrée aux universités, on rencontre des équations et des inégalités qui contiennent une inconnue dans la base et les exposants - ces sont des équations et des inégalités exponentielles.

Ils reçoivent peu d'attention à l'école ; il n'y a pratiquement aucun devoir sur ce sujet dans les manuels. Cependant, maîtriser la méthodologie pour les résoudre, me semble-t-il, est très utile : cela augmente les capacités mentales et créatives des étudiants, et des horizons complètement nouveaux s'ouvrent devant nous. En résolvant des problèmes, les étudiants acquièrent les premières compétences du travail de recherche, leur culture mathématique s'enrichit et leurs capacités de pensée logique se développent. Les écoliers développent des qualités de personnalité telles que la détermination, la détermination d'objectifs et l'indépendance, qui leur seront utiles plus tard dans la vie. Et il y a aussi la répétition, l'expansion et l'assimilation profonde du matériel pédagogique.

J'ai commencé à travailler sur ce sujet pour ma thèse en écrivant mes cours. Au cours de laquelle j'ai étudié et analysé en profondeur la littérature mathématique sur ce sujet, j'ai identifié la méthode la plus appropriée pour résoudre les équations exponentielles et les inégalités.

Cela réside dans le fait qu'en plus de l'approche généralement acceptée lors de la résolution d'équations exponentielles (la base est prise supérieure à 0) et lors de la résolution des mêmes inégalités (la base est prise supérieure à 1 ou supérieure à 0, mais inférieure à 1) , sont également considérés les cas où les bases sont négatives, égales à 0 et 1.

L'analyse des épreuves écrites des élèves montre que le manque de couverture de la question de la valeur négative de l'argument d'une fonction exponentielle dans les manuels scolaires leur pose un certain nombre de difficultés et conduit à des erreurs. Et ils ont également des problèmes au stade de la systématisation des résultats obtenus, où, du fait du passage à une équation - une conséquence ou une inégalité - une conséquence, des racines étrangères peuvent apparaître. Afin d'éliminer les erreurs, nous utilisons un test utilisant l'équation ou l'inégalité d'origine et un algorithme pour résoudre les équations exponentielles, ou un plan pour résoudre les inégalités exponentielles.

Pour que les étudiants réussissent les examens finaux et d'entrée, je pense qu'il est nécessaire d'accorder plus d'attention à la résolution des équations exponentielles et des inégalités en classe, ou en plus dans les cours au choix et les clubs.

Ainsi sujet , ma thèse se définit comme suit : « Équations de puissance exponentielles et inégalités ».

Objectifs de ce travail sont :

1. Analysez la littérature sur ce sujet.

2. Donner une analyse complète de la solution des équations exponentielles et des inégalités.

3. Fournissez un nombre suffisant d'exemples de différents types sur ce sujet.

4. Vérifiez en classe, au choix et en club comment les méthodes proposées pour résoudre les équations exponentielles et les inégalités seront perçues. Donnez des recommandations appropriées pour étudier ce sujet.

Sujet Notre recherche consiste à développer une méthodologie de résolution d’équations exponentielles et d’inégalités.

Le but et le sujet de l'étude nécessitaient de résoudre les problèmes suivants :

1. Étudier la littérature sur le sujet : « Équations de puissance exponentielles et inégalités ».

2. Maîtriser les techniques de résolution d'équations exponentielles et d'inégalités.

3. Sélectionnez le matériel de formation et développez un système d'exercices à différents niveaux sur le thème : « Résolution d'équations et d'inégalités exponentielles ».

Au cours de la recherche de thèse, plus de 20 articles ont été analysés sur l'utilisation de diverses méthodes de résolution d'équations exponentielles et d'inégalités. De là, nous obtenons.

Plan de thèse :

Introduction.

Chapitre I. Analyse de la littérature sur le sujet de recherche.

Chapitre II. Fonctions et leurs propriétés utilisées dans la résolution d'équations exponentielles et d'inégalités.

II.1. Fonction puissance et ses propriétés.

II.2. Fonction exponentielle et ses propriétés.

Chapitre III. Résolution d'équations de puissance exponentielle, d'algorithmes et d'exemples.

Chapitre IV. Résoudre les inégalités exponentielles, plan de solution et exemples.

Chapitre V. Expérience de conduite de cours avec des écoliers sur ce sujet.

1.Matériel de formation.

2.Tâches pour une solution indépendante.

Conclusion. Conclusions et offres.

Liste de la littérature utilisée.

Le chapitre I analyse la littérature

Beaucoup de gens pensent que les inégalités exponentielles sont quelque chose de complexe et d’incompréhensible. Et qu'apprendre à les résoudre est presque un grand art, que seuls les Élus sont capables de comprendre...

Une absurdité totale ! Les inégalités exponentielles sont faciles. Et ils sont toujours résolus simplement. Enfin, presque toujours :)

Aujourd'hui, nous examinerons ce sujet de fond en comble. Cette leçon sera très utile pour ceux qui commencent tout juste à comprendre cette section des mathématiques scolaires. Commençons par des problèmes simples et passons à des problèmes plus complexes. Il n’y aura pas de travail acharné aujourd’hui, mais ce que vous lirez maintenant suffira à résoudre la plupart des inégalités dans toutes sortes de tests et de travail indépendant. Et lors de votre examen aussi.

Comme toujours, commençons par la définition. Une inégalité exponentielle est toute inégalité contenant une fonction exponentielle. Autrement dit, elle peut toujours se réduire à une inégalité de la forme

\[((a)^(x)) \gt b\]

Où le rôle de $b$ peut être un nombre ordinaire, ou peut-être quelque chose de plus difficile. Exemples? Oui s'il vous plait:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\fin (aligner)\]

Je pense que le sens est clair : il existe une fonction exponentielle $((a)^(x))$, elle est comparée à quelque chose, puis on lui demande de trouver $x$. Dans des cas particulièrement cliniques, au lieu de la variable $x$, ils peuvent mettre une fonction $f\left(x \right)$ et ainsi compliquer un peu l'inégalité :)

Bien entendu, dans certains cas, l’inégalité peut paraître plus grave. Par exemple:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Ou encore ceci :

En général, la complexité de telles inégalités peut être très différente, mais en fin de compte elles se réduisent toujours à la simple construction $((a)^(x)) \gt b$. Et nous trouverons d'une manière ou d'une autre une telle construction (dans les cas notamment cliniques, quand rien ne nous vient à l'esprit, les logarithmes nous aideront). Par conséquent, nous allons maintenant vous apprendre à résoudre des constructions aussi simples.

Résoudre des inégalités exponentielles simples

Regardons quelque chose de très simple. Par exemple, ceci :

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Évidemment, le nombre de droite peut être réécrit comme une puissance de deux : $4=((2)^(2))$. Ainsi, l’inégalité originale peut être réécrite sous une forme très pratique :

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Et maintenant, j'ai hâte de « rayer » les deux dans les bases des puissances afin d'obtenir la réponse $x \gt 2$. Mais avant de rayer quoi que ce soit, rappelons les puissances de deux :

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Comme vous pouvez le voir, plus le nombre de l’exposant est grand, plus le nombre de sortie est grand. "Merci, Cap!" - s'exclamera l'un des étudiants. Est-ce différent ? Malheureusement, cela arrive. Par exemple:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ droite))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Ici aussi, tout est logique : plus le degré est grand, plus le nombre 0,5 est multiplié par lui-même (c'est-à-dire divisé en deux). Ainsi, la séquence de nombres résultante est décroissante et la différence entre la première et la deuxième séquence n'est que dans la base :

• Si la base du degré $a \gt 1$, alors à mesure que l'exposant $n$ augmente, le nombre $((a)^(n))$ augmentera également ;
• Et vice versa, si $0 \lt a \lt 1$, alors à mesure que l'exposant $n$ augmente, le nombre $((a)^(n))$ diminuera.

En résumant ces faits, nous obtenons l'énoncé le plus important sur lequel repose toute la solution des inégalités exponentielles :

Si $a \gt 1$, alors l'inégalité $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ est équivalente à l'inégalité $x \gt n$. Si $0 \lt a \lt 1$, alors l'inégalité $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ est équivalente à l'inégalité $x \lt n$.

En d'autres termes, si la base est supérieure à un, vous pouvez simplement la supprimer - le signe d'inégalité ne changera pas. Et si la base est inférieure à un, alors elle peut également être supprimée, mais vous devrez en même temps changer le signe d'inégalité.

Veuillez noter que nous n'avons pas pris en compte les options $a=1$ et $a\le 0$. Parce que dans ces cas-là, l’incertitude surgit. Disons comment résoudre une inégalité de la forme $((1)^(x)) \gt 3$ ? Un à n'importe quelle puissance en donnera à nouveau un - nous n'en aurons jamais trois ou plus. Ceux. il n'y a pas de solutions.

Avec des raisons négatives, tout est encore plus intéressant. Par exemple, considérons cette inégalité :

\[((\gauche(-2 \droite))^(x)) \gt 4\]

À première vue, tout est simple :

Droite? Mais non! Il suffit de remplacer $x$ par quelques nombres pairs et impairs pour s'assurer que la solution est incorrecte. Regarde:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Comme vous pouvez le constater, les signes alternent. Mais il existe aussi des pouvoirs fractionnaires et d’autres absurdités. Comment, par exemple, ordonneriez-vous de calculer $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (moins deux à la puissance sept) ? Certainement pas!

Par conséquent, pour être précis, nous supposons que dans toutes les inégalités exponentielles (et les équations, d'ailleurs aussi) $1\ne a \gt 0$. Et puis tout se résout très simplement :

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\fin (aligner) \right.\]

En général, rappelez-vous à nouveau la règle principale : si la base d'une équation exponentielle est supérieure à un, vous pouvez simplement la supprimer ; et si la base est inférieure à un, elle peut également être supprimée, mais le signe de l'inégalité changera.

Exemples de solutions

Examinons donc quelques inégalités exponentielles simples :

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01 ; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\fin (aligner)\]

La tâche principale dans tous les cas est la même : réduire les inégalités à la forme la plus simple $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. C'est exactement ce que nous allons faire maintenant avec chaque inégalité, et en même temps nous répéterons les propriétés des degrés et des fonctions exponentielles. Alors allons-y!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Que pouvez-vous faire ici? Eh bien, à gauche, nous avons déjà une expression indicative - rien n'a besoin d'être changé. Mais à droite il y a des conneries : une fraction, et même une racine au dénominateur !

Rappelons cependant les règles pour travailler avec les fractions et les puissances :

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\fin (aligner)\]

Qu'est-ce que ça veut dire? Premièrement, nous pouvons facilement nous débarrasser de la fraction en la transformant en une puissance avec un exposant négatif. Et deuxièmement, puisque le dénominateur a une racine, ce serait bien de le transformer en puissance - cette fois avec un exposant fractionnaire.

Appliquons ces actions séquentiellement au côté droit de l'inégalité et voyons ce qui se passe :

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

N'oubliez pas qu'en élevant un degré à une puissance, les exposants de ces degrés s'additionnent. Et en général, lorsqu'on travaille avec des équations exponentielles et des inégalités, il est absolument nécessaire de connaître au moins les règles les plus simples pour travailler avec les puissances :

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\fin (aligner)\]

En fait, nous venons d'appliquer la dernière règle. Par conséquent, notre inégalité originale sera réécrite comme suit :

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Maintenant on se débarrasse des deux à la base. Puisque 2 > 1, le signe de l’inégalité restera le même :

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

C'est la solution ! La principale difficulté ne réside pas du tout dans la fonction exponentielle, mais dans la transformation compétente de l'expression originale : il faut la ramener soigneusement et rapidement à sa forme la plus simple.

Considérons la deuxième inégalité :

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Tellement tellement. Des fractions décimales nous attendent ici. Comme je l'ai dit à plusieurs reprises, dans toutes les expressions avec des puissances, vous devez vous débarrasser des décimales - c'est souvent le seul moyen d'obtenir une solution simple et rapide. Ici, nous allons nous débarrasser de :

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\fin (aligner)\]

Là encore nous avons l'inégalité la plus simple, et même avec une base de 1/10, c'est-à-dire moins d'un. Eh bien, on supprime les bases, en changeant simultanément le signe de « moins » à « plus », et on obtient :

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\fin (aligner)\]

Nous avons reçu la réponse finale : $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Attention : la réponse est précisément un ensemble, et en aucun cas une construction de la forme $x \lt -1$. Car formellement, une telle construction n'est pas du tout un ensemble, mais une inégalité par rapport à la variable $x$. Oui, c'est très simple, mais ce n'est pas la réponse !

Note importante. Cette inégalité pourrait être résolue d’une autre manière : en réduisant les deux côtés à une puissance dont la base est supérieure à un. Regarde:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Après une telle transformation, nous obtiendrons à nouveau une inégalité exponentielle, mais avec une base de 10 > 1. Cela signifie que nous pouvons simplement rayer les dix - le signe de l'inégalité ne changera pas. On a:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\fin (aligner)\]

Comme vous pouvez le constater, la réponse était exactement la même. En même temps, nous nous sommes épargnés de la nécessité de changer de panneau et de nous souvenir généralement des règles :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Cependant, ne vous laissez pas effrayer. Quel que soit le contenu des indicateurs, la technologie utilisée pour résoudre les inégalités reste la même. Notons donc d’abord que 16 = 2 4. Réécrivons l'inégalité originale en tenant compte de ce fait :

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hourra! Nous avons l’inégalité quadratique habituelle ! Le signe n'a changé nulle part, puisque la base est deux - un nombre supérieur à un.

Zéros d'une fonction sur la droite numérique

Nous organisons les signes de la fonction $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - évidemment, son graphique sera une parabole avec des branches vers le haut, donc il y aura des « plus » " sur les côtés. Nous nous intéressons à la région où la fonction est inférieure à zéro, c'est-à-dire $x\in \left(2;5 \right)$ est la réponse au problème d'origine.

Enfin, considérons une autre inégalité :

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Encore une fois, nous voyons une fonction exponentielle avec une fraction décimale à la base. Convertissons cette fraction en une fraction commune :

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\gauche(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

Dans ce cas, nous avons utilisé la remarque donnée précédemment : nous avons réduit la base au nombre 5 > 1 afin de simplifier notre solution ultérieure. Faisons de même avec le côté droit :

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ à droite))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Réécrivons l'inégalité originale en tenant compte des deux transformations :

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

Les bases des deux côtés sont les mêmes et dépassent un. Il n'y a pas d'autres termes à droite et à gauche, donc on « raye » simplement les cinq et on obtient une expression très simple :

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

C'est là qu'il faut être plus prudent. De nombreux étudiants aiment simplement prendre la racine carrée des deux côtés de l'inégalité et écrire quelque chose comme $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Cela ne doit en aucun cas être fait , puisque la racine d'un carré exact est un module, et en aucun cas une variable originale :

\[\sqrt(((x)^(2)))=\gauche| x\droite|\]

Cependant, travailler avec des modules n’est pas l’expérience la plus agréable, n’est-ce pas ? Nous ne travaillerons donc pas. Au lieu de cela, nous déplaçons simplement tous les termes vers la gauche et résolvons l'inégalité habituelle en utilisant la méthode des intervalles :

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1 ; \\\fin(aligner)$

Nous marquons à nouveau les points obtenus sur la droite numérique et regardons les signes :

Puisque nous résolvions une inégalité non stricte, tous les points du graphique sont ombrés. Par conséquent, la réponse sera : $x\in \left[ -1;1 \right]$ n'est pas un intervalle, mais un segment.

De manière générale, je voudrais souligner qu'il n'y a rien de compliqué dans les inégalités exponentielles. La signification de toutes les transformations que nous avons effectuées aujourd'hui se résume à un algorithme simple :

• Trouver la base à laquelle nous réduirons tous les degrés ;
• Effectuez soigneusement les transformations pour obtenir une inégalité de la forme $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Bien sûr, à la place des variables $x$ et $n$, il peut y avoir des fonctions beaucoup plus complexes, mais la signification ne changera pas ;
• Rayez les bases des diplômes. Dans ce cas, le signe de l'inégalité peut changer si la base $a \lt 1$.

En fait, il s’agit d’un algorithme universel permettant de résoudre toutes ces inégalités. Et tout le reste qu'ils vous diront sur ce sujet ne sont que des techniques et astuces spécifiques qui simplifieront et accéléreront la transformation. Nous allons parler d'une de ces techniques maintenant :)

Méthode de rationalisation

Considérons un autre ensemble d'inégalités :

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Alors, qu’ont-ils de si spécial ? Ils sont légers. Mais arrêtez ! Le nombre π est-il élevé à une certaine puissance ? Quelle absurdité?

Comment élever le nombre $2\sqrt(3)-3$ à une puissance ? Ou $3-2\sqrt(2)$ ? Les auteurs du problème ont visiblement bu trop d'aubépine avant de se mettre au travail :)

En fait, ces tâches n’ont rien d’effrayant. Permettez-moi de vous rappeler : une fonction exponentielle est une expression de la forme $((a)^(x))$, où la base $a$ est n'importe quel nombre positif sauf un. Le nombre π est positif – nous le savons déjà. Les nombres $2\sqrt(3)-3$ et $3-2\sqrt(2)$ sont également positifs - c'est facile à voir si vous les comparez à zéro.

Il s'avère que toutes ces inégalités « effrayantes » sont résolues de la même manière que les simples évoquées ci-dessus ? Et sont-ils résolus de la même manière ? Oui, c'est tout à fait vrai. Cependant, en utilisant leur exemple, je voudrais considérer une technique qui permet de gagner beaucoup de temps sur le travail indépendant et les examens. Nous parlerons de la méthode de rationalisation. Alors attention :

Toute inégalité exponentielle de la forme $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ est équivalente à l'inégalité $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ à droite) \gt 0 $.

C'est toute la méthode. :) Pensiez-vous qu'il y aurait une sorte de autre jeu ? Rien de tel ! Mais ce simple fait, écrit littéralement sur une seule ligne, simplifiera grandement notre travail. Regarde:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Il n’y a donc plus de fonctions exponentielles ! Et vous n’avez pas besoin de vous rappeler si le signe change ou non. Mais un nouveau problème surgit : que faire de ce foutu multiplicateur \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] ? Nous ne savons pas quelle est la valeur exacte du nombre π. Cependant, le capitaine semble faire allusion à une évidence :

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

En général, la valeur exacte de π ne nous concerne pas vraiment - il est seulement important pour nous de comprendre que dans tous les cas $\text()\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. c'est une constante positive, et nous pouvons diviser les deux côtés de l'inégalité par elle :

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Comme vous pouvez le constater, à un moment donné, nous avons dû diviser par moins un - et le signe de l'inégalité a changé. À la fin, j'ai développé le trinôme quadratique en utilisant le théorème de Vieta - il est évident que les racines sont égales à $((x)_(1))=5$ et $((x)_(2))=-1$ . Ensuite, tout est résolu en utilisant la méthode classique des intervalles :

Tous les points sont supprimés car l'inégalité d'origine est stricte. Nous nous intéressons à la région avec des valeurs négatives, donc la réponse est $x\in \left(-1;5 \right)$. C'est la solution :)

Passons à la tâche suivante :

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Tout ici est généralement simple, car il y a une unité à droite. Et nous nous souvenons que un est n’importe quel nombre élevé à la puissance zéro. Même si ce nombre est une expression irrationnelle à la base à gauche :

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\fin (aligner)\]

Eh bien, rationalisons :

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Il ne reste plus qu'à comprendre les signes. Le facteur $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ne contient pas la variable $x$ - c'est juste une constante, et nous devons connaître son signe. Pour ce faire, notez les points suivants :

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrice)\]

Il s’avère que le deuxième facteur n’est pas seulement une constante, mais une constante négative ! Et en divisant par celui-ci, le signe de l'inégalité d'origine change à l'opposé :

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Maintenant, tout devient complètement évident. Les racines du trinôme carré de droite sont : $((x)_(1))=0$ et $((x)_(2))=2$. Nous les marquons sur la droite numérique et regardons les signes de la fonction $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ :

Nous nous intéressons aux intervalles marqués d'un signe plus. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse :

Passons à l'exemple suivant :

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ à droite))^(16-x))\]

Eh bien, tout est ici complètement évident : les bases contiennent des puissances du même nombre. Par conséquent, je vais tout écrire brièvement :

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ gauche(16-x \droite))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Comme vous pouvez le voir, au cours du processus de transformation, nous avons dû multiplier par un nombre négatif, le signe de l'inégalité a donc changé. À la toute fin, j'ai de nouveau appliqué le théorème de Vieta pour factoriser le trinôme quadratique. En conséquence, la réponse sera la suivante : $x\in \left(-8;4 \right)$ - n'importe qui peut le vérifier en traçant une droite numérique, en marquant les points et en comptant les signes. En attendant, nous allons passer à la dernière inégalité de notre « ensemble » :

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Comme vous pouvez le voir, à la base il y a encore un nombre irrationnel, et à droite il y a encore une unité. Par conséquent, nous réécrivons notre inégalité exponentielle comme suit :

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ à droite))^(0))\]

Nous appliquons la rationalisation :

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Cependant, il est bien évident que $1-\sqrt(2) \lt 0$, puisque $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Par conséquent, le deuxième facteur est à nouveau une constante négative, par laquelle les deux côtés de l’inégalité peuvent être divisés :

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\fin(matrice)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Déplacer vers une autre base

Un problème distinct lors de la résolution des inégalités exponentielles est la recherche de la base « correcte ». Malheureusement, il n'est pas toujours évident au premier coup d'œil sur une tâche de savoir quoi prendre comme base et quoi faire en fonction du degré de cette base.

Mais ne vous inquiétez pas : il n’y a pas de technologie magique ou « secrète » ici. En mathématiques, toute compétence qui ne peut pas être algorithmisée peut être facilement développée par la pratique. Mais pour cela, vous devrez résoudre des problèmes de différents niveaux de complexité. Par exemple, comme ceci :

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ fin(aligner)\]

Difficile? Effrayant? C'est plus facile que de heurter un poulet sur l'asphalte ! Essayons. Première inégalité :

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Eh bien, je pense que tout est clair ici :

Nous réécrivons l'inégalité d'origine, en réduisant tout à la base deux :

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Oui, oui, vous avez bien entendu : je viens d'appliquer la méthode de rationalisation décrite ci-dessus. Maintenant, nous devons travailler avec soin : nous avons une inégalité fractionnaire-rationnelle (c'est celle qui a une variable au dénominateur), donc avant d'assimiler quoi que ce soit à zéro, nous devons tout ramener à un dénominateur commun et nous débarrasser du facteur constant .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Nous utilisons maintenant la méthode des intervalles standard. Zéros du numérateur : $x=\pm 4$. Le dénominateur ne tend vers zéro que lorsque $x=0$. Il y a trois points au total qui doivent être marqués sur la droite numérique (tous les points sont épinglés car le signe d'inégalité est strict). On a:

Comme vous pouvez le deviner, l'ombrage marque les intervalles auxquels l'expression de gauche prend des valeurs négatives. Par conséquent, la réponse finale comprendra deux intervalles à la fois :

Les extrémités des intervalles ne sont pas incluses dans la réponse car l’inégalité initiale était stricte. Aucune vérification supplémentaire de cette réponse n’est requise. À cet égard, les inégalités exponentielles sont bien plus simples que les inégalités logarithmiques : pas d'ODZ, pas de restrictions, etc.

Passons à la tâche suivante :

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Il n'y a pas de problèmes ici non plus, puisque nous savons déjà que $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, donc toute l'inégalité peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\gauche(-2 \droite) \droite. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Attention : dans la troisième ligne, j'ai décidé de ne pas perdre de temps en bagatelles et de tout diviser immédiatement par (−2). Minul est entré dans la première tranche (il y a maintenant des avantages partout) et deux ont été réduits avec un facteur constant. C'est exactement ce que vous devez faire lorsque vous préparez de vrais calculs pour des travaux indépendants et des tests : vous n'avez pas besoin de décrire directement chaque action et transformation.

Ensuite, la méthode familière des intervalles entre en jeu. Des zéros au numérateur : mais il n’y en a pas. Parce que le discriminant sera négatif. À son tour, le dénominateur n'est réinitialisé que lorsque $x=0$ - comme la dernière fois. Eh bien, il est clair qu'à droite de $x=0$ la fraction prendra des valeurs positives et à gauche - négative. Puisque nous nous intéressons aux valeurs négatives, la réponse finale est : $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Que faire des fractions décimales dans les inégalités exponentielles ? C'est vrai : débarrassez-vous-en et transformez-les en objets ordinaires. Nous traduirons ici :

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ gauche(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\droite))^(x)). \\\fin (aligner)\]

Alors qu’avons-nous trouvé dans les fondements des fonctions exponentielles ? Et nous avons deux nombres mutuellement inverses :

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ droite))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ gauche(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

Ainsi, l’inégalité originale peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\fin (aligner)\]

Bien sûr, lorsqu’on multiplie des puissances avec la même base, leurs exposants s’additionnent, ce qui s’est produit dans la deuxième ligne. De plus, nous avons représenté l'unité de droite, également comme puissance en base 4/25. Il ne reste plus qu'à rationaliser :

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Notez que $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, c'est-à-dire le deuxième facteur est une constante négative, et lors de la division par celui-ci, le signe d'inégalité changera :

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Enfin, la dernière inégalité de « l’ensemble » actuel :

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

En principe, l'idée de la solution ici est également claire : toutes les fonctions exponentielles incluses dans l'inégalité doivent être réduites à la base « 3 ». Mais pour cela il va falloir bricoler un peu les racines et les pouvoirs :

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\fin (aligner)\]

Compte tenu de ces faits, l’inégalité originale peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\fin (aligner)\]

Faites attention aux 2ème et 3ème lignes de calcul : avant de faire quoi que ce soit avec l'inégalité, assurez-vous de la mettre sous la forme dont nous avons parlé dès le début de la leçon : $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Tant que vous avez des facteurs gauchers, des constantes supplémentaires, etc. à gauche ou à droite, aucune rationalisation ou « rayure » de motifs ne peut être effectuée! D’innombrables tâches ont été mal exécutées en raison d’une incapacité à comprendre ce simple fait. J'observe moi-même constamment ce problème avec mes étudiants alors que l'on commence tout juste à analyser les inégalités exponentielles et logarithmiques.

Mais revenons à notre tâche. Essayons cette fois de nous passer de rationalisation. Rappelons-nous : la base du degré est supérieure à un, donc les triplets peuvent simplement être barrés - le signe d'inégalité ne changera pas. On a:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

C'est tout. Réponse finale : $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Isoler une expression stable et remplacer une variable

En conclusion, je propose de résoudre quatre inégalités exponentielles supplémentaires, déjà assez difficiles pour les étudiants non préparés. Pour y faire face, vous devez vous rappeler les règles à suivre pour travailler avec des diplômes. En particulier, mettre entre parenthèses les facteurs communs.

Mais le plus important est d’apprendre à comprendre ce qui peut exactement être retiré des parenthèses. Une telle expression est dite stable - elle peut être désignée par une nouvelle variable et ainsi se débarrasser de la fonction exponentielle. Voyons donc les tâches :

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90 ; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500 ; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Commençons par la toute première ligne. Écrivons séparément cette inégalité :

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Notez que $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, donc la main droite le côté peut être réécrit :

Notez qu'il n'y a pas d'autres fonctions exponentielles sauf $((5)^(x+1))$ dans l'inégalité. Et en général, la variable $x$ n'apparaît nulle part ailleurs, introduisons donc une nouvelle variable : $((5)^(x+1))=t$. On obtient la construction suivante :

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6 ; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Nous revenons à la variable d'origine ($t=((5)^(x+1))$), et en même temps rappelons que 1=5 0 . Nous avons:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\fin (aligner)\]

C'est la solution ! Réponse : $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Passons à la deuxième inégalité :

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tout est pareil ici. Notez que $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Alors le côté gauche peut être réécrit :

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90 ; \\ & 10t\ge 90 ; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\fin (aligner)\]

C'est à peu près ainsi que vous devez élaborer une solution pour des tests réels et un travail indépendant.

Eh bien, essayons quelque chose de plus compliqué. Par exemple, voici l'inégalité :

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Quel est le problème ici ? Tout d'abord, les bases des fonctions exponentielles de gauche sont différentes : 5 et 25. Cependant, 25 = 5 2, donc le premier terme peut être transformé :

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(aligner )\]

Comme vous pouvez le voir, au début, nous avons tout mis sur la même base, puis nous avons remarqué que le premier terme peut facilement être réduit au second - il suffit de développer l'exposant. Vous pouvez maintenant introduire en toute sécurité une nouvelle variable : $((5)^(2x+2))=t$, et toute l'inégalité sera réécrite comme suit :

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500 ; \\&4t\ge 2500 ; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Et encore une fois, aucune difficulté ! Réponse finale : $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Passons à l'inégalité finale de la leçon d'aujourd'hui :

\[((\gauche(0,5 \droite))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

La première chose à laquelle vous devez faire attention est, bien sûr, la fraction décimale dans la base de la puissance première. Il faut s'en débarrasser, et en même temps ramener toutes les fonctions exponentielles à la même base - le chiffre « 2 » :

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Super, nous avons fait le premier pas : tout a conduit au même fondement. Vous devez maintenant sélectionner une expression stable. Notez que $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Si nous introduisons une nouvelle variable $((2)^(4x+6))=t$, alors l'inégalité d'origine peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768 ; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt2 ; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\fin (aligner)\]

Naturellement, la question peut se poser : comment avons-nous découvert que 256 = 2 8 ? Malheureusement, ici, il suffit de connaître les puissances de deux (et en même temps les puissances de trois et cinq). Eh bien, ou divisez 256 par 2 (vous pouvez diviser, puisque 256 est un nombre pair) jusqu'à ce que nous obtenions le résultat. Cela ressemblera à ceci :

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Il en va de même avec trois (les nombres 9, 27, 81 et 243 sont ses degrés) et avec sept (les nombres 49 et 343 seraient également bons à retenir). Eh bien, le cinq a aussi de « beaux » diplômes qu’il faut connaître :

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625 ; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\fin (aligner)\]

Bien entendu, si vous le souhaitez, tous ces nombres peuvent être restitués dans votre esprit en les multipliant simplement successivement les uns par les autres. Cependant, lorsque vous devez résoudre plusieurs inégalités exponentielles et que chacune des inégalités suivantes est plus difficile que la précédente, la dernière chose à laquelle vous voulez penser est la puissance de certains nombres. Et en ce sens, ces problèmes sont plus complexes que les inégalités « classiques » résolues par la méthode des intervalles.

Cours et présentation sur le thème : "Équations exponentielles et inégalités exponentielles"

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Manuel interactif pour les classes 10-11 « Logarithmes »

Définition des équations exponentielles

Définition. Les équations de la forme : $a^(f(x))=a^(g(x))$, où $a>0$, $a≠1$ sont appelées équations exponentielles.

Rappel des théorèmes que nous avons étudiés dans le sujet " Fonction exponentielle", on peut introduire un nouveau théorème :
Théorème. Équation exponentielle$a^(f(x))=a^(g(x))$, où $a>0$, $a≠1$ est équivalent à l'équation $f(x)=g(x)$.

Exemples d'équations exponentielles

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Ensuite, notre équation peut être réécrite : $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Réponse : $x=0$.

C) L'équation originale est équivalente à l'équation : $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ et $x_2=-3$.
Réponse : $x_1=6$ et $x_2=-3$.

Exemple.
Résolvez l'équation : $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Solution:
Effectuons une série d'actions séquentiellement et ramenons les deux côtés de notre équation aux mêmes bases.
Effectuons un certain nombre d'opérations sur le côté gauche :
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Passons au côté droit :
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
L'équation originale est équivalente à l'équation :
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Réponse : $x=0$.

Exemple.
Résolvez l'équation : $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Solution:
Réécrivons notre équation : $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Faisons un changement de variables, soit $a=3^x$.
En neuf équation variable prendra la forme : $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ et $a_2=3$.
Effectuons le changement inverse des variables : $3^x=-12$ et $3^x=3$.
Dans la dernière leçon, nous avons appris que les expressions exponentielles ne peuvent prendre que des valeurs positives, rappelez-vous le graphique. Cela signifie que la première équation n'a pas de solutions, la deuxième équation a une solution : $x=1$.
Réponse : $x=1$.

Rappelons comment résoudre des équations exponentielles :
1. Méthode graphique. Nous représentons les deux côtés de l'équation sous forme de fonctions et construisons leurs graphiques, trouvons les points d'intersection des graphiques. (Nous avons utilisé cette méthode dans la dernière leçon).
2. Le principe d'égalité des indicateurs. Le principe repose sur le fait que deux expressions avec pour les mêmes raisons sont égaux si et seulement si les degrés (indicateurs) de ces bases sont égaux. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Méthode de remplacement variable. Cette méthode Cela vaut la peine de l'utiliser si l'équation, lors du remplacement de variables, simplifie sa forme et est beaucoup plus facile à résoudre.

Exemple.
Résolvez le système d'équations : $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \fin (cas)$.
Solution.
Considérons les deux équations du système séparément :
27 $^y*3^x=1$.
3 $^(3 ans)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Considérons la deuxième équation :
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Utilisons la méthode de changement de variables, soit $y=2^(x+y)$.
L’équation prendra alors la forme :
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ et $y_2=-3$.
Passons aux variables initiales, à partir de la première équation on obtient $x+y=2$. La deuxième équation n'a pas de solution. Puis notre système initialéquations est équivalent au système : $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \fin (cas)$.
Soustrayez la seconde de la première équation, nous obtenons : $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \fin (cas)$.
$\begin (cas) y=-1, \\ x=3. \fin (cas)$.
Réponse : $(3;-1)$.

Inégalités exponentielles

Théorème. Si $a>1$, alors inégalité exponentielle$a^(f(x))>a^(g(x))$ est équivalent à l'inégalité $f(x)>g(x)$.
Si 0 $ a^(g(x))$ est équivalent à l'inégalité $f(x)

Exemple.
Résoudre les inégalités :
une) 3$^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Solution.
une) 3$^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Notre inégalité équivaut à l'inégalité :
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Dans notre équation, la base est lorsque le degré est inférieur à 1, alors lors du remplacement d'une inégalité par une inégalité équivalente, il est nécessaire de changer de signe.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Notre inégalité est équivalente à l'inégalité :
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Utilisons la méthode de solution par intervalles :
Réponse : $(-∞;-5]U)