Considérons d'abord le cas où la quantité à dépend d'une seule variable X, qui se trouve par mesure directe,

Moyenne arithmétique<oui> peut être trouvé en remplaçant en (8) X moyenne arithmétique<X>.

.

L'erreur absolue peut être considérée comme l'incrément de la fonction (8) avec l'incrément de l'argument ∆ X(erreur totale de la valeur mesurée X). Pour les petites valeurs de ∆ X elle est approximativement égale à la différentielle de la fonction

, (9)

où est la dérivée de la fonction calculée en . L'erreur relative sera égale à

.

Que la quantité étant déterminée à est fonction de plusieurs variables x je,

. (10)

On suppose que les erreurs de toutes les quantités dans la formule de travail sont aléatoires, indépendantes et calculées avec la même probabilité de confiance (par exemple R.= 0,95). L'erreur de la valeur souhaitée aura la même probabilité de confiance. Dans ce cas, la valeur la plus probable de la quantité<à> déterminé par la formule (10), en utilisant les valeurs les plus probables des quantités pour le calcul X i, c'est-à-dire leurs valeurs moyennes :

<à> = f(<x 1 >, <x 2 >, …,<x je >, …,<x m>).

Dans ce cas, l'erreur absolue du résultat final Δ à déterminé par la formule

, (11)

où ∂ à/∂X je – dérivées partielles de la fonction à par argumentation X je , calculé pour les valeurs de quantités les plus probables X je. La dérivée partielle est la dérivée calculée à partir de la fonction à par argumentation X j'ai fourni que tous les autres arguments soient considérés comme constants.

Erreur relative de valeur à on obtient en divisant ∆ à sur<y>

. (12)

En tenant compte de (1/ à) jour/dx représente la dérivée par rapport à Xà partir du logarithme népérien à l'erreur relative peut s'écrire comme suit

. (13)

La formule (12) est plus pratique à utiliser dans les cas où, en fonction de (10), les quantités mesurées x je sont inclus principalement sous forme de termes, et la formule (13) est pratique pour les calculs lorsque (10) est un produit de quantités X je. Dans ce dernier cas, le logarithme préliminaire d'expression (10) simplifie considérablement la forme des dérivées partielles. Quantité mesurée à est une quantité dimensionnelle et il est impossible de logarithmer une quantité dimensionnelle. Pour éliminer cette erreur, vous devez séparer àà une constante ayant une dimension donnée. Après logarithmisation, vous obtenez un terme supplémentaire qui ne dépend pas des quantités X je et disparaîtra donc lors de la prise de dérivées partielles, puisque la dérivée d'une valeur constante est égale à zéro. Par conséquent, lors de la prise de logarithmes, la présence d'un tel terme est simplement supposée.

Considérant la relation simple entre les erreurs absolues et relatives ε oui = Δ à/<à>, facilement basé sur la valeur connue Δ à calculer ε oui et vice versa.

La relation fonctionnelle entre les erreurs des mesures directes et l'erreur des mesures indirectes pour certains cas simples est donnée dans le tableau. 3.

Considérons quelques cas particuliers qui surviennent lors du calcul des erreurs de mesure. Les formules ci-dessus pour calculer les erreurs dans les mesures indirectes ne sont valables que lorsque toutes X je suis des quantités indépendantes et sont mesurées par divers instruments et méthodes. En pratique, cette condition n’est pas toujours remplie. Par exemple, si des grandeurs physiques en dépendance (10) sont mesurées par le même appareil, alors les erreurs de l'instrument Δ X i pr de ces grandeurs ne sera plus indépendant, et l'erreur instrumentale de la grandeur indirectement mesurée Δ à pr dans ce cas, elle sera légèrement plus grande qu'avec la « sommation quadratique ». Par exemple, si l'aire d'une plaque d'une longueur je et largeur b Mesuré avec un pied à coulisse, l'erreur relative de l'instrument de mesure indirecte sera

(ΔS/S) pr = (Δ je/je) pr + ( Δb/b)pr,

ceux. les erreurs sont résumées arithmétiquement (erreurs Δ jeà Δb du même signe et leurs valeurs sont les mêmes), au lieu de l'erreur instrumentale relative

avec des erreurs indépendantes.

Tableau 3

Lien fonctionnel entre les erreurs de mesures directes et indirectes

Formule de travail	Formule de calcul de l'erreur

Lors de la réalisation de mesures, il peut y avoir des cas où les valeurs X j'ai différentes valeurs spécialement modifiées ou spécifiées au cours de l'expérience, par exemple, la viscosité d'un liquide selon la méthode Poiseuille est déterminée pour différentes hauteurs de la colonne de liquide au-dessus du capillaire, ou l'accélération de la gravité g est déterminée en utilisant un pendule mathématique pour différentes longueurs). Dans de tels cas, la valeur de la grandeur indirectement mesurée doit être calculée à dans chacune des n expériences séparément, et prenons la valeur moyenne comme valeur la plus probable, c'est-à-dire . Erreur aléatoire Δ à sl calculé comme l’erreur de mesure directe. Calcul de l'erreur de l'instrument Δ à pr est produite par dérivées partielles à l'aide de la formule (11), et l'erreur totale finale de la valeur indirectement mesurée est calculée à l'aide de la formule

Le résultat de la mesure directe n'est pas la vraie valeur X quantité mesurée, et une série de n valeurs . Laisse-le maintenant

En résumant la dernière égalité, on obtient

(7)

Où moyenne arithmétique des valeurs mesurées . Ainsi,

(8)

Des conséquences très importantes découlent de ce simple résultat. En effet, quand

Et
.

Cela signifie que pour un nombre infiniment grand de dimensions
et donc à fini n Plus le nombre de mesures est grand, plus le résultat se rapproche de la moyenne arithmétique. Il s’ensuit également que lors de l’évaluation ∆ X comme
il est conseillé de prendre .

En pratique n bien sûr et
. La tâche de la théorie mathématique de l'erreur aléatoire comprend l'estimation de l'intervalle

qui contient la vraie valeur de la grandeur mesurée. L'intervalle (9) est appelé intervalle de confiance, et la valeur
–erreur absolue du résultat d'une série de mesures. Théorie de l'évaluation ∆ X est assez complexe, c’est pourquoi seuls ses principaux résultats seront considérés ici. Tout d'abord, il convient de noter que, puisque X– variable aléatoire, erreur ∆ X ne peut être déterminé qu’à un degré ou à un autre fiabilité α , qu'on appelle aussi probabilité de confiance. La probabilité de confiance est la probabilité que la vraie valeur de la quantité mesurée X se situe dans l’intervalle de confiance (9). Si tu mets α =1 (100%), alors cela correspondra à un événement fiable, c'est-à-dire la probabilité que X prend une certaine valeur dans l'intervalle (
). En même temps
. Évidemment, ce choix de fiabilité α inapproprié. Au petit α intervalle de confiance ∆ X déterminé avec une faible fiabilité. Dans ce qui suit nous supposerons α =0,90 ou 0,95. L’intervalle de confiance et la fiabilité sont interdépendants. Pour estimer les limites de l'intervalle de confiance, le mathématicien anglais W. Gosset (qui a publié ses travaux sous le pseudonyme de Student) a introduit le coefficient en 1908 :

(10)

égal au taux d'erreur ∆ X signifier l'erreur quadratique*

(11)

Coefficient ça dépend de la fiabilité α , ainsi que sur le nombre de mesures n et s'appelle Coefficient d'étudiant. Ce coefficient est tabulé (voir annexe 1), donc le calcul et définir la probabilité de confiance α , il n'est pas difficile de trouver une erreur aléatoire :

(12)

Calcul de l'erreur des mesures indirectes.

Dans les mesures indirectes, la quantité mesurée f se trouve à partir de la dépendance fonctionnelle :

Où x, oui, z– les résultats de mesures directes. Formule pour ∆ f peut être obtenu en remplaçant les différentielles de (2) par des erreurs et en prenant tous les termes modulo

(13)

La relation (13) est recommandée pour estimer l'erreur ∆ f, provoqué par des erreurs d'instrument de la valeur x, y, z,... Pour estimer l'erreur associée aux erreurs aléatoires dans les mesures directes, le rapport suivant est recommandé :

(14)

Il faut effectivement noter que les formules (13) et (14) conduisent à des résultats quasiment identiques. Les dérivées dans (13) et (14) sont prises en moyenne, c'est-à-dire aux valeurs mesurées des arguments.

Fonctionne très souvent f représenté par une dépendance de pouvoir à l'égard des arguments

(15)

où c, n, m et p sont des constantes. Un cas particulier de la formule (15) sont les relations
,
etc.

Exercice. Montrer que pour une fonction de la forme (15), les formules (13) et (14) prennent la forme :

(13)

(14)

Des relations (13) et (14), il s'ensuit que pour les fonctions puissance, le calcul des erreurs est considérablement simplifié, et il est conseillé de trouver d'abord l'erreur relative, qui s'exprime par l'erreur relative des mesures directes, puis de trouver l'erreur absolue. erreur

(16)

Sous s'entend en fonction des valeurs moyennes (mesurées) des arguments

.

Algorithme de calcul des erreurs

- Pour des mesures directes

1. Calculer la moyenne arithmétique des résultats
série de n mesures :

Commentaire: lors du calcul Il est plus pratique de partir de la formule :

Où - toute valeur pratique proche de .

2. Trouver les écarts des mesures individuelles par rapport à la valeur moyenne

Commentaire.À
peut être mis
et compter selon la formule

5. Si
, alors l'erreur aléatoire ne peut pas être comptée.

6. Sinon, définissez la probabilité de confiance et trouvez le coefficient de Student dans le tableau .

Remarque 1. Si l'erreur de l'instrument
a le même ordre de grandeur que , alors l'erreur absolue du résultat d'une série de mesures est trouvée par la formule :

Où
Presque en qualité
vous pouvez prendre la valeur du tableau
correspondant à la plus grande des valeurs qui y sont données n(Par exemple, n=500 ) .

Remarque 2. Pour un grand nombre de mesures
peut être mis

Où
.

8. Présentez le résultat de la mesure sous la forme :

- Pour les mesures indirectes

Erreur
la mesure indirecte peut être calculée à l'aide de l'une des formules (13), (14), (13*), (14*). Les deux dernières formules sont valables pour les dépendances en loi de puissance, et les relations (13) et (14) sont de nature générale.

Résumé des relations pour le calcul de l'erreur de mesure indirecte
pour certaines dépendances fonctionnelles simples est présenté dans le tableau.

Exemple. Laissez la chaleur Joule Q être calculée par la formule

Puisqu'il s'agit d'une dépendance en loi de puissance, il est conseillé d'utiliser la formule (13*)

Règles de présentation des résultats de mesure et de leurs erreurs

Les incertitudes ne peuvent être qu’estimées ; il suffit donc généralement d’indiquer l’incertitude à un chiffre significatif. Par exemple, Δm = 0,2 g.
d.Enregistrement T = 3,0 g signifie que la mesure a été effectuée avec une précision au dixième de gramme. Cependant, dans les calculs intermédiaires, il est conseillé de laisser des chiffres plus significatifs.

Les règles d'arrondi des nombres (résultats de mesure) sont illustrées dans le tableau (faites attention aux caractéristiques d'arrondi du nombre 5).

Tableau Arrondi aux dixièmes de chiffres significatifs

Il est d'usage d'arrondir le résultat de la mesure de manière à ce que la valeur numérique se termine par un chiffre du même chiffre que la valeur d'erreur. Par exemple, enregistrez

cm.

inacceptable, parce que La valeur même de l'erreur Δl = 0,1 cm indique que les nombres 018 du résultat ne peuvent être garantis. Vous devez l'écrire comme ceci :
cm.

Lors du traitement des résultats de mesures indirectes d'une grandeur physique fonctionnellement liée aux grandeurs physiques A, B et C, qui sont mesurées directement, déterminez d'abord l'erreur relative de la mesure indirecte e = DХ/Х inc, en utilisant les formules données dans le tableau (sans preuve).

L'erreur absolue est déterminée par la formule DX = X pr * e,

où e est exprimé sous forme décimale plutôt que sous forme de pourcentage.

Le résultat final est enregistré de la même manière que dans le cas de mesures directes

(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm utile) Comment prendre des mesures correctement http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220

Exemple: Calculons l'erreur de mesure du coefficient de frottement à l'aide d'un dynamomètre. L'expérience consiste à tirer un bloc uniformément sur une surface horizontale et à mesurer la force appliquée : elle est égale à la force de frottement de glissement.

A l'aide d'un dynamomètre, on pèse le bloc avec des poids : 1,8 N. F tr = 0,6 N

µ = 0,33. L'erreur instrumentale du dynamomètre (on la trouve dans le tableau) est Δ et = 0,05 N, Erreur de lecture (la moitié de la valeur de division)

Δo =0,05N. L'erreur absolue dans la mesure du poids et de la force de frottement est de 0,1 N.

Erreur de mesure relative (5ème ligne du tableau)

Par conséquent, l'erreur absolue de la mesure indirecte μ est de 0,22*0,33=0,074.

Répondre:

Mesurer une grandeur physique signifie la comparer à une autre grandeur homogène prise comme unité de mesure. La mesure peut être effectuée à l'aide de :

1. les mesures, qui sont des exemples d'unité de mesure (mètre, poids, litre de récipient, etc.),

2. instruments de mesure (ampèremètre, manomètre, etc.),

3. les installations de mesure, qui s'entendent comme un ensemble de mesures, d'instruments de mesure et d'éléments auxiliaires.

Les mesures peuvent être directes ou indirectes. En mesures directes une grandeur physique est mesurée directement. Les mesures directes consistent par exemple à mesurer la longueur avec une règle, le temps avec un chronomètre et le courant avec un ampèremètre.

En mesures indirectes Ils mesurent directement non pas la quantité dont il faut connaître la valeur, mais d'autres quantités avec lesquelles la quantité désirée est liée par une certaine relation mathématique. Par exemple, la densité d’un corps est déterminée en mesurant sa masse et son volume, et la résistance est déterminée en mesurant son courant et sa tension.

En raison de l'imperfection des mesures et des instruments de mesure, ainsi que de nos sens, les mesures ne peuvent pas être effectuées avec précision, c'est-à-dire Chaque mesure ne donne qu'un résultat approximatif. De plus, la raison de l'écart des résultats de mesure est souvent la nature de la grandeur mesurée elle-même. Par exemple, la température mesurée par un thermomètre ou un thermocouple à un certain point d'un four fluctue en raison de la convection et de la conduction dans certaines limites. Une mesure permettant d'évaluer l'exactitude d'un résultat de mesure est erreur de mesure (erreur de mesure).

Pour évaluer la précision, l'erreur absolue ou l'erreur de mesure relative est indiquée. Erreur absolue exprimé en unités de la quantité mesurée. Par exemple, la distance parcourue par un corps est mesurée avec une erreur absolue. L'erreur de mesure relative est le rapport de l'erreur absolue à la valeur de la grandeur mesurée. Dans l'exemple donné, l'erreur relative est . Plus l’erreur de mesure est faible, plus sa précision est élevée.

Selon les sources de leur origine, les erreurs de mesure sont divisées en systématiques, aléatoires et grossières (erreurs).

1. Erreurs systématiques- les erreurs de mesure dont la valeur reste constante lors de mesures répétées effectuées selon la même méthode, à l'aide des mêmes instruments de mesure. Les causes des erreurs systématiques sont :

· dysfonctionnements, inexactitudes des instruments de mesure

· illégalité, inexactitude de la technique de mesure utilisée

Un exemple d'erreurs systématiques serait la mesure de la température avec un thermomètre avec un point zéro déplacé, la mesure du courant avec un ampèremètre mal calibré ou la pesée d'un corps sur une balance à l'aide de poids sans tenir compte de la poussée d'Archimède.

Pour éliminer ou réduire les erreurs systématiques, il est nécessaire de vérifier soigneusement les instruments de mesure, de mesurer les mêmes valeurs en utilisant différentes méthodes et d'introduire des corrections lorsque des erreurs sont connues (corrections de la poussée d'Archimède, corrections des lectures du thermomètre).

2. Erreurs grossières (manques)- un excès significatif de l'erreur attendue dans les conditions de mesure données. Les erreurs apparaissent à la suite d'un enregistrement incorrect des lectures de l'instrument, de lectures incorrectes sur l'instrument ou d'erreurs de calcul lors de mesures indirectes. La source des erreurs est l’inattention de l’expérimentateur. Le moyen d'éliminer ces erreurs réside dans la précision de l'expérimentateur, en évitant la réécriture des protocoles de mesure.

3. Erreurs aléatoires- les erreurs dont l'ampleur change de manière aléatoire lors de mesures répétées d'une même grandeur selon la même méthode et avec les mêmes instruments. La source des erreurs aléatoires est l’irreproductibilité incontrôlée des conditions de mesure. Par exemple, lors d’une mesure, la température, l’humidité, la pression atmosphérique, la tension du réseau électrique et l’état des organes sensoriels de l’expérimentateur peuvent changer de manière incontrôlée. Des erreurs aléatoires ne peuvent pas être exclues. Lors de mesures répétées, les erreurs aléatoires obéissent à des lois statistiques, et leur influence peut être prise en compte.

Toutes les mesures sont toujours effectuées avec quelques erreurs liées à la précision limitée des instruments de mesure, au choix incorrect et à l'erreur de la méthode de mesure, à la physiologie de l'expérimentateur, aux caractéristiques des objets mesurés, aux changements des conditions de mesure, etc. Par conséquent, la tâche de mesure consiste à trouver non seulement la valeur elle-même, mais également l'erreur de mesure, c'est-à-dire l'intervalle dans lequel se situe le plus probablement la vraie valeur de la quantité mesurée. Par exemple, en mesurant une période de temps t avec un chronomètre avec une valeur de division de 0,2 s, on peut dire que sa vraie valeur est dans l'intervalle de s à
Avec. Ainsi, la valeur mesurée contient toujours une erreur
, Où et X sont respectivement les valeurs vraies et mesurées de la grandeur étudiée. Ampleur
appelé erreur absolue(erreur) de mesure, et l'expression
, qui caractérise la précision de la mesure, est appelé erreur relative.

Il est tout à fait naturel pour l’expérimentateur de s’efforcer d’effectuer chaque mesure avec la plus grande précision possible, mais une telle approche n’est pas toujours recommandée. Plus on veut mesurer avec précision telle ou telle grandeur, plus les instruments que l'on doit utiliser sont complexes, plus ces mesures prendront de temps. Par conséquent, la précision du résultat final doit correspondre au but de l’expérience. La théorie des erreurs donne des recommandations sur la manière dont les mesures doivent être prises et sur la manière de traiter les résultats afin que l'erreur soit minime.

Toutes les erreurs survenant lors des mesures sont généralement divisées en trois types : systématiques, aléatoires et manquées, ou erreurs grossières.

Erreurs systématiques en raison de la précision de fabrication limitée des appareils (erreurs d'instruments), des défauts de la méthode de mesure choisie, de l'imprécision de la formule de calcul, d'une mauvaise installation de l'appareil, etc. Ainsi, les erreurs systématiques sont causées par des facteurs qui agissent de la même manière lorsque les mêmes mesures sont répétées plusieurs fois. L'ampleur de cette erreur se répète systématiquement ou change selon une certaine loi. Certaines erreurs systématiques peuvent être éliminées (en pratique, cela est toujours facile à réaliser) en modifiant la méthode de mesure, en introduisant des corrections dans les lectures des instruments et en tenant compte de l'influence constante de facteurs externes.

Bien que l'erreur systématique (instrumentale) dans les mesures répétées donne un écart de la valeur mesurée par rapport à la valeur réelle dans une direction, nous ne savons jamais dans quelle direction. Par conséquent, l’erreur de l’instrument est écrite avec un double signe

Erreurs aléatoires sont provoquées par un grand nombre de causes aléatoires (changements de température, de pression, secousses du bâtiment, etc.), dont les effets sur chaque mesure sont différents et ne peuvent être pris en compte à l'avance. Des erreurs aléatoires se produisent également en raison de l’imperfection des sens de l’expérimentateur. Les erreurs aléatoires incluent également les erreurs causées par les propriétés de l'objet mesuré.

Il est impossible d'exclure les erreurs aléatoires dans les mesures individuelles, mais il est possible de réduire l'influence de ces erreurs sur le résultat final en effectuant plusieurs mesures. Si l'erreur aléatoire s'avère nettement inférieure à l'erreur instrumentale (systématique), alors cela n'a aucun sens de réduire davantage la valeur de l'erreur aléatoire en augmentant le nombre de mesures. Si l'erreur aléatoire est supérieure à l'erreur de l'instrument, alors le nombre de mesures doit être augmenté afin de réduire la valeur de l'erreur aléatoire et de la rendre inférieure ou du même ordre de grandeur que l'erreur de l'instrument.

Erreurs ou bévues- il s'agit de lectures incorrectes sur l'appareil, d'un enregistrement incorrect de la lecture, etc. En règle générale, les erreurs provoquées par ces raisons sont clairement visibles, car les lectures correspondantes diffèrent fortement des autres lectures. Les ratés doivent être éliminés par des mesures de contrôle. Ainsi, la largeur de l'intervalle dans lequel se situent les vraies valeurs des grandeurs mesurées ne sera déterminée que par des erreurs aléatoires et systématiques.

2 . Estimation de l'erreur systématique (instrumentale)

Pour des mesures directes la valeur de la grandeur mesurée est comptée directement sur l'échelle de l'appareil de mesure. L'erreur de lecture peut atteindre plusieurs dixièmes de division d'échelle. Habituellement, dans de telles mesures, l'erreur systématique est considérée comme égale à la moitié de la division d'échelle de l'instrument de mesure. Par exemple, lors d'une mesure avec un pied à coulisse avec une valeur de division de 0,05 mm, la valeur de l'erreur de mesure de l'instrument est prise égale à 0,025 mm.

Les instruments de mesure numériques donnent la valeur des grandeurs qu'ils mesurent avec une erreur égale à la valeur d'une unité du dernier chiffre de l'échelle de l'instrument. Ainsi, si un voltmètre numérique affiche une valeur de 20,45 mV, alors l'erreur de mesure absolue est égale à
mV.

Des erreurs systématiques surviennent également lors de l'utilisation de valeurs constantes déterminées à partir de tableaux. Dans de tels cas, l’erreur est supposée être égale à la moitié du dernier chiffre significatif. Par exemple, si dans le tableau la valeur de la densité de l'acier est donnée comme 7,9∙10 3 kg/m 3, alors l'erreur absolue dans ce cas est égale à
kg/m3.

Certaines caractéristiques du calcul des erreurs des instruments de mesure électriques seront discutées ci-dessous.

Lors de la détermination de l'erreur systématique (instrumentale) des mesures indirectes valeur fonctionnelle
formule utilisée

, (1)

Où - erreurs instrumentales de mesures directes de la grandeur , - les dérivées partielles d'une fonction par rapport à une variable.

A titre d'exemple, nous obtenons une formule pour calculer l'erreur systématique lors de la mesure du volume d'un cylindre. La formule pour calculer le volume d'un cylindre est

.

Dérivées partielles par rapport aux variables d Et h sera égal

,
.

Ainsi, la formule pour déterminer l'erreur systématique absolue lors de la mesure du volume d'un cylindre conformément à (2...) a la forme suivante

,

Où
Et
erreurs d'instrument lors de la mesure du diamètre et de la hauteur du cylindre

3. Estimation de l'erreur aléatoire.

Intervalle de confiance et probabilité de confiance

Pour la grande majorité des mesures simples, la loi dite normale des erreurs aléatoires est assez bien satisfaite ( loi de Gauss), dérivé des dispositions empiriques suivantes.

les erreurs de mesure peuvent prendre une série continue de valeurs ;

avec un grand nombre de mesures, des erreurs de même ampleur, mais de signes différents, se produisent également souvent,

Plus l’erreur aléatoire est grande, moins elle est susceptible de se produire.

Le graphique de la loi de distribution gaussienne normale est présenté sur la figure 1. L'équation de la courbe est

, (2)

Où
- fonction de distribution des erreurs aléatoires (erreurs), caractérisant la probabilité qu'une erreur se produise
, σ – erreur quadratique moyenne.

La quantité σ n'est pas une variable aléatoire et caractérise le processus de mesure. Si les conditions de mesure ne changent pas, alors σ reste une valeur constante. Le carré de cette quantité s’appelle dispersion des mesures. Plus la dispersion est petite, plus la dispersion des valeurs individuelles est faible et plus la précision de la mesure est élevée.

La valeur exacte de l’erreur quadratique moyenne σ, ainsi que la valeur réelle de la valeur mesurée, sont inconnues. Il existe une estimation dite statistique de ce paramètre, selon laquelle l'erreur quadratique moyenne est égale à l'erreur quadratique moyenne de la moyenne arithmétique . Dont la valeur est déterminée par la formule

, (3)

Où - résultat je la dimension ; - moyenne arithmétique des valeurs obtenues ; n – nombre de mesures.

Plus le nombre de dimensions est grand, plus il est petit et plus proche de σ. Si la valeur réelle de la grandeur mesurée est μ, sa valeur moyenne arithmétique obtenue à la suite des mesures est , et l'erreur absolue aléatoire est , alors le résultat de la mesure sera écrit sous la forme
.

Plage de valeurs de
à
, qui contient la vraie valeur de la grandeur mesurée μ, est appelé intervalle de confiance. Puisqu'il s'agit d'une variable aléatoire, la vraie valeur tombe dans l'intervalle de confiance de probabilité α, appelé probabilité de confiance, ou fiabilité mesures. Cette valeur est numériquement égale à l'aire du trapèze incurvé ombré. (voir photo)

Tout ceci est vrai pour un nombre de mesures suffisamment grand, lorsque σ est proche. Pour trouver l'intervalle de confiance et la probabilité de confiance pour un petit nombre de mesures, que nous traitons au cours des travaux de laboratoire, nous utilisons Distribution de probabilité des étudiants. Il s'agit de la distribution de probabilité de la variable aléatoire , appelé Coefficient d'étudiant, donne la valeur de l'intervalle de confiance en fractions de l'erreur quadratique moyenne de la moyenne arithmétique.

. (4)

La distribution de probabilité de cette quantité ne dépend pas de σ 2, mais dépend significativement du nombre d'expériences n. Avec un nombre croissant d'expériences n la distribution de Student tend vers la distribution gaussienne.

La fonction de distribution est tabulée (tableau 1). La valeur du coefficient de Student se trouve à l'intersection de la droite correspondant au nombre de mesures n, et la colonne correspondant à la probabilité de confiance α

Tableau 1.

À l'aide des données du tableau, vous pouvez :

déterminer l'intervalle de confiance, étant donné une certaine probabilité ;

sélectionnez un intervalle de confiance et déterminez la probabilité de confiance.

Pour les mesures indirectes, l'erreur quadratique moyenne de la valeur moyenne arithmétique de la fonction est calculée à l'aide de la formule

. (5)

L'intervalle de confiance et la probabilité de confiance sont déterminés de la même manière que dans le cas de mesures directes.

Estimation de l'erreur totale de mesure. Enregistrez le résultat final.

L'erreur totale du résultat de mesure de la valeur X nous la définirons comme la valeur quadratique moyenne des erreurs systématiques et aléatoires

, (6)

Où δх – erreur de l'instrument, Δ X– erreur aléatoire.

X peut être une quantité mesurée directement ou indirectement.

, α=…, E=… (7)

Il convient de garder à l’esprit que les formules de la théorie des erreurs elles-mêmes sont valables pour un grand nombre de mesures. Par conséquent, la valeur du hasard, et donc l’erreur totale, est déterminée à petit n avec une grosse erreur. Lors du calcul de Δ X avec le nombre de mesures
Il est recommandé de se limiter à un chiffre significatif s'il est supérieur à 3 et à deux si le premier chiffre significatif est inférieur à 3. Par exemple, si Δ X= 0,042, alors nous rejetons 2 et écrivons Δ X=0,04, et si Δ X=0,123, alors on écrit Δ X=0,12.

Le nombre de chiffres du résultat et l'erreur totale doivent être les mêmes. La moyenne arithmétique de l’erreur doit donc être la même. Par conséquent, la moyenne arithmétique est d'abord calculée avec un chiffre de plus que la mesure, et lors de l'enregistrement du résultat, sa valeur est affinée au nombre de chiffres de l'erreur totale.

4. Méthodologie de calcul des erreurs de mesure.

Erreurs de mesures directes

Lors du traitement des résultats de mesures directes, il est recommandé d'adopter l'ordre des opérations suivant.

. (8)

.

.

L'erreur totale est déterminée

L'erreur relative du résultat de la mesure est estimée

.

Le résultat final s'écrit sous la forme

, avec α=… E=…%.

5. Erreur des mesures indirectes

Lors de l'estimation de la valeur réelle d'une grandeur indirectement mesurée, qui est fonction d'autres grandeurs indépendantes
, vous pouvez utiliser deux méthodes.

Première façon utilisé si la valeur oui déterminé dans différentes conditions expérimentales. Dans ce cas, pour chacune des valeurs il est calculé
, puis la moyenne arithmétique de toutes les valeurs est déterminée oui je

. (9)

L'erreur systématique (instrumentale) est trouvée sur la base des erreurs instrumentales connues de toutes les mesures utilisant la formule. L'erreur aléatoire dans ce cas est définie comme l'erreur de mesure directe.

Deuxième façon s'applique si cette fonction oui déterminé plusieurs fois avec les mêmes mesures. Dans ce cas, la valeur est calculée à partir de valeurs moyennes. Dans notre pratique de laboratoire, la deuxième méthode de détermination d'une quantité indirectement mesurée est plus souvent utilisée oui. L'erreur systématique (instrumentale), comme dans la première méthode, est trouvée sur la base des erreurs instrumentales connues de toutes les mesures à l'aide de la formule

Pour trouver l’erreur aléatoire d’une mesure indirecte, les erreurs quadratiques moyennes de la moyenne arithmétique des mesures individuelles sont d’abord calculées. Ensuite, l'erreur quadratique moyenne de la valeur est trouvée oui. Le réglage de la probabilité de confiance α, la recherche du coefficient de Student et la détermination des erreurs aléatoires et totales s'effectuent de la même manière que dans le cas de mesures directes. De même, le résultat de tous les calculs est présenté sous la forme

, avec α=… E=…%.

6. Exemple de conception de travail en laboratoire

Travail de laboratoire n°1

DÉTERMINATION DU VOLUME DU CYLINDRE

Accessoires: un pied à coulisse avec une valeur de division de 0,05 mm, un micromètre avec une valeur de division de 0,01 mm, un corps cylindrique.

Objectif du travail : familiarisation avec les mesures physiques les plus simples, détermination du volume d'un cylindre, calcul des erreurs de mesures directes et indirectes.

Bon de travail

Mesurez le diamètre du cylindre au moins 5 fois avec un pied à coulisse et sa hauteur avec un micromètre.

Formule de calcul pour calculer le volume d'un cylindre

où d est le diamètre du cylindre ; h – hauteur.

Résultats de mesure

Tableau 2.

Erreur absolue

;
.

5. Erreur relative ou précision des mesures

; E = 0,5%.

6. Enregistrez le résultat final

Le résultat final pour la valeur étudiée s'écrit sous la forme

, E = 0,5%.

Note. Lors de l'enregistrement final, le nombre de chiffres du résultat et l'erreur absolue doivent être les mêmes.

6. Représentation graphique des résultats de mesure

Les résultats des mesures physiques sont très souvent présentés sous forme graphique. Les graphiques présentent un certain nombre d’avantages importants et de propriétés précieuses :

a) permettre de déterminer le type de dépendance fonctionnelle et les limites dans lesquelles elle est valable ;

b) permettre une comparaison claire des données expérimentales avec la courbe théorique ;

c) lors de la construction d'un graphique, ils lissent les sauts au cours de la fonction qui surviennent en raison d'erreurs aléatoires ;

d) permettre de déterminer certaines grandeurs ou d'effectuer une différenciation graphique, une intégration, une résolution d'équations, etc.

En règle générale, les Rafiks sont fabriqués sur du papier spécial (millimétrique, logarithmique, semi-logarithmique). Il est d'usage de tracer la variable indépendante le long de l'axe horizontal, c'est-à-dire la valeur dont la valeur est fixée par l'expérimentateur lui-même, et le long de l'axe vertical - la valeur qu'il détermine en même temps. Il convient de garder à l’esprit que l’intersection des axes de coordonnées ne doit pas nécessairement coïncider avec les valeurs nulles de x et y. Lors du choix de l'origine des coordonnées, vous devez être guidé par le fait que toute la zone du dessin est entièrement utilisée (Fig. 2.).

Sur les axes de coordonnées du graphique, non seulement les noms ou symboles des grandeurs sont indiqués, mais aussi leurs unités de mesure. L'échelle le long des axes de coordonnées doit être choisie de manière à ce que les points mesurés soient situés sur toute la surface de la feuille. Dans ce cas, l'échelle doit être simple afin que lorsque vous tracez des points sur un graphique, vous n'ayez pas à faire de calculs arithmétiques dans votre tête.

Les points expérimentaux sur le graphique doivent être représentés avec précision et clarté. Il est utile de tracer les points obtenus dans différentes conditions expérimentales (par exemple chauffage et refroidissement) dans différentes couleurs ou avec différents symboles. Si l'erreur de l'expérience est connue, alors au lieu d'un point, il est préférable de représenter une croix ou un rectangle dont les dimensions le long des axes correspondent à cette erreur. Il n'est pas recommandé de relier les points expérimentaux entre eux par une ligne brisée. La courbe sur le graphique doit être tracée de manière régulière, en veillant à ce que les points expérimentaux soient situés au-dessus et en dessous de la courbe, comme le montre la Fig. 3.

Lors de la construction de graphiques, en plus d'un système de coordonnées avec une échelle uniforme, des échelles dites fonctionnelles sont utilisées. En sélectionnant les fonctions x et y appropriées, vous pouvez obtenir une ligne plus simple sur le graphique qu'avec une construction conventionnelle. Cela est souvent nécessaire lors de la sélection d'une formule pour un graphique donné afin de déterminer ses paramètres. Les échelles fonctionnelles sont également utilisées dans les cas où il est nécessaire d'étirer ou de raccourcir n'importe quelle section de la courbe sur le graphique. L'échelle fonctionnelle la plus couramment utilisée est l'échelle logarithmique (Fig. 4).

À partir de conditions, exigences et opportunités spécifiques évaluationserreursrésultatsmesures. Selon les dispositions générales de la théorie de l'information...

Calcul des erreurs dans les mesures directes et indirectes

La mesure fait référence à la comparaison d’une grandeur mesurée avec une autre grandeur prise comme unité de mesure. Les mesures sont effectuées expérimentalement à l'aide de moyens techniques particuliers.

Les mesures directes sont des mesures dont les résultats sont obtenus directement à partir de données expérimentales (par exemple, mesure d'une longueur avec une règle, du temps avec un chronomètre, de la température avec un thermomètre). Les mesures indirectes sont des mesures dans lesquelles la valeur souhaitée d'une grandeur est trouvée sur la base d'une relation connue entre cette grandeur et des grandeurs dont les valeurs sont obtenues au cours de mesures directes (par exemple, détermination de la vitesse sur la distance parcourue et du temps https://pandia.ru/text/78/ 464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).

Toute mesure, quel que soit le soin avec lequel elle est effectuée, s'accompagne nécessairement d'une erreur (erreur) - un écart du résultat de la mesure par rapport à la valeur réelle de la valeur mesurée.

Les erreurs systématiques sont des erreurs dont l'ampleur est la même dans toutes les mesures effectuées par la même méthode en utilisant les mêmes instruments de mesure, dans les mêmes conditions. Des erreurs systématiques se produisent :

En raison de l'imperfection des instruments utilisés dans les mesures (par exemple, l'aiguille de l'ampèremètre peut s'écarter de la division zéro en l'absence de courant ; le fléau peut avoir des bras inégaux, etc.) ;

De ce fait, la théorie de la méthode de mesure n'est pas entièrement développée, c'est-à-dire que la méthode de mesure contient une source d'erreurs (par exemple, une erreur se produit lorsque la perte de chaleur dans l'environnement n'est pas prise en compte dans le travail calorimétrique ou lors de la pesée d'un la balance analytique est réalisée sans tenir compte de la poussée d'Archimède de l'Air) ;

Du fait que les changements dans les conditions expérimentales ne sont pas pris en compte (par exemple, lors du passage à long terme du courant dans le circuit, en raison de l'effet thermique du courant, les paramètres électriques du circuit changent) .

Les erreurs systématiques peuvent être éliminées en étudiant les caractéristiques des instruments, en développant plus complètement la théorie de l'expérience et, sur cette base, en apportant des corrections aux résultats de mesure.

Les erreurs aléatoires sont des erreurs dont l'ampleur est différente même pour des mesures effectuées de la même manière. Leurs raisons résident à la fois dans l'imperfection de nos organes sensoriels et dans de nombreuses autres circonstances accompagnant les mesures, et qui ne peuvent être prises en compte à l'avance (des erreurs aléatoires surviennent, par exemple, si l'égalité d'éclairage des champs du photomètre est établie à l'œil nu ; si le moment de déviation maximale d'un pendule mathématique est déterminé à l'œil nu ; lors de la recherche du moment de résonance sonore lors de la pesée sur des balances analytiques, si les vibrations du sol et des murs sont transmises aux balances, etc.).

Les erreurs aléatoires ne peuvent être évitées. Leur apparition se manifeste par le fait qu'en répétant les mesures de la même quantité avec le même soin, on obtient des résultats numériques qui diffèrent les uns des autres. Par conséquent, si, lors de la répétition des mesures, les mêmes valeurs ont été obtenues, cela n'indique pas l'absence d'erreurs aléatoires, mais plutôt une sensibilité insuffisante de la méthode de mesure.

Les erreurs aléatoires modifient le résultat à la fois dans un sens et dans l'autre par rapport à la valeur réelle. Par conséquent, afin de réduire l'influence des erreurs aléatoires sur le résultat de la mesure, les mesures sont généralement répétées plusieurs fois et la moyenne arithmétique de tous les résultats de mesure est pris.

Résultats délibérément incorrects - des erreurs surviennent en raison de la violation des conditions de mesure de base, dues à l'inattention ou à la négligence de l'expérimentateur. Par exemple, en cas de faible éclairage, « 8 » est écrit au lieu de « 3 » ; du fait que l'expérimentateur est distrait, il peut être confus en comptant le nombre d'oscillations du pendule ; en raison de négligence ou d'inattention, il peut confondre les masses de charges lors de la détermination de la rigidité du ressort, etc. Un signe extérieur d'erreur est une forte différence dans la valeur du résultat par rapport aux résultats d'autres mesures. Si une erreur est détectée, le résultat de la mesure doit être immédiatement rejeté et la mesure elle-même doit être répétée. L'identification des erreurs est également facilitée par la comparaison des résultats de mesure obtenus par différents expérimentateurs.

Mesurer une grandeur physique signifie trouver un intervalle de confiance dans lequel se situe sa vraie valeur https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21" >. .png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> cas, la vraie valeur de la valeur mesurée tombera dans l'intervalle de confiance. La valeur est exprimée soit en fractions d'unité, soit en pourcentage. Pour la plupart des mesures, le niveau de confiance est limité à 0,9 ou 0,95. Parfois, lorsqu'un degré de fiabilité extrêmement élevé est requis, un niveau de confiance de 0,999 est souvent utilisé. Outre le niveau de confiance, un niveau de signification est souvent utilisé, qui spécifie la probabilité que la valeur réelle ne se situe pas dans l'intervalle de confiance. Le résultat de la mesure est présenté comme suit.

où https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> est l'erreur absolue. Ainsi, les limites de l'intervalle, https://pandia .ru/ text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> se situe dans cet intervalle.

Afin de trouver et , une série de mesures uniques est effectuée. Considérons un exemple spécifique..png" width="71" height="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" height =" 23">.png" width="72" height="24">. Les valeurs peuvent être répétées, comme les valeurs et https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4. png" width="48 height=15" height="15">.png" width="52" height="21"> Par conséquent, le niveau de signification est .

Valeur moyenne de la grandeur mesurée

L'instrument de mesure contribue également à l'incertitude de mesure. Cette erreur est due à la conception du dispositif (frottement dans l'axe du dispositif à pointeur, arrondi produit par un dispositif à pointeur numérique ou discret, etc.). De par sa nature, il s’agit d’une erreur systématique, mais ni son ampleur ni son signe ne sont connus pour cet appareil particulier. L'erreur de l'instrument est évaluée lors des tests d'une grande série d'appareils similaires.

La gamme standardisée de classes de précision des instruments de mesure comprend les valeurs suivantes : 0,05 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,5 ; 1,0 ; 1,5 ; 2,5 ; 4.0. La classe de précision d'un instrument est égale à l'erreur relative de l'instrument exprimée en pourcentage par rapport à la plage pleine échelle. Erreur de spécification de l'appareil