Primitive de fonction et d'apparence générale

Primitive de fonction et d'apparence générale
Primitive de fonction et d'apparence générale
21.09.2019

Le graphique d'une fonction exponentielle est une ligne courbe et lisse, sans plis, à laquelle une tangente peut être tracée à chaque point par lequel elle passe. Il est logique de supposer que si une tangente peut être tracée, alors la fonction sera dérivable en chaque point de son domaine de définition.

Nous afficherons dans certains axes de coordonnées plusieurs graphiques de la fonction y = x a, Pour a = 2 ; une = 2,3 ; une = 3 ; une = 3,4.

En un point de coordonnées (0;1). Les angles de ces tangentes seront respectivement d'environ 35, 40, 48 et 51 degrés. Il est logique de supposer que dans l'intervalle de 2 à 3, il existe un nombre auquel l'angle d'inclinaison de la tangente sera égal à 45 degrés.

Donnons une formulation précise de cet énoncé : il existe un nombre supérieur à 2 et inférieur à 3, noté par la lettre e, tel que la fonction exponentielle y = e x au point 0 a une dérivée égale à 1. Soit : (e ∆x -1) / ∆x tend vers 1 lorsque ∆x tend vers zéro.

Ce nombre e est irrationnel et s'écrit sous la forme d'une fraction décimale infinie non périodique :

e = 2,7182818284…

Puisque e est positif et non nul, il existe un logarithme en base e. Ce logarithme s'appelle un algorithme naturel. Noté ln(x) = log e (x).

Dérivée d'une fonction exponentielle

Théorème : La fonction e x est différentiable en chaque point de son domaine de définition, et (e x)' = e x .

La fonction exponentielle a x est différentiable en chaque point de son domaine de définition, et (a x)' = (a x)*ln(a).
Un corollaire de ce théorème est le fait que la fonction exponentielle est continue en tout point de son domaine de définition.

Exemple : trouver la dérivée de la fonction y = 2 x.

En utilisant la formule de la dérivée de la fonction exponentielle, on obtient :

(2 x)’ = (2 x)*ln(2).

Réponse : (2x)*ln(2).

Primitive de la fonction exponentielle

Pour une fonction exponentielle a x définie sur l'ensemble des nombres réels, la primitive sera la fonction (a x)/(ln(a)).
ln(a) est une constante, alors (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x pour tout x. Nous avons prouvé ce théorème.

Considérons un exemple de recherche de la primitive d'une fonction exponentielle.

Exemple : trouver la primitive de la fonction f(x) = 5 x. Utilisons la formule donnée ci-dessus et les règles pour trouver des primitives. On obtient : F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

Cette leçon est la première d'une série de vidéos sur l'intégration. Nous y analyserons ce qu'est une primitive d'une fonction et étudierons également les méthodes élémentaires de calcul de ces mêmes primitives.

En fait, il n'y a rien de compliqué ici : tout se résume essentiellement à la notion de dérivée, que vous devriez déjà connaître :)

Je constate tout de suite que puisque c'est la toute première leçon de notre nouveau sujet, aujourd'hui, il n'y aura pas de calculs ni de formules complexes, mais ce que nous apprendrons aujourd'hui constituera la base de calculs et de constructions beaucoup plus complexes lors du calcul d'intégrales et d'aires complexes.

De plus, lorsqu'on commence à étudier l'intégration et les intégrales en particulier, on suppose implicitement que l'étudiant est déjà au moins familier avec les concepts de dérivées et possède au moins des compétences de base pour les calculer. Sans une compréhension claire de cela, il n’y a absolument rien à faire en matière d’intégration.

Cependant, c’est là que réside l’un des problèmes les plus courants et les plus insidieux. Le fait est que, lorsqu’ils commencent à calculer leurs premières primitives, de nombreux étudiants les confondent avec les dérivées. En conséquence, lors des examens et travail indépendant des erreurs stupides et offensantes sont commises.

Par conséquent, je ne donnerai pas maintenant une définition claire d’une primitive. En contrepartie, je vous propose de voir comment il est calculé à l'aide d'un exemple simple et précis.

Qu'est-ce qu'une primitive et comment est-elle calculée ?

On connaît cette formule :

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Cette dérivée se calcule simplement :

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Examinons attentivement l'expression résultante et exprimons $((x)^(2))$ :

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Mais on peut l'écrire ainsi, selon la définition d'une dérivée :

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

Et maintenant attention : ce que nous venons d’écrire est la définition d’une primitive. Mais pour l'écrire correctement, vous devez écrire ce qui suit :

Écrivons de la même manière l’expression suivante :

Si l’on généralise cette règle, on peut en déduire la formule suivante :

\[((x)^(n))\à \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Nous pouvons maintenant formuler une définition claire.

Une primitive d'une fonction est une fonction dont la dérivée est égale à la fonction d'origine.

Questions sur la fonction primitive

Cela semblerait une définition assez simple et compréhensible. Cependant, en l’entendant, l’étudiant attentif se posera immédiatement plusieurs questions :

  1. Disons, d'accord, cette formule est correcte. Cependant, dans ce cas, avec $n=1$, nous avons des problèmes : « zéro » apparaît au dénominateur, et on ne peut pas diviser par « zéro ».
  2. La formule est limitée aux diplômes uniquement. Comment calculer la primitive, par exemple, du sinus, du cosinus et de toute autre trigonométrie, ainsi que des constantes.
  3. Question existentielle : est-il toujours possible de trouver une primitive ? Si oui, qu'en est-il de la primitive de la somme, de la différence, du produit, etc. ?

Je répondrai tout de suite à la dernière question. Malheureusement, la primitive, contrairement à la dérivée, n'est pas toujours prise en compte. Ça n'existe pas formule universelle, par lequel à partir de toute construction initiale nous obtiendrons une fonction qui sera égale à cette construction similaire. Quant aux puissances et aux constantes, nous en parlerons maintenant.

Résoudre les problèmes avec les fonctions d'alimentation

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Comme nous le voyons, cette formule pour $((x)^(-1))$ ne fonctionne pas. La question se pose : qu’est-ce qui fonctionne alors ? Ne pouvons-nous pas compter $((x)^(-1))$ ? Bien sûr on peut. Rappelons d'abord ceci :

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Pensons maintenant : la dérivée de quelle fonction est égale à $\frac(1)(x)$. Évidemment, tout étudiant ayant au moins un peu étudié ce sujet se souviendra que cette expression est égale à la dérivée du logarithme népérien :

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Nous pouvons donc écrire en toute confiance ce qui suit :

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Vous devez connaître cette formule, tout comme la dérivée d’une fonction puissance.

Alors que savons-nous de ce moment:

  • Pour une fonction puissance - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
  • Pour une constante - $=const\to \cdot x$
  • Un cas particulier de fonction puissance est $\frac(1)(x)\to \ln x$

Et si nous commençons à multiplier et à diviser les fonctions les plus simples, comment pouvons-nous alors calculer la primitive d'un produit ou d'un quotient. Malheureusement, les analogies avec la dérivée d'un produit ou d'un quotient ne fonctionnent pas ici. Il n’existe pas de formule standard. Pour certains cas, il existe des formules spéciales délicates - nous en ferons connaissance dans les prochaines leçons vidéo.

Cependant, rappelez-vous : formule générale, une formule similaire pour calculer la dérivée d'un quotient et d'un produit n'existe pas.

Résoudre de vrais problèmes

Tâche n°1

Allons chacun fonctions de puissance Calculons séparément :

\[((x)^(2))\à \frac(((x)^(3)))(3)\]

Revenant à notre expression, nous écrivons la construction générale :

Problème n°2

Comme je l'ai déjà dit, les prototypes d'œuvres et les détails « pertinents » ne sont pas pris en compte. Cependant, ici, vous pouvez effectuer les opérations suivantes :

Nous avons décomposé la fraction en somme de deux fractions.

Faisons le calcul :

La bonne nouvelle est que connaissant les formules de calcul des primitives, vous êtes déjà en mesure de calculer davantage conceptions complexes. Cependant, allons plus loin et élargissons un peu plus nos connaissances. Le fait est que de nombreuses constructions et expressions qui, à première vue, n'ont rien à voir avec $((x)^(n))$, peuvent être représentées comme une puissance avec indicateur rationnel, à savoir :

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Toutes ces techniques peuvent et doivent être combinées. Expressions de pouvoir Peut

  • multiplier (ajouter les degrés);
  • diviser (les degrés sont soustraits);
  • multiplier par une constante ;
  • etc.

Résoudre des expressions de puissance avec un exposant rationnel

Exemple 1

Calculons chaque racine séparément :

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Au total, l'ensemble de notre construction peut s'écrire comme suit :

Exemple n°2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

On obtient donc :

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Au total, en rassemblant le tout en une seule expression, nous pouvons écrire :

Exemple n°3

Pour commencer, notons que nous avons déjà calculé $\sqrt(x)$ :

\[\sqrt(x)\à \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Réécrivons :

J'espère ne surprendre personne si je dis que ce que nous venons d'étudier est tout simplement le plus calculs simples primitives, les structures les plus élémentaires. Regardons maintenant un peu plus exemples complexes, dans lequel, en plus des primitives tabulaires, vous devrez également vous rappeler programme scolaire, à savoir les formules de multiplication abrégées.

Résoudre des exemples plus complexes

Tâche n°1

Rappelons la formule de la différence au carré :

\[((\left(ab \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Réécrivons notre fonction :

Il reste maintenant à trouver le prototype d'une telle fonction :

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Rassemblons le tout dans une structure commune :

Problème n°2

Dans ce cas, nous devons développer le cube des différences. Souvenons-nous:

\[((\left(ab \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

En tenant compte de ce fait, nous pouvons l’écrire ainsi :

Transformons un peu notre fonction :

Nous comptons comme toujours - pour chaque terme séparément :

\[((x)^(-3))\à \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\à \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\à \ln x\]

Écrivons la construction résultante :

Problème n°3

En haut nous avons le carré de la somme, développons-le :

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Écrivons la solution finale :

Maintenant attention ! Une chose très importante, qui est associée à la part du lion des erreurs et des malentendus. Le fait est que jusqu'à présent, en comptant les primitives utilisant des dérivées et en apportant des transformations, nous ne réfléchissions pas à ce à quoi est égale la dérivée d'une constante. Mais la dérivée d’une constante est égale à « zéro ». Cela signifie que vous pouvez écrire les options suivantes :

  1. $((x)^(2))\à \frac(((x)^(3)))(3)$
  2. $((x)^(2))\à \frac(((x)^(3)))(3)+1$
  3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

C'est très important à comprendre : si la dérivée d'une fonction est toujours la même, alors la même fonction a un nombre infini de primitives. Nous pouvons simplement ajouter des nombres constants à nos primitives et en obtenir de nouveaux.

Ce n'est pas un hasard si dans l'explication des problèmes que nous venons de résoudre, il était écrit « Écrivez Forme générale primitifs. » Ceux. On suppose déjà d’avance qu’il n’en existe pas un, mais toute une multitude. Mais, en fait, ils ne diffèrent que par le $C$ constant à la fin. Par conséquent, dans nos tâches, nous corrigerons ce que nous n'avons pas terminé.

Encore une fois nous réécrivons nos constructions :

Dans de tels cas, vous devez ajouter que $C$ est une constante - $C=const$.

Dans notre deuxième fonction nous obtenons la construction suivante :

Et la dernière:

Et maintenant, nous avons vraiment obtenu ce qui était attendu de nous dans l’état initial du problème.

Résoudre les problèmes de recherche de primitives avec un point donné

Maintenant que nous connaissons les constantes et les particularités de l'écriture des primitives, il est tout à fait logique que type suivant problèmes lorsque, parmi l’ensemble de toutes les primitives, il faut en trouver une seule qui passerait par point donné. Quelle est cette tâche ?

Le fait est que toutes les primitives d'une fonction donnée ne diffèrent que par le fait qu'elles sont décalées verticalement d'un certain nombre. Et cela signifie que quel que soit le point que nous prenons sur le plan de coordonnées, une primitive passera certainement, et, de plus, une seule.

Ainsi, les problèmes que nous allons maintenant résoudre sont formulés comme suit : non seulement trouver la primitive, connaissant la formule de la fonction d'origine, mais choisir exactement celle qui passe par le point donné, dont les coordonnées seront données dans le problème déclaration.

Exemple 1

Tout d’abord, comptons simplement chaque terme :

\[((x)^(4))\à \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\à \frac(((x)^(4)))(4)\]

Maintenant, nous substituons ces expressions dans notre construction :

Cette fonction doit passer par le point $M\left(-1;4 \right)$. Qu'est-ce que cela signifie qu'il passe par un point ? Cela signifie que si au lieu de $x$ nous mettons $-1$ partout, et au lieu de $F\left(x \right)$ - $-4$, alors nous devrions obtenir l'égalité numérique correcte. Faisons cela:

Nous voyons que nous avons une équation pour $C$, alors essayons de la résoudre :

Écrivons la solution même que nous recherchions :

Exemple n°2

Tout d'abord, il faut révéler le carré de la différence à l'aide de la formule de multiplication abrégée :

\[((x)^(2))\à \frac(((x)^(3)))(3)\]

La construction originale s’écrira comme suit :

Trouvons maintenant $C$ : substituons les coordonnées du point $M$ :

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

On exprime $C$ :

Il reste à afficher l'expression finale :

Résoudre des problèmes trigonométriques

En guise de conclusion à ce dont nous venons de discuter, je propose d'en considérer deux autres tâches complexes, qui contiennent de la trigonométrie. De la même manière, vous devrez y trouver des primitives pour toutes les fonctions, puis sélectionner dans cet ensemble la seule qui passe par le point $M$ sur le plan de coordonnées.

Pour l’avenir, je voudrais noter que la technique que nous allons maintenant utiliser pour trouver des primitives de fonctions trigonométriques, en fait, c'est technique universelle pour un auto-test.

Tâche n°1

Rappelons la formule suivante :

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Sur cette base, nous pouvons écrire :

Remplaçons les coordonnées du point $M$ dans notre expression :

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Réécrivons l'expression en tenant compte de ce fait :

Problème n°2

Ce sera un peu plus difficile. Maintenant, vous verrez pourquoi.

Retenons cette formule :

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Pour vous débarrasser du « moins », vous devez procéder comme suit :

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Voici notre conception

Remplaçons les coordonnées du point $M$ :

Au total, nous écrivons la construction finale :

C'est tout ce dont je voulais vous parler aujourd'hui. Nous avons étudié le terme lui-même de primitives, comment les compter à partir de fonctions élémentaires, ainsi que comment trouver une primitive passant par un point spécifique sur le plan de coordonnées.

J'espère que cette leçon vous aidera à comprendre au moins un peu ce sujet complexe. En tout cas, c'est sur les primitives que les valeurs indéfinies et intégrales indéfinies, il faut donc absolument les compter. C'est tout pour moi. À la prochaine!

Aujourd'hui, nous parlerons de recherche fonctionnelle. Il est important de noter que les mathématiques fonctionnent de la même manière que maison ordinaire: Les fondations sont d'abord posées, puis les briques sont disposées couche par couche. Le rôle de fondement en mathématiques est joué par une fonction (correspondance entre deux ensembles). Après avoir introduit le concept de fonction, on commence à l’étudier en tant qu’objet de la même manière qu’on l’a fait avec les nombres.

En fait, dans la vie, nous utilisons aussi souvent non seulement des objets, mais aussi des correspondances entre eux, des relations entre objets. Un exemple est celui des livres sur l’amour (l’amour est une relation entre les gens).

Après avoir étudié les fonctions en mathématiques, ils commencent à étudier des ensembles de fonctions, puis des espaces de fonctions, etc. Mais aujourd'hui, nous allons parler de l'analyse primaire de la fonction.

Qu'est-ce qu'une fonction ? Une fonction est une correspondance entre des ensembles. Dans cette leçon, nous parlerons de fonctions numériques, c'est-à-dire sur les correspondances entre ensembles numériques. Nous parlerons également de la propriété locale d'une fonction (le comportement de la fonction en un point précis donné) et de la propriété globale (une propriété associée à l'ensemble du domaine de la fonction). La dérivée est une description des propriétés locales des fonctions et l'intégrale est une description des propriétés globales.

Par exemple, il existe deux fonctions différentes, mais à un moment donné, leurs graphiques coïncident (voir Fig. 1). Mais quelle est la différence entre le comportement des fonctions au voisinage de ce point ? C'est de cela dont nous parlerons.

Riz. 1. Intersection de graphiques de deux fonctions différentes

A partir du graphique d'une fonction, vous pouvez facilement déterminer ses propriétés : monotonie (fonction croissante ou décroissante), régularité (impaire) et périodicité (voir Fig. 2).

Riz. 2. Caractéristiques des fonctionnalités

Toutes ces caractéristiques sont mathématiques. Mais le dérivé est souvent utilisé dans la vie. Le plus souvent, lorsque nous décrivons un processus à l'aide d'un graphique, nous nous intéressons à la dynamique de ce processus, c'est-à-dire non pas la valeur de la fonction à un point précis, mais comment la fonction se comportera dans le futur (augmentera-t-elle ou diminuer?). Par exemple, lorsque nous voulons analyser les augmentations de prix ou comparer les prix de différentes périodes temps ( valeurs absolues pouvait changer, mais la dynamique restait la même) (voir Fig. 3).

Riz. 3. Dynamique du prix de l’or

La dérivée permet de comprendre comment une fonction se comportera au voisinage d’un point donné.

Il convient de préciser qu'à l'école, la dérivée d'une fonction est le plus souvent recherchée sur l'ensemble du domaine de définition. Cela est dû au fait que les fonctions étudiées sont « bonnes », c'est-à-dire que leur comportement est prévisible sur tout l'axe. Mais en général, une dérivée est une caractéristique locale d’une fonction.

Par exemple, lors de la visualisation de photos avec différentes vitesses d'obturation, plusieurs options peuvent être proposées :

  1. les voitures sont à l'arrêt et les gens sont chacun à leur place (voir Fig. 4) ;
  2. image floue, vous pouvez voir qui va où (voir Fig. 5).

Riz. 4. Photographie avec exposition de

Riz. 5. Photographie d'exposition

La deuxième option est une illustration visuelle du dérivé (image floue).

À un moment donné, la fonction prend une valeur spécifique et il est pratiquement impossible d'en tirer des conclusions sur son comportement. Et si l'on considère le voisinage de ce point, alors on peut déjà dire de quel côté il est plus petit (de quel côté il est plus grand) et conclure s'il augmente ou diminue. Autrement dit, lorsque la vitesse d'obturation est courte, nous voyons la valeur de la fonction en un point, et lorsque nous considérons le retard de trame, nous pouvons déjà analyser le comportement de la fonction (voir Fig. 6).

Riz. 6. Analogie entre dérivé et photographie

DANS Vie courante nous analysons souvent une situation comme analyser des fonctions en mathématiques. Par exemple, lorsque nous disons qu'il fait plus chaud (plus froid) dehors, nous n'indiquons pas de température spécifique pour le moment, mais nous voulons dire que la température va bientôt augmenter (diminuer). Ceci est similaire au calcul de la dérivée (voir Fig. 7).

Riz. 7. Analyse des changements de température

Présentons définition précise dérivé.

Dérivée d'une fonctionà ce point est appelée la limite du rapport de l'incrément de la fonction en ce point à l'incrément de l'argument (à condition que cette limite existe) :

Puisque nous voulons introduire un concept tel que le taux de changement d'une fonction (le mot principal est vitesse), on peut alors faire un parallèle avec la physique. La vitesse instantanée est une grandeur physique vectorielle, égal au rapport mouvement à l'intervalle de temps pendant lequel ce mouvement s'est produit, si l'intervalle de temps tend vers zéro :

Vitesse instantanée, m/s ; - mouvement du corps, m (à ); - intervalle de temps tendant vers zéro, s.

Mais il est important de préciser que lorsque nous avons parlé de température, nous avons indiqué uniquement les caractéristiques qualitatives du processus, mais n'avons pas parlé du taux de changement de température. La dérivée prend en compte le taux de variation d'une fonction. Les fonctions peuvent se développer de différentes manières. Par exemple, la parabole () augmente plus vite que le logarithme () (voir Fig. 8).

Riz. 8. Taux d'augmentation des graphiques de fonctions et

C'est pour comparer le taux d'augmentation (diminution) de la fonction que l'on introduit caractéristiques particulières fonctions - dérivée. En faisant une analogie entre la dérivée et la vitesse de déplacement de n'importe quel objet (la vitesse est le rapport de la distance parcourue au temps, ou le changement de coordonnée par unité de temps), on peut dire qu'à la limite la dérivée est le rapport de du changement de fonction (c'est-à-dire le chemin parcouru par le point s'il s'est déplacé le long du graphique de la fonction) à l'incrément de l'argument (le temps pendant lequel le mouvement a été effectué) (voir Fig. 9). C'est la signification mécanique (physique) de la dérivée.

Riz. 9. Analogie entre vitesse et dérivée

La dérivée est une propriété locale d'une fonction. Il est important de faire la distinction entre le calcul de la dérivée sur l'ensemble du domaine de définition et sur une section spécifique, car la fonction sur un intervalle peut être quadratique, sur un autre - linéaire, et ainsi de suite. Mais tout cela n’est qu’une seule fonction, et à différents moments une telle fonction aura différentes significations dérivé.

Pour la plupart des fonctions spécifiées analytiquement (par une formule spécifique), nous disposons d'un tableau de dérivées (voir Fig. 10). Il s'agit d'un analogue d'une table de multiplication, c'est-à-dire qu'il existe des fonctions de base pour lesquelles les dérivées ont déjà été calculées (on peut prouver qu'elles ont exactement cette forme), puis il y a quelques règles (voir Fig. 11) ( analogues de multiplication ou de division longue), avec lesquels peuvent être utilisés pour calculer des dérivées fonctions complexes, œuvres dérivées, etc. Ainsi, pour presque toutes les fonctions exprimées à travers des fonctions que nous connaissons, nous pouvons décrire le comportement de la fonction sur tout le domaine de définition.

Riz. 10. Tableau des dérivés

Riz. 11. Règles de différenciation

Néanmoins, la définition d’une dérivée que nous avons donnée plus tôt est ponctuelle. Pour généraliser la dérivée en un point à tout le domaine de définition d'une fonction, il faut prouver qu'en chaque point la valeur de la dérivée coïncidera avec les valeurs de la même fonction.

Si l'on imagine une fonction qui ne s'écrit pas analytiquement, alors au voisinage de chaque point on peut la représenter sous la forme fonction linéaire. La dérivée d’une fonction linéaire au voisinage d’un certain point est facile à calculer. Si nous représentons une fonction linéairement, alors elle coïncide avec sa tangente (voir Fig. 12).

Riz. 12. Représentation d'une fonction en chaque point sous forme de fonction linéaire

Depuis triangle rectangle on sait que la tangente est égale au rapport du côté opposé au côté adjacent. Ainsi, signification géométrique La dérivée est que la dérivée est la tangente de l'angle tangent en ce point (voir Fig. 13).

Riz. 13. Signification géométrique de la dérivée

En parlant de dérivée comme de vitesse, on peut dire que si une fonction diminue, alors sa dérivée est négative, et vice versa, si la fonction augmente, alors sa dérivée est positive. D'autre part, nous avons défini la dérivée comme la tangente de l'angle tangent. C’est également facile à expliquer. Si la fonction augmente, alors la tangente forme un angle aigu et la tangente angle aigu positif. La dérivée est donc positive. Comme on le voit, la signification physique et géométrique de la dérivée coïncidait.

L'accélération est le taux de changement de vitesse (c'est-à-dire la dérivée de la vitesse). En revanche, la vitesse est une dérivée du déplacement. Il s'avère que l'accélération est la dérivée seconde (dérivée de la dérivée) du déplacement (voir Fig. 14).

Riz. 14. Application de la dérivée en physique

La dérivée est un moyen d'étudier les propriétés d'une fonction.

La dérivée est utilisée pour résoudre des problèmes d’optimisation. Il y a une explication à cela. Puisque la dérivée montre la croissance d’une fonction, elle peut être utilisée pour trouver les maxima et minima locaux de la fonction. Sachant que dans une zone, la fonction a augmenté, puis a commencé à diminuer, nous supposons qu'à un moment donné, il existe un maximum local. De même, si la fonction diminue puis commence à augmenter, il existe un minimum local à un moment donné (voir Fig. 15).

Riz. 15. Minima et maxima locaux d'une fonction

En pratique, cela peut être utilisé pour déterminer, par exemple, le profit maximum dans des conditions données. Pour ce faire, vous devez trouver le point auquel il y aura un maximum local. Si nous devons déterminer coûts minimaux, alors, en conséquence, il est nécessaire de déterminer le point où se situe le minimum local (voir Fig. 16).

Riz. 16. Trouver un profit maximum et des coûts minimum

L'école résout de nombreux problèmes d'optimisation. Considérons l'un d'eux.

Quelle doit être la longueur d'une clôture rectangulaire de longueur fixe pour entourer la surface maximale (voir Fig. 17) ?

Riz. 17. Problème d'optimisation

Il s'avère que la clôture doit être carrée.

Il existe de nombreuses tâches de ce type, lorsqu'un paramètre est corrigé et que le second doit être optimisé. Le paramètre fixe sont nos données de tâche (par exemple, le matériel pour la clôture). Et il y a un paramètre dont nous voulons obtenir le minimum ou le maximum (par exemple, la surface maximale, taille minimale). Autrement dit, une paire « ressource – effet » est formée. Il y a une certaine ressource qui est initialement spécifiée, et un certain effet que nous voulons obtenir.

Passons maintenant aux propriétés globales de la fonction. Considérons le cas le plus simple de l'intégrale. Prenons une série de nombres : . Une série est aussi fonction (d'un argument naturel), chaque nombre a son propre numéro de série et sa propre signification. .

Écrivons la formule pour trouver la somme de cette série :

La somme jusqu'à une certaine valeur sera la valeur de l'intégrale.

Par exemple, pour :

Autrement dit, l’intégrale est en réalité la somme (en dans ce cas somme des valeurs de fonction).

La plupart des étudiants associent l’intégrale à l’aire. Essayons de relier un exemple avec la somme d'une série et d'une aire. Réécrivons cette série sous la forme d'une fonction linéaire : .

Ensuite, la somme de cette série sera la somme des aires des pièces sous le graphique (dans ce cas, des trapèzes) (voir Fig. 18).

Riz. 18. Aire sous le graphique d'une fonction

La somme des aires est égale à l'aire de la somme (si les parties en lesquelles la figure est divisée ne se coupent pas). Cela signifie que l'intégrale est l'aire sous le graphique de la fonction. Ainsi, après avoir trouvé l'intégrale, nous pouvons trouver l'aire d'une partie du plan. Par exemple, vous pouvez trouver la zone sous le graphique.

Si nous voulons introduire strictement la définition de l'intégrale en termes d'aire de la figure sous la fonction, nous devons alors diviser la figure elle-même en très petits morceaux. Il n’est pas toujours aussi pratique de calculer l’aire que dans le cas d’une fonction linéaire. Prenons par exemple la fonction . Si nous approchons linéairement la fonction (comme nous avons proposé de le faire dans le cas de la dérivée), alors, tout comme dans l'exemple précédent, nous obtiendrons une division de l'aire entière en la somme des aires des trapèzes (voir Fig. 19).

Alors, à la limite, la somme est l'intégrale, c'est-à-dire l'aire sous le graphique de la fonction.

Riz. 19. Aire sous le graphique d'une fonction

Mais comment calculer cette aire (intégrale) ? Pour les fonctions connues, il existe un tableau des intégrales (similaire au tableau des dérivées). Mais dans le cas général, on approxime la fonction par segments et calcule la somme des aires des trapèzes sous ces segments. En réduisant les segments, à la limite on obtient la valeur de l'intégrale.

Contrairement à la dérivée, où une « bonne » fonction produit toujours une « bonne » dérivée, ce n’est pas le cas d’une intégrale. Par exemple, pour une fonction aussi simple que calculer l'intégrale et la représenter sous forme de fonctions analytiques, nous ne pouvons pas (voir Fig. 20).

Calculer l'intégrale n'est pas une tâche facile, et donc l'existence d'une formule de Newton-Leibniz aussi simple (voir Fig. 20), qui permet de calculer rapidement la valeur de l'intégrale, si l'on connaît sa forme, simplifie grandement les calculs . Autrement, il serait difficile de calculer la surface limite à chaque fois.

Riz. 20. Formule de Newton-Leibniz pour calculer les intégrales

Par conséquent, les principales méthodes de calcul comprennent :

  1. un tableau d'intégrales pour les fonctions que nous pouvons calculer (voir Fig. 21) ;
  2. propriétés de l'intégrale qui permettent de calculer différentes combinaisons fonctions de table(voir fig. 22) ;
  3. Formule de Newton-Leibniz (si nous comptons la valeur au point le plus à droite et soustrayons la valeur au point le plus à gauche, nous obtenons l'aire) (voir Fig. 20).

Riz. 21. Tableau des intégrales

Riz. 22. Propriétés d'une intégrale définie

À l'école, la formule de Newton-Leibniz n'est pas dérivée, bien que cela ne soit pas difficile à faire si vous définissez l'intégrale comme l'aire sous le graphique.

Plus de détails sur la dérivation de la formule de Newton-Leibniz :

Pour mieux comprendre la différence entre les propriétés locales et globales d’une fonction, on peut prendre l’exemple du tir sur cible. Si vous prenez plusieurs clichés (aucun n'atteint le centre) et calculez la moyenne, vous l'obtiendrez presque (voir Fig. 23). Bien qu’en réalité, le tireur puisse frapper au-dessus ou en dessous de la cible à tout moment, et la moyenne serait toujours proche de .

Riz. 23. Tir sur cible

Nous pouvons donner un exemple tiré de la physique : le centre de gravité. La même masse avec le même centre de gravité peut être répartie de manières complètement différentes (voir Fig. 24).

Riz. 24. Options de distribution de masse avec le même centre de gravité

Un autre exemple est température moyenne autour de l'hôpital. Si quelqu'un a de la fièvre et que quelqu'un d'autre a de la fièvre, il s'avère en moyenne que les patients ne sont pas si malades.

Si nous parlons du lien entre la dérivée (caractéristique locale) et l'intégrale (caractéristique globale), alors il est intuitivement clair qu'il s'agit de concepts mutuellement inverses. En fait, c'est vrai. Si l'on prend la dérivée de l'intégrale ou l'intégrale de la dérivée, on obtient la fonction originale. Pour expliquer cela, considérons le mouvement d’un corps. Nous savons déjà que la vitesse est une dérivée du déplacement. Essayons l'opération inverse. Pour ce faire, nous exprimons le mouvement en termes de vitesse et de temps :

Et si nous regardons le graphique (la vitesse change linéairement), nous verrons que le chemin est le produit de la vitesse et du temps. En revanche, il s'agit de l'aire sous le graphique (voir Fig. 25).

Riz. 25. Relation entre dérivée et intégrale

Si vous calculez l’intégrale de la vitesse, vous obtiendrez la valeur du chemin. Et la vitesse est une dérivée du chemin.

Par conséquent, la dérivée et l’intégrale sont des fonctions mutuellement inverses. Il en existe une preuve stricte.

Riz. 26. Relation entre dérivée et intégrale

Mais pour analyser, comprendre ce que nous parlons de, et travailler avec les opérations de différenciation (calcul de la dérivée) et d'intégration (calcul de l'intégrale), ce qui a été dit dans cette leçon et le matériel des leçons principales seront suffisants.

Quand nous devons trouver une maison à st. Nevskaya, et nous sommes sortis en face de la maison, puis nous allons à gauche ou à droite de cette maison pour comprendre comment se déroule la numérotation.

Dossier pour la leçon 29.

Dérivé. Application du dérivé. Primitive.

Facteur de pente tangente au graphique de la fonction au point d'abscisse x 0 égal à la dérivée de la fonction au point x 0. .

Ceux. la dérivée de la fonction au point x 0 est égale à la tangente de l'angle tangent tracé au graphique de la fonction au point (x 0 ; f(x 0)).

Exercice 1. La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) et une tangente à ce graphique tracée au point en abscisse X X 0 .

Réponse : 0,25

Exercice 2. La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) et une tangente à ce graphique tracée au point en abscisse X 0 . Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point X 0 . Réponse : 0,6

Exercice 3. La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) et une tangente à ce graphique tracée au point en abscisse X 0 . Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point X 0 . Réponse : -0,25

Exercice 4. La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) et une tangente à ce graphique tracée au point en abscisse X 0 . Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point X 0 . Réponse : -0,2.

Sens mécanique dérivé.

v ( t 0 ) = x' ( t 0 )

la vitesse est la dérivée de la coordonnée Par temps. De même, l'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps :

un = v' ( t ).

Exercice 5 . Point matériel se déplace rectiligne selon la loi x(t)=12 t 2 +4 t+27, où x est la distance du point de référence en mètres, t est le temps en secondes, mesuré à partir du moment où le mouvement a commencé. Trouvez sa vitesse (en mètres par seconde) au temps t=2 s. Réponse : 52

Tâche 6. Un point matériel se déplace de manière rectiligne selon la loix (t )= 16 t 3 + t 2 − 8 t + 180, Où X- distance du point de référence en mètres,t- temps en secondes mesuré à partir du moment où le mouvement a commencé. À quel moment (en secondes) sa vitesse était-elle égale à 42 m/s ? Réponse 1

Signe suffisant fonction croissante (décroissante)

1. Si f `(x) en chaque point de l'intervalle (, alors la fonction augmente de (.

2. Si f `(x) en chaque point de l'intervalle (, alors la fonction diminue de (.

Prérequis extrême

Si le point x 0 est le point extremum de la fonction et en ce point il y a une dérivée, alors F `( X 0 )=0

Condition suffisante pour un extremum

Si F `( X 0 X 0 la valeur de la dérivée change de signe de « + » à « - », puis X 0 est le point maximum de la fonction.

Si F `( X 0 ) = 0 et en passant par le point X 0 la valeur de la dérivée change de signe de « - » à « + », puis X 0 est le point minimum de la fonction.

Tâche 7. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), défini sur l'intervalle (−7; 10). Trouver le nombre de points minimum de la fonction f(x) sur l'intervalle [−3; 8].

Solution. Les points minimaux correspondent aux points où le signe de la dérivée passe du moins au plus. Sur le segment [−3; 8] la fonction a un point minimum X= 4. Un tel point est donc 1. Réponse : 1.

Tâche 8. La figure montre un graphique de la fonction différentiable y=f(x) et sept points sont marqués sur l'axe des abscisses : x​1, x​2, x​3, x​4, x​5, x​6, x ​7. En combien de ces points la dérivée de f(x) est-elle négative ? Réponse : 3

Tâche 9. La figure montre un graphique de la fonction différentiable y=f(x), définie sur l'intervalle (− 11 ; − 1). Trouver un point du segment [− 7  ;  − 2], dans laquelle la dérivée de la fonction f(x) est égale à 0. Réponse : -4

Tâche 10. La figure montre un graphique de la fonction y=f′(x) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (2 ; 13). Trouver le point maximum de la fonction f(x). Réponse : 9

Tâche 11. La figure montre le graphique y=f′(x) de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (− 3; 8). A quel point du segment [− 2;  3] la fonction f(x) prend plus petite valeur? Réponse : -2

Tâche 12. La figure montre le graphique y=f "(x) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (− 2 ; 11). Trouver l'abscisse du point auquel la tangente au graphique de la fonction y=f(x) est parallèle à l’axe des abscisses ou coïncide avec lui Réponse : 3.

Tâche 13. La figure montre un graphique de y=f "(x) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (− 4 ; 6). Trouvez l'abscisse du point auquel la tangente au graphique du la fonction y=f(x) est parallèle à la droite y=3x ou coïncide avec elle Réponse : 5.

Tâche 14. La figure montre un graphique de y=f "(x) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (− 4 ; 13). Trouvez le nombre de points auxquels la tangente au graphique de la fonction y=f(x) est parallèle à la droite y=− 2x−10 ou égal à celle-ci Réponse : 5

Tâche 15. La droite y =5x -8 est tangente au graphique de la fonction 4x 2 -15x +c. Trouver c. O réponse : 17.

Primitive

Fonction primitive F(x) pour la fonction f(x) appelé une fonction dérivé ce qui est égal à la fonction originale. F " ( X )= F ( X ).

Tâche 16. La figure montre un graphique y = F (X) une des primitives d'une fonction F(X), défini sur l'intervalle (1;13). À l'aide de la figure, déterminez le nombre de solutions à l'équation F (X)=0 sur le segment . Réponse : 4

Tâche 17. La figure montre le graphique y=F(x) d'une des primitives d'une fonction f(x), définie sur l'intervalle (− 7; 8). À l’aide de la figure, déterminez le nombre de solutions de l’équation f(x)=0 sur le segment. Réponse 1

Tâche 18. La figure montre un graphique de y=F(x) de l'une des primitives d'une fonction f(x) et huit points en abscisse sont marqués : x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. En combien de ces points la fonction f(x) est-elle négative ? Réponse : 3

Tâche 19. La figure montre un graphique d'une fonction y=f(x). La fonction F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 est une des primitives de la fonction f(x). Trouvez l'aire de la figure ombrée. Réponse : 592

Algorithme pour trouver des points extrêmes

    Trouvez le domaine de définition de la fonction.

    Trouver la dérivée d'une fonction F "( X)

    Trouver les points où F "( X) = 0.

    Marquez sur la droite numérique le domaine de définition de la fonction et tous les zéros de la dérivée.

    Définir le signe dérivépour chaque intervalle. (Pour ce faire, remplacez une valeur « pratique » X de cet intervalle à F "( X)).

    Déterminer les zones croissantes et décroissantes de la fonction en fonction des signes de la dérivée et tirer des conclusions sur la présence ou l'absence d'un extremum et sa nature ( maximum oumin ) en chacun de ces points.

Tâche 20. Trouver le point maximum de la fonction y=(2x−1)cosx−2sinx+5, appartenant à l'intervalle (0 ; π/2). Réponse : 0,5

Tâche 21.Trouver le point maximum de la fonctiony=. Réponse : 6

Algorithme de recherche la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un segment

Tâche 22. Trouvez la plus petite valeur de la fonction y =x −6x +1 sur le segment. Réponse : -31

Tâche 23. Trouver la plus petite valeur de la fonction y=8cosx+30x/π+19 sur l'intervalle [− 2π/3 ;  0]. Réponse : -5

En plus. 1. Trouver le point maximum de la fonction y=(x−11) 2 ​ ⋅e x − 7 .

2. Trouver valeur la plus élevée fonctions y=x 5 -5x 3 -20x sur le segment [− 9  ;  1]. Réponse : 48