Identités trigonométriques de base. Relation entre fonctions trigonométriques de même angle

21.09.2019

"Bref plan"

Vera Anatolyevna Golovatova, professeur de mathématiques

GB POU "Collège Okhta"

Résumé de deux leçons pour les étudiantsje cours (10e année) sur le thème :

"La relation entre le sinus, le cosinus et la tangente du même angle"

Cible:étudier la relation entre le sinus, le cosinus et la tangente du même angle.

Pour atteindre cet objectif, il faut :

Savoir:

formulations de définitions de fonctions trigonométriques de base (sinus, cosinus et tangente) ;

signes de fonctions trigonométriques par quartiers ;

ensemble de valeurs de fonctions trigonométriques ;

formules de base de la trigonométrie.

Comprendre:

que l'identité trigonométrique de base ne peut être utilisée que pour le même argument ;

algorithme pour calculer une fonction trigonométrique à travers une autre.

Appliquer:

la capacité de choisir correctement la bonne formule pour résoudre une tâche spécifique ;

capacité à travailler avec fractions simples;

capacité à effectuer des transformations d'expressions trigonométriques.

Analyse:

analyser les erreurs dans la logique du raisonnement.

La synthèse:

suggérez votre propre façon de résoudre des exemples ;

créez des mots croisés en utilisant les connaissances que vous avez acquises.

Grade:

connaissances et compétences sur ce sujet pour une utilisation dans d'autres sections de l'algèbre.

Équipement: tracé d'un cercle trigonométrique, polycopiés avec formules et tableaux de valeurs des fonctions trigonométriques, ordinateur, projecteur multimédia, présentation, fiches avec tâches pour travail indépendant.

Sources utilisées :

Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les classes 10-11. enseignement général institutions / Sh.A.Alimov, Yu.V. Sidorov et coll. Éducation, 2006.

Travaux de l'Open Bank pour la préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques, 2011.

Ressources du réseau INTERNET.

Bref plan leçon:

Organisation du temps.

Salutations. Communiquer le but de la leçon et le plan de la leçon - 3-5 minutes.

Actualisation des connaissances et des compétences.

Les étudiants reçoivent des fiches de cours et des explications sur la façon de travailler avec elles.

Les questions sont affichées à l'écran ; les élèves notent les réponses dans un cahier ; L'enseignant affiche la bonne réponse à l'écran. Après avoir répondu au sondage, les élèves ajoutent des points à la carte de cours pour Tâches n°1 – 10 minutes.

Explication du nouveau matériel.

L'enseignant dérive la formule du principal identité trigonométrique – 5 minutes.

Les étudiants sont invités à compléter indépendamment l'enregistrement des exemples affichés à l'écran, à vérifier l'exactitude des réponses et à ajouter des points à la fiche de cours pour Tâches n°2 – 5 minutes.

Dans le cahier, les élèves sont invités à exprimer indépendamment le sinus par le cosinus et le cosinus par le sinus à partir de l’identité trigonométrique de base. La bonne réponse s'affiche à l'écran, les élèves vérifient et ajoutent des points à la carte de cours pour Tâches n°3 – 5-7 minutes.

L’enseignant résout des exemples au tableau en utilisant l’identité trigonométrique de base. Les élèves répondent aux questions du professeur pendant l'explication et notent des exemples dans leur cahier - 15 minutes.

L'enseignant dérive des formules montrant la relation entre la tangente et la cotangente, les élèves participent activement à la dérivation des formules, répondent aux questions et prennent des notes dans un cahier - 5 minutes.

L'enseignant dérive des formules montrant la relation entre la tangente et le cosinus, entre le sinus et la cotangente - 5 minutes.

Les élèves sont appelés au tableau à volonté et, avec l'aide de l'enseignant, résolvent des exemples à l'aide d'un algorithme. Tout le monde écrit et répond aux questions si nécessaire - 10 minutes.

Renforcer la matière apprise

A la fin du cours, les bonnes réponses s'affichent à l'écran, les élèves vérifient leurs réponses et ajoutent des points à la fiche de cours pour Tâches n°4 – 20 minutes.

Devoirs: Les élèves écrivent leurs devoirs dans leurs cahiers - 3 minutes.

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"Réflexion"

Après avoir assisté à des séminaires sur le RNS et animé une leçon utilisant carte technologique Il est devenu évident pour moi que le système de notation stimule au maximum l'intérêt possible des étudiants pour un sujet spécifique. Dans mon cas, ce sont les formules de base de la trigonométrie.

La trigonométrie est très souvent mal perçue par les étudiants, non pas tant à cause de sa complexité, mais parce que grande quantité des formules avec lesquelles vous devez être capable de travailler.

Il est difficile d'attendre des succès et des résultats incroyables après un cours mené à l'aide d'une carte technologique, mais il me semble que les avantages système d'évaluation dans l'étude de la trigonométrie et des mathématiques en général sont les suivants :

il est devenu possible d'organiser et de soutenir à la fois le travail en classe et le travail indépendant et systématique des étudiants à la maison ;

La fréquentation et le niveau de discipline des cours devraient augmenter ;

la motivation pour les activités éducatives augmente ;

diminuer des situations stressantes après avoir reçu des notes insatisfaisantes ;

l'attitude créative envers le travail est stimulée.

Le seul inconvénient du RNS (à mon avis) est une grande quantité de travail pour l'enseignant, mais c'est un travail pour les résultats. Après un seul cours dispensé avec ce système, les étudiants se demandent constamment si nous allons continuer à travailler de cette façon. Cela signifie qu'ils étaient accros à quelque chose. Et nous devons continuer à travailler.

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"Travail indépendant"

TRAVAIL INDÉPENDANT

Quel que soit le niveau que vous choisissez, examinez d'abord attentivement toutes les tâches que je vous ai confiées, puis complétez la tâche correspondant au niveau que vous avez choisi (Avant d'aborder les tâches de quatre options, le numéro de l'option correspond aux niveaux d'estime de soi.)

1 possibilité

Instructions:

Résolvez vous-même cet exemple :

Option 2

Astuce : Pour déterminer la fonction cosinus, utilisez la formule (3) de la leçon d'aujourd'hui. N'oubliez pas de déterminer le signe qui apparaîtra devant la racine. Pour calculer les valeurs de la tangente et de la cotangente, vous pouvez utiliser la définition de ces fonctions ou utiliser les formules que nous avons développées aujourd'hui en classe.

Note. Regroupez le premier et le troisième termes de l'expression, retirez le facteur commun entre parenthèses....

Option 3

Option 4

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"Présentation"

Répétition:

1. Dans quel quartier se trouve l'angle

1 radian et à quoi est-il approximativement égal ?

Au premier trimestre, 1 rad.  57,3°

2. Quel mot manque dans la définition de la fonction sinusoïdale ?

Sinus de l'angle  appelés ………… points du cercle unité.

ORDONNEE

3. Quel mot manque dans la définition de la fonction cosinus ?

Cosinus de l'angle  appelé

………… points du cercle unité.

ABSCISSE

4. Complétez la formule :



5. Déterminez le signe du produit :

6. Quelle valeur le sinus peut-il prendre ?



7. Calculez :

oui

B(x;y)

Y = péché 



x=cos 

Terminez l'enregistrement :





oui





oui



J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme, en regardant le cahier, mais à l'aide de questions suggestives (carte - instructions).
J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme, en regardant le cahier, en utilisant les instructions du professeur.
+ J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme, en regardant le cahier, sans questions ni instructions suggestives.
+ J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme sans regarder le cahier.

Option 1:

Option 3 :

Option 2:

Option 4 :

Sujet: Formules trigonométriques (25 heures)
Leçon 6 – 7 : La relation entre le sinus, le cosinus et la tangente du même angle.
Cible:étudier la relation entre le sinus, le cosinus et la tangente du même angle. Pour atteindre cet objectif, il faut :

Savoir:

formulations de définitions de fonctions trigonométriques de base (sinus, cosinus et tangente) ; signes de fonctions trigonométriques par quartiers ; ensemble de valeurs de fonctions trigonométriques ; formules de base de la trigonométrie.

Comprendre:

que l'identité trigonométrique de base ne peut être utilisée que pour le même argument ; algorithme pour calculer une fonction trigonométrique à travers une autre.

Appliquer:

la capacité de choisir correctement la bonne formule pour résoudre une tâche spécifique ; capacité à travailler avec des fractions simples ; capacité à effectuer des transformations d'expressions trigonométriques.

Analyse:

analyser les erreurs dans la logique du raisonnement.

La synthèse:

suggérez votre propre façon de résoudre des exemples ; créez des mots croisés en utilisant les connaissances que vous avez acquises.

Grade:

connaissances et compétences sur ce sujet pour une utilisation dans d'autres sections de l'algèbre.

Organisation du temps.

Salutations. Communiquer le but de la leçon et le plan de la leçon.

Actualisation des connaissances et des compétences.

Les étudiants reçoivent des fiches de cours et des explications sur la façon de travailler avec elles. Les questions sont affichées à l'écran ; les élèves notent les réponses dans un cahier ; L'enseignant affiche la bonne réponse à l'écran. Après avoir répondu au sondage, les élèves ajoutent des points à la carte de cours pour Tâches n°1.

Dans quel quartier se trouve un angle de 1 radian et à quoi est-il approximativement égal ?(Au premier trimestre, 1 rad 57,3 0).

Quel mot manque dans la définition de la fonction sinus ?Le sinus de l'angle  est appelé ............ points du cercle unité. (Ordonnée)

Quel mot manque dans la définition de la fonction cosinus ?Cosinus de l'angle appelés ............ points du cercle unité (abscisse).

Quelles valeurs le sinus peut-il prendre ?

()

Explication du nouveau matériel.

Représentons un cercle unité dont le centre est le point O. Supposons qu'en faisant tourner le rayon OA, égal à R, d'un angle , on obtient le rayon OB (Fig. 5). Alors par définition

Où

– abscisse du point B,

– son ordonnée. Il s'ensuit que le point B appartient au cercle. Par conséquent, ses coordonnées satisfont à l’équation

Profiter de ce que nous obtenons

(1). Nous avons obtenu une égalité valable pour toutes les valeurs des lettres qui y sont incluses. Comment appelle-t-on de telles égalités ? C'est vrai - les identités. L'égalité (1) s'appelle identité trigonométrique de base. Dans l'égalité (1)  peut prendre n'importe quelle valeur. Complétez vous-même l'enregistrement :
1.
Veuillez vérifier que votre saisie est correcte. Ajoutez des points à votre carte de cours pour Tâches n°2. Nous allons continuer. Nous avons dérivé l’identité trigonométrique principale, mais pourquoi en avons-nous besoin ? C'est vrai - pour trouver la valeur du cosinus à partir d'une valeur sinusoïdale connue et vice versa. Maintenant, vous et moi pouvons toujours utiliser l'identité trigonométrique de base, mais l'essentiel est le même argument. Dans le cahier, les élèves sont invités à exprimer indépendamment le sinus par le cosinus et le cosinus par le sinus à partir de l’identité trigonométrique de base. Deux élèves sont appelés au tableau pour vérifier. On demande à l'un d'exprimer le sinus par le cosinus, au second - le cosinus par le sinus. La bonne réponse s'affiche à l'écran :

Les élèves vérifient leurs réponses et ajoutent des points à la fiche de cours pour Tâches n°3. Dans ces formules, de quoi dépend le signe devant la racine ? (Cela dépend du quadrant dans lequel se trouve l'angle de la fonction trigonométrique que nous définissons).
Exemple 1 . Calculer

Déterminer le quartier dans lequel se situe l'angle

. Trimestre – III. Rappelons que le sinus du troisième quart est négatif, c'est-à-dire dans la formule (2) il faut mettre le signe « - » devant la racine : Exemple 2. Calculer

On détermine le quartier dans lequel se situe l'angle . Trimestre – IV, le cosinus du quatrième trimestre est positif. Par conséquent, dans la formule (3), le signe « + » est nécessaire avant la racine :
Découvrons-le maintenant relation entre tangente et cotangente. Par définition de tangente et cotangente

En multipliant ces égalités, on obtient :

A partir de l'égalité (4) on peut exprimer

à travers

et vice versa:

Les égalités (4) – (6) sont vraies pour toutes les valeurs pour lesquelles

avoir du sens, c'est-à-dire quand

Dérivons maintenant des formules exprimant la relation entre la tangente et le cosinus, ainsi que la cotangente et le sinus du même argument. Diviser les deux côtés de l'égalité (1) par

, on a:

ceux.

Si les deux côtés de l’égalité (1) sont divisés par

, alors nous aurons :

ceux.

Regardons des exemples d'utilisation des formules dérivées pour trouver les valeurs des fonctions trigonométriques selon valeur connue l'un d'eux.
Exemple 1. Voyons si l'on sait que

Solution:

Pour trouver la cotangente de l'angle , il convient d'utiliser la formule (6) :

Répondre:
Exemple 2. Il est connu que

. Retrouvons toutes les autres fonctions trigonométriques. Solution:

(7).

. Selon les conditions du problème, l'angle  est l'angle de 1 quart, donc son cosinus est positif. Moyens

Répondre:

Relations établies entre fonctions trigonométriques du même argument permettent de simplifier les expressions trigonométriques.
Exemple 3. Simplifions l'expression :

Solution: Utilisons les formules :

. On a:

Consolidation.

Et maintenant, l'écran présente des rubriques d'auto-évaluation sur ce sujet. Marquez le niveau que vous aimeriez atteindre aujourd’hui.

J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme, en regardant le cahier, mais à l'aide de questions suggestives (carte - instructions).

J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme, en regardant le cahier, en utilisant les instructions du professeur.

J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme, en regardant le cahier, sans questions ni instructions suggestives.

J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme sans regarder le cahier.

Quel que soit le niveau que vous choisissez, relisez d'abord attentivement toutes les tâches que je vous ai confiées, puis complétez la tâche correspondant au niveau que vous avez choisi (il y a des tâches devant vous en quatre options, le numéro de l'option correspond aux niveaux de l'estime de soi.)

1 possibilité

Instructions:

Option 4

Maintenant les gars, vérifions les réponses. Les réponses correctes sont affichées à l'écran et les élèves vérifient leur travail et ajoutent des points à la carte de cours pour Tâches n°4. Évaluez-vous à l’aide de la carte de cours. Calculez vos points et mettez-les sur la carte.

Devoirs.

Notez toutes les formules dérivées dans l'ouvrage de référence. D'après le manuel n° 459 (3, 5), n° 460 (1)

Leçon ouverte d'algèbre et principes d'analyse sur le thème : « La relation entre le sinus et le cosinus du même angle » (10e année)

Cible: perception des étudiants et prise de conscience initiale des nouveaux Matériel pédagogique, comprendre les connexions et les relations dans les objets d'étude

Éducatif : dérivation de formules pour la relation entre le sinus et le cosinus du même angle (nombre) ; apprendre à utiliser ces formules pour calculer les valeurs du sinus et du cosinus à partir d'une valeur donnée de l'un d'eux.

Du développement : apprendre à analyser, comparer, construire des analogies, généraliser et systématiser, prouver et réfuter, définir et expliquer des concepts, développer et améliorer la capacité d'appliquer les connaissances existantes des élèves dans différentes situations; développer le discours mathématique compétent des élèves, la capacité de donner des formulations laconiques

Éducatif: favoriser une attitude consciencieuse envers le travail et une attitude positive envers la connaissance, en inculquant aux étudiants la précision, la capacité d'écouter et d'exprimer leurs opinions ; culture du comportement.

Économie de santé : créer un climat psychologique confortable en classe, une atmosphère de coopération : élève - enseignant.

Connaissances et compétences: définitions des fonctions trigonométriques de base (sinus, cosinus) ; signes de fonctions trigonométriques par quartiers ; ensembles de valeurs de fonctions trigonométriques ; formules de base de la trigonométrie.Ula capacité de choisir la bonne formule pour résoudre un problème spécifique ; travailler avec des fractions simples ; Convertissez des expressions trigonométriques.

Pendant les cours

Temps d’organisation :

Vérifiez l'état de préparation des élèves pour la leçon. Ouverture du site Internet de l’enseignant sur ordinateur (Annexe 1).

Travail oral sur le sujet traité : "Signes du sinus, du cosinus et de la tangente"

Sur le bureau:

Exercice:

Disposez les numéros des quarts du plan de coordonnées et déterminez les signes du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente.

Travail indépendant sur ce sujet: "Signes du sinus, du cosinus et de la tangente"

Les étudiants ouvrent la rubrique « Devoirs pour le cours de trigonométrie » sur le site Internet. Auto-test

(Les élèves réalisent la tâche n°1, vérifient leur travail et s'évaluent)

Explication du nouveau matériel

Sur le bureau:

x = … α , … ≤ cos α≤ … 2)* tan α = , α≠ …

oui= … α, … ≤ péché α≤ … CTG α = , α≠ …

Exercice: ajouter des formules

Professeur : « Vous et moi avons étudié chaque concept séparément. Selon vous, quel sujet est-il logique d’étudier ensuite ? »

( Réponse suggérée: "Dépendance entre ces concepts")

Le sujet de la leçon est formulé : "La relation entre le sinus et le cosinus d'un même angle"

Professeur : « Il existe plusieurs façons de résoudre ce problème »

Utilisation de l'équation du cercle unité

Utiliser le théorème de Pythagore

Professeur : « Regardons les deux et choisissons le plus rationnel »

Sur le bureau:

Les étudiants bénéficient de l’égalitéparce que 2 α + péché 2 α = 1

Professeur : «Nous avons obtenu une égalité juste pour toutes les valeurs des lettres qui y sont incluses. Comment appelle-t-on de telles égalités ?

( Réponse suggérée : identités)

Professeur : « Rappelez-vous comment s'appelle l'identitéparce que 2 α + péché 2 α = 1 »

Renforcer la matière apprise

Un enseignant: "Ouvrez le manuel p. 147, n° 457 (2;4)" (les élèves appelés résolvent au tableau)

B) Professeur: « Procédez à la tâche n°2. Nous travaillons sur des options » (Discussion des résultats obtenus)

Sur le bureau:

Option 1 Option 2

Professeur: « Dans ces formules, les racines sont précédées des signes »±» . Qu’est-ce qui détermine le signe à mettre dans la formule ? »

(Réponse suggérée: "A partir de quel quart se situe l'angle de rotation du point P(1;0)"

B) Enseignant : « Passez à la tâche numéro 3. » (Les élèves résolvent des problèmes, vérifient au tableau)

Résumer la leçon

Professeur: "Bien joué! Nous résumerons la leçon à l’aide de mots croisés » (Tâche 4) (Les élèves travaillent en binôme devant l’ordinateur)

7) Réflexion sous forme de questionnaire (Annexe 2)

Professeur: "Résumez votre performance en classe en complétant le test."

8) Devoirs

§25, n° 456, 457(1;3),460(1;3).

Rapport

Essayons de trouver la relation entre les principales fonctions trigonométriques du même angle.

Relation entre cosinus et sinus du même angle

La figure suivante montre le système de coordonnées Oxy avec la partie du demi-cercle unité ACB représentée avec le centre au point O. Cette partie est l'arc du cercle unité. Le cercle unité est décrit par l'équation

x 2 +y 2 =1.

Comme on le sait déjà, l'ordonnée y et l'abscisse x peuvent être représentées comme le sinus et le cosinus de l'angle à l'aide des formules suivantes :

péché(une) = y,
cos(une) = x.

En substituant ces valeurs dans les équations du cercle unité, nous avons l'égalité suivante

(sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,

Cette égalité est vraie pour toute valeur de l'angle a. C’est ce qu’on appelle l’identité trigonométrique de base.

À partir de l’identité trigonométrique de base, une fonction peut être exprimée en fonction d’une autre.

péché(une) = ±√(1-(cos(une)) 2),
cos(une) = ±√(1-(sin(une)) 2).

Le signe à droite de cette formule est déterminé par le signe de l’expression à gauche de cette formule.

Par exemple.

Calculer sin(a) si cos(a)=-3/5 et pi

Utilisons la formule donnée ci-dessus :

péché(une) = ±√(1-(cos(une)) 2).

Depuis pi

sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2) = - √(1 – 9/25) = - 4/5.

Relation entre tangente et cotangente du même angle

Essayons maintenant de trouver la relation entre la tangente et les cotangentes.

Par définition, tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a).

Multiplions ces égalités et obtenons tg(a)*ctg(a) =1.

A partir de cette égalité, on peut exprimer une fonction à travers une autre. On a:

tg(une) = 1/ctg(une),
ctg(a) = 1/tg(a).

Il faut comprendre que ces égalités ne sont valables que lorsque tg et ctg existent, c'est-à-dire pour tout a, sauf a = k*pi/2, pour tout entier k.

Essayons maintenant, en utilisant l'identité trigonométrique de base, de trouver la relation entre la tangente et le cosinus.

Divisons l'identité trigonométrique principale par (cos(a)) 2. (cos(a) n’est pas égal à zéro, sinon la tangente n’existerait pas.

On obtient l’égalité suivante ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2.

En divisant terme par terme, on obtient :

1+(tg(une)) 2 = 1/(cos(une)) 2 .

Comme indiqué ci-dessus, cette formule est correcte si cos(a) n'est pas égal à zéro, c'est-à-dire pour tous les angles a, sauf a=pi/2 +pi*k, pour tout entier k.

1. Je connais la matière des leçons précédentes	Points
J'ai répondu correctement à toutes les questions sans notes.
J'ai répondu sans note avec une erreur.
J'ai répondu sans prendre de notes et j'ai fait plus d'une erreur.
J'ai répondu correctement à toutes les questions en utilisant les notes.
J'ai répondu en utilisant mes notes, avec une erreur.
J'ai répondu en utilisant mes notes et j'ai fait plus d'une erreur

2. J'ai terminé d'enregistrer les exemples.	Points
J'ai terminé toutes les tâches sans erreurs
J'ai complété avec une erreur
J'ai terminé les tâches et fait plus de deux erreurs

3. J'en ai déduit la formule pour trouver le sinus et le cosinus	Points
J'ai bien compris les formules
J'ai dérivé les formules et j'ai fait une erreur
J'ai dérivé les formules avec l'aide de mon professeur

4. J'ai appliqué mes connaissances sur le sujet : « La relation entre le sinus, le cosinus et la tangente du même angle » lors de la résolution de travaux indépendants	Points
J'ai résolu les exemples de l'option 1 sans erreurs.
J'ai résolu les exemples de l'option 1 et j'ai fait une erreur.
J'ai résolu les exemples de l'option 2 sans erreurs.
J'ai résolu les exemples de l'option 2 et j'ai fait une erreur.
J'ai résolu les exemples 3 options sans erreurs
J'ai résolu les exemples de l'option 3 et j'ai fait une erreur.
J'ai résolu les exemples 4 options sans erreurs.
J'ai résolu les exemples de l'option 4 et j'ai fait une erreur.

5. Évaluez-vous :
J'ai compris la dérivation des formules et je peux résoudre des exemples sur ce sujet avec un cahier et l'aide d'un professeur.
J'ai compris la dérivation des formules et je peux résoudre des exemples par moi-même sans cahier, simplement en regardant les formules.
J'ai compris la dérivation des formules et je peux résoudre des exemples par moi-même sans cahier ; si j'oublie une formule, je peux la déduire moi-même.

Identités trigonométriques de base. Relation entre fonctions trigonométriques de même angle

Lire aussi

"Bref plan"

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Afficher le contenu du document "Travail indépendant"

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Relation entre cosinus et sinus du même angle

Relation entre tangente et cotangente du même angle

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"Réflexion"

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"Travail indépendant"

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"Présentation"