Nombres naturels (N). Nombres premiers et composés. Diviseur, multiple. Plus grand commun diviseur, moins commun multiple. Plus petit commun multiple et plus grand commun diviseur Multiplication. multiplicateur * multiplicateur = produit

Multiples communs de nombres naturelsunEtbest un nombre multiple de chacun de ces nombres.

Le plus petit nombre de tous les multiples communs UN Et b appelé le plus petit commun multiple de ces nombres.

Le plus petit commun multiple des nombres UN Et b Acceptons de noter K( UN, b).

Par exemple, les deux nombres 12 et 18 sont des multiples communs de : 36, 72, 108, 144, 180, etc. Le nombre 36 est le plus petit commun multiple des nombres 12 et 18. On peut écrire : K(12, 18) = 36.

Pour le plus petit commun multiple, les affirmations suivantes sont vraies :

1. Le plus petit commun multiple des nombres UN Et b

2. Le plus petit commun multiple des nombres UN Et b pas moins que le plus grand de ces nombres, c'est-à-dire Si un >b, alors K( UN, b) ≥ UN.

3. Tout multiple commun de nombres UN Et b divisé par leur plus petit commun multiple.

Plus grand diviseur commun

Le diviseur commun des nombres naturels a etbest un nombre qui est un diviseur de chacun de ces nombres.

Le plus grand nombre de tous les diviseurs communs des nombres UN Et b est appelé le plus grand diviseur commun de ces nombres.

Le plus grand diviseur commun des nombres UN Et b Acceptons de noter D( UN, b).

Par exemple, pour les nombres 12 et 18, les diviseurs communs sont les nombres : 1, 2, 3, 6. Le nombre 6 est 12 et 18. Vous pouvez écrire : D(12, 18) = 6.

Le nombre 1 est le diviseur commun de deux nombres naturels quelconques un Et b. Si ces nombres n’ont pas d’autres diviseurs communs, alors D( UN, b) = 1, et les nombres UN Et b sont appelés mutuellement premier.

Par exemple, les nombres 14 et 15 sont relativement premiers puisque D(14, 15) = 1.

Pour le plus grand commun diviseur, les affirmations suivantes sont vraies :

1. Plus grand diviseur commun des nombres un Et b existe toujours et est unique.

2. Plus grand diviseur commun des nombres UN Et b ne dépasse pas le plus petit des nombres donnés, c'est-à-dire Si un< b, Que D(un, b) ≤ un.

3. Plus grand diviseur commun des nombres un Et b est divisible par n'importe quel diviseur commun de ces nombres.

Le plus grand multiple commun des nombres UN Et b et leur plus grand commun diviseur sont interdépendants : le produit du plus petit commun multiple et du plus grand commun diviseur des nombres UN Et bégal au produit de ces nombres, c'est-à-dire K( un, b)·D( un, b) = un· b.

Les corollaires suivants découlent de cette affirmation :

a) Le plus petit commun multiple de deux nombres premiers entre eux est égal au produit de ces nombres, c'est-à-dire D( un, b) = 1 => K( un, b) = un· b;

Par exemple, pour trouver le plus petit commun multiple des nombres 14 et 15, il suffit de les multiplier, puisque D(14, 15) = 1.

b) UN divisé par le produit de nombres premiers entre eux m Et n, il faut et il suffit qu'il soit divisible par m, et sur n.

Cette affirmation est un signe de divisibilité par des nombres qui peuvent être représentés comme le produit de deux nombres relativement premiers.

c) Les quotients obtenus en divisant deux nombres donnés par leur plus grand diviseur commun sont des nombres relativement premiers.

Cette propriété peut être utilisée pour vérifier l'exactitude du plus grand diviseur commun trouvé de nombres donnés. Par exemple, vérifions si le nombre 12 est le plus grand diviseur commun des nombres 24 et 36. Pour ce faire, selon la dernière affirmation, nous divisons 24 et 36 par 12. Nous obtenons respectivement les nombres 2 et 3, qui sont premiers entre eux. Par conséquent, D(24, 36)=12.

Problème 32. Formuler et prouver le test de divisibilité par 6.

Solution X divisible par 6, il faut et il suffit qu'il soit divisible par 2 et 3.

Laissez le numéro X est divisible par 6. Puis du fait que X 6 et 62, il s'ensuit que X 2. Et du fait que X 6 et 63, il s'ensuit que X 3. Nous avons prouvé que pour qu'un nombre soit divisible par 6, il doit être divisible par 2 et 3.

Montrons la suffisance de cette condition. Parce que X 2 et X 3, alors X- commun multiple des nombres 2 et 3. Tout commun multiple des nombres est divisé par leur plus petit multiple, ce qui signifie X K(2;3).

Puisque D(2, 3)=1, alors K(2, 3)=2·3=6. Ainsi, X 6.

Problème 33. Formuler à 12, 15 et 60.

Solution. Pour qu'un nombre naturel X divisible par 12, il faut et suffisant qu'il soit divisible par 3 et 4.

Pour qu'un nombre naturel X divisible par 15, il faut et suffit qu'il soit divisible par 3 et 5.

Pour qu'un nombre naturel X divisible par 60, il faut et il suffit qu'il soit divisible par 4, 3 et 5.

Problème 34. Trouver des numéros un Et b, si K( un B)=75, un· b=375.

Solution. En utilisant la formule K( un B)·D( un B)=un· b, trouvez le plus grand diviseur commun des nombres requis UN Et b:

D( un, b) === 5.

Ensuite, les nombres requis peuvent être représentés sous la forme UN= 5R., b= 5q, Où p Et q p et 5 q vers l'égalité un b= 275. Prenons 5 p·5 q=375 ou p· q=15. Nous résolvons l'équation résultante à deux variables par sélection : nous trouvons des paires de nombres relativement premiers dont le produit est égal à 15. Il existe deux de ces paires : (3, 5) et (1, 15). Par conséquent, les nombres requis UN Et b sont : 15 et 25 ou 5 et 75.

Problème 35. Trouver des numéros UN Et b, si l'on sait que D( un, b) = 7 et un· b= 1470.

Solution. Depuis D( un, b) = 7, alors les nombres requis peuvent être représentés sous la forme UN= 7R., b= 7q, Où p Et q sont des nombres premiers entre eux. Remplaçons les expressions 5 R. et 5 q vers l'égalité un b = 1470. Puis 7 p·7 q= 1470 ou p· q= 30. On résout l'équation résultante à deux variables par sélection : on trouve des paires de nombres relativement premiers dont le produit est égal à 30. Il existe quatre de ces paires : (1, 30), (2, 15), (3, 10 ), (5, 6). Par conséquent, les nombres requis UN Et b sont : 7 et 210, 14 et 105, 21 et 70, 35 et 42.

Problème 36. Trouver des numéros UN Et b, si l'on sait que D( un, b) = 3 et UN:b= 17:14.

Solution. Parce que un:b= 17h14, alors UN= 17R. Et b= 14p, Où R.- le plus grand commun diviseur des nombres UN Et b. Ainsi, UN= 17·3 = 51, b= 14·3 = 42.

Problème 37. Trouver des numéros UN Et b, si l'on sait que K( un, b) = 180, un:b= 4:5.

Solution. Parce que un: b=4:5 alors UN=4R. Et b=5R., Où R.- le plus grand commun diviseur des nombres un Et b. Alors R.·180=4 R.·5 R.. Où R.=9. Ainsi, une = 36 et b=45.

Problème 38. Trouver des numéros UN Et b, si l'on sait que D( un B)=5, K( un B)=105.

Solution. Depuis D( un, b)K( un, b) = un· b, Que un· b= 5 105 = 525. De plus, les nombres requis peuvent être représentés sous la forme UN= 5R. Et b= 5q, Où p Et q sont des nombres premiers entre eux. Remplaçons les expressions 5 R. et 5 q vers l'égalité UN· b= 525. Puis 5 p·5 q=525 ou p· q=21. On trouve des paires de nombres relativement premiers dont le produit est égal à 21. Il existe deux de ces paires : (1, 21) et (3, 7). Par conséquent, les nombres requis UN Et b sont : 5 et 105, 15 et 35.

Problème 39. Prouver que le nombre n(2n+ 1)(7n+ 1) est divisible par 6 pour tout naturel n.

Solution. Le nombre 6 est composé ; il peut être représenté comme le produit de deux nombres relativement premiers : 6 = 2·3. Si nous prouvons qu'un nombre donné est divisible par 2 et 3, alors sur la base du test de divisibilité par un nombre composé, nous pouvons conclure qu'il est divisible par 6.

Pour prouver que le nombre n(2n+ 1)(7n+ 1) est divisible par 2, il faut considérer deux possibilités :

1) n est divisible par 2, c'est à dire n= 2k. Ensuite le produit n(2n+ 1)(7n+ 1) ressemblera à : 2 k(4k+ 1)(14k+ 1). Ce produit est divisible par 2, car le premier facteur est divisible par 2 ;

2) n n'est pas divisible par 2, c'est à dire n= 2k+ 1. Alors le produit n(2n+ 1 )(7n+ 1) ressemblera à : (2 k+ 1)(4k+ 3)(14k+ 8). Ce produit est divisible par 2, car le dernier facteur est divisible par 2.

Pour prouver que le travail n(2n+ 1)(7n+ 1) est divisible par 3, trois possibilités sont à considérer :

1) n est divisible par 3, soit n= 3k. Ensuite le produit n(2n+ 1)(7n+ 1) ressemblera à : 3 k(6k+ 1)(21k+ 1). Ce produit est divisible par 3, car le premier facteur est divisible par 3 ;

2) n Divisé par 3, le reste est 1, c'est-à-dire n= 3k+ 1. Alors le produit n(2n+ 1)(7n+ 1) ressemblera à : (3 k+ 1)(6k+ 3)(21k+ 8). Ce produit est divisible par 3, car le deuxième facteur est divisible par 3 ;

3) n divisé par 3, le reste est 2, c'est-à-dire n= 3k+ 2. Puis le produit n(2n+ 1)(7n+ 1) ressemblera à : (3 k+ 2)(6k+ 5)(21k+15). Ce produit est divisible par 3, car le dernier facteur est divisible par 3.

Il a donc été prouvé que le produit n(2n+ 1)(7n+ 1) est divisible par 2 et 3. Cela signifie qu'il est divisible par 6.

Exercices pour le travail indépendant

1. Étant donné deux nombres : 50 et 75. Notez l'ensemble :

a) diviseurs du nombre 50 ; b) diviseurs du nombre 75 ; c) diviseurs communs de nombres donnés.

Quel est le plus grand diviseur commun de 50 et 75 ?

2. Le nombre 375 est-il un multiple commun des nombres : a) 125 et 75 ; b) 85 et 15 ?

3. Trouver des numéros UN Et b, si l'on sait que K( un, b) = 105, un· b= 525.

4. Trouver des numéros UN Et b, si l'on sait que D( un, b) = 7, un· b= 294.

5. Trouver des numéros UN Et b, si l'on sait que D( un, b) = 5, un:b= 13:8.

6. Trouver des numéros UN Et b, si l'on sait que K( un, b) = 224, un:b= 7:8.

7. Trouver des numéros un Et b, si l'on sait que D( un, b) = 3, K( un; b) = 915.

8. Démontrez le test de divisibilité par 15.

9. À partir de l'ensemble des nombres 1032, 2964, 5604, 8910, 7008, notez ceux qui sont divisibles par 12.

10. Formuler les critères de divisibilité par 18, 36, 45, 75.

L'ensemble des nombres naturels = (1, 2, 3...). Autrement dit, l’ensemble des nombres naturels est l’ensemble de tous les entiers positifs. Les opérations d'addition, de multiplication, de soustraction et de division sont définies sur des nombres naturels. Le résultat de l’addition, de la multiplication et de la soustraction de deux nombres naturels est un nombre entier. Le résultat de la division de deux nombres naturels peut être un entier ou une fraction.

Par exemple : 20 : 4 = 5 – le résultat de la division est un entier.
20 : 3 = 6 2/3 – le résultat de la division est une fraction.
Un nombre naturel n est dit divisible par un nombre naturel m si le résultat de la division est un nombre entier. Dans ce cas, le nombre m est appelé diviseur du nombre n, et le nombre n est appelé multiple du nombre m.

Dans le premier exemple, le nombre 20 est divisible par 4, 4 est un diviseur de 20 et 20 est un multiple de 4.
Dans le deuxième exemple, le nombre 20 n'est pas divisible par le nombre 3 ; il ne peut donc être question de diviseurs et de multiples ;

Un nombre n est dit premier s’il n’a pas d’autres diviseurs que lui-même et un. Exemples de nombres premiers : 2, 7, 11, 97, etc.
Un nombre n est dit composé s’il possède des diviseurs autres que lui-même et un.

Tout nombre naturel peut être décomposé en un produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique, à l'ordre des facteurs près. Par exemple : 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 – toutes ces expansions ne diffèrent que par l'ordre des facteurs.

Le plus grand diviseur commun de deux nombres m et n est le plus grand nombre naturel qui est un diviseur à la fois de m et de n. Par exemple, les nombres 34 et 85 ont un plus grand commun diviseur de 17.

Le plus petit commun multiple de deux nombres m et n est le plus petit nombre naturel qui est un multiple de m et n. Par exemple, les nombres 15 et 4 ont un plus petit commun multiple de 60.

Un nombre naturel, divisible par deux nombres premiers, est également divisible par leur produit. Par exemple, si un nombre est divisible par 2 et 3, alors il est divisible par 6 = 2 3, si par 11 et 7, alors par 77.

Exemple : le nombre 6930 est divisible par 11 - 6930 : 11 = 630, et est divisible par 7 - 6930 : 7 = 990. On peut affirmer sans risque que ce nombre est également divisible par 77. Vérifions : 6930 : 77 = 90.

Algorithme de factorisation du nombre n en facteurs premiers :

1. Trouvez le plus petit diviseur premier du nombre n (autre que 1) - a1.
2. Divisez le nombre n par a1, en désignant le quotient par n1.
3. n = a1 n1.
4. On effectue la même opération avec n1 jusqu’à obtenir un nombre premier.

Exemple : Factoriser le nombre 17 136 en facteurs premiers

1. Le plus petit diviseur premier autre que 1, ici 2.

2. 17 136: 2 = 8 568;

3. 17 136 = 8 568 2.

4. Le plus petit diviseur premier de 8568 est 2.

5. 8 568: 2 = 4284;

6. 17 136 = 4284 2 2.

7. Le plus petit diviseur premier de 4284 est 2.

8. 4284: 2 = 2142;

9. 17 136 = 2142 2 2 2.

10. Le plus petit diviseur premier de 2142 est 2.

11. 2142: 2 = 1071;

12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.

13. Le plus petit diviseur premier de 1071 est 3.

14. 1071: 3 = 357;

15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.

16. Le plus petit diviseur premier de 357 est 3.

17. 357: 3 = 119;

18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.

19. Le plus petit diviseur premier de 119 est 7.

20. 119: 7 = 17;

21. 17 est un nombre premier, ce qui signifie 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2.

Nous avons obtenu la décomposition du nombre 17 136 en facteurs premiers.

Mots clés du résumé :Entiers. Opérations arithmétiques sur les nombres naturels. Divisibilité des nombres naturels. Nombres premiers et composés. Factoriser un nombre naturel en facteurs premiers. Signes de divisibilité par 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Plus grand commun diviseur (PGCD), ainsi que plus petit commun multiple (LCD). Division avec reste.

Entiers- ce sont des nombres qui servent à compter les objets - 1, 2, 3, 4 , ... Mais le numéro 0 ce n'est pas naturel !

L'ensemble des nombres naturels est noté N. Enregistrer "3 ∈N" signifie que le nombre trois appartient à l'ensemble des nombres naturels, et la notation "0 ∉N" signifie que le nombre zéro n’appartient pas à cet ensemble.

Système de nombres décimaux- système de numérotation à base de position 10 .

Opérations arithmétiques sur les nombres naturels

Pour les nombres naturels, les actions suivantes sont définies : addition, soustraction, multiplication, division, exponentiation, extraction de racine. Les quatre premières actions sont arithmétique.

Soient a, b et c des nombres naturels, alors

1. AJOUT. Durée + Durée = Somme

Propriétés d'addition
1. Communicatif a + b = b + a.
2. Conjonctif a + (b + c) = (a + b) + c.
3. une + 0= 0 + une = une.

2. SOUSTRAIT. Minuend - Subtrahend = Différence

Propriétés de la soustraction
1. Soustraire la somme du nombre a - (b + c) = a - b - c.
2. Soustraire un nombre de la somme (a + b) - c = a + (b - c) ; (une + b) - c = (une - c) + b.
3. une - 0 = une.
4. une - une = 0.

3. MULTIPLICATION. Multiplicateur * Multiplicateur = Produit

Propriétés de multiplication
1. Communicatif a*b = b*a.
2. Conjonctive a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * une = une * 1 = une.
4. 0 * une = une * 0 = 0.
5. Distributif (a + b) * c = ac + bc ; (a - b) * c = ac - avant JC.

4. DIVISION. Dividende : Diviseur = Quotient

Propriétés de division
1. une : 1 = une.
2. une : une = 1. On ne peut pas diviser par zéro !
3. 0 : une= 0.

Procédure

1. Tout d’abord, les actions entre parenthèses.
2. Puis multiplication, division.
3. Et seulement à la fin de l'addition et de la soustraction.

Divisibilité des nombres naturels. Nombres premiers et composés.

Diviseur d'un nombre naturel UN est l'entier naturel auquel UN divisé sans reste. Nombre 1 est un diviseur de tout nombre naturel.

L'entier naturel s'appelle simple, si seulement il a deux diviseur : un et le nombre lui-même. Par exemple, les nombres 2, 3, 11, 23 sont des nombres premiers.

Un nombre qui a plus de deux diviseurs s'appelle composite. Par exemple, les nombres 4, 8, 15, 27 sont des nombres composés.

Test de divisibilité travaux plusieurs nombres : si au moins un des facteurs est divisible par un certain nombre, alors le produit est également divisible par ce nombre. Travail 24 15 77 divisé par 12 , puisque le multiplicateur de ce nombre 24 divisé par 12 .

Test de divisibilité d'une somme (différence) nombres : si chaque terme est divisible par un certain nombre, alors la somme entière est divisée par ce nombre. Si un B Et c:b, Que (a + c) :b. Et si un B, UN c non divisible par b, Que a+c non divisible par un nombre b.

Si une : c Et c:b, Que un B. Sur la base du fait que 72 :24 et 24 :12, nous concluons que 72 :12.

La représentation d'un nombre comme produit de puissances de nombres premiers est appelée factoriser un nombre en facteurs premiers.

Théorème fondamental de l'arithmétique: tout nombre naturel (sauf 1 ) ou est simple, ou il ne peut être factorisé que d'une seule manière.

Lors de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers, les signes de divisibilité sont utilisés et la notation « colonne » est utilisée. Dans ce cas, le diviseur est situé à droite de la ligne verticale et le quotient est écrit sous le dividende.

Par exemple, tâche : factoriser un nombre en facteurs premiers 330 . Solution:

Signes de divisibilité en 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 et 11.

Il y a des signes de divisibilité en 6, 15, 45 etc., c'est-à-dire en nombres dont le produit peut être factorisé 2, 3, 5, 9 Et 10 .

Plus grand diviseur commun

Le plus grand nombre naturel par lequel chacun des deux nombres naturels donnés est divisible est appelé plus grand diviseur commun ces chiffres ( PGCD). Par exemple, PGCD (10 ; 25) = 5 ; et PGCD (18 ; 24) = 6 ; PGCD (7 ; 21) = 1.

Si le plus grand diviseur commun de deux nombres naturels est égal à 1 , alors ces nombres sont appelés mutuellement premier.

Algorithme pour trouver le plus grand diviseur commun(HOCHER LA TÊTE)

GCD est souvent utilisé dans les problèmes. Par exemple, 155 cahiers et 62 stylos ont été répartis à parts égales entre les élèves d'une classe. Combien d'élèves y a-t-il dans cette classe ?

Solution: Connaître le nombre d'élèves de cette classe revient à trouver le plus grand commun diviseur des nombres 155 et 62, puisque les cahiers et les stylos ont été répartis à parts égales. 155 = 5 31 ; 62 = 2 31. PGCD (155 ; 62) = 31.

Répondre: 31 élèves dans la classe.

Multiple moins commun

Multiples d'un nombre naturel UN est un nombre naturel divisible par UN sans laisser de trace. Par exemple, le numéro 8 a des multiples : 8, 16, 24, 32 , ... Tout nombre naturel a une infinité de multiples.

Multiple moins commun(LCM) est le plus petit nombre naturel multiple de ces nombres.

Algorithme pour trouver le multiple le plus petit commun ( CNP):

LCM est également souvent utilisé dans les problèmes. Par exemple, deux cyclistes ont démarré simultanément sur une piste cyclable dans la même direction. L’un fait un cercle en 1 minute et l’autre en 45 secondes. Dans combien de minutes minimum après le début du mouvement se retrouveront-ils au départ ?

Solution: Le nombre de minutes après lesquelles ils se retrouveront au départ doit être divisé par 1 minute, ainsi que sur 45 s. En 1 min = 60 s. C'est-à-dire qu'il est nécessaire de trouver le LCM (45 ; 60). 45 = 32 5 ; 60 = 22 3 5. LCM (45 ; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. Le résultat est que les cyclistes se retrouveront au départ en 180 s = 3 min.

Répondre: 3 minutes.

Division avec reste

Si un nombre naturel UN n'est pas divisible par un nombre naturel b, alors tu peux faire division avec reste. Dans ce cas, le quotient résultant s’appelle incomplet. L'égalité est juste :

une = bn + r,

Où UN- divisible, b- diviseur, n- quotient incomplet, r- le reste. Par exemple, que le dividende soit égal 243 , diviseur - 4 , Alors 243 : 4 = 60 (reste 3). Autrement dit, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, alors 243 = 60 4 + 3 .

Nombres divisibles par 2 sans reste, sont appelés même: une = 2n, n ∈ N.

Les numéros restants sont appelés impair: b = 2n + 1, n ∈ N.

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