Le sinus et le cosinus sont nés à l’origine de la nécessité de calculer des quantités dans des triangles rectangles. Il a été remarqué que si la mesure en degrés des angles dans un triangle rectangle n'est pas modifiée, alors le rapport hauteur/largeur, quelle que soit la variation de longueur de ces côtés, reste toujours le même.

C’est ainsi qu’ont été introduites les notions de sinus et de cosinus. Sinus angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse, et le cosinus est le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse.

Théorèmes des cosinus et des sinus

Mais les cosinus et les sinus peuvent être utilisés pour bien plus que de simples triangles rectangles. Pour trouver la valeur d'un angle ou d'un côté obtus ou aigu d'un triangle, il suffit d'appliquer le théorème des cosinus et des sinus.

Le théorème du cosinus est assez simple : « Le carré d’un côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés moins le double du produit de ces côtés et le cosinus de l’angle qui les sépare. »

Il existe deux interprétations du théorème des sinus : petite et étendue. Selon la mineure : « Dans un triangle, les angles sont proportionnels aux côtés opposés. » Ce théorème est souvent élargi en raison de la propriété du cercle circonscrit d'un triangle : « Dans un triangle, les angles sont proportionnels aux côtés opposés, et leur rapport est égal au diamètre du cercle circonscrit. »

Dérivés

La dérivée est un outil mathématique qui montre la rapidité avec laquelle une fonction change par rapport à un changement dans son argument. Les dérivés sont utilisés en géométrie et dans un certain nombre de disciplines techniques.

Lors de la résolution de problèmes, vous devez connaître les valeurs tabulaires des dérivées fonctions trigonométriques: sinus et cosinus. La dérivée d'un sinus est un cosinus, et un cosinus est un sinus, mais avec un signe moins.

Application en mathématiques

Les sinus et les cosinus sont particulièrement souvent utilisés lors de la résolution triangles rectangles et les tâches qui leur sont associées.

La commodité des sinus et des cosinus se reflète également dans la technologie. Les angles et les côtés étaient faciles à évaluer à l’aide des théorèmes du cosinus et du sinus, décomposant les formes et les objets complexes en triangles « simples ». Les ingénieurs qui s'occupent souvent des calculs de rapports d'aspect et de mesures de degrés ont consacré beaucoup de temps et d'efforts à calculer les cosinus et les sinus des angles non tabulaires.

Puis les tables de Bradis sont venues à la rescousse, contenant des milliers de valeurs de sinus, cosinus, tangentes et cotangentes différents angles. À l'époque soviétique, certains enseignants obligeaient leurs élèves à mémoriser des pages de tableaux de Bradis.

Radian- magnitude angulaire arcs, longueur égal au rayon ou 57,295779513° degrés.

Degré (en géométrie) - 1/360ème partie d'un cercle ou 1/90ème partie angle droit.

π = 3,141592653589793238462… (valeur approximative de Pi).

Table des cosinus pour les angles : 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Je n'essaierai pas de vous convaincre de ne pas rédiger d'aide-mémoire. Écrire! Y compris des aide-mémoire sur la trigonométrie. Plus tard, j'ai l'intention d'expliquer pourquoi les aide-mémoire sont nécessaires et pourquoi les aide-mémoire sont utiles. Et voici des informations sur la façon de ne pas apprendre, mais de mémoriser quelques formules trigonométriques. Donc - la trigonométrie sans aide-mémoire ! Nous utilisons des associations pour la mémorisation.

1. Formules d'addition :

Les cosinus « viennent toujours par paires » : cosinus-cosinus, sinus-sinus. Et encore une chose : les cosinus sont « inadéquats ». « Tout va mal » pour eux, alors ils changent les signes : « - » en « + », et vice versa.

Sinus – « mélanger »: sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Formules de somme et de différence :

les cosinus « viennent toujours par paires ». En ajoutant deux cosinus - « koloboks », nous obtenons une paire de cosinus - « koloboks ». Et en soustrayant, nous n'obtiendrons certainement pas de koloboks. Nous obtenons quelques sinus. Aussi avec un moins à venir.

Sinus – « mélanger » :

3. Formules pour convertir un produit en somme et différence.

Quand obtenons-nous une paire de cosinus ? Quand on ajoute des cosinus. C'est pourquoi

Quand avons-nous quelques sinus ? Lors de la soustraction des cosinus. D'ici:

Le « mélange » est obtenu à la fois en ajoutant et en soustrayant des sinus. Quoi de plus amusant : ajouter ou soustraire ? C'est vrai, pliez-vous. Et pour la formule ils prennent l'addition :

Dans les première et troisième formules, la somme est entre parenthèses. Réorganiser les places des termes ne change pas la somme. L'ordre n'est important que pour la deuxième formule. Mais, pour ne pas se tromper, pour faciliter la mémorisation, dans les trois formules des premières parenthèses, nous prenons la différence

et deuxièmement - le montant

Des aide-mémoire dans votre poche vous permettent d'avoir l'esprit tranquille : si vous oubliez la formule, vous pouvez la copier. Et ils vous donnent confiance : si vous n'utilisez pas l'aide-mémoire, vous pouvez facilement mémoriser les formules.

La solution la plus simple équations trigonométriques.

Résoudre des équations trigonométriques de tout niveau de complexité revient en fin de compte à résoudre les équations trigonométriques les plus simples. Et dans ce meilleure aide encore une fois, il s'agit d'un cercle trigonométrique.

Rappelons les définitions du cosinus et du sinus.

Le cosinus d'un angle est l'abscisse (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point du cercle unité correspondant à une rotation d'un angle donné.

Le sinus d'un angle est l'ordonnée (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point du cercle unité correspondant à une rotation d'un angle donné.

Le sens positif du mouvement sur le cercle trigonométrique est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Une rotation de 0 degré (ou 0 radian) correspond à un point de coordonnées (1;0)

Nous utilisons ces définitions pour résoudre des équations trigonométriques simples.

1. Résolvez l'équation

Cette équation est satisfaite par toutes les valeurs de l'angle de rotation qui correspondent aux points du cercle dont l'ordonnée est égale à .

Marquons un point d'ordonnée sur l'axe des ordonnées :

Tracez une ligne horizontale parallèle à l'axe des x jusqu'à ce qu'elle croise le cercle. On obtient deux points situés sur le cercle et ayant une ordonnée. Ces points correspondent aux angles de rotation en et en radians :

Si l'on part du point correspondant à l'angle de rotation par radian, on fait un cercle complet, alors on arrivera à un point correspondant à l'angle de rotation par radian et ayant la même ordonnée. Autrement dit, cet angle de rotation satisfait également notre équation. Nous pouvons faire autant de révolutions « à vide » que nous le souhaitons, en revenant au même point, et toutes ces valeurs d'angle satisferont notre équation. Le nombre de tours « au ralenti » sera désigné par la lettre (ou). Puisque nous pouvons effectuer ces révolutions dans les sens positif et négatif, (ou) peut prendre n’importe quelle valeur entière.

Autrement dit, la première série de solutions à l’équation originale a la forme :

, , - ensemble d'entiers (1)

De même, la deuxième série de solutions a la forme :

, Où , . (2)

Comme vous l'avez peut-être deviné, cette série de solutions est basée sur le point du cercle correspondant à l'angle de rotation de .

Ces deux séries de solutions peuvent être combinées en une seule entrée :

Si nous prenons (c'est-à-dire pair) cette entrée, nous obtiendrons alors la première série de solutions.

Si nous prenons (c'est-à-dire impair) cette entrée, alors nous obtenons la deuxième série de solutions.

2. Résolvons maintenant l'équation

Puisqu'il s'agit de l'abscisse d'un point sur le cercle unité obtenu en tournant d'un angle, on marque le point en abscisse sur l'axe :

Tracez une ligne verticale parallèle à l'axe jusqu'à ce qu'elle croise le cercle. Nous obtiendrons deux points situés sur le cercle et ayant une abscisse. Ces points correspondent aux angles de rotation en et en radians. Rappelons qu'en nous déplaçant dans le sens des aiguilles d'une montre, nous obtenons un angle de rotation négatif :

Écrivons deux séries de solutions :

,

,

(Nous entrons dans point souhaité, en passant du cercle complet principal, c'est-à-dire.

Combinons ces deux séries en une seule entrée :

3. Résolvez l'équation

La tangente passe par le point de coordonnées (1,0) du cercle unité parallèle à l'axe OY

Marquons dessus un point avec une ordonnée égale à 1 (on recherche la tangente dont les angles sont égaux à 1) :

Relions ce point à l'origine des coordonnées par une ligne droite et marquons les points d'intersection de la ligne avec le cercle unité. Les points d'intersection de la droite et du cercle correspondent aux angles de rotation sur et :

Puisque les points correspondant aux angles de rotation qui satisfont notre équation se trouvent à une distance de radians les uns des autres, nous pouvons écrire la solution de cette façon :

4. Résolvez l'équation

La ligne des cotangentes passe par le point dont les coordonnées du cercle unité sont parallèles à l'axe.

Marquons un point d'abscisse -1 sur la droite cotangente :

Relions ce point à l'origine de la ligne droite et continuons-le jusqu'à ce qu'il coupe le cercle. Cette droite coupera le cercle en des points correspondant aux angles de rotation en et en radians :

Puisque ces points sont séparés les uns des autres par une distance égale à , alors décision commune On peut écrire cette équation comme ceci :

Dans les exemples donnés illustrant la solution des équations trigonométriques les plus simples, des valeurs tabulaires de fonctions trigonométriques ont été utilisées.

Cependant, si du côté droit de l’équation il n’y a pas valeur du tableau, puis nous substituons la valeur dans la solution générale de l'équation :

SOLUTIONS SPÉCIALES :

Marquons les points sur le cercle dont l'ordonnée est 0 :

Marquons un seul point sur le cercle dont l'ordonnée est 1 :

Marquons un seul point sur le cercle dont l'ordonnée est égale à -1 :

Puisqu'il est d'usage d'indiquer les valeurs les plus proches de zéro, on écrit la solution comme suit :

Marquons les points sur le cercle dont l'abscisse est égale à 0 :

5.
Marquons un seul point sur le cercle dont l'abscisse est égale à 1 :

Marquons un seul point sur le cercle dont l'abscisse est égale à -1 :

Et des exemples un peu plus complexes :

1.

Le sinus est égal à un si l'argument est égal à

L'argument de notre sinus est égal, nous obtenons donc :

Divisez les deux côtés de l'égalité par 3 :

Répondre:

2.

Le cosinus est nul si l'argument du cosinus est

L'argument de notre cosinus est égal à , on obtient donc :

Exprimons , pour ce faire on se déplace d'abord vers la droite avec le signe opposé :

Simplifions le côté droit :

Divisez les deux côtés par -2 :

Notez que le signe devant le terme ne change pas, puisque k peut prendre n'importe quelle valeur entière.

Répondre:

Et enfin, regardez la leçon vidéo « Sélection de racines dans une équation trigonométrique à l'aide d'un cercle trigonométrique »

Ceci conclut notre conversation sur la résolution d’équations trigonométriques simples. La prochaine fois, nous parlerons de la manière de décider.

Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques

Note. Ce tableau de valeurs de fonctions trigonométriques utilise le signe √ pour indiquer racine carrée. Pour indiquer une fraction, utilisez le symbole "/".

voir également matériel utile :

Pour déterminer la valeur d'une fonction trigonométrique, trouvez-le à l'intersection de la ligne indiquant la fonction trigonométrique. Par exemple, sinus 30 degrés - nous recherchons la colonne avec le titre sin (sinus) et trouvons l'intersection de cette colonne du tableau avec la ligne "30 degrés", à leur intersection nous lisons le résultat - une moitié. De même on retrouve cosinus 60 degrés, sinus 60 degrés (encore une fois, à l'intersection de la colonne sin et de la ligne des 60 degrés on trouve la valeur sin 60 = √3/2), etc. Les valeurs des sinus, cosinus et tangentes d'autres angles « populaires » se trouvent de la même manière.

Sinus pi, cosinus pi, tangente pi et autres angles en radians

Le tableau ci-dessous des cosinus, sinus et tangentes convient également pour trouver la valeur des fonctions trigonométriques dont l'argument est donné en radians. Pour ce faire, utilisez la deuxième colonne de valeurs d'angle. Grâce à cela, vous pouvez convertir la valeur des angles populaires de degrés en radians. Par exemple, trouvons l'angle de 60 degrés sur la première ligne et lisons sa valeur en radians en dessous. 60 degrés équivaut à π/3 radians.

Le nombre pi exprime sans ambiguïté la dépendance de la circonférence par rapport à la mesure en degré de l'angle. Ainsi, pi radians est égal à 180 degrés.

Tout nombre exprimé en pi (radians) peut être facilement converti en degrés en remplaçant pi (π) par 180..

Exemples:
1. Sinus pi.
péché π = péché 180 = 0
ainsi, le sinus de pi est le même que le sinus de 180 degrés et il est égal à zéro.

2. Cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
ainsi, le cosinus de pi est le même que le cosinus de 180 degrés et il est égal à moins un.

3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
ainsi, la tangente pi est la même que la tangente 180 degrés et elle est égale à zéro.

Tableau des valeurs sinus, cosinus et tangentes pour les angles 0 - 360 degrés (valeurs communes)

Si dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques un tiret est indiqué à la place de la valeur de la fonction (tangente (tg) 90 degrés, cotangente (ctg) 180 degrés), alors pour une valeur donnée du degré mesure de l'angle la fonction n'a pas de valeur spécifique. S'il n'y a pas de tiret, la cellule est vide, ce qui signifie que nous n'y sommes pas encore entrés Valeur souhaitée. Nous sommes intéressés par les requêtes que les utilisateurs nous contactent et complètent le tableau avec de nouvelles valeurs, malgré le fait que les données actuelles sur les valeurs des cosinus, des sinus et des tangentes des valeurs d'angle les plus courantes sont tout à fait suffisantes pour résoudre la plupart problèmes.

Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques sin, cos, tg pour les angles les plus courants
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 degrés
(valeurs numériques « selon les tables Bradis »)

– il y aura certainement des tâches sur la trigonométrie. La trigonométrie est souvent détestée en raison de la nécessité de regrouper un grand nombre de formules difficiles, regorgeant de sinus, cosinus, tangentes et cotangentes. Le site a déjà donné une fois des conseils pour mémoriser une formule oubliée, en prenant l'exemple des formules d'Euler et de Peel.

Et dans cet article, nous essaierons de montrer qu'il suffit de connaître fermement seulement les cinq plus simples formules trigonométriques, et pour le reste j'ai idée générale et sortez-les au fur et à mesure. C’est comme avec l’ADN : la molécule ne stocke pas les plans complets d’une créature vivante finie. Il contient plutôt des instructions pour l’assembler à partir des acides aminés disponibles. Donc en trigonométrie, connaissant certains principes généraux, nous aurons tout formules nécessaires parmi un petit ensemble de ceux qu’il faut garder à l’esprit.

Nous nous appuierons sur les formules suivantes :

À partir des formules pour les sommes sinus et cosinus, connaissant la parité de la fonction cosinus et l'impair de la fonction sinus, en substituant -b au lieu de b, nous obtenons des formules pour les différences :

1. Sinus de la différence: péché(un B) = péchéunparce que(-b)+parce queunpéché(-b) = péchéunparce queb-parce queunpéchéb
2. Cosinus de la différence: parce que(un B) = parce queunparce que(-b)-péchéunpéché(-b) = parce queunparce queb+péchéunpéchéb

En mettant a = b dans les mêmes formules, on obtient les formules pour le sinus et le cosinus des angles doubles :

1. Sinus double angle : péché2a = péché(un+un) = péchéunparce queun+parce queunpéchéun = 2péchéunparce queun
2. Cosinus du double angle: parce que2a = parce que(un+un) = parce queunparce queun-péchéunpéchéun = parce que2 une-péché2 une

Les formules pour d'autres angles multiples sont obtenues de la même manière :

1. Sinus d'un triple angle: péché3a = péché(2a+a) = péché2aparce queun+parce que2apéchéun = (2péchéunparce queun)parce queun+(parce que2 une-péché2 une)péchéun = 2péchéunparce que2 une+péchéunparce que2 une-péché 3 une = 3 péchéunparce que2 une-péché 3 une = 3 péchéun(1-péché2 une)-péché 3 une = 3 péchéun-4péché 3a
2. Cosinus du triple angle: parce que3a = parce que(2a+a) = parce que2aparce queun-péché2apéchéun = (parce que2 une-péché2 une)parce queun-(2péchéunparce queun)péchéun = parce que 3 a- péché2 uneparce queun-2péché2 uneparce queun = parce que 3 a-3 péché2 uneparce queun = parce que 3a-3(1- parce que2 une)parce queun = 4parce que 3 a-3 parce queun

Avant de continuer, examinons un problème.
Étant donné : l'angle est aigu.
Trouver son cosinus si
Solution donnée par un étudiant :
Parce que , Que péchéun= 3,une parce queun = 4.
(De l'humour mathématique)

Ainsi, la définition de la tangente relie cette fonction au sinus et au cosinus. Mais vous pouvez obtenir une formule qui relie la tangente uniquement au cosinus. Pour le dériver, on prend l'identité trigonométrique principale : péché 2 un+parce que 2 un= 1 et divisez-le par parce que 2 un. On a:

La solution à ce problème serait donc :

(L'angle étant aigu, lors de l'extraction de la racine, le signe + est pris)

La formule de la tangente d’une somme est une autre formule difficile à retenir. Sortons-le comme ceci :

Immédiatement affiché et

À partir de la formule du cosinus pour un angle double, vous pouvez obtenir les formules du sinus et du cosinus pour un demi-angle. Pour ce faire, appliquez sur le côté gauche de la formule du cosinus double angle :
parce que2 un = parce que 2 un-péché 2 un
nous en ajoutons une, et à droite - une unité trigonométrique, c'est-à-dire la somme des carrés du sinus et du cosinus.
parce que2a+1 = parce que2 une-péché2 une+parce que2 une+péché2 une
2parce que 2 un = parce que2 un+1
Exprimer parce queunà travers parce que2 un et en effectuant un changement de variables, on obtient :

Le signe est pris en fonction du quadrant.

De même, en soustrayant un du côté gauche de l'égalité et la somme des carrés du sinus et du cosinus du côté droit, nous obtenons :
parce que2a-1 = parce que2 une-péché2 une-parce que2 une-péché2 une
2péché 2 un = 1-parce que2 un

Et enfin, pour convertir la somme des fonctions trigonométriques en produit, nous utilisons la technique suivante. Disons que nous devons représenter la somme des sinus comme un produit péchéun+péchéb. Introduisons les variables x et y telles que a = x+y, b+x-y. Alors
péchéun+péchéb = péché(x+y)+ péché(x-y) = péché X parce que y+ parce que X péché y+ péché X parce que oui- parce que X péché y=2 péché X parce que y. Exprimons maintenant x et y en fonction de a et b.

Puisque a = x+y, b = x-y, alors . C'est pourquoi

Vous pouvez vous retirer immédiatement

1. Formule de partitionnement produits du sinus et du cosinus V montant: péchéunparce queb = 0.5(péché(a+b)+péché(un B))

Nous vous recommandons de vous entraîner et de dériver vous-même des formules pour convertir la différence des sinus et la somme et la différence des cosinus en produit, ainsi que pour diviser les produits des sinus et des cosinus en la somme. Après avoir terminé ces exercices, vous maîtriserez parfaitement l'habileté de dériver des formules trigonométriques et ne vous perdrez pas même dans le test, l'olympiade ou le test le plus difficile.