Comment tracer y cosx. Sinus (sin x) et cosinus (cos x) – propriétés, graphiques, formules

Dans cette leçon, nous examinerons en détail la fonction y = cos x, ses principales propriétés et son graphique. Au début de la leçon, nous donnerons la définition de la fonction trigonométrique y = coût sur le cercle de coordonnées et considérerons le graphique du. fonction sur le cercle et la ligne. Montrons la périodicité de cette fonction sur le graphique et considérons les principales propriétés de la fonction. A la fin de la leçon, nous résoudrons plusieurs problèmes simples en utilisant le graphique d'une fonction et ses propriétés.

Sujet : Fonctions trigonométriques

Leçon : Fonction y=coût, ses propriétés de base et son graphique

Une fonction est une loi selon laquelle chaque valeur d'un argument indépendant est associée à une seule valeur de la fonction.

Souvenons-nous définition de fonction Laisser t- n'importe quel nombre réel. Il n'y a qu'un seul point qui lui correspond M. sur le cercle numérique. À ce point M. il y a une seule abscisse. C'est ce qu'on appelle le cosinus du nombre t. Chaque valeur d'argument t une seule valeur de fonction correspond (Fig. 1).

L'angle au centre est numériquement égal à la valeur de l'arc en radians, c'est-à-dire nombre Par conséquent, l'argument peut être soit un nombre réel, soit un angle en radians.

Si nous pouvons déterminer pour chaque valeur, alors nous pouvons construire un graphique de la fonction

Vous pouvez obtenir le graphique d’une fonction d’une autre manière. Selon les formules de réduction donc le graphique cosinus est une onde sinusoïdale décalée le long de l'axe X vers la gauche (Fig. 2).

Propriétés de la fonction

1) Portée de la définition :

2) Plage de valeurs :

3) Même fonction :

4) Plus petite période positive :

5) Coordonnées des points d'intersection avec l'axe des abscisses :

6) Coordonnées du point d'intersection avec l'axe des ordonnées :

7) Intervalles auxquels la fonction prend des valeurs positives :

8) Intervalles auxquels la fonction prend des valeurs négatives :

9) Intervalles croissants :

10) Intervalles décroissants :

11) Points minimum :

12) Fonction minimale : .

13) Nombre maximum de points :

14) Fonctions maximales :

Nous avons examiné les propriétés de base et le graphique de la fonction. Ensuite, ils seront utilisés pour résoudre des problèmes.

Bibliographie

1. Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Tutoriel pour les établissements d'enseignement(niveau profil) éd. A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2009.

2. Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement (niveau profil), éd. A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algèbre et analyse mathematique pour la 10e année ( Didacticiel pour les étudiants des écoles et des classes avec une étude approfondie des mathématiques).-M. : Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Étude approfondie de l'algèbre et de l'analyse mathématique.-M. : Education, 1997.

5. Recueil de problèmes de mathématiques pour les candidats aux établissements d'enseignement supérieur (édité par M.I. Skanavi - M. : Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulateur algébrique.-K. : A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problèmes d'algèbre et principes d'analyse (un manuel pour les étudiants de la 10e à la 11e année des établissements d'enseignement général - M. : Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Recueil de problèmes sur l'algèbre et principes d'analyse : manuel. allocation pour les classes 10-11. avec profondeur étudié Mathématiques.-M. : Éducation, 2006.

Devoirs

Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement (niveau profil), éd. A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Ressources Web supplémentaires

3. Portail éducatif se préparer aux examens ().

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Sujet de cours : « Fonction y=cosx »

Leçon 1

Objectifs du cours : Familiariser les élèves avec les propriétés d'une fonction

Objectifs de la leçon.

Éducatif – la formation de concepts fonctionnels à l'aide de matériel visuel, la formation de compétences dans la construction de graphiques de la fonction y=cosx, la formation de compétences dans la lecture fluide de graphiques, la capacité de refléter les propriétés d'une fonction sur un graphique.

Pendant les cours

Objectif de la leçon : Familiariser les élèves avec les propriétés de la fonction y=cosx, apprendre à construire un graphique de la fonction y=cosx, lire ce graphique, utiliser les propriétés et le graphique de la fonction lors de la résolution d'équations et d'inéquations.

2. L'annonce du sujet et du but de la leçon est accompagnée de la diapositive n°2

3. Actualisation des connaissances de base

Réaliser des exercices oraux.

1. Revoyez la définition des fonctions trigonométriques et les signes des valeurs de ces fonctions.
2. Attirez l'attention des élèves sur le fait que pour tout nombre réel on peut indiquer le point correspondant sur le cercle unité, et donc son abscisse et son ordonnée, soit cosinus et sinus d'un nombre x : y = cosx et y = sinx, dont le domaine est constitué de nombres réels.

Ensuite les élèves répondent aux questions :

1. Pour quelles valeurs de x la fonction y=cosx prend-elle la valeur 0 ? 1? -1?
2. La fonction y=cosx peut-elle prendre une valeur supérieure à 1 ou inférieure à -1 ?
3. À quelles valeurs de x la fonction y=cosx prend-elle la valeur la plus grande (la plus petite) ?
4. Quel est l'ensemble des valeurs de la fonction y=cosx ?

Les réponses à ces questions et aux suivantes sont accompagnées d'une illustration sur le cercle unité.

Après avoir répété les signes des valeurs des fonctions trigonométriques dans chaque quart du plan de coordonnées, les élèves sont invités à montrer plusieurs points sur le cercle unité correspondant à des nombres dont le cosinus est un nombre positif (négatif). Puis répond aux questions:

1) Quel signe a la fonction y=cosx si x=, x=,

0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?

2) Indiquez plusieurs valeurs de x pour lesquelles les valeurs de la fonction y = cosx sont positives et négatives.

3) Est-il possible de nommer toutes les valeurs d'un nombre dont le cosinus est positif ou négatif ?

4) Est-il possible de nommer toutes les valeurs de l'argument x pour lesquelles les valeurs de la fonction y = cosx sont positives et négatives ?

5) Fonction paire ou impaire y = cosx.

6) Quelle est la durée de cette fonction ?

4. Présentation du nouveau matériel.

Généralisation et concrétisation des connaissances acquises précédemment : l'étude du domaine de définition, ensemble de valeurs, parité, périodicité permet de construire un graphe d'abord sur un segment, puis sur un segment, puis sur toute la droite numérique. L’explication est accompagnée de la diapositive numéro 3.

Ensuite, les élèves apprennent à dessiner le graphique de la fonction y = cosx en utilisant les points (0;1), (;0),

(:-1), (;0), (;1) et résumez les propriétés de la fonction, en les enregistrant dans un tableau.

Vérifions en utilisant la diapositive numéro 4.

(A ce stade, des notes justificatives sont émises (Annexe 1))

5. Consolidation des connaissances primaires.

A partir d'un croquis du graphique de la fonction y=cosx, les élèves répondent à la question n°708 à l'aide du tableau des propriétés de la fonction y=cosx, ils répondent à la question n°709 ;

6. La tâche de construire un graphique d'une fonction avec un décalage le long de l'axe des ordonnées et le long de l'axe des abscisses.

1. Diapositive n° 5, 6

Au cours de la conversation, les propriétés de ces fonctions sont discutées.

7. Travail indépendant à l'aide du manuel

№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710

Divisez ce segment en deux segments pour que sur l'un d'eux la fonction y = cosx augmente, et sur l'autre elle diminue :

Descendant; - augmente

Descendant; - augmente

En utilisant la propriété croissante ou décroissante de la fonction y = cosx, comparez les nombres :

Sur le segment la fonction y = cosx diminue ; , ainsi, .

Sur le segment la fonction y = cosx augmente ;

<, следовательно, cos < cos

Trouver toutes les racines de l'équation appartenant au segment :

1) cosx = x = ±+2 n, n Z

Répondre: ; ; .

2) cosx = - x = ±

8. Résumé.

Classement.

Au cours de la leçon, nous avons appris à construire un graphique de la fonction y = cosx, à lire les propriétés de ce graphique, à construire un croquis du graphique et à résoudre des problèmes liés à l'utilisation du graphique et aux propriétés de la fonction y = cosx.

9. Devoirs.

§40 n° 710(2;4), n° 711(2;4), n° 711(2;4). Construire des graphiques de fonctions y = cosx sur et décrire les propriétés de cette fonction.

Numéro supplémentaire 717(1).

Leçon 2

Objectifs de la leçon : Réviser les règles de construction d'un graphe de la fonction у=cosx, apprendre à transformer un graphe, lire ce graphe, utiliser les propriétés et le graphe d'une fonction lors de la résolution d'équations et d'inégalités.

Objectifs de la leçon.

Éducatif – la formation de représentations fonctionnelles à l'aide de matériel visuel, la formation de compétences en matière de tracé de graphiques de la fonction y=cosx sous diverses transformations, la formation de compétences en lecture fluide de graphiques, la capacité de refléter les propriétés d'une fonction sur un graphique .

Développemental – développer la capacité d’analyser et de généraliser les connaissances acquises. Formation de la pensée logique.

Éducatif - pour intensifier l'intérêt pour l'acquisition de nouvelles connaissances, favoriser une culture graphique, développer la précision et l'exactitude lors de la réalisation de dessins.

Equipé de : projecteur multimédia, écran, système d'exploitation Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, programme MS Office 2003 : Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.

Pendant les cours

La leçon vidéo « Fonction y = cos x, ses propriétés et son graphique » fournit du matériel visuel pour étudier ce sujet. Le manuel présente les caractéristiques de la fonction, ses propriétés, ainsi que des descriptions de résolution de problèmes dans lesquelles les connaissances sur les propriétés du cosinus sont appliquées. À l'aide d'une leçon vidéo, il est plus facile pour un enseignant de fournir les connaissances requises et de développer les compétences des élèves. Les aides visuelles peuvent contribuer à rendre une leçon plus efficace en fournissant une compréhension plus profonde et une meilleure mémorisation, ainsi qu'en libérant du temps de leçon pour le travail individuel.

L’utilisation d’une leçon vidéo donne à l’enseignant un avantage pour présenter le matériel plus efficacement. Le manuel ne peut être utilisé que pour plus de clarté, en accompagnant l’explication de l’enseignant ou en tant que partie indépendante de la leçon, donnant à l’enseignant la possibilité d’améliorer le travail individuel avec les élèves. La construction démontrée de graphiques et de transformations à l'aide d'effets d'animation devient plus compréhensible pour les étudiants et les aide à maîtriser les compétences en résolution de problèmes à l'aide de ce matériel. Mettre en évidence et exprimer les propriétés d'une fonction à l'aide d'outils de didacticiel vidéo vous aide à mieux les mémoriser.

La démo commence par présenter le nom du thème. Pour construire un graphique de la fonction y = cos x, on rappelle aux élèves la formule de réduction de cos x = sin (x + π/2), qui indique que les graphiques des fonctions y = cos x et y = sin (x + π/2) sont identiques . Pour tracer un graphique de la fonction y= sin (x+π/2), on utilise un plan de coordonnées, sur l'axe des abscisses duquel est marqué le point -π/2. Si l'on prend ce point comme origine des coordonnées pour construire un graphe de sin x, alors ce graphe est aussi un graphe de la fonction y = sin (x + π/2) pour l'origine des coordonnées. C'est-à-dire que le graphique de la fonction y = cos x est décalé de π/2 le long de l'axe des abscisses du graphique de la fonction y = sin x. Il est évident que le graphique de la fonction y = cos x est aussi une sinusoïde. Sa localisation permet de tirer des conclusions sur les propriétés de la fonction.

La première propriété d’une fonction concerne le domaine de définition. Évidemment, le domaine de définition de la fonction sera la droite numérique entière, c'est-à-dire D(f)=(- ∞;+∞).

La deuxième propriété d'une fonction indique la parité de la fonction. Il est rappelé aux élèves la matière étudiée en 9e année, dans laquelle était indiquée la condition de parité d'une fonction. Pour une fonction paire, l'égalité f(-x)=f(x) est valide. Parlant de la parité de la fonction cosinus, il convient de noter que le graphique de cette fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Les propriétés de la fonction peuvent être démontrées sur la figure, qui montre un cercle unité sur le plan de coordonnées. Dans les premier et quatrième quarts, sont marqués des points symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Le cosinus est déterminé par l'abscisse du point, donc pour deux points L(t) et N(-t) les abscisses sont les mêmes. Donc cos (-t)= cos t.

La troisième propriété marque les intervalles de diminution et d'augmentation d'une fonction. La propriété indique que la fonction diminue sur le segment , et sur le segment [π;2π] le cosinus augmente. La figure montre un graphique de la fonction, qui montre clairement la zone des fonctions décroissantes et croissantes.

Il est évident que la fonction y = cos x augmente sur chaque segment [π+2πk;2π+2πk]. Les segments de diminution ressemblent généralement à ceci, où k est un entier.

La quatrième propriété note que la fonction cosinus est délimitée au-dessus et en dessous. Semblable au sinus, on peut noter les valeurs limitées du cosinus -1<= cos х<=1. Поэтому функция является ограниченной.

La cinquième propriété spécifie les valeurs les plus petites et les plus grandes de la fonction. Où plus petite valeur-1 est atteint à tout moment x=π+2πk, et la plus grande valeur de 1 est atteinte à tout moment x=2πk.

La sixième propriété indique la continuité de la fonction y = cos x. La figure montrant le graphique montre que cette fonction ne présente aucune rupture dans tout le domaine de définition.

La septième propriété de la fonction indique que l'ensemble des valeurs y = cos x est situé sur le segment [-1;1].

Ensuite, des exemples sont considérés dans lesquels il est nécessaire d'utiliser les connaissances sur les propriétés de la fonction y = cos x. Dans le premier exemple, il faut résoudre l’équation cos x=1-2. La solution de cette équation sera les points d'intersection des graphiques de fonctions, qui sont représentés par les expressions des côtés droit et gauche de l'équation, c'est-à-dire y = cos x et y = 1-x 2. De toute évidence, le graphique de la première équation est la sinusoïde démontrée plus haut dans le sujet. Le graphique de la deuxième fonction est une parabole dont le sommet est situé au point (0;1). Après avoir tracé les graphiques de chaque fonction, la figure de ce problème montre que le seul point d'intersection des deux graphiques sera le point B(0;1).

Dans le deuxième exemple, vous devez construire et lire un graphique d'une fonction définie sur le segment x<π/2 выражением sinx, а на отрезке х>=π/2 par expression cosx. Dans la figure accompagnant la solution de l'exemple, un graphique de la fonction у=sinx est tracé sur le segment [-3π/2 ; π/2]. Dans ce cas, au point π/2 la fonction ne prend pas de valeur. Sur le segment [π/2; 3π/2] un fragment de la fonction y = cos x est construit. Évidemment, les fragments construits seront répétés dans tout le domaine de définition. Ce qui suit décrit comment la fonction est lue. Il est à noter que cela revient à décrire ses propriétés. Les propriétés de cette fonction sont listées - le domaine de définition (-∞;+∞), l'absence de signes pairs ou impairs pour tout le domaine de définition, la fonction étant bornée à la fois en haut et en bas. La plus grande valeur de la fonction sera 1 et la plus petite -1. On note également qu'il existe une discontinuité au point x=π/2, un ensemble de valeurs de fonction (-1;1).

La leçon vidéo « Fonction y = cos x, ses propriétés et son graphique » est utilisée dans un cours de mathématiques sur ce sujet comme matériel visuel. De plus, cette vidéo peut être utile aux enseignants qui enseignent à distance pour développer les compétences nécessaires chez les étudiants. Le matériel peut être recommandé pour examen indépendant par des étudiants qui ne maîtrisent pas suffisamment le sujet et qui nécessitent une formation supplémentaire.

DÉCODAGE DE TEXTE :

Avant de construire un graphique de la fonction y = cos x, rappelez-vous la formule de réduction, selon laquelle cos x = sin(x + 14ПЂ2) "> (le cosinus de l'argument x est égal au sinus de l'argument x plus pi par deux). Cela signifie que les fonctions y = cos x Et

y = péché(x +14ПЂ2)"> sont identiques, donc leurs graphiques coïncident.

Pour représenter graphiquement la fonction y = sin(x +14ПЂ2)"> nous aurons besoin d'un système de coordonnées auxiliaire avec l'origine au point B(-14ПЂ2"> ; 0) (au point BE de coordonnées moins pi par deux, zéro). Si on trace la fonction y = sin x dans le nouveau système de coordonnées, on obtient un graphique de la fonction

y = péché(x +14ПЂ2)"> ou le graphique de la fonction y = cos x, puisque leurs graphiques coïncident (voir Fig. 1).

Puisque le graphique de la fonction y = cos x est obtenu à partir du graphique sinusoïdal en utilisant une translation parallèle sur une distance14ПЂ2"> dans le sens négatif, alors le graphique de cette fonction est aussi une sinusoïde.

Le graphique de la fonction y = cos x donne une idée précise des propriétés de cette fonction.

PROPRIÉTÉ 1. Le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels ou D (f) = (-14"> ; +14в€ћ">) (de de ef est égal à l'intervalle de moins l'infini à plus l'infini).

PROPRIÉTÉ 2. La fonction y = cos x est paire.

Dans les leçons de 9e année, nous avons appris que la fonction y = f (x), x ϵX (le y est égal à eff de x, où x appartient à l'ensemble x est grand) est appelée même si pour toute valeur x de l'ensemble définir X l'égalité

f (- x) = f (x) (eff de moins x est égal à ef de x).

PROPRIÉTÉ 3.Sur l'intervalle [ 0 ; π ] (de zéro à pi) la fonction décroît et augmente sur le segment [ π ; 2π ] (de pi à deux pi) et ainsi de suite.

On peut tirer une conclusion générale : la fonction y = cos x augmente sur le segment

[π 14+2ПЂk "> ;142ПЂ+2ПЂk "> ] (de pi plus deux pi ka à deux pi plus deux pi ka), et diminue sur le segment [14 2ПЂk"> ;14ПЂ+2ПЂk]"> (de deux pics à pi plus deux pics), où (ka appartient à l'ensemble des entiers).

PROPRIÉTÉ 4. La fonction est limitée en haut et en bas.

PROPRIÉTÉ 5. La plus petite valeur de la fonction est égale à moins un et est atteinte en tout point de la forme x =14ПЂ+2ПЂk"> (ou vous pouvez écrire y nom = - 1) ; la plus grande valeur est 1 et est obtenue en tout point de la forme x =142ПЂk">

(ou vous pouvez écrire y max. = 1).

PROPRIÉTÉ 6. La fonction y = cos x est continue.

PROPRIÉTÉ 7. L'ensemble des valeurs d'une fonction est un segment de moins un à un (ou vous pouvez écrire E(f) = [ - 1; 1]).

Regardons des exemples.

EXEMPLE 1.Résolvez l'équation cos x= 1 - x 2 (le cosinus x est égal à un moins x au carré).

Solution. Résolvons cette équation graphiquement. Dans un système de coordonnées, nous construirons deux graphiques de fonctions : y = cos x et y = 1 - x 2. Graphique de fonction

y = 1 - x 2 est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas, puisque le coefficient de x au carré est négatif. (voir Fig. 2) Les graphiques construits n'ont qu'un seul point commun - c'est le point B(0; 1) (avec les coordonnées zéro, un).

Solution. Nous construirons le planning « pièce par pièce ». Tout d'abord, traçons une partie du graphique de la fonction y = sin x sur la poutre ouverte (-14"> ;14ПЂ2">), puis dans le même repère sur le rayon [14 ПЂ2"> ; +14в€ћ">) nous construirons une partie du graphique de la fonction y = cos x. Nous obtiendrons le graphique de la fonction y = f(x).

Lisons le graphique de cette fonction (cela revient à lister les propriétés de la fonction) :

1. Le domaine de définition est l'ensemble de tous les nombres réels, c'est-à-dire

ré(f) = (-14€; + в€ћ)"> (c'est-à-dire que de de ef est égal à l'intervalle de moins l'infini à plus l'infini).

1. La fonction n'est ni paire ni impaire.
2. La fonction est limitée en bas et en haut.
3. La plus petite valeur de la fonction est égale à moins un (il existe une infinité de points de ce type), la plus grande valeur de la fonction est égale à un (il existe également une infinité de points de ce type).
4. La fonction a une discontinuité au point x =14ПЂ 2"> .
5. L'ensemble des valeurs de fonction est le segment de moins un à un.

Les principales fonctions trigonométriques sont les fonctions y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Considérons chacun d'eux séparément.

Y = péché(x)

Graphique de la fonction y=sin(x).

Propriétés de base :

3. La fonction est étrange.

Oui = cos(x)

Graphique de la fonction y=cos(x).

Propriétés de base :

1. Le domaine de définition est l’ensemble de l’axe numérique.

2. Fonction limitée. L'ensemble des valeurs est le segment [-1;1].

3. La fonction est égale.

4. La fonction est périodique avec la plus petite période positive égale à 2*π.

Y = bronzage(x)

Graphique de la fonction y=tg(x).

Propriétés de base :

1. Le domaine de définition est l'ensemble de l'axe numérique, à l'exception des points de la forme x=π/2 +π*k, où k est un nombre entier.

3. La fonction est étrange.

Y = ctg(x)

Graphique de la fonction y=ctg(x).

Propriétés de base :

1. Le domaine de définition est l'ensemble de l'axe numérique, à l'exception des points de la forme x=π*k, où k est un nombre entier.

2. Fonction illimitée. L'ensemble des valeurs est la droite numérique entière.

3. La fonction est étrange.

4. La fonction est périodique avec la plus petite période positive égale à π.