Comment révéler la racine. Racine carrée. Le guide complet (2019)

Formules de racines. Propriétés des racines carrées.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Dans la leçon précédente, nous avons découvert ce qu’est une racine carrée. Il est temps de découvrir lesquels existent formules pour les racines que sont propriétés des racines, et que peut-on faire avec tout cela.

Formules de racines, propriétés des racines et règles de travail avec les racines- c'est essentiellement la même chose. Formules pour racines carréesétonnamment peu. Ce qui me fait certainement plaisir ! Ou plutôt, vous pouvez écrire de nombreuses formules différentes, mais pour un travail pratique et confiant avec les racines, trois seulement suffisent. Tout le reste découle de ces trois-là. Bien que beaucoup de gens soient confus dans les trois formules de racines, oui...

Commençons par le plus simple. Elle est là:

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Nombres rationnels

La racine carrée non négative d’un nombre positif s’appelle racine carrée arithmétique et est désigné par le signe radical.

Nombres complexes

Dans le domaine des nombres complexes, il existe toujours deux solutions, ne différant que par leur signe (à l'exception de la racine carrée de zéro). La racine d’un nombre complexe est souvent notée , mais cette notation doit être utilisée avec précaution. Erreur commune:

Pour extraire la racine carrée d'un nombre complexe, il est pratique d'utiliser la forme exponentielle d'écriture d'un nombre complexe : si

, ,

où la racine du module s'entend dans le sens d'une valeur arithmétique, et k peut prendre les valeurs k=0 et k=1, donc la réponse aboutit à deux résultats différents.

Généralisations

Les racines carrées sont introduites comme solutions d'équations de la forme pour d'autres objets : matrices, fonctions, opérateurs, etc. Des opérations multiplicatives assez arbitraires peuvent être utilisées comme opération, par exemple la superposition.

Racine carrée en informatique

Dans de nombreux langages de programmation niveau fonctionnel(ainsi que dans les langages de balisage comme LaTeX), la fonction racine carrée est notée carré(de l'anglais racine carrée"Racine carrée").

Algorithmes pour trouver la racine carrée

Trouver ou calculer la racine carrée d'un nombre donné s'appelle extraction(racine carrée.

Extension de la série de Taylor

à .

Racine carrée arithmétique

Pour les carrés de nombres, les égalités suivantes sont vraies :

Autrement dit, vous pouvez connaître la partie entière de la racine carrée d'un nombre en lui soustrayant tout nombres impairs afin que le reste soit inférieur au prochain nombre à soustraire ou égal à zéro, et en comptant le nombre d'actions effectuées. Par exemple, comme ceci :

3 étapes sont complétées, la racine carrée de 9 est 3.

L'inconvénient de cette méthode est que si la racine extraite n'est pas un nombre entier, alors vous ne pouvez connaître que sa partie entière, mais pas plus précisément. En même temps, cette méthode est tout à fait accessible aux enfants qui résolvent des problèmes mathématiques simples nécessitant l'extraction de la racine carrée.

Estimation approximative

De nombreux algorithmes pour calculer les racines carrées d'un nombre réel positif S nécessitent une valeur initiale. Si valeur initiale trop loin de la vraie valeur de la racine, les calculs ralentissent. Il est donc utile d’avoir une estimation approximative, qui peut être très imprécise, mais facile à calculer. Si S≥ 1, soit D sera le nombre de chiffres Sà gauche du point décimal. Si S < 1, пусть D sera le nombre de zéros consécutifs à droite de la virgule décimale, pris avec un signe moins. L’estimation approximative ressemble alors à ceci :

Si D impair, D = 2n+ 1, puis utilisez Si D même, D = 2n+ 2, puis utilisez

Deux et six sont utilisés parce que Et

Lorsque vous travaillez dans un système binaire (comme dans des ordinateurs), une évaluation différente doit être utilisée (ici D est le nombre de chiffres binaires).

Racine carrée géométrique

Pour extraire manuellement la racine, une notation similaire à une division longue est utilisée. Le nombre dont nous recherchons la racine est écrit. A droite de celui-ci nous obtiendrons progressivement les nombres de la racine souhaitée. Prenons la racine d'un nombre avec un nombre fini de décimales. Pour commencer, mentalement ou avec des notes, on divise le nombre N en groupes de deux chiffres à gauche et à droite de la virgule décimale. Si nécessaire, les groupes sont complétés par des zéros - la partie entière est complétée à gauche, la partie fractionnaire à droite. Ainsi, 31234.567 peut être représenté par 03 12 34. 56 70. Contrairement à la division, la démolition s'effectue par groupes de 2 chiffres.

Description visuelle de l'algorithme :

Très souvent, lorsque nous résolvons des problèmes, nous sommes confrontés à de grands nombres dont nous devons extraire Racine carrée. De nombreux étudiants décident qu’il s’agit d’une erreur et commencent à résoudre l’ensemble de l’exemple. Vous ne devez en aucun cas faire cela ! Il y a deux raisons à cela :

1. Les racines des grands nombres apparaissent effectivement dans les problèmes. Surtout dans les textes ;
2. Il existe un algorithme par lequel ces racines sont calculées presque oralement.

Nous considérerons cet algorithme aujourd'hui. Peut-être que certaines choses vous sembleront incompréhensibles. Mais si vous prêtez attention à cette leçon, vous recevrez une arme puissante contre racines carrées.

Donc, l'algorithme :

1. Limitez la racine requise au-dessus et en dessous aux nombres multiples de 10. Ainsi, nous réduirons la plage de recherche à 10 nombres ;
2. De ces 10 nombres, éliminez ceux qui ne peuvent définitivement pas être des racines. En conséquence, il restera 1 à 2 chiffres ;
3. Mettez ces 1-2 nombres au carré. Celui dont le carré est égal au nombre d'origine sera la racine.

Avant de mettre cet algorithme en pratique, examinons chaque étape individuellement.

Limitation des racines

Tout d’abord, nous devons savoir entre quels nombres se situe notre racine. Il est hautement souhaitable que les nombres soient des multiples de dix :

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

On obtient une série de nombres :

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Que nous disent ces chiffres ? C'est simple : nous obtenons des limites. Prenons par exemple le nombre 1296. Il se situe entre 900 et 1600. Sa racine ne peut donc pas être inférieure à 30 et supérieure à 40 :

[Légende de la photo]

La même chose s’applique à tout autre nombre à partir duquel vous pouvez trouver la racine carrée. Par exemple, 3364 :

[Légende de la photo]

Ainsi, au lieu d'un nombre incompréhensible, nous obtenons une plage très spécifique dans laquelle se situe la racine d'origine. Pour affiner davantage la zone de recherche, passez à la deuxième étape.

Éliminer les chiffres manifestement inutiles

Nous avons donc 10 nombres - candidats à la racine. Nous les avons obtenus très rapidement, sans réflexion complexe ni multiplication dans une colonne. Il est temps de passer à autre chose.

Croyez-le ou non, nous allons désormais réduire le nombre de candidats à deux - et encore une fois sans aucun calculs complexes! Il suffit de connaître la règle spéciale. C'est ici:

Le dernier chiffre du carré ne dépend que du dernier chiffre numéro d'origine.

En d’autres termes, il suffit de regarder le dernier chiffre du carré et nous comprendrons immédiatement où se termine le nombre d’origine.

Il n’y a que 10 chiffres qui peuvent arriver en dernière place. Essayons de découvrir ce qu'ils deviennent une fois mis au carré. Jetez un œil au tableau :

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ce tableau est une autre étape vers le calcul de la racine. Comme vous pouvez le constater, les nombres de la deuxième ligne se sont révélés symétriques par rapport aux cinq. Par exemple:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Comme vous pouvez le constater, le dernier chiffre est le même dans les deux cas. Cela signifie que, par exemple, la racine de 3364 se termine nécessairement par 2 ou 8. Par contre, on se souvient de la restriction du paragraphe précédent. On a:

[Légende de la photo]

Les carrés rouges indiquent que nous ne connaissons pas encore ce chiffre. Mais la racine se situe entre 50 et 60, sur laquelle il n'y a que deux nombres se terminant par 2 et 8 :

[Légende de la photo]

C'est tout! De toutes les racines possibles, nous n'avons laissé que deux options ! Et c'est en soi cas grave, car le dernier chiffre peut être 5 ou 0. Et alors il n'y aura qu'un seul candidat pour les racines !

Calculs finaux

Il nous reste donc 2 numéros de candidats. Comment savoir quelle est la racine ? La réponse est évidente : mettez les deux nombres au carré. Celui qui donne le numéro d’origine au carré sera la racine.

Par exemple, pour le nombre 3364 nous avons trouvé deux nombres candidats : 52 et 58. Mettons-les au carré :

52 2 = (50 +2) 2 = 2 500 + 2 50 2 + 4 = 2 704 ;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

C'est tout! Il s'est avéré que la racine est 58 ! En parallèle, pour simplifier les calculs, j'ai utilisé la formule des carrés de la somme et de la différence. Grâce à cela, je n’ai même pas eu besoin de multiplier les nombres dans une colonne ! Il s'agit d'un autre niveau d'optimisation des calculs, mais, bien sûr, il est totalement facultatif :)

Exemples de calcul de racines

La théorie est bien sûr bonne. Mais vérifions-le en pratique.

[Légende de la photo]

Tout d'abord, découvrons entre quels nombres se situe le nombre 576 :

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Regardons maintenant le dernier numéro. Il est égal à 6. Quand est-ce que cela arrive ? Seulement si la racine se termine par 4 ou 6. On obtient deux nombres :

Il ne reste plus qu'à mettre chaque nombre au carré et à le comparer à l'original :

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Super! Le premier carré s'est avéré être égal au nombre d'origine. Voilà donc la racine.

Tâche. Calculez la racine carrée :

[Légende de la photo]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Regardons le dernier chiffre :

1369 → 9;
33; 37.

Mettez-le au carré :

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369 ;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Voici la réponse : 37.

Tâche. Calculez la racine carrée :

[Légende de la photo]

Nous limitons le nombre :

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Regardons le dernier chiffre :

2704 → 4;
52; 58.

Mettez-le au carré :

52 2 = (50 + 2) 2 = 2 500 + 2 50 2 + 4 = 2 704 ;

Nous avons reçu la réponse : 52. Le deuxième nombre n'aura plus besoin d'être mis au carré.

Tâche. Calculez la racine carrée :

[Légende de la photo]

Nous limitons le nombre :

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Regardons le dernier chiffre :

4225 → 5;
65.

Comme vous pouvez le constater, après la deuxième étape, il ne reste plus qu'une seule option : 65. Il s'agit de la racine souhaitée. Mais mettons quand même les choses au carré et vérifions :

65 2 = (60 + 5) 2 = 3 600 + 2 60 5 + 25 = 4 225 ;

Tout est correct. Nous écrivons la réponse.

Conclusion

Hélas, pas mieux. Voyons les raisons. Il y a deux d'entre eux:

• Dans tout examen normal de mathématiques, qu'il s'agisse de l'examen d'État ou de l'examen d'État unifié, l'utilisation de calculatrices est interdite. Et si vous apportez une calculatrice en classe, vous pouvez facilement être expulsé de l'examen.
• Ne soyez pas comme les stupides Américains. Ce ne sont pas que des racines, ce sont deux nombres premiers Ils ne peuvent pas le plier. Et quand ils voient des fractions, ils deviennent généralement hystériques.

Qu'est-ce qu'une racine carrée ?

Attention!
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Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Cette notion est très simple. Naturel, je dirais. Les mathématiciens essaient de trouver une réaction à chaque action. Il y a une addition – il y a aussi une soustraction. Il y a multiplication, il y a aussi division. Il y a la quadrature... Donc il y a aussi en prenant la racine carrée ! C'est tout. Cette action ( racine carrée) en mathématiques est indiqué par cette icône :

L'icône elle-même s'appelle un beau mot "radical".

Comment extraire la racine ? Il vaut mieux regarder exemples.

Quelle est la racine carrée de 9 ? Quel nombre au carré nous donnera 9 ? 3 au carré nous donne 9 ! Ceux:

Mais quelle est la racine carrée de zéro ? Aucun problème! Quel nombre au carré fait zéro ? Oui, ça donne zéro ! Moyens:

J'ai compris, qu'est-ce que la racine carrée ? On considère alors exemples:

Réponses (en désarroi) : 6 ; 1; 4 ; 9 ; 5.

Décidé? Vraiment, à quel point est-ce plus facile ?!

Mais... Que fait une personne lorsqu'elle voit une tâche avec des racines ?

Une personne commence à se sentir triste... Elle ne croit pas à la simplicité et à la légèreté de ses racines. Même s'il semble savoir qu'est-ce que la racine carrée...

En effet, la personne a ignoré plusieurs points importants lors de l’étude des racines. Puis ces modes se vengent cruellement des tests et des examens...

Premier point. Il faut reconnaître les racines à vue !

Quelle est la racine carrée de 49 ? Sept? Droite! Comment saviez-vous qu'il était sept heures ? Vous avez mis sept au carré et obtenu 49 ? Droite! Veuillez noter que extraire la racine sur 49 il a fallu faire l'opération inverse - carré 7 ! Et assurez-vous que nous ne manquons pas. Ou alors ils auraient pu rater...

C'est la difficulté extraction des racines. Carré Vous pouvez utiliser n’importe quel numéro sans aucun problème. Multipliez un nombre par lui-même avec une colonne - c'est tout. Mais pour extraction des racines Il n’existe pas de technologie aussi simple et sûre. Nous devons ramasser répondez et vérifiez si elle est correcte en la mettant au carré.

Celui-ci est compliqué processus créatif- la sélection d'une réponse est grandement simplifiée si vous souviens-toi carrés de nombres populaires. Comme une table de multiplication. Si, disons, vous devez multiplier 4 par 6, vous n’ajoutez pas quatre 6 fois, n’est-ce pas ? La réponse 24 apparaît immédiatement. Même si tout le monde ne comprend pas, oui...

Gratuitement et travail réussi avec des racines il suffit de connaître les carrés des nombres de 1 à 20. De plus là Et dos. Ceux. vous devriez être capable de réciter facilement à la fois, disons, 11 au carré et la racine carrée de 121. Pour réaliser cette mémorisation, il existe deux manières. La première consiste à apprendre la table des carrés. Ce sera d’une grande aide pour résoudre des exemples. La seconde consiste à résoudre plus d’exemples. Cela vous aidera grandement à vous souvenir du tableau des carrés.

Et pas de calculatrices ! À des fins de test uniquement. Sinon, vous ralentirez sans pitié pendant l'examen...

Donc, qu'est-ce que la racine carrée Et comment extraire les racines- Je pense que c'est clair. Voyons maintenant de QUOI nous pouvons les extraire.

Deuxième point. Root, je ne te connais pas !

De quels nombres peut-on tirer des racines carrées ? Oui, presque tous. C'est plus facile de comprendre d'où ça vient c'est interdit les extraire.

Essayons de calculer cette racine :

Pour ce faire, nous devons choisir un nombre dont le carré nous donnera -4. Nous sélectionnons.

Quoi, ça ne va pas ? 2 2 donne +4. (-2) 2 donne encore +4 ! Ça y est... Il n'y a pas de nombres qui, une fois mis au carré, nous donneront un nombre négatif ! Même si je connais ces chiffres. Mais je ne vous le dirai pas). Allez à l'université et vous le découvrirez par vous-même.

La même histoire se produira avec n’importe quel nombre négatif. D'où la conclusion :

Une expression dans laquelle il y a un nombre négatif sous le signe racine carrée - ça n'a pas de sens! C'est une opération interdite. C’est aussi interdit que de diviser par zéro. Souvenez-vous fermement de ce fait ! Ou en d'autres termes :

Racines carrées de nombres négatifs ne peut pas être supprimé !

Mais parmi tous les autres, c’est possible. Par exemple, il est tout à fait possible de calculer

À première vue, c’est très difficile. Sélectionner des fractions et les mettre au carré... Ne vous inquiétez pas. Lorsque nous comprendrons les propriétés des racines, de tels exemples seront réduits au même tableau de carrés. La vie deviendra plus facile !

D'accord, les fractions. Mais on rencontre encore des expressions comme :

C'est bon. Tous les mêmes. La racine carrée de deux est le nombre qui, une fois mis au carré, nous donne deux. Seulement ce nombre est complètement inégal... Le voici :

Ce qui est intéressant, c’est que cette fraction ne finit jamais… De tels nombres sont appelés irrationnels. En racines carrées, c’est la chose la plus courante. D'ailleurs, c'est pourquoi les expressions avec des racines sont appelées irrationnel. Il est clair qu’écrire une fraction aussi infinie à tout moment n’est pas pratique. Par conséquent, au lieu d’une fraction infinie, ils la laissent comme ceci :

Si, en résolvant un exemple, vous obtenez quelque chose qui ne peut pas être extrait, comme :

alors on laisse comme ça. Ce sera la réponse.

Vous devez clairement comprendre ce que signifient les icônes

Bien sûr, si l’on prend la racine du nombre lisse, tu dois le faire. La réponse à la tâche est sous la forme, par exemple

Une réponse assez complète.

Et, bien sûr, vous devez connaître les valeurs approximatives de mémoire :

Ces connaissances aident grandement à évaluer la situation dans des tâches complexes.

Troisième point. Le plus rusé.

La principale confusion dans le travail avec les racines vient de ce point. C'est lui qui donne de l'incertitude à propre force... Traitons ce problème correctement !

Tout d’abord, prenons à nouveau la racine carrée de quatre d’entre eux. Est-ce que je vous ai déjà dérangé avec cette racine ?) Qu'à cela ne tienne, maintenant ça va être intéressant !

Quel nombre fait 4 au carré ? Eh bien, deux, deux - j'entends des réponses insatisfaites...

Droite. Deux. Mais aussi moins deux donnera 4 au carré... Pendant ce temps, la réponse

correct et la réponse

grossière erreur. Comme ça.

Alors, quel est le problème ?

En effet, (-2) 2 = 4. Et sous la définition de la racine carrée de quatre moins deux tout à fait approprié... C'est aussi la racine carrée de quatre.

Mais! DANS cours scolaire Les mathématiciens considèrent généralement les racines carrées uniquement des nombres non négatifs ! Autrement dit, zéro et tous sont positifs. Même un terme spécial a été inventé : du numéro UN- Ce non négatif nombre dont le carré est UN. Les résultats négatifs lors de l’extraction d’une racine carrée arithmétique sont simplement ignorés. A l'école, tout est racines carrées - arithmétique. Bien que cela ne soit pas particulièrement mentionné.

D'accord, c'est compréhensible. C'est encore mieux de ne pas s'embêter avec des résultats négatifs... Ce n'est pas encore de la confusion.

La confusion commence lors de la résolution d'équations quadratiques. Par exemple, vous devez résoudre l’équation suivante.

L'équation est simple, on écrit la réponse (telle qu'enseignée) :

Cette réponse (tout à fait correcte, d'ailleurs) n'est qu'une version abrégée deux réponses:

Stop STOP! Juste au dessus j'ai écrit que la racine carrée est un nombre Toujours non négatif ! Et voici l'une des réponses - négatif! Désordre. C'est le premier (mais pas le dernier) problème qui suscite la méfiance envers les racines... Résolvons ce problème. Écrivons les réponses (uniquement pour comprendre !) comme ceci :

Les parenthèses ne changent pas l’essence de la réponse. Je l'ai juste séparé par des parenthèses panneaux depuis racine. Vous pouvez maintenant voir clairement que la racine elle-même (entre parenthèses) est toujours un nombre non négatif ! Et les signes sont résultat de la résolution de l'équation. Après tout, pour résoudre une équation, nous devons écrire Tous Xs qui, une fois remplacés dans l’équation d’origine, donneront le résultat correct. La racine de cinq (positive !) avec à la fois un plus et un moins correspond à notre équation.

Comme ça. Si tu prends juste la racine carrée de n'importe quoi, tu Toujours vous obtenez un non négatif résultat. Par exemple:

Parce qu'il - racine carrée arithmétique.

Mais si tu décides quelque chose équation quadratique, taper:

Que Toujours il s'avère deux réponse (avec plus et moins) :

Parce que c'est la solution de l'équation.

Espoir, qu'est-ce que la racine carrée Vos arguments sont clairs. Reste maintenant à savoir ce que l'on peut faire avec les racines, quelles sont leurs propriétés. Et quels sont les points et les pièges... désolé, les pierres !)

Tout cela est dans les leçons suivantes.

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