Pour vérifier si un système de vecteurs est linéairement dépendant, il faut composer une combinaison linéaire de ces vecteurs et vérifier si elle peut être nulle si au moins un coefficient est nul.

Cas 1. Le système de vecteurs est donné par des vecteurs

On fait une combinaison linéaire

Nous avons obtenu un système d'équations homogène. S'il a une solution non nulle, alors le déterminant doit être égal à zéro. Faisons un déterminant et trouvons sa valeur.

Le déterminant est nul, par conséquent, les vecteurs sont linéairement dépendants.

Cas 2. Le système de vecteurs est donné par des fonctions analytiques :

un)
, si l'identité est vraie, alors le système est linéairement dépendant.

Faisons une combinaison linéaire.

Il faut vérifier s'il existe de tels a, b, c (dont au moins un n'est pas égal à zéro) pour lesquels l'expression donnée est égale à zéro.

On écrit les fonctions hyperboliques

,
, ensuite

alors la combinaison linéaire de vecteurs prendra la forme :

Où
, prenons, par exemple, alors la combinaison linéaire est égale à zéro, par conséquent, le système est linéairement dépendant.

Réponse : Le système est linéairement dépendant.

b)
, on compose une combinaison linéaire

Une combinaison linéaire de vecteurs doit être nulle pour toutes les valeurs de x.

Vérifions les cas particuliers.

Une combinaison linéaire de vecteurs n'est nulle que si tous les coefficients sont nuls.

Le système est donc linéairement indépendant.

Réponse : Le système est linéairement indépendant.

5.3. Trouvez une base et déterminez la dimension de l'espace linéaire des solutions.

Formons une matrice étendue et ramenons-la sous la forme d'un trapèze en utilisant la méthode de Gauss.

Pour obtenir une base, nous substituons des valeurs arbitraires :

Obtenez le reste des coordonnées

Réponse:

5.4. Trouver les coordonnées du vecteur X dans la base, s'il est donné dans la base.

Trouver les coordonnées du vecteur dans la nouvelle base revient à résoudre le système d'équations

Méthode 1. Recherche à l'aide de la matrice de transition

Composer la matrice de transition

Trouvons le vecteur dans la nouvelle base par la formule

Trouver la matrice inverse et faire la multiplication

,

Méthode 2. Trouver en compilant un système d'équations.

Composer les vecteurs de base à partir des coefficients de la base

,
,

Trouver un vecteur dans une nouvelle base a la forme

, où ré est le vecteur donné X.

L'équation résultante peut être résolue de n'importe quelle manière, la réponse sera la même.

Réponse : vecteur dans une nouvelle base
.

5.5. Soit x = (X 1 , X 2 , X 3 ) . Les transformations suivantes sont-elles linéaires.

Composons des matrices d'opérateurs linéaires à partir des coefficients de vecteurs donnés.

Vérifions la propriété des opérations linéaires pour chaque matrice d'un opérateur linéaire.

Le côté gauche est trouvé par multiplication matricielle ET par vecteur

On trouve le côté droit en multipliant le vecteur donné par un scalaire
.

On voit ça
donc la transformation n'est pas linéaire.

Vérifions d'autres vecteurs.

, la transformation n'est pas linéaire.

, la transformation est linéaire.

Réponse: Oh n'est pas une transformation linéaire, Vx- non linéaire Cx- linéaire.

Note. Vous pouvez accomplir cette tâche beaucoup plus facilement en regardant attentivement les vecteurs donnés. À Oh on voit qu'il y a des termes qui ne contiennent pas d'éléments X, qui n'a pas pu être obtenu à la suite d'une opération linéaire. À Vx il y a un élément Xà la troisième puissance, qui ne pouvait pas non plus être obtenue en multipliant par un vecteur X.

5.6. Donné X = { X 1 , X 2 , X 3 } , Hache = { X 2 – X 3 , X 1 , X 1 + X 3 } , boîte = { X 2 , 2 X 3 , X 1 } . Effectuez l'opération indiquée : ( UN ( B – UN )) X .

Écrivons les matrices des opérateurs linéaires.

Effectuons une opération sur les matrices

En multipliant la matrice résultante par X, on obtient

Réponse:

Les vecteurs, leurs propriétés et leurs actions

Vecteurs, actions avec des vecteurs, espace vectoriel linéaire.

Les vecteurs sont une collection ordonnée d'un nombre fini de nombres réels.

Actions: 1. Multiplier un vecteur par un nombre: lambda * vecteur x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3.4, 0. 7) * 3 \u003d (9, 12,0.21 )

2. Addition de vecteurs (ils appartiennent au même espace vectoriel) vecteur x + vecteur y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vecteur 0=(0,0…0)---n E n – vecteur n-dimensionnel (espace linéaire) x + vecteur 0 = vecteur x

Théorème. Pour qu'un système de n vecteurs dans un espace linéaire à n dimensions soit linéairement dépendant, il faut et il suffit que l'un des vecteurs soit une combinaison linéaire des autres.

Théorème. Tout ensemble de n+ 1er vecteur de l'espace linéaire à n dimensions yavl. linéairement dépendant.

Addition de vecteurs, multiplication de vecteurs par des nombres. Soustraction de vecteurs.

La somme de deux vecteurs est le vecteur dirigé du début du vecteur à la fin du vecteur, à condition que le début coïncide avec la fin du vecteur. Si les vecteurs sont donnés par leurs expansions en termes de vecteurs de base, alors l'ajout des vecteurs additionne leurs coordonnées respectives.

Considérons cela en utilisant l'exemple d'un système de coordonnées cartésien. Laisser

Montrons que

La figure 3 montre que

La somme de tout nombre fini de vecteurs peut être trouvée à l'aide de la règle du polygone (Fig. 4): pour construire la somme d'un nombre fini de vecteurs, il suffit de faire correspondre le début de chaque vecteur suivant avec la fin du précédent et construire un vecteur reliant le début du premier vecteur à la fin du dernier.

Propriétés de l'opération d'addition vectorielle :

Dans ces expressions m, n sont des nombres.

La différence des vecteurs s'appelle le vecteur Le second terme est un vecteur opposé au vecteur en direction, mais égal à lui en longueur.

Ainsi, l'opération de soustraction vectorielle est remplacée par l'opération d'addition

Le vecteur, dont le début est à l'origine des coordonnées, et la fin au point A (x1, y1, z1), est appelé rayon vecteur du point A et est noté ou simplement. Puisque ses coordonnées coïncident avec les coordonnées du point A, son expansion en termes de vecteurs a la forme

Un vecteur commençant au point A(x1, y1, z1) et se terminant au point B(x2, y2, z2) peut être écrit comme

où r 2 est le rayon vecteur du point B; r 1 - rayon vecteur du point A.

Par conséquent, l'expansion du vecteur en termes d'orts a la forme

Sa longueur est égale à la distance entre les points A et B

MULTIPLICATION

Ainsi dans le cas d'un problème plat, le produit d'un vecteur par a = (ax; ay) et un nombre b se trouve par la formule

a b = (ax b; ay b)

Exemple 1. Trouver le produit du vecteur a = (1; 2) par 3.

3 un = (3 1 ; 3 2) = (3 ; 6)

Ainsi dans le cas d'un problème spatial, le produit du vecteur a = (ax; ay; az) et du nombre b se trouve par la formule

a b = (ax b; ay b; az b)

Exemple 1. Trouver le produit du vecteur a = (1 ; 2 ; -5) par 2.

2 un = (2 1 ; 2 2 ; 2 (-5)) = (2 ; 4 ; -10)

Produit scalaire de vecteurs et où est l'angle entre les vecteurs et ; si l'un ou l'autre, alors

De la définition du produit scalaire, il s'ensuit que

où, par exemple, est la valeur de la projection du vecteur sur la direction du vecteur .

Carré scalaire d'un vecteur :

Propriétés du produit scalaire :

Produit scalaire en coordonnées

Si ensuite

Angle entre les vecteurs

Angle entre les vecteurs - l'angle entre les directions de ces vecteurs (angle le plus petit).

produit vectoriel(Le produit croisé de deux vecteurs.)- est un pseudovecteur perpendiculaire au plan construit par deux facteurs, qui est le résultat de l'opération binaire "multiplication vectorielle" sur des vecteurs dans l'espace euclidien tridimensionnel. Le produit n'est ni commutatif ni associatif (il est anticommutatif) et est différent du produit scalaire des vecteurs. Dans de nombreux problèmes d'ingénierie et de physique, il est nécessaire de pouvoir construire un vecteur perpendiculaire à deux existants - le produit vectoriel offre cette opportunité. Le produit croisé est utile pour "mesurer" la perpendicularité des vecteurs - la longueur du produit croisé de deux vecteurs est égale au produit de leurs longueurs s'ils sont perpendiculaires et diminue jusqu'à zéro si les vecteurs sont parallèles ou anti-parallèles.

Le produit vectoriel n'est défini que dans des espaces tridimensionnels et septdimensionnels. Le résultat du produit vectoriel, comme le produit scalaire, dépend de la métrique de l'espace euclidien.

Contrairement à la formule de calcul du produit scalaire à partir des coordonnées des vecteurs dans un système de coordonnées rectangulaires tridimensionnel, la formule du produit vectoriel dépend de l'orientation du système de coordonnées rectangulaires, ou, en d'autres termes, de sa "chiralité"

Colinéarité des vecteurs.

Deux vecteurs non nuls (non égaux à 0) sont appelés colinéaires s'ils se trouvent sur des lignes parallèles ou sur la même ligne. Nous autorisons, mais non recommandé, un synonyme - vecteurs "parallèles". Vecteurs colinéaires peuvent être également dirigés ("co-dirigés") ou dirigés de manière opposée (dans ce dernier cas, ils sont parfois appelés "anticolinéaires" ou "antiparallèles").

Produit mixte de vecteurs( abc)- produit scalaire du vecteur a et produit vectoriel des vecteurs b et c :

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

on l'appelle parfois le triple produit scalaire de vecteurs, apparemment en raison du fait que le résultat est un scalaire (plus précisément, un pseudoscalaire).

sens géométrique: Le module du produit mixte est numériquement égal au volume du parallélépipède formé par les vecteurs (abc) .

Propriétés

Un produit mixte est antisymétrique par rapport à tous ses arguments : c'est-à-dire c'est-à-dire qu'une permutation de deux facteurs modifie le signe du produit. Il s'ensuit que le produit mixte dans le repère cartésien droit (dans une base orthonormée) est égal au déterminant de la matrice composée des vecteurs et :

Le produit mixte dans le repère cartésien gauche (en base orthonormée) est égal au déterminant d'une matrice composée de vecteurs et prise avec un signe moins :

En particulier,

Si deux vecteurs quelconques sont parallèles, alors avec n'importe quel troisième vecteur ils forment un produit mixte égal à zéro.

Si trois vecteurs sont linéairement dépendants (c'est-à-dire coplanaires, se trouvent dans le même plan), alors leur produit mixte est nul.

Sens géométrique - Produit mixte par valeur absolue est égal au volume du parallélépipède (voir figure) formé par les vecteurs et ; le signe dépend si ce triplet de vecteurs est à droite ou à gauche.

Complanarité des vecteurs.

Trois vecteurs (ou plus) sont dits coplanaires s'ils, étant réduits à une origine commune, se trouvent dans le même plan

Propriétés de complanarité

Si au moins un de trois vecteurs- zéro, alors les trois vecteurs sont également considérés comme coplanaires.

Un triplet de vecteurs contenant une paire de vecteurs colinéaires est coplanaire.

Produit mixte de vecteurs coplanaires. C'est un critère de coplanarité de trois vecteurs.

Les vecteurs coplanaires sont linéairement dépendants. C'est aussi un critère de coplanarité.

Dans l'espace à 3 dimensions, 3 vecteurs non coplanaires forment une base

Vecteurs linéairement dépendants et linéairement indépendants.

Systèmes de vecteurs linéairement dépendants et indépendants.Définition. Le système de vecteurs s'appelle linéairement dépendant, s'il existe au moins une combinaison linéaire non triviale de ces vecteurs égale au vecteur nul. Sinon, c'est-à-dire si seule une combinaison linéaire triviale de vecteurs donnés est égale au vecteur nul, les vecteurs sont appelés linéairement indépendant.

Théorème (critère de dépendance linéaire). Pour qu'un système de vecteurs dans un espace linéaire soit linéairement dépendant, il faut et il suffit qu'au moins un de ces vecteurs soit une combinaison linéaire des autres.

1) S'il y a au moins un vecteur nul parmi les vecteurs, alors tout le système de vecteurs est linéairement dépendant.

En effet, si, par exemple, , alors, en supposant , nous avons une combinaison linéaire non triviale .▲

2) Si certains des vecteurs forment un système linéairement dépendant, alors tout le système est linéairement dépendant.

En effet, supposons que les vecteurs , , soient linéairement dépendants. Il existe donc une combinaison linéaire non triviale égale au vecteur nul. Mais alors, en supposant , on obtient également une combinaison linéaire non triviale égale au vecteur nul.

2. Base et dimension. Définition. Système de vecteurs linéairement indépendants l'espace vectoriel s'appelle base cet espace, si tout vecteur de peut être représenté comme une combinaison linéaire des vecteurs de ce système, c'est-à-dire pour chaque vecteur il y a des nombres réels telle que l'égalité soit vraie. Cette égalité est appelée décomposition vectorielle selon la base , et les nombres appelé coordonnées vectorielles par rapport à la base(ou alors en base) .

Théorème (sur l'unicité du développement par rapport à la base). Chaque vecteur spatial peut être développé en termes de base d'une manière unique, c'est-à-dire coordonnées de chaque vecteur dans la base sont définis sans ambiguïté.

Dépendance linéaire et indépendance linéaire vecteurs.
Base de vecteurs. Système de coordonnées affines

Il y a un chariot avec des chocolats dans le public, et aujourd'hui chaque visiteur recevra un joli couple - géométrie analytique avec algèbre linéaire. Cet article couvrira deux sections à la fois. mathématiques supérieures, et nous verrons comment ils s'entendent dans un emballage. Faites une pause, mangez des Twix ! ... putain, eh bien, argumenter des bêtises. Bien que d'accord, je ne marquerai pas, à la fin, il devrait y avoir une attitude positive pour étudier.

Dépendance linéaire des vecteurs, indépendance linéaire des vecteurs, base vectorielle et d'autres termes ont non seulement une interprétation géométrique, mais surtout un sens algébrique. Le concept même de "vecteur" du point de vue de l'algèbre linéaire est loin d'être toujours le vecteur "ordinaire" que l'on peut représenter sur un plan ou dans l'espace. Vous n'avez pas besoin de chercher bien loin pour la preuve, essayez de dessiner un vecteur d'espace à cinq dimensions . Ou le vecteur météo que je viens d'aller sur Gismeteo pour : - température et Pression atmosphérique respectivement. L'exemple, bien sûr, est incorrect du point de vue des propriétés de l'espace vectoriel, mais, néanmoins, personne n'interdit de formaliser ces paramètres sous forme de vecteur. Souffle d'automne...

Non, je ne vais pas vous ennuyer avec la théorie, les espaces vectoriels linéaires, la tâche est de comprendre définitions et théorèmes. Les nouveaux termes (dépendance linéaire, indépendance, combinaison linéaire, base, etc.) sont applicables à tous les vecteurs d'un point de vue algébrique, mais des exemples seront donnés géométriquement. Ainsi, tout est simple, accessible et visuel. En plus des problèmes de géométrie analytique, nous considérerons également quelques tâches typiques algèbre. Pour maîtriser la matière, il est conseillé de se familiariser avec les leçons Des vecteurs pour les nuls et Comment calculer le déterminant ?

Dépendance linéaire et indépendance des vecteurs plans.
Base plane et système de coordonnées affine

Considérez le plan de votre Bureau d'ordinateur(juste une table, une table de chevet, un sol, un plafond, tout ce que vous voulez). La tâche consistera en les actions suivantes :

1) Sélectionnez la base de l'avion. En gros, le plateau a une longueur et une largeur, il est donc intuitivement clair que deux vecteurs sont nécessaires pour construire la base. Un vecteur n'est clairement pas suffisant, trois vecteurs c'est trop.

2) Selon la base choisie définir le système de coordonnées(grille de coordonnées) pour attribuer des coordonnées à tous les éléments du tableau.

Ne soyez pas surpris, dans un premier temps les explications seront sur les doigts. De plus, sur le vôtre. Veuillez placer index main gauche sur le bord de la table pour qu'il regarde le moniteur. Ce sera un vecteur. Placez maintenant petit doigt main droite sur le bord de la table de la même manière - de sorte qu'il soit dirigé vers l'écran du moniteur. Ce sera un vecteur. Souriez, vous êtes superbe ! Que peut-on dire des vecteurs ? Vecteurs de données colinéaire, ce qui signifie linéairement exprimées les unes par les autres :
, eh bien, ou vice versa : , où est un nombre non nul.

Vous pouvez voir une image de cette action dans la leçon. Des vecteurs pour les nuls, où j'ai expliqué la règle de multiplication d'un vecteur par un nombre.

Vos doigts établiront-ils la base sur le plan de la table d'ordinateur ? Évidemment pas. Les vecteurs colinéaires font des allers-retours dans seule direction, tandis qu'un plan a une longueur et une largeur.

De tels vecteurs sont appelés linéairement dépendant.

Référence: Les mots "linéaire", "linéaire" désignent le fait qu'il n'y a pas de carrés, de cubes, d'autres puissances, de logarithmes, de sinus, etc. dans les équations mathématiques, les expressions. Il n'y a que des expressions et des dépendances linéaires (1er degré).

Deux vecteurs plans linéairement dépendant si et seulement si elles sont colinéaires.

Croisez vos doigts sur la table afin qu'il y ait n'importe quel angle entre eux sauf 0 ou 180 degrés. Deux vecteurs planslinéairement ne pas sont dépendants si et seulement s'ils ne sont pas colinéaires. Ainsi, la base est reçue. Pas besoin d'être gêné que la base se soit avérée "oblique" avec des vecteurs non perpendiculaires de différentes longueurs. Très bientôt, nous verrons que non seulement un angle de 90 degrés convient à sa construction, et pas seulement des vecteurs unitaires de longueur égale

Quelconque vecteur d'avion la seule façonélargi en termes de base:
, où sont les nombres réels . Les numéros sont appelés coordonnées vectorielles dans cette base.

Ils disent aussi que vecteurprésenté sous la forme combinaison linéaire vecteurs de base. C'est-à-dire que l'expression s'appelle décomposition vectoriellebase ou alors combinaison linéaire vecteurs de base.

Par exemple, on peut dire qu'un vecteur est développé dans une base orthonormée du plan , ou on peut dire qu'il est représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs .

formulons définition de base officiellement: base d'avion est une paire de vecteurs linéairement indépendants (non colinéaires) , , dans lequel quelconque le vecteur plan est une combinaison linéaire des vecteurs de base.

Le point essentiel de la définition est le fait que les vecteurs sont pris dans un certain ordre. socles Ce sont deux bases complètement différentes ! Comme on dit, le petit doigt de la main gauche ne peut pas être déplacé à la place du petit doigt de la main droite.

Nous avons compris la base, mais il ne suffit pas de définir la grille de coordonnées et d'attribuer des coordonnées à chaque élément sur votre bureau d'ordinateur. Pourquoi pas assez ? Les vecteurs sont libres et errent sur tout le plan. Alors, comment attribuer des coordonnées à ces petits points de table sales laissés par un week-end sauvage ? Un point de départ est nécessaire. Et un tel point de référence est un point familier à tous - l'origine des coordonnées. Comprendre le système de coordonnées :

Je vais commencer par le système "scolaire". Déjà dans la leçon d'introduction Des vecteurs pour les nuls J'ai mis en évidence certaines des différences entre un système de coordonnées rectangulaires et une base orthonormée. Voici l'image standard :

Quand on parle de système de coordonnées rectangulaires, alors le plus souvent ils désignent l'origine des coordonnées, axes de coordonnées et échelle le long des axes. Essayez de taper "système de coordonnées rectangulaires" dans le moteur de recherche, et vous verrez que de nombreuses sources vous parleront des axes de coordonnées familiers de la 5e à la 6e année et comment tracer des points sur un plan.

D'un autre côté, on a l'impression qu'un système de coordonnées rectangulaires peut être bien défini en termes de base orthonormée. Et c'est presque le cas. La formulation va comme ceci :

origine, et orthonormé ensemble de base Système de coordonnées cartésiennes du plan . C'est-à-dire un système de coordonnées rectangulaires absolument est défini par un seul point et deux vecteurs orthogonaux unitaires. C'est pourquoi, vous voyez le dessin que j'ai donné ci-dessus - dans les problèmes géométriques, les vecteurs et les axes de coordonnées sont souvent (mais loin d'être toujours) dessinés.

Je pense que tout le monde comprend qu'à l'aide d'un point (origine) et d'une base orthonormée TOUT POINT du plan et TOUT VECTEUR du plan coordonnées peuvent être attribuées. Au sens figuré, "tout dans l'avion peut être numéroté".

Les vecteurs de coordonnées doivent-ils être unitaires ? Non, ils peuvent avoir une longueur non nulle arbitraire. Considérons un point et deux vecteurs orthogonaux de longueur arbitraire non nulle :

Une telle base est appelée orthogonal. L'origine des coordonnées avec des vecteurs définit la grille de coordonnées, et tout point du plan, tout vecteur a ses propres coordonnées dans la base donnée. Par exemple, ou. L'inconvénient évident est que les vecteurs de coordonnées en général ont des longueurs différentes autres que l'unité. Si les longueurs sont égales à un, alors la base orthonormale habituelle est obtenue.

! Note : dans la base orthogonale, et aussi en dessous dans bases affines les unités de plan et d'espace le long des axes sont considérées CONDITIONNEL. Par exemple, une unité en abscisse contient 4 cm, une unité en ordonnée contient 2 cm, cette information est suffisante pour convertir des coordonnées "non standard" en "nos centimètres habituels" si nécessaire.

Et la deuxième question, à laquelle on a déjà répondu - l'angle entre les vecteurs de base est-il nécessairement égal à 90 degrés ? Pas! Comme le dit la définition, les vecteurs de base doivent être uniquement non colinéaire. En conséquence, l'angle peut être n'importe quoi sauf 0 et 180 degrés.

Un point du plan appelé origine, et non colinéaire vecteurs, , Positionner système de coordonnées affines du plan :

Parfois, ce système de coordonnées est appelé oblique système. Les points et les vecteurs sont présentés à titre d'exemple dans le dessin :

Comme vous l'avez compris, le système de coordonnées affines est encore moins pratique, les formules pour les longueurs des vecteurs et des segments, que nous avons examinées dans la deuxième partie de la leçon, ne fonctionnent pas. Des vecteurs pour les nuls, de nombreuses formules délicieuses liées à produit scalaire de vecteurs. Mais les règles pour additionner des vecteurs et multiplier un vecteur par un nombre sont valables, les formules pour diviser un segment à cet égard, ainsi que certains autres types de problèmes que nous examinerons bientôt.

Et la conclusion est que le cas particulier le plus pratique d'un système de coordonnées affines est le système rectangulaire cartésien. Par conséquent, elle, la sienne, doit le plus souvent être vue. ... Cependant, tout dans cette vie est relatif - il existe de nombreuses situations dans lesquelles il convient d'avoir un oblique (ou un autre, par exemple, polaire) système de coordonnées. Oui, et les humanoïdes de tels systèmes peuvent venir goûter =)

Passons à la partie pratique. Tous les problèmes de cette leçon sont valables à la fois pour un système de coordonnées rectangulaires et pour le cas affine général. Il n'y a rien de compliqué ici, tout le matériel est disponible même pour un écolier.

Comment déterminer la colinéarité des vecteurs plans ?

Chose typique. Pour deux vecteurs plans sont colinéaires, il faut et il suffit que leurs coordonnées respectives soient proportionnelles.Essentiellement, il s'agit d'un raffinement coordonnée par coordonnée de la relation évidente .

Exemple 1

a) Vérifiez si les vecteurs sont colinéaires .
b) Les vecteurs forment-ils une base ? ?

Décision:
a) Savoir s'il existe pour les vecteurs coefficient de proportionnalité, tel que les égalités soient remplies :

Assurez-vous de parler de la variété d'applications "foppish" cette règle, ce qui fonctionne assez bien dans la pratique. L'idée est d'établir immédiatement une proportion et de voir si elle est correcte :

Faisons une proportion à partir des rapports des coordonnées correspondantes des vecteurs :

On raccourcit :
, donc les coordonnées correspondantes sont proportionnelles, donc,

La relation pourrait être faite et vice versa, c'est une option équivalente :

Pour l'auto-test, on peut utiliser le fait que les vecteurs colinéaires sont exprimés linéairement les uns à travers les autres. À ce cas il y a des égalités . Leur validité peut être facilement vérifiée par des opérations élémentaires avec des vecteurs :

b) Deux vecteurs plans forment une base s'ils ne sont pas colinéaires (linéairement indépendants). Nous examinons les vecteurs de colinéarité . Créons un système :

De la première équation il s'ensuit que , de la seconde équation il s'ensuit que , ce qui signifie, le système est incohérent(pas de solutions). Ainsi, les coordonnées correspondantes des vecteurs ne sont pas proportionnelles.

Conclusion: les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.

Une version simplifiée de la solution ressemble à ceci :

Composez la proportion à partir des coordonnées correspondantes des vecteurs :
, par conséquent, ces vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.

Habituellement, les examinateurs ne rejettent pas cette option, mais un problème se pose dans les cas où certaines coordonnées sont égales à zéro. Comme ça: . Ou comme ceci : . Ou comme ceci : . Comment travailler à travers la proportion ici? (Vraiment, vous ne pouvez pas diviser par zéro). C'est pour cette raison que j'ai appelé la solution simplifiée "foppish".

Réponse: a) , b) forme.

Un petit exemple créatif pour solution indépendante:

Exemple 2

A quelle valeur des vecteurs paramètres sera colinéaire ?

Dans la solution d'échantillon, le paramètre est trouvé par la proportion.

Il y a de la grâce manière algébrique vérifiant la colinéarité des vecteurs., nous systématisons nos connaissances et ajoutons-les simplement comme cinquième point :

Pour deux vecteurs plans, les énoncés suivants sont équivalents:

2) les vecteurs forment une base ;
3) les vecteurs ne sont pas colinéaires ;

+ 5) le déterminant, composé des coordonnées de ces vecteurs, est non nul.

Respectivement, les énoncés opposés suivants sont équivalents:
1) les vecteurs sont linéairement dépendants ;
2) les vecteurs ne forment pas une base ;
3) les vecteurs sont colinéaires ;
4) les vecteurs peuvent être exprimés linéairement les uns à travers les autres ;
+ 5) le déterminant, composé des coordonnées de ces vecteurs, est égal à zéro.

J'espère vraiment, vraiment que ce moment vous comprenez déjà tous les termes et déclarations rencontrés.

Examinons de plus près le nouveau cinquième point : deux vecteurs plans sont colinéaires si et seulement si le déterminant composé des coordonnées des vecteurs donnés est égal à zéro:. Pour candidature cette fonctionnalité, bien sûr, vous devez savoir trouver des déterminants.

Nous allons décider Exemple 1 de la deuxième manière :

a) Calculer le déterminant, composé des coordonnées des vecteurs :
, donc ces vecteurs sont colinéaires.

b) Deux vecteurs plans forment une base s'ils ne sont pas colinéaires (linéairement indépendants). Calculons le déterminant composé des coordonnées des vecteurs :
, donc les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.

Réponse: a) , b) forme.

Il semble beaucoup plus compact et plus joli que la solution avec des proportions.

A l'aide du matériel considéré, il est possible d'établir non seulement la colinéarité des vecteurs, mais aussi de prouver le parallélisme des segments, des droites. Considérons quelques problèmes avec des formes géométriques spécifiques.

Exemple 3

Les sommets d'un quadrilatère sont donnés. Montrer que le quadrilatère est un parallélogramme.

Preuve: Il n'est pas nécessaire de construire un dessin dans le problème, puisque la solution sera purement analytique. Rappelez-vous la définition d'un parallélogramme :
Parallélogramme Un quadrilatère est appelé, dans lequel les côtés opposés sont deux à deux parallèles.

Ainsi, il faut prouver :
1) le parallélisme des côtés opposés et ;
2) le parallélisme des côtés opposés et .

Nous prouvons :

1) Trouvez les vecteurs :

2) Trouvez les vecteurs :

Le résultat est le même vecteur ("selon l'école" - vecteurs égaux). La colinéarité est assez évidente, mais il vaut mieux prendre la décision correctement, avec l'arrangement. Calculer le déterminant, composé des coordonnées des vecteurs :
, donc ces vecteurs sont colinéaires, et .

Conclusion: Les côtés opposés d'un quadrilatère sont deux à deux parallèles, c'est donc un parallélogramme par définition. Q.E.D.

Plus de chiffres bons et différents:

Exemple 4

Les sommets d'un quadrilatère sont donnés. Montrer que le quadrilatère est un trapèze.

Pour une formulation plus rigoureuse de la preuve, il vaut mieux, bien sûr, avoir la définition d'un trapèze, mais il suffit juste de se rappeler à quoi il ressemble.

Il s'agit d'une tâche de décision indépendante. Solution complète à la fin de la leçon.

Et maintenant, il est temps de passer lentement de l'avion à l'espace :

Comment déterminer la colinéarité des vecteurs spatiaux ?

La règle est très similaire. Pour que deux vecteurs spatiaux soient colinéaires, il faut et il suffit que leurs coordonnées correspondantes soient proportionnelles à.

Exemple 5

Découvrez si les vecteurs spatiaux suivants sont colinéaires :

un) ;
b)
dans)

Décision:
a) Vérifiez s'il existe un coefficient de proportionnalité pour les coordonnées correspondantes des vecteurs :

Le système n'a pas de solution, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.

"Simplifié" est établi en vérifiant la proportion. Dans ce cas:
– les coordonnées correspondantes ne sont pas proportionnelles, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Réponse: les vecteurs ne sont pas colinéaires.

b-c) Ce sont des points de décision indépendante. Essayez-le de deux façons.

Il existe une méthode pour vérifier la colinéarité des vecteurs spatiaux et via un déterminant du troisième ordre, cette méthode couvert dans l'article Produit croisé de vecteurs.

Comme dans le cas du plan, les outils considérés peuvent être utilisés pour étudier le parallélisme de segments et de lignes spatiaux.

Bienvenue dans la deuxième section :

Dépendance linéaire et indépendance des vecteurs spatiaux tridimensionnels.
Base spatiale et système de coordonnées affines

Bon nombre des régularités que nous avons envisagées sur l'avion seront également valables pour l'espace. J'ai essayé de minimiser le résumé de la théorie, puisque la part du lion de l'information a déjà été mâchée. Néanmoins, je vous recommande de lire attentivement la partie introductive, car de nouveaux termes et concepts apparaîtront.

Maintenant, au lieu du plan de la table d'ordinateur, examinons l'espace tridimensionnel. Commençons par créer sa base. Quelqu'un est maintenant à l'intérieur, quelqu'un est à l'extérieur, mais de toute façon, on ne peut pas sortir des trois dimensions : largeur, longueur et hauteur. Par conséquent, trois vecteurs spatiaux sont nécessaires pour construire la base. Un ou deux vecteurs ne suffisent pas, le quatrième est superflu.

Et encore on s'échauffe sur les doigts. S'il vous plaît, levez la main et étendez-vous dans différents côtés grand, index et majeur . Ce seront des vecteurs, ils regardent dans des directions différentes, ont des longueurs différentes et ont différents angles Entre elles. Félicitations, la base de l'espace tridimensionnel est prête ! Au fait, vous n'avez pas besoin de le démontrer aux enseignants, peu importe comment vous vous tordez les doigts, mais vous ne pouvez pas vous éloigner des définitions =)

Ensuite, demandons problème important, si trois vecteurs quelconques forment une base d'un espace tridimensionnel? Veuillez appuyer fermement trois doigts sur le dessus de la table de l'ordinateur. Qu'est-il arrivé? Trois vecteurs sont situés dans le même plan et, grosso modo, nous avons perdu l'une des mesures - la hauteur. De tels vecteurs sont coplanaire et, bien évidemment, que la base de l'espace tridimensionnel n'est pas créée.

Il convient de noter que les vecteurs coplanaires ne doivent pas nécessairement se trouver dans le même plan, ils peuvent être dans plans parallèles(ne le faites pas avec vos doigts, seul Salvador Dali est sorti comme ça =)).

Définition: les vecteurs sont appelés coplanaire s'il existe un plan auquel ils sont parallèles. Ici il est logique d'ajouter que si un tel plan n'existe pas, alors les vecteurs ne seront pas coplanaires.

Trois vecteurs coplanaires sont toujours linéairement dépendants, c'est-à-dire qu'ils sont exprimés linéairement les uns par les autres. Pour plus de simplicité, imaginez à nouveau qu'ils se trouvent dans le même plan. Premièrement, les vecteurs ne sont pas seulement coplanaires, mais peuvent également être colinéaires, alors n'importe quel vecteur peut être exprimé par n'importe quel vecteur. Dans le second cas, si, par exemple, les vecteurs ne sont pas colinéaires, alors le troisième vecteur s'exprime à travers eux de manière unique : (et pourquoi est facile à deviner à partir des matériaux de la section précédente).

L'inverse est également vrai : trois vecteurs non coplanaires sont toujours linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'ils ne s'expriment en aucune façon les uns par les autres. Et, évidemment, seuls de tels vecteurs peuvent former la base d'un espace tridimensionnel.

Définition: La base de l'espace tridimensionnel est appelé un triplet de vecteurs linéairement indépendants (non coplanaires), pris dans un certain ordre, tandis que tout vecteur de l'espace la seule façon se développe dans la base donnée , où sont les coordonnées du vecteur dans la base donnée

Pour rappel, on peut aussi dire qu'un vecteur est représenté par combinaison linéaire vecteurs de base.

La notion de système de coordonnées est introduite exactement de la même manière que pour le cas plan, un point et trois vecteurs linéairement indépendants suffisent :

origine, et non coplanaire vecteurs, pris dans un certain ordre, Positionner système de coordonnées affines d'un espace tridimensionnel :

Bien sûr, la grille de coordonnées est "oblique" et peu pratique, mais, néanmoins, le système de coordonnées construit nous permet de absolument déterminer les coordonnées de n'importe quel vecteur et les coordonnées de n'importe quel point de l'espace. Semblable au plan, dans le système de coordonnées affines de l'espace, certaines formules que j'ai déjà mentionnées ne fonctionneront pas.

Le cas particulier le plus familier et le plus pratique d'un système de coordonnées affines, comme tout le monde peut le deviner, est système de coordonnées d'espace rectangulaire:

point dans l'espace appelé origine, et orthonormé ensemble de base Système de coordonnées cartésiennes de l'espace . image familière :

Avant de passer aux tâches pratiques, nous systématisons à nouveau les informations :

Pour trois vecteurs spatiaux, les déclarations suivantes sont équivalentes:
1) les vecteurs sont linéairement indépendants ;
2) les vecteurs forment une base ;
3) les vecteurs ne sont pas coplanaires ;
4) les vecteurs ne peuvent pas être exprimés linéairement les uns par les autres ;
5) le déterminant, composé des coordonnées de ces vecteurs, est différent de zéro.

Les déclarations contraires, je pense, sont compréhensibles.

La dépendance/indépendance linéaire des vecteurs spatiaux est traditionnellement vérifiée à l'aide du déterminant (item 5). Les tâches pratiques restantes seront de nature algébrique prononcée. Il est temps d'accrocher un bâton géométrique à un clou et de manier une batte de baseball d'algèbre linéaire :

Trois vecteurs spatiaux sont coplanaires si et seulement si le déterminant composé des coordonnées des vecteurs donnés est égal à zéro : .

J'attire l'attention sur un petit nuance technique: les coordonnées vectorielles peuvent être écrites non seulement dans des colonnes, mais également dans des lignes (la valeur du déterminant ne changera pas à partir de cela - voir les propriétés des déterminants). Mais c'est beaucoup mieux dans les colonnes, car c'est plus bénéfique pour résoudre certains problèmes pratiques.

Pour les lecteurs qui ont un peu oublié les méthodes de calcul des déterminants, ou qui sont peut-être mal orientés du tout, je recommande une de mes plus anciennes leçons : Comment calculer le déterminant ?

Exemple 6

Vérifiez si les vecteurs suivants forment une base d'un espace tridimensionnel :

Décision: En fait, toute la solution revient à calculer le déterminant.

a) Calculer le déterminant, composé des coordonnées des vecteurs (le déterminant est développé sur la première ligne) :

, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants (non coplanaires) et forment la base d'un espace tridimensionnel.

Réponse: ces vecteurs forment la base

b) C'est un point de décision indépendante. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Il y a aussi des tâches créatives :

Exemple 7

A quelle valeur du paramètre les vecteurs seront-ils coplanaires ?

Décision: Les vecteurs sont coplanaires si et seulement si le déterminant composé des coordonnées des vecteurs donnés est égal à zéro :

Essentiellement, il est nécessaire de résoudre une équation avec un déterminant. Nous volons dans des zéros comme des cerfs-volants dans des jerboas - il est plus rentable d'ouvrir le déterminant en deuxième ligne et de se débarrasser immédiatement des inconvénients:

Nous effectuons d'autres simplifications et réduisons la matière au plus simple équation linéaire:

Réponse: à

Il est facile de vérifier ici, pour cela, vous devez substituer la valeur résultante dans le déterminant d'origine et vous assurer que en le rouvrant.

Enfin, considérez une autre tâche typique, qui est de nature plus algébrique et est traditionnellement inclus dans le cours d'algèbre linéaire. C'est tellement courant qu'il mérite un sujet à part :

Démontrer que 3 vecteurs forment une base d'un espace à trois dimensions
et trouver les coordonnées du 4ème vecteur dans la base donnée

Exemple 8

Les vecteurs sont donnés. Montrer que les vecteurs forment une base d'espace à trois dimensions et trouver les coordonnées du vecteur dans cette base.

Décision: Traitons d'abord la condition. Par condition, quatre vecteurs sont donnés et, comme vous pouvez le voir, ils ont déjà des coordonnées dans une certaine base. Quelle est la base - nous ne sommes pas intéressés. Et la chose suivante est intéressante : trois vecteurs pourraient bien former une nouvelle base. Et la première étape est complètement la même que la solution de l'exemple 6, il faut vérifier si les vecteurs sont vraiment linéairement indépendants :

Calculer le déterminant, composé des coordonnées des vecteurs :

, donc les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base d'un espace tridimensionnel.

! Important : coordonnées vectorielles nécessairementécrire en colonnes déterminant, pas des chaînes. Sinon, il y aura confusion dans l'algorithme de solution supplémentaire.

Le système de vecteurs s'appelle linéairement dépendant, s'il existe de tels nombres , parmi lesquels au moins un est différent de zéro, que l'égalité https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =">.

Si cette égalité n'est vraie que si tout , alors le système de vecteurs est appelé linéairement indépendant.

Théorème. Le système de vecteurs va linéairement dépendant si et seulement si au moins un de ses vecteurs est une combinaison linéaire des autres.

Exemple 1 Polynôme est une combinaison linéaire de polynômes https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Les polynômes constituent un système linéairement indépendant, puisque le Polynôme https : //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Exemple 2 Le système matriciel , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> est linéairement indépendant, puisque la combinaison linéaire est égale à la matrice nulle uniquement lorsque https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> dépendant linéairement.

Décision.

Composez une combinaison linéaire de ces vecteurs https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

En assimilant les coordonnées du même nom de vecteurs égaux, nous obtenons https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Enfin on obtient

et

Le système a une solution triviale unique, donc la combinaison linéaire de ces vecteurs est nulle uniquement si tous les coefficients sont nuls. ainsi ce système vecteurs est linéairement indépendant.

Exemple 4 Les vecteurs sont linéairement indépendants. Quels seront les systèmes de vecteurs

un).;

b).?

Décision.

un). Composez une combinaison linéaire et assimilez-la à zéro

En utilisant les propriétés des opérations avec des vecteurs dans un espace linéaire, nous réécrivons la dernière égalité sous la forme

Comme les vecteurs sont linéairement indépendants, les coefficients pour doivent être égaux à zéro, c'est-à-dire.gif" width="12" height="23 src=">

Le système d'équations résultant a une solution triviale unique .

Depuis l'égalité (*) exécuté uniquement sur https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linéairement indépendant ;

b). Composez l'égalité https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

En appliquant un raisonnement similaire, on obtient

En résolvant le système d'équations par la méthode de Gauss, on obtient

ou alors

Le dernier système a ensemble infini solutions https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Ainsi, il existe un ensemble non nul de coefficients pour lesquels l'égalité (**) . Par conséquent, le système de vecteurs est linéairement dépendant.

Exemple 5 Le système vectoriel est linéairement indépendant et le système vectoriel est linéairement dépendant..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Inégalité (***) . En effet, pour , le système serait linéairement dépendant.

De la relation (***) on a ou alors Dénoter .

Obtenir

Tâches pour une solution indépendante (en classe)

1. Un système contenant un vecteur nul est linéairement dépendant.

2. Système à vecteur unique un, est linéairement dépendante si et seulement si, un=0.

3. Un système composé de deux vecteurs est linéairement dépendant si et seulement si les vecteurs sont proportionnels (c'est-à-dire que l'un d'eux est obtenu à partir de l'autre en multipliant par un nombre).

4. Si un vecteur est ajouté à un système linéairement dépendant, alors un système linéairement dépendant est obtenu.

5. Si de linéaire système indépendant supprimez un vecteur, alors le système de vecteurs résultant est linéairement indépendant.

6. Si le système S linéairement indépendant, mais devient linéairement dépendant lorsqu'un vecteur est ajouté b, alors le vecteur b exprimé linéairement en termes de vecteurs du système S.

c). Le système de matrices , , dans l'espace des matrices du second ordre.

10. Soit le système de vecteurs un,b,c l'espace vectoriel est linéairement indépendant. Démontrer l'indépendance linéaire des systèmes de vecteurs suivants :

un).un+b, b, c.

b).un+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– nombre arbitraire

c).un+b, a+c, b+c.

11. Laisser un,b,c sont trois vecteurs dans le plan qui peuvent être utilisés pour former un triangle. Ces vecteurs seront-ils linéairement dépendants ?

12. Étant donné deux vecteurs a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Prenez deux autres vecteurs 4D a3 eta4 pour que le système a1,a2,a3,a4était linéairement indépendant .