Comment trouver le dénominateur supplémentaire. Réduire des fractions à un nouveau dénominateur - règles et exemples. Réduire les fractions à un dénominateur commun

Comment réduire des fractions algébriques (rationnelles) à un dénominateur commun ?

1) Si les dénominateurs des fractions contiennent des polynômes, vous devez essayer d'utiliser l'une des méthodes connues.

2) Le plus petit dénominateur commun (LCD) est constitué de tout le monde multiplicateurs pris en compte le plus grand degrés.

Nous recherchons verbalement le plus petit dénominateur commun des nombres comme le plus petit nombre divisible par les nombres restants.

3) Pour trouver un facteur supplémentaire pour chaque fraction, vous devez diviser le nouveau dénominateur par l'ancien.

4) Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par un facteur supplémentaire.

Regardons des exemples de réduction de fractions algébriques à un dénominateur commun.

Pour trouver un dénominateur commun aux nombres, nous sélectionnons le plus grand nombre et vérifions s'il est divisible par le plus petit nombre. 15 n'est pas divisible par 9. Nous multiplions 15 par 2 et vérifions si le nombre obtenu est divisible par 9. 30 n'est pas divisible par 9. Nous multiplions 15 par 3 et vérifions si le nombre obtenu est divisible par 9. 45 est divisible par 9, ce qui signifie que le dénominateur commun des nombres est 45.

Le plus petit dénominateur commun est constitué de tous les facteurs pris à leur plus grande puissance. Ainsi, le dénominateur commun de ces fractions est 45 avant JC (les lettres sont généralement écrites par ordre alphabétique).

Pour trouver un facteur supplémentaire pour chaque fraction, vous devez diviser le nouveau dénominateur par l'ancien. 45bc :(15b)=3c, 45bc :(9c)=5b. On multiplie le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par un facteur supplémentaire :

Tout d’abord, nous cherchons un dénominateur commun pour les nombres : 8 n’est pas divisible par 6, 8∙2=16 n’est pas divisible par 6, 8∙3=24 est divisible par 6. Chaque variable doit être incluse une fois dans le dénominateur commun. Des degrés, nous prenons le degré avec un grand exposant.

Ainsi, le dénominateur commun de ces fractions est 24a³bc.

Pour trouver un facteur supplémentaire pour chaque fraction, vous devez diviser le nouveau dénominateur par l'ancien : 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.

On multiplie le facteur supplémentaire par le numérateur et le dénominateur :

Les polynômes dans les dénominateurs de ces fractions sont nécessaires. Le dénominateur de la première fraction est le carré complet de la différence : x²-18x+81=(x-9)² ; au deuxième dénominateur - la différence des carrés : x²-81=(x-9)(x+9) :

Le dénominateur commun est constitué de tous les facteurs pris au plus grand degré, c'est-à-dire égal à (x-9)²(x+9). Nous trouvons des facteurs supplémentaires et les multiplions par le numérateur et le dénominateur de chaque fraction :

Dans ce document, nous verrons comment convertir correctement des fractions en un nouveau dénominateur, ce qu'est un facteur supplémentaire et comment le trouver. Après cela, nous formulerons la règle de base pour réduire les fractions à de nouveaux dénominateurs et l’illustrons avec des exemples de problèmes.

Le concept de réduction d'une fraction à un autre dénominateur

Rappelons la propriété fondamentale d'une fraction. Selon lui, une fraction ordinaire a b (où a et b sont des nombres quelconques) a un nombre infini de fractions qui lui sont égales. De telles fractions peuvent être obtenues en multipliant le numérateur et le dénominateur par le même nombre m (entier naturel). En d'autres termes, toutes les fractions ordinaires peuvent être remplacées par d'autres de la forme a · m b · m. Il s'agit de la réduction de la valeur originale en une fraction avec le dénominateur souhaité.

Vous pouvez réduire une fraction à un autre dénominateur en multipliant son numérateur et son dénominateur par n'importe quel nombre naturel. La condition principale est que le multiplicateur soit le même pour les deux parties de la fraction. Le résultat sera une fraction égale à celle d'origine.

Illustrons cela avec un exemple.

Exemple 1

Convertissez la fraction 11 25 au nouveau dénominateur.

Solution

Prenons un nombre naturel arbitraire 4 et multiplions les deux côtés de la fraction originale par celui-ci. On compte : 11 · 4 = 44 et 25 · 4 = 100. Le résultat est une fraction de 44 100.

Tous les calculs peuvent être écrits sous cette forme : 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100

Il s'avère que n'importe quelle fraction peut être réduite à un grand nombre de dénominateurs différents. Au lieu de quatre, nous pourrions prendre un autre nombre naturel et obtenir une autre fraction équivalente à celle d’origine.

Mais aucun nombre ne peut devenir le dénominateur d’une nouvelle fraction. Ainsi, pour a b, le dénominateur ne peut contenir que des nombres b m multiples de b. Passez en revue les concepts de base de la division : les multiples et les diviseurs. Si le nombre n'est pas un multiple de b, mais il ne peut pas être un diviseur de la nouvelle fraction. Illustrons notre idée avec un exemple de résolution d'un problème.

Exemple 2

Calculez s'il est possible de réduire la fraction 5 9 aux dénominateurs 54 et 21.

Solution

54 est un multiple de neuf, qui est au dénominateur de la nouvelle fraction (c'est-à-dire que 54 peut être divisé par 9). Cela signifie qu'une telle réduction est possible. Mais on ne peut pas diviser 21 par 9, donc cette action ne peut pas être effectuée pour cette fraction.

Le concept d'un multiplicateur supplémentaire

Formulons ce qu'est un facteur supplémentaire.

Définition 1

Multiplicateur supplémentaire est un nombre naturel par lequel les deux côtés d'une fraction sont multipliés pour l'amener à un nouveau dénominateur.

Ceux. lorsque nous faisons cela avec une fraction, nous prenons un facteur supplémentaire pour cela. Par exemple, pour convertir la fraction 7 10 sous la forme 21 30, nous avons besoin d'un facteur supplémentaire de 3. Et vous pouvez obtenir la fraction 15 40 à partir de 3 8 en utilisant le multiplicateur 5.

En conséquence, si nous connaissons le dénominateur auquel il est nécessaire de réduire la fraction, nous pouvons alors calculer un facteur supplémentaire pour celle-ci. Voyons comment procéder.

Nous avons une fraction a b, qui peut être réduite à un certain dénominateur c ; Calculons le facteur supplémentaire m. Nous devons multiplier le dénominateur de la fraction originale par m. On obtient b · m, et selon les conditions du problème b · m = c. Rappelons comment la multiplication et la division sont liées les unes aux autres. Cette connexion nous amènera à la conclusion suivante : le facteur supplémentaire n'est rien de plus que le quotient de la division c par b, en d'autres termes, m = c : b.

Ainsi, pour trouver le facteur supplémentaire, nous devons diviser le dénominateur requis par celui d’origine.

Exemple 3

Trouvez le facteur supplémentaire avec lequel la fraction 17 4 a été réduite au dénominateur 124.

Solution

En utilisant la règle ci-dessus, nous divisons simplement 124 par le dénominateur de la fraction originale, quatre.

On compte : 124 : 4 = 31.

Ce type de calcul est souvent nécessaire lors de la conversion de fractions en un dénominateur commun.

La règle pour réduire les fractions au dénominateur spécifié

Passons à la définition de la règle de base avec laquelle vous pouvez réduire les fractions au dénominateur spécifié. Donc,

Définition 2

Pour réduire une fraction au dénominateur spécifié, vous avez besoin de :

1. déterminer un facteur supplémentaire ;
2. multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par celui-ci.

Comment appliquer cette règle en pratique ? Donnons un exemple de résolution du problème.

Exemple 4

Réduisez la fraction 7 16 au dénominateur 336.

Solution

Commençons par calculer le multiplicateur supplémentaire. Divisez : 336 : 16 = 21.

Nous multiplions la réponse obtenue par les deux parties de la fraction originale : 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. Nous avons donc ramené la fraction originale au dénominateur souhaité 336.

Réponse : 7 16 = 147 336.

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Schéma de réduction à un dénominateur commun

1. Vous devez déterminer quel sera le plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions. Si vous avez affaire à un nombre mixte ou entier, vous devez d'abord le transformer en fraction, puis déterminer le plus petit commun multiple. Pour convertir un nombre entier en fraction, vous devez écrire le nombre lui-même au numérateur et un au dénominateur. Par exemple, le nombre 5 sous forme de fraction ressemblerait à ceci : 5/1. Pour transformer un nombre fractionnaire en fraction, vous devez multiplier le nombre entier par le dénominateur et y ajouter le numérateur. Exemple : 8 nombres entiers et 3/5 sous forme de fraction = 8x5+3/5 = 43/5.
2. Après cela, il est nécessaire de trouver un facteur supplémentaire, qui est déterminé en divisant le NZ par le dénominateur de chaque fraction.
3. La dernière étape consiste à multiplier la fraction par un facteur supplémentaire.

Il est important de se rappeler que la réduction à un dénominateur commun n’est pas seulement nécessaire pour l’addition ou la soustraction. Pour comparer plusieurs fractions avec des dénominateurs différents, vous devez également d'abord réduire chacune d'elles à un dénominateur commun.

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Afin de comprendre comment réduire une fraction à un dénominateur commun, vous devez comprendre certaines propriétés des fractions. Ainsi, une propriété importante utilisée pour réduire à NZ est l’égalité des fractions. Autrement dit, si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont multipliés par un nombre, le résultat est une fraction égale à la précédente. Prenons l'exemple suivant comme exemple. Pour réduire les fractions 5/9 et 5/6 à leur plus petit dénominateur commun, suivez ces étapes :

1. Nous trouvons d’abord le plus petit commun multiple des dénominateurs. Dans ce cas, pour les nombres 9 et 6 le LCM sera 18.
2. Nous déterminons des facteurs supplémentaires pour chacune des fractions. Cela se fait comme suit. Nous divisons le LCM par le dénominateur de chaque fraction, nous obtenons ainsi 18 : 9 = 2 et 18 : 6 = 3. Ces nombres seront des facteurs supplémentaires.
3. Nous apportons deux fractions à NOS. Lorsque vous multipliez une fraction par un nombre, vous devez multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur. La fraction 5/9 peut être multipliée par un facteur supplémentaire de 2, ce qui donne une fraction égale à celle donnée - 10/18. On fait de même avec la deuxième fraction : multipliez 5/6 par 3, ce qui donne 15/18.

Comme nous pouvons le voir dans l’exemple ci-dessus, les deux fractions ont été réduites à leur plus petit dénominateur commun. Pour enfin comprendre comment trouver un dénominateur commun, vous devez maîtriser une autre propriété des fractions. Cela réside dans le fait que le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être réduits du même nombre, appelé diviseur commun. Par exemple, la fraction 12/30 peut être réduite à 2/5 si elle est divisée par son diviseur commun - le nombre 6.

Pour comprendre comment additionner des fractions avec différents dénominateurs, apprenons d'abord la règle, puis examinons des exemples spécifiques.

Pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents :

1) Trouvez (NOZ) les fractions données.

2) Trouvez un facteur supplémentaire pour chaque fraction. Pour ce faire, le nouveau dénominateur doit être divisé par l'ancien.

3) Multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par un facteur supplémentaire et ajoutez ou soustrayez des fractions ayant les mêmes dénominateurs.

4) Vérifiez si la fraction résultante est propre et irréductible.

Dans les exemples suivants, vous devez ajouter ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents :

1) Pour soustraire des fractions ayant des dénominateurs différents, recherchez d’abord le plus petit dénominateur commun des fractions données. Nous sélectionnons le plus grand nombre et vérifions s'il est divisible par le plus petit. 25 n'est pas divisible par 20. On multiplie 25 par 2. 50 n'est pas divisible par 20. On multiplie 25 par 3. 75 n'est pas divisible par 20. Multipliez 25 par 4. 100 est divisé par 20. Le plus petit dénominateur commun est donc 100.

2) Pour trouver un facteur supplémentaire pour chaque fraction, vous devez diviser le nouveau dénominateur par l'ancien. 100:25=4, 100:20=5. En conséquence, la première fraction a un facteur supplémentaire de 4 et la seconde un facteur supplémentaire de 5.

3) Multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par un facteur supplémentaire et soustrayez les fractions selon la règle de soustraction des fractions avec les mêmes dénominateurs.

4) La fraction résultante est propre et irréductible. Voilà donc la réponse.

1) Pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents, recherchez d’abord le plus petit dénominateur commun. 16 n'est pas divisible par 12. 16∙2=32 n'est pas divisible par 12. 16∙3=48 est divisible par 12. Donc, 48 est NOZ.

2) 48:16=3, 48:12=4. Ce sont des facteurs supplémentaires pour chaque fraction.

3) multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par un facteur supplémentaire et ajoutez de nouvelles fractions.

4) La fraction résultante est propre et irréductible.

1) 30 n'est pas divisible par 20. 30∙2=60 est divisible par 20. 60 est donc le plus petit dénominateur commun de ces fractions.

2) pour trouver un facteur supplémentaire pour chaque fraction, vous devez diviser le nouveau dénominateur par l'ancien : 60:20=3, 60:30=2.

3) multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par un facteur supplémentaire et soustraire de nouvelles fractions.

4) le fractionnaire résultant 5.

1) 8 n'est pas divisible par 6. 8∙2=16 n'est pas divisible par 6. 8∙3=24 est divisible par 4 et 6. Cela signifie que 24 est le NOZ.

2) pour trouver un facteur supplémentaire pour chaque fraction, vous devez diviser le nouveau dénominateur par l'ancien. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Cela signifie que 3, 6 et 4 sont des facteurs supplémentaires aux première, deuxième et troisième fractions.

3) multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par un facteur supplémentaire. Ajouter et soustraire. La fraction résultante est impropre, il est donc nécessaire de sélectionner la partie entière.