Graphique d'une équation linéaire à deux variables. §22. graphique d'une équation linéaire à deux variables

Vous savez que chaque paire ordonnée de nombres correspond à un point spécifique sur le plan de coordonnées. Puisque chaque solution d'une équation à deux variables x et y est une paire ordonnée de nombres, toutes ses solutions peuvent être représentées par des points sur le plan de coordonnées. En ces points, l'abscisse est la valeur de la variable x et l'ordonnée est la valeur correspondante de la variable y. Par conséquent, nous obtenons un graphique d’une équation à deux variables.

Souviens-toi!

Le graphique d'une équation à deux variables est l'image sur le plan de coordonnées de tous les points dont les coordonnées satisfont à l'équation donnée.

Regardez les figures 64 et 65. Vous voyez un graphique de l'équation 0,5 x - y = 2, où x est un nombre pair à un chiffre (figure 64), et un graphique de l'équation x 2 + y 2 = 4 (figure 65). Le premier graphique ne contient que quatre points car les variables x et y ne peuvent prendre que quatre valeurs. Le deuxième graphique est une ligne sur le plan de coordonnées. Il contient de nombreux points, puisque la variable x peut prendre n'importe quelle valeur de -2 à 2 et il existe de nombreux nombres de ce type. Il existe également de nombreuses valeurs correspondantes. Ils varient de 2 à 2.

La figure 66 montre le graphique de l'équation x + y = 4. Contrairement au graphique de l'équation x 2 + y 2 = 4 (voir Fig. 65), chaque point abscisse de ce graphique correspond à une seule ordonnée. Cela signifie que la figure 66 montre le graphique de la fonction. Convainquez-vous que le graphique de l’équation de la figure 64 est également le graphique d’une fonction.

note

Toutes les équations n’ont pas le graphique d’une fonction, mais chaque graphique d’une fonction est le graphique d’une équation.

L'équation x + y = 4 est une équation linéaire à deux variables. Après l'avoir résolu pour y, nous obtenons : y = -x + 4. L'égalité résultante peut être comprise comme une formule qui définit la fonction linéaire y = -x + 4. Le graphique d'une telle fonction est une ligne droite. Ainsi, le graphique de l'équation linéaire x + y = 4, illustré à la figure 66, est une ligne droite.

Peut-on dire que le graphique de toute équation linéaire à deux variables est une ligne droite ? Non. Par exemple, l'équation linéaire 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 est satisfaite par n'importe quelle paire de nombres, et donc le graphique de cette équation contient tous les points du plan de coordonnées.

Découvrons quel est le graphique d'une équation linéaire à deux variables ax + bу + c = 0 en fonction des valeurs des coefficients a, b et c. De tels cas sont possibles.

Soit a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Alors l'équation ax + by + c = 0 peut être représentée comme :

Nous avons obtenu une égalité définissant la fonction linéaire y(x). Son graphique, et donc le graphique de cette équation, est une droite qui ne passe pas par l'origine des coordonnées (Fig. 67).

2. Soit a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0. Alors l'équation ax + by + c = 0 prend la forme ax + by + 0 = 0, ou y = x.

Nous avons obtenu l'égalité, qui spécifie la proportionnalité directe à y(x). Son graphique, et donc le graphique de cette équation, est une droite passant par l'origine des coordonnées (Fig. 68).

3. Soit a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0. Alors l'équation ax + by + c = 0 prend la forme ax + 0 ∙ y + c = 0, ou x = -.

L'égalité reçue ne spécifie pas la fonction y(). Cette égalité est satisfaite par de telles paires de nombres (x ; y), dans lesquelles x = et y est n'importe quel nombre. Sur le plan de coordonnées, ces points se trouvent sur une droite parallèle à l'axe OY. Ainsi, le graphique de cette équation est une droite parallèle à l'axe des ordonnées (Fig. 69).

4. Soit a ≠ 0, b = 0, c = 0. Alors l'équation ax + by + c = 0 prend la forme ax + 0 ∙ y + 0 = 0, ou x = 0.

Cette égalité est satisfaite par de telles paires de nombres (x ; y), dans lesquelles x = 0, et y est n'importe quel nombre. Sur le plan de coordonnées, ces points se trouvent sur l'axe OY. Ainsi, le graphique de cette équation est une ligne droite coïncidant avec l’axe des ordonnées.

5. Soit a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠0. Alors l'équation ax + bу + c = 0 prend la forme 0 ∙ x + by + c = 0, ou y = -. Cette égalité définit une fonction y(x), qui prend les mêmes valeurs pour toutes les valeurs de x, c'est-à-dire qu'elle est constante. Son graphique, et donc le graphique de cette équation, est une droite parallèle à l'axe des abscisses (Fig. 70).

6. Soit a = 0, b ≠ 0, c = 0. Alors l'équation ax + by + c = 0 prend la forme 0 ∙ x + by + 0 = 0, ou b = 0. Nous avons obtenu une fonction constante y( x), dans lequel chaque point du graphique se situe sur l'axe OX. Ainsi, le graphique de cette équation est une ligne droite coïncidant avec l’axe des abscisses.

7. Soit a = 0, b = 0, c ≠ 0. Alors l'équation ax + by + c = 0 prend la forme 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, ou 0 ∙ x + 0 ∙ b = c . Et une telle équation linéaire n'a pas de solutions, donc son graphique ne contient pas un seul point sur le plan de coordonnées.

8. Soit a = 0, b = 0, c = 0. Alors l'équation ax + by + c = 0 prend la forme 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0, ou 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0. . Une telle équation linéaire a de nombreuses solutions, son graphique est donc l'ensemble du plan de coordonnées.

Nous pouvons résumer les résultats obtenus.

Graphique d'une équation linéaire à deux variables ax + bу + с = 0 :

Est droit si a ≠ 0 ou b ≠ 0 ;

Est le plan entier si a = 0, b = 0 et c = 0 ;

Ne contient pas un seul point du plan de coordonnées si a = 0, b = 0 et c ≠ 0.

Tâche. Représentez graphiquement l'équation 2x - y - 3 = 0

Solutions. L'équation 2x - y - 3 = 0 est linéaire. Son graphique est donc la droite y = 2x - 3. Pour le construire, il suffit de préciser deux points appartenant à cette droite. Faisons un tableau de valeurs y pour deux valeurs arbitraires de x, par exemple, pour x = 0 et x = 2 (tableau 27).

Tableau 27

Sur le plan de coordonnées, nous désignons les points avec les coordonnées (0 ; -3) et (2 ; 1) et traçons une ligne droite qui les traverse (Fig. 70). Cette droite est le graphique souhaité de l'équation 2x - y - 3 = 0.

Est-il possible d'identifier le graphique d'une équation linéaire à deux variables et le graphique d'une équation du premier degré à deux variables ? Non, car il existe des équations linéaires qui ne sont pas des équations du premier degré. Par exemple, ce sont l'équation 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0.

Note:

Le graphique d'une équation linéaire à deux variables peut être une ligne droite, le plan entier, ou ne pas contenir un seul point sur le plan de coordonnées ;

Le graphique d’une équation du premier degré à deux variables est toujours droit.

En savoir plus

1. Soit a ≠ 0. Alors la solution générale de l'équation peut également être représentée sous cette forme : X = - y -. Nous avons obtenu une fonction linéaire x(y). Son graphique est une ligne droite. Pour construire un tel graphique, il est nécessaire de combiner les axes de coordonnées différemment : le premier axe de coordonnées (variable indépendante) est considéré comme l'axe de l'ampli-op, et le second (variable dépendante) est considéré comme l'axe de l'ampli-op.

Axe OX. Ensuite, il est pratique de positionner l'axe OU horizontalement, et l'axe OX

Verticalement (Fig. 72). Le graphique de l'équation dans ce cas sera également placé différemment sur le plan de coordonnées en fonction des marquages ​​des coefficients b et c. Explorez-le vous-même.

2. Nikolai Nikolaevich Bogolyubov (1909-1992) - un mathématicien et mécanicien national exceptionnel, physicien théoricien, fondateur d'écoles scientifiques de mécanique non linéaire et de physique théorique, académicien de l'Académie des sciences de la RSS d'Ukraine (1948) et de l'Académie des sciences de l'URSS (depuis 1953). Né à Nijni Novgorod, Empire russe. En 1921, la famille déménage à Kyiv. Après avoir obtenu son diplôme d'une école de sept ans, Bogolyubov a étudié indépendamment la physique et les mathématiques et, dès l'âge de 14 ans, a déjà participé à un séminaire au Département de physique mathématique de l'Université de Kiev sous la direction de l'académicien D. A. Grave. En 1924 à 15 ans âge d'été Bogolyubov a écrit son premier ouvrage scientifique et l'année suivante, il a été accepté à l'école supérieure de l'ANURSR par des académiciens. M. Krylov, dont il est diplômé en 1929, obtenant un doctorat en sciences mathématiques à l'âge de 20 ans.

En 1929 p. MM. Bogolyubov est devenu chercheur à l'Académie ukrainienne des sciences et, en 1934, a commencé à enseigner à l'Université de Kiev (depuis 1936 - professeur). Depuis la fin des années 40 du XXe siècle. Parallèlement, il travaille en Russie. Il a été directeur de l'Institut commun de recherche nucléaire, puis directeur de l'Institut mathématique du nom. A. Steklov à Moscou, a enseigné à l'Université d'État de Moscou du nom de Mikhaïl Lomonossov. En 1966, il devient le premier directeur de l'Institut de physique théorique de l'Académie ukrainienne des sciences à Kiev, qu'il crée, et en même temps (1963-1988) il est académicien et secrétaire du Département de mathématiques de l'Académie ukrainienne des sciences. Académie des sciences de l'URSS.

MM. Bogolyubov - deux fois héros du travail socialiste (1969, 1979), lauréat du prix Lénine (1958), du prix d'État de l'URSS (1947, 1953, 1984), de la médaille d'or. Académie des sciences M. V. Lomonossov de l'URSS (1985).

Le 21 septembre 2009, sur la façade du bâtiment rouge de l'Université nationale Taras Chevtchenko de Kiev, une plaque commémorative a été inaugurée en l'honneur du brillant académicien Nikolaï Bogolyubov en l'honneur du centenaire de sa naissance.

En 1992, l'Académie nationale des sciences d'Ukraine a fondé le prix N.M. Bogolyubov de la NAS d'Ukraine, décerné par le Département de mathématiques de la NAS d'Ukraine pour des travaux scientifiques exceptionnels dans le domaine des mathématiques et de la physique théorique. La petite planète « 22616 Bogolyubov » a été nommée en l'honneur du scientifique.

N'OUBLIEZ PAS L'IMPORTANT

1. Qu'est-ce que le graphique d'une équation linéaire à deux variables ?

2. Dans tous les cas, le graphique d’une équation à deux variables est une droite ; avion?

3. Dans quel cas le graphique d'une équation linéaire à deux variables passe-t-il par l'origine ?

RÉSOUDRE DES PROBLÈMES

1078 . Laquelle des figures 73 et 74 montre le graphique d'une équation linéaire à deux variables ? Expliquez votre réponse.

1079 . A quelles valeurs des coefficients a, b et c se trouve la droite ax + bу + c = 0.

1) passe par l'origine ;

2) parallèle à l'axe des x ;

3) parallèle à l'axe des ordonnées ;

4) coïncide avec l'axe des abscisses ;

5) coïncide avec l'axe des ordonnées ?

1080 . Sans effectuer de construction, déterminez si le point appartient au graphique d'une équation linéaire à deux variables 6x - 2y + 1 = 0 :

1)UNE(-1;2,5); 2)B(0;3,5); 3)C(-2 ; 5,5); 4)D(1,5;5).

1081 . Sans effectuer de construction, déterminez si le point appartient au graphique d'une équation linéaire à deux variables 3x + 3y - 5 = 0 :

1) UNE (-1; ); 2) B (0 ; 1).

1082

1) 2x + y - 4 = 0 si x = 0 ; 3) 3x + 3y - 1 = 0 si x = 2 ;

2) 4x - 2y + 5 = 0, si x = 0 ; 4) -5x - y + 6 = 0 si x = 2.

1083 . Étant donné une équation linéaire à deux variables, trouvez la valeur de y correspondant à la valeur donnée de x :

1)3x - y + 2 = 0 si x = 0 ; 2) 6x - 5y - 7 = 0 si x = 2.

1084

1) 2x + y - 4 = 0 ; 4) -x + 2y + 8 = 0 ; 7) 5x-10 = 0 ;

2) 6x - 2 ans + 12 = 0 ; 5)-x - 2y + 4 = 0 ; 8)-2у + 4 = 0 ;

3) 5x - 10 ans = 0 ; 6)x - y = 0 ; 9) x-y = 0.

1085 . Représentez graphiquement une équation linéaire avec deux variables :

1) 4x + y - 3 = 0 ; 4) 10x - 5 ans - 1 = 0 ;

2) 9x - 3 ans + 12 = 0 ; 5) 2x + 6 = 0 ;

3) -4x - 8y = 0 ; 6) oui - 3 = 0.

1086 . Trouver les coordonnées du point d'intersection du graphique d'une équation linéaire à deux variables 2x - 3y - 18 = 0 avec l'axe :

1) essieux ; 2) axes.

1087 . Trouver les coordonnées du point d'intersection du graphique d'une équation linéaire à deux variables 5x + 4y - 20 = 0 avec l'axe :

1) essieux ; 2) axes.

1088 . Sur la droite, qui est le graphique de l'équation 0,5 x + 2y - 4 = 0, un point est indiqué. Trouver l'ordonnée de ce point si son abscisse est :

5) 4(x - y) = 4 - 4y ;

6) 7x - 2y = 2(1 + 3,5x).

1094 . Le graphique d'une équation linéaire à deux variables passe par le point A(3; -2). Trouvez le coefficient inconnu de l'équation :

1) hache + 3y - 3 = 0 ;

2) 2x - par + 8 = 0 ;

3)-x + 3y - c = 0.

1095 . Déterminer le type de quadrilatère dont les sommets sont les points d'intersection des graphiques des équations :

x - y + 4 = 0, x - y - 4 = 0, -x - y + 4 = 0, -x - y - 4 = 0

1096 . Tracez l'équation :

1) une - 4b + 1 = 0 ; 3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0 ;

2) 0 ∙ une + 2b + 6 = 0 ; 4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.

METTEZ-LE EN PRATIQUE

1097 . Créez une équation linéaire avec deux variables basée sur les données suivantes : 1) 3 kg de bonbons et 2 kg de biscuits coûtent 120 UAH ; 2) 2 stylos coûtent 20 UAH plus cher que 5 crayons. Tracez un graphique de votre équation.

1098 . Construisez un graphique de l'équation du problème concernant : 1) le nombre de filles et de garçons dans votre classe ; 2) acheter des cahiers lignés et quadrillés.

EXAMEN DES PROBLEMES

1099. Un touriste a parcouru 12 km en une heure. Combien d'heures faudra-t-il à un touriste pour parcourir une distance de 20 km à la même vitesse ?

1100. Quelle devrait être la vitesse du train selon le nouvel horaire pour qu'il puisse parcourir la distance entre deux gares en 2,5 heures, si selon l'ancien horaire, circulant à une vitesse de 100 km/h, il la parcourait en 3 heures heures?

§ 1 Sélection des racines d'équations en situations réelles

Considérons cette situation réelle :

Le maître et l'apprenti ont réalisé ensemble 400 pièces sur mesure. De plus, le maître a travaillé 3 jours et l'étudiant 2 jours. Combien de pièces chaque personne a-t-elle fabriquées ?

Créons un modèle algébrique de cette situation. Laissez le maître produire des pièces en 1 jour. Et l'étudiant s'occupe des détails. Ensuite, le maître réalisera 3 parties en 3 jours, et l'étudiant réalisera 2 parties en 2 jours. Ensemble, ils produiront 3 + 2 pièces. Puisque, selon la condition, un total de 400 pièces ont été fabriquées, on obtient l'équation :

L’équation résultante est appelée équation linéaire à deux variables. Ici, nous devons trouver une paire de nombres x et y pour lesquels l'équation prendra la forme d'une véritable égalité numérique. Notez que si x = 90, y = 65, alors on obtient l'égalité :

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Puisque l’égalité numérique correcte a été obtenue, la paire de nombres 90 et 65 sera une solution à cette équation. Mais la solution trouvée n’est pas la seule. Si x = 96 et y = 56, alors on obtient l'égalité :

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Il s’agit également d’une véritable égalité numérique, ce qui signifie que la paire de nombres 96 et 56 est également une solution à cette équation. Mais une paire de nombres x = 73 et y = 23 ne sera pas une solution à cette équation. En fait, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 nous donnera l'égalité numérique incorrecte 265 = 400. Il convient de noter que si l'on considère l'équation par rapport à cette situation réelle, alors il y aura des paires de nombres qui, étant une solution à cette équation ne sera pas une solution au problème. Par exemple, quelques chiffres :

x = 200 et y = -100

est une solution à l'équation, mais l'élève ne peut pas faire -100 parties, et donc une telle paire de nombres ne peut pas être la réponse à la question du problème. Ainsi, dans chaque situation réelle spécifique, il est nécessaire d'adopter une approche raisonnable pour sélectionner les racines de l'équation.

Résumons les premiers résultats :

Une équation de la forme ax + bу + c = 0, où a, b, c sont des nombres quelconques, est appelée une équation linéaire à deux variables.

La solution d'une équation linéaire à deux variables est une paire de nombres correspondant à x et y, pour lesquels l'équation se transforme en une véritable égalité numérique.

§ 2 Graphique d'une équation linéaire

L'enregistrement même du couple (x;y) nous amène à réfléchir à la possibilité de le représenter comme un point de coordonnées xy y sur un plan. Cela signifie que nous pouvons obtenir un modèle géométrique d'une situation spécifique. Par exemple, considérons l'équation :

2x + y - 4 = 0

Sélectionnons plusieurs paires de nombres qui seront des solutions à cette équation et construisons des points avec les coordonnées trouvées. Soit ces points :

A(0 ; 4), B(2 ; 0), C(1 ; 2), D(-2 ; 8), E(- 1 ; 6).

Notez que tous les points se trouvent sur la même ligne. Cette droite est appelée le graphique d’une équation linéaire à deux variables. C'est un modèle graphique (ou géométrique) d'une équation donnée.

Si une paire de nombres (x;y) est une solution de l'équation

ax + vy + c = 0, alors le point M(x;y) appartient au graphique de l'équation. On peut dire l'inverse : si le point M(x;y) appartient au graphe de l'équation ax + y + c = 0, alors la paire de nombres (x;y) est une solution de cette équation.

Du cours de géométrie, nous savons :

Pour construire une droite, il faut 2 points, donc pour tracer un graphique d'une équation linéaire à deux variables, il suffit de connaître seulement 2 paires de solutions. Mais deviner les racines n’est pas toujours une procédure pratique ou rationnelle. Vous pouvez agir selon une autre règle. Puisque l'abscisse d'un point (variable x) est une variable indépendante, vous pouvez lui donner n'importe quelle valeur qui vous convient. En substituant ce nombre dans l'équation, nous trouvons la valeur de la variable y.

Par exemple, donnons l'équation :

Soit x = 0, alors nous obtenons 0 - y + 1 = 0 ou y = 1. Cela signifie que si x = 0, alors y = 1. Une paire de nombres (0; 1) est la solution de cette équation. Fixons une autre valeur pour la variable x : x = 2. Nous obtenons alors 2 - y + 1 = 0 ou y = 3. La paire de nombres (2;3) est également une solution à cette équation. A l'aide des deux points trouvés, il est déjà possible de construire un graphique de l'équation x - y + 1 = 0.

Vous pouvez faire ceci : attribuez d’abord une valeur spécifique à la variable y, puis calculez ensuite la valeur de x.

§ 3 Système d'équations

Trouvez deux nombres naturels dont la somme est 11 et la différence est 1.

Pour résoudre ce problème, nous créons d’abord un modèle mathématique (c’est-à-dire algébrique). Soit le premier nombre x et le deuxième nombre y. Alors la somme des nombres x + y = 11 et la différence des nombres x - y = 1. Puisque les deux équations traitent des mêmes nombres, ces conditions doivent être remplies simultanément. Habituellement, dans de tels cas, un enregistrement spécial est utilisé. Les équations sont écrites les unes en dessous des autres et combinées avec une accolade.

Un tel enregistrement s’appelle un système d’équations.

Construisons maintenant des ensembles de solutions à chaque équation, c'est-à-dire graphiques de chacune des équations. Prenons la première équation :

Si x = 4, alors y = 7. Si x = 9, alors y = 2.

Traçons une ligne droite passant par les points (4;7) et (9;2).

Prenons la deuxième équation x - y = 1. Si x = 5, alors y = 4. Si x = 7, alors y = 6. On trace également une ligne droite passant par les points (5;4) et (7;6 ). Nous avons obtenu un modèle géométrique du problème. La paire de nombres qui nous intéresse (x;y) doit être une solution aux deux équations. Sur la figure, nous voyons un seul point situé sur les deux lignes ; c'est le point d'intersection des lignes.

Ses coordonnées sont (6;5). Par conséquent, la solution au problème sera : le premier nombre requis est 6, le second est 5.

Liste de la littérature utilisée :

1. Mordkovich A.G., Algèbre 7e année en 2 parties, Partie 1, Manuel pour les établissements d'enseignement général / A.G. Mordkovitch. – 10e éd., révisée – Moscou, « Mnemosyne », 2007
2. Mordkovich A.G., Algèbre 7e année en 2 parties, Partie 2, Livre de problèmes pour les établissements d'enseignement / [A.G. Mordkovitch et autres] ; édité par A.G. Mordkovich - 10e édition révisée - Moscou, « Mnemosyne », 2007
3. SON. Tulchinskaya, Algèbre 7e année. Enquête Blitz : manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général, 4e édition, révisée et augmentée, Moscou, « Mnemosyne », 2008
4. Alexandrova L.A., Algèbre 7e année. Épreuves de tests thématiques sous une nouvelle forme pour les étudiants des établissements d'enseignement général, éditées par A.G. Mordkovitch, Moscou, « Mnémosyne », 2011
5. Alexandrova L.A. Algèbre 7e année. Ouvrages indépendants destinés aux étudiants des établissements d'enseignement général, édités par A.G. Mordkovitch - 6e édition, stéréotypée, Moscou, « Mnemosyne », 2010

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Légendes des diapositives :

Fonction linéaire Algèbre de 7e année Leçon n° 6 -7. Avion coordonné. Équation linéaire à deux variables et son graphique 06/07/2012 1 www.konspekturoka.ru

Objectifs : 06/07/2012 Rappeler la notion de plan de coordonnées. Considérons l'image d'un point sur le plan de coordonnées. Donner le concept d'une équation à deux variables, leur solution et le graphique de l'équation. Apprenez à tracer graphiquement une équation linéaire à deux variables. Apprenez l'algorithme pour tracer une équation linéaire à deux variables. 2 www.konspekturoka.ru

O x y 1 Deux axes numériques mutuellement perpendiculaires forment un système de coordonnées rectangulaires 1 - 1 - 1 I II III I V Angles de coordonnées Ordonnée (axe oy) Abscisse (axe bœuf) Rappelons-nous ! 06/07/2012 3 www.konspekturoka.ru

O x y 1 x = -3 Y = 3 x = -5 y = -2 X = 4 y = -5 x = 2 Y = 5 07/06/2012 www.konspekturoka.ru 4 Rappelons-nous ! Algorithme pour trouver les coordonnées du point M(a; b) Tracez une ligne droite passant par le point, parallèle à l'axe y, et trouvez la coordonnée du point d'intersection de cette ligne avec l'axe x - ce sera l'abscisse du point. 2. Tracez une ligne parallèle à l'axe des x passant par le point et trouvez la coordonnée du point d'intersection de cette ligne avec l'axe des y - ce sera l'ordonnée du point. UN B 5 2 C 4 -5 M -2 -5 3 -3 B(2; 5); C(4;-5); M(-5;-2); UNE(-3;3)

A (-4 ; 6) B (5 ; -3) C (2 ; 0) D (0 ; -5) N'oubliez pas ! Algorithme de construction du point M(a; b) Construire une droite x = a. Construisez la droite y = b. Trouvez le point d'intersection des lignes construites - ce sera le point M(a; b) 6 -4 5 -3 -5 2 07/06/2012 5 www.konspekturoka.ru

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 6 Une équation de la forme : a x + b = 0 est appelée une équation linéaire à une variable (où x est une variable, a et b sont des nombres). Attention! x – la variable entre nécessairement dans l’équation au premier degré. (45 - y) + 18 = 58 équation linéaire à une variable 3x² + 6x + 7 = 0 équation non linéaire à une variable Rappelons-nous !

ax + by + c = 0 Équation linéaire à deux variables 07/06/2012 7 www.konspekturoka.ru La solution d'une équation à deux inconnues est une paire de variables, lors de la substitution de laquelle l'équation devient une véritable égalité numérique. Une équation de la forme : est appelée une équation linéaire à deux variables (où x, y sont des variables, a, b et c sont des nombres). (x;y)

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 8 Résoudre une équation linéaire avec une variable signifie trouver les valeurs de la variable pour chacune desquelles l'équation se transforme en une égalité numérique correcte. (x; y)- ? Il existe une infinité de solutions de ce type.

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 9 Une équation linéaire à deux variables a des propriétés similaires aux équations à une variable Si dans une équation nous déplaçons un terme d'une partie à une autre, en changeant son signe, nous obtenons une équation équivalente. 2. Si les deux membres de l’équation sont multipliés ou divisés par un nombre (différent de zéro), vous obtenez une équation équivalente.

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 10 Équations équivalentes Puisque le terme 4y³ est transféré du côté gauche vers la droite, les équations avec deux variables ayant les mêmes racines sont appelées équivalentes.

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 11 O x y 1 Exemple 1 Dessinez les solutions d'une équation linéaire avec deux variables x + y – 3 = 0 points dans le plan de coordonnées. 1. Sélectionnons plusieurs paires de nombres qui satisfont à l'équation : (3 ; 0), (2 ; 1), (1 ; 2), (0 ; 3), (-2 ; 5). 2. Construire des points en xOy : A(3; 0), B(2; 1), C(1; 2), E(0; 3), M(-2; 5). 3 E(0; 3) 1 2 C(1; 2) 1 2 B(2; 1) 3 A(3; 0) -2 5 M(-2; 5) 3. Reliez tous les points. Attention! Tous les points se trouvent sur la même droite. Dans le futur : pour construire une droite, 2 points suffisent m m - graphique de l'équation x + y - 3 = 0 Ils disent : m - modèle géométrique de l'équation x + y - 3 = 0 -4 7 P(- 4; 7) P(-4; 7 ) est une paire qui appartient à la droite et est une solution de l'équation

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 12 Conclusion : Si (-4 ; 7) est une paire de nombres qui satisfait l'équation, alors le point P(-4 ; 7) appartient à la droite t. P(-4; 7) appartient à la droite t , alors pair(-4;7) est la solution de l'équation. Vice versa:

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 13 Théorème : Le graphique de toute équation linéaire ax + by + c = 0 est une ligne droite. Pour construire un graphique, il suffit de trouver les coordonnées de deux points. Situation réelle (modèle verbal) Modèle algébrique Modèle géométrique La somme de deux nombres est 3. x + y = 3 (équation linéaire à deux variables) ligne t (graphique d'une équation linéaire à deux variables) x + y – 3 = 0

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 14 x y 1 Exemple 2 Construire un graphique de l'équation 3 x - 2y + 6 = 0 1. Soit x = 0, substituer dans l'équation 3· 0 - 2y + 6 = 0 - 2y + 6 = 0 - 2y = - 6 y = - 6 : (-2) y = 3 (0;3) - une paire de nombres, il existe une solution à 2. Soit y = 0, remplacez 3 x - 2 0 + 6 = 0 3x + dans l'équation 6 = 0 3x = - 6 x = - 6 : 3 x = - 2 (-2;0) - une paire de nombres, il y a la solution 3. Construisez les points et connectez-vous avec une droite 0 3 -2 3 x - 2y + 6 = 0

06/07/2012 www.konspekturoka.ru 15 Algorithme de construction d'un graphique de l'équation ax + b y + c = 0 Donner à la variable x une valeur spécifique x ₁ ; trouver à partir de l'équation ax + b y + c = 0 la valeur correspondante de y ₁. On obtient (x₁;y₁). 2. Donner à la variable x une valeur spécifique x ₂ ; trouver à partir de l'équation ax + b y + c = 0 la valeur correspondante de y ₂. On obtient (x ₂;y ₂). 3. Construisons les points (x₁; y₁), (x₂; y₂) sur le plan de coordonnées et connectons-les par une ligne droite. 4. Ligne droite - il y a un graphique de l'équation.

07/06/2012 16 www.konspekturoka.ru Répondez aux questions : Qu'appelle-t-on le plan de coordonnées ? Quel est l'algorithme pour trouver les coordonnées d'un point sur le plan de coordonnées ? Quel est l'algorithme pour construire un point sur un plan de coordonnées ? Énoncez les propriétés de base des équations. Quelles équations sont dites équivalentes ? Quelle est la solution d’une équation linéaire à deux variables ? 7. Quel est l'algorithme pour représenter graphiquement une équation linéaire à deux variables ?

Définition : ax + by + c = 0, où a, b et c sont des nombres (également appelés coefficients), et a et b ne sont pas égaux à zéro, x et y sont des variables, appelée équation linéaire avec une équation de la forme deux variables. Exemple 1 : 5 x – 2 y + 10 = 0 – équation linéaire à deux variables : a = 5, b = -2, c = 10, x et y sont des variables. Exemple 2 : – 4 x = 6 y – 14 – est aussi une équation linéaire à deux variables. Si l'on déplace tous les termes de l'équation vers la gauche, on obtient la même équation écrite sous forme générale : – 4 x – 6 y + 14 = 0, où a = – 4, b = – 6, c = 14, x et y – variables. La forme générale d'une équation linéaire à deux variables est l'entrée : ax + by + c = 0, lorsque tous les termes de l'équation sont écrits à gauche du signe = et zéro est écrit à droite. Exemple 3 : 3 z – 5 w + 15 = 0 – est également une équation linéaire à deux variables. Dans ce cas, les variables sont z et w. Les variables au lieu de x et y peuvent être n'importe quelle lettre de l'alphabet latin.

Ainsi, une équation linéaire à deux variables peut être appelée toute équation contenant deux variables, à l'exception de deux cas : 1. Lorsque les variables de l'équation sont élevées à une puissance autre que la première ! Exemple 1 : -5 x 2 + 3 y + 9 = 0 – n'est pas une équation linéaire, puisque la variable x est à la puissance seconde. Exemple 2 : 6 x – y 5 + 12 = 0 – n'est pas une équation linéaire, puisque la variable y est à la puissance cinq. 2. Quand une équation contient une variable au dénominateur ! Exemple 3 : 2 x + 3/y + 18 = 0 n'est pas une équation linéaire, puisque la variable y est contenue dans le dénominateur. Exemple 4 : 1/x – 2/y + 3 = 0 – n'est pas une équation linéaire, puisque les variables x et y sont contenues dans le dénominateur.

Définition : La solution d'une équation linéaire à deux variables ax + by + c = 0 est n'importe quelle paire de nombres (x ; y), qui, lorsqu'elle est substituée dans cette équation, la transforme en une véritable égalité. Exemple 1 : Pour l'équation linéaire 5 x – 2 y + 10 = 0, la solution est une paire de nombres (-4 ; -5). Ceci est facile à vérifier si vous remplacez x = -4 et y = -5 dans l'équation : 5·(-4) – 2·(-5) + 10 = 0 -20 + 20 = 0 – égalité correcte. Exemple 2 : Pour la même équation 5 x – 2 y + 10 = 0, la paire de nombres (1 ; 4) n'est pas une solution : 5 1 – 2 4 + 10 = 0 5 – 8 + 10 = 0 7 = 0 – pas une véritable égalité.

Pour toute équation linéaire à deux variables, vous pouvez sélectionner un nombre infini de paires de nombres (x ; y) qui seront ses solutions. En effet, pour l'équation linéaire de l'exemple précédent 5 x – 2 y + 10 = 0, en plus de la paire de nombres (-4 ; -5), les solutions seront des paires de nombres : (0 ; 5), ( -2 ; 0), (2 ; 10), (-3 ; -2, 5), (-1 ; 2, 5), etc. De telles paires de nombres peuvent être sélectionnées à l'infini. Remarque : La solution d'une équation linéaire à deux variables est écrite entre parenthèses, avec la valeur de la variable x toujours écrite en premier lieu, et la valeur de la variable y toujours écrite en deuxième lieu !

Le graphique d'une équation linéaire à deux variables ax + by + c = 0 est une ligne droite. Par exemple : le graphique de l’équation 2 x + y – 2 = 0 ressemble à celui illustré sur la figure. Tous les points d'une droite sur un graphique sont des solutions à une équation linéaire donnée. Le graphique d'une équation linéaire à deux variables est un modèle géométrique de cette équation : ainsi, à l'aide d'un graphique, on peut représenter un nombre infini de solutions d'une équation linéaire à deux variables.

Comment représenter graphiquement l'équation linéaire ax + by + c = 0 ? Écrivons le plan d'action : 1. Définissez un système de coordonnées rectangulaires afin de représenter toutes les solutions de l'équation linéaire (x ; y), nous utiliserons un système de coordonnées rectangulaires, où nous tracerons les valeurs de la variable x le long de l'axe Ox, et les valeurs de la variable y le long de l'axe Oy . 2. Sélectionnez deux paires de nombres : (x1 ; y1) et (x2 ; y2), qui sont des solutions pour cette équation linéaire. En fait, nous pouvons sélectionner autant de solutions que nous le souhaitons (x ; y), elles le seront toutes. se trouvent sur la même ligne droite. Mais pour tracer une ligne droite - un graphique d'une équation linéaire, nous n'avons besoin que de deux de ces solutions, car nous savons qu'une seule ligne droite peut être tracée passant par deux points. Il est d'usage de noter les solutions retenues sous forme de tableau : x x1 x2 y y1 y2 3. Dessinez les points (x1 ; y1) et (x2 ; y2) dans un système de coordonnées rectangulaires. Tracez une ligne droite passant par ces deux points - ce sera le graphique de l'équation ax + by + c = 0.

Exemple : construisons un graphique de l'équation linéaire 5 x – 2 y + 10 = 0 : 1. Définissons un système de coordonnées rectangulaires x. Оу : 2. Sélectionnons deux solutions pour notre équation et écrivons-les -4 -2 x dans le tableau : y -5 0 Pour l'équation 5 x – 2 y + 10 = 0, les solutions sont, par exemple, des paires de nombres : (-4; - 5) et (-2; 0) (voir diapositive 5). Écrivons-les dans un tableau. Remarque : une paire de nombres (2 ; 10) est également une solution à notre équation (voir diapositive 5), mais il n'est pas pratique de construire la coordonnée y = 10 dans notre système de coordonnées, puisque nous n'avons que 7 cellules le long du y- axez-vous vers le haut, et continuez l'axe il n'y a pas de place. Par conséquent : afin de construire un graphique d'une équation linéaire, à partir de l'ensemble infini de solutions, nous sélectionnons les paires de nombres (x ; y) qui sont plus pratiques à construire dans un système de coordonnées rectangulaires !

Exemple : construisons un graphique de l'équation linéaire 5 x – 2 y + 10 = 0 : x -4 -2 y -5 0 3. Construisons un graphique : Construisons un point (-4 ; -5) dans la coordonnée système : Nous traçons la coordonnée -4 le long de l'axe des x Le long de l'axe des y nous traçons la coordonnée -5 À l'intersection des coordonnées, nous obtenons le premier point. De même, nous construisons un point avec les coordonnées (-2 ; 0) : le long de l'axe des x, nous traçons la coordonnée -2. Le long de l'axe des y, nous traçons la coordonnée 0. À l'intersection des coordonnées, nous obtenons le deuxième point. -4 -2 0 -5 Tracez une ligne droite passant par deux points - graphique de l'équation linéaire 5 x – 2 y + 10 = 0

Fonction linéaire. Si nous exprimons la variable y à partir de l'équation linéaire ax + by + c = 0, c'est-à-dire réécrivons l'équation sous la forme où y est à gauche de l'équation et tout le reste est à droite : ax + by + c = 0 - déplacez ax et c vers la droite de = – ax – с – exprimons y y = (– ax – с) : b, où b ≠ 0 у = – a/b · х – с/b, dénotons – a/b = k et – с/b = m y = kx + m – nous avons obtenu une représentation plus simple d'une équation linéaire à deux variables. Ainsi, une équation linéaire à deux variables, écrite sous la forme : y = kx + m, où les variables k et m sont des coefficients, est appelée une fonction linéaire. xy – La variable x est appelée variable indépendante ou argument. La variable y est appelée variable dépendante ou valeur de la fonction.

Graphique d'une fonction linéaire. Puisqu'une fonction linéaire est une forme spéciale d'équation linéaire à deux variables et que le graphique d'une équation linéaire est une ligne droite, nous pouvons tirer la conclusion suivante : le graphique d'une fonction linéaire y = kx + m est une ligne droite . Comment représenter graphiquement une fonction linéaire ? Nous définissons un système de coordonnées rectangulaires. Nous trouvons des paires de nombres : (x1 ; y1) et (x2 ; y2), x x1 x2, qui sont des solutions pour la fonction linéaire yy1 y2 et les écrivons dans le tableau. Afin de trouver des solutions à une fonction linéaire, il n’est pas nécessaire de les sélectionner mentalement, comme nous l’avons fait pour une équation linéaire. Il faut donner à la variable x des valeurs spécifiques x1 et x2, et, en les substituant une à une dans la fonction, calculer les valeurs y1 = kx 1 + m et y2 = kx 2 + m. Remarque : la variable x peut recevoir absolument n'importe quelle valeur, mais il est conseillé de prendre des nombres qu'il nous conviendra de construire dans un système de coordonnées rectangulaires, par exemple les nombres 0, 1, -1. 3. Nous construisons les points (x1 ; y1) et (x2 ; y2) et traçons une ligne droite à travers eux - ce sera le graphique de la fonction linéaire.

Exemple 1 : construisons un graphique de la fonction linéaire y = 0,5 x + 4 : 1. Définissons un système de coordonnées rectangulaires. 2. Remplissez le tableau : x 0 -2 y 4 3 Donnons à la variable x des valeurs spécifiques x1 et x2 : il est plus pratique de prendre x1 = 0, puisqu'il est plus facile de compter avec zéro, on obtient : y1 = 0, 5 0 + 4 = 4 x2 peut être pris égal à 1, mais alors y2 sera un nombre fractionnaire : 0,5 1 + 4 = 4,5 - il n'est pas pratique de le construire sur le plan de coordonnées, il est plus pratique de le prendre ; x2 égal à 2 ou -2. Soit x2 = -2, on obtient : y2 = 0,5·(-2) + 4 = -1 + 4 = 3 4 3 -2 0 3. Construisons les points (0 ; 4) et (-2 ; 3) sur le plan de coordonnées ) tracez une ligne droite passant par ces points - nous obtenons un graphique de la fonction linéaire y = 0,5 x + 4

Exemple 2 : construisons un graphique de la fonction linéaire y = -2 x + 1 : 1. Définissons un système de coordonnées rectangulaires. 2. Remplissez le tableau : x 0 1 y 1 -1 Donnons à la variable x des valeurs spécifiques x1 et x2 : par exemple x1 = 0, on obtient : y1 = -2 0 + 1 = 1 1 1 -1 0 soit x2 = 1, nous obtenons : y2 = -2 1 + 1 = -2 + 1 = -1 3. Construisons les points (0 ; 1) et (1 ; -1) sur le plan de coordonnées et traçons une ligne droite passant par ces points - nous obtenons un graphique de la fonction linéaire y = -2 x + 1

Exemple 3 : représentez graphiquement la fonction linéaire y = -2 x + 1 et trouvez la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur le segment [-2 ; 3] 1. Construisons un graphique de la fonction (voir diapositive précédente). La valeur de la fonction est la valeur de la variable y. Ainsi, vous devez trouver y le plus grand et y le plus petit si la variable x le plus petit ne peut prendre que des valeurs de l'intervalle [-2 ; 3]. 2. Marquez le segment [-2; 3] 3. À travers les extrémités du segment, nous traçons des lignes droites parallèles à l'axe Oy, Oy et marquons les points d'intersection de ces lignes avec le graphique. Puisque selon la condition on nous donne un segment, on dessine des points ombrés ! 5 - le plus grand 1 1 -2 0 3 le plus petit - -5 4. Trouvez les ordonnées des points obtenus : y = 5 et y = -5. -5 Il est évident que la plus grande valeur de y provient de l'intervalle [-5; 5] est y = 5, et 5 est le plus petit - y = -5. -5

Option 3. Tâche n°1 : construire un graphique de la fonction linéaire y = 1/2 x – 2. 1. Définir un système de coordonnées rectangulaires. 2. Remplissez le tableau : x 0 2 y -2 -1 Donnons à la variable x les valeurs spécifiques x1 et x2 : par exemple x1 = 0, on obtient : y1 = 1/2 0 – 2 = -2 soit x2 = 2, nous obtenons : y2 = 1/2 · 2 – 2 = 1 – 2 = -1 0 2 -1 -2 3. Construisons les points (0 ; -2) et (2 ; -1) sur le plan de coordonnées et tracez une ligne droite passant par ces points - nous obtiendrons un graphique des fonctions linéaires y = 1/2 x – 2

Tâche n°1 : A l'aide d'un graphique, trouver : a) les valeurs les plus petites et les plus grandes de la fonction sur le segment [-2 ; 4] La valeur de la fonction est la valeur de la variable y. Ainsi, vous devez trouver y le plus grand et y le plus petit si la variable x le plus petit ne peut prendre que des valeurs de l'intervalle [-2 ; 4]. 1. Marquez le segment [-2; 4] 2. À travers les extrémités du segment jusqu'à son intersection avec le graphique, tracez des lignes droites parallèles à l'axe Oy. Оу Nous marquons les points d'intersection de ces lignes avec le graphique. Puisque selon la condition on nous donne un segment, on dessine des points ombrés ! le plus grand - 0 -2 -1 -2 2 4 -3 - le moins 3. Trouvez les ordonnées des points obtenus : y = 0 et y = -3. -3 Il est évident que la plus grande valeur de y provient de l'intervalle [-3; 0] est y = 0, et le plus petit est y = -3. -3

Tâche n°1 : A l'aide d'un graphique, trouver : a) les plus petites et les plus grandes valeurs de la fonction sur le segment [-2 ; 4] Remarque : à partir du graphique, il n'est pas toujours possible de déterminer avec précision les coordonnées d'un point particulier, cela est dû au fait que les tailles des cellules du cahier peuvent ne pas être parfaitement égales, ou que nous pouvons tracer une ligne droite par deux points un peu tordus. Et le résultat d'une telle erreur peut être que les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction ne soient pas trouvées correctement. Donc : si nous trouvons les coordonnées de certains points sur le graphique, assurez-vous de vérifier ensuite en substituant les coordonnées trouvées dans l'équation de la fonction ! Vérifiez : remplaçons les coordonnées du hnaim. = -2 et sans objectif. = -3 dans la fonction y = 1/2 x – 2 : -3 = 1/2 · (-2) – 2 -3 = -1 – 2 -3 = -3 – correct. Remplaçons les coordonnées de hnaib. = 4 et unaib. = 0 dans la fonction y = 1/2 x – 2 : 0 = 1/2 · 4 – 2 0=2– 2 0 = 0 – correct. Réponse : unaib = 0, unaim = -3

Tâche n°1 : A l'aide d'un graphique, trouver : b) les valeurs de la variable x pour lesquelles y ≤ 0. Sur le plan de coordonnées, toutes les valeurs de la variable y - inférieures à zéro - sont situées en dessous du Ox axe. Ox Ainsi, pour résoudre l'inégalité y ≤ 0, vous devez considérer la partie du graphique 2 située en dessous de l'axe Ox et, en utilisant l'écart 4 -∞ 0, noter quelles valeurs prend la variable -1 x . -2 1. Marquez la partie du graphique située en dessous de l'axe Ox 2. Marquez le point d'intersection du graphique avec l'axe Ox, Ox est le point de coordonnée x = 4. Puisque nous n'avons pas d'inégalité stricte « ≤ », le point devrait être ombré ! 3. Marquez la partie de l'axe Ox correspondant à la partie sélectionnée du graphique ; Ox sera la zone souhaitée. Nous écrivons la réponse : x appartient à l'intervalle (-∞; 4] – crochet, puisque dans la condition l'inégalité n'est pas stricte « ≤ » !

Tâche n°2 : Trouver les coordonnées du point d'intersection des droites y = 3 x et y = -2 x - 5 Cette tâche peut être résolue de deux manières. Méthode 1 - graphique : Construisons des graphiques de ces fonctions linéaires dans un plan de coordonnées : 1. Définissez un système de coordonnées rectangulaires. 2. Remplissez le tableau 0 x pour la fonction 0 y y = 3 x prenez x1 = 0, nous obtenons : y1 = 3 0 = 0 3 1 3 prenez x2 = 1, nous obtenons : y2 = 3 1 = 3 3. Construire sur le plan de coordonnées, les points (0 ; 0) et (1 ; 3) tracent un graphique – une ligne droite – passant par ces points. 0 1

Tâche n°2 : Trouver les coordonnées du point d'intersection des droites y = 3 x et y = -2 x - 5 4. Remplissez le tableau 0 -1 x pour la fonction -5 -3 y = -2 x - 5 y prenons x1 = 0, on obtient : y1 = -2 · 0 – 5 = -5 prenons x2 = -1, on obtient : y2 = -2 · (-1) – 5 = 2 – 5 = -3 5. Construction points (0; -5) sur le plan de coordonnées et (-1; -3) 3 -1 0 1 -3 tracer un graphique -5 6 passant par ces points. Trouvez l'abscisse et l'ordonnée du point d'intersection des graphiques résultants : x = -1 et y = -3. -3 Remarque : si on résout graphiquement, alors dès qu'on a trouvé l'abscisse et l'ordonnée du point d'intersection des graphiques, il faut vérifier en substituant les coordonnées trouvées dans les deux équations ! Vérifier : pour y = 3 x : -3 = 3 · (-1) pour y = -2 x – 5 : -3 = -2 · (-1) – 5 -3 = -3 - bonne réponse : (-1 ;-3)

Tâche n°2 : Trouver les coordonnées du point d'intersection des droites y = 3 x et y = -2 x - 5 Méthode 2 - analytique : Soit ces droites se coupent au point A(x; y), les coordonnées x et y dont nous devons trouver. Considérons les fonctions y = 3 x et y = -2 x – 5 comme des équations linéaires à deux variables. Puisque les deux droites passent par le point A, les coordonnées de ce point : une paire de nombres (x ; y) - est une solution pour les deux équations, c'est-à-dire que nous devons sélectionner une paire de nombres (x ; y) de sorte que lorsque en substituant à la fois la première et la deuxième équation, le résultat est une égalité correcte. Et nous trouverons cette paire de nombres comme suit : puisque les côtés gauches des équations sont égaux à y = y, alors, en conséquence, nous pouvons assimiler les côtés droits de ces équations : 3 x = -2 x – 5. Écrire 3 x = -2 x – 5 – Il s'agit d'une équation linéaire à une variable, résolvons-la et trouvons la variable x : Solution : 3 x = -2 x – 5 3 x + 2 x = -5 5 x = -5 : 5 x = -1 On obtient x = -1. Il ne reste plus qu'à substituer x = -1 dans l'une des équations et trouver la variable y. Il est plus pratique de substituer y = 3 x dans la première équation, nous obtenons : y = 3 · (-1) = -3 Nous obtenons le point A de coordonnées (-1 ; -3). Réponse : (-1 ; -3)

Tâche n°3 : a) Trouver les coordonnées des points d'intersection du graphique de l'équation linéaire 3 x + 5 y + 15 = 0 avec les axes de coordonnées Le graphique d'une équation linéaire, comme vous le savez déjà, est un. ligne droite, et elle peut couper les axes de coordonnées Ox et Oy en un point , si elle passe par l'origine, et ce point (0 ; 0) ; ou en deux points : 1. (x ; 0) – le point d'intersection du graphique avec l'axe Ox 2. (0 ; y) – le point d'intersection du graphique avec l'axe Oy. Trouvons ces points : 1. Remplaçons la valeur y = 0 dans l'équation, nous obtenons : 3 x + 5 0 + 15 = 0 - résolvez cette équation et trouvez x. 3 x + 15 = 0 3 x = -15 Nous avons obtenu un point de coordonnées : (-5 ; 0) - c'est le point d'intersection x = -15 : 3 graphiques avec l'axe Ox x = -5 2. Remplacez le valeur x = 0 dans l'équation, nous obtenons : 3·0 + 5 y + 15 = 0 – résolvez cette équation et trouvez y. 5 y + 15 = 0 5 y = -15 Nous avons reçu un point de coordonnées : (0 ; -3) - c'est le point d'intersection de y = -15 : 5 graphique avec l'axe Oy y = -3 Réponse : ( -5; 0) et ( 0; -3)

Tâche n°3 : b) Déterminer si le point C(1/3 ; -3, 2) appartient au graphique de l'équation 3 x + 5 y + 15 = 0. Si le point C(1/3 ; -3, 2 ) appartient au graphique de cette équation , alors c'est une solution pour cette équation, c'est-à-dire qu'en substituant les valeurs x = 1/3 et y = -3, 2 dans l'équation, l'égalité correcte doit être obtenue ! Sinon, si une vraie égalité n’est pas obtenue, ce point n’appartient pas au graphique de cette équation. Remplaçons x = 1/3 et y = -3, 2 dans l'équation et vérifions : 3 1/3 + 5 (-3, 2) + 15 = 0 1 – 16 + 15 = 0 – 15 + 15 = 0 0 = 0 – vraie égalité. Par conséquent, le point C appartient au graphique de l'équation 3 x + 5 y + 15 = 0 Réponse : le point C(1/3; -3, 2) appartient au graphique de l'équation 3 x + 5 y + 15 = 0

Tâche n°4 : a) Définissez la fonction linéaire y = kx par une formule si l'on sait que son graphique est parallèle à la droite 6 x - y - 5 = 0. b) Déterminez si la fonction linéaire que vous avez spécifiée augmente ou diminue. Théorème sur la position relative des graphiques de fonctions linéaires : Étant donné deux fonctions linéaires y = k 1 x + m 1 et y = k 2 x + m 2 : Si k 1 = k 2, tandis que m 1 ≠ m 2, alors les graphiques de ces fonctions sont parallèles. Si k 1 ≠ k 2 et m 1 ≠ m 2, alors les graphiques de ces fonctions se croisent. Si k 1 = k 2 , et m 1 = m 2 , alors les graphiques de ces fonctions coïncident. a) D'après le théorème sur la position relative des graphiques de fonctions linéaires : si les droites y = kx et 6 x – y – 5 = 0 sont parallèles, alors le coefficient k de la fonction y = kx, kx est égal à le coefficient k de la fonction 6 x – y – 5 = 0. 0 Réduisons l'équation 6 x – y – 5 = 0 à la forme d'une fonction linéaire et écrivons ses coefficients : 6 x – y – 5 = 0 – en déplaçant -y vers la droite, on obtient : 6 x – 5 = y ou y = 6 x – 5, k = 6, m = – 5. 6 5 Par conséquent, la fonction y = kx a la forme : y = 6 x . 6 x b) La fonction augmente si k > 0 et diminue si k 0 ! 0 Réponse : y = 6 x, la fonction est croissante. 6x

Tâche n°5 : A quelle valeur de p la solution de l'équation 2 px + 3 y + 5 p = 0 est-elle une paire de nombres (1, 5, -4) ? Puisque la paire de nombres (1, 5 ; -4) est une solution pour cette équation, on substitue les valeurs x = 1, 5 et y = -4 dans l'équation 2 px + 3 y + 5 p = 0, nous obtenons : 2 p 1 , 5 + 3 · (-4) + 5 p = 0 – effectuez la multiplication 3 p – 12 + 5 p = 0 – résolvez cette équation et trouvez p 3 p + 5 p = 12 8 p = 12 : 8 p = 1, 5 Par conséquent, pour p = 1,5, la solution de l'équation 2 px + 3 y + 5 p = 0 est une paire de nombres (1, 5 ; -4) Vérifiez : pour p = 1,5 nous obtenez l'équation : 2 1,5 x + 3 y + 5 1, 5 = 0 3 x + 3 y + 7, 5 = 0 – remplacez x = 1, 5 et y = -4 dans cette équation, nous obtenons : 3 1, 5 + 3 (-4 ) + 7, 5 = 0 4, 5 – 12 + 7, 5 = 0 0 = 0 – correct. Réponse : p = 1,5