Table de progression géométrique. Progressions arithmétiques et géométriques

Considérons maintenant la question de la sommation d'une progression géométrique infinie. Appelons la somme partielle d'une progression infinie donnée la somme de ses premiers termes. Dénotez la somme partielle par le symbole

Pour chaque progression infinie

on peut composer une suite (aussi infinie) de ses sommes partielles

Laisser une séquence avec augmentation illimitée avoir une limite

Dans ce cas, le nombre S, c'est-à-dire la limite des sommes partielles de la progression, est appelé la somme d'une progression infinie. Nous allons prouver qu'une progression géométrique infinie décroissante a toujours une somme, et dériver une formule pour cette somme (on peut aussi montrer que pour une progression infinie n'a pas de somme, n'existe pas).

Nous écrivons l'expression de la somme partielle comme la somme des membres de la progression selon la formule (91.1) et considérons la limite de la somme partielle à

D'après le théorème du point 89, on sait que pour une progression décroissante ; donc, en appliquant le théorème limite des différences, on trouve

(la règle est également utilisée ici : le facteur constant est retiré du signe de la limite). L'existence est prouvée, et en même temps la formule de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante est obtenue :

L'égalité (92.1) peut aussi s'écrire

Ici, il peut sembler paradoxal qu'une valeur finie bien définie soit attribuée à la somme d'un ensemble infini de termes.

Une illustration claire peut être donnée pour expliquer cette situation. Considérons un carré de côté égal à un (Fig. 72). Divisons ce carré par une ligne horizontale en deux parties égales et appliquons la partie supérieure à la partie inférieure de manière à former un rectangle de côtés 2 et . Après cela, nous divisons à nouveau la moitié droite de ce rectangle en deux par une ligne horizontale et attachons la partie supérieure à la partie inférieure (comme indiqué sur la Fig. 72). Poursuivant ce processus, nous transformons constamment le carré d'origine d'aire égale à 1 en figures de taille égale (prenant la forme d'un escalier à marches éclaircies).

Avec une continuation infinie de ce processus, toute l'aire du carré se décompose en un nombre infini de termes - les aires des rectangles avec des bases égales à 1 et des hauteurs.Les aires des rectangles forment juste une progression décroissante infinie, sa somme

c'est-à-dire, comme prévu, est égal à l'aire du carré.

Exemple. Trouvez les sommes des progressions infinies suivantes :

Solution, a) On note que cette progression Par conséquent, par la formule (92.2) on trouve

b) Ici, cela signifie que par la même formule (92.2) nous avons

c) Nous constatons que cette progression Par conséquent, cette progression n'a pas de somme.

Dans la section 5, l'application de la formule de la somme des termes d'une progression infiniment décroissante à la conversion d'une fraction décimale périodique en une fraction ordinaire a été montrée.

Des exercices

1. La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante est 3/5, et la somme de ses quatre premiers termes est 13/27. Trouvez le premier terme et le dénominateur de la progression.

2. Trouvez quatre nombres qui forment une progression géométrique alternée, dans laquelle le deuxième terme est inférieur au premier de 35 et le troisième est supérieur au quatrième de 560.

3. Montrer et si la séquence

forme une progression géométrique infiniment décroissante, alors la suite

pour toute forme une progression géométrique infiniment décroissante. Cette affirmation vaut-elle pour

Établir une formule pour le produit des termes d'une progression géométrique.

Les mathématiques c'est quoiles gens contrôlent la nature et eux-mêmes.

Mathématicien soviétique, académicien A.N. Kolmogorov

Progression géométrique.

En plus des tâches pour les progressions arithmétiques, les tâches liées au concept d'une progression géométrique sont également courantes dans les tests d'entrée en mathématiques. Pour résoudre avec succès de tels problèmes, vous devez connaître les propriétés d'une progression géométrique et avoir de bonnes compétences pour les utiliser.

Cet article est consacré à la présentation des principales propriétés d'une progression géométrique. Il fournit également des exemples de résolution de problèmes typiques, emprunté aux tâches des tests d'entrée en mathématiques.

Notons au préalable les principales propriétés d'une progression géométrique et rappelons les formules et énoncés les plus importants, associé à cette notion.

Définition. Une suite numérique est appelée progression géométrique si chacun de ses nombres, à partir du second, est égal au précédent multiplié par le même nombre. Le nombre est appelé le dénominateur d'une progression géométrique.

Pour une progression géométriqueles formules sont valables

, (1)

où . La formule (1) est appelée la formule du terme général d'une progression géométrique, et la formule (2) est la propriété principale d'une progression géométrique : chaque membre de la progression coïncide avec la moyenne géométrique de ses membres voisins et .

Note, que c'est précisément à cause de cette propriété que la progression en question est dite "géométrique".

Les formules (1) et (2) ci-dessus sont résumées comme suit :

, (3)

Pour calculer la somme première membres d'une progression géométriquela formule s'applique

Si nous désignons

où . Puisque , la formule (6) est une généralisation de la formule (5).

Dans le cas où et progression géométriqueest décroissante à l'infini. Pour calculer la sommede tous les membres d'une progression géométrique infiniment décroissante, la formule est utilisée

. (7)

Par example , en utilisant la formule (7), on peut montrer, Quel

où . Ces égalités sont obtenues à partir de la formule (7) à condition que , (la première égalité) et , (la deuxième égalité).

Théorème. Si donc

Preuve. Si donc ,

Le théorème a été démontré.

Passons à l'examen d'exemples de résolution de problèmes sur le thème "Progression géométrique".

Exemple 1 Soit : , et . Trouver .

Décision. Si la formule (5) est appliquée, alors

Réponse: .

Exemple 2 Soit et . Trouver .

Décision. Depuis et , on utilise les formules (5), (6) et on obtient le système d'équations

Si la deuxième équation du système (9) est divisée par la première, puis ou . De là il découle . Considérons deux cas.

1. Si , alors à partir de la première équation du système (9) on a.

2. Si , alors .

Exemple 3 Soit , et . Trouver .

Décision. Il résulte de la formule (2) que ou . Depuis , alors ou .

Par état. Toutefois donc . Parce que et , alors nous avons ici un système d'équations

Si la deuxième équation du système est divisée par la première, alors ou .

Puisque , l'équation a une seule racine convenable . Dans ce cas, la première équation du système implique .

En tenant compte de la formule (7), on obtient.

Réponse: .

Exemple 4 Donné : et . Trouver .

Décision. Depuis .

Parce que , alors ou

D'après la formule (2), on a . À cet égard, à partir de l'égalité (10), nous obtenons ou .

Cependant, par condition , donc .

Exemple 5 Il est connu que . Trouver .

Décision. D'après le théorème, on a deux égalités

Depuis , alors ou . Parce qu'alors .

Réponse: .

Exemple 6 Donné : et . Trouver .

Décision. En tenant compte de la formule (5), on obtient

Depuis . Depuis , et , puis .

Exemple 7 Soit et . Trouver .

Décision. D'après la formule (1), on peut écrire

Par conséquent, nous avons ou . On sait que et , donc et .

Réponse: .

Exemple 8 Trouver le dénominateur d'une progression géométrique décroissante infinie si

et .

Décision. De la formule (7) il résulte et . A partir de là et de la condition du problème, on obtient le système d'équations

Si la première équation du système est au carré, puis divisez l'équation résultante par la deuxième équation, alors on obtient

Ou alors .

Réponse: .

Exemple 9 Trouver toutes les valeurs pour lesquelles la suite , , est une progression géométrique.

Décision. Soit , et . D'après la formule (2), qui définit la propriété principale d'une progression géométrique, on peut écrire ou .

De là, nous obtenons l'équation quadratique, dont les racines sont et .

Vérifions : si, puis , et ; si , alors et .

Dans le premier cas nous avons et , et dans la seconde - et .

Réponse: , .

Exemple 10résous l'équation

, (11)

où et .

Décision. Le côté gauche de l'équation (11) est la somme d'une progression géométrique décroissante infinie, dans laquelle et , à condition que : et .

De la formule (7) il résulte, Quel . À cet égard, l'équation (11) prend la forme ou alors . racine appropriée l'équation quadratique est

Réponse: .

Exemple 11. P suite de nombres positifsforme une progression arithmétique, un - progression géométrique, qu'est-ce que cela a à voir avec. Trouver .

Décision. Comme séquence arithmétique, ensuite (propriété principale d'une progression arithmétique). Parce que le, puis ou . Cela implique , que la progression géométrique est. Selon la formule (2), alors on écrit que .

Depuis et , alors . Dans ce cas, l'expression prend la forme ou . Par condition, donc de l'équationon obtient l'unique solution du problème considéré, c'est à dire. .

Réponse: .

Exemple 12. Calculer la somme

. (12)

Décision. Multipliez les deux côtés de l'égalité (12) par 5 et obtenez

Si nous soustrayons (12) de l'expression résultante, ensuite

ou alors .

Pour calculer, nous substituons les valeurs dans la formule (7) et obtenons . Depuis .

Réponse: .

Les exemples de résolution de problèmes donnés ici seront utiles aux candidats pour se préparer aux examens d'entrée. Pour une étude plus approfondie des méthodes de résolution de problèmes, associé à une progression géométrique, vous pouvez utiliser les didacticiels de la liste de la littérature recommandée.

1. Collection de tâches en mathématiques pour les candidats aux universités techniques / Ed. MI. Scanavi. – M. : Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Mathématiques pour les lycéens : sections complémentaires du programme scolaire. – M. : Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Un cours complet de mathématiques élémentaires en tâches et exercices. Livre 2 : Séquences de nombres et progressions. – M. : Editus, 2015. - 208 p.

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Une progression géométrique est une suite numérique dont le premier terme est non nul et dont chaque terme suivant est égal au terme précédent multiplié par le même nombre non nul.

Le concept de progression géométrique

La progression géométrique est notée b1,b2,b3, …, bn, … .

Le rapport de tout terme de l'erreur géométrique à son terme précédent est égal au même nombre, c'est-à-dire que b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/milliard = …. Cela découle directement de la définition d'une progression arithmétique. Ce nombre est appelé le dénominateur d'une progression géométrique. Habituellement, le dénominateur d'une progression géométrique est désigné par la lettre q.

La somme d'une progression géométrique infinie pour |q|<1

Une façon de définir une progression géométrique consiste à définir son premier terme b1 et le dénominateur de l'erreur géométrique q. Par exemple, b1=4, q=-2. Ces deux conditions donnent une progression géométrique de 4, -8, 16, -32, … .

Si q>0 (q n'est pas égal à 1), alors la progression est une séquence monotone. Par exemple, la suite, 2, 4,8,16,32, ... est une suite monotone croissante (b1=2, q=2).

Si le dénominateur q=1 dans l'erreur géométrique, alors tous les membres de la progression géométrique seront égaux les uns aux autres. Dans de tels cas, on dit que la progression est une séquence constante.

Pour que la suite numérique (bn) soit une progression géométrique, il faut que chacun de ses membres, à partir du second, soit la moyenne géométrique des membres voisins. C'est-à-dire qu'il faut remplir l'équation suivante
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pour tout n>0, où n appartient à l'ensemble des nombres naturels N.

Posons maintenant (Xn) - une progression géométrique. Le dénominateur de la progression géométrique q, avec |q|∞).
Si nous désignons maintenant par S la somme d'une progression géométrique infinie, alors la formule suivante tiendra :
S=x1/(1-q).

Prenons un exemple simple :

Trouver la somme d'une progression géométrique infinie 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Pour trouver S, on utilise la formule de la somme d'une progression arithmétique infinie. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Si tout nombre naturel n correspondre à un nombre réel une , alors ils disent que étant donné séquence de nombres :

un 1 , un 2 , un 3 , . . . , une , . . . .

Ainsi, une suite numérique est fonction d'un argument naturel.

Nombre un 1 appelé le premier membre de la séquence , Numéro un 2 — le deuxième membre de la séquence , Numéro un 3 — troisième etc. Nombre une appelé nième membre de la séquence , et l'entier naturel n — son numéro .

De deux membres voisins une et une +1 séquences de membres une +1 appelé subséquent (vers une ), un une — précédent (vers une +1 ).

Pour spécifier une séquence, vous devez spécifier une méthode qui vous permet de trouver un membre de séquence avec n'importe quel nombre.

Souvent la séquence est donnée avec formules à nième terme , c'est-à-dire une formule qui vous permet de déterminer un membre de la séquence par son numéro.

Par example,

la suite de nombres impairs positifs peut être donnée par la formule

une= 2n- 1,

et la séquence d'alternance 1 et -1 - formule

b n = (-1)n +1 . ◄

La séquence peut être déterminée formule récurrente, c'est-à-dire une formule qui exprime n'importe quel membre de la séquence, en commençant par certains, jusqu'aux membres précédents (un ou plusieurs).

Par example,

si un 1 = 1 , un une +1 = une + 5

un 1 = 1,

un 2 = un 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

un 3 = un 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

un 4 = un 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

un 5 = un 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Si un 1= 1, un 2 = 1, une +2 = une + une +1 , puis les sept premiers membres de la séquence numérique sont définis comme suit :

un 1 = 1,

un 2 = 1,

un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,

un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,

un 6 = un 4 + un 5 = 3 + 5 = 8,

un 7 = un 5 + un 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Les séquences peuvent être final et sans fin .

La suite s'appelle ultime s'il a un nombre fini de membres. La suite s'appelle sans fin s'il a une infinité de membres.

Par example,

suite de nombres naturels à deux chiffres :

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Suite de nombres premiers :

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sans fin. ◄

La suite s'appelle en augmentant , si chacun de ses membres, à partir du second, est supérieur au précédent.

La suite s'appelle déclin , si chacun de ses membres, à partir du second, est inférieur au précédent.

Par example,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . est une suite ascendante ;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . est une suite descendante. ◄

Une suite dont les éléments ne diminuent pas avec le nombre croissant, ou, au contraire, ne croissent pas, est appelée séquence monotone .

Les séquences monotones, en particulier, sont des séquences croissantes et des séquences décroissantes.

Progression arithmétique

Progression arithmétique une séquence est appelée, dont chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, auquel s'ajoute le même nombre.

un 1 , un 2 , un 3 , . . . , une, . . .

est une progression arithmétique si pour tout nombre naturel n condition est remplie :

une +1 = une + ré,

où ré - un certain nombre.

Ainsi, la différence entre le membre suivant et le membre précédent d'une progression arithmétique donnée est toujours constante :

un 2 - un 1 = un 3 - un 2 = . . . = une +1 - une = ré.

Nombre ré appelé la différence d'une progression arithmétique.

Pour fixer une progression arithmétique, il suffit de préciser son premier terme et sa différence.

Par example,

si un 1 = 3, ré = 4 , alors les cinq premiers termes de la suite se trouvent comme suit :

un 1 =3,

un 2 = un 1 + ré = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + ré= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + ré= 11 + 4 = 15,

un 5 = un 4 + ré= 15 + 4 = 19. ◄

Pour une progression arithmétique avec le premier terme un 1 et différence ré sa n

une = un 1 + (n- 1)ré.

Par example,

trouver le trentième terme d'une suite arithmétique

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, ré = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)ré= 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (n- 2)ré,

une= un 1 + (n- 1)ré,

une +1 = un 1 + nd,

alors évidemment

chaque membre de la progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants.

les nombres a, b et c sont des membres consécutifs d'une progression arithmétique si et seulement si l'un d'eux est égal à la moyenne arithmétique des deux autres.

Par example,

une = 2n- 7 , est une progression arithmétique.

Utilisons la déclaration ci-dessus. Nous avons:

une = 2n- 7,

un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Par conséquent,

◄

Noter que n -ième membre d'une progression arithmétique peut être trouvé non seulement à travers un 1 , mais aussi tout précédent un k

une = un k + (n- k)ré.

Par example,

pour un 5 peut être écrit

un 5 = un 1 + 4ré,

un 5 = un 2 + 3ré,

un 5 = un 3 + 2ré,

un 5 = un 4 + ré. ◄

une = un n-k + kd,

une = un n+k - kd,

alors évidemment

tout membre d'une suite arithmétique, à partir du second, est égal à la moitié de la somme des membres de cette suite arithmétique également espacés de celle-ci.

De plus, pour toute progression arithmétique, l'égalité est vraie :

une m + une n = une k + une l,

m + n = k + l.

Par example,

en progression arithmétique

1) un 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (un 9 + un 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7ré= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) une 2 + une 12 = une 5 + une 9, comme

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ une,

première n membres d'une progression arithmétique est égal au produit de la moitié de la somme des termes extrêmes par le nombre de termes :

De là, en particulier, il résulte que s'il faut sommer les termes

un k, un k +1 , . . . , une,

alors la formule précédente conserve sa structure :

Par example,

en progression arithmétique 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Si une progression arithmétique est donnée, alors les quantités un 1 , une, ré, n etS n liés par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, alors les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules combinées dans un système de deux équations à deux inconnues.

Une progression arithmétique est une suite monotone. Où:

• si ré > 0 , alors il est croissant ;
• si ré < 0 , alors il est décroissant ;
• si ré = 0 , alors la suite sera stationnaire.

Progression géométrique

progression géométrique on appelle une suite dont chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

est une progression géométrique si pour tout entier naturel n condition est remplie :

b n +1 = b n · q,

où q ≠ 0 - un certain nombre.

Ainsi, le rapport du prochain terme de cette progression géométrique au précédent est un nombre constant :

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nombre q appelé dénominateur d'une progression géométrique.

Pour fixer une progression géométrique, il suffit de préciser son premier terme et son dénominateur.

Par example,

si b 1 = 1, q = -3 , alors les cinq premiers termes de la suite se trouvent comme suit :

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 et dénominateur q sa n -ème terme peut être trouvé par la formule :

b n = b 1 · q n -1 .

Par example,

trouver le septième terme d'une progression géométrique 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

alors évidemment

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

chaque membre de la progression géométrique, à partir du second, est égal à la moyenne géométrique (proportionnelle) des membres précédents et suivants.

Puisque la réciproque est également vraie, l'assertion suivante est vraie :

les nombres a, b et c sont des membres consécutifs d'une progression géométrique si et seulement si le carré de l'un d'eux est égal au produit des deux autres, c'est-à-dire que l'un des nombres est la moyenne géométrique des deux autres.

Par example,

montrons que la suite donnée par la formule b n= -3 2 n , est une progression géométrique. Utilisons la déclaration ci-dessus. Nous avons:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Par conséquent,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ce qui prouve l'assertion demandée. ◄

Noter que n ème terme d'une progression géométrique peut être trouvé non seulement par b 1 , mais aussi tout terme antérieur b k , pour laquelle il suffit d'utiliser la formule

b n = b k · q n - k.

Par example,

pour b 5 peut être écrit

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

alors évidemment

b n 2 = b n - k· b n + k

le carré de tout membre d'une suite géométrique, à partir du second, est égal au produit des membres de cette suite équidistants de celle-ci.

De plus, pour toute progression géométrique, l'égalité est vraie :

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ je.

Par example,

exponentiellement

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , comme

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

première n membres d'une progression géométrique avec un dénominateur q ≠ 0 calculé par la formule :

Et quand q = 1 - selon la formule

S n= n.b. 1

Notez que si nous devons additionner les termes

b k, b k +1 , . . . , b n,

alors la formule est utilisée:

Par example,

exponentiellement 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Si une progression géométrique est donnée, alors les quantités b 1 , b n, q, n et S n liés par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules combinées dans un système de deux équations à deux inconnues.

Pour une progression géométrique avec le premier terme b 1 et dénominateur q ce qui suit a lieu propriétés de monotonie :

• la progression est croissante si l'une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 et q> 1;

b 1 < 0 et 0 < q< 1;

• Une progression est décroissante si l'une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 et 0 < q< 1;

b 1 < 0 et q> 1.

Si q< 0 , alors la progression géométrique est à signes alternés : ses termes impairs sont de même signe que son premier terme, et les termes pairs sont de signe opposé. Il est clair qu'une progression géométrique alternée n'est pas monotone.

Produit du premier n les termes d'une progression géométrique peuvent être calculés par la formule :

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Par example,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progression géométrique décroissante à l'infini

Progression géométrique décroissante à l'infini est appelée une progression géométrique infinie dont le module dénominateur est inférieur à 1 , C'est

|q| < 1 .

Notez qu'une progression géométrique décroissante à l'infini peut ne pas être une séquence décroissante. Cela correspond au cas

1 < q< 0 .

Avec un tel dénominateur, la séquence est en alternance de signes. Par example,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante nommer le nombre auquel la somme des premiers n termes de la progression avec une augmentation illimitée du nombre n . Ce nombre est toujours fini et s'exprime par la formule

Par example,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relation entre les progressions arithmétiques et géométriques

Les progressions arithmétiques et géométriques sont étroitement liées. Considérons seulement deux exemples.

un 1 , un 2 , un 3 , . . . ré , ensuite

b un 1 , b un 2 , b un 3 , . . . b d .

Par example,

1, 3, 5, . . . — progression arithmétique avec différence 2 et

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . est une progression géométrique avec un dénominateur 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . est une progression géométrique avec un dénominateur q , ensuite

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — progression arithmétique avec différence enregistrer unq .

Par example,

2, 12, 72, . . . est une progression géométrique avec un dénominateur 6 et

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — progression arithmétique avec différence lg 6 . ◄

SÉQUENCES NUMÉRIQUES VI

§ l48. La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante

Jusqu'à présent, en parlant de sommes, nous avons toujours supposé que le nombre de termes dans ces sommes est fini (par exemple, 2, 15, 1000, etc.). Mais lors de la résolution de certains problèmes (en particulier de mathématiques supérieures), il faut traiter les sommes d'un nombre infini de termes

S= un 1 + un 2 + ... + un n + ... . (1)

Quels sont ces montants ? A-prieuré la somme d'un nombre infini de termes un 1 , un 2 , ..., un n , ... est appelée la limite de la somme S n première P des chiffres quand P -> ∞ :

S=S n = (un 1 + un 2 + ... + un n ). (2)

La limite (2), bien sûr, peut exister ou non. En conséquence, la somme (1) est dite exister ou ne pas exister.

Comment savoir si la somme (1) existe dans chaque cas particulier ? Une solution générale à cette question va bien au-delà de la portée de notre programme. Cependant, il y a un cas particulier important que nous devons considérer maintenant. Nous parlerons de la sommation des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante.

Laisser un 1 , un 1 q , un 1 q 2 , ... est une progression géométrique infiniment décroissante. Cela signifie que | q |< 1. Сумма первых P membres de cette progression est égal à

A partir des théorèmes de base sur les limites des variables (voir § 136) on obtient :

Mais 1 = 1, un q n = 0. Par conséquent

Ainsi, la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante est égale au premier terme de cette progression divisé par un moins le dénominateur de cette progression.

1) La somme de la progression géométrique 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... est

et la somme d'une progression géométrique est 12 ; -6 ; 3 ; - 3 / 2 , ... égale

2) Une fraction périodique simple 0,454545 ... se transforme en fraction ordinaire.

Pour résoudre ce problème, nous représentons cette fraction comme une somme infinie :

Le côté droit de cette égalité est la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante, dont le premier terme est 45/100, et le dénominateur est 1/100. ainsi

De la manière décrite, la règle générale de conversion des fractions périodiques simples en fractions ordinaires peut également être obtenue (voir Chapitre II, § 38) :

Pour convertir une fraction périodique simple en une fraction ordinaire, vous devez procéder comme suit: mettez la période de la fraction décimale au numérateur et au dénominateur - un nombre composé de neuf pris autant de fois qu'il y a de chiffres dans la période de la fraction décimale.

3) Fraction périodique mixte 0,58333 .... se transformer en une fraction ordinaire.

Représentons cette fraction comme une somme infinie :

A droite de cette égalité, tous les termes, à partir de 3/1000, forment une progression géométrique infiniment décroissante dont le premier terme est 3/1000, et le dénominateur est 1/10. ainsi

De la manière décrite, la règle générale de conversion des fractions périodiques mixtes en fractions ordinaires peut également être obtenue (voir Chapitre II, § 38). Nous ne l'incluons volontairement pas ici. Il n'est pas nécessaire de mémoriser cette règle fastidieuse. Il est beaucoup plus utile de savoir que toute fraction périodique mixte peut être représentée comme la somme d'une progression géométrique décroissante à l'infini et d'un certain nombre. Et la formule

pour la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante, il faut bien sûr s'en souvenir.

A titre d'exercice, nous vous invitons, en plus des problèmes n° 995-1000 ci-dessous, à vous tourner à nouveau vers le problème n° 301 § 38.

Des exercices

995. Qu'appelle-t-on la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante ?

996. Trouver des sommes de progressions géométriques infiniment décroissantes :

997. Pour quelles valeurs X progression

diminue à l'infini ? Trouver la somme d'une telle progression.

998. Dans un triangle équilatéral de côté un un nouveau triangle s'inscrit en reliant les milieux de ses côtés ; un nouveau triangle s'inscrit dans ce triangle de la même manière, et ainsi de suite à l'infini.

a) la somme des périmètres de tous ces triangles ;

b) la somme de leurs aires.

999. Dans un carré avec un côté un un nouveau carré est inscrit en reliant les milieux de ses côtés ; un carré s'inscrit dans ce carré de la même manière, et ainsi de suite à l'infini. Trouver la somme des périmètres de tous ces carrés et la somme de leurs aires.

1000. Faire une progression géométrique infiniment décroissante, telle que sa somme soit égale à 25/4, et la somme des carrés de ses termes soit égale à 625/24.