Formule pour calculer la distance entre deux points. Comment calculer la distance entre les coordonnées GPS

QUESTIONS THÉORIQUES

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE SUR LE PLAN

1. Méthode de coordonnées : droite numérique, coordonnées sur une ligne ; système de coordonnées rectangulaires (cartésiennes) sur un plan ; coordonnées polaires.

Considérons une ligne droite. Choisissons une direction dessus (il deviendra alors un axe) et un point 0 (l'origine des coordonnées). Une ligne droite avec une direction et une origine choisies s'appelle ligne de coordonnées(nous supposons que l'unité d'échelle est sélectionnée).

Laisser M– un point arbitraire sur la ligne de coordonnées. Disons-le conformément au point M nombre réel X, égal à la valeur OM segment: x=OM. Nombre X appelé la coordonnée du point M.

Ainsi, chaque point sur la ligne de coordonnées correspond à un certain nombre réel - sa coordonnée. L'inverse est également vrai : chaque nombre réel x correspond à un certain point sur la ligne de coordonnées, à savoir un tel point M, dont la coordonnée est x. Cette correspondance s'appelle Un par un.

Ainsi, les nombres réels peuvent être représentés par les points d'une ligne de coordonnées, c'est-à-dire La ligne de coordonnées sert d'image de l'ensemble de tous les nombres réels. Par conséquent, l’ensemble de tous les nombres réels est appelé droite numérique, et n'importe quel nombre est un point sur cette ligne. Près d'un point sur une droite numérique, un nombre est souvent indiqué - sa coordonnée.

Système de coordonnées rectangulaires (ou cartésiennes) sur un plan.

Deux axes perpendiculaires entre eux À propos de x Et À propos de vous ayant une origine commune À PROPOS et la même unité d'échelle, forme système de coordonnées rectangulaires (ou cartésiennes) sur un plan.

Axe OH appelé axe des abscisses, l'axe OY– axe des ordonnées. Point À PROPOS l'intersection des axes s'appelle l'origine. Le plan dans lequel se trouvent les axes OH Et OY, est appelé plan de coordonnées et est noté À propos de xy.

Ainsi, un système de coordonnées rectangulaires sur un plan établit une correspondance biunivoque entre l'ensemble de tous les points du plan et l'ensemble des paires de nombres, ce qui permet d'appliquer méthodes algébriques. Les axes de coordonnées divisent le plan en 4 parties, elles sont appelées en quarts, carré ou angles de coordonnées.

Coordonnées polaires.

Le système de coordonnées polaires se compose d'un certain point À PROPOS, appelé pôle, et le rayon qui en émane OE, appelé axe polaire. De plus, une unité d'échelle est définie pour mesurer les longueurs des segments. Soit un système de coordonnées polaires et soit M– point arbitraire du plan. Notons par R.– distance des points M du point À PROPOS, et à travers φ – l'angle de rotation du faisceau dans le sens inverse des aiguilles d'une montre pour aligner l'axe polaire avec le faisceau OM.

Coordonnées polaires points M numéros d'appel R. Et φ . Nombre R. considéré la première coordonnée et appelé rayon polaire, nombre φ – la deuxième coordonnée est appelée angle polaire.

Point M avec coordonnées polaires R. Et φ sont désignés comme suit : M( ;φ).Établissons une connexion entre les coordonnées polaires d'un point et ses coordonnées rectangulaires.
Dans ce cas, nous supposerons que l'origine du système de coordonnées rectangulaires est au pôle et que le demi-axe positif de l'abscisse coïncide avec l'axe polaire.

Soit le point M ayant des coordonnées rectangulaires X Et Oui et coordonnées polaires R. Et φ .

(1)

Preuve.

Passer des points M1 Et M2 perpendiculaires M1V Et M1A,. parce que (x 2 ; y 2). Par théorème, si M1 (x1) Et M2 (x2) sont deux points quelconques et α est la distance qui les sépare, alors α = ‌‌‌‍‌‌|x 2 - x 1 | .

La résolution de problèmes en mathématiques s’accompagne souvent de nombreuses difficultés pour les élèves. Aidez l'étudiant à faire face à ces difficultés et apprenez-lui à appliquer ses connaissances théoriques existantes lors de la résolution tâches spécifiques dans toutes les sections du cours de la matière « Mathématiques » - l'objectif principal de notre site.

Lorsqu'ils commencent à résoudre des problèmes sur le sujet, les élèves doivent être capables de construire un point sur un plan en utilisant ses coordonnées, ainsi que de trouver les coordonnées d'un point donné.

Le calcul de la distance entre deux points A(x A; y A) et B(x B; y B) pris sur un plan s'effectue à l'aide de la formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), où d est la longueur du segment qui relie ces points sur le plan.

Si l'une des extrémités du segment coïncide avec l'origine des coordonnées et que l'autre a des coordonnées M(x M; y M), alors la formule de calcul de d prendra la forme OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Calcul de la distance entre deux points en fonction des coordonnées données de ces points

Exemple 1.

Trouvez la longueur du segment qui relie les points A(2; -5) et B(-4; 3) sur le plan de coordonnées (Fig. 1).

Solution.

L'énoncé du problème indique : x A = 2 ; xB = -4 ; y A = -5 et y B = 3. Trouvez d.

En appliquant la formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), on obtient :

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Calcul des coordonnées d'un point équidistant de trois points donnés

Exemple 2.

Trouvez les coordonnées du point O 1, qui est à égale distance de trois points A(7; -1) et B(-2; 2) et C(-1; -5).

Solution.

De la formulation des conditions du problème, il s'ensuit que O 1 A = O 1 B = O 1 C. Soit le point souhaité O 1 avoir des coordonnées (a; b). En utilisant la formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), nous trouvons :

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Créons un système de deux équations :

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Après avoir mis au carré les côtés gauche et droit des équations, on écrit :

((une – 7) 2 + (b + 1) 2 = (une + 2) 2 + (b – 2) 2,
((une – 7) 2 + (b + 1) 2 = (une + 1) 2 + (b + 5) 2.

En simplifiant, écrivons

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Après avoir résolu le système, on obtient : a = 2 ; b = -1.

Le point O 1 (2; -1) est à égale distance des trois points spécifiés dans la condition qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Ce point est le centre d'un cercle passant par trois points donnés (Fig.2).

3. Calcul de l'abscisse (ordonnée) d'un point qui se trouve sur l'axe des abscisses (ordonnée) et se trouve à une distance donnée d'un point donné

Exemple 3.

La distance du point B(-5; 6) au point A situé sur l'axe Ox est de 10. Trouvez le point A.

Solution.

De la formulation des conditions du problème, il résulte que l'ordonnée du point A est égale à zéro et AB = 10.

En désignant l'abscisse du point A par a, on écrit A(a; 0).

AB = √((une + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((une + 5) 2 + 36).

On obtient l’équation √((a + 5) 2 + 36) = 10. En simplifiant, on a

une 2 + 10une – 39 = 0.

Les racines de cette équation sont a 1 = -13 ; et 2 = 3.

On obtient deux points A 1 (-13 ; 0) et A 2 (3 ; 0).

Examen:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Les deux points obtenus conviennent selon les conditions du problème (Fig. 3).

4. Calcul de l'abscisse (ordonnée) d'un point situé sur l'axe des abscisses (ordonnée) et situé à la même distance de deux points donnés

Exemple 4.

Trouvez un point sur l'axe Oy qui est à la même distance des points A (6, 12) et B (-8, 10).

Solution.

Soit O 1 (0; b) les coordonnées du point requis par les conditions du problème, situé sur l'axe Oy, (au point situé sur l'axe Oy, l'abscisse est nulle). Il découle de la condition que O 1 A = O 1 B.

En utilisant la formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), nous trouvons :

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2) ;

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Nous avons l'équation √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) ou 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Après simplification on obtient : b – 4 = 0, b = 4.

Point O 1 (0 ; 4) requis par les conditions du problème (Fig. 4).

5. Calcul des coordonnées d'un point situé à la même distance des axes de coordonnées et d'un point donné

Exemple 5.

Trouvez le point M situé sur le plan de coordonnées à la même distance des axes de coordonnées et du point A(-2 ; 1).

Solution.

Le point M recherché, comme le point A(-2; 1), est situé dans le deuxième angle de coordonnées, puisqu'il est à égale distance des points A, P 1 et P 2 (Fig.5). Les distances du point M aux axes de coordonnées sont les mêmes, donc ses coordonnées seront (-a; a), où a > 0.

Des conditions du problème, il s'ensuit que MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a ; MP2 = |-a|,

ceux. |-une| = une.

En utilisant la formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), nous trouvons :

MA = √((-une + 2) 2 + (une – 1) 2).

Faisons une équation :

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Après quadrature et simplification nous avons : a 2 – 6a + 5 = 0. Résolvez l'équation, trouvez a 1 = 1 ; et 2 = 5.

On obtient deux points M 1 (-1 ; 1) et M 2 (-5 ; 5) qui satisfont aux conditions du problème.

6. Calcul des coordonnées d'un point situé à la même distance spécifiée de l'axe des abscisses (ordonnées) et du point donné

Exemple 6.

Trouver un point M tel que sa distance à l'axe des ordonnées et au point A(8; 6) soit égale à 5.

Solution.

Des conditions du problème il résulte que MA = 5 et l'abscisse du point M est égale à 5. Soit l'ordonnée du point M égale à b, alors M(5; b) (Fig.6).

D’après la formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) nous avons :

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Faisons une équation :

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. En simplifiant, nous obtenons : b 2 – 12b + 20 = 0. Les racines de cette équation sont b 1 = 2 ; b 2 = 10. Par conséquent, il y a deux points qui satisfont aux conditions du problème : M 1 (5 ; 2) et M 2 (5 ; 10).

On sait que de nombreux étudiants décision indépendante les problèmes nécessitent une consultation constante sur les techniques et les méthodes permettant de les résoudre. Souvent, un élève ne parvient pas à trouver une solution à un problème sans l’aide d’un enseignant. L'étudiant peut recevoir les conseils nécessaires pour résoudre les problèmes sur notre site Internet.

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À l'aide de coordonnées, déterminez l'emplacement d'un objet sur globe. Les coordonnées sont indiquées par la latitude et la longitude. Les latitudes sont mesurées à partir de la ligne de l'équateur des deux côtés. Dans l’hémisphère nord, les latitudes sont positives, dans l’hémisphère sud, elles sont négatives. La longitude est mesurée à partir du méridien principal, respectivement à l'est ou à l'ouest, la longitude est ou ouest étant obtenue.

Selon la position généralement acceptée, le premier méridien est celui qui traverse l'ancien observatoire de Greenwich à Greenwich. Les coordonnées géographiques de l'emplacement peuvent être obtenues à l'aide d'un navigateur GPS. Cet appareil reçoit des signaux système satellitaire positionnement dans le système de coordonnées WGS-84, uniforme pour le monde entier.

Les modèles de navigateur diffèrent par leur fabricant, leurs fonctionnalités et leur interface. Actuellement, des navigateurs GPS intégrés sont également disponibles sur certains modèles téléphones portables. Mais n’importe quel modèle peut enregistrer et sauvegarder les coordonnées d’un point.

Distance entre les coordonnées GPS

Pour résoudre des problèmes pratiques et théoriques dans certaines industries, il est nécessaire de pouvoir déterminer les distances entre points par leurs coordonnées. Il existe plusieurs façons de procéder. Forme canonique représentation des coordonnées géographiques : degrés, minutes, secondes.

Par exemple, vous pouvez déterminer la distance entre les coordonnées suivantes : point n°1 - latitude 55°45′07″ N, longitude 37°36′56″ E ; point n°2 - latitude 58°00′02″ N, longitude 102°39′42″ E.

Le moyen le plus simple consiste à utiliser une calculatrice pour calculer la longueur entre deux points. Dans le moteur de recherche du navigateur, vous devez définir les paramètres de recherche suivants : en ligne - pour calculer la distance entre deux coordonnées. Dans le calculateur en ligne, les valeurs de latitude et de longitude sont saisies dans les champs de requête pour les première et deuxième coordonnées. Lors du calcul, le calculateur en ligne a donné le résultat - 3 800 619 m.

La méthode suivante est plus laborieuse, mais aussi plus visuelle. Vous devez utiliser n’importe quel programme de cartographie ou de navigation disponible. Les programmes dans lesquels vous pouvez créer des points à l'aide de coordonnées et mesurer les distances entre eux incluent les applications suivantes : BaseCamp (un analogue moderne du programme MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Tous les programmes ci-dessus sont disponibles pour tout utilisateur du réseau. Par exemple, pour calculer la distance entre deux coordonnées dans Google Earth, vous devez créer deux étiquettes indiquant les coordonnées du premier point et du deuxième point. Ensuite, à l'aide de l'outil « Règle », vous devez relier les première et deuxième marques par une ligne, le programme affichera automatiquement le résultat de la mesure et montrera le chemin sur l'image satellite de la Terre.

Dans le cas de l'exemple donné ci-dessus, le programme Google Earth a renvoyé le résultat : la longueur de la distance entre le point n° 1 et le point n° 2 est de 3 817 353 m.

Pourquoi il y a une erreur lors de la détermination de la distance

Tous les calculs de l'étendue entre les coordonnées sont basés sur le calcul de la longueur de l'arc. Le rayon de la Terre intervient dans le calcul de la longueur de l'arc. Mais comme la forme de la Terre est proche d’un ellipsoïde aplati, le rayon de la Terre diffère en certains points. Pour calculer la distance entre les coordonnées, la valeur moyenne du rayon terrestre est prise, ce qui donne une erreur de mesure. Plus la distance mesurée est grande, plus l'erreur est grande.

Calculer les distances entre points à partir de leurs coordonnées sur un plan est élémentaire ; à la surface de la Terre c'est un peu plus compliqué : on envisagera de mesurer la distance et l'azimut initial entre points sans transformations de projection. Tout d’abord, comprenons la terminologie.

Introduction

Longueur de l'arc du grand cercle– la distance la plus courte entre deux points quelconques situés sur la surface d'une sphère, mesurée le long de la ligne reliant ces deux points (une telle ligne est appelée orthodromie) et passant le long de la surface de la sphère ou d'une autre surface de rotation. La géométrie sphérique est différente de la géométrie euclidienne normale et les équations de distance prennent également une forme différente. En géométrie euclidienne, la distance la plus courte entre deux points est une ligne droite. Sur une sphère, il n’y a pas de lignes droites. Ces lignes sur la sphère font partie des grands cercles, des cercles dont les centres coïncident avec le centre de la sphère. Azimut initial- l'azimut, en prenant lequel, lorsqu'on commence à se déplacer du point A, en suivant le grand cercle sur la distance la plus courte jusqu'au point B, le point final sera le point B. Lors du déplacement du point A au point B le long de la ligne du grand cercle, l'azimut de situation actuelle au point final B est en constante évolution. L'azimut initial est différent d'un azimut constant, à la suite de quoi l'azimut du point actuel au point final ne change pas, mais l'itinéraire suivi n'est pas la distance la plus courte entre deux points.

À travers deux points quelconques de la surface d’une sphère, s’ils ne sont pas directement opposés l’un à l’autre (c’est-à-dire qu’ils ne sont pas des antipodes), un grand cercle unique peut être tracé. Deux points divisent un grand cercle en deux arcs. La longueur d'un arc court est la distance la plus courte entre deux points. Un nombre infini de grands cercles peuvent être tracés entre deux points antipodaux, mais la distance entre eux sera la même sur n'importe quel cercle et égale à la moitié de la circonférence du cercle, ou π*R, où R est le rayon de la sphère.

Sur un plan (dans un système de coordonnées rectangulaires), les grands cercles et leurs fragments, comme mentionné ci-dessus, représentent des arcs dans toutes les projections sauf la projection gnomonique, où les grands cercles sont des lignes droites. En pratique, cela signifie que les avions et autres transports aériens empruntent toujours la route distance minimale entre les points pour économiser du carburant, c'est-à-dire que le vol s'effectue sur la distance d'un grand cercle dans l'avion, cela ressemble à un arc.

La forme de la Terre peut être décrite comme une sphère, c'est pourquoi les équations de distance orthodromique sont importantes pour calculer la distance la plus courte entre les points de la surface de la Terre et sont souvent utilisées en navigation. Le calcul de la distance par cette méthode est plus efficace et dans de nombreux cas plus précis que son calcul pour des coordonnées projetées (dans des systèmes de coordonnées rectangulaires), car, premièrement, il ne nécessite pas de traduction. coordonnées géographiques dans un système de coordonnées rectangulaires (effectuer des transformations de projection) et, d'autre part, de nombreuses projections, si elles sont mal sélectionnées, peuvent conduire à des distorsions de longueur importantes en raison des caractéristiques des distorsions de projection. On sait que ce n'est pas une sphère, mais un ellipsoïde qui décrit plus précisément la forme de la Terre, cependant, cet article traite du calcul des distances sur une sphère pour les calculs, une sphère d'un rayon de 6 372 795 mètres est utilisée, ce qui peut conduire à une erreur de calcul des distances de l'ordre de 0,5%.

Formules

Il existe trois façons de calculer la distance sphérique du grand cercle. 1. Théorème du cosinus sphérique Dans le cas de faibles distances et d'une faible profondeur de calcul (nombre de décimales), l'utilisation de la formule peut conduire à des erreurs d'arrondi importantes. φ1, λ1 ; φ2, λ2 - latitude et longitude de deux points en radians Δλ - différence de coordonnées en longitude Δδ - différence angulaire Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Pour convertir la distance angulaire en métrique, vous devez multipliez la différence angulaire par le rayon Terre (6372795 mètres), les unités de la distance finale seront égales aux unités dans lesquelles le rayon est exprimé (en dans ce cas- mètres). 2. Formule Havesine Utilisé pour éviter les problèmes sur de courtes distances. 3. Modification pour les antipodes La formule précédente est également soumise au problème des points antipodaux ; pour le résoudre, la modification suivante est utilisée.

Mon implémentation sur PHP

// Définition du rayon terrestre("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Distance entre deux points * $φA, $λA - latitude, longitude du 1er point, * $φB, $λB - latitude, longitude du 2ème point * Écrit basé sur http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Mikhail Kobzarev * */ fonction calculerTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // convertir les coordonnées en radians $lat1 = $φA * M_PI / 180 ; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // cosinus et sinus des latitudes et longitudes $cl1 = cos($lat1); $lat1); $sl2 = sin($lat2); // calculs de la longueur du grand cercle $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $ cdelta, 2)); cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; 77,1539 ; $long1 = -139,398 ; $lat2 = -77,1804 ; $long2 = -139,55 ; echo calculateTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . « mètres » ; // Retourne "17166029 mètres"

Chaque point A du plan est caractérisé par ses coordonnées (x, y). Ils coïncident avec les coordonnées du vecteur 0A sortant du point 0 - l'origine des coordonnées.

Soient A et B des points arbitraires du plan de coordonnées (x 1 y 1) et (x 2, y 2), respectivement.

Alors le vecteur AB a évidemment des coordonnées (x 2 - x 1, y 2 - y 1). On sait que le carré de la longueur d'un vecteur est égal à la somme des carrés de ses coordonnées. Par conséquent, la distance d entre les points A et B, ou, ce qui est la même chose, la longueur du vecteur AB, est déterminée à partir de la condition

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

La formule résultante vous permet de trouver la distance entre deux points quelconques du plan, si seules les coordonnées de ces points sont connues

Chaque fois que nous parlons des coordonnées d'un point particulier du plan, nous entendons un système de coordonnées x0y bien défini. En général, le système de coordonnées sur un plan peut être choisi de différentes manières. Ainsi, au lieu du système de coordonnées x0y, nous pouvons considérer le système de coordonnées xִy, qui est obtenu en faisant tourner les anciens axes de coordonnées autour du point de départ 0 dans le sens inverse des aiguilles d'une montre flèches dans le coin α .

Si un point du plan dans le système de coordonnées x0y avait les coordonnées (x, y), alors dans nouveau système coordonnées xִy, il aura des coordonnées différentes (x, y).

A titre d'exemple, considérons le point M, situé sur l'axe 0x et séparé du point 0 à une distance de 1.

Évidemment, dans le système de coordonnées x0y, ce point a des coordonnées (cos α ,péché α ), et dans le système de coordonnées xִy, les coordonnées sont (1,0).

Les coordonnées de deux points quelconques sur les plans A et B dépendent de la façon dont le système de coordonnées est spécifié dans ce plan. Et ici la distance entre ces points ne dépend pas de la méthode de spécification du système de coordonnées .

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