Le triangle est une figure familière à tous. Et ce malgré la riche variété de ses formes. Rectangulaire, équilatéral, aigu, isocèle, obtus. Chacun d’eux est différent d’une certaine manière. Mais pour tout le monde, vous devez connaître l'aire d'un triangle.

Formules communes à tous les triangles qui utilisent les longueurs de côtés ou les hauteurs

Les désignations qui y sont adoptées : côtés - a, b, c ; hauteurs sur les côtés correspondants sur a, n in, n with.

1. L'aire d'un triangle est calculée comme le produit de ½, d'un côté et de la hauteur qui lui est soustraite. S = ½ * une * n une. Les formules des deux autres côtés doivent être écrites de la même manière.

2. La formule de Héron, dans laquelle apparaît le demi-périmètre (il est généralement désigné par la petite lettre p, contrairement au périmètre complet). Le demi-périmètre doit être calculé comme suit : additionnez tous les côtés et divisez-les par 2. La formule du demi-périmètre est : p = (a+b+c) / 2. Ensuite l'égalité pour l'aire de ​​le chiffre ressemble à ceci : S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Si vous ne souhaitez pas utiliser de demi-périmètre, alors une formule qui contient uniquement les longueurs des côtés sera utile : S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Il est légèrement plus long que le précédent, mais cela vous aidera si vous avez oublié comment trouver le demi-périmètre.

Formules générales impliquant les angles d'un triangle

Notations nécessaires pour lire les formules : α, β, γ - angles. Ils se trouvent respectivement sur les côtés opposés a, b et c.

1. Selon lui, la moitié du produit de deux côtés et le sinus de l'angle qui les sépare est égal à l'aire du triangle. Soit : S = ½ a * b * sin γ. Les formules pour les deux autres cas doivent être écrites de la même manière.

2. L'aire d'un triangle peut être calculée à partir d'un côté et de trois angles connus. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Il existe aussi une formule avec un fête connue et deux angles adjacents. Cela ressemble à ceci : S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Les deux dernières formules ne sont pas les plus simples. Il est assez difficile de s'en souvenir.

Formules générales pour les situations où les rayons des cercles inscrits ou circonscrits sont connus

Désignations supplémentaires : r, R - rayons. Le premier est utilisé pour le rayon du cercle inscrit. Le second est pour celui décrit.

1. La première formule par laquelle l'aire d'un triangle est calculée est liée au demi-périmètre. S = r * r. Une autre façon de l'écrire est : S = ½ r * (a + b + c).

2. Dans le second cas, il faudra multiplier tous les côtés du triangle et les diviser par quatre fois le rayon du cercle circonscrit. En expression littérale, cela ressemble à ceci : S = (a * b * c) / (4R).

3. La troisième situation permet de se passer de connaître les côtés, mais vous aurez besoin des valeurs des trois angles. S = 2 R 2 * péché α * péché β * péché γ.

Cas particulier : triangle rectangle

C'est le plus situation simple, puisque seule la longueur des deux jambes est requise. Ils sont désignés par les lettres latines a et b. Carré triangle rectangleégal à la moitié de l'aire du rectangle qui lui est ajouté.

Mathématiquement, cela ressemble à ceci : S = ½ a * b. C'est le plus simple à retenir. Parce que cela ressemble à la formule de l'aire d'un rectangle, seule une fraction apparaît, indiquant la moitié.

Cas particulier : triangle isocèle

Comme il a deux côtés égaux, certaines formules pour son aire semblent quelque peu simplifiées. Par exemple, la formule de Heron, qui calcule l'aire triangle isocèle, prend la forme suivante :

S = ½ po √((a + ½ po)*(a - ½ po)).

Si vous le transformez, il deviendra plus court. Dans ce cas, la formule de Heron pour un triangle isocèle s’écrit comme suit :

S = ¼ po √(4 * a 2 - b 2).

La formule de l'aire semble un peu plus simple que pour un triangle arbitraire si les côtés et l'angle qui les sépare sont connus. S = ½ a 2 * sin β.

Cas particulier : triangle équilatéral

Habituellement, dans les problèmes, l'aspect est connu ou peut être découvert d'une manière ou d'une autre. Ensuite, la formule pour trouver l'aire d'un tel triangle est la suivante :

S = (une 2 √3) / 4.

Problèmes pour trouver la zone si le triangle est représenté sur du papier à carreaux

La situation la plus simple est lorsqu'un triangle rectangle est dessiné de manière à ce que ses jambes coïncident avec les lignes du papier. Ensuite, il vous suffit de compter le nombre de cellules qui rentrent dans les jambes. Multipliez-les ensuite et divisez par deux.

Lorsque le triangle est aigu ou obtus, il doit être dessiné en rectangle. Ensuite, la figure résultante aura 3 triangles. L’un est celui donné dans le problème. Et les deux autres sont auxiliaires et rectangulaires. Les superficies des deux derniers doivent être déterminées à l’aide de la méthode décrite ci-dessus. Calculez ensuite l'aire du rectangle et soustrayez-en celles calculées pour les auxiliaires. L'aire du triangle est déterminée.

La situation dans laquelle aucun des côtés du triangle ne coïncide avec les lignes du papier s'avère beaucoup plus compliquée. Ensuite, il faut l'inscrire dans un rectangle de manière à ce que les sommets de la figure originale se trouvent sur ses côtés. Dans ce cas, il y aura trois triangles rectangles auxiliaires.

Exemple de problème utilisant la formule de Heron

Condition. Certains triangles ont des côtés connus. Ils sont égaux à 3, 5 et 6 cm. Vous devez connaître son aire.

Vous pouvez maintenant calculer l'aire du triangle en utilisant la formule ci-dessus. Sous la racine carrée se trouve le produit de quatre nombres : 7, 4, 2 et 1. Autrement dit, l'aire est √(4 * 14) = 2 √(14).

Si une plus grande précision n'est pas requise, vous pouvez alors prendre la racine carrée de 14. Elle est égale à 3,74. La zone sera alors 7,48.

Répondre. S = 2 √14 cm 2 ou 7,48 cm 2.

Exemple de problème avec un triangle rectangle

Condition. Une jambe d'un triangle rectangle est 31 cm plus grande que la seconde. Vous devez connaître leurs longueurs si l'aire du triangle est de 180 cm 2.
Solution. Nous devrons résoudre un système de deux équations. Le premier est lié à la superficie. La seconde concerne le rapport des jambes, qui est donné dans le problème.
180 = ½ a * b ;

une = b + 31.
Premièrement, la valeur de « a » doit être substituée dans la première équation. Il s'avère : 180 = ½ (po + 31) * po. Il n’y a qu’une seule inconnue, donc facile à résoudre. Après avoir ouvert les parenthèses on obtient équation quadratique: en 2 + 31 en - 360 = 0. Il donne deux valeurs pour "in" : 9 et - 40. Le deuxième nombre ne convient pas comme réponse, puisque la longueur du côté d'un triangle ne peut pas être négative valeur.

Il reste à calculer la deuxième étape : ajoutez 31 au nombre obtenu, vous obtenez 40. Ce sont les quantités recherchées dans le problème.

Répondre. Les pattes du triangle mesurent 9 et 40 cm.

Problème de trouver un côté à travers l'aire, le côté et l'angle d'un triangle

Condition. L'aire d'un certain triangle est de 60 cm 2. Il est nécessaire de calculer un de ses côtés si le deuxième côté mesure 15 cm et que l'angle entre eux est de 30º.

Solution. Sur la base de la notation acceptée, le côté souhaité est « a », le côté connu est « b », l'angle donné est « γ ». Ensuite, la formule de l’aire peut être réécrite comme suit :

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Ici, le sinus de 30 degrés est de 0,5.

Après transformations, « a » s'avère être égal à 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Cela fait 16.

Répondre. Le côté requis est de 16 cm.

Problème concernant un carré inscrit dans un triangle rectangle

Condition. Le sommet d'un carré de 24 cm de côté coïncide avec l'angle droit du triangle. Les deux autres reposent sur les côtés. Le troisième appartient à l'hypoténuse. La longueur d'une des jambes est de 42 cm. Quelle est l'aire du triangle rectangle ?

Solution. Considérons deux triangles rectangles. Le premier est celui spécifié dans la tâche. La seconde est basée sur la branche connue du triangle d’origine. Ils sont similaires car ils ont un angle commun et sont formés de lignes parallèles.

Alors les rapports de leurs jambes sont égaux. Les jambes du plus petit triangle sont égales à 24 cm (côté du carré) et 18 cm (étant donné la jambe 42 cm, soustrayez le côté du carré 24 cm). Les pattes correspondantes d'un grand triangle mesurent 42 cm et x cm. C'est ce « x » qui est nécessaire pour calculer l'aire du triangle.

18/42 = 24/x, c'est-à-dire x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

L'aire est alors égale au produit de 56 et 42 divisé par deux, soit 1176 cm 2.

Répondre. La surface requise est de 1176 cm 2.

À partir du sommet opposé) et divisez le produit obtenu par deux. Cela ressemble à ceci :

S = ½ * a * h,

Où:
S – aire du triangle,
a est la longueur de son côté,
h est la hauteur abaissée de ce côté.

La longueur et la hauteur des côtés doivent être présentées dans les mêmes unités de mesure. Dans ce cas, l’aire du triangle sera obtenue dans les unités « » correspondantes.

Exemple.
D'un côté d'un triangle scalène de 20 cm de long, une perpendiculaire au sommet opposé de 10 cm de long est abaissée.
L'aire du triangle est obligatoire.
Solution.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Si les longueurs de deux côtés quelconques d'un triangle scalène et l'angle entre eux sont connus, utilisez la formule :

S = ½ * a * b * sinγ,

où : a, b sont les longueurs de deux côtés arbitraires et γ est l'angle entre eux.

En pratique, par exemple, lors de la mesure terrains, l'utilisation des formules ci-dessus est parfois difficile, car elle nécessite une construction et une mesure d'angles supplémentaires.

Si vous connaissez les longueurs des trois côtés d’un triangle scalène, utilisez la formule de Heron :

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – longueurs des côtés du triangle,
p – demi-périmètre : p = (a+b+c)/2.

Si, en plus des longueurs de tous les côtés, le rayon du cercle inscrit dans le triangle est connu, alors utilisez la formule compacte suivante :

où : r – rayon du cercle inscrit (р – demi-périmètre).

Pour calculer l'aire d'un triangle scalène et la longueur de ses côtés, utilisez la formule :

où : R – rayon du cercle circonscrit.

Si vous connaissez la longueur d'un des côtés du triangle et de trois angles (en principe, deux suffisent - la valeur du troisième est calculée à partir de l'égalité de la somme des trois angles du triangle - 180º), alors utilisez la formule:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

où α est la valeur de l'angle opposé au côté a ;
β, γ – valeurs des deux angles restants du triangle.

Le besoin de trouver divers éléments, y compris les zones Triangle, apparu plusieurs siècles avant JC parmi les astronomes érudits La Grèce ancienne. Carré Triangle peut être calculé différentes façons en utilisant différentes formules. La méthode de calcul dépend des éléments Triangle connu.

Instructions

Si à partir de la condition nous connaissons les valeurs de deux côtés b, c et l'angle qu'ils forment ?, alors l'aire Triangle ABC se trouve par la formule :
S = (bcsin ?)/2.

Si à partir de la condition nous connaissons les valeurs de deux côtés a, b et l'angle qu'ils ne forment pas ?, alors l'aire Triangle ABC se trouve comme suit :
Trouver l'angle ?, péché ? = bsin?/a, puis utilisez le tableau pour déterminer l'angle lui-même.
Trouver l'angle ?, ? = 180°-?-?.
On retrouve l'aire elle-même S = (absine ?)/2.

Si à partir de la condition nous connaissons les valeurs de seulement trois côtés Triangle a, b et c, alors l'aire Triangle ABC se trouve par la formule :
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), où p est le demi-périmètre p = (a+b+c)/2

Si, à partir des conditions problématiques, nous connaissons la hauteur Triangle h et le côté vers lequel cette hauteur est abaissée, puis la surface Triangle ABC selon la formule :
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Si nous connaissons la signification des côtés Triangle a, b, c et le rayon décrit à ce sujet Triangle R, alors l'aire de ceci Triangle ABC est déterminé par la formule :
S = abc/4R.
Si trois côtés a, b, c et le rayon de ce qui est inscrit dans sont connus, alors l'aire Triangle ABC se trouve par la formule :
S = pr, où p est le demi-périmètre, p = (a+b+c)/2.

Si ABC est équilatéral, alors l'aire est trouvée par la formule :
S = (a^2v3)/4.
Si le triangle ABC est isocèle, alors l'aire est déterminée par la formule :
S = (cv(4a^2-c^2))/4, où c – Triangle.
Si le triangle ABC est rectangle, alors l'aire est déterminée par la formule :
S = ab/2, où a et b sont des jambes Triangle.
Si le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle, alors l'aire est déterminée par la formule :
S = c^2/4 = a^2/2, où c est l'hypoténuse Triangle, a=b – jambe.

Vidéo sur le sujet

Sources:

• comment mesurer l'aire d'un triangle

Astuce 3 : Comment trouver l'aire d'un triangle si l'angle est connu

Connaître un seul paramètre (l'angle) ne suffit pas pour trouver l'aire tre carré . S'il y en a tailles supplémentaires, puis pour déterminer la zone, vous pouvez choisir l'une des formules dans lesquelles la valeur de l'angle est également utilisée comme l'une des variables connues. Plusieurs des formules les plus fréquemment utilisées sont indiquées ci-dessous.

Instructions

Si, en plus de la taille de l'angle (γ) formé par les deux côtés tre carré , les longueurs de ces côtés (A et B) sont également connues, alors carré(S) d'une figure peut être défini comme la moitié du produit des longueurs des côtés et du sinus de cet angle connu : S=½×A×B×sin(γ).

Notion de zone

La notion d'aire de toute figure géométrique, notamment d'un triangle, sera associée à une figure telle qu'un carré. Pour l'aire unitaire de toute figure géométrique, nous prendrons l'aire d'un carré dont le côté est égal à un. Pour être complet, rappelons deux propriétés fondamentales de la notion d'aires de figures géométriques.

Propriété 1 : Si les figures géométriques sont égales, alors leurs aires sont également égales.

Propriété 2 : Toute figure peut être divisée en plusieurs figures. De plus, l'aire de la figure originale est égale à la somme des aires de toutes ses figures constitutives.

Regardons un exemple.

Exemple 1

Évidemment, l'un des côtés du triangle est une diagonale d'un rectangle dont un côté a une longueur de 5$ (puisqu'il y a des cellules de 5$) et l'autre est de 6$ (puisqu'il y a des cellules de 6$). Par conséquent, l'aire de ce triangle sera égale à la moitié d'un tel rectangle. L'aire du rectangle est

Alors l'aire du triangle est égale à

Réponse : 15$.

Ensuite, nous examinerons plusieurs méthodes pour trouver les aires des triangles, à savoir en utilisant la hauteur et la base, en utilisant la formule de Heron et l'aire d'un triangle équilatéral.

Comment trouver l'aire d'un triangle en utilisant sa hauteur et sa base

Théorème 1

L'aire d'un triangle peut être trouvée comme la moitié du produit de la longueur d'un côté et de la hauteur de ce côté.

Mathématiquement, ça ressemble à ça

$S=\frac(1)(2)αh$

où $a$ est la longueur du côté, $h$ est la hauteur qui y est dessinée.

Preuve.

Considérons un triangle $ABC$ dans lequel $AC=α$. La hauteur $BH$ est tracée de ce côté, ce qui est égal à $h$. Construisons-le jusqu'au carré $AXYC$ comme dans la figure 2.

L'aire du rectangle $AXBH$ est $h\cdot AH$, et l'aire du rectangle $HBYC$ est $h\cdot HC$. Alors

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Par conséquent, l'aire requise du triangle, par la propriété 2, est égale à

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Le théorème a été prouvé.

Exemple 2

Trouvez l'aire du triangle dans la figure ci-dessous si la cellule a une aire égale à un

La base de ce triangle est égale à 9$ (puisque 9$ sont des carrés de 9$). La hauteur est également de 9$. Alors, d'après le théorème 1, on obtient

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Réponse : 40,5$.

La formule du héron

Théorème 2

Si on nous donne trois côtés d'un triangle $α$, $β$ et $γ$, alors son aire peut être trouvée comme suit

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ici $ρ$ signifie le demi-périmètre de ce triangle.

Preuve.

Considérons la figure suivante :

D'après le théorème de Pythagore, à partir du triangle $ABH$ on obtient

A partir du triangle $CBH$, d'après le théorème de Pythagore, on a

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

De ces deux relations on obtient l'égalité

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Puisque $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, alors $α+β+γ=2ρ$, ce qui signifie

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

D'après le théorème 1, on obtient

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Un triangle est comme ça figure géométrique, qui se compose de trois lignes se connectant en des points qui ne se trouvent pas sur la même ligne. Les points de connexion des lignes sont les sommets du triangle, désignés par des lettres latines (par exemple, A, B, C). Les lignes droites reliant un triangle sont appelées segments, qui sont également généralement désignés par des lettres latines. Distinguer types suivants Triangles:

• Rectangulaire.
• Obtus.
• Angulaire aigu.
• Polyvalent.
• Équilatéral.
• Isocèle.

Formules générales pour calculer l'aire d'un triangle

Formule pour l'aire d'un triangle basée sur la longueur et la hauteur

S= une*h/2,
où a est la longueur du côté du triangle dont il faut trouver l'aire, h est la longueur de la hauteur tirée jusqu'à la base.

La formule du héron

S=√р*(р-а)*(р-b)*(pc),
où √ est Racine carrée, p est le demi-périmètre du triangle, a,b,c est la longueur de chaque côté du triangle. Le demi-périmètre d'un triangle peut être calculé à l'aide de la formule p=(a+b+c)/2.

Formule pour l'aire d'un triangle basée sur l'angle et la longueur du segment

S = (a*b*sin(α))/2,
Où b, c est la longueur des côtés du triangle, sin(α) est le sinus de l'angle entre les deux côtés.

Formule pour l'aire d'un triangle étant donné le rayon du cercle inscrit et trois côtés

S=p*r,
où p est le demi-périmètre du triangle dont il faut trouver l'aire, r est le rayon du cercle inscrit dans ce triangle.

Formule pour l'aire d'un triangle basée sur trois côtés et le rayon du cercle circonscrit autour de lui

S= (a*b*c)/4*R,
où a,b,c est la longueur de chaque côté du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit autour du triangle.

Formule pour l'aire d'un triangle utilisant les coordonnées cartésiennes des points

Les coordonnées cartésiennes des points sont des coordonnées dans le système xOy, où x est l'abscisse, y est l'ordonnée. Le système de coordonnées cartésiennes xOy sur un plan est constitué des axes numériques Ox et Oy mutuellement perpendiculaires ayant une origine commune au point O. Si les coordonnées des points sur ce plan sont données sous la forme A(x1, y1), B(x2, y2 ) et C(x3, y3 ), alors vous pouvez calculer l'aire du triangle en utilisant la formule suivante, qui est obtenue à partir de produit vectoriel deux vecteurs.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
où || signifie module.

Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont un angle mesure 90 degrés. Un triangle ne peut avoir qu’un seul angle.

Formule pour l'aire d'un triangle rectangle sur deux côtés

S= une*b/2,
où a,b est la longueur des jambes. Les jambes sont les côtés adjacents à un angle droit.

Formule pour l'aire d'un triangle rectangle basée sur l'hypoténuse et l'angle aigu

S = a*b*sin(α)/ 2,
où a, b sont les jambes du triangle et sin(α) est le sinus de l'angle auquel les lignes a, b se coupent.

Formule pour l'aire d'un triangle rectangle basée sur le côté et l'angle opposé

S = une*b/2*tg(β),
où a, b sont les branches du triangle, tan(β) est la tangente de l'angle auquel les branches a, b sont connectées.

Comment calculer l'aire d'un triangle isocèle

Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés égaux. Ces côtés sont appelés les côtés et l’autre côté est la base. Pour calculer l'aire d'un triangle isocèle, vous pouvez utiliser l'une des formules suivantes.

Formule de base pour calculer l'aire d'un triangle isocèle

S=h*c/2,
où c est la base du triangle, h est la hauteur du triangle abaissé jusqu'à la base.

Formule d'un triangle isocèle basée sur le côté et la base

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
où c est la base du triangle, a est la taille de l'un des côtés du triangle isocèle.

Comment trouver l'aire d'un triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés sont égaux. Pour calculer l'aire d'un triangle équilatéral, vous pouvez utiliser la formule suivante :
S = (√3*a*a)/4,
où a est la longueur du côté du triangle équilatéral.

Les formules ci-dessus vous permettront de calculer l'aire requise du triangle. Il est important de se rappeler que pour calculer l'aire des triangles, vous devez prendre en compte le type de triangle et les données disponibles qui peuvent être utilisées pour le calcul.

Pour déterminer l'aire d'un triangle, vous pouvez utiliser différentes formules. De toutes les méthodes, la plus simple et la plus fréquemment utilisée consiste à multiplier la hauteur par la longueur de la base puis à diviser le résultat par deux. Cependant cette méthode loin d'être le seul. Ci-dessous, vous pouvez lire comment trouver l'aire d'un triangle à l'aide de différentes formules.

Séparément, nous examinerons les moyens de calculer l'aire de types spécifiques de triangles - rectangulaires, isocèles et équilatéraux. Nous accompagnons chaque formule d'une courte explication qui vous aidera à comprendre son essence.

Méthodes universelles pour trouver l'aire d'un triangle

Les formules ci-dessous utilisent une notation spéciale. Nous allons décrypter chacun d'eux :

• a, b, c – les longueurs des trois côtés de la figure que nous considérons ;
• r est le rayon du cercle pouvant être inscrit dans notre triangle ;
• R est le rayon du cercle qui peut être décrit autour de lui ;
• α est la grandeur de l'angle formé par les côtés b et c ;
• β est la grandeur de l'angle entre a et c ;
• γ est la grandeur de l'angle formé par les côtés a et b ;
• h est la hauteur de notre triangle, abaissé de l'angle α au côté a ;
• p – la moitié de la somme des côtés a, b et c.

Il est logiquement clair pourquoi vous pouvez trouver l'aire d'un triangle de cette manière. Le triangle peut facilement être complété en un parallélogramme, dans lequel un côté du triangle fera office de diagonale. L'aire d'un parallélogramme se trouve en multipliant la longueur d'un de ses côtés par la valeur de la hauteur qui lui est dessinée. La diagonale divise ce parallélogramme conditionnel en 2 triangles identiques. Par conséquent, il est bien évident que l'aire de notre triangle d'origine doit être égale à la moitié de l'aire de ce parallélogramme auxiliaire.

S=½ a b sin γ

Selon cette formule, l'aire d'un triangle se trouve en multipliant les longueurs de ses deux côtés, c'est-à-dire a et b, par le sinus de l'angle qu'ils forment. Cette formule dérive logiquement de la précédente. Si l'on abaisse la hauteur de l'angle β au côté b, alors, selon les propriétés d'un triangle rectangle, lorsque l'on multiplie la longueur du côté a par le sinus de l'angle γ, on obtient la hauteur du triangle, c'est-à-dire h .

L'aire de la figure en question se trouve en multipliant la moitié du rayon du cercle qui peut y être inscrit par son périmètre. Autrement dit, on trouve le produit du demi-périmètre et du rayon du cercle mentionné.

S = a b c/4R

Selon cette formule, la valeur dont nous avons besoin peut être trouvée en divisant le produit des côtés de la figure par 4 rayons du cercle décrit autour d'elle.

Ces formules sont universelles, car elles permettent de déterminer l'aire de n'importe quel triangle (scalène, isocèle, équilatéral, rectangulaire). Cela peut également être fait en utilisant davantage calculs complexes, sur lequel nous ne nous attarderons pas en détail.

Aires de triangles avec des propriétés spécifiques

Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle ? La particularité de cette figure est que ses deux côtés sont simultanément ses hauteurs. Si a et b sont des jambes et que c devient l'hypoténuse, alors nous trouvons l'aire comme ceci :

Comment trouver l'aire d'un triangle isocèle ? Il a deux côtés de longueur a et un côté de longueur b. Par conséquent, son aire peut être déterminée en divisant par 2 le produit du carré du côté a par le sinus de l'angle γ.

Comment trouver l'aire d'un triangle équilatéral ? Dans celui-ci, la longueur de tous les côtés est égale à a et la grandeur de tous les angles est α. Sa hauteur est égale à la moitié du produit de la longueur du côté a et de la racine carrée de 3. Pour trouver l'aire d'un triangle régulier, il faut multiplier le carré du côté a par la racine carrée de 3 et diviser par 4.