Division nombres naturels, en particulier les polysémantiques, sont faciles à réaliser méthode spéciale, qui a été nommé division par une colonne (dans une colonne). Vous pouvez également trouver le nom division de coin. Notons tout de suite que la colonne peut être utilisée à la fois pour diviser des nombres naturels sans reste et pour diviser des nombres naturels avec reste.

Dans cet article, nous examinerons la durée pendant laquelle la division est effectuée. Nous parlerons ici des règles d'enregistrement et de tous les calculs intermédiaires. Tout d’abord, concentrons-nous sur la division d’un nombre naturel à plusieurs chiffres par une colonne. numéro à un chiffre. Après cela, nous nous concentrerons sur les cas où le dividende et le diviseur sont des nombres naturels à valeurs multiples. Toute la théorie de cet article est fournie avec des exemples typiques de division par une colonne de nombres naturels avec des explications détaillées de la solution et des illustrations.

Navigation dans les pages.

Règles d'enregistrement lors de la division par une colonne

Commençons par étudier les règles d'écriture du dividende, du diviseur, de tous les calculs intermédiaires et résultats lors de la division d'entiers naturels par une colonne. Disons tout de suite qu'il est plus pratique de diviser les colonnes en écrivant sur du papier avec une ligne en damier - de cette façon, il y a moins de chances de s'écarter de la ligne et de la colonne souhaitées.

Tout d'abord, le dividende et le diviseur sont écrits sur une seule ligne de gauche à droite, après quoi un symbole de la forme est affiché entre les nombres écrits. Par exemple, si le dividende est le nombre 6 105 et que le diviseur est 5 5, alors leur saisie correcte lors de la division en colonne sera la suivante :

Regardez le diagramme suivant pour illustrer où écrire les calculs de dividende, de diviseur, de quotient, de reste et intermédiaires dans une division longue.

D'après le diagramme ci-dessus, il est clair que le quotient souhaité (ou le quotient incomplet lors d'une division avec un reste) sera écrit sous le diviseur sous la ligne horizontale. Et des calculs intermédiaires seront effectués en dessous du dividende, et vous devez vous assurer à l'avance de la disponibilité de l'espace sur la page. Dans ce cas, il faut se laisser guider par la règle : plus la différence entre le nombre de caractères dans les entrées du dividende et du diviseur est grande, plus il faudra d'espace. Par exemple, lorsque l'on divise l'entier naturel 614 808 par 51 234 avec une colonne (614 808 est un nombre à six chiffres, 51 234 est un nombre à cinq chiffres, la différence entre le nombre de caractères dans les enregistrements est de 6−5 = 1), intermédiaire les calculs nécessiteront moins d'espace que lors de la division des nombres 8 058 et 4 (ici la différence du nombre de chiffres est 4−1=3). Pour confirmer nos propos, nous présentons des enregistrements complets de division par colonne de ces nombres naturels :

Vous pouvez maintenant passer directement au processus de division des nombres naturels par une colonne.

Division en colonnes d'un nombre naturel par un nombre naturel à un chiffre, algorithme de division en colonnes

Il est clair que diviser un nombre naturel à un chiffre par un autre est assez simple et il n'y a aucune raison de diviser ces nombres en colonne. Cependant, il vous sera utile de mettre en pratique vos compétences initiales en matière de division longue avec ces exemples simples.

Exemple.

Devons-nous diviser avec une colonne de 8 par 2.

Solution.

Bien sûr, nous pouvons effectuer une division à l’aide de la table de multiplication et écrire immédiatement la réponse 8:2=4.

Mais nous nous intéressons à la manière de diviser ces nombres par une colonne.

Tout d'abord, nous notons le dividende 8 et le diviseur 2 comme l'exige la méthode :

Nous commençons maintenant à découvrir combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Pour ce faire, on multiplie séquentiellement le diviseur par les nombres 0, 1, 2, 3, ... jusqu'à ce que le résultat soit un nombre égal au dividende (ou un nombre supérieur au dividende, s'il y a une division avec un reste ). Si nous obtenons un nombre égal au dividende, nous l'écrivons immédiatement sous le dividende et, à la place du quotient, nous écrivons le nombre par lequel nous avons multiplié le diviseur. Si nous obtenons un nombre supérieur au dividende, alors sous le diviseur, nous écrivons le nombre calculé à l'avant-dernière étape, et à la place du quotient incomplet, nous écrivons le nombre par lequel le diviseur a été multiplié à l'avant-dernière étape.

C'est parti : 2·0=0 ; 2 1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8. Nous avons reçu un nombre égal au dividende, nous l'écrivons donc sous le dividende, et à la place du quotient nous écrivons le nombre 4. Dans ce cas, l'entrée acceptera vue suivante:

La dernière étape de division des nombres naturels à un chiffre par une colonne demeure. Sous le nombre écrit sous le dividende, vous devez tracer une ligne horizontale et soustraire les nombres au-dessus de cette ligne de la même manière que pour soustraire des nombres naturels dans une colonne. Le nombre résultant de la soustraction sera le reste de la division. S'il est égal à zéro, alors les nombres d'origine sont divisés sans reste.

Dans notre exemple, nous obtenons

Nous avons maintenant devant nous un enregistrement complet de la division en colonne du nombre 8 par 2. Nous voyons que le quotient de 8:2 est 4 (et le reste est 0).

Répondre:

8:2=4 .

Voyons maintenant comment une colonne divise les nombres naturels à un chiffre par un reste.

Exemple.

Divisez 7 par 3 à l'aide d'une colonne.

Solution.

Sur stade initial l'entrée ressemble à ceci :

Nous commençons par découvrir combien de fois le dividende contient le diviseur. On multipliera 3 par 0, 1, 2, 3, etc. jusqu'à ce que nous obtenions un nombre égal ou supérieur au dividende 7. On obtient 3·0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (si nécessaire, se référer à l'article comparant les nombres naturels). Sous le dividende on écrit le nombre 6 (il a été obtenu à l'avant-dernière étape), et à la place du quotient incomplet on écrit le nombre 2 (la multiplication a été effectuée par celui-ci à l'avant-dernière étape).

Il reste à effectuer la soustraction, et la division par une colonne d'entiers naturels à un chiffre 7 et 3 sera complétée.

Le quotient partiel est donc 2 et le reste est 1.

Répondre:

7:3=2 (reste 1) .

Vous pouvez maintenant passer à la division des nombres naturels à plusieurs chiffres par colonnes en nombres naturels à un chiffre.

Maintenant, nous allons le découvrir algorithme de division longue. A chaque étape, nous présenterons les résultats obtenus en divisant l'entier naturel à plusieurs chiffres 140 288 par l'entier naturel à un chiffre 4. Cet exemple n'a pas été choisi par hasard, car en le résolvant, nous rencontrerons toutes les nuances possibles et pourrons les analyser en détail.

Examinons d’abord le premier chiffre à gauche dans la notation du dividende. Si le nombre défini par ce chiffre est supérieur au diviseur, alors dans le paragraphe suivant, nous devons travailler avec ce nombre. Si ce nombre est inférieur au diviseur, nous devons alors ajouter à la contrepartie le chiffre suivant à gauche dans la notation du dividende et continuer à travailler avec le nombre déterminé par les deux chiffres considérés. Pour plus de commodité, nous soulignons dans notre notation le nombre avec lequel nous allons travailler.

Le premier chiffre en partant de la gauche dans la notation du dividende 140288 est le chiffre 1. Le nombre 1 est inférieur au diviseur 4, on regarde donc également le chiffre suivant à gauche dans la notation du dividende. En même temps, nous voyons le chiffre 14, avec lequel nous devons continuer à travailler. Nous mettons en évidence ce nombre dans la notation du dividende.

Les étapes suivantes de la deuxième à la quatrième sont répétées cycliquement jusqu'à ce que la division des nombres naturels par une colonne soit terminée.

Nous devons maintenant déterminer combien de fois le diviseur est contenu dans le nombre avec lequel nous travaillons (pour plus de commodité, notons ce nombre par x). Pour ce faire, nous multiplions séquentiellement le diviseur par 0, 1, 2, 3, ... jusqu'à obtenir le nombre x ou un nombre supérieur à x. Lorsque le nombre x est obtenu, nous l'écrivons sous le nombre en surbrillance selon les règles d'enregistrement utilisées lors de la soustraction des nombres naturels dans une colonne. Le nombre par lequel la multiplication a été effectuée est écrit à la place du quotient lors du premier passage de l'algorithme (dans les passages ultérieurs de 2 à 4 points de l'algorithme, ce nombre est écrit à droite des nombres déjà là). Lorsque nous obtenons un nombre supérieur au nombre x, alors sous le nombre en surbrillance nous écrivons le nombre obtenu à l'avant-dernière étape, et à la place du quotient (ou à droite des nombres déjà là), nous écrivons le nombre par dont la multiplication a été effectuée à l'avant-dernière étape. (Nous avons mené des actions similaires dans les deux exemples évoqués ci-dessus).

Multipliez le diviseur 4 par les nombres 0, 1, 2, ... jusqu'à obtenir un nombre égal à 14 ou supérieur à 14. On a 4·0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Puisqu'à la dernière étape nous avons reçu le nombre 16, qui est supérieur à 14, alors sous le nombre en surbrillance nous écrivons le nombre 12, qui a été obtenu à l'avant-dernière étape, et à la place du quotient nous écrivons le nombre 3, puisque dans l'avant-dernier point la multiplication a été effectuée précisément par lui.


A ce stade, du numéro sélectionné, soustrayez le numéro situé en dessous à l'aide d'une colonne. Le résultat de la soustraction est écrit sous la ligne horizontale. Cependant, si le résultat de la soustraction est nul, il n’est pas nécessaire de l’écrire (à moins que la soustraction à ce stade ne soit la toute dernière action qui achève complètement le processus de division longue). Ici, pour votre propre contrôle, il ne serait pas superflu de comparer le résultat de la soustraction avec le diviseur et de vous assurer qu'il est inférieur au diviseur. Sinon, une erreur a été commise quelque part.

Il faut soustraire le nombre 12 du nombre 14 avec une colonne (pour l'exactitude de l'enregistrement, il ne faut pas oublier de mettre un signe moins à gauche des nombres soustraits). Après avoir terminé cette action, le chiffre 2 est apparu sous la ligne horizontale. Nous vérifions maintenant nos calculs en comparant le nombre obtenu avec le diviseur. Puisque le nombre 2 est inférieur au diviseur 4, vous pouvez passer au point suivant en toute sécurité.


Maintenant, sous la ligne horizontale à droite des nombres qui s'y trouvent (ou à droite de l'endroit où on n'a pas noté le zéro), on note le nombre situé dans la même colonne dans la notation du dividende. S'il n'y a pas de chiffres dans l'enregistrement du dividende dans cette colonne, alors la division par colonne s'arrête là. Après cela, nous sélectionnons le nombre formé sous la ligne horizontale, l'acceptons comme nombre de travail et répétons avec lui les points 2 à 4 de l'algorithme.

Sous la ligne horizontale à droite du chiffre 2 déjà là, on note le chiffre 0, puisque c'est le chiffre 0 qui figure dans l'enregistrement du dividende 140 288 dans cette colonne. Ainsi, le chiffre 20 est formé sous la ligne horizontale.


Nous sélectionnons ce nombre 20, le prenons comme nombre de travail et répétons avec lui les actions des deuxième, troisième et quatrième points de l'algorithme.

Multipliez le diviseur 4 par 0, 1, 2, ... jusqu'à obtenir le nombre 20 ou un nombre supérieur à 20. On a 4·0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


On effectue la soustraction dans une colonne. Puisque nous soustrayons des nombres naturels égaux, alors en vertu de la propriété de soustraire des nombres naturels égaux, le résultat est zéro. On n'écrit pas le zéro (puisque ce n'est pas l'étape finale de la division avec une colonne), mais on se souvient de l'endroit où on pourrait l'écrire (pour plus de commodité, on marquera cet endroit avec un rectangle noir).


Sous la ligne horizontale à droite de l'endroit mémorisé on note le chiffre 2, puisque c'est précisément celui-ci qui figure dans l'enregistrement du dividende 140.288 dans cette colonne. Ainsi, sous la ligne horizontale nous avons le chiffre 2.


Nous prenons le numéro 2 comme numéro de travail, le marquons et nous devrons à nouveau effectuer les actions de 2 à 4 points de l'algorithme.

Nous multiplions le diviseur par 0, 1, 2 et ainsi de suite, et comparons les nombres obtenus avec le nombre marqué 2. On a 4·0=0<2 , 4·1=4>2. Par conséquent, sous le nombre marqué, nous écrivons le nombre 0 (il a été obtenu à l'avant-dernière étape), et à la place du quotient à droite du nombre déjà là, nous écrivons le nombre 0 (nous avons multiplié par 0 à l'avant-dernière étape ).


On effectue la soustraction dans une colonne, on obtient le chiffre 2 sous la ligne horizontale. Nous nous vérifions en comparant le nombre obtenu avec le diviseur 4. Depuis 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Sous la ligne horizontale à droite du chiffre 2, ajoutez le chiffre 8 (puisqu'il se trouve dans cette colonne dans l'entrée du dividende 140 288). Ainsi, le chiffre 28 apparaît sous la ligne horizontale.


Nous prenons ce numéro comme numéro de travail, le marquons et répétons les étapes 2 à 4.

Il ne devrait y avoir aucun problème ici si vous avez été prudent jusqu'à présent. Après avoir effectué toutes les étapes nécessaires, le résultat suivant est obtenu.

Il ne reste plus qu'à effectuer une dernière fois les étapes des points 2, 3, 4 (nous vous laissons cela), après quoi vous obtiendrez une image complète de la division des nombres naturels 140,288 et 4 en colonne :

Veuillez noter que le chiffre 0 est écrit tout en bas. Si ce n'était pas la dernière étape de la division par colonne (c'est-à-dire si dans l'enregistrement du dividende il restait des nombres dans les colonnes de droite), alors nous n'écririons pas ce zéro.

Ainsi, en regardant la division complète de l'entier naturel à plusieurs chiffres 140 288 par l'entier naturel à un chiffre 4, nous voyons que le quotient est le nombre 35 072 (et le reste de la division est zéro, il se trouve tout en bas ).

Bien sûr, lorsque vous divisez des nombres naturels par une colonne, vous ne décrirez pas toutes vos actions avec autant de détails. Vos solutions ressembleront aux exemples suivants.

Exemple.

Effectuez une division longue si le dividende est de 7 136 et que le diviseur est un nombre naturel à un chiffre 9.

Solution.

A la première étape de l'algorithme de division des nombres naturels par colonnes, on obtient un enregistrement de la forme

Après avoir effectué les actions des deuxième, troisième et quatrième points de l'algorithme, l'enregistrement de division en colonnes prendra la forme

En répétant le cycle, nous aurons

Un passage supplémentaire nous donnera une image complète de la division en colonnes des nombres naturels 7,136 et 9.

Ainsi, le quotient partiel est de 792 et le reste est de 8.

Répondre:

7 136:9=792 (8 restants) .

Et cet exemple montre à quoi devrait ressembler une division longue.

Exemple.

Divisez l'entier naturel 7 042 035 par l'entier naturel à un chiffre 7.

Solution.

La manière la plus pratique de procéder à une division est par colonne.

Répondre:

7 042 035:7=1 006 005 .

Division en colonnes de nombres naturels à plusieurs chiffres

On s'empresse de vous faire plaisir : si vous maîtrisez parfaitement l'algorithme de division de colonnes du paragraphe précédent de cet article, alors vous savez presque déjà comment effectuer division en colonnes de nombres naturels à plusieurs chiffres. Cela est vrai, puisque les étapes 2 à 4 de l'algorithme restent inchangées et que seuls des changements mineurs apparaissent dans le premier point.

Lors de la première étape de division des nombres naturels à plusieurs chiffres en colonne, vous devez regarder non pas le premier chiffre à gauche dans la notation du dividende, mais leur nombre égal au nombre de chiffres contenus dans la notation. du diviseur. Si le nombre défini par ces nombres est supérieur au diviseur, alors dans le paragraphe suivant, nous devons travailler avec ce nombre. Si ce nombre est inférieur au diviseur, alors nous devons ajouter à la contrepartie le chiffre suivant à gauche dans la notation du dividende. Après cela, les actions spécifiées aux paragraphes 2, 3 et 4 de l'algorithme sont effectuées jusqu'à l'obtention du résultat final.

Il ne reste plus qu'à voir l'application pratique de l'algorithme de division de colonnes pour les nombres naturels à valeurs multiples lors de la résolution d'exemples.

Exemple.

Effectuons une division en colonnes des nombres naturels à plusieurs chiffres 5 562 et 206.

Solution.

Puisque le diviseur 206 contient 3 chiffres, on regarde les 3 premiers chiffres à gauche du dividende 5,562. Ces numéros correspondent au nombre 556. Puisque 556 est supérieur au diviseur 206, nous prenons le nombre 556 comme nombre de travail, le sélectionnons et passons à l'étape suivante de l'algorithme.

Maintenant, nous multiplions le diviseur 206 par les nombres 0, 1, 2, 3, ... jusqu'à obtenir un nombre égal à 556 ou supérieur à 556. On a (si la multiplication est difficile, alors il vaut mieux multiplier les nombres naturels dans une colonne) : 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Puisque nous avons reçu un nombre supérieur au nombre 556, alors sous le nombre en surbrillance nous écrivons le nombre 412 (il a été obtenu à l'avant-dernière étape), et à la place du quotient nous écrivons le nombre 2 (puisque nous l'avons multiplié par lui à l'avant-dernière étape). L'entrée de division de colonne prend la forme suivante :

Nous effectuons une soustraction de colonnes. Nous obtenons la différence 144, ce nombre est inférieur au diviseur, vous pouvez donc continuer à effectuer les actions requises en toute sécurité.

Sous la ligne horizontale à droite du numéro on écrit le chiffre 2, puisqu'il se trouve dans l'enregistrement du dividende 5562 dans cette colonne :

Maintenant, nous travaillons avec le nombre 1 442, le sélectionnons et repassons par les étapes deux à quatre.

Multipliez le diviseur 206 par 0, 1, 2, 3, ... jusqu'à obtenir le nombre 1442 ou un nombre supérieur à 1442. C'est parti : 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

On fait la soustraction dans une colonne, on obtient zéro, mais on ne l'écrit pas tout de suite, on se souvient juste de sa position, car on ne sait pas si la division se termine ici, ou s'il faudra répéter reprenons les étapes de l'algorithme :

Nous voyons maintenant que nous ne pouvons écrire aucun nombre sous la ligne horizontale à droite de la position mémorisée, puisqu'il n'y a aucun chiffre dans l'enregistrement du dividende dans cette colonne. Par conséquent, ceci termine la division par colonne, et nous complétons l'entrée :

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Comment diviser des nombres décimaux par des nombres naturels ? Examinons la règle et son application à l'aide d'exemples.

Pour diviser une fraction décimale par un nombre naturel, vous devez :

1) diviser la fraction décimale par le nombre, en ignorant la virgule ;

2) lorsque la division de la partie entière est terminée, mettez une virgule dans le quotient.

Exemples.

Diviser les décimales :

Pour diviser une fraction décimale par un nombre naturel, divisez sans faire attention à la virgule. 5 n'est pas divisible par 6, on met donc zéro dans le quotient. La division de la partie entière est terminée, on met une virgule dans le quotient. Nous retirons le zéro. Divisez 50 par 6. Prenez 8. 6∙8=48. De 50 on soustrait 48, le reste est 2. On enlève 4. On divise 24 par 6. On obtient 4. Le reste est zéro, ce qui signifie que la division est terminée : 5,04 : 6 = 0,84.

2) 19,26: 18

Divisez la fraction décimale par un nombre naturel, en ignorant la virgule. Divisez 19 par 18. Prenez 1 chacun. La division de la partie entière est terminée, mettez une virgule dans le quotient. On soustrait 18 de 19. Le reste est 1. On enlève 2. 12 n'est pas divisible par 18, et dans le quotient on écrit zéro. On enlève 6. On divise 126 par 18, on obtient 7. La division est terminée : 19,26 : 18 = 1,07.

Divisez 86 par 25. Prenez 3 chacun 25∙3=75. De 86 on soustrait 75. Le reste est 11. La division de la partie entière est terminée, dans le quotient on met une virgule. Nous en retirons 5. Nous en prenons 4 chacun 25∙4=100. De 115, nous soustrayons 100. Le reste est 15. Nous supprimons zéro. On divise 150 par 25. On obtient 6. La division est terminée : 86,5 : 25 = 3,46.

4) 0,1547: 17

Zéro n'est pas divisible par 17 ; on écrit zéro dans le quotient. La division de la partie entière est terminée, on met une virgule dans le quotient. On note 1. 1 n'est pas divisible par 17, on écrit zéro dans le quotient. On note 5. 15 n'est pas divisible par 17, on écrit zéro dans le quotient. Nous en retirons 4. Nous divisons 154 par 17. Nous prenons 9 chacun. De 154 on soustrait 153. Le reste est 1. On enlève 7. On divise 17 par 17. On obtient 1. La division est terminée : 0,1547 : 17 = 0,0091.

5) Une fraction décimale peut également être obtenue en divisant deux nombres naturels.

En divisant 17 par 4, on en prend 4 chacun. La division de la partie entière est terminée, dans le quotient on met une virgule. 4∙4=16. De 17, nous soustrayons 16. Le reste est 1. Nous supprimons zéro. Divisez 10 par 4. Prenez 2. 4∙2=8. De 10, nous soustrayons 8. Le reste est 2. Nous supprimons zéro. Divisez 20 par 4. Prenez 5 chacun. La division est terminée : 17 : 4 = 4,25.

Et quelques autres exemples de division de nombres décimaux par des nombres naturels :

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Un peu de théorie.

Diviser un polynôme en un polynôme (binôme) par une colonne (coin)

En algèbre diviser des polynômes avec une colonne (coin)- un algorithme de division d'un polynôme f(x) par un polynôme (binôme) g(x) dont le degré est inférieur ou égal au degré du polynôme f(x).

L'algorithme de division polynôme par polynôme est une forme généralisée de division de nombres en colonnes qui peut être facilement implémentée à la main.

Pour tout polynôme \(f(x) \) et \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), il existe des polynômes uniques \(q(x) \) et \(r( x ) \), tel que
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
et \(r(x)\) a un degré inférieur à \(g(x)\).

Le but de l'algorithme de division de polynômes en colonne (coin) est de trouver le quotient \(q(x) \) et le reste \(r(x) \) pour un dividende donné \(f(x) \) et diviseur non nul \(g(x) \)

Exemple

Divisons un polynôme par un autre polynôme (binôme) à l'aide d'une colonne (coin) :
\(\large \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

Le quotient et le reste de ces polynômes peuvent être trouvés en effectuant les étapes suivantes :
1. Divisez le premier élément du dividende par l'élément le plus élevé du diviseur, placez le résultat sous la ligne \((x^3/x = x^2)\)

3. Soustrayez le polynôme obtenu après multiplication du dividende, écrivez le résultat sous la ligne \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)

4. Répétez les 3 étapes précédentes en utilisant le polynôme écrit sous la ligne comme dividende.

5. Répétez l'étape 4.

6. Fin de l'algorithme.
Ainsi, le polynôme \(q(x)=x^2-9x-27\) est le quotient de la division des polynômes, et \(r(x)=-123\) est le reste de la division des polynômes.

Le résultat de la division de polynômes peut s'écrire sous la forme de deux égalités :
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
ou
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

Le moyen le plus simple de diviser des nombres à plusieurs chiffres consiste à utiliser une colonne. La division des colonnes est également appelée division de coin.

Avant de procéder à la division par colonne, nous examinerons en détail la forme même de l'enregistrement de la division par colonne. Tout d’abord, notez le dividende et tracez une ligne verticale à sa droite :

Derrière la ligne verticale, à l'opposé du dividende, écrivez le diviseur et tracez une ligne horizontale en dessous :

Sous la ligne horizontale, le quotient résultant sera écrit étape par étape :

Des calculs intermédiaires seront écrits sous le dividende :

La forme complète de la division écrite par colonne est la suivante :

Comment diviser par colonne

Disons que nous devons diviser 780 par 12, écrire l'action dans une colonne et procéder à la division :

La division des colonnes s'effectue par étapes. La première chose que nous devons faire est de déterminer le dividende incomplet. On regarde le premier chiffre du dividende :

ce nombre est 7, puisqu'il est inférieur au diviseur, nous ne pouvons pas commencer la division à partir de celui-ci, ce qui signifie que nous devons prendre un autre chiffre du dividende, le nombre 78 est supérieur au diviseur, donc nous commençons la division à partir de celui-ci :

Dans notre cas le nombre 78 sera divisible incomplet, on le dit incomplet car ce n’est qu’une partie du divisible.

Après avoir déterminé le dividende incomplet, nous pouvons savoir combien de chiffres seront dans le quotient, pour cela nous devons calculer combien de chiffres il reste dans le dividende après le dividende incomplet, dans notre cas, il n'y a qu'un seul chiffre - 0, ce signifie que le quotient sera composé de 2 chiffres.

Après avoir découvert le nombre de chiffres qui doivent figurer dans le quotient, vous pouvez mettre des points à sa place. Si, lors de la division, le nombre de chiffres s'avère supérieur ou inférieur aux points indiqués, alors une erreur a été commise quelque part :

Commençons à diviser. Nous devons déterminer combien de fois 12 est contenu dans le nombre 78. Pour ce faire, nous multiplions séquentiellement le diviseur par les nombres naturels 1, 2, 3, ... jusqu'à obtenir un nombre aussi proche que possible du dividende incomplet. ou égal à celui-ci, mais sans le dépasser. Ainsi, nous obtenons le nombre 6, l'écrivons sous le diviseur, et de 78 (selon les règles de soustraction de colonnes) nous soustrayons 72 (12 6 = 72). Après avoir soustrait 72 de 78, le reste est 6 :

Veuillez noter que le reste de la division nous indique si nous avons correctement choisi le numéro. Si le reste est égal ou supérieur au diviseur, alors nous n'avons pas choisi le bon nombre et nous devons prendre un nombre plus grand.

Au reste résultant - 6, ajoutez le chiffre suivant du dividende - 0. En conséquence, nous obtenons un dividende incomplet - 60. Déterminez combien de fois 12 est contenu dans le nombre 60. Nous obtenons le nombre 5, écrivons-le le quotient après le nombre 6 et soustrayez 60 de 60 ( 12 5 = 60). Le reste est nul :

Puisqu’il ne reste plus de chiffres dans le dividende, cela signifie que 780 est complètement divisé par 12. En effectuant une division longue, nous avons trouvé le quotient - il s'écrit sous le diviseur :

Prenons un exemple où le quotient s'avère être nul. Disons que nous devons diviser 9027 par 9.

Nous déterminons le dividende incomplet - c'est le nombre 9. Nous écrivons 1 dans le quotient et soustrayons 9 de 9. Le reste est nul. Habituellement, si dans les calculs intermédiaires le reste est nul, il ne s'écrit pas :

Nous notons le chiffre suivant du dividende - 0. Nous nous souvenons qu'en divisant zéro par n'importe quel nombre, il y aura zéro. Nous écrivons zéro dans le quotient (0 : 9 = 0) et soustrayons 0 de 0 dans les calculs intermédiaires. Habituellement, afin de ne pas encombrer les calculs intermédiaires, les calculs avec zéro ne sont pas écrits :

Nous notons le chiffre suivant du dividende - 2. Dans des calculs intermédiaires, il s'est avéré que le dividende incomplet (2) est inférieur au diviseur (9). Dans ce cas, écrivez zéro au quotient et supprimez le chiffre suivant du dividende :

Nous déterminons combien de fois 9 est contenu dans le nombre 27. Nous obtenons le nombre 3, l'écrivons sous forme de quotient et soustrayons 27 de 27. Le reste est zéro :

Puisqu’il ne reste plus de chiffres dans le dividende, cela signifie que le nombre 9027 est complètement divisé par 9 :

Prenons un exemple où le dividende se termine par des zéros. Disons que nous devons diviser 3 000 par 6.

Nous déterminons le dividende incomplet - c'est le nombre 30. Nous écrivons 5 dans le quotient et soustrayons 30 de 30. Le reste est nul. Comme déjà mentionné, il n'est pas nécessaire d'écrire zéro dans le reste dans les calculs intermédiaires :

Nous notons le chiffre suivant du dividende - 0. Puisque la division de zéro par n'importe quel nombre donnera zéro, nous écrivons zéro dans le quotient et soustrayons 0 de 0 dans les calculs intermédiaires :

Nous notons le chiffre suivant du dividende - 0. Nous écrivons un autre zéro dans le quotient et soustrayons 0 de 0 dans les calculs intermédiaires, car dans les calculs intermédiaires, le calcul avec zéro n'est généralement pas écrit, l'entrée peut être raccourcie, ne laissant que. le reste - 0. Zéro dans le reste à la toute fin du calcul est généralement écrit pour montrer que la division est terminée :

Puisqu’il ne reste plus de chiffres dans le dividende, cela signifie que 3000 est complètement divisé par 6 :

Division de colonne avec reste

Disons que nous devons diviser 1 340 par 23.

Nous déterminons le dividende incomplet - c'est le nombre 134. Nous écrivons 5 dans le quotient et soustrayons 115 de 134. Le reste est 19 :

Nous notons le chiffre suivant du dividende - 0. Nous déterminons combien de fois 23 est contenu dans le nombre 190. Nous obtenons le nombre 8, l'écrivons dans le quotient et soustrayons 184 de 190. Nous obtenons le reste 6 :

Puisqu’il ne reste plus de chiffres dans le dividende, la division est terminée. Le résultat est un quotient incomplet de 58 et un reste de 6 :

1340 : 23 = 58 (reste 6)

Reste à considérer un exemple de division avec reste, lorsque le dividende est inférieur au diviseur. Devons-nous diviser 3 par 10. Nous voyons que 10 n'est jamais contenu dans le nombre 3, nous écrivons donc 0 comme quotient et soustrayons 0 de 3 (10 · 0 = 0). Tracez une ligne horizontale et notez le reste - 3 :

3 : 10 = 0 (reste 3)

Calculateur de division longue

Cette calculatrice vous aidera à effectuer une division longue. Entrez simplement le dividende et le diviseur et cliquez sur le bouton Calculer.

Division les nombres à plusieurs chiffres ou à plusieurs chiffres sont pratiques à produire par écrit dans une colonne. Voyons comment procéder. Commençons par diviser un nombre à plusieurs chiffres par un nombre à un chiffre, et augmentons progressivement le chiffre du dividende.

Alors divisons 354 sur 2 . Tout d'abord, plaçons ces nombres comme indiqué sur la figure :

On place le dividende à gauche, le diviseur à droite, et le quotient s'écrira sous le diviseur.

Nous commençons maintenant à diviser le dividende par le diviseur au niveau du bit, de gauche à droite. Nous trouvons premier dividende incomplet, pour cela on prend le premier chiffre à gauche, dans notre cas 3, et on le compare avec le diviseur.

3 plus 2 , Moyens 3 et il y a un dividende incomplet. Nous mettons un point dans le quotient et déterminons combien de chiffres supplémentaires seront dans le quotient - le même nombre qui est resté dans le dividende après avoir sélectionné le dividende incomplet. Dans notre cas, le quotient a le même nombre de chiffres que le dividende, c'est-à-dire que le chiffre le plus significatif sera des centaines :

Pour 3 diviser par 2 rappelez-vous la table de multiplication par 2 et trouvez le nombre, lorsqu'il est multiplié par 2, nous obtenons le plus grand produit, qui est inférieur à 3.

2 × 1 = 2 (2< 3)

2 × 2 = 4 (4 > 3)

2 moins 3 , UN 4 plus, ce qui veut dire qu'on prend le premier exemple et le multiplicateur 1 .

Écrivons-le 1 au quotient à la place du premier point (à la place des centaines), et écrivez le produit trouvé sous le dividende :

Trouvons maintenant la différence entre le premier dividende incomplet et le produit du quotient trouvé et du diviseur :

La valeur résultante est comparée au diviseur. 15 plus 2 , ce qui signifie que nous avons trouvé le deuxième dividende incomplet. Pour trouver le résultat de la division 15 sur 2 encore une fois, souviens-toi de la table de multiplication 2 et trouvez le meilleur produit qui est moins 15 :

2 × 7 = 14 (14< 15)

2 × 8 = 16 (16 > 15)

Le multiplicateur requis 7 , on l'écrit sous forme de quotient à la place du deuxième point (en dizaines). On trouve la différence entre le deuxième dividende incomplet et le produit du quotient et du diviseur trouvés :

On continue la division, pourquoi on trouve troisième dividende incomplet. Nous abaissons le chiffre suivant du dividende :

Nous divisons le dividende incomplet par 2 et mettons la valeur résultante dans la catégorie des unités de quotient. Vérifions l'exactitude de la division :

2 × 7 = 14

Nous écrivons le résultat de la division du troisième dividende incomplet par le diviseur dans le quotient et trouvons la différence :

Nous avons la différence égale à zéro, ce qui signifie que la division est terminée Droite.

Compliquons la tâche et donnons un autre exemple :

1020 ÷ 5

Écrivons notre exemple dans une colonne et définissons le premier quotient incomplet :

La place des milliers du dividende est 1 , comparez avec le diviseur :

1 < 5

Nous ajoutons la place des centaines au dividende incomplet et comparons :

10 > 5 – nous avons trouvé un dividende incomplet.

Nous divisons 10 sur 5 , on a 2 , écrivez le résultat dans le quotient. La différence entre le dividende incomplet et le résultat de la multiplication du diviseur et du quotient trouvé.

10 – 10 = 0

0 nous n’écrivons pas, nous omettons le chiffre suivant du dividende – le chiffre des dizaines :

On compare le deuxième dividende incomplet avec le diviseur.

2 < 5

Il faut ajouter un chiffre supplémentaire au dividende incomplet ; pour cela, nous mettons le quotient, sur le chiffre des dizaines. 0 :

20 ÷ 5 = 4

On écrit la réponse dans la catégorie des unités du quotient et on vérifie : on écrit le produit sous le deuxième dividende incomplet et on calcule la différence. On a 0 , Moyens exemple résolu correctement.

Et 2 autres règles pour diviser en colonne :

1. Si le dividende et le diviseur ont des zéros dans les chiffres de poids faible, alors avant de diviser, ils peuvent être réduits, par exemple :

Autant de zéros dans le chiffre de poids faible du dividende que nous supprimons, nous supprimons le même nombre de zéros dans les chiffres de poids faible du diviseur.

2. S'il reste des zéros dans le dividende après division, alors ils doivent être transférés au quotient :

Formulons donc la séquence d’actions lors de la division en colonne.

1. Placez le dividende à gauche et le diviseur à droite. Nous nous souvenons que nous divisons le dividende en isolant petit à petit les dividendes incomplets et en les divisant séquentiellement par le diviseur. Les chiffres du dividende incomplet sont répartis de gauche à droite, de haut en bas.
2. Si le dividende et le diviseur ont des zéros dans les chiffres inférieurs, ils peuvent alors être réduits avant la division.
3. On détermine le premier diviseur incomplet :

UN) sélectionnez le chiffre le plus élevé du dividende dans le diviseur incomplet ;

b) comparez le dividende incomplet avec le diviseur ; si le diviseur est plus grand, passez au point (V), s'il est inférieur, alors nous avons trouvé un dividende incomplet et pouvons passer au point 4 ;

V) ajoutez le chiffre suivant au dividende incomplet et passez au point (b).

1. Nous déterminons combien de chiffres il y aura dans le quotient et mettons autant de points à la place du quotient (sous le diviseur) qu'il y aura de chiffres. Un point (un chiffre) pour la totalité du premier dividende incomplet et les points (chiffres) restants sont identiques au nombre de chiffres restants dans le dividende après avoir sélectionné le dividende incomplet.
2. Nous divisons le dividende incomplet par le diviseur ; pour ce faire, nous trouvons un nombre qui, multiplié par le diviseur, donnerait un nombre égal ou inférieur au dividende incomplet.
3. Nous écrivons le nombre trouvé à la place du chiffre du quotient suivant (point), écrivons le résultat de sa multiplication par le diviseur sous le dividende incomplet et trouvons leur différence.
4. Si la différence trouvée est inférieure ou égale au dividende incomplet, alors nous avons correctement divisé le dividende incomplet par le diviseur.
5. S'il reste encore des chiffres dans le dividende, alors on continue la division, sinon on passe au point 10 .
6. Nous abaissons le chiffre suivant du dividende à la différence et obtenons le prochain dividende incomplet :

a) comparez le dividende incomplet avec le diviseur, si le diviseur est supérieur, alors passez au point (b), s'il est inférieur, alors nous avons trouvé le dividende incomplet et pouvons passer au point 4 ;

b) ajoutez le chiffre suivant du dividende au dividende incomplet et écrivez 0 à la place du chiffre suivant (point) dans le quotient ;

c) allez au point (a).

10. Si nous avons effectué une division sans reste et que la dernière différence trouvée est égale à 0 , ensuite nous a fait la division correctement.

Nous avons parlé de diviser un nombre à plusieurs chiffres par un nombre à un chiffre. Dans le cas où le diviseur est plus grand, la division s'effectue de la même manière :