Lorsque des problèmes de résolution d'un triangle rectangle étaient envisagés, j'ai promis de présenter une technique pour mémoriser les définitions du sinus et du cosinus. En l'utilisant, vous vous souviendrez toujours rapidement quel côté appartient à l'hypoténuse (adjacent ou opposé). J'ai décidé de ne pas retarder trop longtemps, matériel requis ci-dessous, veuillez lire 😉

Le fait est que j'ai observé à plusieurs reprises à quel point les élèves de la 10e à la 11e année ont du mal à se souvenir de ces définitions. Ils se souviennent très bien que la jambe fait référence à l'hypoténuse, mais laquelle- ils oublient et confus. Le prix d’une erreur, comme on le sait lors d’un examen, est un point perdu.

Les informations que je présenterai directement n'ont rien à voir avec les mathématiques. Elle est liée à pensée imaginative, et avec des méthodes de communication verbale-logique. C'est exactement comme ça que je m'en souviens, une fois pour toutesdonnées de définition. Si vous les oubliez, vous pourrez toujours vous en souvenir facilement en utilisant les techniques présentées.

Permettez-moi de vous rappeler les définitions du sinus et du cosinus dans un triangle rectangle :

Cosinus angle aigu dans un triangle rectangle, c'est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :

Sinus L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :

Alors, quelles associations avez-vous avec le mot cosinus ?

Probablement chacun a le sien 😉Rappelez-vous le lien:

Ainsi, l'expression apparaîtra immédiatement dans votre mémoire -

«… rapport de la jambe ADJACENTE à l'hypoténuse».

Le problème de la détermination du cosinus a été résolu.

Si vous avez besoin de vous rappeler la définition du sinus dans un triangle rectangle, puis en vous souvenant de la définition du cosinus, vous pouvez facilement établir que le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse. Après tout, il n'y a que deux branches ; si la branche adjacente est « occupée » par le cosinus, alors seule la branche opposée reste avec le sinus.

Qu'en est-il de la tangente et de la cotangente ? La confusion est la même. Les étudiants savent qu'il s'agit d'une relation de jambes, mais le problème est de se rappeler laquelle fait référence à laquelle - soit l'opposé de l'adjacent, soit vice versa.

Définitions :

Tangente L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent :

Cotangente L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé :

Comment se souvenir ? Il y a deux manières. L’un utilise également une connexion verbale-logique, l’autre une connexion mathématique.

MÉTHODE MATHÉMATIQUE

Il existe une telle définition - la tangente d'un angle aigu est le rapport du sinus de l'angle à son cosinus :

*Après avoir mémorisé la formule, vous pouvez toujours déterminer que la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent.

De même.La cotangente d'un angle aigu est le rapport du cosinus de l'angle à son sinus :

Donc! En vous souvenant de ces formules, vous pouvez toujours déterminer que :

- la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent

— la cotangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé.

MÉTHODE LOGIQUE PAR MOTS

À propos de la tangente. Rappelez-vous le lien:

Autrement dit, si vous avez besoin de vous souvenir de la définition de la tangente, en utilisant cette connexion logique, vous pouvez facilement vous rappeler de quoi il s'agit.

"... le rapport du côté opposé au côté adjacent"

Si nous parlons de cotangente, alors en vous rappelant la définition de la tangente, vous pouvez facilement exprimer la définition de la cotangente -

"... le rapport du côté adjacent au côté opposé"

Il existe une astuce intéressante pour mémoriser la tangente et la cotangente sur le site " Tandem mathématique " , regarder.

MÉTHODE UNIVERSELLE

Vous pouvez simplement le mémoriser.Mais comme le montre la pratique, grâce aux connexions verbales-logiques, une personne se souvient longtemps des informations, et pas seulement mathématiques.

J'espère que le matériel vous a été utile.

Cordialement, Alexandre Krutitskikh

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

Comprenons des concepts simples : sinus et cosinus et calcul cosinus au carré et sinus au carré.

Le sinus et le cosinus sont étudiés en trigonométrie (l'étude des triangles rectangles).

Par conséquent, rappelons d’abord les concepts de base d’un triangle rectangle :

Hypoténuse- le côté toujours opposé à l'angle droit (angle de 90 degrés). L'hypoténuse est le côté le plus long d'un triangle rectangle.

Les deux côtés restants d’un triangle rectangle sont appelés jambes.

N’oubliez pas non plus que la somme de trois angles dans un triangle fait toujours 180°.

Passons maintenant à cosinus et sinus de l'angle alpha (∠α)(cela peut être appelé n'importe quel angle indirect dans un triangle ou utilisé comme désignation x - "x", ce qui ne change rien à l'essentiel).

Sinus de l'angle alpha (sin ∠α)- c'est une attitude opposé jambe (le côté opposé à l’angle correspondant) à l’hypoténuse. Si vous regardez la figure, alors sin ∠ABC = AC / BC

Cosinus de l'angle alpha (cos ∠α)- attitude adjacentà l'angle de la jambe par rapport à l'hypoténuse. En regardant à nouveau la figure ci-dessus, cos ∠ABC = AB / BC

Et pour rappel : le cosinus et le sinus ne seront jamais supérieurs à un, puisque tout roulis est plus court que l'hypoténuse (et l'hypoténuse est le côté le plus long de tout triangle, car le côté le plus long est situé à l'opposé du plus grand angle du triangle) .

Cosinus au carré, sinus au carré

Passons maintenant aux principaux formules trigonométriques: Calculez le cosinus au carré et le sinus au carré.

Pour les calculer, il faut retenir l’identité trigonométrique de base :

péché 2 α + cos 2 α = 1(le sinus carré plus le cosinus carré d'un angle sont toujours égaux à un).

Depuis identité trigonométrique nous tirons des conclusions sur le sinus :

péché 2 α = 1 - cos 2 α

sinus carré alphaégal à un moins le cosinus double angle alpha et divisez le tout par deux.

péché 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​De l'identité trigonométrique, nous tirons des conclusions sur le cosinus :

cos 2 α = 1 - péché 2 α

ou une version plus complexe de la formule : cosinus carré alpha est égal à un plus le cosinus du double angle alpha et divise également le tout par deux.

cos 2α = (1 + cos(2α)) / 2

Ces deux-là sont plus formules complexes Le sinus au carré et le cosinus au carré sont également appelés « réduction de la puissance des carrés ». fonctions trigonométriques" Ceux. il y avait un deuxième degré, ils l'ont abaissé au premier et les calculs sont devenus plus pratiques.

Les notions de sinus (), cosinus (), tangente (), cotangente () sont inextricablement liées à la notion d'angle. Afin de bien comprendre ces concepts, à première vue complexes (qui provoquent un état d'horreur chez de nombreux écoliers), et pour s'assurer que « le diable n'est pas aussi terrible qu'on le peint », commençons par le tout début et comprendre le concept d’angle.

Notion d'angle : radian, degré

Regardons la photo. Le vecteur a « tourné » par rapport au point d’un certain montant. Donc la mesure de cette rotation par rapport à la position initiale sera coin.

Que devez-vous savoir d’autre sur le concept d’angle ? Et bien sûr, les unités d'angle !

L'angle, tant en géométrie qu'en trigonométrie, peut être mesuré en degrés et en radians.

Un angle de (un degré) est appelé angle central dans un cercle, basé sur un arc de cercle égal à une partie du cercle. Ainsi, le cercle entier est constitué de « morceaux » d’arcs de cercle, ou l’angle décrit par le cercle est égal.

Autrement dit, la figure ci-dessus montre un angle égal à, c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle de la taille de la circonférence.

Un angle en radians est l'angle au centre d'un cercle sous-tendu par un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle. Eh bien, avez-vous compris ? Sinon, comprenons-le à partir du dessin.

Ainsi, la figure montre un angle égal à un radian, c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle (la longueur est égale à la longueur ou au rayon égal à la longueur arcs). Ainsi, la longueur de l'arc est calculée par la formule :

Où est l’angle central en radians.

Eh bien, sachant cela, pouvez-vous répondre combien de radians sont contenus dans l’angle décrit par le cercle ? Oui, pour cela, vous devez vous rappeler la formule de la circonférence. Elle est là:

Eh bien, corrélons maintenant ces deux formules et constatons que l’angle décrit par le cercle est égal. Autrement dit, en corrélant la valeur en degrés et en radians, nous obtenons cela. Respectivement, . Comme vous pouvez le constater, contrairement à « degrés », le mot « radian » est omis, car l'unité de mesure ressort généralement clairement du contexte.

Combien y a-t-il de radians ? C'est exact!

J'ai compris? Alors allez-y et corrigez-le :

Vous rencontrez des difficultés ? Alors regarde réponses:

Triangle rectangle : sinus, cosinus, tangente, cotangente d'un angle

Nous avons donc compris le concept d'angle. Mais qu’est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ? Voyons cela. Pour cela, cela nous aidera triangle rectangle.

Comment s’appellent les côtés d’un triangle rectangle ? C'est vrai, l'hypoténuse et les jambes : l'hypoténuse est le côté qui se trouve à l'opposé de l'angle droit (dans notre exemple c'est le côté) ; les jambes sont les deux côtés restants et (ceux adjacents à angle droit), et, si l'on considère les jambes par rapport à l'angle, alors la jambe est la jambe adjacente et la jambe est l'opposée. Alors maintenant, répondons à la question : que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ?

Sinus d'angle- c'est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à l'hypoténuse.

Dans notre triangle.

Cosinus de l'angle- c'est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l'hypoténuse.

Dans notre triangle.

Tangente de l'angle- c'est le rapport du côté opposé (éloigné) au côté adjacent (proche).

Dans notre triangle.

Cotangente d'angle- c'est le rapport entre la jambe adjacente (proche) et la jambe opposée (éloignée).

Dans notre triangle.

Ces définitions sont nécessaires souviens-toi! Pour qu'il soit plus facile de se rappeler quelle jambe diviser en quoi, vous devez clairement comprendre que dans tangente Et cotangente seules les jambes sont assises et l'hypoténuse n'apparaît que dans sinus Et cosinus. Et puis vous pouvez créer une chaîne d’associations. Par exemple, celui-ci :

Cosinus → toucher → toucher → adjacent ;

Cotangente → toucher → toucher → adjacent.

Tout d'abord, vous devez vous rappeler que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, comme les rapports des côtés d'un triangle, ne dépendent pas des longueurs de ces côtés (au même angle). Ne crois pas? Assurez-vous ensuite en regardant la photo :

Prenons par exemple le cosinus d’un angle. Par définition, à partir d'un triangle : , mais on peut calculer le cosinus d'un angle à partir d'un triangle : . Vous voyez, les longueurs des côtés sont différentes, mais la valeur du cosinus d'un angle est la même. Ainsi, les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente dépendent uniquement de la grandeur de l'angle.

Si vous comprenez les définitions, alors allez-y et consolidez-les !

Pour le triangle représenté dans la figure ci-dessous, nous trouvons.

Eh bien, tu l'as eu ? Alors essayez-le vous-même : calculez la même chose pour l’angle.

Cercle unitaire (trigonométrique)

Comprenant les notions de degré et de radian, nous avons considéré un cercle de rayon égal à. Un tel cercle s'appelle célibataire. Ce sera très utile lors de l’étude de la trigonométrie. Par conséquent, regardons-le un peu plus en détail.

Comme vous pouvez le voir, ce cercle est construit dans le système de coordonnées cartésiennes. Le rayon du cercle est égal à un, tandis que le centre du cercle se trouve à l'origine des coordonnées, la position initiale du rayon vecteur est fixée le long de la direction positive de l'axe (dans notre exemple, il s'agit du rayon).

Chaque point du cercle correspond à deux nombres : la coordonnée de l'axe et la coordonnée de l'axe. Quels sont ces numéros de coordonnées ? Et de manière générale, qu’ont-ils à voir avec le sujet abordé ? Pour ce faire, nous devons nous souvenir du triangle rectangle considéré. Dans la figure ci-dessus, vous pouvez voir deux triangles rectangles entiers. Considérons un triangle. Il est rectangulaire car perpendiculaire à l’axe.

A quoi est égal le triangle ? C'est exact. De plus, nous savons qu’il s’agit du rayon du cercle unité, ce qui signifie . Remplaçons cette valeur dans notre formule du cosinus. Voici ce qui se passe :

A quoi est égal le triangle ? Oui bien sur, ! Remplacez la valeur du rayon dans cette formule et obtenez :

Alors, pouvez-vous dire quelles sont les coordonnées du point, appartenant à un cercle? Eh bien, pas question ? Et si vous vous rendiez compte de cela et que vous n’étiez que des chiffres ? A quelle coordonnée correspond-il ? Et bien sûr, les coordonnées ! Et à quelle coordonnée correspond-elle ? C'est vrai, les coordonnées ! Donc point final.

À quoi valent donc et sont égaux ? C'est vrai, utilisons les définitions correspondantes de tangente et de cotangente et obtenons cela, a.

Et si l'angle est plus grand ? Par exemple, comme sur cette photo :

Qu'est-ce qui a changé dans cet exemple ? Voyons cela. Pour ce faire, revenons à un triangle rectangle. Considérons un triangle rectangle : angle (comme adjacent à un angle). Quelles sont les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour un angle ? C'est vrai, nous adhérons aux définitions correspondantes des fonctions trigonométriques :

Eh bien, comme vous pouvez le constater, la valeur du sinus de l'angle correspond toujours à la coordonnée ; la valeur du cosinus de l'angle - la coordonnée ; et les valeurs de tangente et de cotangente aux rapports correspondants. Ainsi, ces relations s’appliquent à toute rotation du rayon vecteur.

Il a déjà été mentionné que la position initiale du rayon vecteur se situe dans la direction positive de l’axe. Jusqu’à présent, nous avons fait pivoter ce vecteur dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, mais que se passe-t-il si nous le faisons pivoter dans le sens des aiguilles d’une montre ? Rien d'extraordinaire, vous obtiendrez aussi un angle d'une certaine valeur, mais seulement il sera négatif. Ainsi, en faisant tourner le rayon vecteur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous obtenons angles positifs, et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre - négatif.

Ainsi, nous savons qu’une révolution entière du rayon vecteur autour d’un cercle est ou. Est-il possible de faire pivoter le rayon vecteur vers ou vers ? Bien sûr que tu peux! Dans le premier cas, le rayon vecteur fera donc un tour complet et s'arrêtera en position ou.

Dans le deuxième cas, c'est-à-dire que le rayon vecteur fera trois tours complets et s'arrêtera en position ou.

Ainsi, à partir des exemples ci-dessus, nous pouvons conclure que les angles qui diffèrent par ou (où est un nombre entier) correspondent à la même position du rayon vecteur.

La figure ci-dessous montre un angle. La même image correspond au coin, etc. Cette liste peut être poursuivie indéfiniment. Tous ces angles peuvent être écrits par la formule générale ou (où est un nombre entier)

Maintenant, connaissant les définitions des fonctions trigonométriques de base et en utilisant le cercle unité, essayez de répondre quelles sont les valeurs :

Voici un cercle unitaire pour vous aider :

Vous rencontrez des difficultés ? Alors découvrons-le. Nous savons donc que :

A partir de là, on détermine les coordonnées des points correspondant à certaines mesures d'angle. Bon, commençons dans l'ordre : l'angle à correspond à un point avec des coordonnées, donc :

N'existe pas;

De plus, en adhérant à la même logique, nous découvrons que les coins correspondent respectivement à des points avec des coordonnées. Sachant cela, il est facile de déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques aux points correspondants. Essayez-le vous-même d'abord, puis vérifiez les réponses.

Réponses:

N'existe pas

N'existe pas

N'existe pas

N'existe pas

Ainsi, nous pouvons faire le tableau suivant :

Il n’est pas nécessaire de mémoriser toutes ces valeurs. Il suffit de rappeler la correspondance entre les coordonnées des points sur le cercle unité et les valeurs des fonctions trigonométriques :

Mais les valeurs des fonctions trigonométriques des angles dans et, données dans le tableau ci-dessous, il faut se souvenir:

N'ayez pas peur, nous allons maintenant vous montrer un exemple assez simple pour retenir les valeurs correspondantes:

Pour utiliser cette méthode, il est essentiel de mémoriser les valeurs du sinus pour les trois mesures d'angle (), ainsi que la valeur de la tangente de l'angle. Connaissant ces valeurs, il est assez simple de restituer l'intégralité du tableau - les valeurs du cosinus sont transférées conformément aux flèches, soit :

Sachant cela, vous pouvez restaurer les valeurs de. Le numérateur " " correspondra et le dénominateur " " correspondra. Les valeurs cotangentes sont transférées conformément aux flèches indiquées sur la figure. Si vous comprenez cela et que vous vous souvenez du diagramme avec les flèches, il suffira alors de mémoriser toutes les valeurs du tableau.

Coordonnées d'un point sur un cercle

Est-il possible de trouver un point (ses coordonnées) sur un cercle, connaître les coordonnées du centre du cercle, son rayon et son angle de rotation?

Bien sûr que tu peux! Sortons-le formule générale trouver les coordonnées d'un point.

Par exemple, voici un cercle devant nous :

On nous dit que le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut trouver les coordonnées d'un point obtenues en faisant pivoter le point de degrés.

Comme le montre la figure, la coordonnée du point correspond à la longueur du segment. La longueur du segment correspond à la coordonnée du centre du cercle, c'est-à-dire qu'elle est égale. La longueur d'un segment peut être exprimée en utilisant la définition du cosinus :

Ensuite, nous avons cela pour la coordonnée du point.

En utilisant la même logique, nous trouvons la valeur de coordonnée y du point. Ainsi,

Alors, dans vue générale les coordonnées des points sont déterminées par les formules :

Coordonnées du centre du cercle,

Rayon du cercle,

L'angle de rotation du rayon vectoriel.

Comme vous pouvez le constater, pour le cercle unité que nous considérons, ces formules sont considérablement réduites, puisque les coordonnées du centre sont égales à zéro et le rayon est égal à un :

Eh bien, essayons ces formules en nous entraînant à trouver des points sur un cercle ?

1. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.

2. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.

3. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.

4. Le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut retrouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.

5. Le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut retrouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.

Vous avez du mal à trouver les coordonnées d'un point sur un cercle ?

Résolvez ces cinq exemples (ou apprenez à les résoudre) et vous apprendrez à les trouver !

1.

Vous pouvez le remarquer. Mais on sait ce qui correspond à une révolution complète du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage. Sachant cela, on trouve les coordonnées recherchées du point :

2. Le cercle unité est centré en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :

Vous pouvez le remarquer. On sait ce qui correspond à deux tours complets du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage. Sachant cela, on trouve les coordonnées recherchées du point :

Le sinus et le cosinus sont des valeurs de tableau. Nous rappelons leurs significations et obtenons :

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

3. Le cercle unité est centré en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :

Vous pouvez le remarquer. Représentons l'exemple en question dans la figure :

Le rayon fait des angles égaux à et avec l'axe. Sachant que les valeurs du tableau du cosinus et du sinus sont égales, et ayant déterminé que le cosinus prend ici une valeur négative et que le sinus prend une valeur positive, nous avons :

De tels exemples sont discutés plus en détail lors de l'étude des formules de réduction des fonctions trigonométriques dans le sujet.

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

4.

Angle de rotation du rayon du vecteur (par condition)

Pour déterminer les signes correspondants du sinus et du cosinus, nous construisons un cercle et un angle unitaires :

Comme vous pouvez le voir, la valeur est positive et la valeur est négative. Connaissant les valeurs tabulaires des fonctions trigonométriques correspondantes, on obtient que :

Remplaçons les valeurs obtenues dans notre formule et trouvons les coordonnées :

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

5. Pour résoudre ce problème, nous utilisons des formules sous forme générale, où

Coordonnées du centre du cercle (dans notre exemple,

Rayon du cercle (par condition)

Angle de rotation du rayon du vecteur (par condition).

Remplacez toutes les valeurs dans la formule et obtenez :

et - les valeurs du tableau. Rappelons-les et substituons-les dans la formule :

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

RÉSUMÉ ET FORMULES DE BASE

Le sinus d'un angle est le rapport entre la jambe opposée (lointaine) et l'hypoténuse.

Le cosinus d'un angle est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l'hypoténuse.

La tangente d'un angle est le rapport entre le côté opposé (éloigné) et le côté adjacent (proche).

La cotangente d'un angle est le rapport entre le côté adjacent (proche) et le côté opposé (éloigné).

Identités trigonométriques- ce sont des égalités qui établissent une connexion entre sinus, cosinus, tangente et cotangente d'un angle, ce qui permet de retrouver n'importe laquelle de ces fonctions, à condition qu'une autre soit connue.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Cette identité dit que la somme du carré du sinus d'un angle et du carré du cosinus d'un angle est égale à un, ce qui permet en pratique de calculer le sinus d'un angle lorsque son cosinus est connu et vice versa. .

Lors de la conversion d'expressions trigonométriques, cette identité est très souvent utilisée, ce qui permet de remplacer la somme des carrés du cosinus et du sinus d'un angle par un et également d'effectuer l'opération de remplacement dans l'ordre inverse.

Trouver la tangente et la cotangente en utilisant le sinus et le cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Ces identités sont formées à partir des définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente. Après tout, si vous le regardez, alors par définition l'ordonnée y est un sinus et l'abscisse x est un cosinus. Alors la tangente sera égal au rapport \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), et le rapport \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- sera une cotangente.

Ajoutons que ce n'est que pour les angles \alpha pour lesquels les fonctions trigonométriques qu'ils contiennent ont un sens que les identités seront valables, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Par exemple: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) est valable pour les angles \alpha différents de \frac(\pi)(2)+\piz, UN ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pour un angle \alpha autre que \pi z, z est un nombre entier.

Relation entre tangente et cotangente

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Cette identité n'est valable que pour les angles \alpha différents de \frac(\pi)(2) z. Sinon, ni la cotangente ni la tangente ne seront déterminées.

Sur la base des points ci-dessus, nous obtenons que tg \alpha = \frac(y)(x), UN ctg \alpha=\frac(x)(y). Il s'ensuit que tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Ainsi, la tangente et la cotangente du même angle auquel elles ont un sens sont des nombres mutuellement inverses.

Relations entre tangente et cosinus, cotangente et sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- la somme du carré de la tangente de l'angle \alpha et 1 est égale à l'inverse du carré du cosinus de cet angle. Cette identité est valable pour tous les \alpha autres que \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- la somme de 1 et du carré de la cotangente de l'angle \alpha est égale à l'inverse du carré du sinus angle donné. Cette identité est valable pour tout \alpha différent de \pi z.

Exemples de solutions à des problèmes utilisant des identités trigonométriques

Exemple 1

Trouver \sin \alpha et tg \alpha si \cos \alpha=-\frac12 Et \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Afficher la solution

Solution

Les fonctions \sin \alpha et \cos \alpha sont liées par la formule \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Substituer dans cette formule \cos \alpha = -\frac12, on a:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Cette équation a 2 solutions :

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Par condition \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Au deuxième trimestre, le sinus est positif, donc \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Afin de trouver tan \alpha, on utilise la formule tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Exemple 2

Trouver \cos \alpha et ctg \alpha si et \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Afficher la solution

Solution

Substitution dans la formule \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 numéro donné \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), on a \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Cette équation a deux solutions \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Par condition \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Au deuxième trimestre, le cosinus est négatif, donc \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Afin de trouver ctg \alpha , on utilise la formule ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Nous connaissons les valeurs correspondantes.

ctg \alpha = -\frac12 : \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques

Note. Ce tableau de valeurs de fonctions trigonométriques utilise le signe √ pour indiquer racine carrée. Pour indiquer une fraction, utilisez le symbole "/".

voir également matériel utile :

Pour déterminer la valeur d'une fonction trigonométrique, trouvez-le à l'intersection de la ligne indiquant la fonction trigonométrique. Par exemple, sinus 30 degrés - nous recherchons la colonne avec le titre sin (sinus) et trouvons l'intersection de cette colonne du tableau avec la ligne "30 degrés", à leur intersection nous lisons le résultat - une moitié. De même on retrouve cosinus 60 degrés, sinus 60 degrés (encore une fois, à l'intersection de la colonne sin (sine) et de la ligne 60 degrés on trouve valeur du péché 60 = √3/2), etc. Les valeurs des sinus, cosinus et tangentes d'autres angles « populaires » se trouvent de la même manière.

Sinus pi, cosinus pi, tangente pi et autres angles en radians

Le tableau ci-dessous des cosinus, sinus et tangentes convient également pour trouver la valeur des fonctions trigonométriques dont l'argument est donné en radians. Pour ce faire, utilisez la deuxième colonne de valeurs d'angle. Grâce à cela, vous pouvez convertir la valeur des angles populaires de degrés en radians. Par exemple, trouvons l'angle de 60 degrés sur la première ligne et lisons sa valeur en radians en dessous. 60 degrés équivaut à π/3 radians.

Le nombre pi exprime sans ambiguïté la dépendance de la circonférence par rapport à la mesure en degré de l'angle. Ainsi, pi radians est égal à 180 degrés.

Tout nombre exprimé en pi (radians) peut être facilement converti en degrés en remplaçant pi (π) par 180..

Exemples:
1. Sinus pi.
péché π = péché 180 = 0
ainsi, le sinus de pi est le même que le sinus de 180 degrés et il est égal à zéro.

2. Cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
ainsi, le cosinus de pi est le même que le cosinus de 180 degrés et il est égal à moins un.

3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
ainsi, la tangente pi est la même que la tangente 180 degrés et elle est égale à zéro.

Tableau des valeurs sinus, cosinus et tangentes pour les angles 0 - 360 degrés (valeurs communes)

Si dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques un tiret est indiqué à la place de la valeur de la fonction (tangente (tg) 90 degrés, cotangente (ctg) 180 degrés), alors pour une valeur donnée du degré mesure de l'angle la fonction n'a pas de valeur spécifique. S'il n'y a pas de tiret, la cellule est vide, ce qui signifie que nous n'y sommes pas encore entrés Valeur souhaitée. Nous sommes intéressés par les requêtes que les utilisateurs nous contactent et complètent le tableau avec de nouvelles valeurs, malgré le fait que les données actuelles sur les valeurs des cosinus, des sinus et des tangentes des valeurs d'angle les plus courantes sont tout à fait suffisantes pour résoudre la plupart problèmes.

Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques sin, cos, tg pour les angles les plus courants
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 degrés
(valeurs numériques « selon les tables Bradis »)