Explication arithmétique de la racine carrée. Qu'est-ce que la racine carrée

Explication arithmétique de la racine carrée. Qu'est-ce que la racine carrée
21.09.2019

Fait 1.
\(\bullet\) Prenons quelques non un nombre négatif\(a\) (c'est-à-dire \(a\geqslant 0\) ). Alors (arithmétique) racine carréeà partir du nombre \(a\) est appelé un tel nombre non négatif \(b\) , une fois au carré, nous obtenons le nombre \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(identique à )\quad a=b^2\] De la définition il résulte que \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ces restrictions sont une condition importante existence racine carrée et il faut s'en souvenir !
N'oubliez pas que tout nombre mis au carré donne un résultat non négatif. Autrement dit, \(100^2=10000\geqslant 0\) et \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) À quoi est égal \(\sqrt(25)\) ? Nous savons que \(5^2=25\) et \((-5)^2=25\) . Puisque par définition nous devons trouver un nombre non négatif, alors \(-5\) ne convient pas, donc \(\sqrt(25)=5\) (puisque \(25=5^2\) ).
Trouver la valeur de \(\sqrt a\) s'appelle prendre la racine carrée du nombre \(a\) , et le nombre \(a\) s'appelle l'expression radicale.
\(\bullet\) Basé sur la définition, l'expression \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), etc. cela n'a pas de sens.

Fait 2.
Pour des calculs rapides, il sera utile d'apprendre le tableau des carrés nombres naturels de \(1\) à \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fait 3.
Quelles opérations peut-on faire avec des racines carrées ?
\(\balle\) Somme ou différence racines carrées NON ÉGAL à la racine carrée de la somme ou de la différence, c'est-à-dire \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Ainsi, si vous devez calculer, par exemple, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , vous devez d'abord trouver les valeurs de \(\sqrt(25)\) et \(\ sqrt(49)\ ) puis pliez-les. Ainsi, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Si les valeurs \(\sqrt a\) ou \(\sqrt b\) ne peuvent pas être trouvées lors de l'ajout de \(\sqrt a+\sqrt b\), alors une telle expression n'est pas transformée davantage et reste telle quelle. Par exemple, dans la somme \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) on peut trouver \(\sqrt(49)\) est \(7\) , mais \(\sqrt 2\) ne peut pas être transformé en de toute façon, c'est pourquoi \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Malheureusement, cette expression ne peut pas être simplifiée davantage\(\bullet\) Le produit/quotient des racines carrées est égal à la racine carrée du produit/quotient, soit \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (à condition que les deux côtés de l'égalité aient un sens)
Exemple: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Grâce à ces propriétés, il est pratique de trouver les racines carrées de grands nombres en les factorisant.
Regardons un exemple. Trouvons \(\sqrt(44100)\) . Puisque \(44100:100=441\) , alors \(44100=100\cdot 441\) . Selon le critère de divisibilité, le nombre \(441\) est divisible par \(9\) (puisque la somme de ses chiffres est 9 et est divisible par 9), donc \(441:9=49\), c'est-à-dire \(441=9\ cdot 49\) .
Ainsi nous avons obtenu : \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Regardons un autre exemple : \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Montrons comment saisir des nombres sous le signe racine carrée en utilisant l'exemple de l'expression \(5\sqrt2\) (notation courte pour l'expression \(5\cdot \sqrt2\)). Puisque \(5=\sqrt(25)\) , alors \ Notez également que, par exemple,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Pourquoi donc? Expliquons en utilisant l'exemple 1). Comme vous l'avez déjà compris, nous ne pouvons pas transformer d'une manière ou d'une autre le nombre \(\sqrt2\). Imaginons que \(\sqrt2\) soit un nombre \(a\) . En conséquence, l'expression \(\sqrt2+3\sqrt2\) n'est rien de plus que \(a+3a\) (un nombre \(a\) plus trois autres nombres identiques \(a\)). Et nous savons que cela est égal à quatre de ces nombres \(a\) , c'est-à-dire \(4\sqrt2\) .

Fait 4.
\(\bullet\) On dit souvent « vous ne pouvez pas extraire la racine » lorsque vous ne pouvez pas vous débarrasser du signe \(\sqrt () \ \) de la racine (radical) lors de la recherche de la valeur d'un nombre. . Par exemple, vous pouvez prendre la racine du nombre \(16\) car \(16=4^2\) , donc \(\sqrt(16)=4\) . Mais il est impossible d'extraire la racine du nombre \(3\), c'est-à-dire de trouver \(\sqrt3\), car il n'y a pas de nombre dont le carré donnera \(3\) .
De tels nombres (ou expressions avec de tels nombres) sont irrationnels. Par exemple, les chiffres \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) et ainsi de suite. sont irrationnels.
Sont également irrationnels les nombres \(\pi\) (le nombre « pi », approximativement égal à \(3,14\)), \(e\) (ce nombre est appelé nombre d'Euler, il est approximativement égal à \(2,7 \)) etc.
\(\bullet\) Veuillez noter que tout nombre sera soit rationnel, soit irrationnel. Et ensemble, tous les nombres rationnels et irrationnels forment un ensemble appelé un ensemble de nombres réels. Cet ensemble est désigné par la lettre \(\mathbb(R)\) .
Cela signifie que tous les numéros affichés ce moment nous savons qu'on les appelle des nombres réels.

Fait 5.
\(\bullet\) Le module d'un nombre réel \(a\) est un nombre non négatif \(|a|\) égal à la distance du point \(a\) à \(0\) sur le vraie ligne. Par exemple, \(|3|\) et \(|-3|\) sont égaux à 3, puisque les distances des points \(3\) et \(-3\) à \(0\) sont les identique et égal à \(3 \) .
\(\bullet\) Si \(a\) est un nombre non négatif, alors \(|a|=a\) .
Exemple : \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Si \(a\) est un nombre négatif, alors \(|a|=-a\) .
Exemple : \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ils disent que pour les nombres négatifs, le module « mange » le moins, tandis que les nombres positifs, ainsi que le nombre \(0\), restent inchangés par le module.
MAIS Cette règle s'applique uniquement aux nombres. Si sous votre signe de module se trouve un \(x\) inconnu (ou une autre inconnue), par exemple \(|x|\) , dont nous ne savons pas s'il est positif, nul ou négatif, alors débarrassez-vous du module nous ne pouvons pas. Dans ce cas, cette expression reste la même : \(|x|\) . \(\bullet\) Les formules suivantes sont valables : \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(fourni) a\geqslant 0\] Très souvent, l'erreur suivante est commise : on dit que \(\sqrt(a^2)\) et \((\sqrt a)^2\) sont une seule et même chose. Cela n'est vrai que si \(a\) est un nombre positif ou zéro. Mais si \(a\) est un nombre négatif, alors c'est faux. Il suffit de considérer cet exemple. Prenons à la place de \(a\) le nombre \(-1\) . Alors \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , mais l'expression \((\sqrt (-1))^2\) n'existe pas du tout (après tout, il est impossible d'utiliser le signe racine (mettez des nombres négatifs !).
Nous attirons donc votre attention sur le fait que \(\sqrt(a^2)\) n'est pas égal à \((\sqrt a)^2\) ! Exemple 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), parce que \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Puisque \(\sqrt(a^2)=|a|\) , alors \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (l'expression \(2n\) désigne un nombre pair)
Autrement dit, lors de l'extraction de la racine d'un nombre qui est dans une certaine mesure, ce degré est divisé par deux.
Exemple:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (notez que si le module n'est pas fourni, il s'avère que la racine du nombre est égale à \(-25\ ) ; mais rappelons-nous que par définition d'une racine cela ne peut pas arriver : lors de l'extraction d'une racine, nous devrions toujours obtenir un nombre positif ou zéro)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (puisque tout nombre à une puissance paire est non négatif)

Fait 6.
Comment comparer deux racines carrées ?
\(\bullet\) Pour les racines carrées, c'est vrai : si \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExemple:
1) comparez \(\sqrt(50)\) et \(6\sqrt2\) . Tout d’abord, transformons la deuxième expression en \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Ainsi, puisque \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Entre quels entiers se trouve \(\sqrt(50)\) ?
Puisque \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) et \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Comparons \(\sqrt 2-1\) et \(0.5\) . Supposons que \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((ajouter un des deux côtés))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((carrer les deux côtés))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Nous voyons que nous avons obtenu une inégalité incorrecte. Par conséquent, notre hypothèse était incorrecte et \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Notez que l’ajout d’un certain nombre aux deux côtés de l’inégalité n’affecte pas son signe. Multiplier/diviser les deux côtés d'une inégalité par un nombre positif n'affecte pas non plus son signe, mais multiplier/diviser par un nombre négatif inverse le signe de l'inégalité !
Vous pouvez mettre au carré les deux côtés d’une équation/inégalité SEULEMENT SI les deux côtés ne sont pas négatifs. Par exemple, dans l'inégalité de l'exemple précédent, vous pouvez mettre au carré les deux côtés, dans l'inégalité \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Il ne faut pas oublier que \[\begin(aligned) &\sqrt 2\environ 1.4\\ &\sqrt 3\environ 1.7 \end(aligned)\] Connaître la signification approximative de ces nombres vous aidera lors de la comparaison des nombres ! \(\bullet\) Afin d'extraire la racine (si elle peut être extraite) d'un grand nombre qui n'est pas dans la table des carrés, vous devez d'abord déterminer entre quelles « centaines » elle se situe, puis – entre lesquelles « dizaines », puis déterminez le dernier chiffre de ce nombre. Montrons comment cela fonctionne avec un exemple.
Prenons \(\sqrt(28224)\) . Nous savons que \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), etc. Notez que \(28224\) est compris entre \(10\,000\) et \(40\,000\) . Par conséquent, \(\sqrt(28224)\) est compris entre \(100\) et \(200\) .
Déterminons maintenant entre quelles « dizaines » notre nombre se situe (c’est-à-dire, par exemple, entre \(120\) et \(130\)). Également à partir de la table des carrés, nous savons que \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., alors \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Nous voyons donc que \(28224\) est compris entre \(160^2\) et \(170^2\) . Par conséquent, le nombre \(\sqrt(28224)\) est compris entre \(160\) et \(170\) .
Essayons de déterminer le dernier chiffre. Rappelons-nous quels nombres à un chiffre, une fois mis au carré, donnent \(4\) à la fin ? Ce sont \(2^2\) et \(8^2\) . Par conséquent, \(\sqrt(28224)\) se terminera par 2 ou 8. Vérifions cela. Trouvons \(162^2\) et \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Par conséquent, \(\sqrt(28224)=168\) . Voilà !

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Avant les calculatrices, les étudiants et les enseignants calculaient les racines carrées à la main. Il existe plusieurs façons de calculer manuellement la racine carrée d’un nombre. Certains d’entre eux n’offrent qu’une solution approximative, d’autres donnent une réponse exacte.

Pas

Factorisation première

    Factorisez le nombre radical en facteurs qui sont des nombres carrés. Selon le nombre radical, vous obtiendrez une réponse approximative ou exacte. Les nombres carrés sont des nombres dont la racine carrée entière peut être extraite. Les facteurs sont des nombres qui, une fois multipliés, donnent le nombre d'origine. Par exemple, les facteurs du nombre 8 sont 2 et 4, puisque 2 x 4 = 8, les nombres 25, 36, 49 sont des nombres carrés, puisque √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Facteurs carrés sont des facteurs, qui sont des nombres carrés. Tout d’abord, essayez de factoriser le nombre radical en facteurs carrés.

    • Par exemple, calculez la racine carrée de 400 (à la main). Essayez d’abord de factoriser 400 en facteurs carrés. 400 est un multiple de 100, c'est-à-dire divisible par 25 - c'est un nombre carré. Diviser 400 par 25 vous donne 16. Le nombre 16 est aussi un nombre carré. Ainsi, 400 peut être pris en compte dans les facteurs carrés de 25 et 16, soit 25 x 16 = 400.
    • Cela peut s'écrire comme suit : √400 = √(25 x 16).

  1. La racine carrée du produit de certains termes est égale au produit des racines carrées de chaque terme, c'est-à-dire √(a x b) = √a x √b. Utilisez cette règle pour prendre la racine carrée de chaque facteur carré et multiplier les résultats pour trouver la réponse.

    • Dans notre exemple, prenons la racine de 25 et 16.
      • √(25 x 16)
      • √25 x √16
      • 5x4 = 20

  2. Si le nombre radical ne prend pas en compte deux facteurs carrés (et cela se produit dans la plupart des cas), vous ne pourrez pas trouver la réponse exacte sous la forme d'un nombre entier. Mais vous pouvez simplifier le problème en décomposant le nombre radical en un facteur carré et un facteur ordinaire (un nombre à partir duquel la racine carrée entière ne peut pas être extraite). Ensuite, vous prendrez la racine carrée du facteur carré et la racine du facteur commun.

    • Par exemple, calculez la racine carrée du nombre 147. Le nombre 147 ne peut pas être factorisé en deux facteurs carrés, mais il peut être factorisé en facteurs suivants : 49 et 3. Résolvez le problème comme suit :
      • = √(49 x 3)
      • = √49 × √3
      • = 7√3

  3. Si nécessaire, estimez la valeur de la racine. Vous pouvez maintenant estimer la valeur de la racine (trouver une valeur approximative) en la comparant avec les valeurs des racines des nombres carrés les plus proches (des deux côtés de la droite numérique) du nombre radical. Vous recevrez la valeur racine sous forme de fraction décimale, qui doit être multipliée par le nombre derrière le signe racine.

    • Revenons à notre exemple. Le nombre radical est 3. Les nombres carrés les plus proches seront les nombres 1 (√1 = 1) et 4 (√4 = 2). Ainsi, la valeur de √3 se situe entre 1 et 2. Puisque la valeur de √3 est probablement plus proche de 2 que de 1, notre estimation est : √3 = 1,7. On multiplie cette valeur par le nombre au signe racine : 7 x 1,7 = 11,9. Si vous faites le calcul avec une calculatrice, vous obtiendrez 12,13, ce qui est assez proche de notre réponse.
      • Cette méthode fonctionne également avec de grands nombres. Par exemple, considérons √35. Le nombre radical est 35. Les nombres carrés les plus proches seront les nombres 25 (√25 = 5) et 36 (√36 = 6). Ainsi, la valeur de √35 se situe entre 5 et 6. Puisque la valeur de √35 est beaucoup plus proche de 6 que de 5 (car 35 n'est que 1 de moins que 36), on peut dire que √35 est légèrement inférieur à 6. . La vérification sur la calculatrice nous donne la réponse 5,92 - nous avions raison.

  4. Autrement - factoriser le nombre radical en facteurs premiers. Les facteurs premiers sont des nombres divisibles uniquement par 1 et par eux-mêmes. Écrivez les facteurs premiers dans une série et trouvez des paires de facteurs identiques. De tels facteurs peuvent être retirés du signe racine.

    • Par exemple, calculez la racine carrée de 45. Nous factorisons le nombre radical en facteurs premiers : 45 = 9 x 5 et 9 = 3 x 3. Ainsi, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 peut être retiré comme signe racine : √45 = 3√5. Nous pouvons maintenant estimer √5.
    • Regardons un autre exemple : √88.
      • = √(2 x 44)
      • = √ (2 x 4 x 11)
      • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Vous avez reçu trois multiplicateurs de 2 ; prenez-en quelques-uns et déplacez-les au-delà du signe racine.
      • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Vous pouvez maintenant évaluer √2 et √11 et trouver une réponse approximative.

    Calculer manuellement la racine carrée

    Utiliser une division longue

    1. Cette méthode implique un processus similaire à une division longue et fournit une réponse précise. Tout d'abord, tracez une ligne verticale divisant la feuille en deux moitiés, puis à droite et légèrement en dessous du bord supérieur de la feuille, tracez une ligne horizontale jusqu'à la ligne verticale. Divisez maintenant le nombre radical en paires de nombres, en commençant par la partie fractionnaire après la virgule décimale. Ainsi, le numéro 79520789182.47897 s'écrit « 7 95 20 78 91 82, 47 89 70 ».

      • Par exemple, calculons la racine carrée du nombre 780,14. Tracez deux lignes (comme indiqué sur l'image) et écrivez le nombre donné sous la forme « 7 80, 14 » en haut à gauche. Il est normal que le premier chiffre en partant de la gauche soit un chiffre non apparié. Vous écrirez la réponse (la racine de ce nombre) en haut à droite.

    2. Pour la première paire de nombres (ou nombre unique) en partant de la gauche, trouvez le plus grand entier n dont le carré est inférieur ou égal à la paire de nombres (ou nombre unique) en question. En d’autres termes, trouvez le nombre carré le plus proche, mais plus petit, de la première paire de nombres (ou nombre unique) en partant de la gauche, et prenez la racine carrée de ce nombre carré ; vous obtiendrez le numéro n. Écrivez le n que vous avez trouvé en haut à droite et écrivez le carré de n en bas à droite.

      • Dans notre cas, le premier chiffre à gauche sera 7. Ensuite, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

    3. Soustrayez le carré du nombre n que vous venez de trouver de la première paire de nombres (ou nombre unique) à gauche.Écrivez le résultat du calcul sous le sous-trahend (le carré du nombre n).

      • Dans notre exemple, soustrayez 4 de 7 et obtenez 3.

    4. Notez la deuxième paire de nombres et notez-la à côté de la valeur obtenue à l’étape précédente. Doublez ensuite le nombre en haut à droite et écrivez le résultat en bas à droite en ajoutant "_×_=".

      • Dans notre exemple, la deuxième paire de chiffres est « 80 ». Écrivez « 80 » après le 3. Ensuite, deux fois le chiffre en haut à droite donne 4. Écrivez « 4_×_=" en bas à droite.

    5. Remplissez les espaces à droite.

      • Dans notre cas, si nous mettons le nombre 8 au lieu de tirets, alors 48 x 8 = 384, ce qui est supérieur à 380. Par conséquent, 8 est un nombre trop grand, mais 7 fera l'affaire. Écrivez 7 au lieu de tirets et obtenez : 47 x 7 = 329. Écrivez 7 en haut à droite - c'est le deuxième chiffre de la racine carrée souhaitée du nombre 780,14.

    6. Soustrayez le nombre obtenu du nombre actuel à gauche.Écrivez le résultat de l'étape précédente sous le numéro actuel à gauche, trouvez la différence et écrivez-la sous le sous-trahend.

      • Dans notre exemple, soustrayez 329 de 380, ce qui équivaut à 51.

    7. Répétez l'étape 4. Si la paire de nombres transférés est la partie fractionnaire du nombre d'origine, placez un séparateur (virgule) entre les parties entière et fractionnaire dans la racine carrée requise en haut à droite. Sur la gauche, faites descendre la prochaine paire de chiffres. Doublez le nombre en haut à droite et écrivez le résultat en bas à droite en ajoutant "_×_=".

      • Dans notre exemple, la prochaine paire de nombres à supprimer sera la partie fractionnaire du nombre 780,14, placez donc le séparateur des parties entière et fractionnaire dans la racine carrée souhaitée en haut à droite. Notez 14 et écrivez-le en bas à gauche. Le double du nombre en haut à droite (27) est 54, alors écrivez "54_×_=" en bas à droite.

    8. Répétez les étapes 5 et 6. Trouvez le plus grand nombre à la place des tirets à droite (au lieu des tirets, vous devez remplacer le même nombre) afin que le résultat de la multiplication soit inférieur ou égal au nombre actuel à gauche.

      • Dans notre exemple, 549 x 9 = 4941, ce qui est inférieur au nombre actuel à gauche (5114). Écrivez 9 en haut à droite et soustrayez le résultat de la multiplication du nombre actuel à gauche : 5114 - 4941 = 173.

    9. Si vous avez besoin de trouver plus de décimales pour la racine carrée, écrivez quelques zéros à gauche du nombre actuel et répétez les étapes 4, 5 et 6. Répétez les étapes jusqu'à ce que vous obteniez la précision de la réponse (nombre de décimales) que vous souhaitez. besoin.

      Comprendre le processus

      1. Pour maîtriser cette méthode, imaginez le nombre dont vous devez trouver la racine carrée comme l'aire du carré S. Dans ce cas, vous chercherez la longueur du côté L d'un tel carré. On calcule la valeur de L telle que L² = S.

        Donnez une lettre pour chaque chiffre de la réponse. Notons A le premier chiffre de la valeur de L (la racine carrée souhaitée). B sera le deuxième chiffre, C le troisième et ainsi de suite.

        Spécifiez une lettre pour chaque paire de premiers chiffres. Notons S a la première paire de chiffres de la valeur de S, par S b la deuxième paire de chiffres, et ainsi de suite.

        Comprenez le lien entre cette méthode et la division longue. Tout comme dans la division, où nous ne nous intéressons qu'au chiffre suivant du nombre que nous divisons à chaque fois, lors du calcul d'une racine carrée, nous travaillons séquentiellement sur une paire de chiffres (pour obtenir le chiffre suivant de la valeur de la racine carrée) .

      2. Considérons la première paire de chiffres Sa du nombre S (Sa = 7 dans notre exemple) et trouvons sa racine carrée. Dans ce cas, le premier chiffre A de la valeur souhaitée de la racine carrée sera un chiffre dont le carré est inférieur ou égal à S a (c'est-à-dire qu'on cherche un A tel que l'inégalité A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

        • Disons que nous devons diviser 88962 par 7 ; ici la première étape sera similaire : nous considérons le premier chiffre du nombre divisible 88962 (8) et sélectionnons le plus grand nombre qui, multiplié par 7, donne une valeur inférieure ou égale à 8. C'est-à-dire que nous recherchons un nombre d pour lequel l'inégalité est vraie : 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Imaginez mentalement un carré dont vous devez calculer l’aire. Vous recherchez L, c'est-à-dire la longueur du côté d'un carré dont l'aire est égale à S. A, B, C sont les chiffres du nombre L. Vous pouvez l'écrire différemment : 10A + B = L (pour un numéro à deux chiffres) ou 100A + 10B + C = L (pour un numéro à trois chiffres) et ainsi de suite.

        • Laisser (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². N'oubliez pas que 10A+B est un nombre dans lequel le chiffre B représente les unités et le chiffre A représente les dizaines. Par exemple, si A=1 et B=2, alors 10A+B est égal au nombre 12. (10A+B)² est l'aire de la place entière, 100A²- superficie du grand carré intérieur, B²- aire du petit carré intérieur, 10A × B- l'aire de chacun des deux rectangles. En additionnant les aires des figures décrites, vous trouverez l'aire du carré d'origine.

La superficie d'un terrain carré est de 81 dm². Trouvez son côté. Supposons que la longueur du côté du carré soit X décimètres. Alors la superficie de la parcelle est X² décimètres carrés. Puisque, selon la condition, cette superficie est égale à 81 dm², alors X² = 81. La longueur d'un côté d'un carré est un nombre positif. Un nombre positif dont le carré est 81 est le nombre 9. Pour résoudre le problème, il a fallu trouver le nombre x dont le carré est 81, c'est-à-dire résoudre l'équation X² = 81. Cette équation a deux racines : X 1 = 9 et X 2 = - 9, puisque 9² = 81 et (- 9)² = 81. Les nombres 9 et - 9 sont appelés racines carrées de 81.

Notez que l'une des racines carrées X= 9 est un nombre positif. On l'appelle la racine carrée arithmétique de 81 et on la note √81, donc √81 = 9.

Racine carrée arithmétique d'un nombre UN est un nombre non négatif dont le carré est égal à UN.

Par exemple, les nombres 6 et - 6 sont des racines carrées du nombre 36. Cependant, le nombre 6 est une racine carrée arithmétique de 36, puisque 6 est un nombre non négatif et 6² = 36. Le nombre - 6 n'est pas un nombre non négatif. racine arithmétique.

Racine carrée arithmétique d'un nombre UN noté comme suit : √ UN.

Le signe est appelé signe racine carrée arithmétique ; UN- appelé une expression radicale. Expression √ UN lire comme ceci : racine carrée arithmétique d'un nombre UN. Par exemple, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Dans les cas où il est clair qu'il s'agit d'une racine arithmétique, ils disent brièvement : « la racine carrée de UN«.

Le fait de trouver la racine carrée d’un nombre est appelé racine carrée. Cette action est l’inverse de la quadrature.

Vous pouvez mettre au carré n’importe quel nombre, mais vous ne pouvez pas extraire les racines carrées d’un nombre. Par exemple, il est impossible d'extraire la racine carrée du nombre - 4. Si une telle racine existait, alors en la désignant par la lettre X, nous obtiendrions l'égalité incorrecte x² = - 4, puisqu'il y a un nombre non négatif à gauche et un nombre négatif à droite.

Expression √ UN n'a de sens que lorsque une ≥ 0. La définition de la racine carrée peut s’écrire brièvement comme suit : √ une ≥ 0, (√UN)² = UN. Égalité (√ UN)² = UN valable une ≥ 0. Ainsi, pour garantir que la racine carrée d'un nombre non négatif UNéquivaut à b, c'est-à-dire dans le fait que √ UN =b, vous devez vérifier que les deux conditions suivantes sont remplies : b ≥ 0, b² = UN.

Racine carrée d'une fraction

Calculons. Notez que √25 = 5, √36 = 6, et vérifions si l'égalité est vraie.

Parce que et , alors l’égalité est vraie. Donc, .

Théorème: Si UN≥ 0 et b> 0, c'est-à-dire que la racine de la fraction est égale à la racine du numérateur divisée par la racine du dénominateur. Il est nécessaire de prouver que : et .

Depuis √ UN≥0 et √ b> 0, alors .

Sur la propriété d'élever une fraction à une puissance et la définition d'une racine carrée le théorème est prouvé. Regardons quelques exemples.

Calculer en utilisant le théorème prouvé .

Deuxième exemple : prouver que , Si UN ≤ 0, b < 0. .

Autre exemple : Calculez .

.

Conversion de racine carrée

Suppression du multiplicateur sous le signe racine. Laissons l'expression être donnée. Si UN≥ 0 et b≥ 0, alors en utilisant le théorème racine du produit on peut écrire :

Cette transformation est appelée suppression du facteur du signe racine. Regardons un exemple ;

Calculer à X= 2. Substitution directe X= 2 dans l'expression radicale conduit à des calculs complexes. Ces calculs peuvent être simplifiés si vous supprimez d'abord les facteurs sous le signe racine : . En remplaçant maintenant x = 2, nous obtenons :.

Ainsi, en supprimant le facteur sous le signe racine, l'expression radicale est représentée sous la forme d'un produit dans lequel un ou plusieurs facteurs sont des carrés de nombres non négatifs. Appliquez ensuite le théorème de la racine du produit et prenez la racine de chaque facteur. Prenons un exemple : simplifions l'expression A = √8 + √18 - 4√2 en retirant les facteurs des deux premiers termes sous le signe racine, nous obtenons :. Soulignons que l'égalité valable uniquement pour UN≥ 0 et b≥ 0. si UN < 0, то .

Les mathématiques sont nées lorsque l’homme a pris conscience de lui-même et a commencé à se positionner comme une unité autonome du monde. Le désir de mesurer, comparer, compter ce qui vous entoure est à la base de l’une des sciences fondamentales de nos jours. Au début, il s'agissait de particules de mathématiques élémentaires, qui permettaient de relier les nombres à leurs expressions physiques, plus tard les conclusions ont commencé à être présentées uniquement théoriquement (en raison de leur abstraction), mais après un certain temps, comme l'a dit un scientifique, " les mathématiques ont atteint le plafond de la complexité lorsqu’elles en ont disparu. » Le concept de « racine carrée » est apparu à une époque où il pouvait être facilement étayé par des données empiriques, dépassant le plan des calculs.

Où tout a commencé

La première mention de la racine, actuellement notée √, a été enregistrée dans les travaux des mathématiciens babyloniens, qui ont jeté les bases de l'arithmétique moderne. Bien sûr, ils ne ressemblaient guère à la forme actuelle - les scientifiques de ces années-là utilisaient pour la première fois des comprimés volumineux. Mais au deuxième millénaire avant JC. e. Ils ont dérivé une formule de calcul approximative montrant comment extraire la racine carrée. La photo ci-dessous montre une pierre sur laquelle des scientifiques babyloniens ont gravé le processus de déduction de √2, et cela s'est avéré si correct que la divergence dans la réponse n'a été trouvée qu'à la dixième décimale.

De plus, la racine était utilisée s'il fallait trouver un côté d'un triangle, à condition que les deux autres soient connus. Eh bien, lors de la résolution d’équations quadratiques, il n’y a pas d’échappatoire à l’extraction de la racine.

Parallèlement aux œuvres babyloniennes, l'objet de l'article a également été étudié dans l'ouvrage chinois « Mathématiques en neuf livres », et les anciens Grecs sont arrivés à la conclusion que tout nombre dont la racine ne peut être extraite sans reste donne un résultat irrationnel. .

L'origine de ce terme est associée à la représentation arabe du nombre : les anciens scientifiques croyaient que le carré d'un nombre arbitraire poussait à partir d'une racine, comme une plante. En latin, ce mot sonne comme radix (vous pouvez tracer un motif - tout ce qui a une signification « racine » est une consonne, qu'il s'agisse de radis ou de radiculite).

Les scientifiques des générations suivantes ont repris cette idée en la désignant sous le nom de Rx. Par exemple, au XVe siècle, pour indiquer que la racine carrée d'un nombre arbitraire a était prise, on écrivait R 2 a. La « tique », familière aux yeux modernes, n'est apparue qu'au XVIIe siècle grâce à René Descartes.

Nos jours

En termes mathématiques, la racine carrée d'un nombre y est le nombre z dont le carré est égal à y. En d'autres termes, z 2 =y est équivalent à √y=z. Cependant, cette définition n'est pertinente que pour la racine arithmétique, puisqu'elle implique une valeur non négative de l'expression. En d’autres termes, √y=z, où z est supérieur ou égal à 0.

En général, ce qui s'applique à la détermination d'une racine algébrique, la valeur de l'expression peut être positive ou négative. Ainsi, du fait que z 2 =y et (-z) 2 =y, on a : √y=±z ou √y=|z|.

Étant donné que l'amour pour les mathématiques n'a fait qu'augmenter avec le développement de la science, il existe diverses manifestations d'affection pour celles-ci qui ne s'expriment pas dans des calculs secs. Par exemple, outre des phénomènes aussi intéressants que le Pi Day, les fêtes de racine carrée sont également célébrées. Ils sont célébrés neuf fois tous les cent ans, et sont déterminés selon le principe suivant : les nombres qui indiquent dans l'ordre le jour et le mois doivent être la racine carrée de l'année. Ainsi, la prochaine fois que nous célébrerons cette fête, c'est le 4 avril 2016.

Propriétés de la racine carrée sur le corps R

Presque toutes les expressions mathématiques ont une base géométrique, et √y, qui est défini comme le côté d’un carré d’aire y, n’a pas échappé à ce sort.

Comment trouver la racine d'un nombre ?

Il existe plusieurs algorithmes de calcul. Le plus simple, mais en même temps assez fastidieux, est le calcul arithmétique habituel, qui est le suivant :

1) du nombre dont nous avons besoin de la racine, les nombres impairs sont soustraits à leur tour - jusqu'à ce que le reste en sortie soit inférieur à celui soustrait ou même égal à zéro. Le nombre de coups deviendra finalement le nombre souhaité. Par exemple, en calculant la racine carrée de 25 :

Le prochain nombre impair est 11, le reste est : 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Pour de tels cas, il existe un développement en série de Taylor :

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , où n prend des valeurs de 0 à

+∞ et |y|≤1.

Représentation graphique de la fonction z=√y

Considérons la fonction élémentaire z=√y sur le corps des nombres réels R, où y est supérieur ou égal à zéro. Son planning ressemble à ceci :

La courbe grandit à partir de l'origine et coupe nécessairement le point (1 ; 1).

Propriétés de la fonction z=√y sur le corps des nombres réels R

1. Le domaine de définition de la fonction considérée est l'intervalle de zéro à plus l'infini (zéro est inclus).

2. La plage de valeurs de la fonction considérée est l'intervalle de zéro à plus l'infini (zéro est à nouveau inclus).

3. La fonction prend sa valeur minimale (0) uniquement au point (0 ; 0). Il n'y a pas de valeur maximale.

4. La fonction z=√y n’est ni paire ni impaire.

5. La fonction z=√y n’est pas périodique.

6. Il n'y a qu'un seul point d'intersection du graphique de la fonction z=√y avec les axes de coordonnées : (0 ; 0).

7. Le point d'intersection du graphique de la fonction z=√y est aussi le zéro de cette fonction.

8. La fonction z=√y croît continuellement.

9. La fonction z=√y ne prend que des valeurs positives, son graphique occupe donc le premier angle de coordonnées.

Options d'affichage de la fonction z=√y

En mathématiques, pour faciliter le calcul d'expressions complexes, la forme puissante de l'écriture de la racine carrée est parfois utilisée : √y=y 1/2. Cette option est pratique, par exemple, pour élever une fonction à une puissance : (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Cette méthode est également une bonne représentation pour la différenciation avec intégration, puisque grâce à elle la racine carrée est représentée comme une fonction puissance ordinaire.

Et en programmation, remplacer le symbole √ est la combinaison de lettres sqrt.

Il convient de noter que dans ce domaine, la racine carrée est très demandée, car elle fait partie de la plupart des formules géométriques nécessaires aux calculs. L'algorithme de comptage lui-même est assez complexe et repose sur la récursivité (une fonction qui s'appelle elle-même).

Racine carrée dans un corps complexe C

Dans l'ensemble, c'est le sujet de cet article qui a stimulé la découverte du domaine des nombres complexes C, puisque les mathématiciens étaient hantés par la question de l'obtention d'une racine paire d'un nombre négatif. C'est ainsi qu'est apparue l'unité imaginaire i, qui se caractérise par une propriété très intéressante : son carré est -1. Grâce à cela, les équations quadratiques ont été résolues même avec un discriminant négatif. En C, les mêmes propriétés sont pertinentes pour la racine carrée qu'en R, la seule chose est que les restrictions sur l'expression radicale sont supprimées.