1 x pair ou impair. Fonctions paires et impaires. Fonctions périodiques

Graphiques de pair et non même fonction ont les caractéristiques suivantes :

Si une fonction est paire, alors son graphique est symétrique par rapport à l'ordonnée. Si une fonction est impaire, alors son graphique est symétrique par rapport à l’origine.

Solution. Considérons la fonction : \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) et remplacez l'opposé \(-x \) au lieu de \(x \). À la suite de transformations simples, nous obtenons : $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Dans d'autres En d’autres termes, si vous remplacez l’argument par le signe opposé, la fonction ne changera pas.

Cela signifie que cette fonction est paire, et son graphique sera symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ( axe vertical). Le graphique de cette fonction est présenté dans la figure de gauche. Cela signifie que lors de la construction d'un graphique, vous ne pouvez en dessiner que la moitié et la deuxième partie (à gauche de l'axe vertical, dessinez symétriquement par rapport à la partie droite). En déterminant la symétrie d'une fonction avant de commencer à tracer son graphique, vous pouvez grandement simplifier le processus de construction ou d'étude de la fonction. S'il est difficile d'effectuer une vérification générale, vous pouvez le faire plus simplement : substituez les mêmes valeurs de signes différents dans l'équation. Par exemple -5 et 5. Si les valeurs de la fonction s'avèrent être les mêmes, alors on peut espérer que la fonction sera paire. D'un point de vue mathématique, cette approche n'est pas tout à fait correcte, mais d'un point de vue pratique elle est pratique. Pour augmenter la fiabilité du résultat, vous pouvez substituer plusieurs paires de valeurs opposées.

Solution. Vérifions la même chose que dans l'exemple précédent : $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Cela signifie que la fonction d'origine est impaire (le signe de la fonction a changé pour l'opposé).

Conclusion : la fonction est symétrique par rapport à l'origine. Vous ne pouvez construire qu'une moitié et dessiner la seconde symétriquement. Ce type de symétrie est plus difficile à dessiner. Cela signifie que vous regardez le graphique de l’autre côté de la feuille, et même à l’envers. Ou vous pouvez faire ceci : prenez la pièce dessinée et faites-la pivoter autour de l'origine de 180 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Solution. Effectuons la même vérification du changement de signe que dans les deux exemples précédents. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ En conséquence, nous obtenons que : $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Et ceci signifie que la fonction n'est ni paire ni impaire.

Conclusion : la fonction n'est symétrique ni par rapport à l'origine ni par rapport au centre du repère. Cela est dû au fait que c'est la somme de deux fonctions : paire et impaire. La même situation se produira si vous soustrayez deux fonctions différentes. Mais la multiplication ou la division conduira à un résultat différent. Par exemple, le produit d’une fonction paire et d’une fonction impaire produit une fonction impaire. Ou bien le quotient de deux nombres impairs conduit à une fonction paire.

La régularité et l'impair d'une fonction sont l'une de ses propriétés principales, et la parité y occupe une part impressionnante cours scolaire mathématiques. Il détermine en grande partie le comportement de la fonction et facilite grandement la construction du graphe correspondant.

Déterminons la parité de la fonction. D'une manière générale, la fonction étudiée est considérée même si pour des valeurs opposées de la variable indépendante (x) située dans son domaine de définition, les valeurs correspondantes de y (fonction) s'avèrent égales.

Donnons une définition plus stricte. Considérons une fonction f (x), qui est définie dans le domaine D. Ce sera même si pour tout point x situé dans le domaine de définition :

• -x (point opposé) entre également dans cette portée,

• f(-x) = f(x).

De la définition ci-dessus découle la condition nécessaire au domaine de définition d'une telle fonction, à savoir la symétrie par rapport au point O, qui est l'origine des coordonnées, car si un point b est contenu dans le domaine de définition d'un pair fonction, alors le point correspondant b se trouve également dans ce domaine. De ce qui précède découle donc la conclusion : la fonction paire a une forme symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Oy).

Comment déterminer la parité d’une fonction en pratique ?

Soit spécifié en utilisant la formule h(x)=11^x+11^(-x). En suivant l'algorithme qui découle directement de la définition, nous examinons d'abord son domaine de définition. Évidemment, il est défini pour toutes les valeurs de l'argument, c'est-à-dire que la première condition est satisfaite.

L'étape suivante consiste à remplacer l'argument (x) par la valeur opposée (-x).
On a:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Puisque l'addition satisfait la loi commutative (commutative), il est évident que h(-x) = h(x) et le donné dépendance fonctionnelle- même.

Vérifions la parité de la fonction h(x)=11^x-11^(-x). En suivant le même algorithme, nous obtenons que h(-x) = 11^(-x) -11^x. En enlevant le moins, au final nous avons
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Donc h(x) est impair.

D'ailleurs, il convient de rappeler qu'il existe des fonctions qui ne peuvent être classées selon ces critères ; elles ne sont appelées ni paires ni impaires.

Même les fonctions ont un certain nombre de propriétés intéressantes :

• suite à l'ajout de fonctions similaires, ils en obtiennent une paire ;
• en soustrayant de telles fonctions, on obtient une fonction paire ;
• même, aussi même;
• en multipliant deux de ces fonctions, on en obtient une paire ;
• en multipliant les fonctions impaires et paires, on obtient une fonction impaire ;
• en divisant les fonctions impaires et paires, on obtient une fonction impaire ;
• la dérivée d'une telle fonction est impaire ;
• Si vous mettez au carré une fonction impaire, vous obtenez une fonction paire.

La parité d'une fonction peut être utilisée pour résoudre des équations.

Pour résoudre une équation comme g(x) = 0, où côté gauche L'équation est une fonction paire, il suffira amplement de trouver ses solutions pour des valeurs non négatives de la variable. Les racines résultantes de l'équation doivent être combinées avec les nombres opposés. L'un d'eux est soumis à vérification.

Ceci est également utilisé avec succès pour résoudre tâches non standard avec paramètre.

Par exemple, existe-t-il une valeur du paramètre a pour laquelle l'équation 2x^6-x^4-ax^2=1 aura trois racines ?

Si l'on tient compte du fait que la variable entre dans l'équation avec des puissances paires, alors il est clair que remplacer x par - x équation donnée ne changera pas. Il s’ensuit que si un certain nombre est sa racine, alors le nombre opposé est également la racine. La conclusion est évidente : les racines d'une équation différentes de zéro sont incluses dans l'ensemble de ses solutions « par paires ».

Il est clair que le nombre lui-même n'est pas 0, c'est-à-dire que le nombre de racines d'une telle équation ne peut être que pair et, bien entendu, pour toute valeur du paramètre, il ne peut pas y avoir trois racines.

Mais le nombre de racines de l'équation 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 peut être impair, et pour n'importe quelle valeur du paramètre. En effet, il est facile de vérifier que l’ensemble des racines d’une équation donnée contient des solutions « par paires ». Vérifions si 0 est une racine. Lorsque nous le substituons dans l’équation, nous obtenons 2=2. Ainsi, en plus des « paires », 0 est aussi une racine, ce qui prouve leur nombre impair.

Définition 1. La fonction est appelée même (impair ), si avec chaque valeur de variable
signification - X appartient également
et l'égalité est vraie

Ainsi, une fonction ne peut être paire ou impaire que si son domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine des coordonnées sur la droite numérique (nombre X Et - X appartenir en même temps
). Par exemple, la fonction
n'est ni pair ni impair, puisque son domaine de définition
pas symétrique par rapport à l'origine.

Fonction
même, parce que
symétrique par rapport à l'origine et.

Fonction
étrange, parce que
Et
.

Fonction
n'est ni pair ni impair, car même si
et est symétrique par rapport à l'origine, les égalités (11.1) ne sont pas satisfaites. Par exemple,.

Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe UO, parce que si le point

fait également partie du calendrier. Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine, puisque si
appartient au graphe, alors le point
fait également partie du calendrier.

Pour prouver si une fonction est paire ou impaire, les instructions suivantes sont utiles.

Théorème 1. a) La somme de deux fonctions paires (impaires) est une fonction paire (impaire).

b) Le produit de deux fonctions paires (impaires) est une fonction paire.

c) Le produit d’une fonction paire et impaire est une fonction impaire.

d) Si F– même fonction sur le plateau X, et la fonction g défini sur le plateau
, alors la fonction
- même.

d) Si F– fonction étrange sur le plateau X, et la fonction g défini sur le plateau
et pair (impair), alors la fonction
- même bizarre).

Preuve. Démontrons, par exemple, b) et d).

b) Laissez
Et
– même les fonctions. Alors donc. Le cas des fonctions impaires est traité de la même manière
Et
.

d) Laissez F est une fonction paire. Alors.

Les autres affirmations du théorème peuvent être prouvées de la même manière. Le théorème a été prouvé.

Théorème 2. N'importe quelle fonction
, défini sur l'ensemble X, symétrique par rapport à l'origine, peut être représenté comme une somme de fonctions paires et impaires.

Preuve. Fonction
peut s'écrire sous la forme

.

Fonction
– même, parce que
, et la fonction
– bizarre, parce que. Ainsi,
, Où
– même, et
– des fonctions étranges. Le théorème a été prouvé.

Définition 2. Fonction
appelé périodique , s'il y a un numéro
, de telle sorte que pour tout
Nombres
Et
appartiennent également au domaine de la définition
et les égalités sont satisfaites

Un tel numéro T appelé période les fonctions
.

De la définition 1, il s’ensuit que si T– durée de la fonction
, puis le nombre – T Même est la période de la fonction
(car lors du remplacement T sur - T l’égalité est maintenue). En utilisant la méthode d’induction mathématique, on peut montrer que si T– durée de la fonction F, alors
, est aussi un point. Il s’ensuit que si une fonction a une période, alors elle a une infinité de périodes.

Définition 3. La plus petite des périodes positives d'une fonction est appelée sa principal période.

Théorème 3. Si T– période principale de la fonction F, alors les périodes restantes en sont des multiples.

Preuve. Supposons le contraire, c'est-à-dire qu'il existe une période les fonctions F (>0), pas plusieurs T. Puis, en divisant sur T avec le reste, on obtient
, Où
. C'est pourquoi

c'est – durée de la fonction F, et
, et cela contredit le fait que T– période principale de la fonction F. L’énoncé du théorème découle de la contradiction qui en résulte. Le théorème a été prouvé.

Il est bien connu que les fonctions trigonométriques sont périodiques. Période principale
Et
équivaut à
,
Et
. Trouvons la période de la fonction
. Laisser
- la durée de cette fonction. Alors

(parce que
.

ou ou
.

Signification T, déterminé à partir de la première égalité, ne peut pas être une période, puisqu'il dépend de X, c'est à dire. est une fonction de X, pas un nombre constant. La période est déterminée à partir de la deuxième égalité :
. Il existe une infinité de périodes, avec
la plus petite période positive est obtenue à
:
. C'est la période principale de la fonction
.

Un exemple de fonction périodique plus complexe est la fonction Dirichlet

Notez que si T est un nombre rationnel, alors
Et
sont des nombres rationnels pour rationnels X et irrationnel quand irrationnel X. C'est pourquoi

pour tout nombre rationnel T. Donc tout nombre rationnel T est la période de la fonction Dirichlet. Il est clair que cette fonction n'a pas de période principale, puisqu'il y a des valeurs positives nombres rationnels, arbitrairement proche de zéro (par exemple, un nombre rationnel peut être un choix n arbitrairement proche de zéro).

Théorème 4. Si la fonction F défini sur le plateau X et a une période T, et la fonction g défini sur le plateau
, alors une fonction complexe
a aussi une période T.

Preuve. Nous avons donc

c'est-à-dire que l'énoncé du théorème est prouvé.

Par exemple, puisque parce que X a une période
, alors les fonctions
avoir des règles
.

Définition 4. Les fonctions qui ne sont pas périodiques sont appelées non périodique .

Fonction est l'un des concepts mathématiques les plus importants. Fonction - dépendance variable àà partir d'une variable X, si chaque valeur X correspond à une seule valeur à. Variable X appelé variable indépendante ou argument. Variable à appelée variable dépendante. Toutes les valeurs de la variable indépendante (variable X) forment le domaine de définition de la fonction. Toutes les valeurs que prend la variable dépendante (variable oui), forment la plage de valeurs de la fonction.

Graphique de fonction appeler l'ensemble de tous les points du plan de coordonnées dont les abscisses sont égales aux valeurs de l'argument et les ordonnées sont égales aux valeurs correspondantes de la fonction, c'est-à-dire les valeurs de la les variables sont portées le long de l'axe des abscisses X, et les valeurs de la variable sont tracées le long de l'axe des ordonnées oui. Pour représenter graphiquement une fonction, vous devez connaître les propriétés de la fonction. Les principales propriétés de la fonction seront discutées ci-dessous !

Pour construire un graphique d'une fonction, nous vous recommandons d'utiliser notre programme - Fonctions graphiques en ligne. Si vous avez des questions en étudiant le matériel de cette page, vous pouvez toujours les poser sur notre forum. Également sur le forum, ils vous aideront à résoudre des problèmes de mathématiques, de chimie, de géométrie, de théorie des probabilités et bien d'autres sujets !

Propriétés de base des fonctions.

1) Domaine fonctionnel et plage de fonctions.

Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides X(variable X), pour lequel la fonction y = f(x) déterminé.
L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles oui, ce que la fonction accepte.

DANS mathématiques élémentaires les fonctions ne sont étudiées que sur l’ensemble des nombres réels.

2) Zéros de fonction.

Valeurs X, auquel y=0, appelé fonction zéros. Ce sont les abscisses des points d'intersection du graphe de fonctions avec l'axe Ox.

3) Intervalles de signe constant d'une fonction.

Les intervalles de signe constant d'une fonction sont de tels intervalles de valeurs X, sur lequel la fonction valeurs oui soit seuls les positifs, soit uniquement les négatifs sont appelés intervalles de signe constant de la fonction.

4) Monotonie de la fonction.

Une fonction croissante (dans un certain intervalle) est une fonction pour laquelle valeur plus élevée l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus grande de la fonction.

Une fonction décroissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une valeur plus grande de l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus petite de la fonction.

5) Fonction paire (impaire).

Une fonction paire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X f(-x) = f(x). Le graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Une fonction impaire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition, l'égalité est vraie f(-x) = - f(x). Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

Même fonction
1) Le domaine de définition est symétrique par rapport au point (0 ; 0), c'est-à-dire si le point un appartient au domaine de la définition, alors le point -un appartient également au domaine de la définition.
2) Pour n'importe quelle valeur X f(-x)=f(x)
3) Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe Oy.

Fonction étrange a les propriétés suivantes:
1) Le domaine de définition est symétrique par rapport au point (0 ; 0).
2) pour n'importe quelle valeur X, appartenant au domaine de définition, l'égalité f(-x)=-f(x)
3) Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine (0 ; 0).

Toutes les fonctions ne sont pas paires ou impaires. Les fonctions vue générale ne sont ni pairs ni impairs.

6) Fonctions limitées et illimitées.

Une fonction est dite bornée s'il existe un nombre positif M tel que |f(x)| ≤ M pour toutes les valeurs de x. Si un tel nombre n’existe pas, alors la fonction est illimitée.

7) Périodicité de la fonction.

Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre T non nul tel que pour tout x du domaine de définition de la fonction, ce qui suit est vrai : f(x+T) = f(x). Ce le plus petit nombre est appelée la période de la fonction. Tous fonctions trigonométriques sont périodiques. (Formules trigonométriques).

Fonction F est appelé périodique s'il existe un nombre tel que pour tout X du domaine de la définition l'égalité f(x)=f(x-T)=f(x+T). T est la période de la fonction.

Chaque fonction périodique a ensemble infini périodes. En pratique, on considère généralement la plus petite période positive.

Les valeurs d'une fonction périodique se répètent après un intervalle égal à la période. Ceci est utilisé lors de la construction de graphiques.

La dépendance d'une variable y sur une variable x, dans laquelle chaque valeur de x correspond à une seule valeur de y, est appelée une fonction. Pour la désignation, utilisez la notation y=f(x). Chaque fonction possède un certain nombre de propriétés de base, telles que la monotonie, la parité, la périodicité et autres.

Examinez de plus près la propriété de parité.

Une fonction y=f(x) est appelée même si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

2. La valeur de la fonction au point x, appartenant au domaine de définition de la fonction, doit être égale à la valeur de la fonction au point -x. Autrement dit, pour tout point x, à partir du domaine de définition de la fonction, l'égalité suivante doit être satisfaite : f(x) = f(-x).

Graphique d'une fonction paire

Si vous tracez un graphique d’une fonction paire, il sera symétrique par rapport à l’axe Oy.

Par exemple, la fonction y=x^2 est paire. Regardons ça. Le domaine de définition est l’ensemble de l’axe numérique, ce qui signifie qu’il est symétrique par rapport au point O.

Prenons un x=3 arbitraire. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Donc f(x) = f(-x). Ainsi, les deux conditions sont remplies, ce qui signifie que la fonction est paire. Vous trouverez ci-dessous un graphique de la fonction y=x^2.

La figure montre que le graphique est symétrique par rapport à l’axe Oy.

Graphique d'une fonction impaire

Une fonction y=f(x) est dite impaire si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

1. Le domaine de définition d'une fonction donnée doit être symétrique par rapport au point O. Autrement dit, si un point a appartient au domaine de définition de la fonction, alors le point correspondant -a doit également appartenir au domaine de définition de la fonction donnée.

2. Pour tout point x, l'égalité suivante doit être satisfaite à partir du domaine de définition de la fonction : f(x) = -f(x).

Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport au point O - l'origine des coordonnées. Par exemple, la fonction y=x^3 est impaire. Regardons ça. Le domaine de définition est l’ensemble de l’axe numérique, ce qui signifie qu’il est symétrique par rapport au point O.

Prenons un x = 2 arbitraire. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Donc f(x) = -f(x). Ainsi, les deux conditions sont remplies, ce qui signifie que la fonction est impaire. Vous trouverez ci-dessous un graphique de la fonction y=x^3.

La figure montre clairement que la fonction impaire y=x^3 est symétrique par rapport à l'origine.