مشتق دوم یک تابع پارامتری آنلاین. توابع تعریف شده پارامتریک

فرمول مشتق یک تابع که به روش پارامتریک مشخص شده است. اثبات و نمونه هایی از کاربرد این فرمول. نمونه هایی از محاسبه مشتقات مرتبه اول، دوم و سوم.

اجازه دهید تابع به صورت پارامتریک مشخص شود:
(1)
جایی که متغیری به نام پارامتر وجود دارد. و اجازه دهید توابع مشتقاتی در مقدار مشخصی از متغیر داشته باشند.
(2)

علاوه بر این، تابع در همسایگی خاصی از نقطه، تابع معکوس نیز دارد.
;
.

سپس تابع (1) در نقطه یک مشتق دارد که به صورت پارامتریک با فرمول های زیر تعیین می شود:

در اینجا و مشتقات توابع و با توجه به متغیر (پارامتر) هستند.

آنها اغلب به صورت زیر نوشته می شوند:
.
سپس سیستم (2) را می توان به صورت زیر نوشت:
.
اثبات
.

بر اساس شرط، تابع یک تابع معکوس دارد. بیایید آن را به عنوان نشان دهیم

سپس تابع اصلی را می توان به عنوان یک تابع پیچیده نشان داد:

بیایید مشتق آن را با استفاده از قوانین تمایز توابع مختلط و معکوس پیدا کنیم:
.
قاعده ثابت شده است.
.
اثبات از راه دوم
.

بیایید مشتق را به روش دوم، بر اساس تعریف مشتق تابع در نقطه، پیدا کنیم:
اجازه دهید نماد را معرفی کنیم:
; ;
; .
سپس فرمول قبلی به شکل زیر در می آید:
.
بیایید از این واقعیت استفاده کنیم که تابع در همسایگی نقطه دارای تابع معکوس است.
.

بر اساس شرط، تابع یک تابع معکوس دارد. بیایید آن را به عنوان نشان دهیم

اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم:

صورت و مخرج کسر را تقسیم بر:
(1)

در , . سپس
(2)

مشتقات مرتبه بالاتر
.
برای یافتن مشتقات مرتبه های بالاتر، لازم است چندین بار تمایز انجام شود. فرض کنید باید مشتق مرتبه دوم تابعی را که به صورت پارامتری تعریف شده است، به شکل زیر پیدا کنیم:
(3)
با استفاده از فرمول (2) اولین مشتق را پیدا می کنیم که به صورت پارامتریک نیز تعیین می شود:

اجازه دهید اولین مشتق را با متغیر نشان دهیم:
.
سپس، برای یافتن مشتق دوم تابع نسبت به متغیر، باید مشتق اول تابع را نسبت به متغیر پیدا کنید.
.

وابستگی یک متغیر به یک متغیر نیز به روش پارامتریک مشخص می شود:

به صورت پارامتریک نیز ارائه شده است. توجه داشته باشید که خط اول را می توان به صورت زیر نیز نوشت:
.

در ادامه این فرآیند، می توانید مشتقات توابع را از یک متغیر مرتبه سوم و بالاتر بدست آورید.

توجه داشته باشید که لازم نیست برای مشتق علامت گذاری کنیم.
;
.

می توانید آن را اینگونه بنویسید:

مثال 1

مشتق تابع تعریف شده به صورت پارامتری را بیابید:

راه حل
مشتقات را با توجه به .
;
.
از جدول مشتقات در می یابیم:

.
ما درخواست می کنیم:

.
ما درخواست می کنیم:

اینجا .
.

مشتق مورد نیاز:

پاسخ دهید

مثال 2

مشتق تابع تعریف شده به صورت پارامتری را بیابید:

مشتق تابع بیان شده از طریق پارامتر را بیابید:
.

بیایید براکت ها را با استفاده از فرمول های توابع قدرت و ریشه ها گسترش دهیم:

.

یافتن مشتق:

.

یافتن مشتق
.

مشتق مورد نیاز:

برای این کار یک متغیر معرفی می کنیم و فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم.

مشتق مورد نظر را پیدا می کنیم:

مشتق تابع تعریف شده به صورت پارامتری را بیابید:

مثال 3

مشتقات مرتبه دوم و سوم تابع تعریف شده به صورت پارامتریک در مثال 1 را بیابید:

در مثال 1 مشتق مرتبه اول را پیدا کردیم:

اجازه دهید نام را معرفی کنیم.
.
سپس تابع با توجه به مشتق است.
.
به صورت پارامتری مشخص می شود:
.

برای یافتن مشتق دوم با توجه به ، باید مشتق اول را با توجه به .

بیایید با .

ما مشتق را در مثال 1 پیدا کردیم:
.
مشتق مرتبه دوم با توجه به مشتق مرتبه اول برابر است:

.

بنابراین، مشتق مرتبه دوم را با توجه به فرم پارامتریک پیدا کردیم:
.

اکنون مشتق مرتبه سوم را پیدا می کنیم. اجازه دهید نام را معرفی کنیم.

سپس باید مشتق مرتبه اول تابع را پیدا کنیم که به صورت پارامتریک مشخص شده است:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

مشتق مورد نیاز:

مشتق را با توجه به . برای انجام این کار، آن را به شکل معادل بازنویسی می کنیم::

از

مشتق مرتبه سوم نسبت به برابر با مشتق مرتبه اول نسبت به:< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

نظر دهید

شما مجبور نیستید متغیرهای و را وارد کنید، که به ترتیب مشتقات و هستند. سپس می توانید آن را به این صورت بنویسید: در نمایش پارامتری، مشتق مرتبه دوم داردنمای بعدی

مواردی وجود دارد که برای مطالعه یک تابع، باید مشتق را با توجه به x جستجو کرد. بیایید فرمول مشتق یک تابع تعریف شده پارامتری از شکل y x " = ψ " (t) φ " (t) را در نظر بگیریم، بیایید در مورد مشتق مرتبه 2 و n صحبت کنیم.

اشتقاق فرمول برای مشتق یک تابع تعریف شده پارامتری

ما داریم که x = φ (t)، y = ψ (t)، تعریف شده و قابل تفکیک برای t ∈ a. b، که در آن x t " = φ " (t) ≠ 0 و x = φ (t)، سپس یک تابع معکوس به شکل t = Θ (x) وجود دارد.

برای شروع، باید از یک کار پارامتریک به یک کار واضح حرکت کنید. برای انجام این کار، باید یک تابع پیچیده به شکل y = ψ (t) = ψ (Θ (x))، که در آن آرگومان x وجود دارد، به دست آورید.

بر اساس قاعده یافتن مشتق تابع پیچیده، متوجه می شویم که y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

این نشان می دهد که t = Θ (x) و x = φ (t) توابعی معکوس از فرمول هستند تابع معکوسΘ" (x) = 1 φ" (t) , سپس y " x = ψ " Θ (x) · Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

بیایید به حل چندین مثال با استفاده از جدول مشتقات طبق قانون تمایز ادامه دهیم.

مثال 1

مشتق تابع x = t 2 + 1 y = t را بیابید.

راه حل

با شرطی داریم که φ (t) = t 2 + 1، ψ (t) = t، از اینجا به دست می آوریم که φ " (t) = t 2 + 1 "، ψ " (t) = t" = 1. باید از فرمول مشتق شده استفاده کنید و جواب را به شکل زیر بنویسید:

y "x = ψ" (t) φ" (t) = 1 2 t

پاسخ: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

هنگام کار با مشتق یک تابع h، پارامتر t بیان آرگومان x را از طریق همان پارامتر t مشخص می کند تا ارتباط بین مقادیر مشتق و تابع تعریف شده پارامتری با آرگومان به از دست نرود. که این مقادیر مطابقت دارند.

برای تعیین مشتق مرتبه دوم یک تابع داده شده به صورت پارامتری، باید از فرمول مشتق مرتبه اول در تابع حاصل استفاده کنید، سپس به این نتیجه می رسیم که

y "" x = ψ " (t) φ " (t) "φ" (t) = ψ """ (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

مثال 2

مشتقات مرتبه 2 و 2 تابع داده شده x = cos (2 t) y = t 2 را بیابید.

راه حل

با شرط به دست می آوریم که φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

سپس پس از تحول

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2" = 2 t

نتیجه می شود که y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

دریافتیم که شکل مشتق مرتبه 1 x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) است.

برای حل، باید فرمول مشتق مرتبه دوم را اعمال کنید. ما یک بیان از فرم را دریافت می کنیم

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

سپس با استفاده از یک تابع پارامتری مشتق مرتبه دوم را مشخص کنید

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

راه حل مشابهی را می توان با استفاده از روش دیگری حل کرد. سپس

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

از اینجا به آن می رسیم

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

پاسخ: y "" x = گناه (2 تن) - 2 تن cos (2 تن) 2 s i n 3 (2 تن)

مشتقات مرتبه بالاتر با توابع پارامتریک تعریف شده به روشی مشابه یافت می شوند.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

بیایید استرس نداشته باشیم، همه چیز در این پاراگراف نیز بسیار ساده است. می توانید یادداشت کنید فرمول کلیتابع به صورت پارامتری تعریف شده است، اما برای روشن شدن آن، فوراً می نویسم مثال ملموس. در فرم پارامتری، تابع با دو معادله به دست می آید: . اغلب معادلات نه در زیر پرانتزها، بلکه به صورت متوالی نوشته می شوند: , .

این متغیر یک پارامتر نامیده می شود و می تواند مقادیری از "minus infinity" تا "plus infinity" بگیرد. به عنوان مثال، مقدار را در نظر بگیرید و آن را در هر دو معادله جایگزین کنید: . یا به زبان انسانی: "اگر x برابر با چهار باشد، y برابر با یک است." می توانید یک نقطه را در صفحه مختصات علامت گذاری کنید و این نقطه با مقدار پارامتر مطابقت دارد. به طور مشابه، شما می توانید یک نقطه برای هر مقدار از پارامتر "te" پیدا کنید. در مورد یک تابع "منظم"، برای سرخپوستان آمریکایی یک تابع پارامتریک تعریف شده، همه حقوق نیز رعایت می شود: می توانید یک نمودار بسازید، مشتقات را پیدا کنید و غیره. به هر حال، اگر نیاز به ترسیم نمودار یک تابع مشخص شده به صورت پارامتری دارید، برنامه هندسی من را در صفحه دانلود کنید. فرمول های ریاضیو جداول.

در ساده ترین موارد، می توان تابع را به طور صریح نشان داد. اجازه دهید پارامتر را از معادله اول بیان کنیم: – و آن را در معادله دوم جایگزین کنید: . نتیجه یک تابع مکعب معمولی است.

در موارد "شدید" تر، این ترفند کار نمی کند. اما مهم نیست، زیرا یک فرمول برای یافتن مشتق یک تابع پارامتری وجود دارد:

ما مشتق "بازی با توجه به متغیر te" را پیدا می کنیم:

تمام قواعد تمایز و جدول مشتقات، طبیعتاً برای حرف معتبر است، بنابراین، هیچ چیز جدیدی در روند یافتن مشتقات وجود ندارد. فقط به صورت ذهنی تمام "X" های جدول را با حرف "Te" جایگزین کنید.

مشتق "x را با توجه به متغیر te" پیدا می کنیم:

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند این است که مشتقات یافت شده را در فرمول خود جایگزین کنیم:

آماده است. مشتق مانند خود تابع نیز به پارامتر بستگی دارد.

در مورد علامت گذاری، به جای نوشتن آن در فرمول، می توان آن را به سادگی بدون زیرنویس نوشت، زیرا این یک مشتق "عادی" "با توجه به X" است. اما در ادبیات همیشه یک گزینه وجود دارد، بنابراین من از استاندارد عدول نمی کنم.

مثال 6

ما از فرمول استفاده می کنیم

در در این مورد:

بدین ترتیب:

ویژگی خاص یافتن مشتق تابع پارامتری این واقعیت است که در هر مرحله ساده کردن نتیجه تا حد امکان مفید است. بنابراین، در مثال مورد بررسی، وقتی آن را پیدا کردم، پرانتزهای زیر ریشه را باز کردم (اگرچه ممکن است این کار را نکرده باشم). شانس خوبی وجود دارد که هنگام جایگزینی در فرمول، بسیاری از چیزها به خوبی کاهش یابد. اگرچه، البته، نمونه هایی با پاسخ های ناشیانه وجود دارد.

مثال 7

مشتق تابعی را که به صورت پارامتری مشخص شده است بیابید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

در مقاله تک یاخته وظایف معمولیبا مشتق ما به مثال‌هایی نگاه کردیم که در آنها باید مشتق دوم یک تابع را پیدا کنیم. برای یک تابع تعریف شده به صورت پارامتری، می توانید مشتق دوم را نیز پیدا کنید و با استفاده از فرمول زیر پیدا می شود: . کاملاً بدیهی است که برای یافتن مشتق دوم، ابتدا باید مشتق اول را پیدا کنید.

مثال 8

مشتق اول و دوم تابعی که به صورت پارامتری داده شده را پیدا کنید

ابتدا بیایید اولین مشتق را پیدا کنیم.
ما از فرمول استفاده می کنیم

در این مورد:

مشتقات یافت شده را به فرمول جایگزین می کند. برای اهداف ساده، از فرمول مثلثاتی استفاده می کنیم:

متوجه شدم که در مسئله یافتن مشتق یک تابع پارامتری، اغلب به منظور ساده سازی لازم است از فرمول های مثلثاتی . آنها را به خاطر بسپارید یا آنها را در دسترس نگه دارید، و فرصت را برای ساده کردن هر نتیجه و پاسخ میانی از دست ندهید. برای چی؟ اکنون باید مشتق از را بگیریم و این به وضوح بهتر از یافتن مشتق است.

بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم.
ما از فرمول استفاده می کنیم: .

بیایید به فرمول خود نگاه کنیم. مخرج قبلاً در مرحله قبل پیدا شده است. باقی مانده است که شمارنده را پیدا کنیم - مشتق اولین مشتق با توجه به متغیر "te":

باقی مانده است که از فرمول استفاده کنید:

برای تقویت مطالب، چند مثال دیگر را برای شما ارائه می‌دهم تا خودتان آن را حل کنید.

مثال 9

مثال 10

یافتن و برای تابعی که به صورت پارامتریک مشخص شده است

برای شما آرزوی موفقیت دارم!

امیدوارم این درس مفید بوده باشد و اکنون بتوانید مشتقات توابع مشخص شده به طور ضمنی و از توابع پارامتری را به راحتی پیدا کنید.

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 3: راه حل:






بدین ترتیب:

تعریف خطی را در صفحه ای در نظر بگیرید که در آن متغیرهای x و y توابعی از متغیر سوم t (به نام پارامتر) هستند:

برای هر مقدار تیاز یک بازه معین مقادیر معینی مطابقت دارد xو y، aبنابراین، یک نقطه معین M (x, y) از هواپیما. چه زمانی تیتمام مقادیر را از یک بازه مشخص و سپس نقطه را اجرا می کند م (x، y) خطی را توصیف می کند L. معادلات (2.2) را معادلات خط پارامتریک می نامند L.

اگر تابع x = φ(t) دارای t = Ф(x) معکوس باشد، با جایگزینی این عبارت به معادله y = g(t)، y = g(Ф(x)) را به دست می آوریم که مشخص می کند yبه عنوان تابعی از x. در این حالت می گوییم که معادلات (2.2) تابع را تعریف می کنند yبه صورت پارامتری

مثال 1.اجازه دهید M(x,y)- نقطه دلخواه در یک دایره با شعاع آرو در مبدا متمرکز شده است. اجازه دهید تی- زاویه بین محور گاو نرو شعاع OM(شکل 2.3 را ببینید). سپس x، yاز طریق بیان می شوند t:

معادلات (2.3) معادلات پارامتریک یک دایره هستند. اجازه دهید پارامتر t را از معادلات (2.3) حذف کنیم. برای انجام این کار، هر معادله را مربع می کنیم و آن را اضافه می کنیم، به دست می آوریم: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) یا x 2 + y 2 = R 2 - معادله یک دایره در دکارتی سیستم مختصات این دو تابع را تعریف می کند: هر یک از این توابع با معادلات پارامتری (2.3) ارائه می شود، اما برای تابع اول و برای تابع دوم.

مثال 2. معادلات پارامتریک

یک بیضی را با نیم محورها تعریف کنید الف، ب(شکل 2.4). حذف پارامتر از معادلات تی، معادله متعارف بیضی را به دست می آوریم:

مثال 3. اگر این دایره بدون لغزش در یک خط مستقیم بچرخد، یک سیکلوئید خطی است که با نقطه ای که روی یک دایره قرار دارد توصیف می شود (شکل 2.5). اجازه دهید معادلات پارامتری سیکلوئید را معرفی کنیم. بگذارید شعاع دایره غلتان باشد الف، نقطه مبا توصیف سیکلوئید، در ابتدای حرکت با مبدأ مختصات منطبق شد.

بیایید مختصات را تعیین کنیم x، y امتیاز مپس از چرخش دایره در یک زاویه تی
(شکل 2.5)، t = ÐMCB. طول قوس م.ب.برابر طول قطعه O.B.از آنجایی که دایره بدون لغزش می چرخد، بنابراین

OB = at، AB = MD = asint، CD = acost، x = OB – AB = at – asint = a(t – sint)،

y = AM = CB – CD = a – acost = a (1 – هزینه).

بنابراین، معادلات پارامتری سیکلوئید به دست می آید:

هنگام تغییر یک پارامتر تیاز 0 تا 2πدایره یک دور و نقطه می چرخد میک قوس سیکلوئید را توصیف می کند. معادلات (2.5) به دست می دهد yبه عنوان تابعی از x. اگرچه عملکرد x = a (t – sint)تابع معکوس دارد، اما بر حسب بیان نمی شود توابع ابتدایی، بنابراین تابع y = f(x)از طریق توابع ابتدایی بیان نمی شود.

اجازه دهید تمایز یک تابع را که به صورت پارامتریک توسط معادلات (2.2) تعریف شده است، در نظر بگیریم. تابع x = φ(t) در بازه معینی از تغییر t تابع معکوس دارد t = Ф(x)، سپس y = g(Ф(x)). اجازه دهید x = φ(t), y = g(t)مشتقات دارند و x"t≠0. طبق قاعده تمایز توابع پیچیده y"x=y"t×t"x.بر اساس قانون تمایز تابع معکوس، بنابراین:

فرمول به دست آمده (2.6) به شخص اجازه می دهد تا مشتق یک تابع را که به صورت پارامتری مشخص شده است، پیدا کند.

مثال 4. اجازه دهید تابع y، بسته به x، به صورت پارامتری مشخص می شود:

راه حل. .
مثال 5.شیب را پیدا کنید کمماس بر سیکلوئید در نقطه M 0 مربوط به مقدار پارامتر.
راه حل.از معادلات سیکلوئید: y" t = asint، x" t = a (1 - هزینه)،به همین دلیل است

فاکتور شیبمماس در یک نقطه M0برابر با مقدار در t 0 = π/4:

تابع دیفرانسیل

اجازه دهید تابع در نقطه x 0مشتق دارد. طبق تعریف:
بنابراین، با توجه به ویژگی های حد (بخش 1.8)، که در آن الف- بی نهایت کوچک در Δx → 0. از اینجا

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

به عنوان Δx → 0، جمله دوم در برابری (2.7) یک بی نهایت کوچک از مرتبه بالاتر است، در مقایسه با ، بنابراین Δy و f " (x 0)×Δx معادل هستند، بی نهایت کوچک (برای f "(x 0) ≠ 0).

بنابراین، افزایش تابع Δy از دو جمله تشکیل شده است که f "(x 0)×Δx اول آن است. بخش اصلی افزایش Δy، خطی نسبت به Δx (برای f "(x 0)≠ 0).

دیفرانسیلتابع f(x) در نقطه x 0 فراخوانی می شود بخش اصلیتابع را افزایش می دهد و با: دویا df(x0). از این رو،

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

مثال 1.دیفرانسیل یک تابع را پیدا کنید دوو افزایش تابع Δy برای تابع y = x 2 در:
1) خودسرانه xو Δ x; 2) x 0 = 20، Δx = 0.1.

راه حل

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2، dy = 2xΔx.

2) اگر x 0 = 20، Δx = 0.1، پس Δy = 40×0.1 + (0.1) 2 = 4.01; dy = 40×0.1 = 4.

اجازه دهید برابری (2.7) را به شکل زیر بنویسیم:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

افزایش Δy با دیفرانسیل متفاوت است دودر مقایسه با Δx به یک بی نهایت کوچک از مرتبه بالاتر، بنابراین، در محاسبات تقریبی، اگر Δx به اندازه کافی کوچک باشد، از برابری تقریبی Δy ≈ dy استفاده می شود.

با توجه به اینکه Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0) یک فرمول تقریبی به دست می آوریم:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

مثال 2. تقریبا محاسبه کنید

راه حل.در نظر بگیرید:

با استفاده از فرمول (2.10) به دست می آوریم:

بنابراین، ≈ 2.025.

در نظر بگیریم معنی هندسیدیفرانسیل df (x 0)(شکل 2.6).

اجازه دهید یک مماس بر نمودار تابع y = f(x) در نقطه M 0 رسم کنیم (x0, f(x 0))، فرض کنید φ زاویه بین مماس KM0 و محور Ox باشد، سپس f"( x 0) = tanφ از ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). اما PN افزایش مختصات مماس با تغییر x از x 0 به x 0 + Δx است.

در نتیجه، دیفرانسیل تابع f(x) در نقطه x 0 برابر است با افزایش مختصات مماس.

بیایید دیفرانسیل تابع را پیدا کنیم
y = x. از آنجایی که (x)" = 1، پس dx = 1×Δx = Δx. فرض می کنیم که دیفرانسیل متغیر مستقل x برابر با افزایش آن است، یعنی dx = Δx.

اگر x یک عدد دلخواه باشد، از برابری (2.8) df(x) = f "(x)dx بدست می آوریم، از آنجا .
بنابراین، مشتق یک تابع y = f(x) برابر است با نسبت دیفرانسیل آن به دیفرانسیل آرگومان.

بیایید ویژگی های دیفرانسیل یک تابع را در نظر بگیریم.

اگر u(x)، v(x) توابع قابل تمایز هستند، فرمول های زیر معتبر هستند:

برای اثبات این فرمول ها از فرمول های مشتق برای مجموع، حاصلضرب و ضریب یک تابع استفاده می شود. اجازه دهید برای مثال، فرمول (2.12) را ثابت کنیم:

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

بیایید دیفرانسیل یک تابع مختلط را در نظر بگیریم: y = f(x)، x = φ(t)، i.e. y = f(φ(t)).

سپس dy = y" t dt، اما y" t = y" x ×x" t، بنابراین dy =y" x x" t dt. با توجه به،

که x" t = dx، ما dy = y" x dx =f "(x)dx را دریافت می کنیم.

بنابراین، دیفرانسیل یک تابع مختلط y = f(x)، که در آن x =φ(t)، شکل dy = f "(x)dx دارد، مانند حالتی که x یک متغیر مستقل است. این ویژگی نامیده می شود تغییر ناپذیری شکل دیفرانسیل الف