مشکلات مربوط به پیشروی حسابی از قبل در دوران باستان وجود داشت. حضور پیدا کردند و خواستار راه حل شدند چون نیاز عملی داشتند.

بنابراین، در یکی از پاپیروس ها مصر باستان"، که دارای محتوای ریاضی است - پاپیروس رایند (قرن 19 قبل از میلاد) - شامل این کار است: ده پیمانه نان را بین ده نفر تقسیم کنید، مشروط بر اینکه اختلاف بین هر یک از آنها یک هشتم پیمانه باشد."

و در آثار ریاضی یونانیان باستان قضایای ظریفی وجود دارد که مربوط به پیشروی حسابی است. بنابراین، Hypsicles of Alexandria (قرن دوم، که بسیاری از مسائل جالب را تنظیم کرد و کتاب چهاردهم را به عناصر اقلیدس اضافه کرد)، این ایده را فرموله کرد: «در یک پیشروی حسابی که دارای تعداد زوج است، مجموع عبارت‌های نیمه دوم بیشتر از مقداراعضای 1 در مربع 1/2 تعداد اعضا.”

دنباله با یک نشان داده می شود. اعداد یک دنباله را اعضای آن می نامند و معمولاً با حروف با شاخص هایی مشخص می شوند که شماره سریال این عضو را نشان می دهد (a1، a2، a3 ... به عنوان خوانده شده: "a 1st"، "a 2nd"، "a 3nd" و غیره).

دنباله می تواند نامتناهی یا متناهی باشد.

پیشروی حسابی چیست؟ منظور ما از جمع کردن عبارت قبلی (n) با همان عدد d است که اختلاف پیشروی است.

اگر د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0، سپس این پیشرفت در حال افزایش در نظر گرفته می شود.

پیشرفت حسابیمحدود نامیده می شود اگر فقط چند عبارت اول آن در نظر گرفته شود. در خیلی مقادیر زیاداعضا در حال حاضر یک پیشرفت بی پایان است.

هر پیشروی حسابی با فرمول زیر تعریف می شود:

an =kn+b، در حالی که b و k برخی از اعداد هستند.

گزاره مخالف کاملاً درست است: اگر دنباله ای با فرمول مشابهی داده شود، دقیقاً یک پیشرفت حسابی است که دارای ویژگی های زیر است:

1. هر جمله از پیشرفت، میانگین حسابی ترم قبلی و ترم بعدی است.
2. برعکس: اگر با شروع از دوم، هر جمله میانگین حسابی جمله قبلی و بعدی باشد، یعنی. اگر شرط برآورده شود، این دنباله یک پیشرفت حسابی است. این تساوی نیز نشانه پیشرفت است، به همین دلیل است که معمولاً به آن ویژگی مشخصه پیشرفت می گویند.
   به همین ترتیب، قضیه ای که این ویژگی را منعکس می کند صادق است: یک دنباله فقط در صورتی یک پیشرفت حسابی است که این برابری برای هر یک از عبارت های دنباله صادق باشد، که از 2 شروع می شود.

ویژگی مشخصه برای هر چهار عدد از یک پیشروی حسابی را می توان با فرمول an + am = ak + al بیان کرد، اگر n + m = k + l (m، n، k اعداد پیشروی هستند).

در یک پیشرفت حسابی، هر عبارت ضروری (N) را می توان با استفاده از فرمول زیر پیدا کرد:

به عنوان مثال: جمله اول (a1) در یک تصاعد حسابی برابر با سه است و اختلاف (d) برابر با چهار است. شما باید ترم چهل و پنجم این پیشرفت را پیدا کنید. a45 = 1+4 (45-1) = 177

فرمول an = ak + d(n - k) به ما امکان می دهد تعیین کنیم ترم نهمیک پیشروی حسابی از طریق هر یک از جمله‌های kth آن، مشروط بر اینکه مشخص باشد.

مجموع عبارات یک تصاعد حسابی (به معنای n جمله اول یک پیشروی متناهی است) به صورت زیر محاسبه می شود:

Sn = (a1+an) n/2.

اگر عبارت اول نیز شناخته شده باشد، فرمول دیگری برای محاسبه راحت است:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

مجموع یک تصاعد حسابی که حاوی n جمله است به صورت زیر محاسبه می شود:

انتخاب فرمول برای محاسبات به شرایط مسائل و داده های اولیه بستگی دارد.

سری طبیعی هر عددی مانند 1،2،3،...،n،...- ساده ترین مثالپیشرفت حسابی

علاوه بر پیشروی حسابی، یک تصاعد هندسی نیز وجود دارد که خواص و ویژگی های خاص خود را دارد.

قبل از اینکه تصمیم بگیریم مشکلات پیشروی حسابی، بیایید در نظر بگیریم که یک دنباله اعداد چیست، زیرا یک پیشروی حسابی است مورد خاصدنباله اعداد

دنباله اعداد مجموعه اعدادی است که هر عنصر آن شماره سریال خاص خود را دارد. عناصر این مجموعه را اعضای دنباله می نامند. شماره سریال یک عنصر دنباله با یک شاخص نشان داده می شود:

اولین عنصر دنباله؛

عنصر پنجم دنباله؛

- عنصر "nامین" دنباله، یعنی. عنصر "ایستاده در صف" در شماره n.

بین مقدار یک عنصر دنباله و شماره دنباله آن رابطه وجود دارد. بنابراین می توانیم دنباله ای را تابعی در نظر بگیریم که آرگومان آن عدد ترتیبی عنصر دنباله باشد. به عبارت دیگر می توان گفت که دنباله تابعی از آرگومان طبیعی است:

دنباله را می توان به سه روش تنظیم کرد:

1 . توالی را می توان با استفاده از جدول مشخص کرد.در این مورد، ما به سادگی مقدار هر یک از اعضای دنباله را تعیین می کنیم.

به عنوان مثال، شخصی تصمیم گرفت مدیریت زمان شخصی را به عهده بگیرد و برای شروع، تعداد زمانی را که در طول هفته در VKontakte صرف می کند، حساب کند. با ثبت زمان در جدول، دنباله ای متشکل از هفت عنصر دریافت می کند:

خط اول جدول تعداد روز هفته را نشان می دهد، دوم - زمان را در دقیقه. ما می بینیم که، یعنی دوشنبه، شخصی 125 دقیقه را در VKontakte، یعنی پنجشنبه - 248 دقیقه، و یعنی جمعه فقط 15 دقیقه صرف کرد.

2 . دنباله را می توان با استفاده از فرمول ترم n مشخص کرد.

در این حالت، وابستگی مقدار یک عنصر دنباله به تعداد آن به طور مستقیم در قالب یک فرمول بیان می شود.

به عنوان مثال، اگر، پس

برای یافتن مقدار یک عنصر دنباله با یک عدد معین، عدد عنصر را با فرمول n ام جایگزین می کنیم.

اگر بخواهیم مقدار یک تابع را در صورتی که مقدار آرگومان مشخص باشد، پیدا کنیم، همین کار را انجام می دهیم. مقدار آرگومان را با معادله تابع جایگزین می کنیم:

اگر مثلاً ، آن

اجازه دهید یک بار دیگر متذکر شوم که بر خلاف دلخواه به ترتیب تابع عددی، آرگومان فقط می تواند یک عدد طبیعی باشد.

3 . دنباله را می توان با استفاده از فرمولی تعیین کرد که وابستگی مقدار عضو دنباله شماره n را به مقدار اعضای قبلی بیان می کند.

در این صورت، دانستن تنها تعداد عضو دنباله برای یافتن مقدار آن کافی نیست. باید اولین عضو یا چند عضو اول دنباله را مشخص کنیم. ,

به عنوان مثال، دنباله را در نظر بگیرید ما می توانیم مقادیر اعضای دنباله را پیدا کنیمیکی یکی

، از سوم شروع می شود: یعنی هر بار برای یافتن مقدار nام دنباله به دو مورد قبلی برمی گردیم. این روش برای تعیین یک دنباله نامیده می شودعود کننده ، از کلمه لاتینتکرار شود

- برگرد

اکنون می توانیم یک پیشرفت حسابی را تعریف کنیم. پیشروی حسابی یک مورد خاص ساده از یک دنباله اعداد است. دنباله ای عددی است که هر عضو آن با شروع از دومی برابر است با عضو قبلی که به همان عدد اضافه شده است.

شماره تماس گرفته می شود تفاوت پیشرفت حسابی. اختلاف یک پیشروی حسابی می تواند مثبت، منفی یا برابر با صفر باشد.

اگر title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} افزایش می یابد.

به عنوان مثال، 2; 5 8; 11;...

اگر، پس هر ترم یک تصاعد حسابی کمتر از عبارت قبلی است و پیشرفت آن است در حال کاهش است.

به عنوان مثال، 2; -1؛ -4 -7;...

اگر، پس همه شرایط پیشرفت برابر با یک عدد هستند، و پیشرفت برابر است ثابت.

مثلا 2;2;2;2;...

ویژگی اصلی یک پیشرفت حسابی:

بیایید به نقاشی نگاه کنیم.

ما آن را می بینیم

، و در عین حال

با افزودن این دو برابری، به دست می آوریم:

.

بیایید هر دو طرف تساوی را بر 2 تقسیم کنیم:

بنابراین، هر عضو پیشروی حسابی، با شروع از دوم، برابر است با میانگین حسابی دو عضو همسایه:

علاوه بر این، از آنجا که

، و در عین حال

، آن

، و بنابراین

هر جمله از یک پیشروی حسابی، که با title="k>l) شروع می شود">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

فرمول ترم

می بینیم که شرایط پیشروی حسابی روابط زیر را برآورده می کند:

و در نهایت

گرفتیم فرمول ترم n

مهم!هر عضوی از یک پیشرفت حسابی را می توان از طریق و بیان کرد. با دانستن جمله اول و تفاوت یک پیشروی حسابی، می توانید هر یک از عبارت های آن را پیدا کنید.

مجموع n ترم یک پیشروی حسابی.

در یک پیشروی حسابی دلخواه، مجموع عبارت‌هایی که فاصله آن‌ها از حد فاصل آنها برابر است با یکدیگر برابر است:

یک تصاعد حسابی با n جمله در نظر بگیرید. اجازه دهید مجموع n جمله این پیشرفت برابر باشد.

بیایید شرایط پیشروی را ابتدا به ترتیب صعودی اعداد و سپس به ترتیب نزولی مرتب کنیم:

بیایید جفت اضافه کنیم:

مجموع هر براکت برابر است، تعداد جفت ها n است.

دریافت می کنیم:

بنابراین، مجموع n جمله یک پیشرفت حسابی را می توان با استفاده از فرمول های زیر پیدا کرد:

در نظر بگیریم حل مسائل پیشروی حسابی.

1 . دنباله با فرمول n ام به دست می آید: . ثابت کنید که این دنباله یک تصاعد حسابی است.

اجازه دهید ثابت کنیم که تفاوت بین دو جمله مجاور دنباله برابر با یک عدد است.

ما دریافتیم که تفاوت بین دو عضو مجاور دنباله به تعداد آنها بستگی ندارد و ثابت است. بنابراین، طبق تعریف، این دنباله یک تصاعد حسابی است.

2 . با توجه به پیشرفت حسابی -31; -27;...

الف) 31 عبارت پیشرفت را بیابید.

ب) تعیین کنید که آیا عدد 41 در این پیشروی گنجانده شده است یا خیر.

الف)می بینیم که؛

بیایید فرمول ترم n را برای پیشرفت خود بنویسیم.

به طور کلی

در مورد ما ، به همین دلیل است

بسیاری از مردم در مورد پیشرفت محاسباتی شنیده‌اند، اما همه نمی‌دانند که آن چیست. در این مقاله ما تعریف مربوطه را ارائه می دهیم و همچنین به این سؤال می پردازیم که چگونه تفاوت یک پیشروی حسابی را پیدا کنیم و تعدادی مثال ارائه می دهیم.

تعریف ریاضی

بنابراین اگر ما در مورددر مورد پیشرفت حسابی یا جبری (این مفاهیم یک چیز را تعریف می کنند)، پس این بدان معنی است که مقداری وجود دارد سری اعداد، مطابق با قانون زیر است: هر دو عدد مجاور در یک سری با یک مقدار متفاوت هستند. از نظر ریاضی به این صورت نوشته شده است:

در اینجا n به معنای تعداد عنصر a n در دنباله است و عدد d تفاوت پیشروی است (نام آن از فرمول ارائه شده است).

دانستن تفاوت d به چه معناست؟ در مورد اینکه اعداد همسایه چقدر از یکدیگر فاصله دارند. با این حال، آگاهی از d شرط لازم اما کافی برای تعیین (بازیابی) کل پیشرفت است. لازم است یک عدد دیگر بدانید که می تواند مطلقاً هر عنصر از سری مورد بررسی باشد، به عنوان مثال، 4، a10، اما، به عنوان یک قاعده، آنها از اولین عدد، یعنی یک 1 استفاده می کنند.

فرمول هایی برای تعیین عناصر پیشرفت

به طور کلی، اطلاعات بالا از قبل برای حرکت به سمت راه حل کافی است وظایف خاص. با این وجود، قبل از اینکه پیشرفت محاسباتی داده شود، و لازم باشد تفاوت آن را پیدا کنیم، چند فرمول مفید را ارائه خواهیم داد، در نتیجه روند بعدی حل مسائل را تسهیل می کنیم.

به راحتی می توان نشان داد که هر عنصری از دنباله با عدد n را می توان به صورت زیر یافت:

a n = a 1 + (n - 1) * d

در واقع، هر کسی می‌تواند این فرمول را با جستجوی ساده بررسی کند: اگر n = 1 را جایگزین کنید، اولین عنصر را دریافت می‌کنید، اگر n = 2 را جایگزین کنید، سپس عبارت مجموع عدد اول و تفاوت را نشان می‌دهد و غیره.

شرایط بسیاری از مسائل به گونه ای تشکیل شده است که با توجه به یک جفت اعداد شناخته شده که اعداد آنها نیز در دنباله آورده شده است، لازم است کل سری اعداد بازسازی شود (تفاوت و عنصر اول را بیابید). حالا ما این مشکل را حل خواهیم کرد نمای کلی.

بنابراین، اجازه دهید دو عنصر با اعداد n و m داده شود. با استفاده از فرمول به دست آمده در بالا، می توانید یک سیستم از دو معادله ایجاد کنید:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

برای یافتن مقادیر مجهول از معلوم استفاده می کنیم ترفند سادهراه حل های چنین سیستمی: طرف چپ و راست را به صورت جفت کم کنید، تساوی معتبر باقی می ماند. ما داریم:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

بنابراین، ما یک مجهول (a 1) را حذف کردیم. حال می توانیم عبارت نهایی را برای تعیین d بنویسیم:

d = (a n - a m) / (n - m)، که در آن n > m

خیلی گرفتیم فرمول ساده: برای محاسبه تفاوت d مطابق با شرایط مسئله، فقط باید نسبت تفاوت بین خود عناصر و شماره سریال آنها را در نظر بگیرید. باید به یکی توجه کرد نکته مهمتوجه: تفاوت‌ها بین اعضای « ارشد» و «جوانتر» گرفته می‌شود، یعنی n > m (« ارشد» به معنای دورتر ایستادن از ابتدای دنباله است. ارزش مطلقممکن است بزرگتر یا کوچکتر از عنصر "جونیور" باشد).

عبارت تفاوت پیشروی d باید در ابتدای حل مسئله در هر یک از معادلات جایگزین شود تا مقدار جمله اول به دست آید.

در عصر توسعه ما تکنولوژی کامپیوتربسیاری از دانش‌آموزان سعی می‌کنند راه‌حل‌هایی برای تکالیف خود در اینترنت بیابند، بنابراین سؤالاتی از این نوع اغلب مطرح می‌شود: تفاوت یک پیشرفت حسابی را به صورت آنلاین پیدا کنید. برای چنین درخواستی، موتور جستجو تعدادی صفحه وب را برمی گرداند که با رفتن به آنها باید داده های شناخته شده از شرایط را وارد کنید (این می تواند دو عبارت پیشرفت یا مجموع تعداد معینی از آنها باشد. ) و فوراً پاسخ دریافت کنید. با این وجود، این رویکرد برای حل مشکل از نظر رشد و درک دانش آموز از ماهیت وظیفه ای که به او محول شده است، بی ثمر است.

راه حل بدون استفاده از فرمول

بیایید مشکل اول را بدون استفاده از هیچ یک از فرمول های داده شده حل کنیم. اجازه دهید عناصر سری داده شوند: a6 = 3، a9 = 18. تفاوت پیشروی حسابی را پیدا کنید.

عناصر شناخته شده در یک ردیف نزدیک به یکدیگر ایستاده اند. اختلاف d را چند برابر باید به کوچکترین اضافه کرد تا بزرگترین حاصل شود؟ سه بار (بار اول با اضافه کردن d، عنصر هفتم، بار دوم - هشتم، و در نهایت، بار سوم - نهم) به دست می آید. برای بدست آوردن 18 چه عددی باید سه بار به سه اضافه شود؟ این عدد پنج است. واقعا:

بنابراین، تفاوت مجهول d = 5.

البته راه حل می توانست با استفاده از فرمول مناسب انجام شود، اما این کار عمدی انجام نشده است. توضیح مفصلراه حل مشکل باید روشن شود و یک نمونه درخشانپیشروی حسابی چیست؟

کاری شبیه به کار قبلی

حالا بیایید یک مشکل مشابه را حل کنیم، اما داده های ورودی را تغییر دهید. بنابراین، باید پیدا کنید که a3 = 2، a9 = 19.

البته، می توانید دوباره به روش راه حل "هدر رو" متوسل شوید. اما از آنجایی که عناصر سریال ارائه شده است که نسبتاً از یکدیگر فاصله دارند، این روش کاملاً مناسب نخواهد بود. اما استفاده از فرمول به‌سرعت ما را به پاسخ می‌رساند:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

در اینجا عدد نهایی را گرد کرده ایم. میزانی که این گرد کردن منجر به خطا شده است را می توان با بررسی نتیجه قضاوت کرد:

a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

این نتیجه تنها 0.1٪ با مقدار داده شده در شرایط متفاوت است. بنابراین، گرد کردن به نزدیکترین صدم را می توان یک انتخاب موفق در نظر گرفت.

مشکلات مربوط به استفاده از فرمول برای یک عبارت

در نظر بگیریم نمونه کلاسیکوظایف تعیین مجهول d: تفاوت پیشروی حسابی را در صورت a1 = 12، a5 = 40 بیابید.

وقتی دو عدد از یک دنباله جبری مجهول داده می شود و یکی از آنها عنصر a 1 است، دیگر نیازی به فکر کردن طولانی نیست، بلکه باید فوراً فرمول عبارت a n را اعمال کنید. در در این موردما داریم:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

ما عدد دقیق را هنگام تقسیم دریافت کردیم، بنابراین بررسی صحت نتیجه محاسبه شده، همانطور که در پاراگراف قبلی انجام شد، فایده ای ندارد.

بیایید یک مشکل مشابه دیگر را حل کنیم: ما باید تفاوت یک پیشروی حسابی را پیدا کنیم اگر a1 = 16، a8 = 37.

ما از روشی مشابه روش قبلی استفاده می کنیم و دریافت می کنیم:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

چه چیز دیگری باید در مورد پیشرفت حسابی بدانید؟

علاوه بر مشکلات پیدا کردن یک تفاوت ناشناخته یا عناصر منفرد، غالباً حل مسائل حاصل از مجموع جمله های اول یک دنباله ضروری است. در نظر گرفتن این وظایف خارج از حوصله مقاله است، اما برای کامل بودن اطلاعات ارائه می کنیم فرمول کلیبرای مجموع n عدد در یک سری:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

ماشین حساب آنلاین.
حل یک پیشرفت حسابی
داده شده: a n، d، n
پیدا کنید: a 1

این برنامه ریاضی \(a_1\) یک پیشرفت حسابی را بر اساس اعداد مشخص شده توسط کاربر \(a_n, d\) و \(n\) پیدا می کند.
اعداد \(a_n\) و \(d\) را می توان نه تنها به صورت اعداد صحیح، بلکه به صورت کسری نیز مشخص کرد. علاوه بر این، عدد کسریرا می توان به عنوان کسر اعشاری (\(2.5\)) و به عنوان وارد کرد کسر مشترک(\(-5\frac(2)(7)\)).

این برنامه نه تنها پاسخ مشکل را می دهد، بلکه روند یافتن راه حل را نیز نمایش می دهد.

این ماشین حساب آنلاین ممکن است برای دانش آموزان دبیرستانی مفید باشد مدارس متوسطهدر آماده سازی برای تست هاو امتحانات، هنگام آزمایش دانش قبل از آزمون دولتی واحد، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید آن را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟مشق شب

در ریاضیات یا جبر؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید. به این ترتیب می توانید آموزش و/یا آموزش خود را انجام دهید.برادران کوچکتر

یا خواهران، در حالی که سطح تحصیلات در زمینه مشکلات در حال حل افزایش می یابد.

اگر با قوانین درج اعداد آشنا نیستید، توصیه می کنیم با آنها آشنا شوید.

قوانین وارد کردن اعداد
اعداد \(a_n\) و \(d\) را می توان نه تنها به صورت اعداد صحیح، بلکه به صورت کسری نیز مشخص کرد.

عدد \(n\) فقط می تواند یک عدد صحیح مثبت باشد.
قوانین وارد کردن کسرهای اعشاری
اجزای صحیح و کسری در کسرهای اعشاری را می توان با نقطه یا کاما از هم جدا کرد. برای مثال می توانید وارد شویداعشاری

بنابراین 2.5 یا بیشتر 2.5
قوانین وارد کردن کسرهای معمولی

فقط یک عدد کامل می تواند به عنوان صورت، مخرج و جزء صحیح یک کسر عمل کند.

مخرج نمی تواند منفی باشد. هنگام ورودکسر عددی /
صورت با علامت تقسیم از مخرج جدا می شود:
ورودی:

نتیجه: \(-\frac(2)(3)\)کل بخش &
صورت با علامت تقسیم از مخرج جدا می شود:
با آمپرسند از کسر جدا می شود:

نتیجه: \(-1\frac(2)(3)\)

اعداد a n , d , n را وارد کنید

1 را پیدا کنید
مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.

در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.
جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.

در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.
چون افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود. لطفا صبر کنید

ثانیه... اگر شمامتوجه خطا در راه حل شد
، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید. فراموش نکنیدمشخص کنید کدام کار شما تصمیم می گیرید چه چیزی.

در فیلدها وارد کنید

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

دنباله اعداد شماره گذاری اغلب در تمرینات روزمره استفاده می شودآیتم های مختلف

در یک پس انداز، با استفاده از شماره حساب شخصی سپرده گذار، به راحتی می توانید این حساب را پیدا کنید و ببینید چه سپرده ای در آن وجود دارد. بگذارید حساب شماره 1 حاوی سپرده a1 روبل باشد، حساب شماره 2 حاوی سپرده a2 روبل و غیره باشد. دنباله اعداد
a 1، a 2، a 3، ...، a N
که در آن N تعداد تمام حساب ها است. در اینجا، هر عدد طبیعی n از 1 تا N با عدد a n مرتبط است.

همچنین در ریاضیات تحصیل کرده است دنباله های اعداد بی نهایت:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
عدد a 1 نامیده می شود اولین ترم دنباله، شماره a 2 - ترم دوم دنباله، شماره a 3 - ترم سوم دنبالهو غیره
عدد a n نامیده می شود نهمین (نهمین) عضو دنبالهو عدد طبیعی n آن است شماره.

به عنوان مثال، در یک دنباله از مربع اعداد طبیعی 1، 4، 9، 16، 25، ...، n 2، (n + 1) 2، ... و 1 = 1 اولین جمله دنباله است. و n = n 2 است ترم نهمدنباله ها a n+1 = (n + 1) 2 (n + 1)امین (n به علاوه اول) جمله دنباله است. اغلب یک دنباله را می توان با فرمول n ام آن مشخص کرد. به عنوان مثال، فرمول \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) دنباله \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3), \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n), \dots

پیشرفت حسابی

طول سال تقریباً 365 روز است. بیشتر ارزش دقیقبرابر با \(365\frac(1)(4)\) روز است، بنابراین هر چهار سال یک خطای یک روز جمع می شود.

برای محاسبه این خطا به هر سال چهارم یک روز اضافه می شود و سال تمدید شده سال کبیسه نامیده می شود.

مثلاً در هزاره سوم سال های کبیسهسال های 2004، 2008، 2012، 2016، ... .

در این دنباله، هر عضو، با شروع از دوم، برابر با عضو قبلی است که به همان عدد 4 اضافه می شود. چنین دنباله هایی نامیده می شوند. پیشرفت های حسابی.

تعریف.
دنباله اعداد a 1، a 2، a 3، ...، a n، ... نامیده می شود پیشرفت حسابی، اگر برای همه n برابری طبیعی است
\(a_(n+1) = a_n+d، \)
جایی که d مقداری است.

از این فرمول نتیجه می شود که a n+1 - a n = d. عدد d را تفاضل می گویند پیشرفت حسابی.

با تعریف پیشروی حسابی داریم:
\(a_(n+1)=a_n+d، \quad a_(n-1)=a_n-d، \)
کجا
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \)، جایی که \(n>1 \)

بنابراین، هر جمله از یک پیشروی حسابی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین حسابی دو جمله مجاور آن. این نام پیشرفت "حساب" را توضیح می دهد.

توجه داشته باشید که اگر 1 و d داده شوند، می‌توان با استفاده از فرمول تکرارشونده a n+1 = a n + d، باقی‌مانده‌ی پیشرفت حسابی را محاسبه کرد. به این ترتیب محاسبه چند ترم اول پیشرفت کار دشواری نیست، با این حال، برای مثال، یک 100 قبلاً به محاسبات زیادی نیاز دارد. به طور معمول، از فرمول n ام برای این استفاده می شود. با تعریف پیشروی حسابی
\(a_2=a_1+d، \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d، \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
و غیره
اصلا،
\(a_n=a_1+(n-1)d، \)
از آنجایی که nامین ترم یک پیشروی حسابی از جمله اول با جمع (n-1) ضربدر عدد d به دست می آید.
این فرمول نامیده می شود فرمول nامین ترم یک پیشرفت حسابی.

مجموع n جمله اول یک پیشروی حسابی

مجموع تمام اعداد طبیعی از 1 تا 100 را بیابید.
بیایید این مقدار را به دو صورت بنویسیم:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100،
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
بیایید این برابری ها را ترم به ترم اضافه کنیم:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
این جمع دارای 100 عبارت است
بنابراین، 2S = 101 * 100، بنابراین S = 101 * 50 = 5050.

اجازه دهید اکنون یک پیشرفت حسابی دلخواه را در نظر بگیریم
a 1، a 2، a 3، ...، a n، ...
فرض کنید S n حاصل جمع n جمله اول این پیشرفت باشد:
S n = a 1، a 2، a 3، ...، a n
سپس مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی برابر است با
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

از آنجایی که \(a_n=a_1+(n-1)d\)، سپس با جایگزینی n در این فرمول، فرمول دیگری برای یافتن دریافت می کنیم. مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

کتاب ها (کتاب های درسی) چکیده آزمون های آنلاین آزمون دولتی و آزمون یکپارچه دولتی بازی ها، پازل ها رسم نمودار توابع فرهنگ لغت املای زبان روسی فرهنگ لغت عامیانه جوانان کاتالوگ مدارس روسیه کاتالوگ موسسات آموزشی متوسطه روسیه کاتالوگ لیست دانشگاه های روسیه از وظایف

دستورالعمل ها

پیشروی حسابی دنباله ای به شکل a1، a1+d، a1+2d...، a1+(n-1)d است. گام شماره d پیشرفتبدیهی است که کلی یک n-امین جمله دلخواه حسابی پیشرفتشکل دارد: An = A1+(n-1)d. سپس شناخت یکی از اعضا پیشرفت، عضو پیشرفتو گام پیشرفت، شما می توانید، یعنی تعداد عضو پیشرفت. بدیهی است که با فرمول n = (An-A1+d)/d تعیین خواهد شد.

بگذارید اکنون عبارت mth شناخته شود پیشرفتو یک عضو دیگر پیشرفت- n ام، اما n، مانند مورد قبلی، اما مشخص است که n و m بر هم منطبق نیستند پیشرفترا می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: d = (An-Am)/(n-m). سپس n = (An-Am+md)/d.

اگر مجموع چند عنصر یک معادله حسابی مشخص باشد پیشرفت، و همچنین اولین و آخرین آن، سپس تعداد این عناصر را نیز می توان تعیین کرد پیشرفتبرابر خواهد بود با: S = ((A1+An)/2)n. سپس n = 2S/(A1+An) - chdenov پیشرفت. با استفاده از این واقعیت که An = A1+(n-1)d، این فرمول را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: n = 2S/(2A1+(n-1)d). از اینجا می توانیم n را با حل بیان کنیم معادله درجه دوم.

دنباله حسابی مجموعه مرتب شده ای از اعداد است که هر یک از اعضای آن، به جز اولین، به همان میزان با قبلی تفاوت دارند. این مقدار ثابت را تفاضل پیشروی یا گام آن می‌نامند و می‌توان آن را از عبارت‌های شناخته شده پیشروی حسابی محاسبه کرد.

دستورالعمل ها

اگر مقادیر اول و دوم یا هر جفت ترم مجاور دیگری از شرایط مسئله مشخص باشد، برای محاسبه تفاوت (d) کافی است مورد قبلی را از عبارت بعدی کم کنید. مقدار حاصل می تواند مثبت باشد یا عدد منفی- بستگی به این دارد که آیا پیشرفت در حال افزایش است یا خیر. در فرم کلیراه‌حل یک جفت (aᵢ و aᵢ₊1) از شرایط همسایه پیشرفت را به صورت زیر بنویسید: d = aᵢ₊1 - aᵢ.

برای یک جفت عبارت از چنین پیشرفتی، که یکی از آنها اولین (a1) و دیگری هر مورد دیگری است که به طور دلخواه انتخاب شده است، همچنین می توان فرمولی برای یافتن تفاوت (d) ایجاد کرد. با این حال، در این مورد، شماره سریال (i) یک عضو انتخاب شده دلخواه از دنباله باید شناخته شود. برای محاسبه تفاوت، هر دو عدد را جمع کنید و نتیجه حاصل را بر عدد ترتیبی یک جمله دلخواه تقسیم کنید. به طور کلی، این فرمول را به صورت زیر بنویسید: d = (a1+ aᵢ)/(i-1).

اگر علاوه بر عضو دلخواه یک پیشروی حسابی با عدد ترتیبی i، عضو دیگری با عدد ترتیبی u شناخته شده است، فرمول مرحله قبل را بر این اساس تغییر دهید. در این صورت، تفاوت (d) پیشرفت حاصل جمع این دو عبارت تقسیم بر اختلاف اعداد ترتیبی آنها خواهد بود: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

فرمول محاسبه اختلاف (d) تا حدودی پیچیده‌تر می‌شود اگر شرایط مسئله مقدار اولین جمله آن (a1) و مجموع (Sᵢ) یک عدد معین (i) از جمله‌های اول دنباله حسابی را بدهد. برای به دست آوردن مقدار مورد نظر، مجموع را بر تعداد عبارت هایی که آن را تشکیل می دهند تقسیم کنید، مقدار اولین عدد را در دنباله کم کنید و نتیجه را دو برابر کنید. مقدار حاصل را بر تعداد عباراتی که مجموع را تشکیل می دهند تقسیم کنید که به یک کاهش می یابد. به طور کلی، فرمول محاسبه ممیز را به صورت زیر بنویسید: d = 2*(Sᵢ/i-a1)/(i-1).