درجه با گزینه گویا 3. ویژگی های درجات، فرمول ها، برهان ها، مثال ها

MBOU "Sidorskaya"

دبیرستان»

توسعه یک طرح کلی درس باز

در جبر در کلاس یازدهم با موضوع:

تهیه و اجرا شد

معلم ریاضی

اسخاکوا E.F.

طرح کلی درس آزاد جبر پایه یازدهم.

موضوع : "مدرک تحصیلی با توان منطقی."

نوع درس : یادگیری مطالب جدید

اهداف درس:

دانش‌آموزان را با مفهوم مدرک با توان گویا و ویژگی‌های اساسی آن بر اساس مطالبی که قبلاً مطالعه شده‌اند (درجه با توان عدد صحیح) آشنا کنید.

مهارت های محاسباتی و توانایی تبدیل و مقایسه اعداد با توان های گویا را توسعه دهید.

توسعه سواد ریاضی و علاقه ریاضی در دانش آموزان.

تجهیزات : کارت های وظیفه، ارائه دانش آموز بر اساس مدرک با نشانگر عدد صحیح، ارائه معلم به درجه با نشانگر منطقی، لپ تاپ، پروژکتور چند رسانه ای، صفحه نمایش.

پیشرفت درس:

لحظه سازمانی

بررسی تسلط بر مبحث تحت پوشش با استفاده از کارت های وظیفه فردی.

وظیفه شماره 1.

=2;

ب) =x + 5;

سیستم را حل کنید معادلات غیر منطقی: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

وظیفه شماره 2.

حل معادله غیر منطقی: = - 3;

ب) = x - 2;

حل سیستم معادلات غیر منطقی: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

موضوع و اهداف درس را به اشتراک بگذارید.

موضوع درس امروز ما این است: قدرت با توان منطقی».

توضیح مطالب جدید با استفاده از مثال مطالبی که قبلا مطالعه شده است.

قبلاً با مفهوم درجه با توان عدد صحیح آشنا هستید. چه کسی به من کمک می کند تا آنها را به خاطر بسپارم؟

تکرار با استفاده از ارائه " درجه با توان عدد صحیح».

برای هر اعداد a، b و هر اعداد صحیح m و n برابری درست است:

a m * a n =a m+n ;

a m: a n =a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn ;

(a ب) n =a n * b n ;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 =a ;

a 0 = 1 (a ≠ 0) امروز مفهوم توان یک عدد را تعمیم می دهیم و به عباراتی که دارای توان کسری هستند معنی می دهیم. معرفی کنیمتعریف

درجه با توان گویا (ارائه "درجه با توان گویا"): > قدرت یک 0 با توان گویا = r ، کجا متر یک عدد صحیح است و n یک عدد صحیح است و > - طبیعی ( ، کجا .

بنابراین، طبق تعریف ما آن را دریافت می کنیم = متر .

بیایید سعی کنیم این تعریف را هنگام تکمیل یک کار اعمال کنیم.

مثال شماره 1

من عبارت را به صورت ریشه یک عدد ارائه می کنم:

الف) ب) IN) .

حال بیایید سعی کنیم این تعریف را به صورت معکوس اعمال کنیم

II عبارت را به عنوان یک قدرت با توان منطقی بیان کنید:

الف) 2 ب) IN) 5 .

توان 0 فقط برای نماهای مثبت تعریف می شود.

0 r= 0 برای هر r> 0.

با استفاده از این تعریف, خانه هاشماره 428 و 429 را تکمیل خواهید کرد.

اکنون اجازه دهید نشان دهیم که با تعریف درجه با توان گویا که در بالا فرموله شد، ویژگی های پایه درجه ها حفظ می شوند که برای هر توانمندی صادق است.

برای هر اعداد گویا r و s و هر a و b مثبت، برابری ها صادق هستند:

1 0 . الف r الف س =a r+s ;

مثال: *

2 0 . a r: a s =a r-s ;

مثال: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

مثال: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = الف r ب r ; 5 0 . ( = .

مثال: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

مثال استفاده همزمان از چندین ویژگی: * : .

دقیقه تربیت بدنی

خودکارها را روی میز گذاشتیم، پشت ها را صاف کردیم و حالا به جلو می رسیم، می خواهیم تخته را لمس کنیم. اکنون آن را بلند کرده ایم و به راست، چپ، جلو، عقب متمایل شده ایم. تو دستانت را به من نشان دادی، حالا به من نشان بده که چگونه انگشتانت می توانند برقصند.

کار بر روی مواد

اجازه دهید به دو ویژگی دیگر از توان ها با توان های گویا توجه کنیم:

6 0 . اجازه دهید r یک عدد گویا و 0 است< a < b . Тогда

الف r < b rدر r> 0,

الف r < b rدر r< 0.

7 0 . برای هر عدد گویاrو ساز نابرابری r> سبه دنبال آن است

الف r> a rبرای یک > 1،

الف r < а rدر 0< а < 1.

مثال: اعداد را با هم مقایسه کنید:

و ; 2 300 و 3 200 .

خلاصه درس:

امروز در درس خصوصیات درجه با توان عدد صحیح را یادآوری کردیم، تعریف و ویژگی های پایه درجه با توان گویا را آموختیم و کاربرد این ماده نظری را در عمل در هنگام انجام تمرینات بررسی کردیم. توجه شما را به این نکته جلب می کنم که مبحث "نما با توان منطقی" اجباری است تکالیف آزمون دولتی واحد. هنگام تهیه تکالیف (شماره 428 و شماره 429

در این مقاله خواهیم فهمید که چیست قدرت یک عدد. در اینجا ما تعاریفی از توان یک عدد ارائه می دهیم، در حالی که همه توان های ممکن را به تفصیل در نظر می گیریم، از توان طبیعی شروع می کنیم و با توان غیر منطقی خاتمه می دهیم. در مطالب شما نمونه های زیادی از درجات را خواهید یافت که تمام ظرافت هایی را که به وجود می آید را پوشش می دهد.

پیمایش صفحه.

توان با توان طبیعی، مربع یک عدد، مکعب یک عدد

بیایید با شروع کنیم. با نگاهی به آینده، بیایید بگوییم که تعریف توان یک عدد a با توان طبیعی n برای a داده شده است که آن را می نامیم. پایه مدرکو n که ما آنها را صدا خواهیم کرد توان. همچنین توجه می کنیم که درجه ای با توان طبیعی از طریق یک محصول تعیین می شود، بنابراین برای درک مطالب زیر باید درک درستی از ضرب اعداد داشته باشید.

تعریف.

توان عددی با توان طبیعی nعبارتی از شکل a n است که مقدار آن برابر حاصل ضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است، یعنی .
به طور خاص، توان یک عدد a با توان 1، خود عدد a است، یعنی a 1 =a.

شایان ذکر است فوراً در مورد قوانین خواندن مدارک تحصیلی ذکر شود. روش جهانیخواندن ورودی a n عبارت است از: "a به توان n". در برخی موارد، گزینه های زیر نیز قابل قبول است: "الف به توان n ام" و "نام قدرت a". برای مثال، بیایید توان 8 12 را در نظر بگیریم، این "هشت به توان دوازده" یا "هشت به توان دوازدهم" یا "دوازدهمین توان از هشت" است.

توان دوم یک عدد و همچنین توان سوم یک عدد نام های خاص خود را دارند. توان دوم یک عدد نامیده می شود مربع عددبه عنوان مثال، 7 2 به عنوان "هفت مربع" یا "مربع عدد هفت" خوانده می شود. توان سوم یک عدد نامیده می شود اعداد مکعبیبه عنوان مثال، 5 3 را می توان به عنوان "پنج مکعب" خواند یا می توانید بگویید "مکعب عدد 5".

وقت آوردن است نمونه هایی از درجه با توان طبیعی. بیایید با درجه 5 7 شروع کنیم، در اینجا 5 پایه درجه است و 7 توان است. بیایید مثال دیگری بزنیم: 4.32 پایه است، و عدد طبیعی 9 – توان (4.32) 9.

لطفا توجه داشته باشید که در مثال آخر، پایه توان 4.32 در پرانتز نوشته شده است: برای جلوگیری از مغایرت، تمام پایه های توان را که با اعداد طبیعی متفاوت هستند را در پرانتز قرار می دهیم. به عنوان مثال، درجات زیر را با توان های طبیعی می آوریم ، پایه های آنها اعداد طبیعی نیستند، بنابراین در پرانتز نوشته می شوند. خوب، برای وضوح کامل، در این مرحله تفاوت موجود در رکوردهای فرم (-2) 3 و -2 3 را نشان خواهیم داد. عبارت (-2) 3 توان 2- با توان طبیعی 3 است و عبارت -2 3 (می توان آن را به صورت -(2 3) نوشت) با عدد، مقدار توان 2 3 مطابقت دارد. .

توجه داشته باشید که یک نماد برای توان یک عدد a با توان n به شکل a^n وجود دارد. علاوه بر این، اگر n یک عدد طبیعی چند مقداری باشد، توان در پرانتز گرفته می شود. برای مثال، 4^9 نماد دیگری برای توان 4 9 است. و در اینجا چند نمونه دیگر از نوشتن درجه با استفاده از نماد "^" وجود دارد: 14^(21) , (−2,1)^(155) . در ادامه، ما در درجه اول از نماد درجه به شکل a n استفاده خواهیم کرد.

یکی از مشکلات معکوس افزایش توان با توان طبیعی، مشکل یافتن پایه توان از یک مقدار معلوم توان و یک توان شناخته شده است. این وظیفه منجر به .

معلوم است که مجموعه اعداد گویا از اعداد صحیح و کسری و هر کدام تشکیل شده است عدد کسریرا می توان به صورت مثبت یا منفی نشان داد کسر مشترک. ما در پاراگراف قبل یک درجه را با توان عدد صحیح تعریف کردیم، بنابراین برای تکمیل تعریف درجه با توان گویا، باید درجه عدد a را با توان کسری m/n معنی کنیم، در جایی که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. بیایید این کار را انجام دهیم.

بیایید درجه ای را با توان کسری شکل در نظر بگیریم. برای اینکه ویژگی قدرت به قدرت معتبر بماند، برابری باید برقرار باشد . اگر برابری حاصل و نحوه تعیین مان را در نظر بگیریم، منطقی است که آن را بپذیریم، مشروط بر اینکه برای m، n و a داده شده، عبارت معنا داشته باشد.

به راحتی می توان بررسی کرد که همه ویژگی های یک درجه با توان صحیح معتبر هستند (این کار در بخش خصوصیات یک درجه با توان گویا انجام شد).

استدلال فوق به ما اجازه می دهد تا موارد زیر را بیان کنیم نتیجه گیری: اگر عبارت m، n و a معنی داشته باشد، توان a با توان کسری m/n را ریشه n ام به توان m می نامند.

این عبارت ما را به تعریف درجه با توان کسری نزدیک می کند. تنها چیزی که باقی می‌ماند این است که توصیف کنیم که عبارت در چه چیزی m، n و a معنا دارد. بسته به محدودیت هایی که بر روی m، n و a اعمال می شود، دو رویکرد اصلی وجود دارد.

ساده ترین راه این است که با گرفتن a≥0 برای m مثبت و a>0 برای m منفی، یک محدودیت بر a اعمال کنیم (زیرا برای m≤0 درجه 0 m تعریف نشده است). سپس تعریف زیر را از درجه با توان کسری بدست می آوریم.

تعریف.

توان یک عدد مثبت a با توان کسری m/n، جایی که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است، ریشه n عدد a به توان m نامیده می شود، یعنی .

توان کسری صفر نیز با این نکته مشخص می شود که نشانگر باید مثبت باشد.

تعریف.

توان صفر با توان مثبت کسری m/n، که در آن m یک عدد صحیح مثبت و n یک عدد طبیعی است، به صورت تعریف می شود .
وقتی درجه تعیین نمی شود، یعنی درجه عدد صفر با توان منفی کسری معنی ندارد.

لازم به ذکر است که با این تعریف از درجه با توان کسری، یک اخطار وجود دارد: برای برخی منفی a و برخی m و n، عبارت معنا پیدا می کند و ما با ارائه شرط a≥0 این موارد را کنار گذاشتیم. به عنوان مثال، ورودی ها منطقی هستند یا، و تعریفی که در بالا داده شد ما را مجبور می کند بگوییم که توان هایی با توان کسری شکل منطقی نیست، زیرا پایه نباید منفی باشد.

روش دیگر برای تعیین درجه با توان کسری m/n، در نظر گرفتن مجزا نماهای زوج و فرد ریشه است. این روش مستلزم یک شرط اضافی است: توان عدد a که توان آن برابر است به عنوان توان عدد a در نظر گرفته می شود که توان آن کسر تقلیل ناپذیر مربوطه است (در زیر اهمیت این شرط را توضیح خواهیم داد. ). یعنی اگر m/n کسری غیر قابل تقلیل باشد، برای هر عدد طبیعی k درجه ابتدا با .

برای n زوج و m مثبت، عبارت برای هر غیرمنفی a (حتی ریشه از عدد منفیمعنی ندارد)، برای m منفی، عدد a باید همچنان با صفر متفاوت باشد (در غیر این صورت تقسیم بر صفر خواهد بود). و برای n فرد و m مثبت، عدد a می تواند هر باشد (ریشه یک درجه فرد برای هر عدد واقعی تعریف می شود) و برای m منفی، عدد a باید غیر صفر باشد (به طوری که تقسیم بر وجود نداشته باشد. صفر).

استدلال فوق ما را به این تعریف از درجه با توان کسری می رساند.

تعریف.

فرض کنید m/n یک کسری تقلیل ناپذیر، m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی باشد. برای هر کسر قابل تقلیل، درجه با . توان عددی با توان کسری تقلیل ناپذیر m/n برابر است



اجازه دهید توضیح دهیم که چرا درجه ای با توان کسری تقلیل پذیر ابتدا با درجه ای با توان تقلیل ناپذیر جایگزین می شود. اگر صرفاً درجه را به صورت تعریف کنیم و در مورد تقلیل ناپذیری کسر m/n قید نکنیم، با موقعیت‌هایی مشابه موارد زیر مواجه می‌شویم: از آنجایی که 6/10 = 3/5 است، پس برابری باید برقرار باشد. ، اما ، A.

بعد از اینکه توان یک عدد مشخص شد، منطقی است که در مورد آن صحبت کنیم خواص درجه. در این مقاله ویژگی های اصلی توان یک عدد را در حالی که تمام توان های ممکن را لمس می کنیم، ارائه می دهیم. در اینجا ما اثبات تمام خصوصیات درجه ها را ارائه می دهیم و همچنین نشان می دهیم که چگونه از این ویژگی ها هنگام حل مثال ها استفاده می شود.

پیمایش صفحه.

خواص درجات با توان طبیعی

با تعریف توانی با توان طبیعی، توان a n حاصلضرب n عامل است که هر کدام برابر a است. بر اساس این تعریف و همچنین با استفاده از خواص ضرب اعداد حقیقی، می توانیم موارد زیر را بدست آوریم و توجیه کنیم خواص درجه با توان طبیعی:

1. ویژگی اصلی درجه a m ·a n =a m+n، تعمیم آن.
2. خاصیت توان های ضریب با بر همین اساس a m:a n =a m−n ;
3. ویژگی توان محصول (a·b) n =a n ·b n، پسوند آن;
4. خاصیت ضریب به درجه طبیعی (a:b) n =a n:b n ;
5. افزایش درجه به توان (a m) n =a m·n، تعمیم آن ((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. مقایسه درجه با صفر:
   • اگر a>0، آنگاه یک n>0 برای هر عدد طبیعی n.
   • اگر a = 0، آنگاه a n = 0.
   • اگر الف<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 اگر الف<0 и показатель степени есть عدد فرد 2 m-1، سپس 2 m-1<0 ;
7. اگر a و b اعداد مثبت و a باشند
8. اگر m و n اعداد طبیعی هستند به طوری که m>n، آنگاه در 0 0 نابرابری a m >a n درست است.

بیایید فوراً توجه کنیم که همه برابری های نوشته شده هستند یکسانبا توجه به شرایط مشخص شده، هر دو قسمت راست و چپ آنها قابل تعویض هستند. برای مثال، ویژگی اصلی کسری a m ·a n =a m+n با ساده سازی عباراتاغلب به شکل a m+n =a m ·a n استفاده می شود.

حالا بیایید هر یک از آنها را با جزئیات بررسی کنیم.

از ویژگی حاصل ضرب دو توان با پایه های یکسان شروع می کنیم که به آن می گویند ویژگی اصلی مدرک: برای هر عدد حقیقی a و هر عدد طبیعی m و n برابری a m ·a n =a m+n درست است.

اجازه دهید ویژگی اصلی مدرک را ثابت کنیم. با تعریف توانی با توان طبیعی، حاصل ضرب توان هایی با پایه های یکسان به شکل m ·a n را می توان به صورت ضربی نوشت. با توجه به خواص ضرب، عبارت حاصل را می توان به صورت نوشتاری نوشت و این حاصل ضرب عدد a با توان طبیعی m+n یعنی m+n است. این اثبات را کامل می کند.

اجازه دهید مثالی بزنیم که ویژگی اصلی مدرک را تایید می کند. بیایید درجاتی را با پایه های 2 و توان های طبیعی 2 و 3 بگیریم، با استفاده از خاصیت پایه درجه ها می توانیم برابری 2 2 · 2 3 = 2 2+3 =2 5 را بنویسیم. بیایید اعتبار آن را با محاسبه مقادیر عبارات 2 2 · 2 3 و 2 5 بررسی کنیم. انجام توانمندی، داریم 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32و 2 5 = 2·2·2·2·2=32، چون مقادیر مساوی به دست می آید، تساوی 2 2 · 2 3 = 2 5 صحیح است و خاصیت اصلی درجه را تأیید می کند.

ویژگی اساسی یک درجه را می توان بر اساس ویژگی های ضرب به حاصل ضرب سه یا چند توان با پایه ها و توان های طبیعی یکسان تعمیم داد. بنابراین برای هر عدد k از اعداد طبیعی n 1، n 2، ...، n k برابری زیر صادق است: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

به عنوان مثال، (2،1) 3 ·(2،1) 3 ·(2،1) 4 ·(2،1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

ما می توانیم به ویژگی بعدی توان ها با یک توان طبیعی برویم - ویژگی توان های ضریب با پایه های یکسان: برای هر عدد واقعی غیر صفر a و اعداد طبیعی دلخواه m و n که شرط m>n را برآورده می کنند، برابری a m:a n =a m−n درست است.

قبل از ارائه اثبات این خاصیت، اجازه دهید به معنای شرایط اضافی در فرمول بندی بپردازیم. شرط a≠0 برای اجتناب از تقسیم بر صفر ضروری است، زیرا 0 n = 0، و وقتی با تقسیم آشنا شدیم، توافق کردیم که نمی توانیم بر صفر تقسیم کنیم. شرط m>n معرفی می شود تا از نماهای طبیعی فراتر نرویم. در واقع، برای m>n توان m-n یک عدد طبیعی است، در غیر این صورت یا صفر خواهد بود (که برای m-n اتفاق می افتد) یا یک عدد منفی (که برای m اتفاق می افتد).

اثبات خاصیت اصلی کسری به ما امکان می دهد تساوی را بنویسیم a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. از تساوی حاصل a m−n ·a n =a m و نتیجه می شود که m−n ضریبی از توان های a m و a n است. این ویژگی قدرت های ضریب با پایه های یکسان را ثابت می کند.

بیایید یک مثال بزنیم. بیایید دو درجه با پایه های مشابه π و توان های طبیعی 5 و 2 در نظر بگیریم، تساوی π 5:π 2 =π 5-3 =π 3 با خاصیت در نظر گرفته شده درجه مطابقت دارد.

حالا بیایید در نظر بگیریم ویژگی قدرت محصول: توان طبیعی n حاصلضرب هر دو عدد واقعی a و b برابر است با حاصل ضرب توان های a n و b n یعنی (a·b) n =a n ·b n .

در واقع، با تعریف یک درجه با توان طبیعی، ما داریم . بر اساس خواص ضرب، آخرین حاصل ضرب را می توان به صورت بازنویسی کرد ، که برابر با a n · b n است.

در اینجا یک مثال است: .

این ویژگی به توان حاصل ضرب سه یا چند عامل گسترش می یابد. یعنی خاصیت درجه طبیعی n حاصل ضرب k عامل به صورت نوشته می شود (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

برای وضوح، این ویژگی را با یک مثال نشان خواهیم داد. برای حاصل ضرب سه عامل به توان 7 داریم .

اموال زیر است خاصیت یک ضریب در نوع: ضریب اعداد حقیقی a و b، b≠0 به توان طبیعی n برابر است با ضریب توان های a n و b n، یعنی (a:b) n =a n:b n.

اثبات را می توان با استفاده از ویژگی قبلی انجام داد. بنابراین (a:b) n b n =((a:b) b) n =a nو از تساوی (a:b) n ·b n =a n نتیجه می شود که (a:b) n ضریب a n تقسیم بر b n است.

بیایید این ویژگی را با استفاده از اعداد خاص به عنوان مثال بنویسیم: .

حالا بیایید آن را صدا کنیم خاصیت بالا بردن قدرت به یک قدرت: برای هر عدد واقعی a و هر عدد طبیعی m و n، توان a m به توان n برابر است با توان عدد a با توان m·n، یعنی (a m) n =a m·n.

به عنوان مثال، (5 2) 3 = 5 2·3 = 5 6.

اثبات ویژگی قدرت به درجه زنجیره برابری زیر است: .

اموال در نظر گرفته شده را می توان از درجه به درجه به درجه و غیره گسترش داد. به عنوان مثال، برای هر اعداد طبیعی p، q، r و s برابری است . برای وضوح بیشتر، در اینجا یک مثال با اعداد خاص آورده شده است: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

باقی مانده است که در مورد خواص مقایسه درجه با یک توان طبیعی صحبت کنیم.

بیایید با اثبات خاصیت مقایسه صفر و توان با توان طبیعی شروع کنیم.

ابتدا، اجازه دهید ثابت کنیم که a>0 برای هر a>0.

حاصل ضرب دو عدد مثبت یک عدد مثبت است که از تعریف ضرب به دست می آید. این واقعیت و ویژگی های ضرب نشان می دهد که حاصل ضرب هر تعداد اعداد مثبت نیز یک عدد مثبت خواهد بود. و توان یک عدد a با توان طبیعی n طبق تعریف حاصلضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است. این آرگومان ها به ما اجازه می دهند بیان کنیم که برای هر پایه مثبت a، درجه a n یک عدد مثبت است. با توجه به خاصیت اثبات شده 3 5 > 0، (0.00201) 2 > 0 و .

کاملاً واضح است که برای هر عدد طبیعی n با a=0 درجه a n صفر است. در واقع، 0 n =0·0·…·0=0 . به عنوان مثال، 0 3 = 0 و 0 762 = 0.

بیایید به پایه های منفی درجه برویم.

بیایید با حالتی شروع کنیم که توان یک عدد زوج است، آن را 2·m نشان می‌دهیم که m یک عدد طبیعی است. سپس . برای هر یک از حاصل‌های شکل a·a برابر است با حاصل ضرب مدول اعداد a و a، یعنی عددی مثبت است. بنابراین، محصول نیز مثبت خواهد بود و درجه a 2·m. بیایید مثال هایی بزنیم: (-6) 4 >0 , (-2,2) 12 >0 و .

در نهایت، وقتی پایه a یک عدد منفی و توان یک عدد فرد 2 m−1 باشد، آنگاه . همه حاصلات a·a اعداد مثبت هستند، حاصل ضرب این اعداد مثبت نیز مثبت است و ضرب آن در عدد منفی باقیمانده a به عدد منفی می رسد. با توجه به این خاصیت (-5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

بیایید به ویژگی مقایسه توان ها با توان های طبیعی یکسان بپردازیم که فرمول زیر را دارد: از دو توان با توان های طبیعی یکسان، n کمتر از توانی است که پایه آن کوچکتر است و بزرگتر قدرتی است که پایه آن بزرگتر است. . بیایید آن را ثابت کنیم.

نابرابری a n ویژگی های نابرابری هایک نابرابری قابل اثبات از شکل a n نیز صادق است (2.2) 7 و .

باقی مانده است که آخرین ویژگی های ذکر شده درجه ها را با توان های طبیعی اثبات کنیم. فرمول بندی کنیم. از دو توان با نماهای طبیعی و پایه های مثبت یکسان کمتر از یک، توانی که توان آن کوچکتر است بزرگتر است. و از دو توان با نماهای طبیعی و پایه های یکسان بزرگتر از یک، توانی که توان آن بزرگتر است بزرگتر است. اجازه دهید به اثبات این خاصیت بپردازیم.

اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و 0 0 به دلیل شرط اولیه m>n، به این معنی که در 0

باقی مانده است که قسمت دوم ملک را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و a>1 a m >a n درست است. تفاوت a m −a n پس از خارج کردن n از پرانتز به شکل n ·(a m−n −1) است. این حاصلضرب مثبت است، زیرا برای a>1 درجه a n عددی مثبت است، و تفاوت a m−n −1 عددی مثبت است، زیرا m−n>0 به دلیل شرایط اولیه، و برای a>1 درجه m-n بزرگتر از یک است. در نتیجه، a m −a n > 0 و a m >a n، چیزی است که باید ثابت شود. این ویژگی با نابرابری 3 7 > 3 2 نشان داده شده است.

ویژگی های توان ها با توان های عدد صحیح

از آنجایی که اعداد صحیح مثبت اعداد طبیعی هستند، پس تمام ویژگی های توان های دارای نماهای اعداد صحیح مثبت دقیقاً با ویژگی های توان های دارای نماهای طبیعی که در پاراگراف قبل ذکر و اثبات شده است، منطبق است.

ما درجه ای را با توان منفی صحیح و همچنین درجه ای با توان صفر تعریف کردیم، به گونه ای که تمام ویژگی های درجات با توان طبیعی، که با برابری بیان می شوند، معتبر باقی می مانند. بنابراین، همه این ویژگی ها هم برای نماهای صفر و هم برای نماهای منفی معتبر است، در حالی که البته پایه های توان ها با صفر متفاوت است.

بنابراین، برای هر عدد واقعی و غیرصفر a و b و همچنین هر عدد صحیح m و n، موارد زیر صادق است: ویژگی های توان ها با توان های عدد صحیح:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. اگر n یک عدد صحیح مثبت باشد، a و b اعداد مثبت هستند و a b−n ;
7. اگر m و n اعداد صحیح باشند، و m>n، در 0 1 نابرابری a m >a n برقرار است.

وقتی a=0، توان های a m و a n تنها زمانی معنا پیدا می کنند که هر دو m و n اعداد صحیح مثبت باشند، یعنی اعداد طبیعی. بنابراین، خصوصیاتی که به تازگی نوشته شده اند برای مواردی که a=0 و اعداد m و n اعداد صحیح مثبت هستند نیز معتبر هستند.

اثبات هر یک از این ویژگی ها برای انجام این کار دشوار نیست، کافی است از تعاریف درجات با توان های طبیعی و صحیح و همچنین ویژگی های عملیات با اعداد واقعی استفاده کنید. به عنوان مثال، اجازه دهید ثابت کنیم که ویژگی power-to-power هم برای اعداد صحیح مثبت و هم برای اعداد صحیح غیر مثبت صادق است. برای انجام این کار، باید نشان دهید که اگر p صفر یا یک عدد طبیعی است و q صفر یا یک عدد طبیعی است، پس تساوی (a p) q =a p·q، (a -p) q =a (-p) ·q، (a p) −q =a p·(−q) و (a -p) -q =a (-p)·(-q). بیایید این کار را انجام دهیم.

برای p و q مثبت، برابری (a p) q =a p·q در پاراگراف قبل ثابت شد. اگر p=0، آنگاه (a 0) q = 1 q = 1 و a 0·q = a 0 = 1 داریم، از آنجا (a 0) q =a 0·q. به طور مشابه، اگر q = 0، آنگاه (a p) 0 = 1 و a p·0 =a 0 =1، از آنجا (a p) 0 =a p·0. اگر هر دو p=0 و q=0، آنگاه (a 0) 0 =1 0 =1 و 0·0 =a 0 =1، از این جا (a 0) 0 =a 0·0.

اکنون ثابت می کنیم که (a −p) q =a (−p)·q . پس با تعریف توانی با توان عدد صحیح منفی . با خاصیت ضریب به توان داریم . از آنجایی که 1 p =1·1·…·1=1 و سپس . آخرین عبارت، طبق تعریف، توانی به شکل a −(p·q) است که به دلیل قواعد ضرب، می توان آن را به صورت (−p)·q نوشت.

به همین ترتیب .

و .

با استفاده از همین اصل، می توانید تمام ویژگی های دیگر یک درجه را با یک توان عدد صحیح که به شکل برابری نوشته شده است، اثبات کنید.

در ماقبل آخر از ویژگی‌های ثبت‌شده، ارزش آن را دارد که بر اثبات نابرابری a −n >b−n که برای هر عدد صحیح منفی −n و هر مثبت a و b که شرط a برقرار است، معتبر است. . از آنجایی که به شرط الف 0 . حاصل ضرب a n · b n نیز به عنوان حاصل ضرب اعداد مثبت a n و b n مثبت است. سپس کسر حاصل به عنوان ضریب اعداد مثبت b n −a n و a n ·b n مثبت است. بنابراین، از آنجا a −n >b −n است که باید ثابت شود.

آخرین خاصیت توان های دارای توان های اعداد صحیح به همان صورت ثابت می شود که خاصیت مشابه توان ها با توان های طبیعی ثابت می شود.

خواص قوا با شارح عقلی

ما یک درجه را با یک توان کسری با بسط دادن خواص یک درجه با یک توان صحیح به آن تعریف کردیم. به عبارت دیگر، توان هایی با توان های کسری دارای همان ویژگی های توان های با توان های اعداد صحیح هستند. یعنی:

اثبات خواص درجات با توان کسری بر اساس تعریف درجه با توان کسری و بر اساس خصوصیات درجه با توان عدد صحیح است. اجازه بدهید شواهدی ارائه کنیم.

با تعریف توانی با توان کسری و سپس . ویژگی های ریشه حسابی به ما اجازه می دهد تا تساوی های زیر را بنویسیم. علاوه بر این، با استفاده از خاصیت یک درجه با توان عدد صحیح، به دست می آوریم که از آن، با تعریف یک درجه با توان کسری، داریم ، و شاخص مدرک تحصیلی را می توان به صورت زیر تبدیل کرد: . این اثبات را کامل می کند.

خاصیت دوم توان ها با توان های کسری به روشی کاملاً مشابه ثابت می شود:

برابری های باقی مانده با استفاده از اصول مشابه ثابت می شوند:

بیایید به اثبات ملک بعدی برویم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر a و b مثبت، a b p . بیایید عدد گویا p را m/n بنویسیم که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. شرایط ص<0 и p>0 در این مورد شرایط m<0 и m>0 بر این اساس. برای m>0 و a

به طور مشابه، برای m<0 имеем a m >b m، از کجا، یعنی، و a p >b p.

باقی مانده است که آخرین ویژگی های ذکر شده را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای اعداد گویا p و q، p>q در 0 0 – نابرابری a p >a q . ما همیشه می‌توانیم اعداد گویا p و q را به مخرج مشترک تقلیل دهیم، حتی اگر کسرهای معمولی و را بدست آوریم، که در آن m 1 و m 2 اعداد صحیح هستند و n یک عدد طبیعی است. در این حالت، شرط p>q با شرط m 1 > m 2 مطابقت خواهد داشت که از آن ناشی می شود. سپس با خاصیت مقایسه توان ها با مبانی یکسان و توان های طبیعی در 0 1 – نابرابری a m 1 > a m 2 . این نابرابری ها در خواص ریشه ها را می توان بر این اساس بازنویسی کرد و . و تعریف درجه با توان منطقی به ما امکان می دهد به سمت نابرابری ها برویم و بر این اساس. از اینجا نتیجه نهایی را می گیریم: برای p>q و 0 0 – نابرابری a p >a q .

ویژگی های قدرت ها با شارح های غیر منطقی

از نحوه تعریف درجه با توان غیرمنطقی می توان نتیجه گرفت که تمام ویژگی های درجات با توان های گویا را دارد. بنابراین برای هر a>0، b>0 و اعداد غیر منطقی p و q موارد زیر درست است ویژگی های قدرت ها با توان های غیر منطقی:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. برای هر عدد مثبت a و b، a 0 نابرابری a p b p ;
7. برای اعداد غیر منطقی p و q، p>q در 0 0 – نابرابری a p >a q .

از این نتیجه می‌توان نتیجه گرفت که توان‌هایی با هر توانمند p و q برای a>0 دارای ویژگی‌های یکسانی هستند.

مراجع

• Vilenkin N.Ya.، ژوخوف V.I.، Chesnokov A.S.، Shvartsburd S.I. کتاب ریاضی پنجم دبستان. موسسات آموزشی
• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هفتم. موسسات آموزشی
• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هشتم. موسسات آموزشی
• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه نهم. موسسات آموزشی
• Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10 - 11 موسسات آموزش عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

قدرت با توان منطقی

خاسیانوا تی.جی.

معلم ریاضی

مطالب ارائه شده برای معلمان ریاضی هنگام مطالعه مبحث "نما با توان منطقی" مفید خواهد بود.

هدف از مطالب ارائه شده: نشان دادن تجربه من از برگزاری یک درس با موضوع "نماینده با توان منطقی" برنامه کاریرشته "ریاضیات".

روش انجام درس با نوع آن مطابقت دارد - درسی در مطالعه و در ابتدا تثبیت دانش جدید. به روز شد دانش پس زمینهو مهارت های مبتنی بر تجربه قبلی. حفظ اولیه، تثبیت و به کارگیری اطلاعات جدید. تلفیق و استفاده از مطالب جدید در قالب حل مسائلی که من آزمایش کردم انجام شد با پیچیدگی های متفاوت، در تسلط بر موضوع نتیجه مثبت می دهد.

در ابتدای درس اهداف زیر را برای دانش آموزان در نظر گرفتم: آموزشی، رشدی، آموزشی. در طول درس استفاده کردم راه های مختلففعالیت ها: پیشانی، فردی، جفتی، مستقل، تست. وظایف متمایز شد و امکان شناسایی در هر مرحله از درس، میزان کسب دانش را فراهم کرد. حجم و پیچیدگی وظایف با ویژگی های سنی دانش آموزان مطابقت دارد. از تجربه من - مشق شب، مشابه مشکلات حل شده در کلاس به شما امکان می دهد تا دانش و مهارت های به دست آمده را به طور قابل اعتمادی تثبیت کنید. در پایان درس، تأمل انجام شد و کار تک تک دانش آموزان مورد ارزیابی قرار گرفت.

اهداف محقق شد. دانش آموزان مفهوم و ویژگی های یک درجه را با توان منطقی مطالعه کردند و یاد گرفتند که از این ویژگی ها هنگام حل مسائل عملی استفاده کنند. برای کار مستقلنمرات در درس بعدی اعلام خواهد شد.

من معتقدم که روشی که من برای تدریس ریاضی استفاده می کنم می تواند توسط معلمان ریاضی استفاده شود.

موضوع درس: قدرت با توان گویا

هدف درس:

شناسایی میزان تسلط دانش آموزان بر مجموعه ای از دانش ها و مهارت ها و بر اساس آن به کارگیری راهکارهای معین برای بهبود فرآیند آموزشی.

اهداف درس:

آموزشی:ایجاد دانش جدید در بین دانش آموزان مفاهیم اساسی، قوانین، قوانین برای تعیین درجه با یک شاخص منطقی، توانایی استفاده مستقل از دانش در شرایط استاندارد، در شرایط اصلاح شده و غیر استاندارد.

در حال توسعه:منطقی فکر کنید و اجرا کنید خلاقیت;

بالا بردن:علاقه به ریاضیات را توسعه دهید، واژگان را با اصطلاحات جدید پر کنید، به دست آورید اطلاعات اضافیدر مورد دنیای اطراف ما صبر، پشتکار و توانایی غلبه بر مشکلات را در خود پرورش دهید.

لحظه سازمانی

به روز رسانی دانش مرجع

وقتی توان ها را با پایه های یکسان ضرب می کنیم، توان ها اضافه می شوند، اما پایه ثابت می ماند:

به عنوان مثال،

2. هنگام تقسیم درجه با پایه های یکسان، توان درجات کم می شود، اما پایه ثابت می ماند:

به عنوان مثال،

3. هنگام بالا بردن درجه به توان، توانها ضرب می شوند، اما پایه ثابت می ماند:

به عنوان مثال،

4. درجه محصول برابر است با حاصل ضرب درجات عوامل:

به عنوان مثال،

5. درجه نصاب برابر است با نصاب درجات سود و مقسوم:

به عنوان مثال،

تمرینات با راه حل

معنی عبارت را پیدا کنید:

راه حل:

در در این موردبه صورت صریح، هیچ یک از ویژگی های یک درجه با توان طبیعی را نمی توان اعمال کرد، زیرا همه درجه ها دلایل مختلف. بیایید برخی از قدرت ها را به شکل دیگری بنویسیم:

(درجه محصول برابر است با حاصل ضرب درجات عوامل).

(وقتی توان ها را با پایه های یکسان ضرب می کنیم، توان ها اضافه می شوند، اما پایه ثابت می ماند؛ وقتی یک درجه را به توان می آوریم، توان ها ضرب می شوند، اما پایه ثابت می ماند).

سپس دریافت می کنیم:

در این مثال، از چهار ویژگی اول یک درجه با توان طبیعی استفاده شده است.

جذر حسابی
عددی غیر منفی است که مربع آن برابر استالف,
. در
- بیان
تعریف نشده است، زیرا هیچ عدد واقعی وجود ندارد که مربع آن برابر با یک عدد منفی باشدالف.

دیکته ریاضی(8-10 دقیقه)

گزینه

II. گزینه

1-مقدار عبارت را پیدا کنید

الف)

ب)

1-مقدار عبارت را پیدا کنید

الف)

ب)

2. محاسبه کنید

الف)

ب)

IN)

2. محاسبه کنید

الف)

ب)

V)

خودآزمایی(روی تخته برگردان):

ماتریس پاسخ:

№ گزینه / وظیفه

مشکل 1

مشکل 2

گزینه 1

الف) 2

ب) 2

الف) 0.5

ب)

V)

گزینه 2

الف) 1.5

ب)

الف)

ب)

ج) 4

II شکل گیری دانش جدید

بیایید در نظر بگیریم که این عبارت چه معنایی دارد، کجا - عدد مثبت- عدد کسری و m-عدد صحیح، n-طبیعی (n›1)

تعریف: توان a›0 با توان گویاr = , متر-کل، n-طبیعی ( n›1) شماره تماس گرفته می شود.

بنابراین:

به عنوان مثال:

یادداشت ها:

1. برای هر a مثبت و هر عدد r گویا مثبت

2. وقتی
درجه عقلانیاعدادالفتعیین نشده است.

عباراتی مانند
منطقی نیست

3.اگر یک عدد مثبت کسری است
.

اگر کسری پس عدد منفی -معنی ندارد

به عنوان مثال: - معنی نداره

بیایید ویژگی های یک درجه با توان گویا را در نظر بگیریم.

بگذارید a >0، b>0. r، s - هر عدد گویا. سپس یک درجه با هر توان منطقی دارد خواص زیر:

1.
2.
3.
4.
5.

III. تحکیم. شکل گیری مهارت ها و توانایی های جدید.

کارت های وظیفه در گروه های کوچک به شکل یک آزمون کار می کنند.

از نماهای عدد صحیح عدد a، انتقال به توان گویا خود را نشان می دهد. در زیر یک درجه با توان گویا تعریف می کنیم و این کار را به گونه ای انجام می دهیم که تمام خصوصیات یک درجه با توان عدد صحیح حفظ شود. این امر ضروری است زیرا اعداد صحیح بخشی از اعداد گویا هستند.

مشخص است که مجموعه اعداد گویا از اعداد صحیح و کسری تشکیل شده است و هر کسر را می توان به صورت یک کسر معمولی مثبت یا منفی نشان داد. در پاراگراف قبل یک درجه را با توان عدد صحیح تعریف کردیم، بنابراین برای تکمیل تعریف درجه با توان گویا، باید درجه عدد را معنا کنیم. الفبا اندیکاتور کسری m/n، کجا ، کجایک عدد صحیح است و یک عدد صحیح است و- طبیعی بیایید این کار را انجام دهیم.

بیایید درجه ای را با توان کسری شکل در نظر بگیریم. برای اینکه ویژگی قدرت به قدرت معتبر بماند، برابری باید برقرار باشد . اگر تساوی حاصل و نحوه تعیین ریشه n درجه را در نظر بگیریم، منطقی است که قبول کنیم، مشروط بر اینکه با توجه به داده شده ، کجا, یک عدد صحیح است وو الفبیان معنا دارد

به راحتی می توان بررسی کرد که همه ویژگی های یک درجه با توان صحیح معتبر هستند (این کار در بخش خصوصیات یک درجه با توان گویا انجام شد).

استدلال فوق به ما اجازه می دهد تا موارد زیر را بیان کنیم نتیجه گیری: اگر داده شود ، کجا, یک عدد صحیح است وو الفعبارت معنا پیدا می کند، سپس قدرت عدد الفبا اندیکاتور کسری m/nریشه نامیده می شود یک عدد صحیح است ودرجه ام از الفتا یک درجه ، کجا.

این عبارت ما را به تعریف درجه با توان کسری نزدیک می کند. تنها چیزی که باقی می ماند این است که در چه چیزی توضیح دهیم ، کجا, یک عدد صحیح است وو الفبیان معنا دارد بسته به محدودیت های اعمال شده در ، کجا, یک عدد صحیح است وو الفدو رویکرد اصلی وجود دارد.

1. ساده ترین راه اعمال محدودیت است الف، با پذیرفتن a≥0برای مثبت ، کجاو a>0برای منفی ، کجا(از چه زمانی m≤0درجه 0 مترتعریف نشده است). سپس تعریف زیر را از درجه با توان کسری بدست می آوریم.

تعریف.

توان یک عدد مثبت الفبا اندیکاتور کسری m/n ، کجا ، کجا- کل، و یک عدد صحیح است و- یک عدد طبیعی که ریشه نامیده می شود یک عدد صحیح است و-ام شماره الفتا یک درجه ، کجا، یعنی .

توان کسری صفر نیز با این نکته مشخص می شود که نشانگر باید مثبت باشد.

تعریف.

توان صفر با توان مثبت کسری m/n ، کجا ، کجایک عدد صحیح مثبت است و یک عدد صحیح است و- عدد طبیعی که به صورت تعریف شده است .
وقتی درجه تعیین نمی شود، یعنی درجه عدد صفر با توان منفی کسری معنی ندارد.

لازم به ذکر است که با این تعریف از درجه با توان کسری، یک اخطار وجود دارد: برای برخی منفی الفو برخی ، کجاو یک عدد صحیح است واین عبارت منطقی است، اما ما این موارد را با معرفی شرط کنار گذاشتیم a≥0. به عنوان مثال، ورودی ها منطقی هستند یا، و تعریفی که در بالا داده شد ما را مجبور می کند بگوییم که توان هایی با توان کسری شکل منطقی نیست، زیرا پایه نباید منفی باشد.

2. روش دیگری برای تعیین درجه با توان کسری m/nشامل در نظر گرفتن مجزا نماهای زوج و فرد ریشه است. این رویکرد به یک شرط اضافی نیاز دارد: قدرت عدد الفکه توان آن یک کسر معمولی تقلیل پذیر است، توانی از عدد در نظر گرفته می شود الفکه نشانگر آن کسر تقلیل ناپذیر مربوطه است (در ادامه اهمیت این شرط توضیح داده خواهد شد). یعنی اگر m/nکسری غیر قابل تقلیل است، پس برای هر عدد طبیعی کدرجه ابتدا با .

برای حتی یک عدد صحیح است وو مثبت ، کجااین عبارت برای هر غیر منفی معنا پیدا می کند الف(ریشه زوج یک عدد منفی معنی ندارد)، برای منفی ، کجاشماره الفباید همچنان با صفر متفاوت باشد (در غیر این صورت تقسیم بر صفر خواهد بود). و برای فرد یک عدد صحیح است وو مثبت ، کجاشماره الفمی تواند هر (ریشه فرد برای هر عدد واقعی تعریف شده است) و برای منفی باشد ، کجاشماره الفباید غیر صفر باشد (به طوری که تقسیم بر صفر وجود نداشته باشد).

استدلال فوق ما را به این تعریف از درجه با توان کسری می رساند.

تعریف.

اجازه دهید m/n- کسر غیر قابل تقلیل، ، کجا- کل، و یک عدد صحیح است و- عدد طبیعی برای هر کسر قابل تقلیل، درجه با . قدرت عدد الفبا توان کسری تقلیل ناپذیر m/n- این برای

o هر عدد واقعی الف، کاملا مثبت ، کجاو طبیعی عجیب و غریب یک عدد صحیح است وبه عنوان مثال، ;

o هر عدد حقیقی غیر صفر الف، عدد صحیح منفی ، کجاو عجیب و غریب یک عدد صحیح است ومثلا ;

o هر عدد غیر منفی الف، کاملا مثبت ، کجاو حتی یک عدد صحیح است وبه عنوان مثال، ;

o هر گونه مثبت الف، عدد صحیح منفی ، کجاو حتی یک عدد صحیح است ومثلا ;

o در موارد دیگر، درجه با شاخص کسری تعیین نمی شود، به عنوان مثال، درجه ها تعریف نشده اند. .a ما هیچ معنایی به مدخل ضمیمه نمی کنیم m/nچگونه ، برای توان های کسری منفی توان عدد صفر تعریف نشده است.

در خاتمه این پاراگراف به این نکته توجه کنیم که توان کسری را می توان به شکل نوشتاری اعشارییا عدد مختلطبه عنوان مثال، . برای محاسبه مقادیر عبارات از این نوع، باید توان را به صورت کسری معمولی بنویسید و سپس از تعریف توان با یک توان کسری استفاده کنید. برای نمونه های بالاما داریم و