یک الگوریتم برای حل ریشه های یک معادله درجه دوم ایجاد کنید. درس "الگوریتم حل معادلات درجه دوم"

شرح کتابشناختی: Gasanov A. R.، Kuramshin A. A.، Elkov A. A.، Shilnenkov N. V.، Ulanov D. D.، Shmeleva O. V. روشهای حل معادلات درجه دوم // دانشمند جوان. 2016. شماره 6.1. ص 17-20.. 2019).



پروژه ما در مورد راه هایی برای حل معادلات درجه دوم است. هدف پروژه: یادگیری حل معادلات درجه دوم به روش هایی که در برنامه درسی مدرسه گنجانده نشده است. وظیفه: تمام راه های ممکن برای حل معادلات درجه دوم را بیابید و نحوه استفاده از آنها را خودتان یاد بگیرید و این روش ها را به همکلاسی های خود معرفی کنید.

"معادلات درجه دوم" چیست؟

معادله درجه دوم- معادله فرم تبر2 + bx + c = 0، کجا الف, ب, ج- تعدادی اعداد ( a ≠ 0), x- ناشناخته

اعداد a، b، c را ضرایب معادله درجه دوم می نامند.

• a ضریب اول نامیده می شود.
• b ضریب دوم نامیده می شود.
• ج - عضو رایگان.

اولین کسی که معادلات درجه دوم را اختراع کرد چه کسی بود؟

برخی از تکنیک های جبری برای حل معادلات خطی و درجه دوم 4000 سال پیش در بابل باستان شناخته شده بود. کشف الواح گلی بابلی باستان که مربوط به حدود 1800 تا 1600 قبل از میلاد است، اولین شواهد از مطالعه معادلات درجه دوم را ارائه می دهد. همین لوح ها حاوی روش هایی برای حل انواع خاصی از معادلات درجه دوم هستند.

نیاز به حل معادلات نه تنها درجه یک، بلکه درجه دو حتی در قدیم به دلیل نیاز به حل مشکلات مربوط به یافتن مساحت قطعات زمین و با انجام عملیات حفاری با ماهیت نظامی و نیز نیاز به حل معادلات بود. مانند توسعه خود نجوم و ریاضیات.

قاعده حل این معادلات که در متون بابلی آمده است، اساساً با قانون امروزی منطبق است، اما معلوم نیست که چگونه بابلی ها به این قاعده رسیده اند. تقریباً تمام متون خط میخی که تاکنون یافت شده اند، تنها مشکلاتی را با راه حل های ارائه شده در قالب دستور العمل ارائه می دهند، بدون هیچ اشاره ای به نحوه یافتن آنها. علیرغم پیشرفت بالای جبر در بابل، متون خط میخی فاقد مفهوم عدد منفی و روش های کلی برای حل معادلات درجه دوم هستند.

ریاضیدانان بابلی از حدود قرن چهارم قبل از میلاد. از روش متمم مربع برای حل معادلات با ریشه مثبت استفاده کرد. حدود 300 ق.م اقلیدس روش حل هندسی کلی تری ارائه کرد. اولین ریاضیدانی که راه حل معادلات با ریشه منفی را در قالب فرمول جبری یافت، دانشمند هندی بود. براهماگوپتا(هند، قرن هفتم میلادی).

براهماگوپتا یک قانون کلی برای حل معادلات درجه دوم که به یک شکل متعارف منفرد کاهش یافته است، ارائه کرد:

ax2 + bx = c، a>0

ضرایب در این معادله نیز می تواند منفی باشد. قانون برهماگوپتا اساساً با ما یکی است.

مسابقات عمومی برای حل مسائل دشوار در هند رایج بود. یکی از کتاب‌های قدیمی هند در مورد چنین مسابقاتی چنین می‌گوید: «همان‌طور که خورشید با درخشش خود از ستاره‌ها جلوتر می‌آید، انسان دانش‌آموز نیز با طرح و حل مسائل جبری، در مجامع عمومی از شکوه خود پیشی می‌گیرد.» مسائل غالباً در قالب شعر مطرح می شد.

در یک رساله جبری خوارزمیطبقه بندی معادلات خطی و درجه دوم داده شده است. نویسنده 6 نوع معادله را برمی شمارد و آنها را به صورت زیر بیان می کند:

1) "مربع برابر با ریشه است"، یعنی ax2 = bx.

2) "مربع ها مساوی اعداد هستند" یعنی ax2 = c.

3) "ریشه ها برابر با عدد هستند" یعنی ax2 = c.

4) "مربع و اعداد مساوی ریشه هستند" یعنی ax2 + c = bx.

5) "مربع و ریشه مساوی عدد هستند" یعنی ax2 + bx = c.

6) "ریشه ها و اعداد مساوی مربع هستند" یعنی bx + c == ax2.

برای خوارزمی که از استفاده از اعداد منفی پرهیز کرده است، عبارات هر یک از این معادلات جمع هستند و نه قابل تفریق. در این حالت معادلاتی که جواب مثبت ندارند بدیهی است که در نظر گرفته نمی شوند. نویسنده روش هایی را برای حل این معادلات با استفاده از تکنیک های الجبر و المکبل ارائه می کند. البته تصمیم او کاملاً با تصمیم ما منطبق نیست. ناگفته نماند که صرفاً بلاغی است، باید توجه داشت که مثلاً در حل یک معادله درجه دوم ناقص از نوع اول، الخوارزمی مانند همه ریاضیدانان تا قرن هفدهم، جواب صفر را در نظر نمی گیرد. احتمالاً به این دلیل که در عملی خاص در کارها اهمیتی ندارد. خوارزمی هنگام حل معادلات درجه دوم، قواعد حل آنها را با استفاده از مثال های عددی خاص و سپس برهان های هندسی آنها را تعیین می کند.

اشکال برای حل معادلات درجه دوم به پیروی از مدل خوارزمی در اروپا برای اولین بار در کتاب چرتکه که در سال 1202 نوشته شده است، ارائه شد. ریاضیدان ایتالیایی لئونارد فیبوناچی. نویسنده به طور مستقل چند نمونه جبری جدید از حل مسائل را توسعه داد و اولین کسی بود که در اروپا به معرفی اعداد منفی نزدیک شد.

این کتاب به گسترش دانش جبری نه تنها در ایتالیا، بلکه در آلمان، فرانسه و دیگر کشورهای اروپایی کمک کرد. مشکلات زیادی از این کتاب تقریباً در تمام کتاب های درسی اروپای قرن 14-17 مورد استفاده قرار گرفت. قاعده کلی برای حل معادلات درجه دوم به یک شکل متعارف منفرد x2 + bх = с برای همه ترکیبات ممکن از علائم و ضرایب b, c در اروپا در سال 1544 فرموله شد. ام. استیفل.

اشتقاق فرمول برای حل معادله درجه دوم به صورت کلی از Vieth در دسترس است، اما Vieth فقط ریشه های مثبت را تشخیص داد. ریاضیدانان ایتالیایی تارتالیا، کاردانو، بومبلیاز جمله اولین ها در قرن شانزدهم. علاوه بر موارد مثبت، ریشه های منفی نیز مورد توجه قرار می گیرد. فقط در قرن هفدهم. با تشکر از تلاش ژیرار، دکارت، نیوتنو سایر دانشمندان، روش حل معادلات درجه دوم شکل مدرن به خود می گیرد.

بیایید به چندین روش برای حل معادلات درجه دوم نگاه کنیم.

روشهای استاندارد برای حل معادلات درجه دوم از برنامه درسی مدرسه:

1. فاکتورگیری سمت چپ معادله.
2. روش انتخاب مربع کامل
3. حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول
4. حل گرافیکی معادله درجه دوم.
5. حل معادلات با استفاده از قضیه ویتا.

اجازه دهید با جزئیات بیشتر در مورد حل معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته با استفاده از قضیه ویتا صحبت کنیم.

به یاد بیاورید که برای حل معادلات درجه دوم بالا، کافی است دو عدد را پیدا کنید که حاصل ضرب آنها برابر با جمله آزاد و مجموع آنها برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است.

مثال.x 2 -5x+6=0

شما باید اعدادی را پیدا کنید که حاصلضرب آنها 6 و مجموع آنها 5 باشد. این اعداد 3 و 2 خواهند بود.

پاسخ: x 1 = 2، x 2 =3.

اما می توانید از این روش برای معادلاتی که ضریب اول آن ها برابر با یک نیست نیز استفاده کنید.

مثال.3 برابر 2 +2x-5=0

ضریب اول را بگیرید و آن را در جمله آزاد ضرب کنید: x 2 +2x-15=0

ریشه های این معادله اعدادی خواهند بود که حاصلضرب آنها برابر با - 15 و حاصل جمع آنها برابر با - 2 است. این اعداد 5 و 3 هستند. برای یافتن ریشه های معادله اصلی، ریشه های حاصل را بر ضریب اول تقسیم کنید.

پاسخ: x 1 =-5/3، x 2 =1

6. حل معادلات به روش «پرتاب».

معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 را در نظر بگیرید که a≠0.

با ضرب هر دو طرف در a، معادله a 2 x 2 + abx + ac = 0 را بدست می آوریم.

اجازه دهید ax = y، از آنجا x = y/a; سپس به معادله y 2 + by + ac = 0 می رسیم که معادل معادله داده شده است. ما ریشه های آن را برای 1 و 2 با استفاده از قضیه Vieta پیدا می کنیم.

در نهایت x 1 = y 1 /a و x 2 = y 2 /a بدست می آوریم.

با این روش، ضریب a در عبارت آزاد ضرب می شود، گویی به آن «پرتاب» می شود، به همین دلیل به آن روش «پرتاب» می گویند. این روش زمانی استفاده می شود که بتوانید به راحتی ریشه های معادله را با استفاده از قضیه ویتا بیابید و مهمتر از همه، زمانی که تفکیک کننده یک مربع دقیق باشد.

مثال.2 برابر 2 - 11x + 15 = 0.

بیایید ضریب 2 را به عبارت آزاد "پرتاب کنیم" و جایگزین کنیم، معادله y 2 - 11y + 30 = 0 را به دست می آوریم.

طبق قضیه معکوس ویتا

y 1 = 5، x 1 = 5/2، x 1 = 2.5 y 2 = 6، x 2 = 6/2، x 2 = 3.

پاسخ: x 1 =2.5; X 2 = 3.

7. خواص ضرایب یک معادله درجه دوم.

اجازه دهید معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0، a ≠ 0 داده شود.

1. اگر a+ b + c = 0 (یعنی مجموع ضرایب معادله صفر باشد)، آنگاه x 1 = 1.

2. اگر a - b + c = 0، یا b = a + c، آنگاه x 1 = - 1.

مثال.345x 2 - 137x - 208 = 0.

از آنجایی که a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0)، پس x 1 = 1، x 2 = -208/345.

پاسخ: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

مثال.132x 2 + 247x + 115 = 0

چون a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0)، سپس x 1 = - 1، x 2 = - 115/132

پاسخ: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

خواص دیگری از ضرایب یک معادله درجه دوم وجود دارد. اما استفاده از آنها پیچیده تر است.

8. حل معادلات درجه دوم با استفاده از نوموگرام.

شکل 1. نوموگرام

این یک روش قدیمی و فراموش شده برای حل معادلات درجه دوم است که در صفحه 83 مجموعه: Bradis V.M. جداول ریاضی چهار رقمی - م.، آموزش و پرورش، 1369.

جدول XXII. نوموگرام برای حل معادله z 2 + pz + q = 0. این نوموگرام اجازه می دهد تا بدون حل معادله درجه دوم، ریشه های معادله را از روی ضرایب آن تعیین کنیم.

مقیاس منحنی نوموگرام بر اساس فرمول (شکل 1) ساخته شده است:

باور کردن OS = p، ED = q، OE = a(همه بر حسب سانتی متر)، از شکل 1 شباهت های مثلث ها SANو CDFنسبت را می گیریم

که پس از تعویض و ساده سازی، معادله به دست می آید z 2 + pz + q = 0،و نامه zبه معنی علامت هر نقطه در مقیاس منحنی است.

برنج. 2 حل معادلات درجه دوم با استفاده از نوموگرام

نمونه ها

1) برای معادله z 2 - 9z + 8 = 0نوموگرام ریشه های z 1 = 8.0 و z 2 = 1.0 را می دهد

پاسخ: 8.0; 1.0.

2) با استفاده از نوموگرام معادله را حل می کنیم

2z 2 - 9z + 2 = 0.

ضرایب این معادله را بر 2 تقسیم کنید، معادله z 2 - 4.5z + 1 = 0 به دست می آید.

نوموگرام ریشه های z 1 = 4 و z 2 = 0.5 را می دهد.

پاسخ: 4; 0.5.

9. روش هندسی برای حل معادلات درجه دوم.

مثال.X 2 + 10x = 39.

در اصل، این مشکل به صورت زیر است: "مربع و ده ریشه برابر با 39 است."

مربعی را با ضلع x در نظر بگیرید، در اضلاع آن مستطیل هایی ساخته شده است که ضلع دیگر هر یک از آنها 2.5 باشد، بنابراین مساحت هر یک 2.5x است. سپس شکل به دست آمده با یک مربع جدید ABCD تکمیل می شود، چهار مربع مساوی در گوشه ها ساخته می شود، ضلع هر یک از آنها 2.5 و مساحت 6.25 است.

برنج. 3 روش گرافیکی برای حل معادله x 2 + 10x = 39

مساحت S مربع ABCD را می توان به صورت مجموع مساحت های زیر نشان داد: مربع اصلی x 2، چهار مستطیل (4∙2.5x = 10x) و چهار مربع اضافی (6.25∙4 = 25)، یعنی. S = x 2 + 10x = 25. با جایگزینی x 2 + 10x با عدد 39، می گیریم که S = 39+ 25 = 64، به این معنی که ضلع مربع ABCD است، یعنی. قطعه AB = 8. برای ضلع x مورد نیاز مربع اصلی بدست می آوریم

10. حل معادلات با استفاده از قضیه بزوت.

قضیه بزوت. باقیمانده تقسیم چند جمله ای P(x) بر دو جمله ای x - α برابر است با P(α) (یعنی مقدار P(x) در x = α).

اگر عدد α ریشه چند جمله ای P(x) باشد، این چند جمله ای بدون باقیمانده بر x-α بخش پذیر است.

مثال.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3، α: ±1،±3، α =1، 1-4+3=0. P(x) را بر (x-1) تقسیم کنید: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3)، (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1، یا x-3=0، x=3; پاسخ: x1 = 2، x2 =3.

نتیجه گیری:توانایی حل سریع و کارآمد معادلات درجه دوم برای حل معادلات پیچیده تر، مانند معادلات منطقی کسری، معادلات توان بالاتر، معادلات دو درجه دوم، و در دبیرستان، معادلات مثلثاتی، نمایی و لگاریتمی ضروری است. با مطالعه تمام روش های یافت شده برای حل معادلات درجه دوم، می توانیم به همکلاسی های خود توصیه کنیم علاوه بر روش های استاندارد، با روش انتقال (6) حل کنند و معادلات را با استفاده از خاصیت ضرایب (7) حل کنند، زیرا در دسترس تر هستند. به درک

ادبیات:

1. بردیس وی.ام. جداول ریاضی چهار رقمی - م.، آموزش و پرورش، 1369.
2. جبر پایه هشتم: کتاب درسی پایه هشتم. آموزش عمومی مؤسسات Makarychev Yu.، Mindyuk N. G.، Neshkov K. I.، Suvorova S. B. ed. S.A. Telyakovsky ویرایش 15، تجدید نظر شده. - م.: آموزش و پرورش، 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. گلیزر جی.آی. تاریخچه ریاضیات در مدرسه کتابچه راهنمای معلمان. / اد. V.N. جوان تر. - م.: آموزش و پرورش، 1964.

اسلاید 2

چرخه معادلات درجه دوم درس جبر پایه هشتم طبق کتاب درسی A.G. موردکوویچ

معلم MBOU Grushevskaya دبیرستان Kireeva T.A.

اسلاید 3

اهداف: معرفی مفاهیم یک معادله درجه دوم، ریشه یک معادله درجه دوم. نشان دادن راه حل برای معادلات درجه دوم؛ توسعه توانایی حل معادلات درجه دوم؛ روشی را برای حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه های معادله درجه دوم نشان می دهد.

اسلاید 4

اسلاید 5

تاریخچه مختصری از معادلات درجه دوم در بابل باستان. نیاز به حل معادلات نه تنها درجه یک، بلکه درجه دو حتی در قدیم به دلیل نیاز به حل مشکلات مربوط به یافتن مساحت قطعات زمین و با انجام عملیات حفاری با ماهیت نظامی و نیز نیاز به حل معادلات بود. مانند توسعه خود نجوم و ریاضیات. بابلی ها حدود 2000 سال قبل از ایمان ما توانستند معادلات درجه دوم را حل کنند. با استفاده از نماد جبری مدرن، می توان گفت که در متون خط میخی آنها، علاوه بر متن های ناقص، مانند معادلات درجه دوم کامل وجود دارد.

اسلاید 6

قاعده حل این معادلات، که در متون بابلی آمده است، با قانون امروزی منطبق است، اما معلوم نیست که چگونه بابلی ها به این قاعده رسیده اند. تقریباً تمام متون خط میخی که تاکنون یافت شده‌اند، تنها مشکلاتی را با راه‌حل‌هایی که در قالب دستور العمل‌ها ارائه شده‌اند، ارائه می‌کنند، بدون هیچ اشاره‌ای به نحوه یافتن آنها. علیرغم پیشرفت بالای جبر در بابل، متون خط میخی فاقد مفهوم عدد منفی و روش های کلی برای حل معادلات درجه دوم هستند.

اسلاید 7

تعریف 1. معادله درجه دوم معادله ای از شکلی است که ضرایب a,b,c هر اعداد حقیقی هستند و چند جمله ای را سه جمله ای درجه دوم می نامند. a – ضریب اول یا پیشرو b – ضریب دوم c – ترم آزاد

اسلاید 8

تعریف 2. یک معادله درجه دوم را کاهش می گویند که ضریب پیشرو آن 1 باشد. اگر ضریب پیشرو با 1 متفاوت باشد، معادله درجه دوم کاهش نیافته نامیده می شود. مثال. 2 - 5 + 3 = 0 - معادله درجه دوم کاهش نیافته - معادله درجه دوم کاهش یافته

اسلاید 9

تعریف 3. معادله درجه دوم کامل معادله درجه دومی است که هر سه عبارت در آن وجود دارد. a + in + c = 0 یک معادله درجه دوم ناقص معادله ای است که در آن هر سه عبارت وجود ندارد. این معادله ای است که حداقل یکی از ضرایب در c برابر با صفر است.

اسلاید 10

روش های حل معادلات درجه دوم ناقص.

اسلاید 11

حل تکالیف شماره 24.16 (الف، ب) معادله: یا پاسخ دهید. یا جواب بده

اسلاید 12

تعریف 4 ریشه یک معادله درجه دوم هر مقدار از متغیر x است که در آن ثلث درجه دوم صفر شود. به این مقدار متغیر x، ریشه یک معادله درجه دوم نیز گفته می شود.

اسلاید 13

ممیز یک معادله درجه دوم D 0 D=0 معادله ریشه ندارد معادله دو ریشه دارد معادله یک ریشه دارد فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم

اسلاید 14

معادله درجه دوم D>0 دارای دو ریشه است که با استفاده از فرمول های مثال به دست می آیند. معادله را حل کنید. a = 3، b = 8، c = -11، پاسخ: 1; -3

اسلاید 15

الگوریتم حل معادله درجه دوم 1. متمایز D را با استفاده از فرمول D = 2 محاسبه کنید. اگر D 0 باشد، معادله درجه دوم دارای دو ریشه است.

برنامه نویسی درلازاروس برای دانش آموزان

درس شماره 12.

حل یک معادله درجه دوم.

ماتیسین ایگور ولادیمیرویچ

مدرس ریاضیات و علوم کامپیوتر

مدرسه متوسطه MBOU s. خدمتکار

هدف: نوشتن برنامه ای برای حل یک معادله درجه دوم، با توجه به داده های ورودی.

Maiden 2013.

معادله درجه دوم یکی از رایج ترین معادلات مدرسه است. اگرچه حل آن بسیار آسان است، گاهی اوقات باید پاسخ ها را بررسی کنید. برای این کار می توانید از یک برنامه ساده استفاده کنید. نوشتن آن زمان زیادی نمی برد.

باید از خود معادله درجه دوم شروع کنید. از درس جبر می دانیم که یک معادله درجه دوم معادله ای از فرم استتبر 2 + bx + ج = 0، کجا x – متغیر،الف , ب و ج – تعدادی اعداد والف .

از تعریف مشخص می شود که فقط ضرایب در معادله تغییر می کنندالف , ب وج . ما این پارامترها را وارد برنامه خود می کنیم و برای این کار سه فیلد ورودی از کامپوننت ها ایجاد می کنیم.

شکل 14.1 فیلدهای ورودی برای ضرایب.

همچنین از تعریف بر می آید کهالف . در این صورت معادله درجه دوم نخواهد بود. و ابتدا این شرایط را بررسی می کنیم. بیایید یک دکمه "حل" و توسعه دهنده رویداد آن با استفاده از اپراتور ایجاد کنیماگر بیایید شرایط را بررسی کنیمالف . و اگرالف =0 اجازه دهید به شما بگوییم که معادله ما درجه دوم نیست.در اینجا کنترل کننده رویداد برای دکمه است:رویه TForm1.Button1Click(فرستنده: TObject); var a,b,c:real; شروع a:=strtofloat(edit1.Text); b:=strtofloat(edit2.Text); c:=strtofloat(edit3.Text); if a=0 then Label4.Caption:="معادله درجه دوم نیست";پایان؛

برنج. 14.2 بررسی وجود یک معادله.

حال باید توضیح داد که اگر معادله درجه دوم باشد چه اتفاقی خواهد افتاد. این نیز در همین بیانیه خواهد بوداگر بعد از کلمهدیگر و هنگام استفاده از عملگر مرکب.

اگر معادله درجه دوم باشد، بلافاصله آن را با استفاده از فرمول ممیز و ریشه های معادله درجه دوم حل می کنیم.

تفکیک کننده را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم: D := ب * ب – 4* الف * ج ;

اگر ممیز کمتر از صفر باشد، معادله هیچ راه حلی ندارد. به شرح زیر خواهد بود:

اگر د سپسبرچسب 4. عنوان :="معادله هیچ راه حلی ندارد"دیگر …

و بعد ازدیگر ما مستقیماً ریشه های معادله را با استفاده از فرمول های زیر جستجو می کنیم:

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

در اینجا کد کامل اپراتور آمده استاگر :

if a=0 then Label4.Caption:="معادله درجه دوم نیست" other

آغاز شود

D:=b*b-4*a*c;

اگر د

آغاز شود

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);

پایان؛

پایان؛

برنج. 14.3 پنجره کاری برنامه معادلات درجه دوم.

معادلات درجه دوم در کلاس هشتم مطالعه می شود، بنابراین هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد. توانایی حل آنها کاملا ضروری است.

معادله درجه دوم معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 است که در آن ضرایب a، b و c اعداد دلخواه و a ≠ 0 هستند.

قبل از مطالعه روش های حل خاص، توجه داشته باشید که تمام معادلات درجه دوم را می توان به سه کلاس تقسیم کرد:

1. بدون ریشه؛
2. دقیقاً یک ریشه داشته باشد.
3. آنها دو ریشه متفاوت دارند.

این یک تفاوت مهم بین معادلات درجه دوم و معادلات خطی است، جایی که ریشه همیشه وجود دارد و منحصر به فرد است. چگونه تعیین کنیم که یک معادله چند ریشه دارد؟ یک چیز شگفت انگیز برای این وجود دارد - ممیز.

ممیز

اجازه دهید معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 داده شود، سپس به سادگی عدد D = b 2 - 4ac است.

این فرمول را باید از روی قلب بدانید. الان از کجا آمده مهم نیست. یک چیز دیگر مهم است: با علامت تمایز می توانید تعیین کنید که یک معادله درجه دوم چند ریشه دارد. یعنی:

1. اگر D< 0, корней нет;
2. اگر D = 0 باشد، دقیقاً یک ریشه وجود دارد.
3. اگر D > 0 باشد، دو ریشه وجود خواهد داشت.

لطفاً توجه داشته باشید: متمایز کننده تعداد ریشه ها را نشان می دهد و اصلاً علائم آنها را نشان نمی دهد ، همانطور که به دلایلی بسیاری معتقدند. به مثال ها نگاه کنید و خودتان همه چیز را متوجه خواهید شد:

وظیفه معادلات درجه دوم چند ریشه دارند:

1. x 2 - 8 x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6 x + 9 = 0.

بیایید ضرایب معادله اول را بنویسیم و ممیز را پیدا کنیم:
a = 1، b = -8، c = 12;
D = (-8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

بنابراین ممیز مثبت است، بنابراین معادله دو ریشه متفاوت دارد. ما معادله دوم را به روشی مشابه تجزیه و تحلیل می کنیم:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = 131-.

ممیز منفی است، هیچ ریشه ای وجود ندارد. آخرین معادله باقی مانده این است:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

ممیز صفر است - ریشه یک خواهد بود.

لطفا توجه داشته باشید که ضرایب برای هر معادله نوشته شده است. بله، طولانی است، بله، خسته کننده است، اما شما شانس را با هم مخلوط نمی کنید و اشتباهات احمقانه ای مرتکب نمی شوید. خودتان انتخاب کنید: سرعت یا کیفیت.

به هر حال، اگر به آن دست پیدا کنید، پس از مدتی نیازی به نوشتن همه ضرایب نخواهید داشت. شما چنین عملیاتی را در سر خود انجام خواهید داد. اکثر مردم از جایی بعد از 50-70 معادله حل شده شروع به انجام این کار می کنند - به طور کلی، نه چندان زیاد.

ریشه های یک معادله درجه دوم

حالا بیایید به سراغ خود راه حل برویم. اگر تفکیک کننده D > 0 باشد، ریشه ها را می توان با استفاده از فرمول ها پیدا کرد:

فرمول اصلی برای ریشه های یک معادله درجه دوم

وقتی D = 0 باشد، می توانید از هر یک از این فرمول ها استفاده کنید - همان عدد را دریافت خواهید کرد که پاسخ خواهد بود. در نهایت، اگر D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

معادله اول:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ معادله دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم:

معادله دوم:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2-4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ معادله دوباره دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \راست))=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]

در نهایت معادله سوم:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ معادله یک ریشه دارد. از هر فرمولی می توان استفاده کرد. مثلا اولی:

همانطور که از مثال ها می بینید، همه چیز بسیار ساده است. اگر فرمول ها را بلد باشید و بتوانید بشمارید مشکلی پیش نمی آید. اغلب، هنگام جایگزینی ضرایب منفی در فرمول، خطا رخ می دهد. در اینجا دوباره، تکنیک توضیح داده شده در بالا کمک خواهد کرد: به فرمول به معنای واقعی کلمه نگاه کنید، هر مرحله را یادداشت کنید - و خیلی زود از شر خطاها خلاص خواهید شد.

معادلات درجه دوم ناقص

این اتفاق می افتد که یک معادله درجه دوم کمی با آنچه در تعریف ارائه شده است متفاوت است. به عنوان مثال:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

به راحتی می توان متوجه شد که این معادلات فاقد یکی از اصطلاحات هستند. حل چنین معادلات درجه دوم حتی ساده تر از معادلات استاندارد است: آنها حتی نیازی به محاسبه تفکیک ندارند. بنابراین، بیایید یک مفهوم جدید را معرفی کنیم:

معادله ax 2 + bx + c = 0 یک معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود اگر b = 0 یا c = 0، یعنی. ضریب متغیر x یا عنصر آزاد برابر با صفر است.

البته زمانی که هر دوی این ضرایب برابر با صفر باشند، یک حالت بسیار دشوار امکان پذیر است: b = c = 0. در این حالت، معادله به شکل ax 2 = 0 است. بدیهی است که چنین معادله ای یک ریشه دارد: x = 0.

بیایید موارد باقی مانده را در نظر بگیریم. اجازه دهید b = 0، سپس یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 + c = 0 به دست می آوریم. اجازه دهید آن را کمی تبدیل کنیم:

از آنجایی که جذر حسابی فقط یک عدد غیر منفی وجود دارد، آخرین تساوی فقط برای (-c/a) ≥ 0 معنی دارد. نتیجه گیری:

1. اگر در یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 + c = 0 نابرابری (-c/a) ≥ 0 برآورده شود، دو ریشه وجود خواهد داشت. فرمول بالا داده شده است؛
2. اگر (-c/a)< 0, корней нет.

همانطور که می بینید، نیازی به تفکیک کننده نبود - هیچ محاسبات پیچیده ای در معادلات درجه دوم ناقص وجود ندارد. در واقع، حتی لازم نیست نابرابری (−c/a) ≥ 0 را به خاطر بسپارید. کافی است مقدار x 2 را بیان کنید و ببینید در طرف دیگر علامت مساوی چه چیزی وجود دارد. اگر یک عدد مثبت وجود داشته باشد، دو ریشه خواهد بود. اگر منفی باشد، اصلا ریشه ای وجود نخواهد داشت.

حال بیایید به معادلات شکل ax 2 + bx = 0 نگاه کنیم که در آن عنصر آزاد برابر با صفر است. همه چیز در اینجا ساده است: همیشه دو ریشه وجود خواهد داشت. کافی است چند جمله ای را فاکتور بگیریم:

خارج کردن عامل مشترک از پرانتز

زمانی که حداقل یکی از عوامل صفر باشد، حاصلضرب صفر است. ریشه ها از اینجا می آید. در پایان، اجازه دهید به چند مورد از این معادلات نگاه کنیم:

وظیفه حل معادلات درجه دوم:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(-7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6. هیچ ریشه ای وجود ندارد، زیرا یک مربع نمی تواند برابر با یک عدد منفی باشد.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.