انتگرال معین و روشهای محاسبه آن. ماشین حساب آنلاین محاسبه انتگرال معین (مساحت ذوزنقه منحنی)

انتگرال های قطعی آنلاین در سایت برای دانش آموزان و دانش آموزان مدرسه برای تجمیع مطالبی که پوشش داده اند. و مهارت های عملی خود را آموزش دهید. یک راه حل کامل از انتگرال های قطعی آنلاین برای شما در چند لحظه به شما کمک می کند تا تمام مراحل انتگرال آنلاین - انتگرال قطعی را تعیین کنید. انتگرال‌های خاص آنلاین در سایت برای دانش‌آموزان و دانش‌آموزان برای تجمیع کامل مطالبی که پوشش داده‌اند و آموزش مهارت‌های عملی آنها. یک راه حل کامل از انتگرال های قطعی آنلاین برای شما در چند لحظه به شما کمک می کند تا تمام مراحل انتگرال آنلاین - انتگرال قطعی را تعیین کنید. برای ما، استفاده از یک انتگرال قطعی آنلاین به نظر نمی رسد چیزی فوق العاده طبیعی باشد، زیرا این موضوع را در کتابی توسط نویسندگان برجسته مطالعه کرده ایم. ما از آنها بسیار تشکر می کنیم و احترام خود را به این افراد ابراز می کنیم. به تعیین انتگرال معین کمک می کند سرویس آنلاینبرای محاسبه چنین مشکلاتی در کوتاه ترین زمان. فقط اطلاعات صحیح را ارائه دهید و همه چیز خوب خواهد شد! هر انتگرال قطعی به عنوان راه حل یک مشکل، سواد دانش آموزان را بهبود می بخشد. هر تنبلی این خواب را می بیند و ما نیز از این قاعده مستثنی نیستیم، صادقانه به آن اعتراف می کنیم. اگر هنوز موفق به محاسبه یک انتگرال قطعی آنلاین با یک راه حل به صورت رایگان هستید، لطفاً آدرس وب سایت را برای همه کسانی که می خواهند از آن استفاده کنند بنویسید. همانطور که می گویند، به اشتراک بگذارید لینک مفید- و از شما تشکر خواهد شد مردم خوببه صورت رایگان سوال تجزیه و تحلیل مسئله ای که در آن یک انتگرال خاص توسط ماشین حساب به تنهایی حل می شود و نه با اتلاف وقت گرانبهای شما بسیار جالب خواهد بود. به همین دلیل است که آنها ماشین هستند تا برای مردم کار کنند. با این حال، حل انتگرال های خاص به صورت آنلاین چیزی نیست که هر وب سایت بتواند از عهده آن برآید، و بررسی این انتگرال آسان است. مثال پیچیدهو سعی کنید با استفاده از هر یک از این سرویس ها آن را حل کنید. تفاوت را دست اول احساس خواهید کرد. اغلب، یافتن یک انتگرال قطعی آنلاین بدون هیچ تلاشی بسیار دشوار می شود و پاسخ شما در پس زمینه تصویر کلی نتیجه مضحک به نظر می رسد. بهتر است ابتدا یک دوره برای یک مبارز جوان بگذرانید. هر راه حل انتگرال های نامناسب به صورت آنلاین ابتدا به محاسبه نامحدود کاهش می یابد و سپس با استفاده از تئوری حدود، به عنوان یک قاعده، حدود یک طرفه از عبارات حاصل با مرزهای جایگزین A و B محاسبه می شود. آنلاین با راه حل دقیق، به این نتیجه رسیدیم که در مرحله پنجم یعنی استفاده از فرمول جایگزینی متغیر Chebyshev اشتباه کرده اید. در تصمیم گیری بعدی بسیار مراقب باشید. اگر انتگرال قطعی شماست ماشین حساب آنلایناگر بار اول نتوانستید آن را انجام دهید، قبل از هر چیز باید داده های نوشته شده را در فرم های مناسب در وب سایت دوباره بررسی کنید. مطمئن شوید که همه چیز مرتب است و بروید، برو برو! برای هر دانش آموز، مانع محاسبه انتگرال های نادرست آنلاین با خود معلم است، زیرا این یا یک امتحان است، یا یک گفتگو، یا فقط تست کنیدروی یک جفت.. به محض اینکه ماشین حساب آنلاین انتگرال نادرست داده شده در اختیار شما قرار گرفت، بلافاصله تابع داده شده را وارد کنید، محدودیت های داده شده ادغام را جایگزین کنید و بر روی دکمه Solution کلیک کنید، پس از آن به پاسخ دقیق کامل دسترسی خواهید داشت. . با این حال، وقتی سایت فوق العاده ای به عنوان یک سایت وجود داشته باشد خوب است، زیرا رایگان است، استفاده از آن آسان است و همچنین شامل بخش های زیادی است. که دانش آموزان هر روز از آن استفاده می کنند، یکی از آنها یک انتگرال قطعی آنلاین با یک راه حل به صورت کامل است. در همین بخش، می توانید انتگرال نامناسب را به صورت آنلاین با یک راه حل دقیق برای کاربردهای بیشتر پاسخ چه در موسسه و چه در موسسه محاسبه کنید. کار مهندسی. اگر چنین مثالی را از قبل بدون کران بالا و پایین، یعنی نه یک انتگرال لایبنیتس، بلکه یک انتگرال نامعین حل کنید، به نظر می رسد تعیین یک انتگرال قطعی آنلاین برای همه یک موضوع ساده است. اما در اینجا من و شما به طور قاطع مخالفیم، زیرا در نگاه اول ممکن است دقیقاً اینگونه به نظر برسد، اما یک تفاوت قابل توجه وجود دارد، بیایید همه چیز را مرتب کنیم. راه حل چنین انتگرال مشخصی را به صراحت ارائه نمی دهد، بلکه در نتیجه تبدیل عبارت به یک مقدار محدود کننده است. به عبارت دیگر، ابتدا باید انتگرال را با جایگزینی مقادیر نمادین مرزها حل کنید و سپس حد را در بی نهایت یا در یک نقطه خاص محاسبه کنید. از این رو، محاسبه یک انتگرال قطعی آنلاین با یک راه حل به صورت رایگان به معنای ارائه راه حل دقیق با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس نیست. اگر ماشین حساب انتگرال قطعی خود را در نظر بگیریم، به شما کمک می کند تا آن را در چند ثانیه درست در مقابل چشمان خود محاسبه کنید. این عجله برای هر کسی که می خواهد کار را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهد و برای مسائل شخصی آزاد باشد ضروری است. شما نباید در اینترنت به دنبال سایت هایی بگردید که از شما بخواهند ثبت نام کنید، سپس پولی را به موجودی خود اضافه کنید، همه اینها به خاطر اینکه یک فرد باهوش راه حل هایی را برای انتگرال های خاص به ظاهر آنلاین آماده می کند. به یاد داشته باشید که آدرس Math24 یک سرویس رایگان برای حل بسیاری از مسائل ریاضی است، از جمله ما به شما کمک می کنیم یک انتگرال خاص را به صورت آنلاین پیدا کنید، و برای اطمینان از این موضوع، لطفاً بیانیه ما را بررسی کنید. نمونه های خاص. انتگرال را در فیلد مناسب وارد کنید، سپس یا مقادیر حدی بی نهایت را مشخص کنید (در این صورت جواب انتگرال های نامناسب به صورت آنلاین محاسبه و به دست می آید)، یا حدود عددی یا نمادین خود و انتگرال قطعی را به صورت آنلاین با یک راه حل دقیق مشخص کنید. پس از کلیک بر روی دکمه "راه حل" در صفحه نمایش داده می شود. اینطور نیست - بسیار ساده است، نیازی به اقدامات غیر ضروری از شما ندارد، رایگان است، که مهمترین چیز است، و در عین حال موثر است. شما می توانید خودتان از این سرویس استفاده کنید تا یک ماشین حساب آنلاین یکپارچه خاص حداکثر سود را برای شما به ارمغان بیاورد، و بدون استرس بر پیچیدگی همه فرآیندهای محاسباتی، حالتی راحت به دست آورید، اجازه دهید ما همه چیز را برای شما انجام دهیم و تمام قدرت را به شما نشان دهیم. تکنولوژی کامپیوتر دنیای مدرن. اگر در طبیعت غوطه ور شوید پیچیده ترین فرمول هاو محاسبه انتگرال های نامناسب را به تنهایی به صورت آنلاین مطالعه کنید، پس این قابل ستایش است، و شما می توانید شرایط لازم برای نوشتن پایان نامه دکتری را داشته باشید، اما اجازه دهید به واقعیت های زندگی دانشجویی برگردیم. دانشجو کیست؟ اول از همه، او یک مرد جوان، پرانرژی و شاد است، که می خواهد زمانی برای استراحت و انجام تکالیف خود داشته باشد! بنابراین، ما از دانش آموزانی مراقبت کردیم که سعی می کنند یک ماشین حساب آنلاین انتگرال نادرست را در وسعت شبکه جهانی پیدا کنند، و در اینجا مورد توجه شماست - سایت مفیدترین حل کننده آنلاین برای جوانان است. ضمناً، اگرچه خدمات ما به عنوان دستیار به دانش آموزان و دانش آموزان ارائه می شود، اما برای هر مهندسی کاملاً مناسب است، زیرا ما قادر به هر نوع مشکلی هستیم و راه حل آنها در قالب حرفه ای ارائه می شود. به عنوان مثال، ما یک انتگرال قطعی آنلاین با یک راه حل کامل در مراحل ارائه می دهیم، یعنی به هر بلوک منطقی (subtask) یک ورودی جداگانه با تمام محاسبات در طول فرآیند داده می شود. راه حل کلی. این، البته، درک طرح‌بندی‌های متوالی چند مرحله‌ای را ساده می‌کند، و بنابراین مزیت پروژه سایت نسبت به خدمات مشابه برای یافتن انتگرال‌های نامناسب آنلاین با یک راه‌حل دقیق است.

بیایید عملکرد را در نظر بگیریم. این تابع به عنوان تابعی از حد بالایی انتگرال نامیده می شود. اجازه دهید به چندین ویژگی این تابع توجه کنیم.
قضیه 2.1. اگر f(x) یک تابع انتگرال پذیر باشد، Ф(x) بر روی پیوسته است.
اثبات. با خاصیت 9 انتگرال معین (قضیه مقدار میانگین) داریم ، از جایی که، در، مورد نیاز را بدست می آوریم.
قضیه 2.2. اگر f(x) یک تابع پیوسته بر روی است، آنگاه Ф’(x) = f(x) در .
اثبات. با خاصیت 10 انتگرال معین (قضیه دوم مقدار میانگین) داریم کجا با- نقطه ای از بخش با توجه به پیوستگی تابع f به دست می آوریم
بنابراین، Ф(x) یکی از پاد مشتق های تابع f(x) است، بنابراین، Ф(x) = F(x) + C، که در آن F(x) ضد مشتق دیگری از f(x) است. علاوه بر این، از آنجایی که Ф(a) = 0، پس 0 = F(a) + C، بنابراین، C = -F(a) و بنابراین Ф(x) = F(x) - F(a). با فرض x=b، فرمول نیوتن-لایب نیتس را بدست می آوریم

نمونه ها
1.

ادغام توسط قطعات در یک انتگرال معین

انتگرال معین فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات را حفظ می کند. در این صورت شکل می گیرد

مثال.

تغییر متغیرها در یک انتگرال معین

یکی از انواع نتایج در مورد تغییر متغیرها در یک انتگرال معین به شرح زیر است.
قضیه 2.3.فرض کنید f(x) روی قطعه ممتد باشد و شرایط زیر را برآورده کند:
1) φ(α) = a
2) φ(β) = ب
3) مشتق φ’(t) در همه جای بازه [α، β] تعریف شده است.
4) برای همه t از [α، β]
سپس
اثباتاگر F(x) برای f(x)dx پاد مشتق است، پس F(φ(t)) ضد مشتق است برای بنابراین F(b) – F(a) = F(φ(β)) – F(φ(α)) . قضیه ثابت شده است.
نظر دهید.اگر تداوم تابع f(x) را تحت شرایط قضیه 2.3 رد کنیم، باید یکنواختی تابع φ(t) را الزام کنیم.

مثال.انتگرال را محاسبه کنید بگذارید سپس dx = 2tdt و بنابراین قرار دهیم

پیش نمایش:

برای استفاده از پیش نمایش ارائه، یک حساب کاربری برای خود ایجاد کنید ( حساب کاربری) گوگل و وارد شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلاید:

انتگرال. فرمول نیوتن – لایب نیتس گردآوری شده توسط: معلم ریاضیات موسسه آموزشی دولتی موسسه آموزشی PU شماره 27 Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna

هدف درس: مفهوم انتگرال و محاسبه آن را با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس با استفاده از دانش در مورد پاد مشتق و قوانین محاسبه آن معرفی کنید. کاربرد عملی انتگرال را با استفاده از مثال هایی از یافتن مساحت ذوزنقه منحنی نشان دهید. آنچه را که در طول تمرینات آموخته اید تقویت کنید.

تعریف: بگذار داده شود عملکرد مثبت f(x) بر روی قطعه محدود [a;b] تعریف شده است. انتگرال یک تابع f(x) در [a;b] مساحت ذوزنقه منحنی آن است. y=f(x) b a 0 x y

تعیین:  "انتگرال از a به b eff از x de x"

پیشینه تاریخی: لایب نیتس نماد انتگرال را از حرف اول کلمه "Summa" گرفته است. نیوتن در آثارش نمادگرایی جایگزینی برای انتگرال پیشنهاد نکرد، اگرچه تلاش کرد گزینه های مختلف. خود اصطلاح انتگرال توسط ژاکوب برنولی ابداع شد. اسحاق نیوتن گوتفرید ویلهلم فون لایبنیتس یاکوب برنولی

اویلر نماد انتگرال نامعین را معرفی کرد. ژان باپتیست جوزف فوریه لئونارد اویلر طراحی انتگرال معین به شکلی که با آن آشنا هستیم توسط فوریه ابداع شد.

فرمول نیوتن - لایب نیتس

مثال 1. انتگرال معین را محاسبه کنید: = راه حل:

مثال 2. انتگرال های معین را محاسبه کنید: 5 9 1

مثال 3. S y x مساحت شکل محدود شده با خطوط و محور x را محاسبه کنید. برای شروع بیایید نقاط را پیدا کنیمتقاطع محور x با نمودار تابع. برای انجام این کار، اجازه دهید معادله را حل کنیم. = راه حل: S =

y x S A B D C مثال 4. مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید و با حل معادله S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 – 4.5 = 4.5، نقاط تلاقی (ابسیسا) این خطوط را بیابید. مثال 1 راه حل را ببینید:

SINCWAIN RULES سطر 1 – موضوع syncwine 1 کلمه سطر 2 – 2 صفت توصیف کننده علائم و ویژگی های موضوع سطر 3 – 3 فعل توصیف کننده ماهیت عمل سطر 4 – جمله کوتاهاز 4 کلمه، نشان دادن نگرش شخصی شما به موضوع 5 خط - 1 کلمه، مترادف یا ارتباط شما با موضوع موضوع.

انتگرال 2. تعداد معین، مثبت، جمع، ضرب 4. محاسبه با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس 5. مساحت

فهرست ادبیات مورد استفاده: کتاب درسی توسط A.N. و دیگران جبر و شروع تجزیه و تحلیل 10 - 11 درجه.

از توجه شما متشکرم! حکمت عامیانه "استعداد 99% کار و 1% توانایی است".

مثال 1. انتگرال معین را محاسبه کنید: = راه حل: مثال 4

پیش نمایش:

موضوع: ریاضی (جبر و آغاز تحلیل)، پایه: پایه یازدهم.

موضوع درس: "یکپارچه. فرمول نیوتن-لایب نیتس."

نوع درس: یادگیری مطالب جدید.

مدت زمان درس: 45 دقیقه.

اهداف درس: مفهوم انتگرال و محاسبه آن را با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس، با استفاده از دانش در مورد پاد مشتق و قوانین محاسبه آن معرفی کنید. کاربرد عملی انتگرال را با استفاده از مثال هایی برای یافتن مساحت ذوزنقه منحنی نشان دهید. آنچه را که در طول تمرینات آموخته اید تثبیت کنید.

اهداف درس:

آموزشی:

1. مفهوم انتگرال را تشکیل دهید.
2. توسعه مهارت در محاسبه یک انتگرال معین؛
3. شکل گیری مهارت ها کاربرد عملیانتگرال برای یافتن مساحت ذوزنقه منحنی.

آموزشی:

1. توسعه علاقه شناختیدانش آموزان، گفتار ریاضی، توانایی مشاهده، مقایسه و نتیجه گیری را توسعه می دهند.
2. با استفاده از فناوری اطلاعات و ارتباطات، علاقه به موضوع را توسعه دهید.

آموزشی:

1. افزایش علاقه به کسب دانش جدید، توسعه دقت و صحت در هنگام محاسبه انتگرال و انجام نقشه ها.

تجهیزات: کامپیوتر، سیستم عامل Microsoft Windows 2000/XP، MS Office 2007: پاور پوینت, مایکروسافت ورد; پروژکتور چند رسانه ای، صفحه نمایش.

ادبیات: کتاب درسی کولماگروف A.N. و دیگران جبر و شروع تجزیه و تحلیل 10-11.

فناوری ها: ICT، آموزش فردی.

پیشرفت درس

	مرحله درس	فعالیت های معلم	فعالیت های دانشجویی	زمان
	بخش مقدماتی
	لحظه سازمانی	سلام می کند، آمادگی دانش آموزان را برای درس بررسی می کند، توجه را سازماندهی می کند. یادداشت های پشتیبانی را توزیع می کند.	گوش کن، تاریخ را بنویس.	3 دقیقه
	برقراری ارتباط با موضوع و اهداف درس	به روز رسانی دانش پس زمینهو تجربه ذهنی با دسترسی به اهداف درس.	گوش کنید و موضوع درس را در دفترچه یادداشت کنید.به طور فعال در فعالیت ذهنی شرکت می کند. تجزیه و تحلیل، مقایسه، نتیجه گیری برای رسیدن به اهداف درس.	ارائه ICT 3 دقیقه
	بخش اصلی درس ارائه مطالب جدید همراه با آزمون دانش موضوعات گذشته.
	تعریف انتگرال (اسلاید 3)	تعریف می کند. ICT ذوزنقه منحنی چیست؟	شکل محدود شده توسط نمودار یک تابع، یک پاره و خطوط مستقیم x=a و x=b.	10 دقیقه
	نماد انتگرال (اسلاید 4)	نماد انتگرال و نحوه خواندن آن را معرفی می کند.	گوش کن، بنویس
	تاریخچه انتگرال (اسلایدهای 5 و 6)	تاریخچه اصطلاح "انتگرال" را می گوید.	گوش کنید و مختصر بنویسید.
	فرمول نیوتن-لایب نیتس (اسلاید 7)	فرمول نیوتن-لایب نیتس را می دهد. F در فرمول به چه معناست؟	گوش کنید، یادداشت بردارید، به سوالات معلم پاسخ دهید. ضد مشتق.
	قسمت پایانی درس.
	تعمیر مواد. حل مثال ها با استفاده از مطالب مورد مطالعه
	مثال 1 (اسلاید 8)	راه حل مثال را تجزیه و تحلیل می کند و در مورد یافتن ضد مشتقات برای انتگرال ها سؤال می پرسد.	گوش کنید، بنویسید، دانش جدول ضد مشتقات را نشان دهید.	20 دقیقه
	مثال 2 (اسلاید 9). نمونه هایی برای تصمیم مستقلدانش آموزان	بر حل مثال ها نظارت می کند.	کار را یکی یکی کامل کنید و نظر بدهید (فناوری یادگیری فردی، به یکدیگر گوش دهید، یادداشت کنید، دانش موضوعات گذشته را نشان دهید.
	مثال 3 (اسلاید 10)	راه حل مثال را تجزیه و تحلیل می کند. چگونه نقاط تلاقی محور x را با نمودار یک تابع پیدا کنیم؟	آنها گوش می دهند، به سؤالات پاسخ می دهند، دانش موضوعات گذشته را نشان می دهند و یادداشت می کنند. انتگرال را با 0 برابر کنید و معادله را حل کنید.
	مثال 4 (اسلاید 11)	راه حل مثال را تجزیه و تحلیل می کند. چگونه نقاط تقاطع (آبسیسا) نمودارهای تابع را پیدا کنیم؟ نوع مثلث ABC را تعیین کنید. چگونه مساحت مثلث قائم الزاویه را پیدا کنیم؟	گوش می دهند و به سوالات پاسخ می دهند. توابع را با یکدیگر برابر کنید و معادله حاصل را حل کنید. مستطیل شکل. که در آن a و b پاهای یک مثلث قائم الزاویه هستند.
	جمع بندی درس (اسلایدهای 12 و 13)	کار بر روی کامپایل syncwine را سازماندهی می کند.	در تهیه سینک واین شرکت کنید. تجزیه و تحلیل، مقایسه، نتیجه گیری در مورد موضوع.	5 دقیقه
	تکلیف با توجه به سطح دشواری.	تکلیف می دهد و توضیح می دهد.	گوش کن، بنویس	1 دقیقه
	ارزیابی کار دانش آموزان در کلاس.	کار دانش آموزان در درس را ارزیابی و آن را تجزیه و تحلیل می کند.	دارند گوش می دهند.	1 دقیقه

پیش نمایش:

خلاصه اساسی در مورد موضوع "انتگرال. فرمول نیوتن-لایب نیتس."

	تعریف: بگذارید یک تابع مثبت داده شود f(x) ، بر روی یک قطعه محدود تعریف شده است.انتگرال تابع f(x) درمساحت ذوزنقه منحنی آن نامیده می شود.
	تعیین نام: می خواند: "انتگرال از a به b ef از x de x"
	فرمول نیوتن - لایب نیتس
	مثال 1. انتگرال معین را محاسبه کنید: راه حل:
	مثال 3. و محور x. راه حل:
	مثال 3. مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنیدو .

حل مسائل کاربردی به محاسبه انتگرال ختم می شود، اما همیشه نمی توان این کار را به طور دقیق انجام داد. گاهی لازم است مقدار یک انتگرال معین را با درجه ای از دقت، مثلاً تا هزارم بدانیم.

هنگامی که لازم است مقدار تقریبی یک انتگرال خاص را با دقت مورد نیاز پیدا کنیم، مشکلاتی وجود دارد، سپس از انتگرال گیری عددی مانند روش سیمپونی، ذوزنقه ها و مستطیل ها استفاده می شود. همه موارد به ما اجازه نمی دهند که آن را با دقت خاصی محاسبه کنیم.

این مقاله به بررسی کاربرد فرمول نیوتن-لایبنیتس می پردازد. این برای محاسبه دقیق انتگرال معین ضروری است. داده خواهد شد نمونه های دقیقتغییرات متغیر در انتگرال معین در نظر گرفته می شود و هنگام انتگرال گیری توسط قطعات مقادیر انتگرال معین را پیدا می کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

فرمول نیوتن لایب نیتس

تعریف 1

وقتی تابع y = y (x) از بازه [ a ; b ] و F (x) یکی از ضد مشتقات تابع این بخش است، پس فرمول نیوتن لایب نیتسمنصفانه در نظر گرفته شده است. بیایید آن را به این صورت بنویسیم: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

این فرمولفکر کن فرمول اصلی حساب انتگرال

برای اثبات این فرمول باید از مفهوم انتگرال با متغیر موجود استفاده کرد حد بالایی.

وقتی تابع y = f (x) از بازه [ a ; b ]، سپس مقدار آرگومان x ∈ a; b ، و انتگرال به شکل ∫ a x f (t) d t است و تابعی از حد بالایی در نظر گرفته می شود. لازم است نماد تابع را به شکل ∫ a x f (t) d t = Φ (x) به خود بگیرد، پیوسته است، و یک نابرابری از شکل ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) برای آن معتبر است.

اجازه دهید ثابت کنیم که افزایش تابع Φ (x) با افزایش آرگومان ∆ x مطابقت دارد، لازم است از پنجمین خاصیت اصلی انتگرال معین استفاده کنیم و به دست آوریم.

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

که در آن مقدار c∈ x; x + ∆ x .

اجازه دهید تساوی را به شکل Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) ثابت کنیم. با تعریف مشتق یک تابع، باید به حد Δ x → 0 برویم، سپس فرمولی به شکل Φ" (x) = f (x) به دست می آوریم. دریافتیم که Φ (x) برابر است. یکی از پاد مشتق ها برای تابعی به شکل y = f (x)، واقع در [a]

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C، که در آن مقدار C ثابت است.

بیایید F (a) را با استفاده از اولین خاصیت انتگرال معین محاسبه کنیم. سپس ما آن را دریافت می کنیم

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C، از این رو دریافت می کنیم که C = F (a). نتیجه هنگام محاسبه F (b) قابل استفاده است و به دست می آوریم:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a)، به عبارت دیگر، F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (الف). برابری با فرمول نیوتن-لایبنیتس ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) ثابت می شود.

افزایش تابع را به صورت F x a b = F (b) - F (a) می گیریم. با استفاده از علامت گذاری، فرمول نیوتن-لایبنیتس به شکل ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) می باشد.

برای اعمال فرمول، لازم است یکی از پاد مشتق های y = F (x) تابع انتگرال y = f (x) را از قطعه [a ; b ]، افزایش ضد مشتق را از این بخش محاسبه کنید. بیایید به چند نمونه از محاسبات با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس نگاه کنیم.

مثال 1

انتگرال معین ∫ 1 3 x 2 d x را با استفاده از فرمول نیوتن لایب نیتس محاسبه کنید.

راه حل

در نظر بگیرید که انتگرال شکل y = x 2 از بازه [ 1 ; 3]، سپس در این بازه قابل ادغام است. طبق جدول انتگرال های نامعینمی بینیم که تابع y = x 2 دارای مجموعه ای از پاد مشتق ها برای تمام مقادیر واقعی x است که به معنای x ∈ 1 است. 3 به صورت F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C نوشته می شود. لازم است که ضد مشتق را با C = 0 بگیریم، سپس به دست می آوریم که F (x) = x 3 3.

بیایید از فرمول نیوتن-لایب نیتس استفاده کنیم و دریابیم که محاسبه انتگرال معین به شکل ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 است.

پاسخ:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

مثال 2

انتگرال معین ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x را با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس محاسبه کنید.

راه حل

برای این تابعاز بازه [ - 1 ; 2 ]، به این معنی که روی آن قابل ادغام است. لازم است مقدار انتگرال نامعین ∫ x · e x 2 + 1 d x را با استفاده از روش جمع کردن زیر علامت دیفرانسیل پیدا کنیم، سپس ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

از این رو ما مجموعه ای از ضد مشتقات تابع y = x · e x 2 + 1 را داریم که برای همه x، x ∈ - 1 معتبر است. 2.

لازم است که ضد مشتق را در C = 0 گرفته و فرمول نیوتن-لایب نیتس را اعمال کنیم. سپس یک عبارت از فرم را دریافت می کنیم

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

پاسخ:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

مثال 3

انتگرال های ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x و ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x را محاسبه کنید.

راه حل

بخش - 4; - 1 2 می گوید که تابع زیر علامت انتگرال پیوسته است، یعنی انتگرال پذیر است. از اینجا مجموعه ضد مشتق های تابع y = 4 x 3 + 2 x 2 را می یابیم. ما آن را دریافت می کنیم

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

لازم است که ضد مشتق F (x) = 2 x 2 - 2 x را بگیریم، سپس با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس، انتگرال را بدست می آوریم که محاسبه می کنیم:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

ما به محاسبه انتگرال دوم می رویم.

از بخش [ - 1 ; 1 ] داریم که تابع انتگرال نامحدود در نظر گرفته می شود، زیرا lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞، پس نتیجه می شود که یک شرط ضرورییکپارچگی از یک بخش سپس F (x) = 2 x 2 - 2 x برای y = 4 x 3 + 2 x 2 از بازه [ - 1 ; 1]، از آنجایی که نقطه O متعلق به بخش است، اما در حوزه تعریف گنجانده نشده است. این بدان معنی است که یک انتگرال ریمان و نیوتن-لایبنیتس برای تابع y = 4 x 3 + 2 x 2 از بازه [ - 1 ; 1].

پاسخ: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,برای تابع y = 4 x 3 + 2 x 2 از بازه [ - 1 ; 1].

قبل از استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس، باید دقیقاً در مورد وجود یک انتگرال معین بدانید.

تغییر یک متغیر در یک انتگرال معین

وقتی تابع y = f (x) از بازه [ a ; b]، سپس مجموعه موجود [a; b] محدوده مقادیر تابع x = g (z) تعریف شده در بخش α در نظر گرفته می شود. β با مشتق پیوسته موجود، که در آن g (α) = a و g β = b، از این نتیجه می گیریم که ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z.

این فرمول زمانی استفاده می شود که شما باید انتگرال ∫ a b f (x) d x را محاسبه کنید، جایی که انتگرال نامشخص به شکل ∫ f (x) d x است، ما با استفاده از روش جایگزینی محاسبه می کنیم.

مثال 4

یک انتگرال معین از شکل ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x را محاسبه کنید.

راه حل

تابع انتگرال در بازه ادغام پیوسته در نظر گرفته می شود، به این معنی که یک انتگرال معین وجود دارد. بیایید علامت گذاری کنیم که 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. مقدار x = 9 به این معنی است که z = 2 9 - 9 = 9 = 3، و برای x = 18 ما دریافت می کنیم که z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3، سپس g α = g (3) = 9، g β = g 3 3 = 18. وقتی مقادیر به دست آمده را به فرمول ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z به دست می آوریم که

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

با توجه به جدول انتگرال های نامعین، داریم که یکی از پاد مشتق های تابع 2 z 2 + 9 مقدار 2 3 a r c t g z 3 را می گیرد. سپس، هنگام اعمال فرمول نیوتن-لایبنیتس، آن را به دست می آوریم

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 π4 π4 =

این یافته را می توان بدون استفاده از فرمول ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z انجام داد.

اگر با استفاده از روش جایگزینی از یک انتگرال به شکل ∫ 1 x 2 x - 9 d x استفاده کنیم، می توانیم به نتیجه ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C برسیم.

از اینجا با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبات را انجام می دهیم و انتگرال قطعی را محاسبه می کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 1 = = π 18

نتایج یکسان بود.

پاسخ: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

ادغام توسط قطعات هنگام محاسبه یک انتگرال معین

اگر در قطعه [a; b ] توابع u (x) و v (x) تعریف شده و پیوسته هستند، سپس مشتقات مرتبه اول آنها v "(x) · u (x) قابل انتگرال هستند، بنابراین از این بخش برای تابع قابل انتگرال u" (x) · v ( x) برابری ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x درست است.

سپس می توان از فرمول استفاده کرد، لازم است انتگرال ∫ a b f (x) d x محاسبه شود و ∫ f (x) d x لازم است با استفاده از ادغام توسط قطعات به دنبال آن بگردیم.

مثال 5

انتگرال معین ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x را محاسبه کنید.

راه حل

تابع x · sin x 3 + π 6 در بازه - π 2 قابل ادغام است. 3 π 2، یعنی پیوسته است.

اجازه دهید u (x) = x، سپس d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x، و d (u (x)) = u " (x) d x = d x، و v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . از فرمول ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x به دست می آوریم که

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

مثال را می توان به روش دیگری حل کرد.

مجموعه پاد مشتق های تابع x · sin x 3 + π 6 را با استفاده از ادغام قطعات با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس پیدا کنید:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

پاسخ: ∫ x · گناه x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

فرمول نیوتن - لایب نیتس

قضیه اصلی تحلیلیا فرمول نیوتن - لایب نیتسیک رابطه بین دو عمل نشان می دهد: گرفتن یک انتگرال معین و محاسبه ضد مشتق

فرمولاسیون

انتگرال تابع را در نظر بگیرید y = f(x) در یک عدد ثابت الفتا تعداد x، که آن را متغیر در نظر خواهیم گرفت. بیایید انتگرال را به شکل زیر بنویسیم:

این نوعانتگرال انتگرال با حد بالایی متغیر نامیده می شود. با استفاده از قضیه مقدار میانگین در یک انتگرال معین می توان به راحتی نشان داد که این تابع پیوسته و قابل تمایز است. و همچنین مشتق یک تابع داده شده در نقطه x برابر با خود تابع قابل انتگرال است. از این نتیجه می شود که هر تابع پیوسته دارای یک پاد مشتق به شکل ربع است: . و از کلاس توابع ضد مشتقتابع f با یک ثابت متفاوت است، به راحتی می توان نشان داد که: انتگرال معین تابع f برابر است با تفاوت مقادیر پاد مشتق ها در نقاط b و a.

بنیاد ویکی مدیا

• 2010.
• فرمول احتمال کل

فرمول ریلی-جین

ببینید «فرمول نیوتن-لایب‌نیتس» در فرهنگ‌های دیگر چیست:فرمول نیوتن لایب نیتس

- قضیه اصلی تجزیه و تحلیل یا فرمول نیوتن لایبنیتس رابطه بین دو عمل را نشان می دهد: گرفتن یک انتگرال معین و محاسبه فرمول ضد مشتق. .. ... ویکی پدیافرمول افزایش محدود

- این اصطلاح معانی دیگری دارد، به قضیه لاگرانژ مراجعه کنید. فرمول افزایش محدود یا قضیه میانگین لاگرانژ بیان می کند که اگر تابعی در یک بازه پیوسته باشد و... ویکی پدیافرمول استوکس - قضیه استوکس یکی از قضایای اصلی هندسه دیفرانسیل وتجزیه و تحلیل ریاضی

در مورد ادغام اشکال دیفرانسیل، که چندین قضیه تحلیل را تعمیم می دهد. به نام جی جی استوکس. مطالب 1 فرمول بندی کلی 2… … ویکی پدیانیوتن - فرمول لایبنیتز - فرمولی که مقدار یک انتگرال معین را بیان می کند f در امتداد یک پاره به شکل اختلاف مقادیر در انتهای یک قطعه از هر پاد مشتق F این تابع به نام I. Newton و G. Leibniz نامگذاری شده است، زیرا قانون ... ... دایره المعارف ریاضی

فرمول نیوتن-لایبنیتز- فرمول اساسی حساب انتگرال. ارتباط بین یک انتگرال معین تابع f(x) و هر یک از پاد مشتق های آن F(x) را بیان می کند... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

فرمول لایب نیتس- این اصطلاح معانی دیگری دارد، به فهرست اشیاء به نام لایب نیتس مراجعه کنید. این اصطلاح معانی دیگری دارد، به فرمول لایبنیتس (معانی) مراجعه کنید. فرمول لایب نیتس در حساب انتگرال قانون است... ... ویکی پدیا

فرمول نیوتن لایب نیتس- فرمول نیوتن لایب نیتس، فرمول اساسی حساب انتگرال. ارتباط بین انتگرال معین تابع f(x) و هر یک از پاد مشتق های آن F(x) را بیان می کند. . * * * فرمول نیوتون لایبنیتز فرمول نیوتن لایبنیتز، فرمول پایه... ... فرهنگ لغت دایره المعارفی

فرمول مستطیل

فرمول ذوزنقه ای- انتگرال معین به عنوان مساحت یک شکل ادغام عددی ( نام تاریخی: ربع) محاسبه مقدار یک انتگرال معین (معمولاً تقریبی)، بر اساس این واقعیت که مقدار انتگرال از نظر عددی برابر با مساحت ... ... ویکی پدیا

قضیه نیوتن- فرمول نیوتن لایب نیتس یا قضیه اساسی تحلیل رابطه بین دو عمل را نشان می دهد: گرفتن یک انتگرال معین و محاسبه ضد مشتق. اگر روی یک قطعه ممتد باشد و هر پاد مشتق آن در این قطعه ... ویکی پدیا