چگونه یک عدد مختلط را در عدد اول ضرب کنیم؟ ضرب کسرها

در دوره متوسطه و دبیرستاندانش آموزان موضوع "کسری" را مطالعه کردند. با این حال، این مفهوم بسیار گسترده تر از آنچه در فرآیند یادگیری ارائه شده است. امروزه با مفهوم کسری اغلب مواجه می‌شویم و همه نمی‌توانند هر عبارتی را محاسبه کنند، مثلاً ضرب کسرها.

کسری چیست؟

از نظر تاریخی، اعداد کسری به دلیل نیاز به اندازه گیری به وجود آمده اند. همانطور که تمرین نشان می دهد، اغلب نمونه هایی از تعیین طول یک قطعه و حجم یک مستطیل مستطیلی وجود دارد.

در ابتدا دانش آموزان با مفهوم سهم آشنا می شوند. به عنوان مثال، اگر یک هندوانه را به 8 قسمت تقسیم کنید، به هر نفر یک هشتم هندوانه می رسد. به این یک قسمت از هشت، سهم می گویند.

سهمی معادل ½ از هر ارزشی نصف نامیده می شود. ⅓ - سوم؛ ¼ - یک چهارم. رکوردهای فرم 5/8، 4/5، 2/4 نامیده می شوند کسرهای معمولی. کسر مشترک به صورت و مخرج تقسیم می شود. بین آنها نوار کسر یا نوار کسر قرار دارد. خط کسری را می توان به صورت افقی یا مایل رسم کرد. در در این موردنشان دهنده علامت تقسیم است.

مخرج نشان می دهد که مقدار یا شیء به چند قسمت مساوی تقسیم می شود. و شمارش تعداد سهام یکسان است. صورت در بالای خط کسری و مخرج زیر آن نوشته می شود.

نشان دادن کسرهای معمولی روی یک پرتو مختصات راحت‌تر است. اگر یک بخش منفرد به 4 قسمت مساوی تقسیم شود، هر قسمت با یک حرف لاتین مشخص می شود، نتیجه را می توان به دست آورد. کمک بصری. بنابراین، نقطه A سهمی برابر با 1/4 از کل بخش واحد را نشان می دهد و نقطه B 2/8 از یک بخش معین را نشان می دهد.

انواع کسر

کسرها می توانند اعداد معمولی، اعشاری و مختلط باشند. علاوه بر این، کسرها را می توان به مناسب و نامناسب تقسیم کرد. این طبقه بندی بیشتر برای کسرهای معمولی مناسب است.

کسری مناسب عددی است که صورت آن باشد کمتر از مخرج. بر این اساس کسری نامناسب عددی است که صورت آن بزرگتر از مخرج آن باشد. نوع دوم معمولاً به صورت عدد مختلط نوشته می شود. این عبارت از یک عدد صحیح و یک قسمت کسری تشکیل شده است. به عنوان مثال، 1 ½. 1 - کل بخش، ½ - کسری. با این حال، اگر شما نیاز به انجام برخی دستکاری ها با عبارت (تقسیم یا ضرب کسرها، کاهش یا تبدیل آنها دارید)، عدد مختلطبه کسری نامناسب تبدیل می شود.

یک عبارت کسری صحیح همیشه کوچکتر از یک است و یک عبارت نادرست همیشه بزرگتر یا مساوی 1 است.

در مورد این عبارت منظور ما رکوردی است که در آن هر عددی نمایش داده می شود که مخرج عبارت کسری آن را می توان بر حسب یک با چندین صفر بیان کرد. اگر کسر مناسب باشد، پس کل جزء است نماد دهیبرابر صفر خواهد بود.

برای نوشتن کسر اعشاری ابتدا باید کل قسمت را بنویسید و با استفاده از کاما آن را از کسر جدا کنید و سپس عبارت کسر را بنویسید. باید به خاطر داشت که پس از نقطه اعشار، شمارنده باید دارای همان تعداد کاراکترهای دیجیتال باشد که در مخرج صفر وجود دارد.

مثال. کسر 7 21 / 1000 را با نماد اعشاری بیان کنید.

الگوریتم تبدیل کسر نامناسب به عدد مختلط و بالعکس

نوشتن کسری نامناسب در پاسخ یک مسئله نادرست است، بنابراین باید به عدد مختلط تبدیل شود:

• صورت را بر مخرج موجود تقسیم کنید.
• V مثال خاصضریب ناقص - کل؛
• و باقیمانده صورت بخش کسری است که مخرج آن بدون تغییر باقی می ماند.

مثال. تبدیل کسر نامناسب به عدد مختلط: 47 / 5.

راه حل. 47: 5. نصاب جزئی 9 است، باقیمانده = 2. بنابراین، 47 / 5 = 9 2 / 5.

گاهی اوقات لازم است یک عدد مختلط را به عنوان یک کسر نامناسب نشان دهید. سپس باید از الگوریتم زیر استفاده کنید:

• قسمت صحیح در مخرج عبارت کسری ضرب می شود.
• محصول حاصل به شمارنده اضافه می شود.
• نتیجه در صورتگر نوشته می شود، مخرج بدون تغییر باقی می ماند.

مثال. یک عدد را در فرم مخلوطبه عنوان کسر نامناسب: 9 8 / 10.

راه حل. 9 × 10 + 8 = 90 + 8 = 98 صورت شمار است.

پاسخ دهید: 98 / 10.

ضرب کسرها

عملیات جبری مختلفی را می توان بر روی کسرهای معمولی انجام داد. برای ضرب دو عدد باید صورت را در صورت و مخرج را در مخرج ضرب کنید. علاوه بر این، ضرب کسرها در مخرج های مختلفبا حاصل ضرب اعداد کسری با مخرج یکسان تفاوتی ندارد.

این اتفاق می افتد که پس از یافتن نتیجه باید کسر را کاهش دهید. ضروری است که عبارت حاصل را تا حد امکان ساده کنید. البته نمی توان گفت که کسر نامناسب در پاسخ خطا است، اما به سختی می توان آن را پاسخ صحیح نامید.

مثال. حاصل ضرب دو کسر معمولی ½ و 20/18 را بیابید.

همانطور که از مثال مشخص است، پس از یافتن حاصل ضرب، یک نماد کسری تقلیل پذیر به دست می آید. هم صورت و هم مخرج در این حالت بر 4 تقسیم می شوند و نتیجه 5/9 است.

ضرب کسرهای اعشاری

حاصل ضرب کسرهای اعشاری با حاصل ضرب کسرهای معمولی در اصل خود کاملاً متفاوت است. بنابراین، ضرب کسرها به صورت زیر است:

• دو کسر اعشاری باید یکی زیر دیگری نوشته شود تا سمت راست ترین ارقام یکی زیر دیگری باشد.
• شما باید اعداد نوشته شده را با وجود کاما ضرب کنید، یعنی به صورت اعداد طبیعی.
• تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار در هر عدد را بشمارید.
• در نتیجه حاصل از ضرب ، باید از سمت راست تعداد نمادهای دیجیتالی را که در مجموع هر دو فاکتور پس از نقطه اعشار موجود است بشمارید و یک علامت جداکننده قرار دهید.
• اگر تعداد اعداد کمتری در محصول وجود دارد، باید جلوی آنها صفر بنویسید تا این عدد را پوشش دهد، کاما بگذارید و کل قسمت را برابر با صفر جمع کنید.

مثال. حاصل ضرب دو کسر اعشاری 2.25 و 3.6 را محاسبه کنید.

راه حل.

ضرب کسرهای مختلط

برای محاسبه حاصل ضرب دو کسر مختلط، باید از قانون ضرب کسرها استفاده کنید:

• تبدیل اعداد مختلط به کسرهای نامناسب
• حاصل ضرب اعداد را بیابید.
• حاصل ضرب مخرج ها را بیابید.
• نتیجه را یادداشت کنید؛
• تا حد امکان بیان را ساده کنید.

مثال. حاصل ضرب 4½ و 6 2/5 را بیابید.

ضرب یک عدد در کسری (کسری در یک عدد)

علاوه بر یافتن حاصل ضرب دو کسر و اعداد مختلط، کارهایی وجود دارد که باید در کسری ضرب کنید.

بنابراین، برای پیدا کردن محصول اعشاریو یک عدد طبیعی، شما نیاز دارید:

• عدد زیر کسر را طوری بنویسید که سمت راست ترین ارقام یکی بالای دیگری باشد.
• محصول را با وجود کاما پیدا کنید.
• در نتیجه، قسمت عدد صحیح را با استفاده از کاما از قسمت کسری جدا کنید و از سمت راست تعداد ارقامی را که بعد از نقطه اعشار در کسری قرار دارند بشمارید.

برای ضرب یک کسر مشترک در یک عدد، باید حاصل ضرب عدد و عامل طبیعی را پیدا کنید. اگر پاسخ به کسری تبدیل شود که قابل کاهش است، باید تبدیل شود.

مثال. حاصل ضرب 5/8 و 12 را محاسبه کنید.

راه حل. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

پاسخ دهید: 7 1 / 2.

همانطور که از مثال قبلی می بینید، لازم بود که نتیجه حاصل را کاهش دهیم و عبارت کسری نادرست را به عدد مختلط تبدیل کنیم.

ضرب کسرها نیز مربوط به یافتن حاصل ضرب یک عدد به صورت مخلوط و یک عامل طبیعی است. برای ضرب این دو عدد باید کل ضریب مختلط را در عدد ضرب کنید، عدد را در همان مقدار ضرب کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید. در صورت لزوم، باید نتیجه حاصل را تا حد امکان ساده کنید.

مثال. حاصل ضرب 9 5 / 6 و 9 را پیدا کنید.

راه حل. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

پاسخ دهید: 88 1 / 2.

ضرب در فاکتورهای 10، 100، 1000 یا 0.1. 0.01; 0.001

قاعده زیر از پاراگراف قبل ناشی می شود. برای ضرب یک کسر اعشاری در 10، 100، 1000، 10000 و غیره، باید نقطه اعشار را به تعداد صفرهای بعد از یک فاکتور به سمت راست حرکت دهید.

مثال 1. حاصل ضرب 0.065 و 1000 را پیدا کنید.

راه حل. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

پاسخ دهید: 65.

مثال 2. حاصل ضرب 3.9 و 1000 را پیدا کنید.

راه حل. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

پاسخ دهید: 3900.

اگر نیاز به ضرب دارید عدد طبیعیو 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001 و غیره، باید کاما را در محصول به دست آمده با تعداد کاراکترهای رقمی به اندازه صفرهای قبل از یک به سمت چپ منتقل کنید. در صورت لزوم تعداد کافی صفر قبل از عدد طبیعی نوشته می شود.

مثال 1. حاصل ضرب 56 و 0.01 را پیدا کنید.

راه حل. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

پاسخ دهید: 0,56.

مثال 2. حاصل ضرب 4 و 0.001 را پیدا کنید.

راه حل. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

پاسخ دهید: 0,004.

بنابراین، یافتن حاصل ضرب کسرهای مختلف نباید مشکلی ایجاد کند، جز شاید محاسبه نتیجه; در این مورد، شما به سادگی نمی توانید بدون ماشین حساب انجام دهید.

برای ضرب صحیح کسری در کسری یا کسری در عددی باید بدانید قوانین ساده. اکنون این قوانین را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

ضرب کسر مشترک در کسری.

برای ضرب کسری در کسری باید حاصل ضرب اعداد و حاصل مخرج این کسرها را محاسبه کنید.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
صورت کسر اول را در کسر دوم ضرب می کنیم و همچنین مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب می کنیم.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ بار 3) (7 \ بار 3) = \frac(4) (7)\\\)

کسر \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) 3 کاهش یافت.

ضرب کسری در عدد.

اول، بیایید قانون را به خاطر بسپاریم، هر عددی را می توان به صورت کسری \(\bf n = \frac(n)(1)\) نشان داد.

بیایید هنگام ضرب از این قانون استفاده کنیم.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

کسر نامناسب \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) به کسر مختلط تبدیل شد.

به عبارت دیگر، وقتی عددی را در کسری ضرب می کنیم، عدد را در صورت ضرب می کنیم و مخرج را بدون تغییر می گذاریم.مثال:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

ضرب کسرهای مختلط

برای ضرب کسرهای مختلط، ابتدا باید هر کسر مختلط را به عنوان یک کسر نامناسب نشان دهید و سپس از قانون ضرب استفاده کنید. صورت را در صورت ضرب می کنیم و مخرج را در مخرج ضرب می کنیم.

مثال:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ بار 6) = \frac(3 \times \color(قرمز) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(قرمز) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

ضرب کسرها و اعداد متقابل.

کسر \(\bf \frac(a)(b)\) معکوس کسری \(\bf \frac(b)(a)\ است، به شرط اینکه a≠0,b≠0 باشد.
کسرهای \(\bf \frac(a)(b)\) و \(\bf \frac(b)(a)\) کسرهای متقابل نامیده می شوند. حاصل ضرب کسرهای متقابل برابر با 1 است.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

مثال:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

سوالات مرتبط:
چگونه کسری را در کسری ضرب کنیم؟
جواب: حاصل ضرب کسرهای معمولی ضرب یک صورت با یک صورت، یک مخرج با یک مخرج است. برای بدست آوردن حاصل ضرب کسرهای مختلط باید آنها را به کسر نامناسب تبدیل کنید و طبق قوانین ضرب کنید.

چگونه کسری را با مخرج های مختلف ضرب کنیم؟
پاسخ: فرقی نمی‌کند کسرها دارای مخرج یکسان باشند یا متفاوت، ضرب بر اساس قاعده یافتن حاصل ضرب یک صورت با صورت، یک مخرج با مخرج انجام می‌شود.

چگونه کسرهای مختلط را ضرب کنیم؟
پاسخ: ابتدا باید کسر مختلط را به کسر نامناسب تبدیل کنید و سپس حاصل ضرب را با استفاده از قواعد ضرب پیدا کنید.

چگونه یک عدد را در کسری ضرب کنیم؟
پاسخ: عدد را در صورت ضرب می کنیم اما مخرج را ثابت می گذاریم.

مثال شماره 1:
حاصل ضرب را محاسبه کنید: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

راه حل:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
ب) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( قرمز) (5)) (3 \times \color(قرمز) (5) \times 13) = \frac(4) (39)\)

مثال شماره 2:
حاصل ضرب یک عدد و یک کسر را محاسبه کنید: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

راه حل:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
ب) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

مثال شماره 3:
متقابل کسری \(\frac(1)(3)\) را بنویسید؟
پاسخ: \(\frac(3)(1) = 3\)

مثال شماره 4:
حاصل ضرب دو کسر متقابل را محاسبه کنید: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

راه حل:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

مثال شماره 5:
آیا کسرهای متقابل می توانند:
الف) همزمان با کسرهای مناسب؛
ب) کسرهای نامناسب به طور همزمان.
ج) اعداد طبیعی همزمان؟

راه حل:
الف) برای پاسخ به سوال اول مثالی می زنیم. کسری \(\frac(2)(3)\) مناسب است، کسر معکوس آن برابر با \(\frac(3)(2)\) خواهد بود - یک کسر نامناسب. پاسخ: خیر

ب) تقریباً در تمام شمارش کسرها این شرط برقرار نیست، اما اعدادی وجود دارند که شرط نامناسب بودن همزمان را دارند. به عنوان مثال، کسر نامناسب \(\frac(3)(3)\ است، کسر معکوس آن برابر با \(\frac(3)(3)\ است). دو کسر نامناسب بدست می آوریم. پاسخ: همیشه در شرایط خاصی که صورت و مخرج برابر هستند، نیست.

ج) اعداد طبیعی اعدادی هستند که هنگام شمارش از آنها استفاده می کنیم، مثلاً 1، 2، 3، …. اگر عدد \(3 = \frac(3)(1)\ را بگیریم، کسر معکوس آن \(\frac(1)(3)\ خواهد بود). کسری \(\frac(1)(3)\) یک عدد طبیعی نیست. اگر همه اعداد را مرور کنیم، متقابل عدد همیشه کسری است، به جز 1. اگر عدد 1 را بگیریم، کسر متقابل آن خواهد بود \(\frac(1)(1) = \frac(1) )(1) = 1\). عدد 1 یک عدد طبیعی است. پاسخ: آنها می توانند به طور همزمان فقط در یک مورد اعداد طبیعی باشند، اگر این عدد 1 باشد.

مثال شماره 6:
حاصل ضرب کسرهای مختلط را انجام دهید: a) \(4 \ برابر 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

راه حل:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
ب) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

مثال شماره 7:
آیا دو عدد متقابل می توانند همزمان با یکدیگر مخلوط شوند؟

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. بیایید یک کسر مختلط \(1\frac(1)(2)\ را بگیریم، کسر معکوس آن را پیدا کنیم، برای انجام این کار آن را به یک کسر نامناسب تبدیل می کنیم \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . کسر معکوس آن برابر با \(\frac(2)(3)\) خواهد بود. کسری \(\frac(2)(3)\) یک کسر مناسب است. جواب: دو کسری که با هم معکوس هستند را نمی توان همزمان اعداد مخلوط کرد.

آخرین بار یاد گرفتیم که چگونه کسرها را جمع و تفریق کنیم (به درس "افزودن و تفریق کسرها" مراجعه کنید). بیشتر لحظه سختدر آن اقدامات کاهش کسری به وجود داشت مخرج مشترک.

حالا وقت آن است که به ضرب و تقسیم بپردازیم. خبر خوب این است که این عملیات حتی ساده تر از جمع و تفریق است. ابتدا بیایید ساده ترین حالت را در نظر بگیریم، زمانی که دو کسر مثبت بدون یک جزء صحیح جدا شده وجود دارد.

برای ضرب دو کسر، باید صورت و مخرج آنها را جداگانه ضرب کنید. عدد اول صورت کسر جدید و عدد دوم مخرج خواهد بود.

برای تقسیم دو کسر، باید کسر اول را در کسر دوم "معکوس" ضرب کنید.

تعیین نام:

از تعریف به دست می آید که تقسیم کسرها به ضرب کاهش می یابد. برای "برگرداندن" کسری، فقط صورت و مخرج را عوض کنید. بنابراین، در طول درس عمدتاً ضرب را در نظر خواهیم گرفت.

در نتیجه ضرب، یک کسری تقلیل‌پذیر می‌تواند بوجود بیاید (و اغلب هم بوجود می‌آید) - البته باید کاهش یابد. اگر بعد از همه کاهش ها، کسری نادرست است، کل قسمت باید برجسته شود. اما چیزی که قطعاً با ضرب اتفاق نمی‌افتد، تقلیل به یک مخرج مشترک است: بدون روش متقاطع، بزرگترین فاکتورها و کمترین مضرب مشترک.

طبق تعریف داریم:

ضرب کسر با اجزای کامل و کسرهای منفی

اگر کسری شامل یک قسمت صحیح باشد، باید آنها را به قسمت های نامناسب تبدیل کرد - و تنها پس از آن طبق طرح های ذکر شده در بالا ضرب شود.

اگر در صورت کسر، در مخرج یا جلوی آن یک منهای وجود داشته باشد، می توان آن را طبق قوانین زیر از ضرب خارج کرد یا به طور کلی حذف کرد:

1. به علاوه منهای منفی می دهد.
2. دو منفی یک مثبت را نشان می دهد.

تا به حال، این قوانین فقط هنگام جمع و تفریق کسرهای منفی، زمانی که لازم بود از شر کل قسمت خلاص شود، مواجه می شد. برای یک اثر، می توان آنها را تعمیم داد تا چندین معایب را به طور همزمان "سوزانند":

1. نگاتیوها را دو به دو خط می زنیم تا کاملا ناپدید شوند. در موارد شدید، یک منهای می تواند زنده بماند - چیزی که برای آن همسری وجود نداشت.
2. اگر هیچ منفی باقی نمانده باشد، عملیات تکمیل شده است - می توانید ضرب را شروع کنید. اگر منهای آخر خط نخورد، چون جفتی برای آن وجود نداشت، آن را از حدود ضرب خارج می کنیم. نتیجه یک کسر منفی است.

وظیفه معنی عبارت را پیدا کنید:

همه کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل می کنیم و سپس منهای را از ضرب خارج می کنیم. باقی مانده را ضرب می کنیم قوانین عادی. دریافت می کنیم:

اجازه دهید یک بار دیگر به شما یادآوری کنم که منهای که در مقابل کسری با یک قسمت کامل برجسته ظاهر می شود، به طور خاص به کل کسری اشاره دارد و نه فقط به کل آن (این در مورد دو مثال آخر صدق می کند).

همچنین توجه داشته باشید اعداد منفی: هنگام ضرب در داخل پرانتز قرار می گیرند. این کار به منظور جدا کردن منهای از علائم ضرب و دقیق تر کردن نماد انجام می شود.

کاهش کسری در پرواز

ضرب یک عملیات بسیار کار فشرده است. اعداد در اینجا بسیار بزرگ هستند و برای ساده کردن مشکل، می توانید سعی کنید کسر را بیشتر کاهش دهید. قبل از ضرب. در واقع، در اصل، صورت‌ها و مخرج‌های کسرها عوامل معمولی هستند، و بنابراین، می‌توان آنها را با استفاده از ویژگی اصلی یک کسر کاهش داد. به نمونه ها دقت کنید:

وظیفه معنی عبارت را پیدا کنید:

طبق تعریف داریم:

در همه نمونه ها، اعدادی که کاهش یافته اند و آنچه از آنها باقی مانده است با رنگ قرمز مشخص شده اند.

لطفاً توجه داشته باشید: در مورد اول، ضرایب به طور کامل کاهش یافت. به جای آنها واحدهایی باقی می مانند که، به طور کلی، نیازی به نوشتن ندارند. در مثال دوم، امکان کاهش کامل وجود نداشت، اما مقدار کل محاسبات همچنان کاهش یافت.

با این حال، هرگز از این تکنیک هنگام جمع و تفریق کسرها استفاده نکنید! بله، گاهی اوقات اعداد مشابهی وجود دارد که شما فقط می خواهید آنها را کاهش دهید. اینجا، نگاه کنید:

شما نمی توانید این کار را انجام دهید!

این خطا به این دلیل رخ می دهد که هنگام جمع کردن، صورتگر کسری یک جمع را تولید می کند، نه حاصل ضرب اعداد. بنابراین، به کار بردن خاصیت اصلی یک کسری غیرممکن است، زیرا در این ویژگی ما در موردمخصوصاً در مورد ضرب اعداد.

به سادگی هیچ دلیل دیگری برای کاهش کسر وجود ندارد، بنابراین تصمیم درستکار قبلی به این صورت است:

راه حل صحیح:

همانطور که می بینید، پاسخ صحیح چندان زیبا نبود. در کل مراقب باشید.

) و مخرج به مخرج (مخرج حاصل را می گیریم).

فرمول ضرب کسر:

به عنوان مثال:

قبل از شروع ضرب اعداد و مخرج، باید بررسی کنید که آیا کسر قابل کاهش است یا خیر. اگر بتوانید کسر را کاهش دهید، انجام محاسبات بیشتر برای شما آسان تر خواهد بود.

تقسیم کسر مشترک بر کسری.

تقسیم کسری که شامل اعداد طبیعی است.

آنقدرها هم که به نظر می رسد ترسناک نیست. همانطور که در مورد جمع، عدد صحیح را به کسری با یک در مخرج تبدیل می کنیم. به عنوان مثال:

ضرب کسرهای مختلط

قوانین ضرب کسر (مخلوط):

• تبدیل کسرهای مختلط به کسرهای نامناسب.
• ضرب در صورت و مخرج کسرها؛
• کسر را کاهش دهید؛
• اگر کسری نامناسب بدست آورید، کسر نامناسب را به کسر مختلط تبدیل می کنیم.

توجه کن!برای ضرب یک کسر مختلط در کسر مختلط دیگر، ابتدا باید آنها را به شکل درآورید کسرهای نامناسبو سپس طبق قانون ضرب کسرهای معمولی ضرب می کنیم.

روش دوم برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی.

ممکن است استفاده از روش دوم ضرب کسر مشترک در عدد راحت تر باشد.

توجه کن!برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی، باید مخرج کسر را بر این عدد تقسیم کنید و صورت را بدون تغییر رها کنید.

از مثالی که در بالا داده شد، واضح است که استفاده از این گزینه زمانی راحت تر است که مخرج کسری بدون باقیمانده بر یک عدد طبیعی تقسیم شود.

کسرهای چند طبقه

در دبیرستان اغلب با کسرهای سه طبقه (یا بیشتر) مواجه می‌شویم. مثال:

برای آوردن چنین کسری به شکل معمول خود، از تقسیم از طریق 2 نقطه استفاده کنید:

توجه کن!هنگام تقسیم کسرها، ترتیب تقسیم بسیار مهم است. مراقب باشید، اینجا به راحتی گیج می شود.

لطفا توجه داشته باشید به عنوان مثال:

هنگام تقسیم یک بر هر کسری، نتیجه همان کسر خواهد بود، فقط معکوس:

نکات کاربردی برای ضرب و تقسیم کسر:

1. مهمترین چیز هنگام کار با عبارات کسری دقت و توجه است. تمام محاسبات را با دقت و دقیق، متمرکز و واضح انجام دهید. بهتر است چند خط اضافی در پیش نویس خود بنویسید تا اینکه در محاسبات ذهنی گم شوید.

2. در وظایف با انواع مختلفکسری - به شکل کسرهای معمولی بروید.

3. همه کسرها را کم می کنیم تا زمانی که دیگر امکان کاهش وجود نداشته باشد.

4. عبارات کسری چند سطحی را با استفاده از تقسیم از طریق 2 نقطه به عبارات معمولی تبدیل می کنیم.

5. یک واحد را بر یک کسری در سر خود تقسیم کنید، به سادگی کسر را برگردانید.

اعداد کسری معمولی ابتدا با دانش آموزان کلاس پنجم ملاقات می کنند و در طول زندگی آنها را همراهی می کنند، زیرا در زندگی روزمره اغلب لازم است یک شی را نه به عنوان یک کل، بلکه در قطعات جداگانه در نظر بگیریم یا از آن استفاده کنیم. مطالعه این موضوع را شروع کنید - به اشتراک بگذارید. سهام قسمت های مساوی هستند، که این یا آن شی به آن تقسیم می شود. به هر حال، همیشه نمی توان برای مثال، طول یا قیمت یک محصول را به عنوان یک عدد کامل در نظر گرفت. خود کلمه "کسری" که از فعل "تقسیم کردن" - تقسیم به قطعات و ریشه عربی تشکیل شده است در قرن هشتم در زبان روسی بوجود آمد.

عبارات کسری از دیرباز سخت ترین شاخه ریاضیات در نظر گرفته شده است. در قرن هفدهم، زمانی که اولین کتاب‌های درسی ریاضیات پدیدار شد، آنها را «اعداد شکسته» می‌نامیدند که درک آن برای مردم بسیار دشوار بود.

ظاهر مدرنباقیمانده های کسری ساده، که قسمت های آن با یک خط افقی از هم جدا شده اند، برای اولین بار توسط فیبوناچی - لئوناردو از پیزا ترویج شد. تاریخ آثار او به سال 1202 می رسد. اما هدف این مقاله این است که به سادگی و به وضوح برای خواننده توضیح دهد که چگونه کسرهای مختلط با مخرج های مختلف ضرب می شوند.

ضرب کسری با مخرج های مختلف

در ابتدا ارزش تعیین کردن را دارد انواع کسری:

• صحیح؛
• نادرست؛
• مختلط

در مرحله بعد، باید به یاد داشته باشید که چگونه اعداد کسری با مخرج یکسان ضرب می شوند. قاعده این فرآیند به راحتی قابل تنظیم است: نتیجه ضرب کسرهای سادهبا مخرج های یکسان یک عبارت کسری است که صورت آن حاصل ضرب مصدرها و مخرج حاصلضرب مخرج این کسرها است. یعنی در اصل مخرج جدیدیک مربع از یکی از آنهایی که در اصل موجود است وجود دارد.

هنگام ضرب کسرهای ساده با مخرج های مختلفبرای دو یا چند عامل این قانون تغییر نمی کند:

الف/ب * ج/د = a*c / ب*د.

تنها تفاوت این است که عدد حاصل در زیر خط کسری حاصل ضرب اعداد مختلف و طبیعتاً مربع یک خواهد بود. بیان عددیناممکن نیست

شایان ذکر است که ضرب کسری با مخرج های مختلف را با استفاده از مثال ها در نظر بگیرید:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

مثال‌ها از روش‌هایی برای کاهش عبارات کسری استفاده می‌کنند. شما فقط می توانید اعداد کسر را با اعداد مخرج کاهش دهید.

در کنار ساده اعداد کسری، مفهوم کسرهای مختلط وجود دارد. یک عدد مختلط از یک عدد صحیح و یک جزء کسری تشکیل شده است، یعنی مجموع این اعداد است:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

ضرب چگونه کار می کند؟

چندین مثال برای بررسی ارائه شده است.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

مثال از ضرب یک عدد در استفاده می کند بخش کسری معمولی، قانون این عمل را می توان به صورت زیر نوشت:

الف* ب/ج = a*b /ج

در واقع چنین حاصل ضربی مجموع باقی مانده های کسری یکسان است و تعداد عبارت ها نشان دهنده این عدد طبیعی است. مورد خاص:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

راه حل دیگری برای ضرب یک عدد در باقیمانده کسری وجود دارد. فقط باید مخرج را بر این عدد تقسیم کنید:

د* e/f = e/f: د.

این تکنیک برای استفاده زمانی مفید است که مخرج بر یک عدد طبیعی بدون باقیمانده یا به قول آنها بر یک عدد کامل تقسیم شود.

اعداد مختلط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید و حاصل ضرب را به روشی که قبلا توضیح داده شد به دست آورید:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

این مثال شامل روشی برای نمایش یک کسر مختلط به عنوان یک کسر نامناسب است، همچنین می توان آن را به عنوان نشان داد فرمول کلی:

الف بج = a*b+ج / ج، که در آن مخرج کسر جدید با ضرب کل جزء با مخرج و جمع آن با صورت باقی مانده کسری اصلی تشکیل می شود و مخرج ثابت می ماند.

این فرآیند نیز در آن کار می کند سمت معکوس. برای جدا کردن کل قسمت و باقیمانده کسری، باید صورت کسر نامناسب را با استفاده از یک "گوشه" بر مخرج آن تقسیم کنید.

ضرب کسرهای نامناسببه روشی پذیرفته شده تولید می شود. هنگام نوشتن زیر یک خط کسری، باید کسرها را در صورت لزوم کاهش دهید تا با استفاده از این روش، اعداد را کاهش دهید و محاسبه نتیجه را آسان‌تر کنید.

راهنماهای زیادی در اینترنت برای حل مسائل پیچیده ریاضی وجود دارد تغییرات مختلفبرنامه ها تعداد کافی از این خدمات کمک خود را در شمارش ضرب کسری با اعداد مختلفدر مخرج - به اصطلاح ماشین حساب آنلاین برای محاسبه کسر. آنها نه تنها می توانند ضرب کنند، بلکه می توانند سایر عملیات های ساده حسابی را با کسرهای معمولی و اعداد مختلط انجام دهند. کار با آن دشوار نیست، فیلدهای مناسب را در صفحه وب سایت پر می کنید، علامت عملیات ریاضی را انتخاب می کنید و روی «محاسبه» کلیک می کنید. برنامه به طور خودکار محاسبه می کند.

مبحث عملیات حسابی با کسرها در سراسر تحصیل دانش آموزان راهنمایی و دبیرستان مرتبط است. در دبیرستان دیگر ساده ترین گونه ها را در نظر نمی گیرند، اما عبارات کسری عدد صحیح، اما دانش قوانین تبدیل و محاسبات که قبلاً به دست آمده است به شکل اصلی خود اعمال می شود. خوب یاد گرفته دانش پایهاعتماد کامل به تصمیم موفقبیشتر وظایف پیچیده.

در پایان، منطقی است که سخنان لو نیکولایویچ تولستوی را نقل کنیم که نوشت: "انسان یک کسری است. در اختيار انسان نيست كه بر صورت خود - محاسن - بيفزايد، بلكه هر كس مي تواند مخرج خود را - نظرش را در مورد خودش كم كند و با اين كاهش به كمال او نزديك شود.