حقایق جالب در مورد توابع مثلثاتی معکوس توابع مثلثاتی معکوس، نمودارها و فرمول های آنها

توابع مثلثاتی معکوس توابع ریاضی هستند که معکوس توابع مثلثاتی هستند.

تابع y=arcsin(x)

آرکسین عدد α عددی α از بازه [-π/2;π/2] است که سینوس آن برابر با α است.
نمودار یک تابع
تابع у= sin⁡(x) در بازه [-π/2;π/2]، به شدت افزایشی و پیوسته است. بنابراین او دارد تابع معکوس، به شدت در حال افزایش و مستمر است.
تابع معکوس برای تابع y= sin⁡(x)، که در آن x ∈[-π/2;π/2]، آرکسین نامیده می شود و y=arcsin(x) نشان داده می شود، جایی که x∈[-1;1 ].
بنابراین، با توجه به تعریف تابع معکوس، دامنه تعریف آرکسین قطعه [-1;1] و مجموعه مقادیر قطعه [-π/2;π/2] است.
توجه داشته باشید که نمودار تابع y=arcsin(x)، که در آن x ∈[-1;1]، با نمودار تابع y= sin(⁡x) متقارن است، جایی که x∈[-π/2;π /2]، با توجه به نیمساز مختصات زوایاسه ماهه اول و سوم

محدوده تابع y=arcsin(x).

مثال شماره 1.

arcsin (1/2) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر تابع arcsin(x) متعلق به بازه [-π/2;π/2] است، پس فقط مقدار π/6 مناسب است. 6.
جواب: π/6

مثال شماره 2.
arcsin(-(√3)/2) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2]، تنها مقدار -π/3 مناسب است، بنابراین، arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

تابع y=arccos(x)

کسینوس قوس عدد α عددی α از بازه ای است که کسینوس آن برابر با α است.

نمودار یک تابع

تابع y=cos(⁡x) روی قطعه به شدت کاهشی و پیوسته است. بنابراین، تابع معکوس، به شدت کاهشی و پیوسته دارد.
تابع معکوس برای تابع y= cos⁡x، که در آن x ∈، فراخوانی می شود کسینوس قوسیو با y=arccos(x)، که در آن x ∈[-1;1] نشان داده می شود.
بنابراین، با توجه به تعریف تابع معکوس، دامنه تعریف کسینوس قوس، قطعه [-1;1] و مجموعه مقادیر، قطعه است.
توجه داشته باشید که نمودار تابع y=arccos(x)، که در آن x ∈[-1;1] با نمودار تابع y=cos(⁡x) متقارن است، جایی که x ∈، با توجه به نیمساز مختصات زوایای ربع اول و سوم

محدوده تابع y=arccos(x).

مثال شماره 3.

arccos (1/2) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر arccos(x) x∈ است، پس فقط مقدار π/3 مناسب است، بنابراین، arccos(1/2) =π/3.
مثال شماره 4.
arccos(-(√2)/2) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر تابع arccos(x) به بازه تعلق دارد، پس فقط مقدار 3π/4 مناسب است، بنابراین، arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

جواب: 3π/4

تابع y=arctg(x)

مماس یک عدد α عددی α از بازه [-π/2;π/2] است که مماس آن برابر با α است.

نمودار یک تابع

تابع مماس پیوسته و به شدت در بازه افزایش می یابد (-π/2; π/2). بنابراین تابع معکوس دارد که پیوسته و به شدت افزایشی است.
تابع معکوس برای تابع y= tan⁡(x)، که در آن x∈(-π/2;π/2); مماس قوس نامیده می شود و با y=arctg(x) نشان داده می شود، جایی که x∈R.
بنابراین، با توجه به تعریف تابع معکوس، دامنه تعریف تانژانت بازه (-∞;+∞) و مجموعه مقادیر بازه است.
(-π/2;π/2).
توجه داشته باشید که نمودار تابع y=arctg(x)، که در آن x∈R، متقارن با نمودار تابع y= tan⁡x است، که در آن x∈ (-π/2;π/2)، نسبت به نیمساز زوایای مختصات ربع اول و سوم.

محدوده تابع y=arctg(x).

مثال شماره 5؟

آرکتان ((√3)/3) را پیدا کنید.

از آنجایی که محدوده مقادیر arctg(x) x ∈(-π/2;π/2)، پس فقط مقدار π/6 مناسب است، بنابراین، arctg((√3)/3) =π/6.
مثال شماره 6.
arctg(-1) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر arctg(x) x∈(-π/2;π/2)، پس فقط مقدار -π/4 مناسب است، بنابراین، arctg(-1) = - π/4.

تابع y=arcctg(x)

کتانژانت قوسی عدد α عددی α از بازه (0;π) است که کوتانژانت آن برابر با α است.

نمودار یک تابع

در بازه (0; π)، تابع کوتانژانت به شدت کاهش می یابد. علاوه بر این، در هر نقطه از این بازه پیوسته است. بنابراین در بازه (0;π) این تابع یک تابع معکوس دارد که به شدت کاهشی و پیوسته است.
تابع معکوس برای تابع y=ctg(x)، که در آن x ∈(0;π)، قوس مماس نامیده می شود و y=arcctg(x) نشان داده می شود، جایی که x∈R.
بنابراین، با توجه به تعریف تابع معکوس، دامنه تعریف کوتانژانت قوس خواهد بود R، و توسط یک مجموعهمقادیر – فاصله (0;π). نمودار تابع y=arcctg(x)، که در آن x∈R متقارن با نمودار تابع y=ctg(x) x∈(0;π)، نسبی است. به نیمساز زوایای مختصات ربع اول و سوم.

محدوده تابع y=arcctg(x).

مثال شماره 7.
arcctg((√3)/3) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر arcctg(x) x ∈(0;π) است، پس فقط مقدار π/3 مناسب است.

مثال شماره 8.
arcctg(-(√3)/3) را پیدا کنید؟

از آنجایی که محدوده مقادیر arcctg(x) x∈(0;π) است، پس فقط مقدار 2π/3 مناسب است، بنابراین، arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

ویراستاران: آگیوا لیوبوف الکساندرونا، گاوریلینا آنا ویکتورونا

معکوس توابع مثلثاتی دارند کاربرد گسترده V تجزیه و تحلیل ریاضی. با این حال، برای اکثر دانش آموزان دبیرستانی، وظایف مرتبط با این نوع عملکرد، مشکلات قابل توجهی ایجاد می کند. این عمدتا به این دلیل است که در بسیاری از کتاب های درسی و کتاب های درسیبه مشکلات این نوع خیلی کم توجه می شود. و اگر دانش آموزان حداقل به نحوی با مشکلات محاسبه مقادیر توابع مثلثاتی معکوس کنار بیایند ، در آن صورت معادلات و نابرابری های حاوی چنین توابعی در بیشتر موارد کودکان را گیج می کنند. در واقع، این تعجب آور نیست، زیرا عملاً هیچ کتاب درسی نحوه حل حتی ساده ترین معادلات و نابرابری های حاوی توابع مثلثاتی معکوس را توضیح نمی دهد.

بیایید به چندین معادله و نامعادله مربوط به توابع مثلثاتی معکوس نگاه کنیم و آنها را با توضیح دقیق حل کنیم.

مثال 1.

معادله را حل کنید: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

راه حل.

با بیان تابع مثلثاتی معکوس از معادله، به دست می آید:

آرکوس (2x + 3) = 5π/6. حال بیایید از تعریف کسینوس قوس استفاده کنیم.

کسینوس قوس یک عدد معین a که متعلق به قطعه 1- تا 1 است، زاویه ای y از قطعه 0 تا π است به طوری که کسینوس آن برابر با عدد x است. بنابراین می توانیم آن را به این صورت بنویسیم:

2x + 3 = cos 5π/6.

اجازه دهید سمت راست معادله حاصل را با استفاده از فرمول کاهش بنویسیم:

2x + 3 = cos (π – π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

بیایید سمت راست را به یک مخرج مشترک تقلیل دهیم.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

پاسخ: -(6 + √3) / 4 .

مثال 2.

معادله را حل کنید: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.

راه حل.

از آنجایی که cos (arcсos x) = x با x متعلق به [-1; 1]، پس این معادله معادل سیستم است:

(4x - 9 = x 2 - 5x + 5،
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

بیایید معادله موجود در سیستم را حل کنیم.

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

مربع است، بنابراین ما آن را دریافت می کنیم

x 2 - 9x + 14 = 0;

D = 81 - 4 14 = 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 - 5) / 2 = 2.

اجازه دهید نابرابری مضاعف موجود در سیستم را حل کنیم.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. 9 را به همه قسمت ها اضافه کنید، داریم:

8 ≤ 4x ≤ 10. هر عدد را بر 4 تقسیم کنید، به دست می آید:

2 ≤ x ≤ 2.5.

حالا بیایید پاسخ هایی که دریافت کردیم را با هم ترکیب کنیم. به راحتی می توان دریافت که ریشه x = 7 پاسخ نابرابری را برآورده نمی کند. بنابراین، تنها راه حل معادله x = 2 است.

جواب: 2.

مثال 3.

معادله را حل کنید: tg (arctg (0.5 - x)) = x 2 - 4x + 2.5.

راه حل.

از آنجایی که tg (arctg x) = x برای همه اعداد واقعی، این معادله معادل معادله است:

0.5 - x = x 2 - 4x + 2.5.

بیایید نتیجه را حل کنیم معادله درجه دومبا استفاده از یک متمایز کننده، که قبلاً آن را به شکل استاندارد آورده است.

x 2 - 3x + 2 = 0;

D = 9 – 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.

پاسخ: 1; 2.

مثال 4.

معادله را حل کنید: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

راه حل.

از آنجایی که arcctg f(x) = arcctg g(x) اگر و فقط اگر f(x) = g(x)

2x – 1 = x 2/2 + x/2. بیایید معادله درجه دوم حاصل را حل کنیم:

4x – 2 = x 2 + x;

x 2 – 3x + 2 = 0.

با قضیه Vieta ما آن را به دست می آوریم

x = 1 یا x = 2.

پاسخ: 1; 2.

مثال 5.

معادله را حل کنید: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).

راه حل.

از آنجایی که معادله ای به شکل arcsin f(x) = arcsin g(x) معادل سیستم است

(f(x) = g(x)،
(f(x) € [-1; 1]،

سپس معادله اصلی معادل سیستم است:

(2x - 15 = x 2 - 6x + 8،
(-1 ≤ 2x - 15 ≤ 1.

بیایید سیستم حاصل را حل کنیم:

(x 2 - 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

از معادله اول، با استفاده از قضیه ویتا، داریم که x = 1 یا x = 7. با حل نابرابری دوم سیستم، متوجه می شویم که 7 ≤ x ≤ 8. بنابراین، فقط ریشه x = 7 برای نهایی مناسب است. پاسخ دهید

جواب: 7.

مثال 6.

معادله را حل کنید: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.

راه حل.

فرض کنید arccos x = t، سپس t متعلق به بخش است و معادله به شکل زیر است:

t 2 – 6t + 8 = 0. معادله درجه دوم حاصل را با استفاده از قضیه Vieta حل کنید، متوجه می شویم که t = 2 یا t = 4.

از آنجایی که t = 4 به بخش تعلق ندارد، به دست می آوریم که t = 2، یعنی. arccos x = 2، که به معنی x = cos 2 است.

پاسخ: cos 2.

مثال 7.

معادله را حل کنید: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

راه حل.

بیایید از برابری arcsin x + arccos x = π/2 استفاده کنیم و معادله را به شکل بنویسیم

(arcsin x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

بگذارید arcsin x = t، سپس t متعلق به بخش [-π/2; π/2] و معادله به شکل زیر است:

t 2 + (π/2 - t) 2 = 5π 2 /36.

بیایید معادله حاصل را حل کنیم:

t 2 + π 2 / 4 - πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 - πt + 9π 2 /36 - 5π 2 /36 = 0;

2t 2 - πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. با ضرب هر جمله در 9 برای خلاص شدن از شر کسری در معادله، به دست می آوریم:

18t 2 – 9πt + π 2 = 0.

بیایید تفکیک کننده را پیدا کنیم و معادله حاصل را حل کنیم:

D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .

t = (9π - 3π) / 2 18 یا t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 یا t = 12π/36.

پس از کاهش داریم:

t = π/6 یا t = π/3. سپس

arcsin x = π/6 یا arcsin x = π/3.

بنابراین، x = sin π/6 یا x = sin π/3. یعنی x = 1/2 یا x =√3/2.

جواب: 1/2; √3/2.

مثال 8.

مقدار عبارت 5nx 0 را پیدا کنید که n تعداد ریشه ها و x 0 ریشه منفی معادله 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2 است.

راه حل.

از آنجایی که -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2، سپس -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. علاوه بر این، (x + 1) 2 ≥ 0 برای همه x واقعی،
سپس -(x + 1) 2 ≤ 0 و -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

بنابراین، معادله می تواند یک راه حل داشته باشد اگر هر دو ضلع آن به طور همزمان برابر با –π باشند، یعنی. معادله معادل سیستم است:

(2 قوس x = -π،
(-π – (x + 1) 2 = -π.

بیایید سیستم معادلات حاصل را حل کنیم:

(arcsin x = -π/2،
((x + 1) 2 = 0.

از معادله دوم داریم که x = -1، به ترتیب n = 1، سپس 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.

پاسخ: -5.

همانطور که تمرین نشان می دهد، توانایی حل معادلات با توابع مثلثاتی معکوس است یک شرط ضروری تکمیل موفقیت آمیزامتحانات به همین دلیل است که آموزش حل چنین مشکلاتی هنگام آماده شدن برای آزمون دولتی یکپارچه به سادگی ضروری و اجباری است.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی -.
درس اول رایگان است

blog.site، هنگام کپی کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.

تعاریف توابع مثلثاتی معکوس و نمودارهای آنها ارائه شده است. و همچنین فرمول های اتصال توابع مثلثاتی معکوس، فرمول هایی برای مجموع و تفاوت ها.

تعریف توابع مثلثاتی معکوس

از آنجایی که توابع مثلثاتی تناوبی هستند، توابع معکوس آنها منحصر به فرد نیستند. بنابراین، معادله y = گناه x، برای یک معین، ریشه های بی نهایت زیادی دارد. در واقع، به دلیل تناوب بودن سینوس، اگر x چنین ریشه ای باشد، پس چنین است x + 2πn(که در آن n یک عدد صحیح است) نیز ریشه معادله خواهد بود. بنابراین، توابع مثلثاتی معکوس چند ارزشی هستند. برای سهولت کار با آنها، مفهوم معانی اصلی آنها معرفی شده است. برای مثال سینوس را در نظر بگیرید: y = گناه x. گناه xاگر آرگومان x را به بازه محدود کنیم، تابع y = روی آن است یکنواخت افزایش می یابد. بنابراین یک تابع معکوس منحصر به فرد دارد که به آن آرکسین می گویند: x =.

arcsin y

منظور ما از توابع مثلثاتی معکوس مقادیر اصلی آنهاست که با تعاریف زیر مشخص می شود مگر اینکه خلاف آن بیان شود. آرکسین ( y=) arcsin x تابع معکوس سینوس است ( x =

گناه آلود آرکسین ( کسینوس قوسی () arccos x تابع معکوس سینوس است ( تابع معکوس کسینوس است ( cos y

) داشتن یک دامنه تعریف و مجموعه ای از ارزش ها. آرکسین ( آرکتانژانت () arctan x تابع معکوس سینوس است ( تابع معکوس مماس است ( cos y

tg y آرکسین ( آرکوتانژانت () arcctg x تابع معکوس سینوس است ( تابع معکوس کوتانژانت است ( cos y

ctg y

نمودارهای توابع مثلثاتی معکوس نمودارهای توابع مثلثاتی معکوس از نمودارهای توابع مثلثاتی به دست می آیندتصویر آینه ای نسبت به خط مستقیم y = x. , بخش ها را ببینید.

آرکسین ( y=

آرکسین ( کسینوس قوسی (

آرکسین ( آرکتانژانت (

آرکسین ( آرکوتانژانت (

سینوس، کسینوس

مماس، کتانژانت

فرمول های پایهدر اینجا باید به فواصل زمانی که فرمول ها معتبر هستند توجه ویژه ای داشته باشید.
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xدر اینجا باید به فواصل زمانی که فرمول ها معتبر هستند توجه ویژه ای داشته باشید.
cos(arccos x) = x

آرکتان (tg x) = xدر اینجا باید به فواصل زمانی که فرمول ها معتبر هستند توجه ویژه ای داشته باشید.
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xدر اینجا باید به فواصل زمانی که فرمول ها معتبر هستند توجه ویژه ای داشته باشید.
ctg(arcctg x) = x

فرمول های مربوط به توابع مثلثاتی معکوس

فرمول های حاصل جمع و تفاوت

در یا

در و

در و

در یا

در و

در و

در

در

در

در