ویژگی های اضافی لگاریتم ها عبارات لگاریتمی نمونه ها

لگاریتم چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

لگاریتم چیست؟ چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟ این سوالات بسیاری از فارغ التحصیلان را سردرگم می کند. به طور سنتی، موضوع لگاریتم پیچیده، غیرقابل درک و ترسناک در نظر گرفته می شود. به خصوص معادلات با لگاریتم.

این مطلقا درست نیست. قطعا! باور نمی کنی؟ خوب اکنون، تنها در 10 تا 20 دقیقه شما:

1. متوجه خواهید شد لگاریتم چیست.

2. حل یک کلاس کامل را یاد بگیرید معادلات نمایی. حتی اگر چیزی در مورد آنها نشنیده باشید.

3. محاسبه لگاریتم های ساده را یاد بگیرید.

علاوه بر این، برای این کار فقط باید جدول ضرب و نحوه افزایش یک عدد به توان را بدانید...

احساس میکنم شک داری...خب باشه، ساعت رو مشخص کن! برویم!

ابتدا این معادله را در ذهن خود حل کنید:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

ویژگی های اصلی لگاریتم طبیعی، نمودار، دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، فرمول های پایه، مشتق، انتگرال، بسط در سری پاورو نمایش تابع ln x با استفاده از اعداد مختلط.

تعریف

لگاریتم طبیعیتابع y = است ln x، معکوس نمایی، x = e y، و لگاریتم قاعده عدد e است: ln x = log e x.

لگاریتم طبیعی به طور گسترده در ریاضیات استفاده می شود زیرا مشتق آن ساده ترین شکل را دارد: (ln x)′ = 1/ x.

بر اساس تعاریف، پایه لگاریتم طبیعی عدد است ه:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

نمودار تابع y = ln x.

نمودار لگاریتم طبیعی (توابع y = ln x) از نمودار نمایی به دست می آید تصویر آینه اینسبت به خط مستقیم y = x.

لگاریتم طبیعی برای مقادیر مثبت متغیر x تعریف می شود.

در دامنه تعریف خود به طور یکنواخت افزایش می یابد. 0 در x →

به عنوان x → + ∞، حد لگاریتم طبیعی به اضافه بی نهایت (+ ∞) است. برای x بزرگ، لگاریتم به آرامی افزایش می یابد. هر تابع قدرت x a با توان مثبت a سریعتر از لگاریتم رشد می کند.

خواص لگاریتم طبیعی

دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، افراط، افزایش، کاهش

لگاریتم طبیعی تابعی است که بطور یکنواخت افزایش می یابد، بنابراین هیچ گونه افراطی ندارد. خواص اصلی لگاریتم طبیعی در جدول ارائه شده است.

مقادیر ln x

ln 1 = 0

فرمول های اصلی لگاریتم های طبیعی

فرمول های زیر از تعریف تابع معکوس:

ویژگی اصلی لگاریتم ها و پیامدهای آن

فرمول جایگزینی پایه

هر لگاریتمی را می توان بر حسب لگاریتم طبیعی با استفاده از فرمول جایگزینی پایه بیان کرد:

اثبات این فرمول ها در بخش "لگاریتم" ارائه شده است.

تابع معکوس

معکوس لگاریتم طبیعی توان است.

اگر، پس

اگر، پس.

مشتق ln x

مشتق لگاریتم طبیعی:
.
مشتق لگاریتم طبیعی مدول x:
.
مشتق از مرتبه n:
.
استخراج فرمول ها > > >

انتگرال

انتگرال با ادغام با قطعات محاسبه می شود:
.
بنابراین،

عبارات با استفاده از اعداد مختلط

تابع متغیر مختلط z را در نظر بگیرید:
.
بیایید متغیر مختلط را بیان کنیم zاز طریق ماژول rو استدلال φ :
.
با استفاده از خواص لگاریتم، داریم:
.
یا
.
آرگومان φ منحصراً تعریف نشده است. اگر قرار دهید
، جایی که n یک عدد صحیح است،
این عدد برای n های مختلف یکسان خواهد بود.

بنابراین، لگاریتم طبیعی، به عنوان تابعی از یک متغیر مختلط، یک تابع تک مقداری نیست.

گسترش سری پاور

هنگامی که گسترش انجام می شود:

ادبیات مورد استفاده:
I.N. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

ما به مطالعه لگاریتم ها ادامه می دهیم. در این مقاله در مورد صحبت خواهیم کرد محاسبه لگاریتم، این فرآیند نامیده می شود لگاریتم. ابتدا محاسبه لگاریتم ها را با تعریف درک خواهیم کرد. در مرحله بعد، بیایید ببینیم که چگونه مقادیر لگاریتم ها با استفاده از ویژگی های آنها پیدا می شود. پس از این، بر روی محاسبه لگاریتم ها از طریق مقادیر مشخص شده اولیه سایر لگاریتم ها تمرکز خواهیم کرد. در نهایت بیایید نحوه استفاده از جداول لگاریتمی را بیاموزیم. کل تئوری با مثال هایی همراه با راه حل های دقیق ارائه شده است.

پیمایش صفحه.

محاسبه لگاریتم بر اساس تعریف

در ساده ترین موارد می توان به سرعت و به راحتی انجام داد یافتن لگاریتم بر اساس تعریف. بیایید نگاهی دقیق تر به نحوه انجام این فرآیند بیندازیم.

ماهیت آن نشان دادن عدد b به شکل a c است که با تعریف لگاریتم، عدد c مقدار لگاریتم است. یعنی طبق تعریف، زنجیره برابری های زیر با یافتن لگاریتم مطابقت دارد: log a b=log a a c=c.

بنابراین، محاسبه یک لگاریتم بر اساس تعریف به یافتن یک عدد c به گونه‌ای است که a c = b، و عدد c خود مقدار مورد نظر لگاریتم است.

با در نظر گرفتن اطلاعات پاراگراف های قبلی، وقتی عدد زیر علامت لگاریتم با توان خاصی از پایه لگاریتم داده می شود، می توانید بلافاصله نشان دهید که لگاریتم برابر است - برابر با توان است. بیایید راه حل هایی را برای مثال ها نشان دهیم.

مثال.

log 2 2 −3 را پیدا کنید و لگاریتم طبیعی عدد e 5,3 را نیز محاسبه کنید.

راه حل.

تعریف لگاریتم به ما این امکان را می دهد که بلافاصله بگوییم که log 2 2 −3 =−3. در واقع، عدد زیر علامت لگاریتم برابر است با پایه 2 به توان -3.

به طور مشابه، لگاریتم دوم را پیدا می کنیم: lne 5.3 = 5.3.

پاسخ:

log 2 2 −3 =−3 و lne 5,3 =5,3.

اگر عدد b در زیر علامت لگاریتم به‌عنوان توان پایه لگاریتم مشخص نشده باشد، باید به دقت بررسی کنید تا ببینید آیا می‌توان عدد b را به شکل a c ارائه داد. اغلب این نمایش کاملاً آشکار است، به خصوص زمانی که عدد زیر علامت لگاریتم برابر با پایه به توان 1، یا 2، یا 3، ...

مثال.

لگاریتم log 5 25 و را محاسبه کنید.

راه حل.

به راحتی می توان فهمید که 25=5 2، این به شما امکان می دهد اولین لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25=log 5 5 2 =2.

بیایید به محاسبه لگاریتم دوم برویم. عدد را می توان به عنوان توان 7 نشان داد: (در صورت لزوم ببینید). از این رو، .

بیایید لگاریتم سوم را بازنویسی کنیم فرم زیر. اکنون می توانید آن را ببینید ، که از آن نتیجه می گیریم که . بنابراین با تعریف لگاریتم .

به طور خلاصه، راه حل را می توان به صورت زیر نوشت: .

پاسخ:

log 5 25=2 , و .

هنگامی که در زیر علامت لگاریتم به اندازه کافی بزرگ وجود دارد عدد طبیعی، سپس تجزیه آن به آن ضرری ندارد عوامل اصلی. اغلب به نمایش عددی به عنوان مقداری توان پایه لگاریتم کمک می کند و بنابراین این لگاریتم را با تعریف محاسبه می کند.

مثال.

مقدار لگاریتم را بیابید.

راه حل.

برخی از ویژگی های لگاریتم به شما امکان می دهد بلافاصله مقدار لگاریتم ها را مشخص کنید. این ویژگی ها شامل ویژگی لگاریتم یک و خاصیت لگاریتم یک عدد برابر با پایه است: log 1 1=log a a 0 =0 و log a a=log a a 1 =1. یعنی وقتی زیر علامت لگاریتم عدد 1 یا عدد a برابر با پایه لگاریتم وجود دارد، در این موارد لگاریتم ها به ترتیب برابر با 0 و 1 هستند.

مثال.

لگاریتم و log10 برابر با چه چیزی هستند؟

راه حل.

از آنجایی که از تعریف لگاریتم بر می آید .

در مثال دوم عدد 10 در زیر علامت لگاریتم با پایه آن منطبق است، بنابراین لگاریتم اعشاری ده برابر با یک است، یعنی lg10=lg10 1 =1.

پاسخ:

و lg10=1.

توجه داشته باشید که محاسبه لگاریتم ها بر اساس تعریف (که در پاراگراف قبل در مورد آن صحبت کردیم) مستلزم استفاده از log برابری a a p =p است که یکی از ویژگی های لگاریتم است.

در عمل، وقتی یک عدد زیر علامت لگاریتم و پایه لگاریتم به راحتی به عنوان توان یک عدد معین نشان داده شود، استفاده از فرمول بسیار راحت است. ، که با یکی از ویژگی های لگاریتم مطابقت دارد. بیایید مثالی از یافتن لگاریتم را در نظر بگیریم که استفاده از این فرمول را نشان می دهد.

مثال.

لگاریتم را محاسبه کنید.

راه حل.

پاسخ:

.

از خواص لگاریتمی که در بالا ذکر نشده است نیز در محاسبات استفاده می شود، اما در پاراگراف های بعدی در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

یافتن لگاریتم از طریق لگاریتم های شناخته شده دیگر

اطلاعات این پاراگراف در ادامه مبحث استفاده از خواص لگاریتم ها در هنگام محاسبه آنهاست. اما در اینجا تفاوت اصلی این است که از خواص لگاریتم ها برای بیان لگاریتم اصلی بر حسب لگاریتم دیگری استفاده می شود که مقدار آن مشخص است. برای روشن شدن مطلب مثالی می زنیم. فرض کنید که log 2 3≈1.584963 را می دانیم، سپس می توانیم برای مثال، log 2 6 را با انجام یک تبدیل کوچک با استفاده از خواص لگاریتم پیدا کنیم: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

در مثال بالا کافی بود که از خاصیت لگاریتم یک محصول استفاده کنیم. با این حال، بیشتر اوقات لازم است از زرادخانه وسیع تری از خواص لگاریتم استفاده شود تا بتوان لگاریتم اصلی را از طریق موارد داده شده محاسبه کرد.

مثال.

اگر می دانید که log 60 2=a و log 60 5=b می دانید لگاریتم 27 تا مبنای 60 را محاسبه کنید.

راه حل.

بنابراین باید log 60 27 را پیدا کنیم. به راحتی می توان دریافت که 27 = 3 3، و لگاریتم اصلی، به دلیل خاصیت لگاریتم توان، می تواند به صورت 3·log 60 3 بازنویسی شود.

حال بیایید ببینیم که چگونه log 60 3 را بر حسب لگاریتم های شناخته شده بیان کنیم. خاصیت لگاریتم یک عدد برابر با قاعده به ما اجازه می دهد تا log برابری 60 60=1 را بنویسیم. از طرف دیگر، log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . بنابراین، 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. از این رو، log 60 3=1-2·log 60 2-log 60 5=1-2·a-b.

در نهایت لگاریتم اصلی را محاسبه می کنیم: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

پاسخ:

log 60 27=3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

به طور جداگانه، لازم است به معنای فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم فرم اشاره شود. . این به شما امکان می دهد از لگاریتم با هر پایه به لگاریتم با یک پایه خاص بروید که مقادیر آنها مشخص است یا امکان یافتن آنها وجود دارد. معمولاً از لگاریتم اصلی با استفاده از فرمول انتقال به لگاریتم در یکی از پایه های 2، e یا 10 حرکت می کنند، زیرا برای این پایه ها جداول لگاریتم وجود دارد که اجازه می دهد مقادیر آنها با درجه خاصی از محاسبه شود. دقت در پاراگراف بعدی نحوه انجام این کار را نشان خواهیم داد.

جداول لگاریتمی و کاربرد آنها

برای محاسبه تقریبی مقادیر لگاریتمی می توان از آن استفاده کرد جداول لگاریتمی. متداول ترین جدول لگاریتم پایه 2، جدول لگاریتم طبیعی و جدول لگاریتم اعشاری. هنگام کار در سیستم اعداد اعشاری، استفاده از جدول لگاریتم بر اساس پایه ده راحت است. با کمک آن ما یاد خواهیم گرفت که مقادیر لگاریتم ها را پیدا کنیم.

جدول ارائه شده به شما امکان می دهد مقادیر لگاریتم اعشاری اعداد از 1000 تا 9999 (با سه رقم اعشار) را با دقت یک ده هزارم پیدا کنید. ما اصل یافتن مقدار یک لگاریتم را با استفاده از جدول لگاریتم های اعشاری در آن تجزیه و تحلیل خواهیم کرد مثال خاص- اینطور واضح تر است. بیایید log1.256 را پیدا کنیم.

در ستون سمت چپ جدول لگاریتم های اعشاری، دو رقم اول عدد 1.256 را پیدا می کنیم، یعنی 1.2 را پیدا می کنیم (این عدد برای وضوح به رنگ آبی دایره شده است). سومین رقم عدد 1.256 (رقم 5) در اولین یا آخرین سطر سمت چپ خط دوتایی یافت می شود (این عدد به رنگ قرمز دایره شده است). چهارمین رقم از شماره اصلی 1.256 (رقم 6) در اولین یا آخرین سطر سمت راست خط دوتایی یافت می شود (این عدد با یک خط سبز دایره شده است). اکنون اعداد را در خانه های جدول لگاریتم در تقاطع سطر مشخص شده و ستون های علامت گذاری شده پیدا می کنیم (این اعداد برجسته شده اند. نارنجی). مجموع اعداد علامت گذاری شده مقدار مورد نظر لگاریتم اعشاری را با دقت به رقم چهارم اعشار می دهد، یعنی: log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

آیا می توان با استفاده از جدول بالا مقادیر لگاریتم اعشاری اعدادی که بیش از سه رقم بعد از نقطه اعشار دارند و همچنین آنهایی که از محدوده 1 تا 9.999 فراتر می روند را پیدا کرد؟ بله، شما می توانید. بیایید با یک مثال نشان دهیم که چگونه این کار انجام می شود.

بیایید lg102.76332 را محاسبه کنیم. ابتدا باید یادداشت کنید شماره در فرم استاندارد : 102.76332=1.0276332·10 2. پس از این، مانتیس باید به سومین رقم اعشار گرد شود 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، در حالی که لگاریتم اعشاری اصلی تقریباً برابر با لگاریتم عدد حاصل است، یعنی log102.76332≈lg1.028·10 2 را می گیریم. اکنون خواص لگاریتم را اعمال می کنیم: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. در نهایت، مقدار لگاریتم lg1.028 را از جدول لگاریتم های اعشاری lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 پیدا می کنیم. در نتیجه، کل فرآیند محاسبه لگاریتم به صورت زیر است: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

در پایان، شایان ذکر است که با استفاده از جدول لگاریتم های اعشاری می توانید مقدار تقریبی هر لگاریتمی را محاسبه کنید. برای انجام این کار، کافی است از فرمول انتقال برای رفتن به لگاریتم های اعشاری، یافتن مقادیر آنها در جدول و انجام محاسبات باقی مانده استفاده کنید.

برای مثال، بیایید log 2 3 را محاسبه کنیم. با توجه به فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم، داریم. از جدول لگاریتم های اعشاری log3≈0.4771 و log2≈0.3010 را پیدا می کنیم. بنابراین، .

مراجع

• Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10 - 11 موسسات آموزش عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

\(a^(b)=c\) \(\فلش راست چپ\) \(\log_(a)(c)=b\)

بیایید آن را ساده تر توضیح دهیم. به عنوان مثال، \(\log_(2)(8)\) برابر با توانی است که \(2\) باید برای بدست آوردن \(8\) به آن افزایش یابد. از اینجا مشخص است که \(\log_(2)(8)=3\).

برهان و پایه لگاریتم

هر لگاریتمی دارای "آناتومی" زیر است:

آرگومان لگاریتم معمولاً در سطح آن نوشته می‌شود و پایه به صورت زیرنویس نزدیک‌تر به علامت لگاریتم نوشته می‌شود. و این ورودی به این صورت است: "لگاریتم بیست و پنج تا پایه پنج."

چگونه لگاریتم را محاسبه کنیم؟

برای محاسبه لگاریتم، باید به این سوال پاسخ دهید: برای بدست آوردن آرگومان، پایه باید به چه قدرتی افزایش یابد؟

به عنوان مثال، لگاریتم را محاسبه کنید: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) د) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

الف) برای بدست آوردن \(16\) \(4\) باید به چه قدرتی برود؟ بدیهی است که دومی به همین دلیل:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

ج) برای بدست آوردن \(1\) \(\sqrt(5)\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ چه قدرتی هر شماره یک را می سازد؟ صفر البته!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

د) برای بدست آوردن \(\sqrt(7)\) باید \(\sqrt(7)\) را به چه قدرتی افزایش داد؟ اولاً هر عددی به توان اول با خودش برابر است.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ه) برای به دست آوردن \(\sqrt(3)\) \(3\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ از ما می دانیم که یک توان کسری است، به این معنی ریشه مربعتوان \(\frac(1)(2)\) است.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

مثال : محاسبه لگاریتم \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

راه حل :

پاسخ دهید : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

چرا لگاریتم اختراع شد؟

برای درک این موضوع، اجازه دهید معادله \(3^(x)=9\) را حل کنیم. فقط \(x\) را مطابقت دهید تا برابری عمل کند. البته \(x=2\).

حالا معادله \(3^(x)=8\) را حل کنید. x برابر با چیست؟ نکته همین است.

باهوش ترین ها خواهند گفت: "X کمی کمتر از دو است." دقیقا چطور میشه این عدد رو نوشت؟ برای پاسخ به این سوال، لگاریتم اختراع شد. با تشکر از او، پاسخ در اینجا می تواند به صورت \(x=\log_(3)(8)\) نوشته شود.

من می خواهم تاکید کنم که \(\log_(3)(8)\)، مانند هر لگاریتمی فقط یک عدد است. بله، غیر معمول به نظر می رسد، اما کوتاه است. چون اگر بخواهیم در فرم بنویسیم اعشاری، پس به این شکل می شود: \(1.892789260714.....\)

مثال : حل معادله \(4^(5x-4)=10\)

راه حل :

پاسخ دهید : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

لگاریتم های اعشاری و طبیعی

همانطور که در تعریف لگاریتم گفته شد، پایه آن می تواند هر عدد مثبتی باشد به جز یک \((a>0, a\neq1)\). و در بین همه دلایل احتمالیدو مورد وجود دارد که به قدری اتفاق می افتد که یک نماد کوتاه ویژه برای لگاریتم با آنها اختراع شد:

لگاریتم طبیعی: لگاریتمی که پایه آن عدد اویلر \(e\) است (تقریباً برابر با \(2.7182818…\)) و لگاریتم به صورت \(\ln(a)\ نوشته می شود.

یعنی \(\ln(a)\) همان \(\log_(e)(a)\) است.

لگاریتم اعشاری: لگاریتمی که پایه آن 10 است \(\lg(a)\) نوشته می شود.

یعنی \(\lg(a)\) یکسان است با \(\log_(10)(a)\)، جایی که \(a\) تعدادی عدد است.

هویت لگاریتمی پایه

لگاریتم ها خواص زیادی دارند. یکی از آنها "اساسی" نام دارد هویت لگاریتمی"و به شکل زیر است:

این ویژگی مستقیماً از تعریف پیروی می کند. بیایید ببینیم این فرمول دقیقا چگونه به وجود آمده است.

اجازه دهید یک نماد کوتاه از تعریف لگاریتم را به یاد بیاوریم:

اگر \(a^(b)=c\)، سپس \(\log_(a)(c)=b\)

یعنی \(b\) همان \(\log_(a)(c)\) است. سپس می توانیم به جای \(b\) در فرمول \(a^(b)=c\) \(\log_(a)(c)\) بنویسیم. معلوم شد \(a^(\log_(a)(c))=c\) - هویت لگاریتمی اصلی.

شما می توانید ویژگی های دیگر لگاریتم ها را بیابید. با کمک آنها می توانید مقادیر عبارات را با لگاریتم ساده و محاسبه کنید که محاسبه مستقیم آنها دشوار است.

مثال : مقدار عبارت \(36^(\log_(6)(5)) را پیدا کنید

راه حل :

پاسخ دهید : \(25\)

چگونه یک عدد را به صورت لگاریتمی بنویسیم؟

همانطور که در بالا ذکر شد، هر لگاریتمی فقط یک عدد است. عکس آن نیز صادق است: هر عددی را می توان به صورت لگاریتم نوشت. به عنوان مثال، می دانیم که \(\log_(2)(4)\) برابر با دو است. سپس به جای دو می توانید \(\log_(2)(4)\) بنویسید.

اما \(\log_(3)(9)\) نیز برابر با \(2\) است، یعنی می توانیم \(2=\log_(3)(9)\) را نیز بنویسیم. به همین ترتیب با \(\log_(5)(25)\)، و با \(\log_(9)(81)\) و غیره. یعنی معلوم می شود

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

بنابراین، در صورت نیاز، می‌توانیم دو را به‌عنوان لگاریتم با هر مبنایی در هر جایی بنویسیم (حتی در یک معادله، حتی در یک عبارت، حتی در یک نابرابری) - ما به سادگی پایه مربع را به عنوان یک آرگومان می‌نویسیم.

در مورد سه‌گانه هم همین‌طور است - می‌توان آن را به صورت \(\log_(2)(8)\)، یا به صورت \(\log_(3)(27)\) یا به صورت \(\log_(4)( نوشت 64) \)... در اینجا پایه را در مکعب به عنوان آرگومان می نویسیم:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

و با چهار:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

و با منفی یک:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

و با یک سوم:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

هر عدد \(a\) را می توان به عنوان یک لگاریتم با پایه \(b\) نشان داد: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

مثال : معنی عبارت را بیابید \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

راه حل :

پاسخ دهید : \(1\)

لگاریتم یک عدد ن بر اساس الف توان نامیده می شود X ، که باید به آن بسازید الف برای دریافت شماره ن

به شرطی که
,
,

از تعریف لگاریتم چنین بر می آید که
، یعنی
- این برابری هویت لگاریتمی اساسی است.

لگاریتم های پایه 10 را لگاریتم اعشاری می نامند. به جای
نوشتن
.

لگاریتم به پایه ه طبیعی نامیده می شوند و تعیین می شوند
.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم یک برای هر پایه برابر با صفر است.

لگاریتم حاصلضرب برابر است با مجموع لگاریتم عوامل.

3) لگاریتم ضریب برابر است با اختلاف لگاریتم ها

عامل
مدول انتقال از لگاریتم به پایه نامیده می شود الف به لگاریتم در پایه ب .

با استفاده از ویژگی های 2-5، اغلب می توان لگاریتم یک عبارت پیچیده را به نتیجه عملیات ساده حسابی روی لگاریتم کاهش داد.

به عنوان مثال،

به چنین تبدیل های لگاریتمی لگاریتم می گویند. تبدیل معکوس به لگاریتم را تقویت می گویند.

فصل 2. عناصر ریاضیات عالی.

1. محدودیت ها

محدودیت عملکرد
یک عدد محدود A است اگر، به عنوان xx 0 برای هر از پیش تعیین شده
، چنین عددی وجود دارد
که به محض
، آن
.

تابعی که حدی دارد به مقدار بی نهایت کوچک با آن تفاوت دارد:
، جایی که- b.m.v.، i.e.
.

مثال. تابع را در نظر بگیرید
.

هنگام تلاش
، عملکرد y به سمت صفر میل می کند:

1.1. قضایای اساسی در مورد حدود

حد یک مقدار ثابت برابر با این مقدار ثابت است

.

حد مجموع (تفاوت) تعداد محدودی از توابع برابر است با مجموع (تفاوت) حدود این توابع.

حد حاصلضرب تعداد محدودی از توابع برابر است با حاصلضرب حدود این توابع.

حد نصاب دو تابع برابر است با نصاب حدود این توابع اگر حد مخرج صفر نباشد.

محدودیت های شگفت انگیز

,
، کجا

1.2. مثال های محاسبه حد

با این حال، همه محدودیت ها به این راحتی محاسبه نمی شوند. اغلب، محاسبه حد به آشکار کردن عدم قطعیت از نوع ختم می شود: یا .

.

2. مشتق یک تابع

اجازه دهید یک تابع داشته باشیم
، پیوسته بر روی قطعه
.

استدلال مقداری افزایش یافت
. سپس تابع یک افزایش دریافت می کند
.

مقدار استدلال با مقدار تابع مطابقت دارد
.

مقدار استدلال
با مقدار تابع مطابقت دارد.

از این رو، .

اجازه دهید حد این نسبت را در پیدا کنیم
. اگر این حد وجود داشته باشد، آن را مشتق تابع داده شده می نامند.

تعریف 3 مشتق تابع معین
با استدلال حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان، زمانی که افزایش آرگومان خودسرانه به صفر میل می کند، نامیده می شود.

مشتق یک تابع
را می توان به صورت زیر تعیین کرد:

; ; ; .

تعریف 4عملیات یافتن مشتق تابع نامیده می شود تمایز.

2.1. معنای مکانیکی مشتق.

اجازه دهید حرکت مستقیم یک جسم صلب یا نقطه مادی را در نظر بگیریم.

اجازه دهید در یک نقطه از زمان نقطه متحرک
در فاصله ای بود از موقعیت شروع
.

بعد از مدتی
او فاصله ای را طی کرد
. نگرش =- سرعت متوسطنقطه مادی
. اجازه دهید با در نظر گرفتن آن، حد این نسبت را پیدا کنیم
.

در نتیجه، تعیین سرعت لحظه ای حرکت یک نقطه مادی به یافتن مشتق مسیر با توجه به زمان کاهش می یابد.

2.2. ارزش هندسی مشتق

اجازه دهید یک تابع گرافیکی تعریف شده داشته باشیم
.

برنج. 1. معنای هندسی مشتق

اگر
، سپس اشاره کنید
، در امتداد منحنی حرکت می کند و به نقطه نزدیک می شود
.

از این رو
، یعنی مقدار مشتق برای مقدار معینی از آرگومان عددی برابر با مماس زاویه تشکیل شده توسط مماس در یک نقطه معین با جهت مثبت محور
.

2.3. جدول فرمول های تمایز پایه.

عملکرد قدرت

تابع نمایی

تابع لگاریتمی

تابع مثلثاتی

تابع مثلثاتی معکوس

2.4. قوانین تمایز.

مشتق از

مشتق از مجموع (تفاوت) توابع

مشتق حاصل ضرب دو تابع

مشتق ضریب دو تابع

2.5. مشتق از تابع پیچیده.

اجازه دهید تابع داده شود
به گونه ای که بتوان آن را در قالب نمایش داد

و
، جایی که متغیر پس یک استدلال میانی است

مشتق تابع مختلط با حاصلضرب مشتق تابع داده شده نسبت به آرگومان میانی و مشتق آرگومان میانی نسبت به x برابر است.

مثال 1.

مثال 2.

3. تابع دیفرانسیل.

بگذار وجود داشته باشد
، در برخی بازه های زمانی قابل تمایز است
و اجازه دهید در این تابع یک مشتق دارد

,

سپس می توانیم بنویسیم

(1),

کجا - یک کمیت بی نهایت کوچک،

از چه زمانی

ضرب تمام شرایط برابری (1) در
ما داریم:

کجا
- b.m.v. مرتبه بالاتر

بزرگی
دیفرانسیل تابع نامیده می شود
و تعیین شده است

.

3.1. مقدار هندسی دیفرانسیل

اجازه دهید تابع داده شود
.

شکل 2. معنی هندسی دیفرانسیل

.

بدیهی است که دیفرانسیل تابع
برابر است با افزایش مختصات مماس در یک نقطه معین.

3.2. مشتقات و دیفرانسیل از سفارشات مختلف.

اگر وجود دارد
، سپس
مشتق اول نامیده می شود.

مشتق مشتق اول را مشتق مرتبه دوم می گویند و نوشته می شود
.

مشتق از مرتبه n تابع
مشتق مرتبه (n-1) ام نامیده می شود و نوشته می شود:

.

دیفرانسیل دیفرانسیل یک تابع را دیفرانسیل دوم یا دیفرانسیل مرتبه دوم می گویند.

.

.

3.3 حل مسائل بیولوژیکی با استفاده از تمایز.

وظیفه 1. مطالعات نشان داده است که رشد یک کلونی از میکروارگانیسم ها از قانون پیروی می کند
، کجا ن - تعداد میکروارگانیسم ها (به هزار) تی - زمان (روزها).

ب) آیا جمعیت کلنی در این مدت افزایش می یابد یا کاهش می یابد؟

پاسخ دهید. اندازه کلنی افزایش خواهد یافت.

وظیفه 2. آب دریاچه به طور دوره ای برای نظارت بر محتوای باکتری های بیماری زا آزمایش می شود. از طریق تی روز پس از آزمایش، غلظت باکتری ها بر اساس نسبت تعیین می شود

.

چه زمانی این دریاچه دارای حداقل غلظت باکتری خواهد بود و آیا می توان در آن شنا کرد؟

راه حل: یک تابع زمانی به max یا min می رسد که مشتق آن صفر باشد.

,

بیایید تعیین کنیم حداکثر یا حداقل در 6 روز خواهد بود. برای انجام این کار، بیایید مشتق دوم را در نظر بگیریم.

پاسخ: پس از 6 روز حداقل غلظت باکتری وجود خواهد داشت.