بخش اعداد طبیعی، به ویژه موارد چند معنایی، برای انجام راحت هستند روش خاص، که نامگذاری شد تقسیم بر یک ستون (در یک ستون). شما همچنین می توانید نام را پیدا کنید تقسیم گوشه. بیایید فوراً توجه کنیم که ستون را می توان هم برای تقسیم اعداد طبیعی بدون باقی مانده و هم برای تقسیم اعداد طبیعی با باقی مانده استفاده کرد.

در این مقاله به بررسی مدت زمان انجام تقسیم خواهیم پرداخت. در اینجا ما در مورد قوانین ثبت و تمام محاسبات میانی صحبت خواهیم کرد. ابتدا، بیایید بر تقسیم یک عدد طبیعی چند رقمی بر یک ستون تمرکز کنیم عدد تک رقمی. پس از این، به مواردی می پردازیم که هر دو تقسیم کننده و مقسوم علیه اعداد طبیعی چند ارزشی هستند. کل تئوری این مقاله با مثال‌های معمولی از تقسیم بر ستونی از اعداد طبیعی همراه با توضیحات مفصل در مورد فرآیند حل و تصاویر ارائه شده است.

پیمایش صفحه.

قوانین ضبط هنگام تقسیم بر ستون

بیایید با مطالعه قوانین نوشتن سود تقسیمی، مقسوم علیه، همه محاسبات میانی و نتایج هنگام تقسیم اعداد طبیعی بر یک ستون شروع کنیم. بیایید فوراً بگوییم که انجام تقسیم ستون به صورت نوشتاری روی کاغذ با یک خط شطرنجی راحت تر است - به این ترتیب شانس کمتری برای دور شدن از ردیف و ستون مورد نظر وجود دارد.

ابتدا سود سهام و مقسوم علیه در یک خط از چپ به راست نوشته می شود و پس از آن نمادی از فرم بین اعداد نوشته شده نمایش داده می شود. به عنوان مثال، اگر سود تقسیمی عدد 6 105 و تقسیم کننده 5 5 باشد، ورودی صحیح آنها هنگام تقسیم به یک ستون به صورت زیر خواهد بود:

برای نشان دادن محل نوشتن محاسبات سود تقسیمی، مقسوم علیه، ضریب، باقیمانده و محاسبات میانی در تقسیم طولانی، به نمودار زیر نگاه کنید.

از نمودار بالا مشخص است که ضریب مورد نظر (یا ضریب ناقص هنگام تقسیم با باقیمانده) زیر مقسوم علیه زیر خط افقی نوشته می شود. و محاسبات میانی زیر سود سهام انجام می شود و باید از قبل در مورد در دسترس بودن فضای صفحه مراقبت کنید. در این مورد، شما باید با این قانون هدایت شوید: هر چه تفاوت تعداد کاراکترها در ورودی های سود و تقسیم کننده بیشتر باشد، فضای بیشتری مورد نیاز خواهد بود. به عنوان مثال، هنگام تقسیم عدد طبیعی 614,808 بر 51,234 با یک ستون (614,808 یک عدد شش رقمی است، 51,234 یک عدد پنج رقمی است، تفاوت تعداد کاراکترها در رکوردها 6-5 = 1) است، متوسط محاسبات نیاز خواهد داشت فضای کمترنسبت به تقسیم اعداد 8058 و 4 (در اینجا تفاوت در تعداد ارقام 4-1=3 است). برای تایید سخنان خود، رکوردهای کاملی از تقسیم بر ستونی از این اعداد طبیعی را ارائه می کنیم:

اکنون می توانید مستقیماً به فرآیند تقسیم اعداد طبیعی بر یک ستون بروید.

تقسیم ستونی یک عدد طبیعی به یک عدد طبیعی تک رقمی، الگوریتم تقسیم ستونی

واضح است که تقسیم یک عدد طبیعی تک رقمی بر دیگری بسیار ساده است و دلیلی برای تقسیم این اعداد به ستون وجود ندارد. با این حال، تمرین مهارت های اولیه تقسیم طولانی با این مثال های ساده مفید خواهد بود.

مثال.

باید با ستون 8 بر 2 تقسیم کنیم.

راه حل.

البته می توان با استفاده از جدول ضرب تقسیم را انجام داد و بلافاصله جواب 8:2=4 را یادداشت کرد.

اما ما علاقه مندیم که چگونه این اعداد را با یک ستون تقسیم کنیم.

ابتدا سود 8 و مقسوم علیه 2 را طبق روش مورد نیاز می نویسیم:

اکنون شروع می کنیم به دریابیم که تقسیم کننده چند بار در سود سهام وجود دارد. برای این کار، مقسوم‌کننده را به ترتیب در اعداد 0، 1، 2، 3، ... ضرب می‌کنیم تا زمانی که عددی برابر با سود تقسیمی (یا عددی بزرگ‌تر از سود تقسیمی، اگر تقسیمی با باقی مانده باشد، شود. ). اگر عددی برابر با سود به دست آوریم، بلافاصله آن را زیر سود تقسیمی می نویسیم و به جای ضریب، عددی را می نویسیم که تقسیم کننده را در آن ضرب کرده ایم. اگر عددی بزرگتر از سود تقسیمی بدست آوریم، در زیر مقسوم علیه عدد محاسبه شده در مرحله ماقبل آخر را می نویسیم و به جای ضریب ناقص عددی را می نویسیم که در مرحله ماقبل آخر تقسیم کننده در آن ضرب شده است.

برویم: 2·0=0 ; 2 1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8. عددی برابر با سود دریافتی دریافت کرده ایم پس آن را زیر سود تقسیمی می نویسیم و به جای ضریب عدد 4 را می نویسیم. در این صورت ورودی پذیرفته می شود نمای بعدی:

آخرین مرحله تقسیم اعداد طبیعی تک رقمی با ستون باقی می ماند. زیر عددی که در زیر سود سهام نوشته شده است، باید یک خط افقی بکشید و اعداد بالای این خط را به همان روشی که هنگام تفریق اعداد طبیعی در یک ستون انجام می‌شود، کم کنید. عدد حاصل از تفریق باقیمانده تقسیم خواهد بود. اگر برابر با صفر باشد، اعداد اصلی بدون باقی مانده تقسیم می شوند.

در مثال ما دریافت می کنیم

اکنون ما یک ضبط کامل از تقسیم ستون عدد 8 به 2 را پیش روی خود داریم. می بینیم که ضریب 8:2 4 است (و باقیمانده 0 است).

پاسخ:

8:2=4 .

حال بیایید ببینیم چگونه یک ستون اعداد طبیعی تک رقمی را با باقی مانده تقسیم می کند.

مثال.

با ستون 7 بر 3 تقسیم کنید.

راه حل.

روشن مرحله اولیهورودی به این شکل است:

ما شروع به دریابیم که چند بار سود سهام شامل تقسیم کننده است. 3 را در 0، 1، 2، 3 و غیره ضرب می کنیم. تا زمانی که عددی مساوی یا بزرگتر از سود 7 بدست آوریم. 3·0=0 می گیریم<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (در صورت لزوم به مقاله مقایسه اعداد طبیعی مراجعه کنید). در زیر سود، عدد 6 را می نویسیم (در مرحله ماقبل آخر به دست آمد) و به جای ضریب ناقص عدد 2 را می نویسیم (ضرب توسط آن در مرحله ماقبل آخر انجام شد).

باقی مانده است که تفریق انجام شود و تقسیم بر ستونی از اعداد طبیعی تک رقمی 7 و 3 تکمیل خواهد شد.

بنابراین، ضریب جزئی 2 و باقیمانده 1 است.

پاسخ:

7:3=2 (استراحت 1) .

اکنون می توانید به تقسیم اعداد طبیعی چند رقمی بر ستون ها به اعداد طبیعی تک رقمی بروید.

حالا ما آن را کشف خواهیم کرد الگوریتم تقسیم طولانی. در هر مرحله نتایج حاصل از تقسیم عدد طبیعی چند رقمی 140288 بر عدد طبیعی تک رقمی 4 را ارائه خواهیم داد. این مثال به طور تصادفی انتخاب نشده است، زیرا هنگام حل آن با تمام تفاوت های ظریف ممکن روبرو خواهیم شد و قادر خواهیم بود آنها را با جزئیات تجزیه و تحلیل کنیم.

ابتدا به اولین رقم سمت چپ در نماد سود سهام نگاه می کنیم. اگر عددی که با این شکل تعریف می شود از مقسوم علیه بزرگتر باشد، در پاراگراف بعدی باید با این عدد کار کنیم. اگر این عدد از مقسوم‌کننده کمتر باشد، باید رقم بعدی سمت چپ را در رکورد سود به حساب اضافه کنیم و با عددی که توسط دو رقم مورد بررسی تعیین می‌شود به کار ادامه دهیم. برای راحتی، ما در نماد خود عددی را که با آن کار خواهیم کرد برجسته می کنیم.

اولین رقم از سمت چپ در نماد سود سهام 140288 رقم 1 است. عدد 1 از مقسوم‌کننده 4 کوچکتر است، بنابراین به رقم بعدی در سمت چپ در نماد سود نیز نگاه می‌کنیم. در عین حال عدد 14 را می بینیم که باید با آن بیشتر کار کنیم. ما این عدد را در نماد تقسیم سود برجسته می کنیم.

نکات زیر از دوم تا چهارم به صورت چرخه ای تکرار می شوند تا زمانی که تقسیم اعداد طبیعی بر یک ستون کامل شود.

اکنون باید تعیین کنیم که چند بار مقسوم‌کننده در عددی که با آن کار می‌کنیم وجود دارد (برای راحتی، اجازه دهید این عدد را x نشان دهیم). برای این کار، مقسوم علیه را به ترتیب در 0، 1، 2، 3، ... ضرب می کنیم تا عدد x یا عددی بزرگتر از x به دست بیاید. وقتی عدد x بدست آمد، آن را با توجه به قوانین نوشتن که هنگام تفریق اعداد طبیعی در یک ستون استفاده می شود، زیر عدد برجسته می نویسیم. عددی که توسط آن ضرب انجام شده است به جای ضریب در طی اولین گذر الگوریتم نوشته می شود (در پاس های بعدی 2-4 نقطه الگوریتم، این عدد در سمت راست اعدادی که قبلاً وجود دارد نوشته می شود). وقتی عددی بزرگتر از x به دست می آوریم، در زیر عدد برجسته شده عدد بدست آمده در مرحله ماقبل آخر را می نویسیم و به جای ضریب (یا سمت راست اعدادی که قبلاً وجود دارند) عدد را با که ضرب در مرحله ماقبل آخر انجام شد. (ما اقدامات مشابهی را در دو مثال مورد بحث در بالا انجام دادیم).

مقسوم علیه 4 را در اعداد 0، 1، 2، ... ضرب می کنیم تا عددی برابر با 14 یا بزرگتر از 14 بدست آوریم. ما 4·0=0 داریم<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14. از آنجایی که در آخرین مرحله عدد 16 را دریافت کردیم که بزرگتر از 14 است، سپس در زیر عدد برجسته شده عدد 12 را که در مرحله ماقبل آخر به دست آمد می نویسیم و به جای ضریب عدد 3 را می نویسیم زیرا در نقطه ماقبل آخر ضرب دقیقا توسط آن انجام شد.


در این مرحله از عدد انتخاب شده با استفاده از ستون عددی را که در زیر آن قرار دارد کم کنید. نتیجه تفریق زیر خط افقی نوشته می شود. با این حال، اگر نتیجه تفریق صفر باشد، نیازی به نوشتن نیست (مگر اینکه تفریق در آن نقطه، آخرین عملی باشد که فرآیند طولانی تقسیم را به طور کامل کامل می‌کند). در اینجا، برای کنترل خود، اشتباه نیست که نتیجه تفریق را با مقسوم‌گیرنده مقایسه کنید و مطمئن شوید که از مقسوم‌گیرنده کمتر است. وگرنه یه جایی اشتباه شده.

باید عدد 12 را با یک ستون از عدد 14 کم کنیم (برای صحت ضبط باید به یاد داشته باشیم که علامت منفی را در سمت چپ اعداد در حال تفریق قرار دهیم). پس از انجام این عمل، عدد 2 در زیر خط افقی ظاهر شد. حالا با مقایسه عدد به دست آمده با مقسوم علیه، محاسبات خود را بررسی می کنیم. از آنجایی که عدد ۲ کوچکتر از مقسوم‌کننده ۴ است، می‌توانید با خیال راحت به نقطه بعدی بروید.


اکنون در زیر خط افقی سمت راست اعداد واقع در آنجا (یا سمت راست جایی که صفر را یادداشت نکرده ایم) عددی را که در همان ستون قرار دارد را در نماد سود یادداشت می کنیم. اگر هیچ عددی در رکورد سود در این ستون وجود نداشته باشد، تقسیم بر ستون در اینجا به پایان می رسد. پس از این، عددی که زیر خط افقی تشکیل شده را انتخاب کرده، آن را به عنوان عدد کاری می پذیریم و نقاط 2 تا 4 الگوریتم را با آن تکرار می کنیم.

در زیر خط افقی سمت راست عدد 2 که قبلاً وجود دارد، عدد 0 را یادداشت می کنیم، زیرا این عدد 0 است که در رکورد سود 140288 در این ستون وجود دارد. بدین ترتیب عدد 20 زیر خط افقی تشکیل می شود.


این عدد 20 را انتخاب می کنیم و به عنوان یک عدد کاری در نظر می گیریم و با آن اعمال نقاط دوم، سوم و چهارم الگوریتم را تکرار می کنیم.

مقسوم علیه 4 را در 0، 1، 2، ... ضرب می کنیم تا به عدد 20 یا عددی بزرگتر از 20 برسیم. ما 4·0=0 داریم<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


تفریق را در یک ستون انجام می دهیم. از آنجایی که ما در حال تفریق اعداد طبیعی مساوی هستیم، پس به واسطه خاصیت تفریق اعداد طبیعی مساوی، نتیجه صفر است. ما صفر را نمی نویسیم (از آنجایی که این مرحله نهایی تقسیم با یک ستون نیست)، اما مکانی را که می توانیم آن را بنویسیم به خاطر می آوریم (برای راحتی، این مکان را با یک مستطیل سیاه علامت گذاری می کنیم).


در زیر خط افقی سمت راست محل به خاطر سپردن عدد 2 را یادداشت می کنیم، زیرا دقیقاً همان چیزی است که در رکورد سود 140288 در این ستون است. بنابراین، در زیر خط افقی، عدد 2 را داریم.


عدد 2 را به عنوان عدد کار می گیریم، آن را علامت گذاری می کنیم و یک بار دیگر باید اقدامات 2-4 نقطه از الگوریتم را انجام دهیم.

مقسوم علیه را در 0، 1، 2 و ... ضرب می کنیم و اعداد به دست آمده را با عدد علامت گذاری شده 2 مقایسه می کنیم. ما 4·0=0 داریم<2 , 4·1=4>2. بنابراین، در زیر عدد علامت گذاری شده، عدد 0 را می نویسیم (در مرحله ماقبل آخر به دست آمد) و در جای ضریب سمت راست عددی که قبلاً وجود دارد، عدد 0 را می نویسیم (در مرحله ماقبل آخر در 0 ضرب کردیم. ).


تفریق را در یک ستون انجام می دهیم، عدد 2 را زیر خط افقی می گیریم. ما خودمان را با مقایسه عدد به دست آمده با مقسوم علیه 4 بررسی می کنیم. از 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


زیر خط افقی سمت راست عدد 2، عدد 8 را اضافه کنید (زیرا در این ستون در ورودی سود سهام 140 288 قرار دارد). بنابراین، عدد 28 زیر خط افقی ظاهر می شود.


این عدد را به عنوان یک عدد کاری در نظر می گیریم، علامت گذاری می کنیم و مراحل 2-4 را تکرار می کنیم.

اگر تا به حال دقت کرده باشید، نباید هیچ مشکلی در اینجا وجود داشته باشد. پس از انجام تمام مراحل لازم، نتیجه زیر به دست می آید.

تنها چیزی که باقی می ماند این است که برای آخرین بار مراحل از نقاط 2، 3، 4 را انجام دهید (این را به شما واگذار می کنیم)، پس از آن تصویر کاملی از تقسیم اعداد طبیعی 140،288 و 4 به یک ستون خواهید داشت:

لطفا توجه داشته باشید که عدد 0 در خط پایین نوشته شده است. اگر این آخرین مرحله تقسیم بر یک ستون نبود (یعنی اگر در رکورد سود اعدادی در ستون های سمت راست باقی مانده بود)، این صفر را نمی نوشتیم.

بنابراین، با نگاهی به تقسیم کامل عدد طبیعی چند رقمی 140288 بر عدد طبیعی تک رقمی 4، می بینیم که ضریب آن عدد 35072 است (و باقیمانده تقسیم صفر است، در خط پایین قرار دارد. ).

البته، هنگام تقسیم اعداد طبیعی بر یک ستون، تمام اعمال خود را با این جزئیات شرح نمی دهید. راه حل های شما چیزی شبیه به مثال های زیر خواهد بود.

مثال.

اگر سود تقسیمی 7 136 و تقسیم کننده یک عدد طبیعی تک رقمی 9 باشد، تقسیم طولانی را انجام دهید.

راه حل.

در اولین مرحله از الگوریتم تقسیم اعداد طبیعی بر ستون ها، رکوردی از فرم به دست می آید.

پس از انجام اقدامات از نقاط دوم، سوم و چهارم الگوریتم، رکورد تقسیم ستون شکل می گیرد.

با تکرار چرخه، خواهیم داشت

یک پاس دیگر تصویر کاملی از تقسیم ستون اعداد طبیعی 7,136 و 9 به ما می دهد.

بنابراین، ضریب جزئی 792 و باقیمانده 8 است.

پاسخ:

7 136:9=792 (استراحت 8) .

و این مثال نشان می دهد که تقسیم طولانی چگونه باید باشد.

مثال.

عدد طبیعی 7,042,035 را بر عدد طبیعی تک رقمی 7 تقسیم کنید.

راه حل.

راحت ترین راه برای انجام تقسیم ستونی است.

پاسخ:

7 042 035:7=1 006 005 .

تقسیم ستونی اعداد طبیعی چند رقمی

اجازه دهید عجله کنیم تا شما را خوشحال کنیم: اگر به الگوریتم تقسیم ستون از پاراگراف قبلی این مقاله کاملاً تسلط دارید، تقریباً از قبل می دانید که چگونه انجام دهید. تقسیم ستونی اعداد طبیعی چند رقمی. این درست است، زیرا مراحل 2 تا 4 الگوریتم بدون تغییر باقی می مانند و تنها تغییرات جزئی در نقطه اول ظاهر می شود.

در مرحله اول تقسیم اعداد طبیعی چند رقمی به یک ستون، باید نه به اولین رقم سمت چپ در نماد سود، بلکه به تعداد آنها برابر با تعداد ارقام موجود در نماد نگاه کنید. از مقسم. اگر عددی که با این اعداد تعریف می شود از مقسوم علیه بزرگتر باشد، در پاراگراف بعدی باید با این عدد کار کنیم. اگر این عدد از مقسوم‌کننده کمتر باشد، باید رقم بعدی سمت چپ را در نماد سود به حساب اضافه کنیم. پس از این، اقدامات مشخص شده در پاراگراف های 2، 3 و 4 الگوریتم تا حصول نتیجه نهایی انجام می شود.

تنها چیزی که باقی می ماند این است که هنگام حل مثال ها، کاربرد الگوریتم تقسیم ستون برای اعداد طبیعی چند ارزشی را در عمل مشاهده کنید.

مثال.

بیایید تقسیم ستونی اعداد طبیعی چند رقمی 5562 و 206 را انجام دهیم.

راه حل.

از آنجایی که تقسیم کننده 206 شامل 3 رقم است، ما به 3 رقم اول سمت چپ در سود 5562 نگاه می کنیم. این اعداد با عدد 556 مطابقت دارد. از آنجایی که 556 از مقسوم‌کننده 206 بزرگ‌تر است، عدد 556 را به‌عنوان عدد کاری در نظر می‌گیریم، آن را انتخاب می‌کنیم و به مرحله بعدی الگوریتم می‌رویم.

اکنون مقسوم علیه 206 را در اعداد 0، 1، 2، 3، ... ضرب می کنیم تا به عددی برسیم که یا برابر با 556 یا بزرگتر از 556 است. داریم (اگر ضرب مشکل است، پس بهتر است اعداد طبیعی را در یک ستون ضرب کنیم): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. از آنجایی که عددی بزرگتر از عدد 556 دریافت کردیم، پس در زیر عدد برجسته شده عدد 412 را می نویسیم (در مرحله ماقبل آخر به دست آمد) و به جای ضریب عدد 2 را می نویسیم (از آنجایی که در آن ضرب کردیم. در مرحله ماقبل آخر). ورودی تقسیم ستون به شکل زیر است:

تفریق ستون را انجام می دهیم. ما تفاوت 144 را دریافت می کنیم، این عدد کمتر از مقسوم علیه است، بنابراین می توانید با خیال راحت به انجام اقدامات مورد نیاز ادامه دهید.

در زیر خط افقی سمت راست عدد، عدد 2 را می نویسیم، زیرا در رکورد سود 5562 در این ستون است:

حالا با عدد 1442 کار می کنیم و آن را انتخاب می کنیم و دوباره مراحل دو تا چهار را طی می کنیم.

مقسوم علیه 206 را در 0، 1، 2، 3، ... ضرب کنید تا به عدد 1442 یا عددی بزرگتر از 1442 برسید. برویم: 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

تفریق را در یک ستون انجام می دهیم، صفر می گیریم، اما بلافاصله آن را یادداشت نمی کنیم، فقط موقعیت آن را به خاطر می آوریم، زیرا نمی دانیم که آیا تقسیم اینجا به پایان می رسد یا باید تکرار کنیم. دوباره مراحل الگوریتم:

اکنون می بینیم که نمی توانیم هیچ عددی را در زیر خط افقی سمت راست موقعیت به خاطر سپردن بنویسیم، زیرا هیچ رقمی در رکورد سود در این ستون وجود ندارد. بنابراین، این تقسیم بر ستون کامل می شود و ما ورودی را تکمیل می کنیم:

• ریاضیات. هر کتاب درسی برای پایه های اول، دوم، سوم، چهارم موسسات آموزش عمومی.
• ریاضیات. هر کتاب درسی برای کلاس پنجم موسسات آموزش عمومی.

چگونه اعداد اعشاری را بر اعداد طبیعی تقسیم کنیم؟ بیایید با استفاده از مثال به قانون و کاربرد آن نگاه کنیم.

برای تقسیم یک کسر اعشاری بر یک عدد طبیعی، باید:

1) کسری اعشاری را با نادیده گرفتن کاما بر عدد تقسیم کنید.

2) وقتی تقسیم کل قسمت کامل شد، یک کاما در ضریب قرار دهید.

نمونه ها

تقسیم اعشار:

برای تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد طبیعی، بدون توجه به کاما تقسیم کنید. 5 بر 6 بخش پذیر نیست، بنابراین در ضریب صفر قرار می دهیم. تقسیم کل قسمت کامل شد، کاما را در ضریب قرار می دهیم. صفر را پایین می آوریم. 50 را بر 6 تقسیم کنید. 8 را بگیرید. 6∙8=48. از 50 عدد 48 را کم می کنیم، باقیمانده 2 می شود. 4 را حذف می کنیم. 24 را بر 6 تقسیم می کنیم. عدد 4 را بدست می آوریم.

2) 19,26: 18

کسری اعشاری را با نادیده گرفتن کاما بر یک عدد طبیعی تقسیم کنید. 19 را بر 18 تقسیم کنید. هر کدام را 1 تقسیم کنید. 18 را از 19 کم می کنیم. باقیمانده 1 است. 2 را حذف می کنیم. 12 بر 18 بخش پذیر نیست و در ضریب صفر می نویسیم. 6 را پایین می آوریم. 126 را بر 18 تقسیم می کنیم، 7 می گیریم. تقسیم به پایان می رسد: 19.26: 18 = 1.07.

86 را بر 25 تقسیم کنید هر کدام 3∙3=75. از 86 75 را کم می کنیم. باقیمانده 11 است. تقسیم کل قسمت کامل می شود، در ضریب کاما می گذاریم. 5 را پایین می آوریم. هر کدام 4 عدد می گیریم 25∙4=100. از 115 100 کم می کنیم. باقیمانده 15 است. صفر را حذف می کنیم. 150 را بر 25 تقسیم می کنیم. 6 می گیریم. تقسیم به پایان می رسد: 86.5: 25 = 3.46.

4) 0,1547: 17

صفر بر 17 بخش پذیر نیست. تقسیم کل قسمت کامل شد، کاما را در ضریب قرار می دهیم. 1 را پایین می آوریم. 1 بر 17 بخش پذیر نیست، در ضریب صفر می نویسیم. 5 را پایین می آوریم. 15 بر 17 بخش پذیر نیست، در ضریب صفر می نویسیم. 4 را پایین می آوریم. 154 را بر 17 تقسیم می کنیم. هر کدام 17∙9=153 را می گیریم. از 154 153 را کم می کنیم. باقیمانده 1 است. 7 را برمی داریم. 17 را بر 17 تقسیم می کنیم. 1 می گیریم. تقسیم به پایان می رسد: 0.1547: 17 = 0.0091.

5) در هنگام تقسیم دو عدد طبیعی نیز می توان کسری اعشاری به دست آورد.

وقتی 17 را بر 4 تقسیم می کنیم، هر کدام 4 را می گیریم. 4∙4=16. از 17 16 را کم می کنیم. باقیمانده 1 است. صفر را حذف می کنیم. 10 را بر 4 تقسیم کنید. 2 را بگیرید. 4∙2=8. از 10 8 را کم می کنیم. باقیمانده 2 است. صفر را حذف می کنیم. 20 را بر 4 تقسیم کنید. هر کدام 5 را تقسیم کنید: 17: 4 = 4.25.

و چند مثال دیگر از تقسیم اعشار بر اعداد طبیعی:

با این برنامه ریاضی می توانید چند جمله ای ها را بر ستون تقسیم کنید.
برنامه تقسیم یک چند جمله ای بر یک چند جمله ای فقط جواب مسئله را نمی دهد، بلکه یک راه حل مفصل با توضیحات ارائه می دهد، یعنی. فرآیند حل را برای آزمایش دانش در ریاضیات و/یا جبر نمایش می دهد.

این برنامه می تواند برای دانش آموزان دبیرستانی در مدارس آموزش عمومی هنگام آماده شدن برای آزمون ها و امتحانات، هنگام تست دانش قبل از آزمون یکپارچه دولتی و برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر مفید باشد.

یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید تکالیف ریاضی یا جبر خود را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید.

به این ترتیب شما می توانید آموزش و یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید، در حالی که سطح تحصیلات در زمینه حل مشکلات افزایش می یابد. در صورت نیاز یاساده سازی چند جمله ای یاضرب چند جمله ای ها

چند جمله ای ها را تقسیم کنید
مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.

در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.
چون افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود. لطفا صبر کنید

ثانیه... اگر شمامتوجه خطا در راه حل شد
، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید. فراموش نکنیدمشخص کنید کدام کار شما تصمیم می گیرید چه چیزی.

در فیلدها وارد کنید

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

تقسیم یک چند جمله ای به یک چند جمله ای (دو جمله ای) توسط یک ستون (گوشه) در جبرتقسیم چند جمله ای ها با یک ستون (گوشه)

- الگوریتمی برای تقسیم یک چند جمله ای f(x) بر یک چند جمله ای (دو جمله ای) g(x) که درجه آن کمتر یا مساوی با درجه چند جمله ای f(x) است.

برای هر چند جمله‌ای \(f(x) \) و \(g(x) \)، \(g(x) \neq 0 \)، چند جمله‌ای منحصر به فرد \(q(x) \) و \(r( x) \)، به گونه ای که
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
و \(r(x)\) دارای درجه کمتر از \(g(x)\) است.

هدف الگوریتم برای تقسیم چندجمله‌ای به یک ستون (گوشه) یافتن ضریب \(q(x) \) و باقیمانده \(r(x) \) برای سود معین \(f(x) \) است. و مقسوم علیه غیر صفر \(g(x) \)

مثال

بیایید با استفاده از یک ستون (گوشه) یک چند جمله ای را به چند جمله ای دیگر (دو جمله ای) تقسیم کنیم:
\(\large \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

ضریب و باقیمانده این چند جمله ای ها را می توان با انجام مراحل زیر پیدا کرد:
1. اولین عنصر سود تقسیمی را بر بالاترین عنصر تقسیم کننده تقسیم کنید، نتیجه را زیر خط \((x^3/x = x^2)\) قرار دهید.

3. چند جمله ای به دست آمده پس از ضرب را از سود سهام کم کنید، نتیجه را زیر خط \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- بنویسید. 42) \)

4. 3 مرحله قبلی را با استفاده از چند جمله ای نوشته شده در زیر خط به عنوان سود، تکرار کنید.

5. مرحله 4 را تکرار کنید.

6. پایان الگوریتم.
بنابراین، چند جمله ای \(q(x)=x^2-9x-27\) ضریب تقسیم چندجمله ای ها است و \(r(x)=-123\) باقیمانده تقسیم چند جمله ای ها است.

حاصل تقسیم چند جمله ای ها را می توان به صورت دو برابری نوشت:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
یا
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

ساده ترین راه برای تقسیم اعداد چند رقمی با ستون است. تقسیم ستون نیز نامیده می شود تقسیم گوشه.

قبل از شروع تقسیم بر ستون، شکل ثبت تقسیم بر ستون را با جزئیات بررسی خواهیم کرد. ابتدا سود سهام را یادداشت کنید و یک خط عمودی در سمت راست آن قرار دهید:

پشت خط عمودی، مقابل تقسیم‌کننده، تقسیم‌کننده را بنویسید و یک خط افقی زیر آن بکشید:

در زیر خط افقی، ضریب به دست آمده گام به گام نوشته می شود:

محاسبات میانی زیر سود تقسیمی نوشته می شود:

شکل کامل نوشتن تقسیم بر ستون به شرح زیر است:

نحوه تقسیم بر ستون

فرض کنید باید 780 را بر 12 تقسیم کنیم، عمل را در یک ستون بنویسیم و به تقسیم ادامه دهیم:

تقسیم ستون به صورت مرحله ای انجام می شود. اولین کاری که باید انجام دهیم این است که سود سهام ناقص را تعیین کنیم. ما به اولین رقم سود سهام نگاه می کنیم:

این عدد 7 است، چون از مقسوم‌گیرنده کمتر است، نمی‌توانیم تقسیم را از آن شروع کنیم، یعنی باید یک رقم دیگر از تقسیم‌کننده بگیریم، عدد 78 بزرگ‌تر از مقسوم‌کننده است، بنابراین تقسیم را از آن شروع می‌کنیم:

در مورد ما عدد 78 خواهد بود ناقص قابل تقسیم، ناقص نامیده می شود زیرا فقط بخشی از بخش پذیر است.

با تعیین سود ناقص ، می توانیم بفهمیم که چند رقم در ضریب خواهد بود ، برای این کار باید محاسبه کنیم که پس از سود ناقص چند رقم در سود باقی مانده است ، در مورد ما فقط یک رقم وجود دارد - 0 ، این به این معنی که ضریب از 2 رقم تشکیل شده است.

با فهمیدن تعداد ارقامی که باید در ضریب باشد، می توانید نقاط را در جای خود قرار دهید. اگر هنگام تکمیل تقسیم، تعداد ارقام بیشتر یا کمتر از نقاط نشان داده شده باشد، در جایی خطایی رخ داده است:

بیایید تقسیم را شروع کنیم. باید تعیین کنیم که عدد 78 چند برابر 12 است. برای این کار، مقسوم علیه را به ترتیب در اعداد طبیعی 1، 2، 3، ... ضرب می کنیم تا جایی که عددی را تا حد امکان به سود ناقص نزدیک کنیم. یا برابر با آن، اما از آن تجاوز نکند. بنابراین، عدد 6 را می گیریم، آن را زیر مقسوم علیه می نویسیم و از 78 (طبق قوانین تفریق ستون) 72 را کم می کنیم (12 6 = 72). بعد از کم کردن 72 از 78، باقیمانده 6 می شود:

لطفاً توجه داشته باشید که باقیمانده تقسیم به ما نشان می دهد که آیا عدد را به درستی انتخاب کرده ایم یا خیر. اگر باقیمانده برابر یا بزرگتر از مقسوم علیه باشد، عدد را اشتباه انتخاب کرده ایم و باید عدد بزرگتری بگیریم.

به باقی مانده به دست آمده - 6، رقم بعدی سود سهام - 0 را اضافه کنید. در نتیجه، یک سود سهام ناقص دریافت می کنیم - 60. تعیین کنید که چند برابر 12 در عدد 60 وجود دارد. عدد 5 را به دست می آوریم، آن را در آن بنویسید. ضریب بعد از عدد 6 و 60 را از 60 کم کنید (12 5 = 60). باقیمانده صفر است:

از آنجایی که هیچ رقم دیگری در سود سهام باقی نمانده است، به این معنی است که 780 به طور کامل بر 12 تقسیم می شود. در نتیجه انجام تقسیم طولانی، ضریب را پیدا کردیم - در زیر مقسوم علیه نوشته شده است:

بیایید مثالی را در نظر بگیریم که ضریب صفر است. فرض کنید باید 9027 را بر 9 تقسیم کنیم.

ما سود ناقص را تعیین می کنیم - این عدد 9 است. ما 1 را به ضریب می نویسیم و 9 را از 9 کم می کنیم. باقیمانده صفر است. معمولاً اگر در محاسبات میانی باقیمانده صفر باشد، یادداشت نمی شود:

ما رقم بعدی سود را حذف می کنیم - 0. به یاد می آوریم که هنگام تقسیم صفر بر هر عددی، صفر خواهد بود. صفر را در ضریب (0: 9 = 0) می نویسیم و در محاسبات میانی 0 را از 0 کم می کنیم.

ما رقم بعدی سود سهام را پایین می آوریم - 2. در محاسبات میانی مشخص شد که سود ناقص (2) کمتر از تقسیم کننده (9) است. در این صورت، به ضریب صفر بنویسید و رقم بعدی سود را حذف کنید:

ما تعیین می کنیم که عدد 27 چند برابر 9 باشد. عدد 3 را می گیریم، آن را به صورت ضریب می نویسیم و 27 را از 27 کم می کنیم. باقیمانده صفر است:

از آنجایی که دیگر رقمی در سود سهام باقی نمانده است، به این معنی است که عدد 9027 به طور کامل بر 9 تقسیم می شود:

بیایید مثالی را در نظر بگیریم که سود سهام به صفر ختم شود. فرض کنید باید 3000 را بر 6 تقسیم کنیم.

ما سود ناقص را تعیین می کنیم - این عدد 30 است. 5 را به ضریب می نویسیم و 30 را از 30 کم می کنیم. باقیمانده صفر است. همانطور که قبلاً ذکر شد، در محاسبات میانی نیازی به نوشتن صفر در باقی مانده نیست:

رقم بعدی سود را حذف می کنیم - 0. از آنجایی که تقسیم صفر بر هر عددی به صفر می رسد، در ضریب صفر می نویسیم و در محاسبات میانی 0 را از 0 کم می کنیم:

ما رقم بعدی سود را پایین می آوریم - 0. یک صفر دیگر را در ضریب می نویسیم و 0 را از 0 در محاسبات میانی کم می کنیم. باقی مانده - 0. صفر در باقی مانده در در انتهای محاسبه معمولاً برای نشان دادن کامل بودن تقسیم نوشته می شود:

از آنجایی که هیچ رقم دیگری در سود سهام باقی نمانده است، به این معنی است که 3000 بر 6 به طور کامل تقسیم می شود:

تقسیم ستون با باقی مانده

فرض کنید باید 1340 را بر 23 تقسیم کنیم.

ما سود ناقص را تعیین می کنیم - این عدد 134 است. 5 را به ضریب می نویسیم و 115 را از 134 کم می کنیم. باقیمانده 19 است:

رقم بعدی سود را حذف می کنیم - 0. تعیین می کنیم که تعداد 23 چند بار در عدد 190 وجود دارد. عدد 8 را می گیریم، آن را در ضریب می نویسیم و 184 را از 190 کم می کنیم. مابقی 6 را بدست می آوریم:

از آنجایی که هیچ رقم دیگری در سود سهام باقی نمانده است، تقسیم به پایان رسیده است. حاصل ضریب ناقص 58 و باقیمانده 6 است:

1340: 23 = 58 (باقی مانده 6)

باید مثالی از تقسیم با باقیمانده را در نظر بگیریم، زمانی که سود سهام کمتر از تقسیم کننده باشد. اجازه دهید باید 3 را بر 10 تقسیم کنیم. می بینیم که 10 هرگز در عدد 3 قرار نمی گیرد، بنابراین 0 را به عنوان ضریب می نویسیم و 0 را از 3 کم می کنیم (10 · 0 = 0). یک خط افقی بکشید و بقیه را یادداشت کنید - 3:

3: 10 = 0 (باقی مانده 3)

ماشین حساب تقسیم طولانی

این ماشین حساب به شما کمک می کند تا تقسیم طولانی را انجام دهید. به سادگی تقسیم سود و تقسیم کننده را وارد کرده و روی دکمه محاسبه کلیک کنید.

بخشاعداد چند رقمی یا چند رقمی برای تولید به صورت نوشتاری راحت هستند در یک ستون. بیایید بفهمیم که چگونه این کار را انجام دهیم. بیایید با تقسیم یک عدد چند رقمی بر یک عدد تک رقمی شروع کنیم و به تدریج رقم سود را افزایش دهیم.

پس بیایید تقسیم کنیم 354 در 2 . ابتدا این اعداد را مطابق شکل قرار می دهیم:

تقسیم سود را در سمت چپ، مقسوم علیه را در سمت راست قرار می دهیم و ضریب در زیر تقسیم کننده نوشته می شود.

اکنون شروع به تقسیم سود بر تقسیم کننده به صورت بیتی از چپ به راست می کنیم. پیدا می کنیم اولین سود سهام ناقصبرای انجام این کار، اولین رقم سمت چپ، در مورد ما 3 را بردارید و آن را با مقسوم علیه مقایسه کنید.

3 بیشتر 2 ، یعنی 3 و سود سهام ناقص وجود دارد. ما یک نقطه در ضریب قرار می دهیم و تعیین می کنیم که چند رقم دیگر در ضریب باشد - همان عددی که پس از انتخاب سود ناقص در سود باقی مانده است. در مورد ما، ضریب دارای همان تعداد ارقام سود سهام است، یعنی مهم ترین رقم صدها خواهد بود:

به منظور 3 تقسیم بر 2 جدول ضرب را در 2 به خاطر بسپارید و عدد را پیدا کنید، وقتی در 2 ضرب شد بزرگترین حاصل را بدست می آوریم که کمتر از 3 است.

2 × 1 = 2 (2< 3)

2 × 2 = 4 (4 > 3)

2 کمتر 3 ، A 4 بیشتر، یعنی مثال اول و ضریب را می گیریم 1 .

بیایید آن را بنویسیم 1 به ضریب به جای نقطه اول (در مکان صدها) و محصول یافت شده را زیر سود تقسیمی بنویسید:

اکنون تفاوت بین سود تقسیمی ناقص اول و حاصلضرب ضریب یافت شده و مقسوم علیه را پیدا می کنیم:

مقدار حاصل با مقسوم علیه مقایسه می شود. 15 بیشتر 2 یعنی سود ناقص دوم را پیدا کرده ایم. برای یافتن نتیجه تقسیم 15 در 2 دوباره جدول ضرب را به خاطر بسپارید 2 و بهترین محصول را پیدا کنید که کمتر است 15 :

2 × 7 = 14 (14< 15)

2 × 8 = 16 (16 > 15)

ضریب مورد نیاز 7 ، آن را به صورت ضریب به جای نقطه دوم (به ده) می نویسیم. ما تفاوت بین سود ناقص دوم و حاصلضرب نصاب و مقسوم علیه پیدا شده را پیدا می کنیم:

ما تقسیم را ادامه می دهیم، چرا پیدا می کنیم سومین سود سهام ناقص. رقم بعدی سود سهام را کاهش می دهیم:

سود ناقص را بر 2 تقسیم می کنیم و مقدار حاصل را در دسته واحدهای ضریب قرار می دهیم. بیایید صحت تقسیم را بررسی کنیم:

2 × 7 = 14

نتیجه تقسیم سومین سود ناقص توسط مقسوم علیه را به ضریب می نویسیم و تفاوت را پیدا می کنیم:

ما تفاوت را برابر با صفر گرفتیم، یعنی تقسیم انجام شده است درسته.

بیایید مشکل را پیچیده کنیم و مثال دیگری بزنیم:

1020 ÷ 5

بیایید مثال خود را در یک ستون بنویسیم و اولین ضریب ناقص را تعریف کنیم:

محل هزاران سود سهام است 1 ، با مقسوم علیه مقایسه کنید:

1 < 5

صدها مکان را به سود سهام ناقص اضافه می کنیم و مقایسه می کنیم:

10 > 5 - ما سود سهام ناقص پیدا کرده ایم.

تقسیم می کنیم 10 در 5 ، دریافت می کنیم 2 ، نتیجه را در ضریب بنویسید. تفاوت بین سود ناقص و حاصل ضرب مقسوم علیه و ضریب پیدا شده.

10 – 10 = 0

0 ما نمی نویسیم، رقم بعدی سود تقسیمی را حذف می کنیم - رقم ده ها:

سود تقسیمی ناقص دوم را با مقسوم علیه مقایسه می کنیم.

2 < 5

ما باید یک رقم دیگر به سود سهام ناقص اضافه کنیم که در ضریب رقم ده ها قرار می دهیم 0 :

20 ÷ 5 = 4

پاسخ را در دسته واحدهای ضریب می نویسیم و بررسی می کنیم: حاصلضرب را زیر سود تقسیمی ناقص دوم می نویسیم و تفاوت را محاسبه می کنیم. می گیریم 0 ، یعنی مثال درست حل شد.

و 2 قانون دیگر برای تقسیم به یک ستون:

1. اگر سود تقسیمی و مقسوم علیه در ارقام پایین صفر باشد، قبل از تقسیم می توان آنها را کاهش داد، به عنوان مثال:

به تعداد صفرهای رقم مرتبه پایین تقسیم کننده که حذف می کنیم، همان تعداد صفر را در ارقام مرتبه پایین تقسیم کننده حذف می کنیم.

2. اگر بعد از تقسیم صفرها در سود سهام باقی مانده باشد، باید آنها را به ضریب انتقال داد:

بنابراین، بیایید دنباله اقدامات را هنگام تقسیم به یک ستون فرمول بندی کنیم.

1. تقسیم سود را در سمت چپ و تقسیم کننده را در سمت راست قرار دهید. به یاد داریم که سود سهام را با جدا کردن سودهای ناقص ذره به بیت و تقسیم آنها به ترتیب بر تقسیم کننده تقسیم می کنیم. ارقام سود ناقص از چپ به راست از زیاد به پایین تخصیص می یابد.
2. اگر سود تقسیمی و مقسوم علیه در ارقام پایینی صفر باشد، می توان آنها را قبل از تقسیم کاهش داد.
3. اولین مقسوم علیه ناقص را تعیین می کنیم:

الف)بالاترین رقم سود را در مقسوم علیه ناقص انتخاب کنید.

ب)تقسیم سود ناقص را با مقسوم علیه مقایسه کنید (V)، اگر کمتر باشد، پس سود سهام ناقص پیدا کرده ایم و می توانیم به نقطه حرکت کنیم 4 ;

V)رقم بعدی را به سود ناقص اضافه کنید و به نقطه بروید (ب).

1. ما تعیین می کنیم که در ضریب چند رقم وجود داشته باشد و به همان تعداد نقطه به جای ضریب (زیر مقسوم علیه) قرار می دهیم که رقم در آن وجود دارد. یک امتیاز (یک رقم) برای کل سود سهام ناقص اول و امتیازهای باقیمانده (ارقام) همان تعداد ارقام باقی مانده در سود پس از انتخاب سود ناقص است.
2. برای انجام این کار، سود ناقص را بر تقسیم‌کننده تقسیم می‌کنیم، عددی را می‌یابیم که وقتی در تقسیم‌کننده ضرب شود، عددی برابر یا کمتر از تقسیم‌کننده ناقص حاصل می‌شود.
3. عدد پیدا شده را به جای رقم بعدی (نقطه) می نویسیم و حاصل ضرب آن در مقسوم علیه را زیر سود ناقص می نویسیم و تفاوت آنها را پیدا می کنیم.
4. اگر مابه التفاوت یافت شده کمتر یا مساوی سود تقسیمی ناقص باشد، به درستی تقسیم سود ناقص را بر تقسیم کننده تقسیم کرده ایم.
5. اگر هنوز ارقامی در سود سهام باقی مانده است، تقسیم را ادامه می دهیم، در غیر این صورت به نقطه می رویم 10 .
6. رقم بعدی سود را به تفاضل کاهش می دهیم و سود ناقص بعدی را می گیریم:

الف) تقسیم سود ناقص را با تقسیم کننده مقایسه کنید، اگر تقسیم کننده بزرگتر است، به نقطه (ب) بروید، اگر کمتر باشد، پس سود ناقص را پیدا کرده ایم و می توانیم به نقطه 4 برویم.

ب) رقم بعدی سود تقسیمی را به سود ناقص اضافه کنید و به جای رقم بعدی (نقطه) در ضریب 0 بنویسید.

ج) به نقطه (الف) بروید.

10. اگر تقسیم را بدون باقیمانده انجام دهیم و آخرین اختلاف یافت شده برابر باشد 0 سپس ما تقسیم را به درستی انجام داد.

در مورد تقسیم یک عدد چند رقمی بر یک عدد تک رقمی صحبت کردیم. در مواردی که تقسیم کننده بزرگتر است، تقسیم به همین ترتیب انجام می شود: