Expansión de una función de potencia en una serie de Taylor. Expansión de Taylor

Si la función f(x) tiene en algún intervalo que contiene un punto a, derivadas de todos los órdenes, entonces se le puede aplicar la fórmula de Taylor:

donde rn- el llamado término residual o el resto de la serie, se puede estimar utilizando la fórmula de Lagrange:

, donde el número x está encerrado entre X y a.

Si por algún valor xrn®0 en norte®¥, entonces en el límite la fórmula de Taylor para este valor se convierte en una fórmula convergente Serie Taylor:

Entonces la función f(x) se puede expandir a una serie de Taylor en el punto considerado X, si:

1) tiene derivados de todos los órdenes;

2) la serie construida converge en este punto.

A a=0 obtenemos una serie llamada cerca de Maclaurin:

Ejemplo 1 f(x)= 2X.

Decisión. Encontremos los valores de la función y sus derivadas en X=0

f(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2X en 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 logaritmo 2 2= logaritmo 2 2;

f(n)(x) = 2X en norte 2, f(n)( 0) = 2 0 en norte 2=ln norte 2.

Sustituyendo los valores obtenidos de las derivadas en la fórmula de la serie de Taylor, obtenemos:

El radio de convergencia de esta serie es igual a infinito, por lo que esta expansión es válida para -¥<X<+¥.

Ejemplo 2 X+4) para la función f(x)= mi X.

Decisión. Encontrar las derivadas de la función e X y sus valores en el punto X=-4.

f(x)= mi X, F(-4) = mi -4 ;

f¢(x)= mi X, f¢(-4) = mi -4 ;

f¢¢(x)= mi X, f¢¢(-4) = mi -4 ;

f(n)(x)= mi X, f(n)( -4) = mi -4 .

Por lo tanto, la serie de Taylor deseada de la función tiene la forma:

Esta descomposición también es válida para -¥<X<+¥.

Ejemplo 3 . Expandir función f(x)=ln X en una serie por grados ( X- 1),

(es decir, en una serie de Taylor en la vecindad del punto X=1).

Decisión. Encontramos las derivadas de esta función.

Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos la serie de Taylor deseada:

Con la ayuda de la prueba de d'Alembert, se puede verificar que la serie converge cuando

½ X- 1½<1. Действительно,

La serie converge si ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 obtenemos una serie alterna que satisface las condiciones del test de Leibniz. A X=0 la función no está definida. Así, la región de convergencia de la serie de Taylor es el intervalo semiabierto (0;2).

Presentemos las expansiones así obtenidas en la serie de Maclaurin (es decir, en una vecindad del punto X=0) para algunas funciones elementales:

(2) ,

(3) ,

( la última expansión se llama serie binomial)

Ejemplo 4 . Expandir la función en una serie de potencias

Decisión. En la descomposición (1), reemplazamos X en - X 2, obtenemos:

Ejemplo 5 . Expande la función en una serie de Maclaurin

Decisión. Tenemos

Usando la fórmula (4), podemos escribir:

sustituyendo en lugar de X en la fórmula -X, obtenemos:

De aquí encontramos:

Expandiendo los paréntesis, reordenando los términos de la serie y haciendo una reducción de términos similares, obtenemos

Esta serie converge en el intervalo

(-1;1) ya que se deriva de dos series, cada una de las cuales converge en este intervalo.

Comentario .

Las fórmulas (1)-(5) también se pueden usar para expandir las funciones correspondientes en una serie de Taylor, es decir, para la expansión de funciones en potencias enteras positivas ( Decir ah). Para hacer esto, es necesario realizar tales transformaciones idénticas en una función dada para obtener una de las funciones (1) - (5), en la que en lugar de X cuesta k( Decir ah) m , donde k es un número constante, m es un número entero positivo. A menudo es conveniente cambiar la variable t=Decir ah y expanda la función resultante con respecto a t en la serie de Maclaurin.

Este método ilustra el teorema sobre la unicidad de la expansión de una función en una serie de potencias. La esencia de este teorema es que en la vecindad de un mismo punto no se pueden obtener dos series de potencias diferentes que converjan a la misma función, sin importar cómo se realice su expansión.

Ejemplo 6 . Expandir la función en una serie de Taylor en una vecindad de un punto X=3.

Decisión. Este problema se puede resolver, como antes, usando la definición de la serie de Taylor, para lo cual es necesario encontrar las derivadas de las funciones y sus valores en X=3. Sin embargo, será más fácil usar la descomposición existente (5):

La serie resultante converge en o -3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Ejemplo 7 . Escribe una serie de Taylor en potencias ( X-1) caracteristicas .

Decisión.

La serie converge en , o 2< X£ 5.

En la teoría de series funcionales, la sección dedicada a la expansión de una función en una serie ocupa un lugar central.

Así, se plantea el problema: para una función dada se requiere encontrar tal serie de potencias

que convergía en algún intervalo y su suma era igual a
, aquellos.

= ..

Esta tarea se llama el problema de expandir una función en una serie de potencias.

Una condición necesaria para la expansión de una función en una serie de potencias es su diferenciabilidad un número infinito de veces - esto se deduce de las propiedades de las series de potencias convergentes. Esta condición se cumple, por regla general, para funciones elementales en su dominio de definición.

Así que supongamos que la función
tiene derivadas de cualquier orden. ¿Se puede expandir a una serie de potencias? De ser así, ¿cómo encontrar esta serie? La segunda parte del problema es más fácil de resolver, así que comencemos con ella.

Supongamos que la función
se puede representar como la suma de una serie de potencias que convergen en un intervalo que contiene un punto X 0 :

= .. (*)

donde a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a PAG ,... – coeficientes inciertos (todavía).

Pongamos en igualdad (*) el valor x = x 0 , entonces obtenemos

.

Diferenciamos la serie de potencias (*) término a término

= ..

y poner aquí x = x 0 , obtenemos

.

Con la siguiente diferenciación, obtenemos la serie

= ..

asumiendo x = x 0 , obtenemos
, donde
.

Después PAG diferenciación de dobleces obtenemos

Suponiendo en la última igualdad x = x 0 , obtenemos
, donde

Entonces los coeficientes se encuentran

,
,
, …,
,….,

sustituyendo cuál en una fila (*), obtenemos

La serie resultante se llama cerca de taylor para la función
.

Así, hemos establecido que si la función se puede expandir a una serie de potencias en potencias (x - x 0 ), entonces esta expansión es única y la serie resultante es necesariamente una serie de Taylor.

Tenga en cuenta que la serie de Taylor se puede obtener para cualquier función que tenga derivadas de cualquier orden en el punto x = x 0 . Pero esto todavía no significa que se pueda poner un signo igual entre la función y la serie resultante, es decir que la suma de la serie es igual a la función original. En primer lugar, tal igualdad solo puede tener sentido en la región de convergencia, y la serie de Taylor obtenida para la función puede divergir, y en segundo lugar, si la serie de Taylor converge, entonces su suma puede no coincidir con la función original.

3.2. Condiciones suficientes para la expansión de una función en una serie de Taylor

Formulemos una declaración con la ayuda de la cual se resolverá el problema planteado.

Si la función
en alguna vecindad del punto x 0 tiene derivadas hasta (norte+ 1)-ésimo orden inclusive, entonces en este vecindario tenemosfórmula taylor

dondeR norte (X)-término residual de la fórmula de Taylor - tiene la forma (forma de Lagrange)

donde puntoξ se encuentra entre x y x 0 .

Tenga en cuenta que existe una diferencia entre la serie de Taylor y la fórmula de Taylor: la fórmula de Taylor es una suma finita, es decir PAG - numero reparado.

Recuerda que la suma de la serie S(X) se puede definir como el límite de la secuencia funcional de sumas parciales S PAG (X) en algún intervalo X:

.

De acuerdo con esto, expandir una función a una serie de Taylor significa encontrar una serie tal que para cualquier XX

Escribimos la fórmula de Taylor en la forma donde

Darse cuenta de
define el error que obtenemos, reemplaza la función F(X) polinomio S norte (X).

Si
, después
,aquellos. la función se expande en una serie de Taylor. Por el contrario, si
, después
.

Así, hemos demostrado criterio para la expansión de una función en una serie de Taylor.

Para que en algún intervalo la funciónF(x) se expande en una serie de Taylor, es necesario y suficiente que en este intervalo
, dondeR norte (X) es el resto de la serie de Taylor.

Con la ayuda del criterio formulado, se puede obtener suficientecondiciones para la expansión de una función en una serie de Taylor.

si enalguna vecindad del punto x 0 los valores absolutos de todas las derivadas de una función están limitados por el mismo número M≥ 0, es decir

, to en este vecindario, la función se expande en una serie de Taylor.

De lo anterior se sigue algoritmoexpansión de funciones F(X) en una serie de Taylor en las inmediaciones del punto X 0 :

1. Encontrar funciones derivadas F(X):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (norte) (X),…

2. Calculamos el valor de la función y los valores de sus derivadas en el punto X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (norte) (X 0 ),…

3. Escribimos formalmente la serie de Taylor y encontramos la región de convergencia de la serie de potencias resultante.

4. Verificamos el cumplimiento de condiciones suficientes, es decir. establecer para que X de la región de convergencia, término restante R norte (X) tiende a cero en
o
.

La expansión de funciones en una serie de Taylor según este algoritmo se llama desarrollo de una función en una serie de Taylor por definición o descomposición directa.

16.1. Expansión de funciones elementales en series de Taylor y

Maclaurin

Demostremos que si se define una función arbitraria en el conjunto
, en las proximidades del punto
tiene muchas derivadas y es la suma de una serie de potencias:

entonces puedes encontrar los coeficientes de esta serie.

Sustituir en una serie de potencias
. Después
.

Encuentre la primera derivada de la función
:

A
:
.

Para la segunda derivada obtenemos:

A
:
.

Continuando con este procedimiento norte una vez que obtengamos:
.

Por lo tanto, tenemos una serie de potencias de la forma:

,

Lo que es llamado cerca de taylor para la función
alrededor del punto
.

Un caso especial de la serie de Taylor es Serie Maclaurin a
:

El resto de la serie de Taylor (Maclaurin) se obtiene descartando la serie principal norte los primeros términos y se denota como
. Entonces la función
se puede escribir como una suma norte los primeros integrantes de la serie
y el resto
:,

.

El resto suele ser
expresado en diferentes fórmulas.

Uno de ellos está en la forma de Lagrange:

, donde
.
.

Tenga en cuenta que, en la práctica, la serie de Maclaurin se usa con más frecuencia. Así, para escribir la función
en forma de suma de una serie de potencias, es necesario:

1) encontrar los coeficientes de la serie de Maclaurin (Taylor);

2) encontrar la región de convergencia de la serie de potencias resultante;

3) demostrar que la serie dada converge a la función
.

Teorema1 (una condición necesaria y suficiente para la convergencia de la serie de Maclaurin). Sea el radio de convergencia de la serie
. Para que esta serie converja en el intervalo
funcionar
, es necesario y suficiente que se cumpla la siguiente condición:
dentro del intervalo especificado.

Teorema 2. Si las derivadas de cualquier orden de una función
en algún intervalo
limitado en valor absoluto al mismo número METRO, es decir
, entonces en este intervalo la función
se puede ampliar en una serie de Maclaurin.

Ejemplo1 . Expandir en una serie de Taylor alrededor del punto
función.

Decisión.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

área de convergencia
.

Ejemplo2 . Expandir función en una serie de Taylor alrededor de un punto
.

Decisión:

Encontramos el valor de la función y sus derivadas en
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Sustituye estos valores en una fila. Obtenemos:

o
.

Encontremos la región de convergencia de esta serie. De acuerdo con la prueba de d'Alembert, la serie converge si

.

Por lo tanto, para cualquier este límite es menor que 1, y por tanto el área de convergencia de la serie será:
.

Consideremos varios ejemplos de la expansión en la serie de Maclaurin de funciones elementales básicas. Recordemos que la serie de Maclaurin:

.

converge en el intervalo
funcionar
.

Tenga en cuenta que para expandir la función en una serie, es necesario:

a) encontrar los coeficientes de la serie de Maclaurin para una función dada;

b) calcular el radio de convergencia de la serie resultante;

c) probar que la serie resultante converge a la función
.

Ejemplo 3 Considere la función
.

Decisión.

Calculemos el valor de la función y sus derivadas para
.

Entonces los coeficientes numéricos de la serie tienen la forma:

para cualquiera norte. Sustituimos los coeficientes encontrados en la serie de Maclaurin y obtenemos:

Encuentre el radio de convergencia de la serie resultante, a saber:

.

Por lo tanto, la serie converge en el intervalo
.

Esta serie converge a la función para cualquier valor , porque en cualquier intervalo
función y sus derivados de valor absoluto están limitados por el número .

Ejemplo4 . Considere la función
.

Decisión.

:

Es fácil ver que las derivadas de orden par
, y derivadas de orden impar. Sustituimos los coeficientes encontrados en la serie de Maclaurin y obtenemos el desarrollo:

Encontremos el intervalo de convergencia de esta serie. Según d'Alembert:

para cualquiera . Por lo tanto, la serie converge en el intervalo
.

Esta serie converge a la función
, porque todas sus derivadas se limitan a uno.

Ejemplo5 .
.

Decisión.

Encontremos el valor de la función y sus derivadas en
:

Así, los coeficientes de esta serie:
y
, Como consecuencia:

De manera similar con la serie anterior, el área de convergencia
. La serie converge a la función
, porque todas sus derivadas se limitan a uno.

Nótese que la función
expansión impar y serie en potencias impares, función
– pares y expansión en serie en potencias pares.

Ejemplo6 . Serie binomial:
.

Decisión.

Encontremos el valor de la función y sus derivadas en
:

Esto muestra que:

Sustituimos estos valores de los coeficientes en la serie de Maclaurin y obtenemos el desarrollo de esta función en una serie de potencias:

Encontremos el radio de convergencia de esta serie:

Por lo tanto, la serie converge en el intervalo
. En los puntos límite de
y
la serie puede o no converger dependiendo del exponente
.

La serie estudiada converge en el intervalo
funcionar
, es decir, la suma de la serie
a
.

Ejemplo7 . Expandamos la función en una serie de Maclaurin
.

Decisión.

Para expandir esta función en una serie, usamos la serie binomial para
. Obtenemos:

Con base en la propiedad de la serie de potencias (una serie de potencias se puede integrar en la región de su convergencia), encontramos la integral de las partes izquierda y derecha de esta serie:

Encuentre el área de convergencia de esta serie:
,

es decir, la región de convergencia de esta serie es el intervalo
. Determinemos la convergencia de la serie en los extremos del intervalo. A

. Esta serie es una serie armónica, es decir, diverge. A
obtenemos una serie numérica con un término común
.

La serie de Leibniz converge. Por lo tanto, la región de convergencia de esta serie es el intervalo
.

16.2. Aplicación de series de potencias de potencias en cálculos aproximados

Las series de potencias juegan un papel extremadamente importante en los cálculos aproximados. Con su ayuda, se compilaron tablas de funciones trigonométricas, tablas de logaritmos, tablas de valores de otras funciones que se utilizan en diversos campos del conocimiento, por ejemplo, en teoría de probabilidades y estadística matemática. Además, la expansión de funciones en una serie de potencias es útil para su estudio teórico. El problema principal cuando se utilizan series de potencias en cálculos aproximados es la cuestión de estimar el error al reemplazar la suma de una serie por la suma de su primera norte miembros

Considere dos casos:

la función se expande en una serie alterna;

la función se expande en una serie de signo constante.

Cálculo usando series alternas

Deja que la función
expandido a una serie de potencia alterna. Luego, al calcular esta función para un valor específico obtenemos una serie de números a la que podemos aplicar la prueba de Leibniz. De acuerdo con este criterio, si la suma de una serie se sustituye por la suma de sus primeras norte miembros, entonces el error absoluto no excede el primer término del resto de esta serie, es decir:
.

Ejemplo8 . Calcular
con una precisión de 0.0001.

Decisión.

Utilizaremos la serie de Maclaurin para
, sustituyendo el valor del ángulo en radianes:

Si comparamos el primer y el segundo miembro de la serie con una precisión dada, entonces: .

Tercer término de expansión:

menor que la precisión de cálculo especificada. Por lo tanto, para calcular
basta con dejar dos términos de la serie, es decir

.

De este modo
.

Ejemplo9 . Calcular
con una precisión de 0.001.

Decisión.

Usaremos la fórmula de la serie binomial. Para esto escribimos
como:
.

En esta expresión
,

Comparemos cada uno de los términos de la serie con la precisión que se da. Está claro que
. Por lo tanto, para calcular
basta con dejar tres miembros de la serie.

o
.

Cálculo utilizando series de signo positivo

Ejemplo10 . Calcular número con una precisión de 0.001.

Decisión.

En una fila para una función
sustituto
. Obtenemos:

Estimemos el error que surge cuando se reemplaza la suma de la serie por la suma de la primera miembros Anotemos la desigualdad obvia:

es decir, 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

De acuerdo con la condición del problema, debe encontrar norte tal que se cumple la siguiente desigualdad:
o
.

Es fácil comprobar que cuando norte= 6:
.

Como consecuencia,
.

Ejemplo11 . Calcular
con una precisión de 0.0001.

Decisión.

Tenga en cuenta que para calcular los logaritmos, se podría aplicar la serie para la función
, ¡pero esta serie converge muy lentamente y se tendrían que tomar 9999 términos para lograr la precisión dada! Por lo tanto, para calcular logaritmos, por regla general, se utiliza una serie para la función
, que converge en el intervalo
.

Calcular
con esta fila. Dejar
, después .

Como consecuencia,
,

Para calcular
con una precisión dada, tome la suma de los primeros cuatro términos:
.

El resto de la fila
desechar. Estimemos el error. Es obvio que

o
.

Por lo tanto, en la serie que se utilizó para el cálculo, fue suficiente tomar solo los primeros cuatro términos en lugar de 9999 en la serie para la función
.

Preguntas para el autodiagnóstico

1. ¿Qué es una serie de Taylor?

2. ¿Qué tipo de series tenía Maclaurin?

3. Formular un teorema sobre el desarrollo de una función en serie de Taylor.

4. Escribir el desarrollo en serie de Maclaurin de las funciones principales.

5. Indicar las áreas de convergencia de la serie considerada.

6. ¿Cómo estimar el error en cálculos aproximados utilizando series de potencias?

Si la función f(x) tiene derivadas de todos los órdenes en algún intervalo que contiene el punto a, entonces se le puede aplicar la fórmula de Taylor:
,
donde rn- el llamado término residual o el resto de la serie, se puede estimar utilizando la fórmula de Lagrange:
, donde el número x se encuentra entre x y a.

f(x)=

En el punto x 0 =
Número de elementos de fila 3 4 5 6 7
Usa la expansión de funciones elementales e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Reglas de entrada de funciones:

Si por algún valor X rn→0 en norte→∞, entonces en el límite la fórmula de Taylor convierte este valor en el convergente Serie Taylor:
,
Por lo tanto, la función f(x) se puede expandir en una serie de Taylor en el punto considerado x si:
1) tiene derivados de todos los órdenes;
2) la serie construida converge en este punto.

Para a = 0 obtenemos una serie llamada cerca de Maclaurin:
,
Ampliación de las funciones más sencillas (elementales) de la serie de Maclaurin:
funciones exponenciales
, R=∞
Funciones trigonométricas
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
La función actgx no se expande en potencias de x, porque ctg0=∞
Funciones hiperbólicas


Funciones logarítmicas
, -1
serie binomial
.

Ejemplo 1. Expandir la función en una serie de potencias f(x)= 2X.
Decisión. Encontremos los valores de la función y sus derivadas en X=0
f(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2X ln2, F"( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f""(x) = 2X en 2 2, F""( 0) = 2 0 logaritmo 2 2= logaritmo 2 2;
…
f(n)(x) = 2X en norte 2, f(n)( 0) = 2 0 en norte 2=ln norte 2.
Sustituyendo los valores obtenidos de las derivadas en la fórmula de la serie de Taylor, obtenemos:

El radio de convergencia de esta serie es igual a infinito, por lo que esta expansión es válida para -∞<X<+∞.

Ejemplo #2. Escribe una serie de Taylor en potencias ( X+4) para la función f(x)= mi X.
Decisión. Encontrar las derivadas de la función e X y sus valores en el punto X=-4.
f(x)= mi X, F(-4) = mi -4 ;
f"(x)= mi X, F"(-4) = mi -4 ;
f""(x)= mi X, F""(-4) = mi -4 ;
…
f(n)(x)= mi X, f(n)( -4) = mi -4 .
Por lo tanto, la serie de Taylor deseada de la función tiene la forma:

Esta expansión también es válida para -∞<X<+∞.

Ejemplo #3. Expandir función f(x)=ln X en una serie por grados ( X- 1),
(es decir, en una serie de Taylor en la vecindad del punto X=1).
Decisión. Encontramos las derivadas de esta función.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) n-1 (n-1)!
Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos la serie de Taylor deseada:

Con la ayuda de la prueba de d'Alembert, se puede verificar que la serie converge en ½x-1½<1 . Действительно,

La serie converge si ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 obtenemos una serie alterna que satisface las condiciones del test de Leibniz. Para x=0 la función no está definida. Así, la región de convergencia de la serie de Taylor es el intervalo semiabierto (0;2).

Ejemplo #4. Expande la función en una serie de potencias.
Decisión. En la descomposición (1) reemplazamos x por -x 2, obtenemos:
, -∞

Ejemplo número 5. Expande la función en una serie de Maclaurin.
Decisión. Tenemos
Usando la fórmula (4), podemos escribir:

sustituyendo en lugar de x en la fórmula -x, obtenemos:

De aquí encontramos: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Expandiendo los paréntesis, reordenando los términos de la serie y haciendo una reducción de términos similares, obtenemos
. Esta serie converge en el intervalo (-1;1) ya que se obtiene a partir de dos series, cada una de las cuales converge en este intervalo.

Comentario .
Las fórmulas (1)-(5) también se pueden usar para expandir las funciones correspondientes en una serie de Taylor, es decir, para la expansión de funciones en potencias enteras positivas ( Decir ah). Para hacer esto, es necesario realizar tales transformaciones idénticas en una función dada para obtener una de las funciones (1) - (5), en la que en lugar de X cuesta k( Decir ah) m , donde k es un número constante, m es un número entero positivo. A menudo es conveniente cambiar la variable t=Decir ah y expanda la función resultante con respecto a t en la serie de Maclaurin.

Este método se basa en el teorema de la unicidad de la expansión de una función en una serie de potencias. La esencia de este teorema es que en la vecindad de un mismo punto no se pueden obtener dos series de potencias diferentes que converjan a la misma función, sin importar cómo se realice su expansión.

Ejemplo No. 5a. Expande la función en una serie de Maclaurin, indica el área de convergencia.
Decisión. Primero encontramos 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
a elemental:

La fracción 3/(1-3x) puede verse como la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente con un denominador de 3x si |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

con región de convergencia |x|< 1/3.

Ejemplo número 6. Expanda la función en una serie de Taylor en la vecindad del punto x = 3.
Decisión. Este problema se puede resolver, como antes, usando la definición de la serie de Taylor, para lo cual es necesario encontrar las derivadas de las funciones y sus valores en X=3. Sin embargo, será más fácil usar la descomposición existente (5):
=
La serie resultante converge en o -3

Ejemplo número 7. Escribe una serie de Taylor en potencias (x -1) de la función ln(x+2) .
Decisión.


La serie converge en , o -2< x < 5.

Ejemplo número 8. Expande la función f(x)=sin(πx/4) en una serie de Taylor alrededor del punto x =2.
Decisión. Hagamos el reemplazo t=x-2:

Usando la expansión (3), en la que sustituimos π / 4 t por x, obtenemos:

La serie resultante converge a la función dada en -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞De este modo,
, (-∞

Cálculos aproximados utilizando series de potencias

Las series de potencias son ampliamente utilizadas en cálculos aproximados. Con su ayuda, con una precisión dada, puede calcular los valores de raíces, funciones trigonométricas, logaritmos de números, integrales definidas. Las series también se utilizan en la integración de ecuaciones diferenciales.
Considere la expansión de la función en una serie de potencias:

Para calcular el valor aproximado de una función en un punto dado X, perteneciente a la región de convergencia de la serie indicada, la primera norte miembros ( norte es un número finito), y los términos restantes se descartan:

Para estimar el error del valor aproximado obtenido, es necesario estimar el residual descartado r n (x) . Para esto, se utilizan los siguientes métodos:

• si la serie resultante alterna caracteres, entonces se utiliza la siguiente propiedad: para una serie alterna que satisface las condiciones de Leibniz, el valor absoluto del resto de la serie no excede el primer término descartado.
• si la serie dada es de signo constante, entonces la serie compuesta por los términos descartados se compara con una progresión geométrica infinitamente decreciente.
• en el caso general, para estimar el resto de la serie de Taylor, puede utilizar la fórmula de Lagrange: a X ).

Ejemplo 1. Calcule ln(3) con una precisión de 0,01.
Decisión. Usemos la descomposición, donde x=1/2 (ver ejemplo 5 en el tema anterior):

Comprobemos si podemos descartar el resto después de los primeros tres términos de la expansión, para esto lo evaluamos usando la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente:

Entonces podemos descartar este resto y obtener

Ejemplo #2. Calcular al 0.0001 más cercano.
Decisión. Usemos la serie binomial. Dado que 5 3 es el cubo entero más cercano a 130, es recomendable representar el número 130 como 130=5 3 +5.



dado que el cuarto término de la serie alterna de signos obtenida que satisface la prueba de Leibniz ya es menor que la precisión requerida:
, por lo que tanto él como los términos que le siguen pueden descartarse.
Muchas integrales definidas o impropias prácticamente necesarias no se pueden calcular utilizando la fórmula de Newton-Leibniz, porque su aplicación está asociada con la búsqueda de una antiderivada, que a menudo no tiene expresión en funciones elementales. También sucede que encontrar una antiderivada es posible, pero innecesariamente laborioso. Sin embargo, si el integrando se expande en una serie de potencias y los límites de integración pertenecen al intervalo de convergencia de esta serie, entonces es posible un cálculo aproximado de la integral con una precisión predeterminada.

Ejemplo #3. Calcula la integral ∫ 0 1 4 sen (x) x dentro de 10 -5 .
Decisión. La integral indefinida correspondiente no se puede expresar en funciones elementales, es decir es una "integral imposible". La fórmula de Newton-Leibniz no se puede aplicar aquí. Calculemos la integral aproximadamente.
Dividiendo término a término la serie de pecado X en X, obtenemos:

Integrando esta serie término a término (esto es posible, ya que los límites de integración pertenecen al intervalo de convergencia de esta serie), obtenemos:

Ya que la serie resultante satisface las condiciones de Leibniz y basta con realizar la suma de los dos primeros términos para obtener el valor deseado con una precisión dada.
Así, encontramos
.

Ejemplo #4. Calcula la integral ∫ 0 1 4 e x 2 dentro de 0.001.
Decisión.
. Verifiquemos si podemos descartar el resto después del segundo término de la serie resultante.
0.0001<0.001. Следовательно, .