principio de d'Alembert

El trabajo principal de Zh.L. d'Alembert(1717-1783) - "Tratado de dinámica" - fue publicado en 1743

La primera parte del tratado está dedicada a la construcción de la estática analítica. Aquí d'Alembert formula los "principios básicos de la mecánica", entre los que se encuentran el "principio de inercia", el "principio de suma de movimientos" y el "principio de equilibrio".

El "principio de inercia" se formula por separado para el caso de reposo y para el caso de movimiento rectilíneo uniforme. "La fuerza de inercia, - escribe d'Alembert, yo, junto con Newton, llamo a la propiedad del cuerpo para mantener el estado en que se encuentra".

El "principio de sumar movimientos" es la ley de sumar velocidades y fuerzas según la regla del paralelogramo. Basándose en este principio, d'Alembert resuelve los problemas de estática.

El "principio de equilibrio" se formula como el siguiente teorema: "Si dos cuerpos que se mueven a velocidades inversamente proporcionales a sus masas tienen direcciones opuestas, de modo que un cuerpo no puede moverse sin cambiar de lugar a otro cuerpo, entonces estos cuerpos estarán en equilibrio ". En la segunda parte del Tratado, d'Alembert propuso un método general para compilar ecuaciones diferenciales de movimiento para cualquier sistema material, basado en reducir el problema de la dinámica a la estática. Formuló una regla para cualquier sistema de puntos materiales, más tarde llamada "principio de D'Alembert", según la cual las fuerzas aplicadas a los puntos del sistema pueden descomponerse en "actuantes", es decir, aquellas que provocan la aceleración de el sistema, y ​​"perdido", necesario para el equilibrio del sistema. d'Alembert cree que las fuerzas que corresponden a la aceleración "perdida" forman una combinación tal que no afecta el comportamiento real del sistema. En otras palabras, si solo se aplica al sistema un conjunto de fuerzas "perdidas", entonces el sistema permanecerá en reposo. La formulación moderna del principio de d'Alembert fue dada por M. E. Zhukovsky en su "Curso de Mecánica Teórica": "Si en algún momento el sistema se detiene, se está moviendo, y le agregamos, además de su conducción fuerzas, todas las fuerzas de inercia correspondientes a un punto dado en el tiempo, entonces se observará un equilibrio, mientras que todas las fuerzas de presión, tensión, etc. que se desarrollan entre las partes del sistema en tal equilibrio, serán fuerzas reales de presión, tensión, etc. cuando el sistema se mueve en el momento de tiempo considerado”. Cabe señalar que el propio d'Alembert, al presentar su principio, no recurrió ni al concepto de fuerza (considerando que no es lo suficientemente claro como para incluirlo en la lista de conceptos básicos de la mecánica), ni mucho menos al concepto de la fuerza de inercia. La presentación del principio de d'Alembert utilizando el término "fuerza" pertenece a Lagrange, quien en su "Mecánica analítica" dio su expresión analítica en la forma del principio de los desplazamientos posibles. Fue Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y especialmente Leonardo Euler (1707-1783) quien desempeñó un papel fundamental en la transformación final de la mecánica en mecánica analítica.

Mecánica analítica de un punto material y dinámica de cuerpo rígido de Euler

leonardo euler- uno de los científicos destacados que hizo una gran contribución al desarrollo de las ciencias físicas y matemáticas en el siglo XVIII. Su obra llama la atención por la intuición del pensamiento investigativo, la universalidad del talento y la enorme cantidad de patrimonio científico que ha dejado tras de sí.

Ya en los primeros años de su actividad científica en San Petersburgo (Euler llegó a Rusia en 1727), trazó un programa de un grandioso y completo ciclo de trabajo en el campo de la mecánica. Este apéndice se encuentra en su obra de dos volúmenes "La mecánica o la ciencia del movimiento, enunciada analíticamente" (1736). La Mecánica de Euler fue el primer curso sistemático de mecánica newtoniana. Contenía los fundamentos de la dinámica de un punto: por mecánica, Euler entendió la ciencia del movimiento, en contraste con la ciencia del equilibrio de fuerzas, o estática. La característica definitoria de la "Mecánica" de Euler fue el amplio uso de un nuevo aparato matemático: el cálculo diferencial e integral. Al caracterizar brevemente los principales trabajos sobre mecánica que aparecieron a fines de los siglos XVII y XVIII, Euler notó el estilo son-tethiko-geométrico de su trabajo, que generó mucho trabajo para los lectores. De esta manera se escribieron los Elementos de Newton y la posterior Foronomia (1716) de J. Herman. Euler señala que las obras de Hermann y Newton se expresan "según la costumbre de los antiguos con la ayuda de pruebas geométricas sintéticas" sin el uso del análisis, "solo a través de las cuales se puede lograr una comprensión completa de estas cosas".

El método sintético-geométrico no tenía un carácter generalizador, sino que requería, por regla general, construcciones individuales respecto de cada tarea por separado. Euler admite que después de estudiar "Phoronomia" y "Principios", según le pareció, "comprendió las soluciones de muchos problemas con bastante claridad, pero ya no pudo resolver problemas que se desviaban de ellos hasta cierto punto". Luego trató de "aislar el análisis de este método sintético y hacer analíticamente las mismas propuestas para su propio beneficio". Euler señala que gracias a esto entendió mucho mejor la esencia del asunto. Desarrolló métodos fundamentalmente nuevos para estudiar los problemas de la mecánica, creó su aparato matemático y lo aplicó brillantemente a muchos problemas complejos. Gracias a Euler, la geometría diferencial, las ecuaciones diferenciales y el cálculo de variaciones se convirtieron en las herramientas de la mecánica. El método de Euler, desarrollado más tarde por sus sucesores, era inequívoco y adecuado al tema.

El trabajo de Euler sobre la dinámica de un cuerpo rígido "Teoría del movimiento de cuerpos rígidos" tiene una gran introducción de seis secciones, donde se vuelve a esbozar la dinámica de un punto. Se han realizado una serie de cambios a la introducción: en particular, las ecuaciones de movimiento de un punto se escriben utilizando la proyección sobre el eje de coordenadas rectangulares fijas (y no sobre la tangente, normal principal y normal, es decir, el eje de un triedro natural inamovible asociado con puntos de trayectoria, como en "Mecánica").

Después de la introducción, el "Tratado sobre el movimiento de los cuerpos rígidos" consta de 19 secciones. El tratado se basa en el principio de d'Alembert. Se detiene brevemente en el movimiento de traslación de un cuerpo rígido e introduce el concepto de centro de inercia. , Euler considera rotaciones alrededor de un eje fijo y alrededor de un punto fijo. Aquí están las fórmulas para las proyecciones de la velocidad angular instantánea, la aceleración angular en el eje coordenado, los llamados ángulos de Euler, etc. A continuación, las propiedades del momento de se describe la inercia, después de lo cual Euler procede a la dinámica de un cuerpo rígido propiamente dicho. Obtiene ecuaciones diferenciales para la rotación de un cuerpo pesado alrededor de su centro de gravedad inamovible en ausencia de fuerzas externas y las resuelve para un caso particular simple. Así surgió el conocido e igualmente importante problema en la teoría del giroscopio sobre la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo. Euler también trabajó en la teoría de la construcción naval, a los ojos de la hidromecánica y aeromecánica, balística, la teoría de la estabilidad y la teoría de las pequeñas vibraciones, la mecánica celeste y etc.

Ocho años después de la publicación de Mecánica, Euler enriqueció la ciencia con la primera formulación precisa del principio de mínima acción. La formulación del principio de mínima acción, que pertenecía a Maupertuis, era todavía muy imperfecta. La primera formulación científica del principio pertenece a Euler. Formuló su principio de la siguiente manera: la integral tiene el valor más pequeño para una trayectoria real, si consideramos

el último del grupo de posibles trayectorias que tienen una posición inicial y final común y se realizan con el mismo valor de energía. Euler proporciona a su principio una expresión matemática exacta y una justificación rigurosa para un punto material, prueba las acciones de las fuerzas centrales. Durante 1746-1749 págs. Euler escribió varios trabajos sobre las figuras de equilibrio de un hilo flexible, donde aplicó el principio de mínima acción a problemas en los que actúan fuerzas elásticas.

Así, en 1744, la mecánica se enriqueció con dos principios importantes: el principio de d'Alembert y el principio de acción mínima de Maupertuis-Euler. Basado en estos principios, Lagrange construyó un sistema de mecánica analítica.

Si consideramos un sistema que consta de varios puntos materiales, destacando un punto específico con una masa conocida, entonces, bajo la acción de fuerzas externas e internas que se le aplican, recibe cierta aceleración en relación con el marco de referencia de inercia. Entre tales fuerzas puede haber tanto fuerzas activas como reacciones de acoplamiento.

La fuerza de inercia de un punto es una cantidad vectorial, que es igual en valor absoluto al producto de la masa del punto por su aceleración. Este valor a veces se denomina fuerza de inercia de d'Alembert, se dirige de manera opuesta a la aceleración. En este caso, se revela la siguiente propiedad de un punto en movimiento: si en cada momento del tiempo sumamos la fuerza de inercia a las fuerzas que realmente actúan sobre el punto, entonces el sistema de fuerzas resultante estará equilibrado. Entonces es posible formular el principio de d'Alembert para un punto material. Esta declaración es totalmente consistente con la segunda ley de Newton.

Principios de d'Alembert para el sistema.

Si repetimos todos los argumentos para cada punto del sistema, nos llevan a la siguiente conclusión, que expresa el principio de d'Alembert formulado para el sistema: si en algún momento aplicamos a cada uno de los puntos del sistema, además de las fuerzas externas e internas que realmente actúan, entonces este sistema estará en equilibrio, por lo que se le pueden aplicar todas las ecuaciones que se usan en estática.

Si aplicamos el principio de d'Alembert para resolver problemas de dinámica, entonces las ecuaciones de movimiento del sistema se pueden compilar en la forma de las ecuaciones de equilibrio que conocemos. Este principio simplifica enormemente los cálculos y unifica el enfoque para resolver problemas.

Aplicación del principio de d'Alembert

Debe tenerse en cuenta que solo las fuerzas externas e internas actúan sobre un punto en movimiento en un sistema mecánico, que surgen como resultado de la interacción de puntos entre sí, así como con cuerpos que no están incluidos en este sistema. Los puntos se mueven con ciertas aceleraciones bajo la influencia de todas estas fuerzas. Las fuerzas de inercia no actúan sobre puntos en movimiento, de lo contrario se moverían sin aceleración o estarían en reposo.

Las fuerzas de inercia se introducen solo para componer las ecuaciones de la dinámica utilizando métodos de estática más simples y convenientes. También se tiene en cuenta que la suma geométrica de las fuerzas internas y la suma de sus momentos es igual a cero. El uso de ecuaciones que se derivan del principio de d'Alembert facilita el proceso de resolución de problemas, ya que estas ecuaciones ya no contienen fuerzas internas.

Vista: este artículo ha sido leído 44027 veces

Pdf Seleccionar idioma... Ruso Ucraniano Inglés

Breve reseña

El material completo se descarga arriba, después de seleccionar el idioma

Principios generales de la dinámica.

Principio de Hermann - Euler - d'Alembert

fuerza de inercia

El principio de d'Alembert (el principio de la cinetostática) es uno de los principios generales de la mecánica, con la ayuda de la cual las ecuaciones de la dinámica se dan en forma de ecuaciones de estática. El principio fue propuesto por Hermann en 1716, generalizado por Euler en 1737.

punto material METRO se mueve con aceleración bajo la acción de fuerzas aplicadas. La tercera ley de la dinámica refleja la doble cara de los procesos mecánicos de la naturaleza. Cuando dos cuerpos interactúan, las fuerzas aplicadas a cada uno de ellos son iguales en valor absoluto y dirigidas de manera opuesta. Dado que estas fuerzas se aplican a diferentes cuerpos, no se equilibran. Por ejemplo, en la interacción de algún cuerpo PERO y puntos METRO, que tiene una masa metro, el punto se acelera. Cuerpo PERO actúa sobre un punto METRO con fuerza F=-ma. Según la ley de acción y reacción, un punto material METRO actúa sobre el cuerpo PERO con fuerza F=-F=-ma, que se llama fuerza de inercia.

Fuerza de inercia o fuerza de d'Alembert- una cantidad vectorial que tiene la dimensión de una fuerza, módulo igual al producto de la masa de un punto y su aceleración, y está dirigida en dirección opuesta a esta aceleración.

Principio de d'Alembert para un punto material

Si en cualquier momento del tiempo la fuerza de inercia se suma a las fuerzas que realmente actúan sobre el punto material, entonces el sistema de fuerzas resultante estará equilibrado.

Esto significa que para resolver el problema de la dinámica según el principio de Hermann - Euler - d'Alembert, además de las fuerzas aplicadas al punto, es necesario aplicar condicionalmente la fuerza de inercia a este punto. la aplicación de una fuerza de inercia a un punto es una técnica condicional que reduce el problema de la dinámica sólo en forma de solución a un problema de estática.

Principio de d'Alembert para un sistema de puntos materiales

Si en cualquier momento del tiempo a cada uno de los puntos del sistema, además de las fuerzas externas e internas que realmente actúan sobre él, se aplican las correspondientes fuerzas de inercia, entonces el sistema de fuerzas resultante estará en equilibrio y todas las ecuaciones de se le puede aplicar estática.

Principio de d'Alembert para un sistema mecánico no libre

En cualquier momento, para cada punto de un sistema mecánico no libre, además de las fuerzas que realmente actúan sobre él, agregue las fuerzas de inercia correspondientes, luego el sistema de fuerzas resultante se equilibrará y todas las ecuaciones de estática se pueden aplicar a eso.

Es decir, en cualquier momento del tiempo para cada punto de un sistema mecánico no libre, la suma geométrica de los principales vectores de fuerzas dadas, reacciones de apoyos y fuerzas de inercia de los puntos materiales del sistema es igual a cero.

En cualquier momento del tiempo para cualquier punto de un sistema mecánico no libre, la suma geométrica de los momentos principales de las fuerzas dadas, las reacciones de los apoyos y las fuerzas de inercia de los puntos materiales del sistema con respecto a cualquier centro fijo es igual a cero.

Forma generalizada de las ecuaciones de equilibrio según el principio de d'Alembert

Llevando las fuerzas de inercia de puntos de un cuerpo rígido a la forma más simple.

Casos de reducción del sistema de fuerzas de inercia de un cuerpo rígido a la forma más simple.

movimiento de traslación

Durante el movimiento de traslación, las fuerzas de inercia de un cuerpo rígido se reducen a una resultante, que pasa por el centro de masa del cuerpo e igual en valor absoluto al producto de la masa del cuerpo y el módulo de aceleración de su centro de masa y en dirección opuesta a esta aceleración.

No hay rotación alrededor del centro de masa, por lo que el momento de inercia es cero.

Movimiento de rotación de un cuerpo alrededor de un eje que pasa por el centro de masa del cuerpo.

Si el cuerpo gira alrededor de un eje fijo que pasa por el centro de masa del cuerpo, entonces las fuerzas de inercia se reducen a un par de fuerzas que se encuentran en un plano perpendicular al eje de rotación.

Dado que el centro de masa no se mueve, el principal vector de fuerzas de inercia es cero.

Movimiento de avión

Con un movimiento plano del cuerpo, el sistema de fuerzas de inercia se reduce a la fuerza aplicada en el centro de masa del cuerpo y un par de fuerzas. La dirección del momento de inercia es opuesta a la aceleración angular del cuerpo.

El principio de los posibles movimientos.

El principio de los desplazamientos posibles en forma general determina las condiciones para el equilibrio de cualquier sistema mecánico, es decir, permite resolver problemas de estática, como problemas de dinámica.

El movimiento de puntos de un sistema mecánico no libre está limitado por las conexiones existentes. La posición de los puntos del sistema se determina estableciendo coordenadas independientes.

Las cantidades independientes, cuya asignación puede determinar de manera única la posición de todos los puntos de un sistema mecánico, se denominan coordenadas generalizadas este sistema. Como regla general, el número de coordenadas generalizadas de un sistema mecánico es igual al número de grados de libertad de este sistema. Por ejemplo, la posición de todos los puntos del mecanismo de manivela se determina ajustando el ángulo de rotación de la manivela.

Movimientos posibles o virtuales

Reubicaciones de sistemas posibles o virtuales son desplazamientos infinitesimales imaginarios de los puntos del sistema, permitidos en el momento por las restricciones impuestas al sistema.

Los desplazamientos curvilíneos de los puntos se reemplazan por segmentos de línea recta colocados tangencialmente a las trayectorias de los puntos.

El número de posibles movimientos independientes del sistema se llama número de grados de libertad este sistema.

Trabajo posible o virtual

Trabajo posible (o virtual) es el trabajo elemental que podría realizar la fuerza que actúa sobre un punto material con un desplazamiento que coincide con el posible desplazamiento de dicho punto.

El principio de los posibles movimientos de un sistema mecánico.

Para el equilibrio de un sistema mecánico con restricciones ideales, es necesario y suficiente que la suma de todas las fuerzas activas para cualquier posible desplazamiento del sistema sea igual a cero.

La ecuación de trabajos posibles es una expresión matemática de las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de cualquier sistema mecánico.

Ecuación de dinámica general

Ecuación general de la dinámica (d'Alembert - Principio de Lagrange)

El principio de los posibles desplazamientos, que proporciona un método general para resolver problemas de estática, también se puede aplicar para resolver problemas de dinámica. Basado en el principio de Hermann-Euler-D'Alembert para un sistema mecánico no libre en cualquier momento, la suma geométrica de las fuerzas resultantes dadas, la resultante de las reacciones de restricciones y la fuerza de inercia para cada punto Mn de la mecánica sistema es igual a cero.

Si el sistema recibe un desplazamiento posible, en el que cada punto tiene un desplazamiento posible, entonces la suma del trabajo de estas fuerzas sobre el desplazamiento debe ser igual a cero.

Ecuación general de dinámica para un sistema con restricciones ideales

Supongamos que todos los enlaces en el sistema mecánico considerado son bilaterales e ideales (las fuerzas de fricción, si las hay, se refieren al número de fuerzas dadas). Entonces la suma del trabajo de las reacciones de los enlaces sobre los posibles desplazamientos del sistema es igual a cero.

Cuando un sistema mecánico se mueve con restricciones ideales en un momento dado, la suma de los robots elementales de todas las fuerzas activas (dadas) y todas las fuerzas de inercia en cualquier desplazamiento posible del sistema es igual a cero.

Las ecuaciones generales de la dinámica hacen posible componer ecuaciones diferenciales de movimiento de cualquier sistema mecánico. Si un sistema mecánico consta de cuerpos rígidos separados, entonces las fuerzas de inercia de los puntos de cada cuerpo se pueden reducir a una fuerza aplicada en algún punto del cuerpo y un par de fuerzas. La fuerza es igual al vector principal de las fuerzas de inercia de los puntos de este cuerpo, y el momento del par es igual al momento principal de estas fuerzas con respecto al centro de reducción. Para utilizar el principio de los desplazamientos posibles, se aplican a cada cuerpo las fuerzas dadas que actúan sobre él, y también se aplican condicionalmente la fuerza y ​​el par, compuestos por las fuerzas de inercia de los puntos del cuerpo. Luego se informa al sistema del posible movimiento, y para todo el conjunto de fuerzas dadas y las fuerzas de inercia reducida, se forma la ecuación general de la dinámica

Formato: pdf

Tamaño: 600KW

Idioma: ruso, ucraniano

Un ejemplo del cálculo de un engranaje recto.
Un ejemplo del cálculo de un engranaje recto. Se realizó la elección del material, el cálculo de las tensiones admisibles, el cálculo de la resistencia de contacto y flexión.

Un ejemplo de cómo resolver el problema de la flexión de la viga.
En el ejemplo, se construyen diagramas de fuerzas transversales y momentos de flexión, se encuentra una sección peligrosa y se selecciona una viga en I. En el problema se analizó la construcción de diagramas utilizando dependencias diferenciales, se realizó un análisis comparativo de varias secciones transversales de vigas.

Un ejemplo de cómo resolver el problema de la torsión del eje.
La tarea es probar la resistencia de un eje de acero para un diámetro, material y tensiones admisibles dados. Durante la solución se construyen diagramas de torques, esfuerzos cortantes y ángulos de torsión. No se tiene en cuenta el peso propio del eje.

Un ejemplo de resolución del problema de tensión-compresión de una varilla.
La tarea es probar la resistencia de una barra de acero a los esfuerzos permisibles dados. Durante la solución, se construyen gráficas de fuerzas longitudinales, tensiones normales y desplazamientos. No se tiene en cuenta el peso propio de la barra.

Aplicación del teorema de conservación de la energía cinética
Un ejemplo de resolución del problema de aplicar el teorema sobre la conservación de la energía cinética de un sistema mecánico.

Cuando un punto material se mueve, su aceleración en cada momento del tiempo es tal que las fuerzas dadas (activas) aplicadas al punto, las reacciones de los enlaces y la fuerza ficticia de d'Alembert Ф = - que forman un sistema equilibrado de fuerzas.

Prueba. Considere el movimiento de un punto material no libre con una masa t en un marco de referencia inercial. De acuerdo con la ley básica de la dinámica y el principio de liberación de ataduras, tenemos:

donde F es la resultante de las fuerzas (activas) dadas; N es la resultante de las reacciones de todos los enlaces impuestos sobre el punto.

Es fácil transformar (13.1) a la forma:

Vector F = - que llamado la fuerza de inercia de d'Alembert, la fuerza de inercia, o simplemente El poder de d'Alembert. En lo que sigue, usaremos sólo el último término.

La ecuación (13.3), que expresa el principio de d'Alembert en forma simbólica, se llama ecuación cinetostática punto material.

Es fácil obtener una generalización del principio de d'Alembert para un sistema mecánico (sistema PAGS puntos materiales).

Para cualquier a En el punto del sistema mecánico, se cumple la igualdad (13.3):

dónde ? a - resultante de fuerzas dadas (activas) que actúan sobre a-ésimo punto; norte a - resultante de las reacciones de los enlaces superpuestos en k-ésimo punto; F k \u003d - que k- Fuerza d'Alembert a-ésimo punto.

Obviamente, si se cumplen las condiciones de equilibrio (13.4) para cada triple de fuerzas F*, N* : , Ф* (a = 1,. .., PAGS), entonces todo el sistema 3 PAGS efectivo

está equilibrado.

En consecuencia, durante el movimiento de un sistema mecánico en cada momento del tiempo, las fuerzas activas que se le aplican, las reacciones de los enlaces y las fuerzas de d'Alembert de los puntos del sistema forman un sistema de fuerzas equilibrado.

Las fuerzas del sistema (13.5) ya no son convergentes, por lo tanto, como se sabe de la estática (sección 3.4), las condiciones necesarias y suficientes para su equilibrio tienen la siguiente forma:

Las ecuaciones (13.6) se denominan ecuaciones de la cinetostática de un sistema mecánico. Para los cálculos, se utilizan las proyecciones de estas ecuaciones vectoriales en los ejes que pasan por el punto de momento. o

Observación 1. Dado que la suma de todas las fuerzas internas del sistema, así como la suma de sus momentos con respecto a cualquier punto, son iguales a cero, entonces en las ecuaciones (13.6) es suficiente tener en cuenta solo las reacciones externo conexiones

Las ecuaciones de la cinetostática (13.6) suelen utilizarse para determinar las reacciones de las restricciones de un sistema mecánico cuando se da el movimiento del sistema y, por tanto, las aceleraciones de los puntos del sistema y las fuerzas de d'Alembert que dependen de ellos. son conocidos.

Ejemplo 1 Encuentra reacciones de apoyo PERO y A eje con su rotación uniforme a una frecuencia de 5000 rpm.

Las masas puntuales están conectadas rígidamente al eje. gp= 0,1 kg, t2 = 0,2 kg. Tamaños conocidos CA - CD - DB = 0,4 metros h= 0,01 m Considere despreciable la masa del eje.

Solución. Para usar el principio de d'Alembert para un sistema mecánico que consta de dos masas puntuales, indicamos en el diagrama (Fig. 13.2) las fuerzas dadas (gravedad) Gi, G 2, la reacción de los enlaces N4, N # y el d Fuerzas de 'Alembert Ф|, Ф 2.

Las direcciones de las fuerzas de Dalambres son opuestas a las aceleraciones de las masas puntuales. t b t 2 años que describen uniformemente círculos de radio h alrededor del eje AB eje.

Encontramos las magnitudes de las fuerzas de gravedad y fuerzas de Dalambres:

Aquí la velocidad angular del eje co- 5000* l/30 = 523,6 s Ah ah, Arizona, obtenemos las condiciones de equilibrio para un sistema plano de fuerzas paralelas Gi, G 2 , 1Chd, N tf , Ф ь Ф 2:

De la ecuación de momentos encontramos N en = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w "

272 N, y de la ecuación de proyección en

eje Sí: Na \u003d -N B + G, + G 2 + F, -F 2 \u003d 272 + 0.98 + 1.96 + 274-548 \u003d 0.06 N.

Las ecuaciones de la cinetostática (13.6) también se pueden usar para obtener ecuaciones diferenciales de movimiento del sistema, si se componen de tal manera que se excluyan las reacciones de las restricciones y, como resultado, sea posible obtener las dependencias de las aceleraciones. sobre fuerzas dadas.

Los métodos para resolver los problemas de la mecánica, que se han considerado hasta ahora, se basan en ecuaciones que se derivan directamente de las leyes de Newton o de teoremas generales que son una consecuencia de estas leyes. Sin embargo, este camino no es el único. Resulta que las ecuaciones de movimiento o las condiciones de equilibrio de un sistema mecánico pueden obtenerse asumiendo otras proposiciones generales, llamadas principios de la mecánica, en lugar de las leyes de Newton. En varios casos, la aplicación de estos principios permite, como veremos, encontrar métodos más eficientes para resolver los problemas correspondientes. En este capítulo se considerará uno de los principios generales de la mecánica, llamado principio de d'Alembert.

Encontremos primero una expresión del principio para un punto material. Sea un sistema de fuerzas activas que actúe sobre un punto material con masa, cuya resultante se denotará por la reacción del enlace N (si el punto no es libre). Bajo la acción de todas estas fuerzas, el punto se moverá con respecto al marco de referencia inercial con alguna aceleración a.

Introduzcamos en consideración la cantidad

que tiene la dimensión de la fuerza. Una cantidad vectorial igual en valor absoluto al producto de la masa de un punto por su aceleración y en dirección opuesta a esta aceleración se llama fuerza de inercia del punto.

Entonces resulta que el movimiento de un punto tiene la siguiente propiedad: si en cualquier momento del tiempo se suma la fuerza de inercia a las fuerzas activas que actúan sobre el punto y la reacción de la conexión, entonces el sistema de fuerzas resultante será equilibrado, es decir

Esta disposición expresa el principio de d'Alembert para un punto material. Es fácil comprobar que es equivalente a la segunda ley de Newton y viceversa. En efecto, la segunda ley de Newton para el punto considerado da, trasladando aquí el valor m al lado derecho de la igualdad y teniendo en cuenta la notación (84), llegamos a la relación (85). Por el contrario, trasladando el valor de la ecuación (85) a otra parte de la ecuación y teniendo en cuenta la notación (84), obtenemos la expresión de la segunda ley de Newton.

Considere ahora un sistema mecánico que consta de puntos materiales. Señalemos algunos de los puntos del sistema con masa . Bajo la acción de fuerzas externas e internas que se le aplican (que incluyen tanto fuerzas activas como reacciones de restricciones), el punto se moverá con respecto al marco de referencia inercial con alguna aceleración. Introduciendo la fuerza de inercia para este punto, obtenemos de acuerdo con la igualdad (85), que

es decir, que forman un sistema equilibrado de fuerzas. Repitiendo tal razonamiento para cada uno de los puntos del sistema, llegamos al siguiente resultado, que expresa el principio de d'Alembert para el sistema: si en cualquier momento del tiempo a cada uno de los puntos del sistema, además de los externos y las fuerzas internas que actúan sobre él, agregamos las fuerzas de inercia correspondientes, luego el sistema de fuerzas resultante se equilibrará y se le podrán aplicar todas las ecuaciones de estática.

Matemáticamente, el principio de d'Alembert para un sistema se expresa mediante igualdades vectoriales de la forma (85), que obviamente son equivalentes a las ecuaciones diferenciales de movimiento del sistema (13) obtenidas en el § 106. Por lo tanto, del d'Alembert principio, así como de las ecuaciones (13), se pueden obtener todos los teoremas generales de la dinámica.

La importancia del principio de d'Alembert radica en que cuando se aplica directamente a problemas de dinámica, las ecuaciones de movimiento del sistema se compilan en forma de conocidas ecuaciones de equilibrio; esto hace que el enfoque para resolver problemas sea uniforme y, a menudo, simplifica los cálculos correspondientes. Además, junto con el principio de los posibles desplazamientos, que se considerará en el próximo capítulo, el principio de d'Alembert nos permite obtener un nuevo método general para resolver problemas de dinámica (ver § 141).

Se sabe por estática que la suma geométrica de las fuerzas en equilibrio y la suma de sus momentos con respecto a cualquier centro O son iguales a cero y, como se muestra en el § 120, esto es cierto para las fuerzas que actúan no solo sobre un cuerpo rígido, pero también sobre cualquier sistema mecánico variable.

Entonces, basado en el principio de d'Alembert, debería ser:

Introduzcamos la notación:

Las cantidades representan el vector principal y el momento principal relativo al centro O del sistema de fuerzas de inercia. Como resultado, teniendo en cuenta que la suma geométrica de las fuerzas internas y la suma de sus momentos son iguales a cero, obtenemos de las igualdades (86):

La aplicación de las ecuaciones (88), que se derivan del principio de d'Alembert, simplifica el proceso de resolución de problemas, ya que estas ecuaciones no contienen fuerzas internas. En esencia, las ecuaciones (88) son equivalentes a las ecuaciones que expresan los teoremas sobre el cambio en la cantidad de movimiento y el momento principal de la cantidad de movimiento del sistema, y ​​difieren de ellas solo en la forma.

Las ecuaciones (88) son especialmente convenientes para usar cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido o un sistema de cuerpos rígidos. Para un estudio completo del movimiento de cualquier sistema variable, estas ecuaciones no serán suficientes, así como las ecuaciones de la estática no son suficientes para estudiar el equilibrio de cualquier sistema mecánico (ver § 120).

En proyecciones sobre los ejes de coordenadas, las igualdades (88) dan ecuaciones análogas a las ecuaciones correspondientes de la estática (ver §§ 16, 30). Para utilizar estas ecuaciones en la resolución de problemas, debe conocer las expresiones del vector principal y el momento principal de las fuerzas de inercia.

En conclusión, se debe enfatizar que cuando se estudia el movimiento con respecto a un marco de referencia inercial, que se considera aquí, las fuerzas de inercia se introducen solo cuando se aplica el principio de d'Alembert para resolver problemas.