El principio de d'Alembert para un punto material dice. El principio de D'Alembert de la mecánica teórica. Principio de d'Alembert para un sistema mecánico

principio de d'Alembert se utiliza para resolver el primer problema principal de la dinámica de un punto no libre, cuando se conocen el movimiento del punto y las fuerzas activas que actúan sobre él, y se encuentra la reacción emergente de la conexión.

Escribamos la ecuación básica para la dinámica de un punto no libre en un marco de referencia inercial:

Reescribamos la ecuación en la forma:

.

Denotando, obtenemos

, (11.27)

donde se llama el vector fuerza de inercia de d'Alembert.

Declaración de principios: En cada momento de movimiento de un punto material no libre, la fuerza activa y la reacción de la conexión son balanceadas por la fuerza de inercia de d'Alembert.

Al proyectar la ecuación vectorial (11.27) en cualquier eje de coordenadas, obtenemos las ecuaciones de equilibrio correspondientes, con las que podemos encontrar reacciones desconocidas.

Proyectamos la ecuación (11.27) sobre ejes naturales:

(11.28)

donde llamada fuerza centrífuga de inercia, siempre dirigida en la dirección negativa de la normal principal; .

Notas:

1). En realidad, aparte de las fuerzas y cualquier otra fuerza física, no se aplican otras fuerzas físicas al punto, y las tres fuerzas no constituyen un sistema equilibrado de fuerzas. En este sentido, la fuerza de inercia de d'Alembert es una fuerza ficticia aplicada condicionalmente a un punto.

2). El principio de d'Alembert debe considerarse como una técnica metodológica conveniente que permite reducir el problema de la dinámica a un problema de estática.

Ejemplo 1 Determinemos la reacción de la conexión que actúa sobre el piloto cuando un avión que se mueve en un plano vertical sale de un vuelo en picado (Fig. 11.5).

El piloto se ve afectado por la gravedad y la reacción del asiento. Apliquemos el principio de d'Alembert sumando la fuerza de inercia de d'Alembert a estas fuerzas:

(11.29)

Escribamos la ecuación (11.29) en proyecciones sobre la normal:

(11.30)

donde r- el radio del círculo cuando la aeronave entra en vuelo nivelado,

La velocidad máxima de la aeronave en ese momento.

De la ecuación (11.30)

(11.31)

Ejemplo 2 Determinemos ahora la misma reacción que actúa sobre el piloto en el momento de salir del modo de ascenso (Fig. 11.6).

Movimiento relativo de un punto material

Si los marcos de referencia no se mueven en relación con el marco de referencia inercial, o los orígenes de sus coordenadas se mueven de manera desigual o curvilínea, entonces tales marcos de referencia son no inercial. En estos marcos de referencia, los axiomas PERO 1 y PERO 2 no se observan, pero de esto no se sigue que en dinámica sólo se estudien los movimientos que ocurren en marcos de referencia inerciales. Considere el movimiento de un punto material en un sistema de coordenadas no inercial, si se conocen las fuerzas que actúan sobre el punto material y se da el movimiento del sistema de referencia no inercial relativo al sistema de referencia inercial. En lo que sigue, el marco de referencia inercial se denominará marco de referencia fijo, y el no inercial, marco de referencia móvil. Sea - la resultante de las fuerzas activas que actúan sobre el punto, y - la resultante de la reacción de los enlaces; - sistema de coordenadas fijo; - sistema de coordenadas en movimiento.

Considere el movimiento de un punto material METRO(Fig. 11.7), no conectada rígidamente con el sistema de coordenadas en movimiento, pero moviéndose en relación con él. Este movimiento de un punto en cinemática se llamaba relativo, el movimiento de un punto relativo a un sistema de coordenadas fijo se llamaba absoluto, el movimiento de un sistema de coordenadas en movimiento se llamaba portátil.

La ley básica de la dinámica para el movimiento absoluto de un punto. METRO se vera como

(11.33)

donde es la aceleración absoluta del punto.

Basado en el teorema de la suma de la aceleración cinemática (teorema de Coriolis), la aceleración absoluta es la suma de las aceleraciones relativa, de traslación y de Coriolis.

. (11.34)

Sustituyendo (11.34) en (11.33), obtenemos

y después de la transferencia e introducción de la notación

(11.35)

donde ; el vector se llama fuerza de inercia portátil; - Fuerza de inercia de Coriolis.

La igualdad (11.35) expresa la ley del movimiento relativo de un punto. Por lo tanto, el movimiento de un punto en un marco de referencia no inercial puede considerarse como un movimiento en un marco de referencia inercial, si sumamos las fuerzas de inercia de traslación y de Coriolis al número de fuerzas activas que actúan sobre el punto y las reacciones de los lazos.

En lecciones anteriores, se consideraron métodos para resolver problemas de dinámica basados ​​en las leyes de Newton. En la mecánica teórica también se han desarrollado otros métodos para resolver problemas dinámicos, que se basan en algunos otros puntos de partida, llamados principios de la mecánica.

El más importante de los principios de la mecánica es el principio de d'Alembert. El método cinetostático está estrechamente relacionado con el principio de d'Alembert, un método para resolver problemas de dinámica, en el que las ecuaciones dinámicas se escriben en forma de ecuaciones de equilibrio. El método de la cinetostática se usa ampliamente en disciplinas generales de ingeniería como la resistencia de materiales, la teoría de mecanismos y máquinas, y en otras áreas de la mecánica aplicada. El principio de d'Alembert se usa efectivamente dentro de la propia mecánica teórica, donde se ha utilizado para crear métodos efectivos para resolver problemas de dinámica.

Principio de d'Alembert para un punto material

Deje que el punto material de la masa realice un movimiento no libre en relación con el sistema de coordenadas de inercia Oxyz bajo la acción de una fuerza activa y una reacción de acoplamiento R (Fig. 57).

Definamos el vector

numéricamente igual al producto de la masa de un punto y su aceleración y dirigido en dirección opuesta al vector aceleración. El vector tiene la dimensión de una fuerza y ​​se llama fuerza de inercia (d'Alembert) de un punto material.

El principio de d'Alembert para un punto material se reduce a la siguiente afirmación: si las fuerzas que actúan sobre un punto material están ligadas condicionalmente a la fuerza de inercia del punto, entonces obtenemos un sistema de fuerzas equilibrado, es decir

Recordando de la estática la condición de equilibrio para fuerzas convergentes, el principio de d'Alembert también se puede escribir de la siguiente forma:

Es fácil ver que el principio de d'Alembert es equivalente a la ecuación básica de la dinámica y viceversa, el principio de d'Alembert se deriva de la ecuación básica de la dinámica. De hecho, al transferir el vector de la última igualdad a la otra parte de la igualdad y reemplazarlo por , obtenemos la ecuación básica de la dinámica. Por el contrario, trasladando el término m en la ecuación principal de la dinámica al mismo lado que las fuerzas y usando la notación , obtenemos un registro del principio de d'Alembert.

El principio de d'Alembert para un punto material, siendo bastante equivalente a la ley básica de la dinámica, expresa esta ley en una forma completamente diferente: en la forma de una ecuación de estática. Esto hace posible utilizar los métodos de la estática al compilar las ecuaciones de la dinámica, lo que se denomina método de la cinetostática.

El método de la cinetostática es especialmente conveniente para resolver el primer problema de la dinámica.

Ejemplo. Desde el punto más alto de una cúpula esférica lisa de radio R, un punto material M de masa se desliza con una velocidad inicial despreciable (Fig. 58). Determine dónde dejará el punto la cúpula.

Decisión. El punto se moverá a lo largo del arco de algún meridiano. Deje que, en algún momento (actual), el radio RM forme un ángulo con la vertical. Expandiendo la aceleración del punto a en la tangente ) y normal, representamos la fuerza de inercia del punto también como la suma de dos componentes:

La componente tangencial de la fuerza de inercia tiene un módulo y está dirigida en sentido contrario a la aceleración tangencial, la componente normal es un módulo y está dirigida en sentido contrario a la aceleración normal.

Sumando estas fuerzas a la fuerza activa que realmente actúa sobre el punto y la reacción de la cúpula N, se compone la ecuación cinetostática

Todos los métodos para resolver problemas de dinámica que hemos considerado hasta ahora se basan en ecuaciones que se derivan directamente de las leyes de Newton o de teoremas generales que son consecuencias de estas leyes. Sin embargo, este camino no es el único. Resulta que las ecuaciones de movimiento o las condiciones de equilibrio de un sistema mecánico pueden obtenerse asumiendo otras proposiciones generales, llamadas principios de la mecánica, en lugar de las leyes de Newton. En varios casos, la aplicación de estos principios permite, como veremos, encontrar métodos más eficientes para resolver los problemas correspondientes. En este capítulo se considerará uno de los principios generales de la mecánica, llamado principio de d'Alembert.

Supongamos que tenemos un sistema formado por norte puntos materiales. Señalemos algunos de los puntos del sistema con masa . Bajo la acción de fuerzas externas e internas que se le aplican (que incluyen tanto fuerzas activas como reacciones de acoplamiento), el punto recibe cierta aceleración con respecto al marco de referencia inercial.

Introduzcamos en consideración la cantidad

que tiene la dimensión de la fuerza. Una cantidad vectorial igual en valor absoluto al producto de la masa de un punto y su aceleración y en dirección opuesta a esta aceleración se denomina fuerza de inercia del punto (a veces fuerza de inercia de d'Alembert).

Entonces resulta que el movimiento de un punto tiene la siguiente propiedad general: si en cada momento del tiempo sumamos la fuerza de inercia a las fuerzas que realmente actúan sobre el punto, entonces el sistema de fuerzas resultante estará equilibrado, es decir será

.

Esta expresión expresa el principio de d'Alembert para un punto material. Es fácil comprobar que es equivalente a la segunda ley de Newton y viceversa. De hecho, la segunda ley de Newton para el punto en cuestión da . Trasladando aquí el término al lado derecho de la igualdad, llegamos a la última relación.

Repitiendo el razonamiento anterior con respecto a cada uno de los puntos del sistema, llegamos al siguiente resultado, que expresa el principio de d'Alembert para el sistema: si en cualquier momento del tiempo a cada uno de los puntos del sistema, además de las fuerzas externas e internas que realmente actúan sobre él, se aplican las correspondientes fuerzas de inercia, entonces el sistema de fuerzas resultante estará en equilibrio y todas las ecuaciones de se le puede aplicar estática.

La importancia del principio de d'Alembert radica en que cuando se aplica directamente a problemas de dinámica, las ecuaciones de movimiento del sistema se compilan en forma de conocidas ecuaciones de equilibrio; lo que hace un enfoque uniforme para resolver problemas y por lo general simplifica mucho los cálculos correspondientes. Además, junto con el principio de los posibles desplazamientos, que se discutirá en el próximo capítulo, el principio de d'Alembert nos permite obtener un nuevo método general para resolver problemas de dinámica.

Al aplicar el principio de d'Alembert, se debe tener en cuenta que sobre un punto de un sistema mecánico, cuyo movimiento se está estudiando, sólo actúan fuerzas externas e internas, y que surgen como resultado de la interacción de los puntos de el sistema entre sí y con organismos que no están incluidos en el sistema; bajo la acción de estas fuerzas, los puntos del sistema y se desplazan con las correspondientes aceleraciones. Las fuerzas de inercia, que se mencionan en el principio de d'Alembert, no actúan sobre puntos en movimiento (de lo contrario, estos puntos estarían en reposo o se moverían sin aceleración, y entonces no existirían fuerzas de inercia propiamente dichas). La introducción de fuerzas de inercia es solo una técnica que le permite componer las ecuaciones de la dinámica utilizando métodos más simples de estática.

Se sabe por estática que la suma geométrica de las fuerzas en equilibrio y la suma de sus momentos con respecto a cualquier centro O son iguales a cero, y de acuerdo con el principio de solidificación, esto es cierto para las fuerzas que actúan no solo sobre un cuerpo rígido, sino también sobre cualquier sistema variable. Entonces, sobre la base del principio de d'Alembert, debería serlo.

Fuerzas de inercia en la dinámica de un punto material y un sistema mecánico

Por la fuerza de la inercia de un punto material es el producto de la masa de un punto y su aceleración, tomada con signo menos, es decir, las fuerzas de inercia en dinámica se utilizan en los siguientes casos:

• 1. Al estudiar el movimiento de un punto material en no inercial sistema de coordenadas (en movimiento), es decir, movimiento relativo. Estas son las fuerzas de inercia de traslación y de Coriolis, que a menudo se denominan fuerzas de Euler.
• 2. Al resolver problemas de dinámica utilizando el método cinetostático. Este método se basa en el principio de d'Alembert, según el cual las fuerzas de inercia de un punto material o de un sistema de puntos materiales que se mueven con cierta aceleración en inercial sistema de referencia. Estas fuerzas de inercia se denominan fuerzas de d'Alembert.
• 3. Las fuerzas de inercia de D'Alembert también se utilizan para resolver problemas de dinámica utilizando el principio de Lagrange-D'Alembert o la ecuación general de dinámica.

Expresión en proyecciones sobre los ejes de coordenadas cartesianas

donde - módulos de proyecciones de aceleración de puntos en el eje de coordenadas cartesianas.

Con un movimiento curvilíneo de un punto, la fuerza de inercia se puede descomponer en tangencial y normal:; , - módulo de aceleraciones tangenciales y normales; - radio de curvatura de la trayectoria;

V- velocidad del punto.

Principio de d'Alembert para un punto material

si no es gratis a un punto material que se mueve bajo la acción de las fuerzas activas aplicadas y las fuerzas de reacción de los enlaces, aplique su fuerza de inercia, luego, en cualquier momento, el sistema de fuerzas resultante se equilibrará, es decir, la suma geométrica de estas fuerzas será igual a cero.

material del cuerpo del punto mecánico

donde - la resultante de las fuerzas activas aplicadas al punto; - la resultante de las reacciones de los enlaces impuestos sobre el punto; fuerza de inercia de un punto material. Nota: De hecho, la fuerza de inercia de un punto material no se aplica al punto en sí, sino al cuerpo que imparte aceleración a este punto.

Principio de d'Alembert para un sistema mecánico

suma geométrica los vectores principales de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema y las fuerzas de inercia de todos los puntos del sistema, así como la suma geométrica de los momentos principales de estas fuerzas en relación con algún centro para un sistema mecánico no libre en cualquier momento son iguales a cero, es decir

Vector principal y momento principal de las fuerzas de inercia de un cuerpo rígido

El vector principal y el momento principal de las fuerzas de inercia de los puntos del sistema se determinan por separado para cada cuerpo rígido incluido en este sistema mecánico. Su definición se basa en el método de Poinsot conocido por la estática sobre llevar un sistema arbitrario de fuerzas a un centro dado.

Según este método, las fuerzas de inercia de todos los puntos del cuerpo en el caso general de su movimiento pueden llevarse al centro de masa y reemplazarse por el vector principal * y el momento principal sobre el centro de masa. Están determinados por las fórmulas. es decir, para cualquier movimiento de un cuerpo rígido, el vector principal de fuerzas de inercia es igual con un signo menos al producto de la masa del cuerpo y la aceleración del centro de masa del cuerpo; ,donde r kc -- vector de radio k-ésimo punto trazado desde el centro de masa. Estas fórmulas en casos particulares de movimiento de un cuerpo rígido tienen la forma:

1. Movimiento progresivo.

2. Rotación de un cuerpo alrededor de un eje que pasa por el centro de masa

3. Movimiento plano-paralelo

Introducción a la Mecánica Analítica

Conceptos básicos de mecánica analítica

mecanica analitica- un área (sección) de mecánica, en la que se estudia el movimiento o el equilibrio de los sistemas mecánicos utilizando métodos analíticos generales y unificados utilizados para cualquier sistema mecánico.

Consideremos los conceptos más característicos de la mecánica analítica.

1. Conexiones y su clasificación.

Conexiones-- cualquier restricción en forma de cuerpos o cualquier condición cinemática impuesta al movimiento de puntos de un sistema mecánico. Estas restricciones se pueden escribir como ecuaciones o desigualdades.

Enlaces geométricos-- conexiones, cuyas ecuaciones contienen solo las coordenadas de los puntos, es decir, las restricciones se imponen solo en las coordenadas de los puntos. Son conexiones en forma de cuerpos, superficies, líneas, etc.

Conexiones diferenciales-- conexiones que imponen restricciones no solo en las coordenadas de los puntos, sino también en su velocidad.

Conexiones holonómicas -- todas las conexiones geométricas y aquellas diferenciales cuyas ecuaciones se pueden integrar.

Restricciones no holonómicas-- conexiones diferenciales no integrables.

Comunicaciones estacionarias -- conexiones, cuyas ecuaciones no incluyen explícitamente el tiempo.

Comunicaciones no estacionarias- conexiones que cambian con el tiempo, es decir, cuyas ecuaciones incluyen explícitamente el tiempo.

Enlaces bilaterales (de tenencia) -- enlaces que limitan el movimiento de un punto en dos direcciones opuestas. Tales conexiones están descritas por las ecuaciones .

Unilateral Enlaces (sin retención): enlaces que restringen el movimiento en una sola dirección. Tales conexiones son descritas por las desigualdades

2. Movimientos posibles (virtuales) y reales.

Posible o virtual Los desplazamientos de puntos de un sistema mecánico son desplazamientos infinitesimales imaginarios que están permitidos por las restricciones impuestas al sistema.

Posible El desplazamiento de un sistema mecánico es un conjunto de posibles desplazamientos simultáneos de los puntos del sistema que son compatibles con las restricciones. Sea el sistema mecánico un mecanismo de manivela.

Posible punto de movimiento PERO es un desplazamiento que, por su pequeñez, se considera rectilíneo y dirigido perpendicularmente a OA.

Posible punto de movimiento EN(deslizador) se mueve en las guías. Posible movimiento de la manivela OA es la rotación por un ángulo, y la biela AB -- en un ángulo alrededor del MCS (punto R).

Válido Los desplazamientos de los puntos del sistema también se denominan desplazamientos elementales, que permiten conexiones superpuestas, pero teniendo en cuenta las condiciones iniciales de movimiento y las fuerzas que actúan sobre el sistema.

Número de grados libertad S de un sistema mecánico es el número de sus posibles desplazamientos independientes que se pueden comunicar a los puntos del sistema en un punto fijo en el tiempo.

Principio de los posibles desplazamientos (principio de Lagrange)

El principio de desplazamientos posibles o principio de Lagrange expresa la condición de equilibrio para un sistema mecánico no libre bajo la acción de fuerzas activas aplicadas. Formulación del principio.

para el equilibrio Para un sistema mecánico no libre con restricciones bilaterales, estacionarias, holonómicas e ideales, que se encuentra en reposo bajo la acción de fuerzas activas aplicadas, es necesario y suficiente que la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas activas sea igual a una bala sobre cualquier posible desplazamiento del sistema desde la posición de equilibrio considerada:

Ecuación general de la dinámica (principio de Lagrange-D'Alembert)

La ecuación general de la dinámica se aplica al estudio del movimiento de sistemas mecánicos no libres, cuyos cuerpos o puntos se mueven con ciertas aceleraciones.

De acuerdo con el principio de d'Alembert, la totalidad de las fuerzas activas aplicadas al sistema mecánico, las fuerzas de reacción de los enlaces y las fuerzas de inercia de todos los puntos del sistema forman un sistema de fuerzas equilibrado.

Si se aplica el principio de los posibles desplazamientos (el principio de Lagrange) a dicho sistema, entonces obtenemos el principio combinado de Lagrange-D'Alembert o ecuación general de la dinámica.formulación de este principio.

Cuando se mueve no es libre de un sistema mecánico con restricciones bidireccionales, ideales, estacionarias y holonómicas, la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas activas y de inercia aplicadas a los puntos del sistema en cualquier posible desplazamiento del sistema es igual a cero:

Ecuaciones de Lagrange de segundo tipo

Ecuaciones de Lagrange del segundo tipo son ecuaciones diferenciales de movimiento de un sistema mecánico en coordenadas generalizadas.

Para un sistema con S grados de libertad, estas ecuaciones tienen la forma

Diferencia la derivada temporal total de la derivada parcial de la energía cinética del sistema con respecto a la velocidad generalizada y la derivada parcial de la energía cinética con respecto a la coordenada generalizada es igual a la fuerza generalizada.

Ecuaciones de Lagrange para sistemas mecánicos conservativos. Coordenadas cíclicas e integrales

Para un sistema conservativo, las fuerzas generalizadas se determinan en términos de la energía potencial del sistema mediante la fórmula

Entonces las ecuaciones de Lagrange se reescriben en la forma

Dado que la energía potencial del sistema es una función de solo coordenadas generalizadas, es decir, entonces Con esto en mente, representamos en la forma donde T - P \u003d L - Función de Lagrange (potencial cinético). Finalmente, las ecuaciones de Lagrange para un sistema conservativo

Estabilidad de la posición de equilibrio de un sistema mecánico.

La cuestión de la estabilidad de la posición de equilibrio de los sistemas mecánicos tiene una importancia directa en la teoría de las oscilaciones de los sistemas.

La posición de equilibrio puede ser estable, inestable e indiferente.

sostenible posición de equilibrio - la posición de equilibrio, en la que los puntos del sistema mecánico, derivados de esta posición, se mueven posteriormente bajo la acción de fuerzas en la vecindad inmediata cerca de su posición de equilibrio.

Este movimiento tendrá un grado variable de repetición en el tiempo, es decir, el sistema realizará un movimiento oscilatorio.

inestable posición de equilibrio - una posición de equilibrio desde la cual, con una desviación arbitrariamente pequeña de los puntos del sistema, en el futuro, las fuerzas actuantes alejarán aún más los puntos de su posición de equilibrio .

indiferente posición de equilibrio - la posición de equilibrio, cuando por cualquier pequeña desviación inicial de los puntos del sistema de esta posición en la nueva posición, el sistema también permanece en equilibrio. .

Existen varios métodos para determinar la posición de equilibrio estable de un sistema mecánico.

Considere la definición de un equilibrio estable basado en Teoremas de Lagrange-Dirichlet

Si en posición equilibrio de un sistema mecánico conservativo con restricciones ideales y estacionarias, su energía potencial tiene un mínimo, entonces esta posición de equilibrio es estable.

Fenómeno de impacto. Fuerza de impacto e impulso de impacto

El fenómeno en el que las velocidades de los puntos del cuerpo cambian en una cantidad finita en un período de tiempo insignificantemente pequeño se llama soplar. Este período de tiempo se llama tiempo de impacto. Durante un impacto, una fuerza de impacto actúa durante un período de tiempo infinitamente pequeño. fuerza de choque Se denomina fuerza a una fuerza cuyo momento durante el impacto es un valor finito.

Si el módulo de fuerza finita actúa a lo largo del tiempo, comenzando su acción en un punto en el tiempo , entonces su cantidad de movimiento tiene la forma

Asimismo, cuando la fuerza de impacto actúa sobre un punto material, podemos decir que:

se puede despreciar la acción de fuerzas no instantáneas durante el impacto;

se puede ignorar el movimiento de un punto material durante el impacto;

el resultado de la acción de la fuerza de impacto sobre un punto material se expresa en el cambio final durante el impacto de su vector velocidad.

Teorema sobre el cambio en el impulso de un sistema mecánico al impactar

el cambio en el momento del sistema mecánico durante el impacto es igual a la suma geométrica de todos los impulsos de choque externos aplicados a los puntos de los sistemas, donde - la cantidad de movimiento del sistema mecánico en el momento de la terminación de la acción de las fuerzas de impacto, - la cantidad de movimiento del sistema mecánico en el momento en que las fuerzas de impacto comienzan a actuar, - impulso de choque externo.

Los métodos para resolver los problemas de la mecánica, que se han considerado hasta ahora, se basan en ecuaciones que se derivan directamente de las leyes de Newton o de teoremas generales que son una consecuencia de estas leyes. Sin embargo, este camino no es el único. Resulta que las ecuaciones de movimiento o las condiciones de equilibrio de un sistema mecánico pueden obtenerse asumiendo otras proposiciones generales, llamadas principios de la mecánica, en lugar de las leyes de Newton. En varios casos, la aplicación de estos principios permite, como veremos, encontrar métodos más eficientes para resolver los problemas correspondientes. En este capítulo se considerará uno de los principios generales de la mecánica, llamado principio de d'Alembert.

Encontremos primero una expresión del principio para un punto material. Sea un sistema de fuerzas activas que actúe sobre un punto material con masa, cuya resultante se denotará por la reacción del enlace N (si el punto no es libre). Bajo la acción de todas estas fuerzas, el punto se moverá con respecto al marco de referencia inercial con alguna aceleración a.

Introduzcamos en consideración la cantidad

que tiene la dimensión de la fuerza. Una cantidad vectorial igual en valor absoluto al producto de la masa de un punto por su aceleración y en dirección opuesta a esta aceleración se llama fuerza de inercia del punto.

Entonces resulta que el movimiento de un punto tiene la siguiente propiedad: si en cualquier momento del tiempo se suma la fuerza de inercia a las fuerzas activas que actúan sobre el punto y la reacción de la conexión, entonces el sistema de fuerzas resultante será equilibrado, es decir

Esta disposición expresa el principio de d'Alembert para un punto material. Es fácil comprobar que es equivalente a la segunda ley de Newton y viceversa. En efecto, la segunda ley de Newton para el punto considerado da, trasladando aquí el valor m al lado derecho de la igualdad y teniendo en cuenta la notación (84), llegamos a la relación (85). Por el contrario, trasladando el valor de la ecuación (85) a otra parte de la ecuación y teniendo en cuenta la notación (84), obtenemos la expresión de la segunda ley de Newton.

Considere ahora un sistema mecánico que consta de puntos materiales. Señalemos algunos de los puntos del sistema con masa . Bajo la acción de fuerzas externas e internas que se le aplican (que incluyen tanto fuerzas activas como reacciones de restricciones), el punto se moverá con respecto al marco de referencia inercial con alguna aceleración. Introduciendo la fuerza de inercia para este punto, obtenemos de acuerdo con la igualdad (85), que

es decir, que forman un sistema equilibrado de fuerzas. Repitiendo tal razonamiento para cada uno de los puntos del sistema, llegamos al siguiente resultado, que expresa el principio de d'Alembert para el sistema: si en cualquier momento del tiempo a cada uno de los puntos del sistema, además de los externos y las fuerzas internas que actúan sobre él, agregamos las fuerzas de inercia correspondientes, luego el sistema de fuerzas resultante se equilibrará y se le podrán aplicar todas las ecuaciones de estática.

Matemáticamente, el principio de d'Alembert para un sistema se expresa mediante igualdades vectoriales de la forma (85), que obviamente son equivalentes a las ecuaciones diferenciales de movimiento del sistema (13) obtenidas en el § 106. Por lo tanto, del d'Alembert principio, así como de las ecuaciones (13), se pueden obtener todos los teoremas generales de la dinámica.

La importancia del principio de d'Alembert radica en que cuando se aplica directamente a problemas de dinámica, las ecuaciones de movimiento del sistema se compilan en forma de conocidas ecuaciones de equilibrio; esto hace que el enfoque para resolver problemas sea uniforme y, a menudo, simplifica los cálculos correspondientes. Además, junto con el principio de los posibles desplazamientos, que se considerará en el próximo capítulo, el principio de d'Alembert nos permite obtener un nuevo método general para resolver problemas de dinámica (ver § 141).

Se sabe por estática que la suma geométrica de las fuerzas en equilibrio y la suma de sus momentos con respecto a cualquier centro O son iguales a cero y, como se muestra en el § 120, esto es cierto para las fuerzas que actúan no solo sobre un cuerpo rígido, pero también sobre cualquier sistema mecánico variable.

Entonces, basado en el principio de d'Alembert, debería ser:

Introduzcamos la notación:

Las cantidades representan el vector principal y el momento principal relativo al centro O del sistema de fuerzas de inercia. Como resultado, teniendo en cuenta que la suma geométrica de las fuerzas internas y la suma de sus momentos son iguales a cero, obtenemos de las igualdades (86):

La aplicación de las ecuaciones (88), que se derivan del principio de d'Alembert, simplifica el proceso de resolución de problemas, ya que estas ecuaciones no contienen fuerzas internas. En esencia, las ecuaciones (88) son equivalentes a las ecuaciones que expresan los teoremas sobre el cambio en la cantidad de movimiento y el momento principal de la cantidad de movimiento del sistema, y ​​difieren de ellas solo en la forma.

Las ecuaciones (88) son especialmente convenientes para usar cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido o un sistema de cuerpos rígidos. Para un estudio completo del movimiento de cualquier sistema variable, estas ecuaciones no serán suficientes, así como las ecuaciones de la estática no son suficientes para estudiar el equilibrio de cualquier sistema mecánico (ver § 120).

En proyecciones sobre los ejes de coordenadas, las igualdades (88) dan ecuaciones análogas a las ecuaciones correspondientes de la estática (ver §§ 16, 30). Para usar estas ecuaciones al resolver problemas, necesita conocer las expresiones del vector principal y el momento principal de las fuerzas de inercia.

En conclusión, se debe enfatizar que cuando se estudia el movimiento con respecto a un marco de referencia inercial, que se considera aquí, las fuerzas de inercia se introducen solo cuando se aplica el principio de d'Alembert para resolver problemas.