Derivada de una función compleja. Ejemplos de solución

En esta lección, aprenderemos cómo encontrar derivada de una función compleja. La lección es una continuación lógica de la lección. ¿Cómo encontrar la derivada?, en el que analizamos las derivadas más simples, y también nos familiarizamos con las reglas de diferenciación y algunos métodos técnicos para encontrar derivadas. Por lo tanto, si no eres muy bueno con las derivadas de funciones o algunos puntos de este artículo no están del todo claros, entonces primero lee la lección anterior. Sintonice un estado de ánimo serio: el material no es fácil, pero intentaré presentarlo de manera simple y clara.

En la práctica, tienes que lidiar con la derivada de una función compleja muy a menudo, incluso diría que casi siempre, cuando te dan tareas para encontrar derivadas.

Miramos en la tabla la regla (No. 5) para diferenciar una función compleja:

Entendemos. En primer lugar, echemos un vistazo a la notación. Aquí tenemos dos funciones - y , y la función, en sentido figurado, está anidada en la función . Una función de este tipo (cuando una función está anidada dentro de otra) se denomina función compleja.

llamaré a la función función externa, y la función – función interna (o anidada).

! Estas definiciones no son teóricas y no deben aparecer en el diseño final de las asignaciones. Utilizo las expresiones informales "función externa", función "interna" solo para facilitarle la comprensión del material.

Para aclarar la situación, considere:

Ejemplo 1

Encontrar la derivada de una función

Debajo del seno, no solo tenemos la letra "x", sino la expresión completa, por lo que encontrar la derivada inmediatamente de la tabla no funcionará. También notamos que es imposible aplicar las primeras cuatro reglas aquí, parece haber una diferencia, pero el hecho es que es imposible "desgarrar" el seno:

En este ejemplo, ya de mis explicaciones, es intuitivamente claro que la función es una función compleja y el polinomio es una función interna (incrustación) y una función externa.

Primer paso, que debe realizarse cuando encontrar la derivada de una función compleja es entender qué función es interna y cuál es externa.

En el caso de ejemplos simples, parece claro que un polinomio está anidado debajo del seno. Pero, ¿y si no es obvio? ¿Cómo determinar exactamente qué función es externa y cuál es interna? Para ello, propongo utilizar la siguiente técnica, que puede llevarse a cabo mentalmente o sobre un borrador.

Imaginemos que necesitamos calcular el valor de la expresión con una calculadora (en lugar de una, puede ser cualquier número).

¿Qué calculamos primero? Ante todo deberá realizar la siguiente acción: , por lo que el polinomio será una función interna:

En segundo lugar necesitará encontrar, por lo que el seno - será una función externa:

Después de que nosotros COMPRENDER Con funciones internas y externas, es hora de aplicar la regla de diferenciación de funciones compuestas.

Empezamos a decidir. de la lección ¿Cómo encontrar la derivada? recordamos que el diseño de la solución de cualquier derivada siempre comienza así - encerramos la expresión entre paréntesis y ponemos un trazo en la parte superior derecha:

Primero encontramos la derivada de la función externa (seno), miramos la tabla de derivadas de funciones elementales y observamos que . Todas las fórmulas tabulares son aplicables incluso si "x" se reemplaza por una expresión compleja, en este caso:

Tenga en cuenta que la función interna no ha cambiado, no lo tocamos.

Bueno, es bastante obvio que

El resultado final de aplicar la fórmula se ve así:

El factor constante generalmente se coloca al comienzo de la expresión:

Si hay algún malentendido, anote la decisión en un papel y lea las explicaciones nuevamente.

Ejemplo 2

Encontrar la derivada de una función

Ejemplo 3

Encontrar la derivada de una función

Como siempre, escribimos:

Averiguamos dónde tenemos una función externa y dónde una interna. Para ello, intentamos (mentalmente o en un borrador) calcular el valor de la expresión para . ¿Qué hay que hacer primero? En primer lugar, debe calcular a qué es igual la base:, lo que significa que el polinomio es la función interna:

Y, solo entonces se realiza la exponenciación, por lo tanto, la función potencia es una función externa:

De acuerdo con la fórmula, primero debe encontrar la derivada de la función externa, en este caso, el grado. Estamos buscando la fórmula deseada en la tabla:. Repetimos de nuevo: cualquier fórmula tabular es válida no solo para "x", sino también para una expresión compleja. Así, el resultado de aplicar la regla de diferenciación de una función compleja es el siguiente:

Vuelvo a recalcar que cuando tomamos la derivada de la función exterior, la función interior no cambia:

Ahora queda encontrar una derivada muy simple de la función interna y “peinar” un poco el resultado:

Ejemplo 4

Encontrar la derivada de una función

Este es un ejemplo de auto-resolución (respuesta al final de la lección).

Para consolidar la comprensión de la derivada de una función compleja, daré un ejemplo sin comentarios, trate de resolverlo por su cuenta, razón, ¿dónde está la función externa y dónde está la función interna, por qué las tareas se resuelven de esa manera?

Ejemplo 5

a) Hallar la derivada de una función

b) Hallar la derivada de la función

Ejemplo 6

Encontrar la derivada de una función

Aquí tenemos una raíz, y para poder diferenciar la raíz, se debe representar como un grado. Por lo tanto, primero llevamos la función a la forma adecuada para la diferenciación:

Al analizar la función, llegamos a la conclusión de que la suma de tres términos es una función interna y la potenciación es una función externa. Aplicamos la regla de diferenciación de una función compleja:

El grado se representa nuevamente como un radical (raíz), y para la derivada de la función interna, aplicamos una regla simple para diferenciar la suma:

Listo. Todavía puedes llevar la expresión a un denominador común entre paréntesis y escribir todo como una fracción. Es hermoso, por supuesto, pero cuando se obtienen derivadas largas engorrosas, es mejor no hacer esto (es fácil confundirse, cometer un error innecesario y será un inconveniente para el maestro verificar).

Ejemplo 7

Encontrar la derivada de una función

Este es un ejemplo de auto-resolución (respuesta al final de la lección).

Es interesante notar que a veces, en lugar de la regla para derivar una función compleja, se puede usar la regla para derivar un cociente , pero tal solución parecería una perversión divertida. Aquí está un ejemplo típico:

Ejemplo 8

Encontrar la derivada de una función

Aquí puedes usar la regla de derivación del cociente , pero es mucho más rentable encontrar la derivada mediante la regla de diferenciación de una función compleja:

Preparamos la función para la diferenciación: quitamos el signo menos de la derivada y elevamos el coseno al numerador:

El coseno es una función interna, la exponenciación es una función externa.
Usemos nuestra regla:

Encontramos la derivada de la función interna, restablecemos el coseno hacia abajo:

Listo. En el ejemplo considerado, es importante no confundirse en los signos. Por cierto, intenta resolverlo con la regla , las respuestas deben coincidir.

Ejemplo 9

Encontrar la derivada de una función

Este es un ejemplo de auto-resolución (respuesta al final de la lección).

Hasta ahora, hemos considerado casos en los que solo teníamos un anidamiento en una función compleja. En las tareas prácticas, a menudo puede encontrar derivados, donde, como muñecos anidados, uno dentro del otro, se anidan 3 o incluso 4-5 funciones a la vez.

Ejemplo 10

Encontrar la derivada de una función

Entendemos los archivos adjuntos de esta función. Tratamos de evaluar la expresión usando el valor experimental. ¿Cómo contaríamos con una calculadora?

Primero necesitas encontrar, lo que significa que el arcoseno es el anidamiento más profundo:

Este arcoseno de la unidad debe elevarse al cuadrado:

Y finalmente, elevamos el siete a la potencia:

Es decir, en este ejemplo tenemos tres funciones diferentes y dos anidamientos, mientras que la función más interna es el arcoseno y la función más externa es la función exponencial.

empezamos a decidir

De acuerdo con la regla, primero debe tomar la derivada de la función externa. Miramos la tabla de derivadas y encontramos la derivada de la función exponencial: La única diferencia es que en lugar de "x" tenemos una expresión compleja, que no niega la validez de esta fórmula. Entonces, el resultado de aplicar la regla de diferenciación de una función compleja es el siguiente:

¡Debajo del tablero, tenemos una función complicada nuevamente! Pero ya es más fácil. Es fácil ver que la función interna es el arcoseno y la función externa es el grado. De acuerdo con la regla de diferenciación de una función compleja, primero debe tomar la derivada del grado.

Se da la prueba de la fórmula para la derivada de una función compleja. Los casos en los que una función compleja depende de una o dos variables se consideran en detalle. Se hace una generalización para el caso de un número arbitrario de variables.

Aquí presentamos la derivación de las siguientes fórmulas para la derivada de una función compleja.
si, entonces
.
si, entonces
.
si, entonces
.

Derivada de una función compleja de una variable

Sea una función de una variable x representada como una función compleja de la siguiente forma:
,
donde y hay algunas funciones. La función es derivable para algún valor de la variable x. La función es diferenciable por el valor de la variable.
Entonces la función compleja (compuesta) es diferenciable en el punto x y su derivada está determinada por la fórmula:
(1) .

La fórmula (1) también se puede escribir de la siguiente manera:
;
.

Prueba

Introduzcamos la siguiente notación.
;
.
Aquí hay una función de variables y , hay una función de variables y . Pero omitiremos los argumentos de estas funciones para no sobrecargar los cálculos.

Dado que las funciones y son diferenciables en los puntos x y , respectivamente, entonces en estos puntos existen derivadas de estas funciones, que son los siguientes límites:
;
.

Considere la siguiente función:
.
Para un valor fijo de la variable u , es una función de . Es obvio que
.
Entonces
.

Como la función es diferenciable en el punto , entonces es continua en ese punto. Asi que
.
Entonces
.

Ahora encontramos la derivada.

.

La fórmula ha sido probada.

Consecuencia

Si una función de variable x se puede representar como una función compleja de una función compleja
,
entonces su derivada está determinada por la fórmula
.
Aquí , y hay algunas funciones diferenciables.

Para probar esta fórmula, calculamos secuencialmente la derivada según la regla de diferenciación de una función compleja.
Considere una función compleja
.
su derivado
.
Considere la función original
.
su derivado
.

Derivada de una función compleja en dos variables

Ahora deja que una función compleja dependa de varias variables. Primero considere caso de una función compleja de dos variables.

Sea la función dependiente de la variable x representada como una función compleja de dos variables de la siguiente forma:
,
donde
y existen funciones diferenciables para algún valor de la variable x;
es una función de dos variables, derivable en el punto , . Entonces la función compleja se define en alguna vecindad del punto y tiene una derivada, que se determina por la fórmula:
(2) .

Prueba

Como las funciones y son diferenciables en el punto , están definidas en alguna vecindad de este punto, son continuas en el punto y existen sus derivadas en el punto, que son los siguientes límites:
;
.
Aquí
;
.
Debido a la continuidad de estas funciones en un punto, tenemos:
;
.

Dado que la función es diferenciable en el punto , está definida en alguna vecindad de este punto, es continua en este punto y su incremento se puede escribir de la siguiente manera:
(3) .
Aquí

- incremento de función cuando sus argumentos se incrementan por los valores y ;
;

- derivadas parciales de la función con respecto a las variables y .
Para valores fijos de y , y existen funciones de las variables y . Tienden a cero cuando y :
;
.
Desde y , entonces
;
.

Incremento de función:

. :
.
Sustituto (3):



.

La fórmula ha sido probada.

Derivada de una función compleja de varias variables

La derivación anterior se generaliza fácilmente al caso cuando el número de variables de una función compleja es más de dos.

Por ejemplo, si f es función de tres variables, entonces
,
donde
, y existen funciones diferenciables para algún valor de la variable x ;
es una función diferenciable, en tres variables, en el punto , , .
Entonces, de la definición de diferenciabilidad de la función , tenemos:
(4)
.
Dado que, debido a la continuidad,
; ; ,
entonces
;
;
.

Dividiendo (4) por y pasando al límite , obtenemos:
.

Y finalmente, considere el caso mas general.
Sea una función de una variable x representada como una función compleja de n variables de la siguiente forma:
,
donde
existen funciones diferenciables para algún valor de la variable x;
- función diferenciable de n variables en un punto
, , ... , .
Entonces
.

Si seguimos la definición, entonces la derivada de una función en un punto es el límite de la razón de incremento de la función Δ y al incremento del argumento Δ X:

Todo parece estar claro. Pero trata de calcular con esta fórmula, digamos, la derivada de la función F(X) = X 2 + (2X+ 3) · mi X pecado X. Si hace todo por definición, luego de un par de páginas de cálculos simplemente se quedará dormido. Por lo tanto, hay formas más simples y efectivas.

Para empezar, notemos que las llamadas funciones elementales se pueden distinguir de toda la variedad de funciones. Estas son expresiones relativamente simples, cuyas derivadas se han calculado e ingresado en la tabla durante mucho tiempo. Estas funciones son bastante fáciles de recordar, junto con sus derivadas.

Derivadas de funciones elementales

Las funciones elementales son todo lo que se enumera a continuación. Las derivadas de estas funciones deben saberse de memoria. Además, no es difícil memorizarlos, por eso son elementales.

Entonces, las derivadas de funciones elementales:

Nombre	Función	Derivado
Constante	F(X) = C, C ∈ R	0 (sí, sí, cero!)
Grado con exponente racional	F(X) = X norte	norte · X norte − 1
Seno	F(X) = pecado X	porque X
Coseno	F(X) = porque X	− pecado X(menos seno)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangente	F(X) = control X	− 1/sen2 X
logaritmo natural	F(X) = registro X	1/X
logaritmo arbitrario	F(X) = registro un X	1/(X en un)
Funcion exponencial	F(X) = mi X	mi X(nada ha cambiado)

Si una función elemental se multiplica por una constante arbitraria, la derivada de la nueva función también se calcula fácilmente:

(C · F)’ = C · F ’.

En general, las constantes se pueden sacar del signo de la derivada. Por ejemplo:

(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Obviamente, las funciones elementales se pueden sumar, multiplicar, dividir y mucho más. Así aparecerán nuevas funciones, ya no muy elementales, pero sí diferenciables según ciertas reglas. Estas reglas se discuten a continuación.

Derivada de suma y diferencia

Deja que las funciones F(X) y gramo(X), cuyos derivados nos son conocidos. Por ejemplo, puede tomar las funciones elementales discutidas anteriormente. Luego puedes encontrar la derivada de la suma y la diferencia de estas funciones:

1. (F + gramo)’ = F ’ + gramo ’
2. (F − gramo)’ = F ’ − gramo ’

Entonces, la derivada de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las derivadas. Puede haber más términos. Por ejemplo, ( F + gramo + h)’ = F ’ + gramo ’ + h ’.

Estrictamente hablando, no existe el concepto de "resta" en álgebra. Hay un concepto de "elemento negativo". Por lo tanto, la diferencia F − gramo se puede reescribir como una suma F+ (−1) gramo, y luego solo queda una fórmula: la derivada de la suma.

F(X) = X 2 + senix; gramo(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Función F(X) es la suma de dos funciones elementales, entonces:

F ’(X) = (X 2+ pecado X)’ = (X 2)' + (pecado X)’ = 2X+ cosx;

Argumentamos de manera similar para la función gramo(X). Solo que ya hay tres términos (desde el punto de vista del álgebra):

gramo ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Responder:
F ’(X) = 2X+ cosx;
gramo ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivado de un producto

Las matemáticas son una ciencia lógica, por lo que mucha gente cree que si la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas, entonces la derivada del producto Huelga"\u003e igual al producto de derivados. ¡Pero higos para ti! La derivada del producto se calcula utilizando una fórmula completamente diferente. A saber:

(F · gramo) ’ = F ’ · gramo + F · gramo ’

La fórmula es simple, pero a menudo olvidada. Y no solo escolares, sino también estudiantes. El resultado son problemas resueltos incorrectamente.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = X 3 cosx; gramo(X) = (X 2 + 7X− 7) · mi X .

Función F(X) es un producto de dos funciones elementales, por lo que todo es simple:

F ’(X) = (X 3 porque X)’ = (X 3) porque X + X 3 (porque X)’ = 3X 2 porque X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X pecado X)

Función gramo(X) el primer multiplicador es un poco más complicado, pero el esquema general no cambia a partir de esto. Obviamente, el primer multiplicador de la función gramo(X) es un polinomio, y su derivada es la derivada de la suma. Tenemos:

gramo ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · mi X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · mi X + (X 2 + 7X− 7) ( mi X)’ = (2X+ 7) · mi X + (X 2 + 7X− 7) · mi X = mi X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · mi X = X(X+ 9) · mi X .

Responder:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X pecado X);
gramo ’(X) = X(X+ 9) · mi X .

Tenga en cuenta que en el último paso, la derivada se factoriza. Formalmente, esto no es necesario, pero la mayoría de las derivadas no se calculan por sí solas, sino para explorar la función. Esto significa que, además, la derivada se igualará a cero, se descubrirán sus signos, etc. Para tal caso, es mejor tener una expresión descompuesta en factores.

Si hay dos funciones F(X) y gramo(X), y gramo(X) ≠ 0 en el conjunto que nos interesa, podemos definir una nueva función h(X) = F(X)/gramo(X). Para tal función, también puedes encontrar la derivada:

No es débil, ¿verdad? ¿De dónde vino el menos? Por qué gramo 2? ¡Pero así! Esta es una de las fórmulas más complejas: no puedes descifrarla sin una botella. Por lo tanto, es mejor estudiarlo con ejemplos específicos.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones:

Hay funciones elementales en el numerador y denominador de cada fracción, por lo que solo necesitamos la fórmula de la derivada del cociente:

Por tradición, factorizamos el numerador en factores; esto simplificará enormemente la respuesta:

Una función compleja no es necesariamente una fórmula de medio kilómetro de largo. Por ejemplo, basta con tomar la función F(X) = pecado X y reemplaza la variable X, digamos, en X 2+ln X. Resulta F(X) = pecado ( X 2+ln X) es una función compleja. Ella también tiene un derivado, pero no funcionará para encontrarlo de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente.

¿Cómo ser? En tales casos, la sustitución de una variable y la fórmula para la derivada de una función compleja ayudan:

F ’(X) = F ’(t) · t', Si X es reemplazado por t(X).

Como regla general, la situación con la comprensión de esta fórmula es aún más triste que con la derivada del cociente. Por eso, también es mejor explicarlo con ejemplos concretos, con una descripción detallada de cada paso.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = mi 2X + 3 ; gramo(X) = pecado ( X 2+ln X)

Tenga en cuenta que si en la función F(X) en lugar de la expresión 2 X+ 3 será fácil X, entonces obtenemos una función elemental F(X) = mi X. Por lo tanto, hacemos una sustitución: sea 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = mi t. Estamos buscando la derivada de una función compleja por la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (mi t)’ · t ’ = mi t · t ’

Y ahora, ¡atención! Realizando una sustitución inversa: t = 2X+ 3. Obtenemos:

F ’(X) = mi t · t ’ = mi 2X+ 3 (2 X + 3)’ = mi 2X+ 3 2 = 2 mi 2X + 3

Ahora veamos la función gramo(X). Obviamente necesita ser reemplazado. X 2+ln X = t. Tenemos:

gramo ’(X) = gramo ’(t) · t' = (pecado t)’ · t' = porque t · t ’

Reemplazo inverso: t = X 2+ln X. Entonces:

gramo ’(X) = porque( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = porque ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

¡Eso es todo! Como se puede ver en la última expresión, todo el problema se ha reducido a calcular la derivada de la suma.

Responder:
F ’(X) = 2 mi 2X + 3 ;
gramo ’(X) = (2X + 1/X) porque( X 2+ln X).

Muy a menudo en mis lecciones, en lugar del término "derivado", uso la palabra "carrera". Por ejemplo, el trazo de la suma es igual a la suma de los trazos. ¿Está más claro? Bueno, eso es bueno.

Por lo tanto, el cálculo de la derivada se reduce a deshacerse de estos mismos trazos de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente. Como último ejemplo, volvamos a la potencia derivada con exponente racional:

(X norte)’ = norte · X norte − 1

Pocos saben que en el papel norte bien puede ser un número fraccionario. Por ejemplo, la raíz es X 0.5 . Pero, ¿y si hay algo complicado debajo de la raíz? Nuevamente, resultará una función compleja: les gusta dar tales construcciones en pruebas y exámenes.

Tarea. Encuentra la derivada de una función:

Primero, reescribamos la raíz como una potencia con un exponente racional:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Ahora hacemos una sustitución: sea X 2 + 8X − 7 = t. Encontramos la derivada por la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0,5 t ’.

Realizamos una sustitución inversa: t = X 2 + 8X− 7. Tenemos:

F ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Finalmente, de vuelta a las raíces:

Después de la preparación preliminar de artillería, los ejemplos con archivos adjuntos de funciones 3-4-5 serán menos aterradores. Quizás los siguientes dos ejemplos parezcan complicados para algunos, pero si se entienden (alguien sufre), entonces casi todo lo demás en cálculo diferencial parecerá una broma de niños.

Ejemplo 2

Encontrar la derivada de una función

Como ya se señaló, al encontrar la derivada de una función compleja, en primer lugar, es necesario derecho ENTENDER LAS INVERSIONES. En caso de dudas, les recuerdo un truco útil: tomamos el valor experimental "x", por ejemplo, e intentamos (mentalmente o en un borrador) sustituir este valor en la "expresión terrible".

1) Primero necesitamos calcular la expresión, por lo que la suma es la anidación más profunda.

2) Luego necesitas calcular el logaritmo:

4) Luego eleva al cubo el coseno:

5) En el quinto paso, la diferencia:

6) Y finalmente, la función más externa es la raíz cuadrada:

Fórmula de diferenciación de funciones complejas se aplican en orden inverso, desde la función más externa a la más interna. Nosotros decidimos:

Parece estar libre de errores:

1) Sacamos la derivada de la raíz cuadrada.

2) Tomamos la derivada de la diferencia usando la regla

3) La derivada del triple es igual a cero. En el segundo término, tomamos la derivada del grado (cubo).

4) Tomamos la derivada del coseno.

6) Y finalmente, tomamos la derivada del anidamiento más profundo.

Puede parecer demasiado difícil, pero este no es el ejemplo más brutal. Tome, por ejemplo, la colección de Kuznetsov y apreciará todo el encanto y la simplicidad del derivado analizado. Noté que les gusta dar algo similar en el examen para verificar si el estudiante entiende cómo encontrar la derivada de una función compleja o no entiende.

El siguiente ejemplo es para una solución independiente.

Ejemplo 3

Encontrar la derivada de una función

Pista: Primero aplicamos las reglas de linealidad y la regla de diferenciación del producto

Solución completa y respuesta al final de la lección.

Es hora de pasar a algo más compacto y bonito.
No es raro que se dé una situación en la que el producto no de dos, sino de tres funciones se da en un ejemplo. ¿Cómo encontrar la derivada del producto de tres factores?

Ejemplo 4

Encontrar la derivada de una función

Primero, miramos, pero ¿es posible convertir el producto de tres funciones en un producto de dos funciones? Por ejemplo, si tuviéramos dos polinomios en el producto, podríamos abrir los corchetes. Pero en este ejemplo, todas las funciones son diferentes: grado, exponente y logaritmo.

En tales casos, es necesario sucesivamente aplicar la regla de diferenciación de productos dos veces

El truco es que para "y" denotamos el producto de dos funciones: , y para "ve" - ​​​​el logaritmo:. ¿Por qué se puede hacer esto? Lo es - ¡¿Esto no es el producto de dos factores y la regla no funciona?! No hay nada complicado:

Ahora queda aplicar la regla por segunda vez. poner entre paréntesis:

Todavía puede pervertir y sacar algo de los corchetes, pero en este caso es mejor dejar la respuesta en este formulario; será más fácil de verificar.

El ejemplo anterior se puede resolver de la segunda forma:

Ambas soluciones son absolutamente equivalentes.

Ejemplo 5

Encontrar la derivada de una función

Este es un ejemplo de solución independiente, en el ejemplo se resuelve de la primera forma.

Considere ejemplos similares con fracciones.

Ejemplo 6

Encontrar la derivada de una función

Aquí puedes ir de varias maneras:

O así:

Pero la solución se puede escribir de manera más compacta si, en primer lugar, usamos la regla de diferenciación del cociente , tomando para el numerador entero:

En principio el ejemplo está resuelto, y si se deja así no será un error. Pero si tienes tiempo, siempre es recomendable revisar un borrador, pero ¿es posible simplificar la respuesta?

Traemos la expresión del numerador a un denominador común y nos deshacemos de la fracción de tres pisos:

La desventaja de las simplificaciones adicionales es que existe el riesgo de cometer un error no al encontrar un derivado, sino cuando se trata de transformaciones escolares banales. Por otro lado, los docentes muchas veces rechazan la tarea y piden “recordarla” la derivada.

Un ejemplo más simple para una solución de bricolaje:

Ejemplo 7

Encontrar la derivada de una función

Continuamos dominando las técnicas para encontrar la derivada, y ahora consideraremos un caso típico cuando se propone un logaritmo "terrible" para la diferenciación.

Primer nivel

Derivada de función. Guía completa (2019)

Imagine un camino recto que pasa por un área montañosa. Es decir, sube y baja, pero no gira a la derecha ni a la izquierda. Si el eje se dirige horizontalmente a lo largo de la carretera y verticalmente, entonces la línea de la carretera será muy similar a la gráfica de alguna función continua:

El eje es un cierto nivel de altura cero, en la vida usamos el nivel del mar como tal.

Avanzando por ese camino, también nos estamos moviendo hacia arriba o hacia abajo. También podemos decir: cuando cambia el argumento (moviéndose a lo largo del eje de abscisas), cambia el valor de la función (moviéndose a lo largo del eje de ordenadas). Ahora pensemos en cómo determinar la "inclinación" de nuestro camino. ¿Cuál podría ser este valor? Muy simple: cuánto cambiará la altura al avanzar una cierta distancia. En efecto, en diferentes tramos de la carretera, avanzando (por la abscisa) un kilómetro, subiremos o bajaremos un número diferente de metros con respecto al nivel del mar (por la ordenada).

Denotamos progreso hacia adelante (léase "delta x").

La letra griega (delta) se usa comúnmente en matemáticas como un prefijo que significa "cambio". Es decir, esto es un cambio de magnitud, un cambio; ¿entonces que es eso? Así es, un cambio de tamaño.

Importante: la expresión es una entidad única, una variable. ¡Nunca debes arrancar el "delta" de la "x" o cualquier otra letra! Es decir, por ejemplo, .

Entonces, hemos avanzado, horizontalmente, adelante. Si comparamos la línea de la carretera con la gráfica de una función, ¿cómo denotamos el ascenso? Ciertamente, . Es decir, al avanzar nos elevamos más alto.

Es fácil calcular el valor: si al principio estábamos en una altura, y después de movernos estábamos en una altura, entonces. Si el punto final resultó ser más bajo que el punto de inicio, será negativo; esto significa que no estamos ascendiendo, sino descendiendo.

Volver a "inclinación": este es un valor que indica cuánto (empinadamente) aumenta la altura al avanzar por unidad de distancia:

Supongamos que en algún tramo del camino, al avanzar por km, el camino sube por km. Entonces la pendiente en este lugar es igual. ¿Y si el camino, al avanzar por m, se hundiera por km? Entonces la pendiente es igual.

Ahora considere la cima de una colina. Si toma el comienzo de la sección medio kilómetro hasta la cima y el final, medio kilómetro después, puede ver que la altura es casi la misma.

Es decir, según nuestra lógica, resulta que la pendiente aquí es casi igual a cero, lo que claramente no es cierto. Muchas cosas pueden cambiar a unas pocas millas de distancia. Es necesario considerar áreas más pequeñas para una estimación más adecuada y precisa de la pendiente. Por ejemplo, si mides el cambio de altura al moverte un metro, el resultado será mucho más preciso. Pero incluso esta precisión puede no ser suficiente para nosotros; después de todo, si hay un poste en el medio del camino, simplemente podemos deslizarnos a través de él. ¿Qué distancia debemos elegir entonces? ¿Centímetro? ¿Milímetro? ¡Menos es mejor!

En la vida real, medir la distancia al milímetro más cercano es más que suficiente. Pero los matemáticos siempre luchan por la perfección. Por lo tanto, el concepto fue infinitesimal, es decir, el valor del módulo es menor que cualquier número que podamos nombrar. Por ejemplo, usted dice: ¡una trillonésima! ¿Cuánto menos? Y divides este número por - y será aún menor. Etc. Si queremos escribir que el valor es infinitamente pequeño, escribimos así: (leemos “x tiende a cero”). Es muy importante entender que este número no es igual a cero! Pero muy cerca de eso. Esto significa que se puede dividir en.

El concepto opuesto a infinitamente pequeño es infinitamente grande (). Probablemente ya lo hayas encontrado cuando estabas trabajando en desigualdades: este número es mayor en módulo que cualquier número que puedas imaginar. Si obtiene el número más grande posible, simplemente multiplíquelo por dos y obtendrá aún más. Y el infinito es aún más de lo que sucede. De hecho, infinitamente grande e infinitamente pequeño son inversos entre sí, es decir, en, y viceversa: en.

Ahora volvamos a nuestro camino. La pendiente idealmente calculada es la pendiente calculada para un segmento infinitamente pequeño del camino, es decir:

Observo que con un desplazamiento infinitamente pequeño, el cambio de altura también será infinitamente pequeño. Pero déjame recordarte que infinitamente pequeño no significa igual a cero. Si divide números infinitesimales entre sí, puede obtener un número completamente ordinario, por ejemplo. Es decir, un valor pequeño puede ser exactamente el doble que otro.

¿Por qué todo esto? El camino, el desnivel... No vamos a un rally, pero estamos aprendiendo matemáticas. Y en matemáticas todo es exactamente igual, solo que se llama diferente.

El concepto de derivada

La derivada de una función es la razón del incremento de la función al incremento del argumento en un incremento infinitesimal del argumento.

Incremento en matemáticas se llama cambio. Cuánto ha cambiado el argumento () cuando se mueve a lo largo del eje se llama incremento de argumento y denotado por Cuánto ha cambiado la función (altura) al avanzar una distancia a lo largo del eje se llama incremento de función y está marcado.

Entonces, la derivada de una función es la relación a cuando. Denotamos la derivada con la misma letra que la función, solo que con un trazo de arriba a la derecha: o simplemente. Entonces, escribamos la fórmula de la derivada usando estas notaciones:

Como en la analogía con la carretera, aquí, cuando la función crece, la derivada es positiva, y cuando decrece, es negativa.

Pero, ¿la derivada es igual a cero? Ciertamente. Por ejemplo, si estamos conduciendo por una carretera horizontal plana, la pendiente es cero. De hecho, la altura no cambia en absoluto. Entonces con la derivada: la derivada de una función constante (constante) es igual a cero:

ya que el incremento de tal función es cero para cualquier.

Tomemos el ejemplo de la cima de una colina. Resultó que era posible colocar los extremos del segmento en lados opuestos del vértice de tal manera que la altura en los extremos resulte ser la misma, es decir, el segmento es paralelo al eje:

Pero los segmentos grandes son un signo de medición inexacta. Levantaremos nuestro segmento paralelo a sí mismo, luego su longitud disminuirá.

Al final, cuando estemos infinitamente cerca de la parte superior, la longitud del segmento se volverá infinitamente pequeña. Pero al mismo tiempo, permaneció paralelo al eje, es decir, la diferencia de altura en sus extremos es igual a cero (no tiende, pero es igual a). Entonces la derivada

Esto se puede entender de la siguiente manera: cuando estamos parados en la parte superior, un pequeño cambio hacia la izquierda o hacia la derecha cambia nuestra altura de manera insignificante.

También hay una explicación puramente algebraica: a la izquierda de la parte superior, la función aumenta, y a la derecha, disminuye. Como ya hemos averiguado anteriormente, cuando la función crece, la derivada es positiva, y cuando decrece, es negativa. Pero cambia suavemente, sin saltos (porque el camino no cambia bruscamente su pendiente en ninguna parte). Por lo tanto, debe haber entre valores negativos y positivos. Será donde la función ni crece ni decrece - en el punto de vértice.

Lo mismo es cierto para el valle (el área donde la función decrece a la izquierda y crece a la derecha):

Un poco más sobre los incrementos.

Así que cambiamos el argumento a un valor. Cambiamos de qué valor? ¿En qué se ha convertido (el argumento) ahora? Podemos elegir cualquier punto, y ahora bailaremos desde él.

Considere un punto con una coordenada. El valor de la función en ella es igual. Luego hacemos el mismo incremento: aumentar la coordenada en. ¿Cuál es el argumento ahora? Muy fácil: . ¿Cuál es el valor de la función ahora? Donde va el argumento, allí va la función: . ¿Qué pasa con el incremento de la función? Nada nuevo: esta sigue siendo la cantidad en la que ha cambiado la función:

Practica encontrar incrementos:

1. Encuentre el incremento de la función en un punto con un incremento del argumento igual a.
2. Lo mismo para una función en un punto.

Soluciones:

En diferentes puntos, con el mismo incremento del argumento, el incremento de la función será diferente. Esto significa que la derivada en cada punto tiene la suya propia (lo discutimos desde el principio: la pendiente de la carretera en diferentes puntos es diferente). Por tanto, cuando escribimos una derivada, debemos indicar en qué punto:

Función de poder.

Una función de potencia se llama una función donde el argumento es hasta cierto punto (lógico, ¿no?).

Y - en cualquier medida: .

El caso más simple es cuando el exponente es:

Encontremos su derivada en un punto. Recuerda la definición de derivada:

Entonces el argumento cambia de a. ¿Qué es la función incremento?

El incremento es. Pero la función en cualquier punto es igual a su argumento. Asi que:

la derivada es:

La derivada de es:

b) Considere ahora la función cuadrática (): .

Ahora recordemos eso. Esto significa que el valor del incremento puede despreciarse, ya que es infinitamente pequeño y, por lo tanto, insignificante en el contexto de otro término:

Entonces, tenemos otra regla:

c) Continuamos la serie lógica: .

Esta expresión se puede simplificar de diferentes maneras: abre el primer corchete usando la fórmula para la multiplicación abreviada del cubo de la suma, o descompone la expresión completa en factores usando la fórmula para la diferencia de cubos. Intente hacerlo usted mismo en cualquiera de las formas sugeridas.

Entonces, obtuve lo siguiente:

Y de nuevo, recuerda eso. Esto significa que podemos despreciar todos los términos que contengan:

Obtenemos: .

d) Se pueden obtener reglas similares para grandes potencias:

e) Resulta que esta regla se puede generalizar para una función de potencia con un exponente arbitrario, ni siquiera un número entero:

(2)

Puede formular la regla con las palabras: "el grado se adelanta como un coeficiente y luego disminuye".

Probaremos esta regla más adelante (casi al final). Ahora veamos algunos ejemplos. Encuentra la derivada de funciones:

1. (de dos maneras: por la fórmula y usando la definición de la derivada - contando el incremento de la función);

1. . Lo creas o no, esta es una función de poder. Si tienes preguntas como “¿Cómo es? ¿Y dónde está el grado?", ¡Recuerda el tema" "!
   Si, si, la raiz tambien es un grado, solo un fraccionario:.
   Entonces nuestra raíz cuadrada es solo una potencia con un exponente:
   .
   Estamos buscando la derivada usando la fórmula recién aprendida:

   Si en este punto no quedó claro nuevamente, repita el tema "" !!! (alrededor de un grado con un indicador negativo)

2. . Ahora el exponente:

   Y ahora a través de la definición (¿ya se te olvidó?):
   ;
   .
   Ahora, como de costumbre, despreciamos el término que contiene:
   .

3. . Combinación de casos anteriores: .

funciones trigonométricas.

Aquí usaremos un hecho de las matemáticas superiores:

Cuando la expresión.

Aprenderá la prueba en el primer año del instituto (y para llegar allí, debe aprobar bien el examen). Ahora lo mostraré gráficamente:

Vemos que cuando la función no existe, el punto en el gráfico está perforado. Pero cuanto más cerca del valor, más cerca está la función.. Este es el mismo "esfuerzo".

Además, puedes comprobar esta regla con una calculadora. Sí, sí, no seas tímido, toma una calculadora, todavía no estamos en el examen.

Entonces intentemos: ;

¡No olvide cambiar la calculadora al modo Radianes!

etc. Vemos que cuanto menor, más cercano es el valor de la relación a.

a) Considere una función. Como de costumbre, encontramos su incremento:

Convirtamos la diferencia de senos en un producto. Para hacer esto, usamos la fórmula (recuerda el tema ""):.

Ahora la derivada:

Hagamos una sustitución: . Entonces, por infinitamente pequeño, también es infinitamente pequeño: . La expresión para toma la forma:

Y ahora lo recordamos con la expresión. Y también, qué pasa si un valor infinitamente pequeño puede despreciarse en la suma (es decir, en).

Entonces obtenemos la siguiente regla: la derivada del seno es igual al coseno:

Estos son derivados básicos ("tabla"). Aquí están en una lista:

Más adelante les agregaremos algunos más, pero estos son los más importantes, ya que se usan con más frecuencia.

Práctica:

1. Encuentra la derivada de una función en un punto;
2. Encuentra la derivada de la función.

Soluciones:

1. Primero, encontramos la derivada en forma general, y luego sustituimos su valor en su lugar:
   ;
   .
2. Aquí tenemos algo similar a una función de potencia. Tratemos de traerla a
   vista normal:
   .
   Bien, ahora puedes usar la fórmula:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. ¿Qué es????

Está bien, tienes razón, todavía no sabemos cómo encontrar tales derivados. Aquí tenemos una combinación de varios tipos de funciones. Para trabajar con ellos, debe aprender algunas reglas más:

Exponente y logaritmo natural.

Existe tal función en matemáticas, cuya derivada para cualquiera es igual al valor de la función misma para el mismo. Se llama "exponente", y es una función exponencial

La base de esta función, una constante, es una fracción decimal infinita, es decir, un número irracional (como). Se llama el "número de Euler", por lo que se denota con una letra.

Entonces la regla es:

Es muy fácil de recordar.

Bueno, no iremos muy lejos, consideraremos inmediatamente la función inversa. ¿Cuál es el inverso de la función exponencial? Logaritmo:

En nuestro caso, la base es un número:

Tal logaritmo (es decir, un logaritmo con una base) se llama "natural", y usamos una notación especial para él: escribimos en su lugar.

¿A qué es igual? Por supuesto, .

La derivada del logaritmo natural también es muy sencilla:

Ejemplos:

1. Encuentra la derivada de la función.
2. ¿Cuál es la derivada de la función?

Respuestas: El exponente y el logaritmo natural son funciones que son singularmente simples en términos de la derivada. Las funciones exponenciales y logarítmicas con cualquier otra base tendrán una derivada diferente, que analizaremos más adelante, después de pasar por las reglas de diferenciación.

Reglas de diferenciación

¿Qué reglas? ¡¿Otro término nuevo, otra vez?!...

Diferenciación es el proceso de encontrar la derivada.

Solo y todo. ¿Cuál es otra palabra para este proceso? No proizvodnovanie... El diferencial de las matemáticas se llama el incremento mismo de la función en. Este término proviene del latín differentia - diferencia. Aquí.

Al derivar todas estas reglas, usaremos dos funciones, por ejemplo, y. También necesitaremos fórmulas para sus incrementos:

Hay 5 reglas en total.

La constante se quita del signo de la derivada.

Si - algún número constante (constante), entonces.

Obviamente, esta regla también funciona para la diferencia: .

Demostrémoslo. Vamos, o más fácil.

Ejemplos.

Encuentra derivadas de funciones:

1. en el punto;
2. en el punto;
3. en el punto;
4. en el punto.

Soluciones:

1. (la derivada es la misma en todos los puntos, ya que es una función lineal, ¿recuerdas?);

Derivado de un producto

Todo es similar aquí: introducimos una nueva función y encontramos su incremento:

Derivado:

Ejemplos:

1. Hallar derivadas de funciones y;
2. Hallar la derivada de una función en un punto.

Soluciones:

Derivada de la función exponencial

Ahora tu conocimiento es suficiente para aprender a encontrar la derivada de cualquier función exponencial, y no solo el exponente (¿ya olvidaste cuál es?).

Entonces, ¿dónde está un número?

Ya conocemos la derivada de la función, así que intentemos llevar nuestra función a una nueva base:

Para hacer esto, usamos una regla simple: . Entonces:

Bueno, funcionó. Ahora trata de encontrar la derivada y no olvides que esta función es compleja.

¿Sucedió?

Aquí, compruébalo tú mismo:

La fórmula resultó ser muy similar a la derivada del exponente: como estaba, queda, solo apareció un factor, que es solo un número, pero no una variable.

Ejemplos:
Encuentra derivadas de funciones:

Respuestas:

Este es solo un número que no se puede calcular sin una calculadora, es decir, no se puede escribir de una forma más simple. Por lo tanto, lo dejamos de esta forma en la respuesta.

Derivada de una función logarítmica

Aquí es similar: ya sabes la derivada del logaritmo natural:

Por lo tanto, para encontrar una arbitraria del logaritmo con una base diferente, por ejemplo, :

Necesitamos llevar este logaritmo a la base. ¿Cómo se cambia la base de un logaritmo? Espero que recuerdes esta fórmula:

Solo que ahora en lugar de escribiremos:

El denominador resultó ser solo una constante (un número constante, sin variable). La derivada es muy simple:

Las derivadas de las funciones exponencial y logarítmica casi nunca se encuentran en el examen, pero no estará de más conocerlas.

Derivada de una función compleja.

¿Qué es una "función compleja"? No, esto no es un logaritmo ni un arco tangente. Estas funciones pueden ser difíciles de entender (aunque si el logaritmo te parece difícil, lee el tema "Logaritmos" y todo saldrá bien), pero en términos matemáticos, la palabra "complejo" no significa "difícil".

Imagina un pequeño transportador: dos personas están sentadas y haciendo algunas acciones con algunos objetos. Por ejemplo, el primero envuelve una barra de chocolate en un envoltorio y el segundo la ata con una cinta. Resulta un objeto tan compuesto: una barra de chocolate envuelta y atada con una cinta. Para comer una barra de chocolate, debe hacer los pasos opuestos en orden inverso.

Vamos a crear una canalización matemática similar: primero encontraremos el coseno de un número y luego elevaremos al cuadrado el número resultante. Entonces, nos dan un número (chocolate), encuentro su coseno (envoltura), y luego elevas al cuadrado lo que obtuve (lo atas con una cinta). ¿Qué sucedió? Función. Este es un ejemplo de función compleja: cuando para encontrar su valor realizamos la primera acción directamente con la variable, y luego otra segunda acción con lo que sucedió como resultado de la primera.

Bien podemos hacer los mismos pasos en orden inverso: primero elevas al cuadrado, y luego busco el coseno del número resultante:. Es fácil adivinar que el resultado casi siempre será diferente. Una característica importante de las funciones complejas: cuando cambia el orden de las acciones, cambia la función.

En otras palabras, Una función compleja es una función cuyo argumento es otra función: .

Para el primer ejemplo, .

Segundo ejemplo: (igual). .

La última acción que hagamos se llamará función "externa", y la acción realizada primero - respectivamente función "interna"(Estos son nombres informales, los uso solo para explicar el material en un lenguaje sencillo).

Intente determinar por sí mismo qué función es externa y cuál es interna:

Respuestas: La separación de funciones internas y externas es muy similar a cambiar variables: por ejemplo, en la función

1. ¿Qué acción tomaremos primero? Primero calculamos el seno, y solo luego lo elevamos a un cubo. Entonces es una función interna, no externa.
   Y la función original es su composición: .
2. Interno: ; externo: .
   Examen: .
3. Interno: ; externo: .
   Examen: .
4. Interno: ; externo: .
   Examen: .
5. Interno: ; externo: .
   Examen: .

cambiamos variables y obtenemos una función.

Bueno, ahora extraeremos nuestro chocolate: busque el derivado. El procedimiento siempre es inverso: primero buscamos la derivada de la función exterior, luego multiplicamos el resultado por la derivada de la función interior. Para el ejemplo original, se ve así:

Otro ejemplo:

Entonces, finalmente formulemos la regla oficial:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

Todo parece ser simple, ¿verdad?

Comprobemos con ejemplos:

Soluciones:

1) Interno: ;

Externo: ;

2) Interno: ;

(¡Simplemente no intentes reducir por ahora! No se saca nada de debajo del coseno, ¿recuerdas?)

3) Interna: ;

Externo: ;

Inmediatamente queda claro que aquí hay una función compleja de tres niveles: después de todo, esta ya es una función compleja en sí misma, y ​​aún extraemos la raíz de ella, es decir, realizamos la tercera acción (poner chocolate en un envoltorio y con una cinta en un maletín). Pero no hay razón para tener miedo: de todos modos, "desempaquetaremos" esta función en el mismo orden que de costumbre: desde el final.

Es decir, primero diferenciamos la raíz, luego el coseno y solo luego la expresión entre paréntesis. Y luego lo multiplicamos todo.

En tales casos, es conveniente numerar las acciones. Es decir, imaginemos lo que sabemos. ¿En qué orden realizaremos acciones para calcular el valor de esta expresión? Veamos un ejemplo:

Cuanto más tarde se realice la acción, más "externa" será la función correspondiente. La secuencia de acciones - como antes:

Aquí la anidación es generalmente de 4 niveles. Determinemos el curso de acción.

1. Expresión radical. .

2. Raíz. .

3. Seno. .

4. Cuadrado. .

5. Juntando todo:

DERIVADO. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES

Derivada de función- la relación del incremento de la función al incremento del argumento con un incremento infinitesimal del argumento:

Derivadas básicas:

Reglas de diferenciación:

La constante se saca del signo de la derivada:

Derivada de la suma:

Producto derivado:

Derivada del cociente:

Derivada de una función compleja:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

1. Definimos la función "interna", encontramos su derivada.
2. Definimos la función "externa", encontramos su derivada.
3. Multiplicamos los resultados del primer y segundo punto.