Ejemplos sobre el tema de grado con exponente racional. Propiedades de grados, formulaciones, pruebas, ejemplos.

La lección en video "Exponente con exponente racional" contiene una imagen material educativo para dar una lección sobre este tema. La lección en video contiene información sobre el concepto de un título con exponente racional, las propiedades de dichos grados, así como ejemplos que describen el uso de material educativo para resolver problemas prácticos. El propósito de esta videolección es presentar de forma clara y clara el material educativo, facilitar su desarrollo y memorización por parte de los estudiantes y desarrollar la capacidad de resolución de problemas utilizando los conceptos aprendidos.

Las principales ventajas de una lección en video son la capacidad de realizar transformaciones y cálculos visualmente, la capacidad de utilizar efectos de animación para mejorar la eficiencia del aprendizaje. El acompañamiento de voz ayuda a desarrollar el habla matemática correcta y también permite sustituir la explicación del profesor, liberándolo para realizar el trabajo individual.

La lección en video comienza presentando el tema. Vinculación de estudios nuevo tema Con material previamente estudiado, se sugiere recordar que n √a se denota por a 1/n para n natural y a positivo. Esta representación de n-raíces se muestra en la pantalla. A continuación nos proponemos considerar qué significa la expresión a m/n, en la que a es un número positivo y m/n es una fracción. Se da la definición de un grado con exponente racional como a m/n = n √a m, resaltada en el marco. Cabe señalar que n puede ser un número natural y m puede ser un número entero.

Luego de definir un grado con exponente racional, su significado se revela a través de ejemplos: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. También se muestra un ejemplo en el que una potencia representada por un decimal se convierte a fracción ordinaria a representar como raíz: (1/7) 1.7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 y un ejemplo con exponente negativo: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

La peculiaridad del caso especial en el que la base del grado es cero se indica por separado. Cabe señalar que este grado sólo tiene sentido con un exponente fraccionario positivo. En este caso su valor es cero: 0 m/n =0.

Se observa otra característica de un grado con exponente racional: que un grado con exponente fraccionario no puede considerarse con un exponente fraccionario. Se dan ejemplos de notación incorrecta de grados: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

A continuación, en la lección en video, analizamos las propiedades de un grado con un exponente racional. Cabe señalar que las propiedades de un grado con exponente entero también serán válidas para un grado con exponente racional. Se propone recordar la lista de propiedades que también son válidas en en este caso:

1. Al multiplicar potencias con por los mismos motivos sus indicadores suman: a p a q =a p+q.
2. La división de grados con las mismas bases se reduce a un grado con una base dada y la diferencia de exponentes: a p:a q =a p-q.
3. Si elevamos el grado a una determinada potencia, entonces terminamos con un grado con una base dada y el producto de exponentes: (a p) q =a pq.

Todas estas propiedades son válidas para potencias con exponentes racionales p, q y base positiva a>0. Además, las transformaciones de grado al abrir paréntesis siguen siendo válidas:

1. (ab) p =a p b p - elevar a alguna potencia con un exponente racional el producto de dos números se reduce al producto de números, cada uno de los cuales se eleva a una potencia determinada.
2. (a/b) p =a p /b p - elevar una fracción a una potencia con un exponente racional se reduce a una fracción cuyo numerador y denominador se elevan a una potencia determinada.

El video tutorial analiza la resolución de ejemplos que utilizan las propiedades consideradas de potencias con un exponente racional. En el primer ejemplo, se propone encontrar el valor de una expresión que contiene variables x en una potencia fraccionaria: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). A pesar de la complejidad de la expresión, utilizando las propiedades de las potencias se puede resolver de forma bastante sencilla. La solución del problema comienza simplificando la expresión, que utiliza la regla de elevar una potencia con un exponente racional a una potencia, así como multiplicar potencias con la misma base. Después de sustituir el valor dado x=8 en la expresión simplificada x 1/3 +48, ​​es fácil obtener el valor - 50.

En el segundo ejemplo, necesitas reducir una fracción cuyo numerador y denominador contienen potencias con exponente racional. Usando las propiedades del grado, extraemos de la diferencia el factor x 1/3, que luego se reduce en el numerador y el denominador, y usando la fórmula para la diferencia de cuadrados, se factoriza el numerador, lo que da más reducciones de idénticos. factores en el numerador y denominador. El resultado de tales transformaciones es la fracción corta x 1/4 +3.

Se puede utilizar la lección en video “Exponente con exponente racional” en lugar de que el maestro explique un nuevo tema de la lección. Este manual también contiene suficiente información completa Para autoestudio alumno. El material también puede resultar útil para el aprendizaje a distancia.

De los exponentes enteros del número a, se sugiere la transición a exponentes racionales. A continuación definiremos un grado con exponente racional, y lo haremos de tal forma que se conserven todas las propiedades de un grado con exponente entero. Esto es necesario porque los números enteros son parte de los números racionales.

Se sabe que el conjunto de los números racionales está formado por números enteros y fraccionarios, y cada uno numero fraccionario se puede representar como positivo o negativo fracción común. Definimos un grado con exponente entero en el párrafo anterior, por lo tanto, para completar la definición de un grado con exponente racional, necesitamos darle significado al grado del número. a con un indicador fraccionario Minnesota, Dónde metro es un número entero y norte- natural. Hagamos esto.

Consideremos un grado con un exponente fraccionario de la forma . Para que la propiedad poder-poder siga siendo válida, la igualdad debe cumplirse . Si tenemos en cuenta la igualdad resultante y cómo determinamos la raíz enésima del grado, entonces es lógico aceptar, siempre que dado el dado metro, norte Y a la expresión tiene sentido.

Es fácil comprobar que para todas las propiedades de un grado con exponente entero son válidas (esto se hizo en la sección propiedades de un grado con exponente racional).

El razonamiento anterior nos permite hacer lo siguiente conclusión: si se da metro, norte Y a la expresión tiene sentido, entonces la potencia del número a con un indicador fraccionario Minnesota llamada la raíz norte grado de a hasta cierto punto metro.

Esta afirmación nos acerca a la definición de grado con exponente fraccionario. Sólo queda describir en qué metro, norte Y a la expresión tiene sentido. Dependiendo de las restricciones impuestas metro, norte Y a Hay dos enfoques principales.

1. La forma más sencilla es imponer una restricción a a, habiendo aceptado a≥0 por positivo metro Y a>0 por negativo metro(desde cuando m≤0 grado 0 metros no definido). Luego obtenemos la siguiente definición de grado con exponente fraccionario.

Definición.

Potencia de un número positivo a con un indicador fraccionario Minnesota , Dónde metro- entero, y norte – número natural, llamada raíz norte-ésima parte del número a hasta cierto punto metro, eso es, .

La potencia fraccionaria de cero también se determina con la única salvedad de que el indicador debe ser positivo.

Definición.

Potencia de cero con exponente positivo fraccionario Minnesota , Dónde metro es un entero positivo y norte– número natural, definido como .
Cuando el grado no está determinado, es decir, el grado del número cero con un exponente fraccionario negativo no tiene sentido.

Cabe señalar que con esta definición de grado con exponente fraccionario, hay una advertencia: para algunos negativos a y algunos metro Y norte la expresión tiene sentido, pero descartamos estos casos introduciendo la condición a≥0. Por ejemplo, las entradas tienen sentido. o , y la definición dada anteriormente nos obliga a decir que las potencias con exponente fraccionario de la forma No tiene sentido, ya que la base no debe ser negativa.

2. Otro método para determinar el grado con un exponente fraccionario Minnesota consiste en considerar por separado los exponentes pares e impares de la raíz. Este enfoque requiere una condición adicional: la potencia del número a, cuyo exponente es una fracción ordinaria reducible, se considera una potencia de un número a, cuyo indicador es la correspondiente fracción irreducible (la importancia de esta condición se explicará más adelante). Es decir, si Minnesota es una fracción irreducible, entonces para cualquier número natural k el grado se reemplaza preliminarmente por .

Por incluso norte y positivo metro la expresión tiene sentido para cualquier no negativo a(una raíz par de un número negativo no tiene significado), para números negativos metro número a aún debe ser diferente de cero (de lo contrario, habrá división por cero). y por extraño norte y positivo metro número a puede ser cualquiera (se define una raíz impar para cualquier número real), y para números negativos metro número a debe ser distinto de cero (para que no haya división por cero).

El razonamiento anterior nos lleva a esta definición de grado con exponente fraccionario.

Definición.

Dejar Minnesota– fracción irreducible, metro- entero, y norte– número natural. Para cualquier fracción reducible, el grado se reemplaza por . poder del numero a con un exponente fraccionario irreducible Minnesota- esto es para

o cualquier número real a, todo positivo metro y extraño natural norte, Por ejemplo, ;

o cualquier número real distinto de cero a, entero negativo metro y extraño norte, Por ejemplo, ;

o cualquier número no negativo a, todo positivo metro e incluso norte, Por ejemplo, ;

o cualquier positivo a, entero negativo metro e incluso norte, Por ejemplo, ;

o en otros casos no se determina la titulación con indicador fraccionario, como por ejemplo las titulaciones no están definidas .a no le damos ningún significado a la entrada definimos la potencia del número cero para exponentes fraccionarios positivos; Minnesota Cómo , para exponentes fraccionarios negativos no se determina la potencia del número cero.

Para concluir este párrafo, prestemos atención al hecho de que el exponente fraccionario se puede escribir en la forma decimal o numero mixto, Por ejemplo, . Para calcular los valores de expresiones de este tipo, es necesario escribir el exponente en forma de fracción ordinaria y luego usar la definición del exponente con un exponente fraccionario. Para los ejemplos anteriores tenemos Y

Potencia con exponente racional

Khasyanova T.G.,

profesor de matematicas

El material presentado será útil para los profesores de matemáticas cuando estudien el tema "Exponente con exponente racional".

El propósito del material presentado: revelar mi experiencia al impartir una lección sobre el tema "Exponente con exponente racional". programa de trabajo disciplina "Matemáticas".

La metodología para impartir la lección corresponde a su tipo: una lección de estudio y consolidación inicial de nuevos conocimientos. Actualizado conocimiento previo y habilidades basadas en la experiencia adquirida previamente; Memorización primaria, consolidación y aplicación de nueva información. La consolidación y aplicación de nuevo material se llevó a cabo mediante la resolución de problemas que probé. de diversa complejidad, dando un resultado positivo en el dominio del tema.

Al comienzo de la lección, establecí los siguientes objetivos para los estudiantes: educativos, de desarrollo, educativos. Durante la lección usé varias maneras actividades: frontal, individual, por parejas, independiente, test. Las tareas fueron diferenciadas y permitieron identificar, en cada etapa de la lección, el grado de adquisición de conocimientos. El volumen y la complejidad de las tareas corresponden a las características de edad de los estudiantes. Desde mi experiencia - tarea, similar a los problemas resueltos en el aula, permite consolidar de forma fiable los conocimientos y habilidades adquiridos. Al final de la lección se llevó a cabo una reflexión y se evaluó el trabajo de cada alumno.

Los objetivos se lograron. Los estudiantes estudiaron el concepto y las propiedades de un grado con exponente racional y aprendieron a utilizar estas propiedades al resolver problemas prácticos. Para trabajo independiente Las calificaciones se anunciarán en la próxima lección.

Creo que la metodología que utilizo para enseñar matemáticas puede ser utilizada por profesores de matemáticas.

Tema de la lección: Potencia con exponente racional

Objetivo de la lección:

Identificar el nivel de dominio de los estudiantes de un conjunto de conocimientos y habilidades y, en base a él, aplicar determinadas soluciones para mejorar el proceso educativo.

Objetivos de la lección:

Educativo: formar nuevos conocimientos entre los estudiantes sobre conceptos básicos, reglas y leyes para determinar grados con un indicador racional, la capacidad de aplicar conocimientos de forma independiente en condiciones estándar, en condiciones modificadas y no estándar;

desarrollo: pensar lógicamente e implementar creatividad;

levantamiento: desarrollar interés en las matemáticas, reponer vocabulario con nuevos términos, ganar información adicional sobre el mundo que nos rodea. Cultivar la paciencia, la perseverancia y la capacidad de superar las dificultades.

Momento organizacional

Actualización de conocimientos de referencia.

Al multiplicar potencias con las mismas bases se suman los exponentes, pero la base sigue siendo la misma:

Por ejemplo,

2. Al dividir grados con las mismas bases, se restan los exponentes de los grados, pero la base sigue siendo la misma:

Por ejemplo,

3. Al elevar un grado a una potencia, los exponentes se multiplican, pero la base sigue siendo la misma:

Por ejemplo,

4. El grado del producto es igual al producto de los grados de los factores:

Por ejemplo,

5. El grado del cociente es igual al cociente de los grados del dividendo y del divisor:

Por ejemplo,

Ejercicios con soluciones.

Encuentra el significado de la expresión:

Solución:

En este caso, ninguna de las propiedades de un grado con exponente natural se puede aplicar explícitamente, ya que todos los grados tienen diferentes razones. Escribamos algunos poderes en una forma diferente:

(el grado del producto es igual al producto de los grados de los factores);

(al multiplicar potencias con las mismas bases se suman los exponentes, pero la base sigue siendo la misma; al elevar un grado a una potencia, se multiplican los exponentes, pero la base sigue siendo la misma).

Entonces obtenemos:

En este ejemplo, se utilizaron las primeras cuatro propiedades de un grado con exponente natural.

raíz cuadrada aritmética
- esto no es número negativo, cuyo cuadrado es igual aa,
. En
- expresión
no definido, porque No existe ningún número real cuyo cuadrado sea igual a un número negativo.a.

Dictado matemático(8-10 minutos)

Opción

II. Opción

1.Encuentra el valor de la expresión.

A)

b)

1.Encuentra el valor de la expresión.

A)

b)

2.Calcular

A)

b)

EN)

2.Calcular

A)

b)

V)

Autoprueba(en el tablero de solapa):

Matriz de respuesta:

№ opción/tarea

Problema 1

Problema 2

Opción 1

a) 2

segundo) 2

a) 0,5

b)

V)

Opción 2

a) 1,5

b)

A)

b)

c) 4

II. Formación de nuevos conocimientos.

Consideremos qué significado tiene la expresión, dónde - número positivo– número fraccionario y m-entero, n-natural (n›1)

Definición: potencia de a›0 con exponente racionalr = , metro-entero, norte-natural ( norte›1) se llama el número.

Entonces:

Por ejemplo:

Notas:

1. Para cualquier número positivo a y cualquier número racional r afirmativamente.

2. cuando
grado racional númerosano determinado.

Expresiones como
no tiene sentido.

3.Si un número fraccionario positivo es
.

Si fraccionario número negativo, entonces -no tiene sentido.

Por ejemplo: - no tiene sentido.

Consideremos las propiedades de un grado con exponente racional.

Sea a >0, b>0; r, s - cualquiera numeros racionales. Entonces un grado con cualquier exponente racional tiene las siguientes propiedades:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Consolidación. Formación de nuevas habilidades y destrezas.

Las tarjetas de tareas se trabajan en grupos pequeños en forma de prueba.