Mover un cuerpo sin velocidad inicial. Presentación sobre el tema "Movimiento de un cuerpo durante un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado sin velocidad inicial (a lo largo del eje x)"

Vamos a mostrar cómo puedes encontrar el camino recorrido por un cuerpo usando una gráfica de velocidad versus tiempo.

Comencemos con el caso más simple: Movimiento uniforme. La figura 6.1 muestra una gráfica de v(t) – velocidad versus tiempo. Representa un segmento de recta paralela a la base del tiempo, ya que con el movimiento uniforme la velocidad es constante.

La figura encerrada debajo de este gráfico es un rectángulo (está sombreado en la figura). Su área es numéricamente igual al producto de la velocidad v y el tiempo de movimiento t. Por otro lado, el producto vt es igual al camino l recorrido por el cuerpo. Entonces, con movimiento uniforme

manera numéricamente igual al área la figura adjunta debajo de la gráfica de velocidad versus tiempo.

Demostremos ahora que el movimiento desigual también tiene esta notable propiedad.

Supongamos, por ejemplo, que la gráfica de velocidad versus tiempo se parezca a la curva que se muestra en la figura 6.2.

Dividamos mentalmente todo el tiempo de movimiento en intervalos tan pequeños que durante cada uno de ellos el movimiento del cuerpo pueda considerarse casi uniforme (esta división se muestra con líneas discontinuas en la Figura 6.2).

Entonces, el camino recorrido durante cada uno de esos intervalos es numéricamente igual al área de la figura debajo del trozo correspondiente del gráfico. Por lo tanto, el camino completo es igual al área de las figuras contenidas debajo del gráfico completo. (La técnica que utilizamos es la base del cálculo integral, cuyos conceptos básicos estudiará en el curso "Inicios del análisis matemático").

2. Trayectoria y desplazamiento durante el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Apliquemos ahora el método descrito anteriormente para encontrar el camino hacia el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

La velocidad inicial del cuerpo es cero.

Dirijamos el eje x en la dirección de la aceleración del cuerpo. Entonces ax = a, vx = v. Por eso,

La figura 6.3 muestra una gráfica de v(t).

1. Usando la Figura 6.3, demuestre que para una línea recta movimiento uniformemente acelerado sin velocidad inicial la trayectoria l se expresa en términos del módulo de aceleración a y el tiempo de movimiento t mediante la fórmula

l = en 2/2. (2)

Conclusión principal:

En el caso de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado sin velocidad inicial, la distancia recorrida por el cuerpo es proporcional al cuadrado del tiempo del movimiento.

De esta manera, el movimiento uniformemente acelerado difiere significativamente del movimiento uniforme.

La figura 6.4 muestra gráficas de la trayectoria versus el tiempo para dos cuerpos, uno de los cuales se mueve uniformemente y el otro acelera uniformemente sin una velocidad inicial.

2. Mire la Figura 6.4 y responda las preguntas.
a) ¿De qué color es la gráfica de un cuerpo que se mueve con aceleración uniforme?
b) ¿Cuál es la aceleración de este cuerpo?
c) ¿Cuáles son las velocidades de los cuerpos en el momento en que han recorrido el mismo camino?
d) ¿En qué momento son iguales las velocidades de los cuerpos?

3. Después de arrancar, el automóvil recorrió una distancia de 20 m en los primeros 4 s. Considere que el movimiento del automóvil es lineal y tiene una aceleración uniforme. Sin calcular la aceleración del automóvil, determine qué distancia recorrerá el automóvil:
a) en 8 s? b) en 16 s? c) en 2 s?

Encontremos ahora la dependencia de la proyección del desplazamiento s x con el tiempo. EN en este caso la proyección de la aceleración sobre el eje x es positiva, entonces s x = l, a x = a. Así, de la fórmula (2) se deduce:

s x = a x t 2 /2. (3)

Las fórmulas (2) y (3) son muy similares, lo que a veces conduce a errores en la resolución. tareas simples. El hecho es que el valor de la proyección del desplazamiento puede ser negativo. Esto sucederá si el eje x está dirigido en sentido opuesto al desplazamiento: entonces s x< 0. А путь отрицательным быть не может!

4. La figura 6.5 muestra gráficas de tiempo de viaje y proyección de desplazamiento para un determinado cuerpo. ¿De qué color es el gráfico de proyección de desplazamiento?

La velocidad inicial del cuerpo no es cero.

Recordemos que en este caso la dependencia de la proyección de velocidad con el tiempo se expresa mediante la fórmula

v x = v 0x + a x t, (4)

donde v 0x es la proyección de la velocidad inicial sobre el eje x.

Consideraremos más a fondo el caso cuando v 0x > 0, a x > 0. En este caso, podemos nuevamente aprovechar el hecho de que la ruta es numéricamente igual al área de la figura debajo de la gráfica de velocidad versus tiempo. (Considere usted mismo otras combinaciones de signos para la proyección de la velocidad inicial y la aceleración: el resultado será el mismo formula general (5).

La figura 6.6 muestra una gráfica de v x (t) para v 0x > 0, a x > 0.

5. Usando la Figura 6.6, demuestre que en el caso de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con una velocidad inicial, la proyección del desplazamiento

s x = v 0x + a x t 2 /2. (5)

Esta fórmula le permite encontrar la dependencia de la coordenada x del cuerpo con el tiempo. Recordemos (ver fórmula (6), § 2) que la coordenada x de un cuerpo está relacionada con la proyección de su desplazamiento s x por la relación

s x = x – x 0 ,

donde x 0 es la coordenada inicial del cuerpo. Por eso,

x = x 0 + s x , (6)

De las fórmulas (5), (6) obtenemos:

x = x 0 + v 0x t + a x t 2 /2. (7)

6. La dependencia de las coordenadas del tiempo para un determinado cuerpo que se mueve a lo largo del eje x se expresa en unidades SI mediante la fórmula x = 6 – 5t + t 2.
a) ¿Cuál es la coordenada inicial del cuerpo?
b) ¿Cuál es la proyección de la velocidad inicial sobre el eje x?
c) ¿Cuál es la proyección de la aceleración en el eje x?
d) Dibuja una gráfica de la coordenada x versus el tiempo.
e) Dibuja una gráfica de la velocidad proyectada versus el tiempo.
f) ¿En qué momento la velocidad del cuerpo es igual a cero?
g) ¿Volverá el cuerpo al punto de partida? Si es así, ¿en qué momento(s)?
h) ¿Pasará el cuerpo por el origen? Si es así, ¿en qué momento(s)?
i) Dibuja una gráfica de la proyección del desplazamiento versus el tiempo.
j) Dibuja una gráfica de la distancia versus el tiempo.

3. Relación entre trayectoria y velocidad.

Al resolver problemas, a menudo se utilizan las relaciones entre trayectoria, aceleración y velocidad (v inicial 0, v final o ambas). Derivemos estas relaciones. Empecemos por el movimiento sin velocidad inicial. De la fórmula (1) obtenemos para el tiempo de movimiento:

Sustituyamos esta expresión en la fórmula (2) por la ruta:

l = en 2 /2 = a/2(v/a) 2 = v 2 /2a. (9)

Conclusión principal:

En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado sin velocidad inicial, la distancia recorrida por el cuerpo es proporcional al cuadrado de la velocidad final.

7. Después de arrancar, el automóvil adquirió una velocidad de 10 m/s en una distancia de 40 m. Considere que el movimiento del automóvil es lineal y tiene una aceleración uniforme. Sin calcular la aceleración del automóvil, determine qué distancia desde el inicio del movimiento recorrió el automóvil cuando su velocidad era igual a: a) 20 m/s? b) 40m/s? c) 5m/s?

La relación (9) también se puede obtener recordando que la trayectoria es numéricamente igual al área de la figura encerrada debajo de la gráfica de velocidad versus tiempo (figura 6.7).

Esta consideración le ayudará a afrontar fácilmente la siguiente tarea.

8. Utilizando la Figura 6.8, demuestre que al frenar con aceleración constante el cuerpo recorre la distancia l t = v 0 2 /2a hasta que se detiene por completo, donde v 0 es la velocidad inicial del cuerpo, a es el módulo de aceleración.

En caso de frenar vehículo(automóvil, tren) la distancia recorrida hasta detenerse por completo se llama distancia de frenado. Tenga en cuenta: la distancia de frenado a la velocidad inicial v 0 y la distancia recorrida durante la aceleración desde parado hasta la velocidad v 0 con la misma aceleración a son las mismas.

9. cuando frenado de emergencia sobre asfalto seco, la aceleración del automóvil es igual en valor absoluto a 5 m/s 2 . ¿Cuál es la distancia de frenado de un automóvil a velocidad inicial: a) 60 km/h (velocidad máxima permitida en ciudad); b) 120 kilómetros por hora? Encuentre la distancia de frenado a las velocidades indicadas en condiciones de hielo, cuando el módulo de aceleración es de 2 m/s 2. Compara las distancias de frenado que encontraste con la longitud del salón de clases.

10. Utilizando la figura 6.9 y la fórmula que expresa el área de un trapezoide a través de su altura y la mitad de la suma de las bases, demuestre que para un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:
a) l = (v 2 – v 0 2)/2a, si la velocidad del cuerpo aumenta;
b) l = (v 0 2 – v 2)/2a, si la velocidad del cuerpo disminuye.

11. Demuestre que las proyecciones de desplazamiento, velocidad inicial y final, así como la aceleración están relacionadas por la relación

s x = (v x 2 – v 0x 2)/2ax (10)

12. Un automóvil en un camino de 200 m aceleró desde una velocidad de 10 m/s a 30 m/s.
a) ¿A qué velocidad se movía el auto?
b) ¿Cuánto tiempo le tomó al auto recorrer la distancia indicada?
c) ¿A qué es igual? velocidad media¿auto?

Preguntas y tareas adicionales

13. El último vagón se desacopla de un tren en movimiento, después de lo cual el tren se mueve uniformemente y el vagón se mueve con aceleración constante hasta detenerse por completo.
a) Dibuje en un dibujo gráficas de velocidad versus tiempo para un tren y un vagón.
b) ¿Cuántas veces es menor la distancia recorrida por el vagón hasta la parada que la distancia recorrida por el tren en el mismo tiempo?

14. Al salir de la estación, el tren viajó con aceleración uniforme durante algún tiempo, luego durante 1 minuto con velocidad uniforme de 60 km/h, y luego nuevamente con aceleración uniforme hasta que se detuvo en la siguiente estación. Los módulos de aceleración durante la aceleración y el frenado eran diferentes. El tren cubrió la distancia entre estaciones en 2 minutos.
a) Dibuja una gráfica esquemática de la proyección de la velocidad del tren en función del tiempo.
b) Usando esta gráfica, encuentre la distancia entre las estaciones.
c) ¿Qué distancia recorrería el tren si acelerara en el primer tramo del recorrido y desacelerara en el segundo? ¿Cuál sería su velocidad máxima?

15. Un cuerpo se mueve uniformemente acelerado a lo largo del eje x. En el momento inicial se encontraba en el origen de coordenadas y la proyección de su velocidad era igual a 8 m/s. Después de 2 s, la coordenada del cuerpo pasó a ser 12 m.
a) ¿Cuál es la proyección de la aceleración del cuerpo?
b) Trazar una gráfica de v x (t).
c) Escribe una fórmula que exprese la dependencia x(t) en unidades SI.
d) ¿La velocidad del cuerpo será cero? En caso afirmativo, ¿en qué momento?
e) ¿Visitará el cuerpo el punto con coordenadas 12 m por segunda vez? En caso afirmativo, ¿en qué momento?
f) ¿Volverá el cuerpo al punto de partida? En caso afirmativo, ¿en qué momento y cuál será la distancia recorrida?

16. Después del empujón, la pelota rueda por un plano inclinado y luego regresa al punto de partida. La pelota estuvo a una distancia b del punto inicial dos veces en los intervalos de tiempo t 1 y t 2 después del empujón. La pelota se movía hacia arriba y hacia abajo a lo largo del plano inclinado con la misma aceleración.
a) Dirija el eje x hacia arriba a lo largo del plano inclinado, seleccione el origen en la posición inicial de la pelota y escriba una fórmula que exprese la dependencia x(t), que incluye el módulo de velocidad inicial de la pelota v0 y el módulo de la aceleración de la pelota a.
b) Usando esta fórmula y el hecho de que la pelota estaba a una distancia b del punto de partida en los momentos t 1 y t 2, cree un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas v 0 y a.
c) Habiendo resuelto este sistema de ecuaciones, exprese v 0 y a en términos de b, t 1 y t 2.
d) Exprese el camino total l recorrido por la pelota en términos de b, t 1 y t 2.
e) Encuentre los valores numéricos de v 0, a y l para b = 30 cm, t 1 = 1 s, t 2 = 2 s.
f) Trazar gráficas de v x (t), s x (t), l(t).
g) Usando la gráfica de sx(t), determine el momento en que el módulo de desplazamiento de la pelota fue máximo.

Consideremos algunas características del movimiento de un cuerpo durante un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado sin una velocidad inicial. La ecuación que describe este movimiento fue deducida por Galileo en el siglo XVI. Hay que recordar que con un uniforme rectilíneo o movimiento desigual sin cambiar la dirección de la velocidad, el módulo de desplazamiento coincide en valor con la distancia recorrida. La fórmula se ve así:

¿Dónde está la aceleración?

Ejemplos de movimiento uniformemente acelerado sin velocidad inicial

El movimiento uniformemente acelerado sin velocidad inicial es un caso especial importante de movimiento uniformemente acelerado. Veamos ejemplos:

1. Caída libre sin velocidad inicial. Un ejemplo de tal movimiento sería la caída de un carámbano al final del invierno (Fig. 1).

Arroz. 1. Carámbano que cae

En el momento en que el carámbano se desprende del techo, su velocidad inicial es cero, después de lo cual se mueve uniformemente acelerado, porque caida libre- Este es un movimiento uniformemente acelerado.

2. Inicio de cualquier movimiento.. Por ejemplo, un automóvil arranca y acelera (Figura 2).

Arroz. 2. Inicio del movimiento

Cuando decimos que el tiempo que tarda un coche de una marca u otra en alcanzar los 100 km/h es, por ejemplo, 6 segundos, la mayoría de las veces hablamos de un movimiento uniformemente acelerado sin una velocidad inicial. Lo mismo ocurre cuando hablamos del lanzamiento de un cohete, etc.

3. El movimiento uniformemente acelerado es de particular importancia para los desarrolladores de armas. Después de todo salida de cualquier proyectil o bala- este es un movimiento sin velocidad inicial, y mientras se mueve en el cañón, la bala (proyectil) se mueve uniformemente acelerado. Veamos un ejemplo.

La longitud del rifle de asalto Kalashnikov es de . Una bala en el cañón de una ametralladora se mueve con aceleración. ¿A qué velocidad saldrá la bala del cañón?

Arroz. 3. Ilustración del problema.

Para encontrar la velocidad de una bala que sale del cañón de una ametralladora, usamos la expresión para el desplazamiento durante un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado si se desconoce el tiempo:

El movimiento se realiza sin velocidad inicial, es decir, entonces.

Obtenemos la siguiente expresión para encontrar la velocidad de una bala al salir del cañón:

Escribimos la solución al problema de la siguiente manera, teniendo en cuenta las unidades SI:

El movimiento uniformemente acelerado sin velocidad inicial se encuentra a menudo tanto en la naturaleza como en la tecnología. Además, la capacidad de trabajar con dicho movimiento permite resolver problemas inversos cuando la velocidad inicial existe y la velocidad final es cero.

Si , entonces la ecuación anterior se convierte en la ecuación:

Esta ecuación permite encontrar la distancia recorrida. uniforme movimientos. en este caso es la proyección del vector de desplazamiento. Se puede definir como la diferencia de coordenadas: . Si sustituimos esta expresión en la fórmula, obtenemos la dependencia de la coordenada con el tiempo:

Consideremos la situación en la que la velocidad inicial es cero. Esto significa que el movimiento comienza desde un estado de reposo. El cuerpo estaba en reposo, luego comienza a adquirir y aumentar velocidad. El movimiento desde el reposo se registrará sin velocidad inicial:

Si S (la proyección del desplazamiento) se denota como la diferencia entre las coordenadas inicial y final (), entonces obtenemos una ecuación de movimiento que permite determinar la coordenada del cuerpo en cualquier momento en el tiempo:

La proyección de aceleración puede ser tanto negativa como positiva, por lo que podemos hablar de la coordenada del cuerpo, que puede aumentar o disminuir.

Gráfico de velocidad versus tiempo

Dado que el movimiento uniformemente acelerado sin una velocidad inicial es un caso especial de movimiento uniformemente acelerado, considere una gráfica de la proyección de la velocidad en función del tiempo para dicho movimiento.

En la Fig. La Figura 4 muestra un gráfico de la proyección de velocidad versus el tiempo para un movimiento uniformemente acelerado sin una velocidad inicial (el gráfico comienza en el origen).

El gráfico apunta hacia arriba. Esto sugiere que la proyección de aceleración es positiva.

Arroz. 4. Gráfica de la proyección de velocidad versus tiempo para un movimiento uniformemente acelerado sin velocidad inicial

Usando un gráfico, puedes determinar la proyección del movimiento del cuerpo o la distancia recorrida. Para hacer esto, necesitas calcular el área de la figura delimitada por el gráfico, ejes de coordenadas y una perpendicular bajada sobre el eje del tiempo. Es decir, necesitas encontrar el área de un triángulo rectángulo (la mitad del producto de los catetos)

¿Dónde está la velocidad final para un movimiento uniformemente acelerado sin velocidad inicial?

En la Fig. La Figura 5 muestra una gráfica de la proyección del desplazamiento versus el tiempo de dos cuerpos para un movimiento uniformemente acelerado sin una velocidad inicial.

Arroz. 5 Gráfica de la proyección del desplazamiento versus el tiempo de dos cuerpos para un movimiento uniformemente acelerado sin velocidad inicial

La velocidad inicial de ambos cuerpos es cero, ya que el vértice de la parábola coincide con el origen de coordenadas:

Para el primer cuerpo la proyección de aceleración es positiva, para el segundo es negativa. Además, el primer cuerpo tiene una mayor proyección de aceleración del cuerpo, ya que su movimiento es más rápido.

– la distancia recorrida (hasta el signo), es proporcional a , es decir, al cuadrado del tiempo. Si consideramos períodos de tiempo iguales – , , , entonces podemos notar las siguientes relaciones:

Si continuamos con los cálculos, el patrón se mantendrá. Las distancias recorridas aumentan en proporción al cuadrado del aumento de los intervalos de tiempo.

Por ejemplo, si , entonces la distancia recorrida será proporcional a . Si , la distancia recorrida será proporcional, etc. La distancia aumentará en proporción al cuadrado de estos intervalos de tiempo (Fig. 6).

Arroz. 6. Proporcionalidad del camino al cuadrado del tiempo.

Si elegimos un cierto intervalo para una unidad de tiempo, entonces las distancias totales recorridas por el cuerpo durante períodos de tiempo iguales posteriores se relacionarán como cuadrados de números enteros.

Es decir, los movimientos que realiza el cuerpo durante cada segundo posterior se tratarán como números impares:

Arroz. 7. Los movimientos de cada segundo se tratan como números impares.

Las dos conclusiones muy importantes estudiadas son características únicamente del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado sin velocidad inicial.

Tarea. El automóvil comienza a moverse desde una parada, es decir, desde un estado de reposo, y en el cuarto segundo de su movimiento recorre 7 m. Determine la aceleración del cuerpo y la velocidad instantánea 6 s después del inicio del movimiento (Fig. 8).

Arroz. 8. Ilustración del problema.

La proyección del vector de desplazamiento para un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se calcula mediante la siguiente fórmula:

• Sx=V0x*t+(ax*t^2)/2.

Consideremos el caso en el que el movimiento comienza con velocidad inicial cero. En este caso, la ecuación escrita arriba tomará la siguiente forma:

• Sx= hacha*t^2)/2.

Para las magnitudes de los vectores a y S, podemos escribir la siguiente ecuación:

• S=(a*t^2)/2.

Dependencia del desplazamiento y el tiempo.

Vemos que en el caso de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado sin velocidad inicial, la magnitud del vector de desplazamiento será directamente proporcional al cuadrado del período de tiempo durante el cual ocurrió este desplazamiento. Es decir, en otras palabras, si aumentamos el tiempo de movimiento n veces, entonces el movimiento aumentará n^2 veces.

Por ejemplo, si durante un cierto período de tiempo t1 desde el inicio del movimiento el cuerpo realizó un movimiento s1=(a/2)*(t1)^2,

Luego, durante el intervalo de tiempo t2=2*t1, este cuerpo se moverá S2=(a/2)*4*(t1)^2=4*S1.

Durante el intervalo t3=3*t1, este cuerpo se moverá S3=9*S1, etc., para cualquier número natural n. Por supuesto, esto se llevará a cabo, siempre que el tiempo deba computarse desde el mismo momento.

La siguiente figura muestra bien esta relación.

• OA:OB:OC:OD:OE = 1:4:9:16:25.

Con un aumento en el período de tiempo, que se cuenta desde el inicio del movimiento, un número entero de veces en comparación con t1, los módulos de los vectores de desplazamiento aumentarán como una serie de cuadrados de números naturales consecutivos.

Además de este patrón, a partir de la figura presentada arriba se puede establecer otro, el siguiente patrón:

• OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9.

Durante sucesivos períodos de tiempo iguales, los módulos de los vectores de desplazamientos realizados por el cuerpo se relacionarán entre sí como una serie de números impares consecutivos.

Vale la pena señalar que tales patrones serán verdaderos sólo en un movimiento uniformemente acelerado. Es decir, son como una especie de signo peculiar de movimiento uniformemente acelerado. Si es necesario comprobar si el movimiento se acelera uniformemente, entonces se pueden comprobar estos patrones y, si se cumplen, entonces el movimiento se acelerará uniformemente.

Preguntas.

1. ¿Qué fórmulas se utilizan para calcular la proyección y magnitud del vector de desplazamiento de un cuerpo durante su movimiento uniformemente acelerado desde un estado de reposo?

2. ¿Cuántas veces aumentará el módulo del vector de desplazamiento del cuerpo cuando el tiempo de su movimiento desde el reposo aumente n veces?

3. Escriba cómo se relacionan entre sí los módulos de los vectores de desplazamiento de un cuerpo que se mueve uniformemente acelerado desde un estado de reposo cuando el tiempo de su movimiento aumenta un número entero de veces en comparación con t 1.

4. Escriba cómo se relacionan entre sí los módulos de los vectores de desplazamientos realizados por un cuerpo en sucesivos intervalos de tiempo iguales, si este cuerpo se mueve uniformemente acelerado desde un estado de reposo.

5. ¿Con qué propósito se pueden utilizar las leyes (3) y (4)?

Las regularidades (3) y (4) se utilizan para determinar si el movimiento se acelera uniformemente o no (ver pág. 33).

Ejercicios.

1. Un tren que sale de la estación se mueve de forma rectilínea y uniformemente acelerado durante los primeros 20 s. Se sabe que en el tercer segundo desde el inicio del movimiento el tren recorrió 2 m. Determine la magnitud del vector de desplazamiento realizado por el tren en el primer segundo y la magnitud del vector de aceleración con el que se movió.

2. Un automóvil, que se mueve uniformemente acelerado desde un estado de reposo, recorre 6,3 m durante el quinto segundo de aceleración. ¿Qué velocidad desarrolló el automóvil al final del quinto segundo desde el inicio del movimiento?